De arithmeticis complementis

Federica De Felice

De arithmeticis complementis

Download Chapter

TY - CHAP
T1 - De arithmeticis complementis
T2 - Niccolò Cusano. Scritti matematici: Introduzione, traduzione e note
A1 - Federica De Felice
AB - Cusano è un personaggio chiave della cultura occidentale: molti e importanti sono i contributi che egli dà in ambito filosofico, giuridico, religioso e politico. Gli studi critici hanno evidenziato e continuano a evidenziare i diversi aspetti della sua vastissima e poliedrica attività speculativa. Meno noti, ma altrettanto significativi, sono l’impegno e la perspicacia con i quali il cardinale cerca di risolvere questioni strettamente matematiche, alle quali si dedica costantemente e intensamente per oltre quindici anni, dal 1445 al 1459, in mezzo a bufere politiche, conflitti territoriali, progetti di riforma e delusioni personali. Si tratta delle seguenti opere, qui tradotte e commentati, per la prima volta, in italiano: De geometricis transmutationibus, De arithmeticis complementis, De circuli quadratura, Quadratura circuli, De mathematicis complementis, Declaratio rectilineationis curvae, De una recti curvique mensura, Dialogus de circuli quadratura, De caesarea circuli quadratura, De mathematica perfectione, Aurea propositio in mathematicis.

In questi scritti Cusano cerca di risolvere il problema della quadratura del cerchio e della rettificazione del cerchio, che, pur non essendo nuovo tra i matematici del tempo, viene affrontato da Cusano con tentativi e procedure logico–geometriche aventi una notevole portata storica, non tanto per i risultati raggiunti, che sono fallimentari, quanto per la forma mentis che l’approccio di Cusano sottende. Negli scritti matematici, infatti, emerge una nuova filosofia della mente che riconosce nella dimensione dello spazio (inteso come il luogo della mens–mensura) la condizione metodologica della possibilità del darsi della coincidentia oppositorum. Proprio l’intuizione dinamica dello spazio, per quanto deformata dalla possente immaginazione del filosofo e irretita entro una forma eminentemente teologica, costituirà uno stimolo fondamentale per i nuovi «Archimede» del Rinascimento, suggerendo ai posteri molto più di quanto non sia in grado di dimostrare.
PB - Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften
PY - 2020
SN - 978-3-945561-50-8
L1 - https://edition-open-sources.org/media/sources/13/8/sources13_chap08.pdf
LK - https://edition-open-sources.org/sources/13/8/index.html
C1 - by-sa
DO - 10.34663/9783945561515-08
LA - it
ER -

1. Nicolai de Cusa cardinalis ad Paulum physicum, optimum atque doctissimum virum, de arithmeticis complementis.

Paule optime, pauca quaedam complementa de arithmeticis habitudinibus, quamvis tibi atque omnibus nota esse possint ex iis, quae in tractatu geometricarum transmutationum enodavi, a te corrigenda, impigre tamen ea subieci. Dico autem, quod coincidentia anguli et lineae in diversis polygoniis isoperimetris nos ducit ad circulum isoperimetrum, ut ostendimus in primo geometricarum transmutationum supposito. Hinc via nobis patet ea, quae ad complementum arithmeticae spectant, omni attingibili modo numerandi. Id autem, quod dico, principaliter hactenus ignoratum fuit, habitudo scilicet chordae ad arcum. In cuius notitia complementum illud consistit, qua scita nihil difficile manebit arithmetice numerandi.

2. Fuerunt viri diligentissimi, quorum princeps videtur Archimedes, qui ostenderunt circumferentiam circuli triplam in habitudine ad diametrum additis plus decem septuagesimis primis ipsius diametri et minus decem septuagesimis, et hanc propinquitatem praecisiorem continue fieri posse ostenderunt. Non tamen tradiderunt, ubi numero inattingibilis praecisio latitaret. Nam etsi non possit numerari costa numerato diametro quadrati, pertingitur tamen ad numerum, cuius radicem si numerari posset, scimus innumerabilem costam. Tale quid non repperi veteres aut scivisse saltem nobis tradidisse.

fig. 1

3. Verum si hoc sciri poterit, artem ex iam traditis sic venari posse conicio et figuram ultimam, quam ibi posui, brevitatis causa hic praetermitto (cfr. figura 1). Constat autem, quoniam habitudo lateris hexagoni ad semidiametrum circuli circumscripti trigono isoperimetro in quadratis nota est, cum quadratum dg si est 4, quadratum lateris hexagoni isoperimetri, quoniam est medietas chordae subtensae tertiae parti circumferentiae eiusdem circuli, est ut tria. Notum est consequenter ed quadratum, quoniam si quadratum dg est 4, quadratum ed est 9, cum dg sit duplum ad ge. Sic erit fe nota, quia est latus hexagonicum, cuius quadratum est ut tria in habitudine, qua quadratum dg est ut 4; erit similiter ec sic nota. Sic erunt lineae ed et ef notae. Et quoniam trianguli egl et ecn sunt aequianguli, latera eandem tenent proportionem. Eadem ergo est proportio ge ad el, quae est ce ad en (cfr. figura 2).

fig. 2

4. Inveniantur igitur duae quantitates, quarum maior se habeat ad eg sicut minor ad ec, sic quod subtracta maiori de ed et minori de ef remanentia sint aequalia. Remanens illud est semidiameter circuli isoperimetri polygoniae hexagonae vel trigonae, quae sunt isoperimetrae. Et quia habitudo peripheriae polygoniae ad de est nota habitudo semidiametri circuli isoperimetri ad de est nota, erit habitudo diametri ad circumferentiam omni scibili modo nota, ut scias, quid sit id quod quaeris, quod numerus non attingit, ut ignorantiam ac defectus rationis numerantis videat intellectus.

