3 Gli scritti matematici

3.1 Uno sguardo sinottico

Dal breve profilo bio–bibliografico delineato emerge che Cusano, nell’arco di un quindicennio, tra il 1445 e il 1459, in mezzo a bufere politiche, conflitti territoriali, progetti di riforma e delusioni personali, pur se impegnato nell’attività legale e di negoziazione, riesce non solo a non interrompere la costante applicazione allo studio, ma anche a scrivere testi incentrati su tentativi geometrico-costruttivi atti a trovare la soluzione a un problema di carattere strettamente matematico: la quadratura del cerchio.

Si tratta delle seguenti opere: De geometricis transmutationibus (1445), De arithmeticis complementis (due versioni; 1450), De circuli quadratura (luglio 1450), Quadratura circuli (estate 1453), De mathematicis complementis (la prima versione, in un libro, viene compiuta a Bressanone nel settembre del 1453, la seconda edizione, che include due libri, fu ultimata nel novembre 1454), Declaratio rectilineationis curvae (1454), De una recti curvique mensura (1454), Dialogus de circuli quadratura (1457), De caesarea circuli quadratura (1457), De mathematica perfectione (due versioni; 1458), Aurea propositio in mathematicis (1459).

Questi scritti possono essere suddivise in tre parti. La prima comprende il De geometricis transmutationibus, il De arithmeticis complementis e il De circuli quadratura. Queste opere, scritte tra il 1445 e il 1450, sono strettamente collegate tra loro per contenuto e procedimento. In essi Cusano si sforza di portare a compimento la quadratura del cerchio attraverso il metodo dell’isoperimetria, che in queste opere è tuttavia soltanto abbozzato e non chiaramente spiegato.

La seconda comprende il Quadratura circuli, la Declaratio rectilineationis curvae, il De una recti curvique mensura e l’opera maggiore, il De mathematicis complementis, elaborati tra il 1453 e il 1457. Cusano si propone di utilizzare poligoni dello stesso perimetro per formare un cerchio isoperimetrico, e realizzare così la quadratura del cerchio. Il procedimento e l’approssimazione cui dà luogo tale tentativo vengono sottoposti al giudizio di Toscanelli, le cui critiche costringono Cusano a rivedere le proprie posizioni.

La terza parte consta di cinque opere, scritte tra il 1457 e il 1459: l’opera che lo stesso Cusano considera come la più importante, il De mathematica perfectione (di cui è stata tramandata anche una forma prior), il Dialogus de circuli quadratura, il De caesarea circuli quadratura, l’Aurea propositio in mathematicis. In queste opere Cusano si sforza di correggere gli errori rilevati da Toscanelli nel De mathematicis complementis e cerca di portare a termine le questioni su cui ha meditato e contemplato nei primi scritti matematici.

Tutti gli scritti matematici gravitano intorno alla vexata quaestio della quadratura del cerchio, a cui nessuno – sostiene Cusano nel De mathematicis complementis e, ancor prima, nel De quadratura circuli – ha saputo approssimarsi più di quanto abbia fatto Archimede (ca. 287a.C.–212 a.C.)¹. Cusano, insieme a Luca Pacioli (ca. 1445–1517)², la cui Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita (1494) costituisce l’opera più diffusa all’inizio del secolo, è il veicolo principale della trasmissione al Rinascimento europeo dell’immagine di Archimede³ come del matematico che più di ogni altro si era prodigato per arrivare alla quadratura del cerchio⁴. Cusano poteva leggere l’opera del grande matematico siracusano nella nuova traduzione latina compiuta nel 1450 da Giacomo da Cremona, noto anche come Iacopo di San Cassiano (ca. 1395–ca. 1454)⁵, sotto il patrocinio di Niccolò V⁶, come si apprende dalla dedica al papa premessa al De mathematicis complementis. Nella terza proposizione della Misura del cerchio, l’opera di Archimede più popolare e nota già nel Medioevo, il matematico greco, attraverso costruzioni geometriche elementari – cioè avvalendosi di riga e compasso – cerca di costruire un quadrato della stessa area di un dato cerchio e, introducendo valori numerici e calcoli aritmetici, calcola il rapporto tra la lunghezza della circonferenza e quella del suo diametro, pervenendo ai famosi limiti di π (). Cusano era inoltre a conoscenza dell’altro e più complesso procedimento di determinazione della misura della circonferenza realizzato dal matematico greco nelle Spirali, come emerge nella Quadratura circuli, nel De mathematicis complementis e nel De mathematica perfectione⁷.

Sulla scia di Archimede, Cusano si propone di dare il complementum all’opera iniziata dal matematico greco e di risolvere il problema rimasto fino ad allora insoluto. Così, pur riconoscendo al matematico greco grande merito, da questi si distanzia circa la metodologia da utilizzare. Anzi, secondo Cusano, è proprio l’errata impostazione del problema accettata fino a quel momento ad aver reso impossibile la soluzione.

3.2 Metodo di archificazione e coincidentia oppositorum

In più passi il cardinale afferma che il motivo per cui gli antichi non sono riusciti nell’impresa è dovuto al fatto che essi si sono impegnati (invano) a cercare la quadratura del cerchio partendo dal cerchio, anziché dal quadrato. Dato un cerchio, Archimede aveva tentato di determinarne l’area costruendo una successione di poligoni regolari inscritti e circoscritti con numero rispettivamente crescente e decrescente di lati che assomigliavano sempre di più al cerchio. In questo modo il matematico era pervenuto ai limiti dell’area del cerchio.

Tuttavia, incalza Cusano, per pervenire alla conoscenza di ciò che è ignoto occorre muovere da ciò che è noto. Il cerchio, al pari dell’infinito, non è misurabile, ma è essa stessa la misura⁸, sicché non è possibile partire dal cerchio per giungere all’aequalitas con il quadrato. Per questo Cusano cerca di mettere in atto un altro metodo, che non sia quello di esaustione/compressione. Oltre a questo errore di prospettiva, Cusano individua un’altra motivazione, di natura ancora più profonda, del fallimento di coloro che lo hanno preceduto:

Gli antichi hanno cercato l’arte di rendere il cerchio uguale al quadrato[...]; nell’uguaglianza hanno presupposto la coincidenza del cerchio e del quadrato [...], ma hanno fallito poiché la ragione non ammette la coincidenza degli opposti. La coincidenza infatti doveva essere cercata intellettualmente⁹.

Per far sì che il quadrato sia uguale al cerchio è necessario che il quadrato si identifichi con il cerchio («in identitatem cum circulo se resolvat»¹⁰). Tale identità, tuttavia, non può essere raggiunta tramite la ragione (per rationem)¹¹, la quale giudica impossibile la coincidenza dei contraddittori¹², ma intellectualiter, ossia mediante una superiore visione mentale che scorge tale coincidenza all’infinito, attraverso la serie illimitata di determinazioni finite¹³. L’intuizione intellettuale è così in grado di cogliere ciò che non esiste come limite concreto¹⁴.

Nello specifico, la circostanza razionalmente inimmaginabile della coincidenza del curvo col retto può avvenire in due casi solo apparentemente distinti: nell’infinitamente grande e nell’infinitamente piccolo. Nel primo caso si può immaginare un poligono che al crescere indefinito dei suoi lati tende a coincidere con la circonferenza ad essa tangente. Nel secondo caso si può pensare di restringere, per così dire, all’infinito la corda (ossia il lato del poligono inscritto o circoscritto) fino a che essa non si distingua dall’arco di circonferenza sotteso. La perfezione matematica consiste nella reciproca commensurabilità (adaequatio) tra ciò che è retto e ciò che è curvo.

La mia intenzione è quella di arrivare alla perfezione matematica attraverso la coincidenza degli opposti. E poiché questa perfezione consiste per tutti nel rendere una grandezza rettilinea uguale a una [grandezza] curvilinea, mi propongo di cercare il rapporto di due linee rette che stanno tra loro come la corda e il suo arco¹⁵.