5. Palam ex his est posse omnem habitudinem quarumcumque chordarum ad arcum atque diametrum inquiri. Nam si loco hexagoni qualemcumque polygoniam receperis, omnia uti in hexagano posse attingi manifestum est. Et ut id ipsum intueamur, describamus semicirculum, cuius semidiameter sit ut semidiameter circuli circumscripti trigono, et tracta semidiametro ad medium arcus de g centro, quae sit dg, notato in arcu de d hinc inde arcum habitudinis ad circumferentiam secundum latera polygoniae, quae sunt chordae quaerendae (cfr. figura 3). Puta quod velis chordam 45 graduum, signabis arcum 22 graduum cum I semis hinc inde a puncto d, et signa loca per s et t, trahendo semichordam de s versus t, quae in semidiametro dg terminata puncto v signetur. Et quoniam 45 gradus sunt octava circumferentiae, erit polygonia tot angulorum et laterum. Trahe igitur de g centro ad punctum s lineam. Deinde divide lineam rectam peripheriae polygoniae trigonae in 8 partes, et medietatem unius partis fac aequedistanter cadere ab sv inter gs et gd, et sit xy. Deinde describe arcum super g secundum semidiametrum xg, quousque pertingat in dg, notando per z punctum contactus arcus et semidiametri dg.

fig. 3

6. Post haec describe quadrantes duos ut statim praemisi praecise faciendo ed semidiametrum aequalem semidiametro circuli trigono circumscripti et excessui eius super semidiametrum circuli inscripti eidem trigono, et ef semidiametrum secundi quadrantis, faciendo aequalem lineae gx sive gz cum zy, quae est linea excessus semidiametri circuli octogono isoperirmetro circumscripti super semidiametrum circuli eidem octogono inscripti. Et trahe chordam gh sic, quod gd sagitta sit circuli circumscripti trigono semidiameter, et aliam chordam ck ita, quod fc sit ut xg, scilicet semidiameter circuli circumscripti octogono.

7. Trahe deinde lineam de e ad circumferentias, cuius portiones inter arcus et suas chordas aequentur, ut praemisi, quae in locis sectionum notentur ut prius per lm et no. Deinde inquire, ut ef tibi nota fiat. Nota est ed, ut praemittitur. Et nota est lm, cui aequatur no. Nota est el et eg, hinc etiam habitudo el ad eg et en ad ec. Cum ergo no sit nota, inquiramus lineam en, et supponatur esse quaecumque quantitas. Per cuius suppositionem necessario etiam secundum notam habitudinem quantitas ec nota erit. Et si vera est quantitas en, quam supposui, sic examino ef. Secundum suppositionem eo nota erit, sic et cf. Subtrahatur de quadrato cf sive gx quadratum xy, quae est nota, et radix residui erit gy. Sic erit nota zy. Quae si fuerit ut ec, recte supponebatur. Si non, corrigatur error, et surget quaesitum.

8. Tali via omnes chordae notae erunt, quod veteres summo studio quaerentes attingere non potuerunt. Omnes hactenus praecisionem chordae gradus unius, duorum, quattuor, octo et sic deinceps, ut nosti, se ignorasse fatentur. Poterit etiam ignoti trianguli laterum et angulorum habitudo ex scientia habitudinis arcuum et chordarum et omne tale scibile sufficienter venari ex his dictis complementis.

9. Praeposita figura, quae de trigono in primo praesupposito praemittitur, alium describo super a centro circulum, cuius semidiameter sit ut semidiameter circuli circumscripti hexagono isoperimetro cum excessu, quo excedit semidiametrum circuli eidem hexagono inscripti (cfr. figura 4). Et trahe diametros se in centro orthogonaliter secantes, qui per b, c, d, e signentur, tracta chorda, cuius sagitta sit semidiameter circuli hexagono circumscripti, quam signa per fgh. Trahe deinde lineam per a punctum et per lineam gh, ut habeas semidiametrum circuli circumscripti hexagono isoperimetro, quae sit aik. Deinde nota excessum cb prioris figurae super ab istius, et eo in lineam per a tractam notato anterioretur, qui sit la, et rectam de l super ad orthogonaliter ducito posito m signo in contactu. Et quia cb secundum positionem lateris trigoni circulo inscripti est nota, similiter ab est nota, erit la et ag nota. Habet autem se la ad am sicut ai ad ag, et sicut la ad ai, ita ma ad ag. Inveniatur igitur numerus, qui se habeat in aliqua habitudine ad la notum, ita quod in eadem habitudine sit alius se habens ad ag notum taliter, quod la cum hoc numero invento de bc subtracto idem remagneat cum eo, quod remanet subtracto ag cum alio numero de ab, et numerasti semidiametrum circuli, lateris igitur trigoni tripla et semidiametri dupla habitudine considerata, ut sic propinquitate subtili habitudinem diametri ad circumferentiam attingas.

fig. 4

De arithmeticis complementis

DOI

Citation