Negli scritti matematici il principio teo–epistemologico della coincidentia oppositorum costituisce il filo conduttore che lega i molteplici – e con variazioni in certi casi significative – tentativi di Cusano di quadrare il cerchio e viene ad assumere una forte e crescente tensione costruttiva. Ripercorrendo analiticamente il contenuto di tali scritti nel loro ordine di composizione, Joseph Ehrefried Hofmann ha rintracciato in essi uno sviluppo considerevole sul piano metodologico–scientifico, che dai primi incerti approcci alla questione dell’incommensurabilità retto/curvo, svolti nel primo scritto (De geometricis transmutationibus del 1445), attraverso un sistematico ricorso al principio sovrarazionale della coincidentia oppositorum, approderebbe nell’ultimo scritto (Aurea propositio del 1459) a un tentativo di fondazione esclusivamente razionale delle proprie argomentazioni¹⁶.

Ora, il procedimento più adatto a «figurare» geometricamente la coincidenza è quello dell’«archificazione»¹⁷, che Cusano preferisce all’impostazione classica greca, a cui Archimede si manteneva sostanzialmente fedele e i cui risultati erano ritenuti esatti e non approssimativi durante tutto il Medioevo¹⁸.

Con «archificazione» s’intende un procedimento di determinazione degli angoli, tipica della matematica indiana, e, da questa, attraverso gli arabi, filtrato in Occidente, secondo cui l’angolo viene immaginato come il risultato di una curvatura (da ciò l’idea di archificazione) della retta e direttamente misurato, in quanto tale, sulla circonferenza di un cerchio. Questo procedimento differisce molto dalla matematica greca, che procedeva alla determinazione degli angoli attraverso i rapporti fra linee rette.

Muovendo dal poligono regolare con il numero minore di lati (il triangolo equilatero) cui è inscritto e circoscritto un cerchio, Cusano osserva che al crescere dei lati dei poligoni isoperimetrici, attraverso quelle che egli chiama transmutationes geometrices, il cerchio inscritto e quello circoscritto finiscono per coincidere con la circonferenza, considerata come un poligono di un numero infinito di lati (e angoli). Di questa il cardinale cerca di calcolare il raggio come quella grandezza in cui la serie delle grandezze corrispondenti agli apotemi dei poligoni isoperimetrici di un numero sempre maggiore di lati e la serie, opposta alla prima, delle grandezze decrescenti corrispondenti ai raggi degli stessi poligoni, pervengono al loro punto di coincidenza¹⁹. In questo modo, percorrendo illimitatamente il finito, le figure, trapassando l’una nell’altra, entrano in una circolazione infinita, in cui il triangolo (la figura geometrica con il minor numero di lati e angoli) viene a coincidere con il cerchio (la figura geometrica con il numero infinito di lati e angoli), che complica in sé tutte le figure²⁰. Dunque, attraverso un processo di infinita approssimazione asintotica, si giunge alla quadratura del cerchio o, per meglio dire, a una sorta di circolazione del quadrato²¹.

Non possiamo sapere se e quanto Cusano potesse, se pur indirettamente, essere a conoscenza dei precedenti indiani del suo metodo (anche se è certo che il suo corrispondente Georg von Peurbach (1423–1461) conosceva il valore indiano di )²²; certamente a quel tempo la matematica dell’Occidente latino derivava dalla mediazione operata dalla cultura araba sui testi di scienza e di filosofia greche e, soprattutto nel campo della trigonometria, il sapere arabo era largamente debitore di quello indiano. Detto ciò, è probabile che il particolare metodo di archificazione attraverso poligoni isoperimetrici seguito da Cusano sia stato influenzato dai riferimenti presenti nella Geometria speculativa di Bradwardine e dal trattato di Zenodoro (vissuto forse alla fine fine del sec. II a. C.), Sulle figure isoperimetriche²³.

Non va neanche trascurata in proposito l’influenza che può avere esercitato su Cusano l’Ars magna di Lullo: oltre che ad aver potuto indirizzare Cusano verso il metodo degli isoperimetri, la matematica “empirica” di Lullo (presente nell’Ars magna e sviluppata nel De quadratura et triangulatura circuili e nel Liber de nova geometria)²⁴, pur costituendo un episodio del tutto insignificante sul piano propriamente scientifico, poteva avergli suggerito un approccio al problema della quadratura del cerchio che faceva leva sul presupposto che all’interno della realtà vi fosse il principio divino della sua strumentalizzazione e quindi della “manipolabilità” mentale delle strutture concettuali in funzione del conseguimento di una verità teologica²⁵.

Questo approccio, sostanzialmente diverso rispetto alla rigida impalcatura assiomatico–deduttiva della scienza greca, pur essendo meno rigoroso, doveva apparire più duttile e funzionale allo scopo che Cusano intendeva perseguire, ossia l’«adaequatio recti et curvae», perché permetteva di muovere, di «transmutare» le figure l’una nell’altra fino a farle coincidere all’interno di uno spazio mobile, concepito come luogo di grandezze tanto rettilinee quanto curvilinee, di rapporti sia razionali sia irrazionali.

In questo modo, attraverso la riproposizione del punto di vista banausico e non rigoroso dell’archificazione, il principio della coincidentia conferiva alla dimensione pratica della geometria una nuova rilevanza teorica.

3.3 Dimensione pratica e dimensione teorica della geometria

Dalla lettura degli Scripta mathematica emerge un dato di importanza capitale ai fini di un’analisi attenta della portata storica degli scritti matematici di Cusano. Le costruzioni cusaniane condotte secondo il procedimento dell’archificazione si configurano come tentativi di considerare nuovi punti di vista sul problema della quadratura del cerchio; emerge una nuova dimensione, quella della geometria pratica, in cui, nonostante la mancanza delle appropriate tecniche algebriche e geometriche che consentiranno nei secoli a venire lo sviluppo rigoroso di quei punti di vista, si esprimono una forza di immaginazione e una precisione di pensiero destinati a incidere non poco sulla problematica filosofico-scientifica dei tempi successivi.

Va anche sottolineato che, nei medesimi anni in cui si dedica agli scritti matematici, Cusano scrive il De staticis experimentis (1450), in cui propone un metodo empirico di quadratura del cerchio. Nel quarto dei dialoghi dell’Idiota, il rapporto approssimativo tra il cerchio e il quadrato viene calcolato sperimentalmente con l’uso della bilancia²⁶.

Per evidenziare la nuova prospettiva filosofica di Cusano, bisogna tenere presente, come ben sottolinea Luciana De Bernart²⁷, che, nella concezione della matematica del Medioevo – già presente in Boezio²⁸ e che Cusano eredita –, due sono gli aspetti predominanti: quello di derivazione “platonica” del suo rapporto con la teologia; e quello (apparentemente opposto) della sua applicabilità a problemi di misurazione, mentre scarsissimo era l’interesse per la matematica come struttura logica. Proprio questo secondo aspetto si era andato notevolmente sviluppando sia fuori che dentro le scuole nel XIII e XIV secolo, fino ad arrivare agli studi sulle proporzioni del movimento, sulle teorie di intensione (intensio) e remissione (remissio) delle forme, del minimo e del massimo proporzionale, temi che il cardinale mostra di conoscere bene nei suoi scritti²⁹, perché ampiamenti discussi nell’ambiente scientifico di Padova, in particolare da Biagio Pelacani e Prosdocimo. E se è vero che Cusano non parla mai di geometria pratica, né di geometria speculativa, è indubbio che conoscesse l’opera di Bradwardine e che da essa abbia tratto non pochi spunti³⁰.

Tuttavia, mentre nell’ambiente padovano queste teorie erano state sviluppate in senso strettamente matematico o nella philosophia naturalis, Cusano le elabora in direzione teologica, secondo una tradizione già inaugurata dalle scuole ispirate alle ultime dottrine di Duns Scoto, Ockham, Marsilius d’Inghen (ca.1340–1396). Cusano realizza un’inedita saldatura tra i due aspetti della riflessione medievale e conferisce una rilevanza teorica alle ricerche pratico–geometriche, che vengono ora a configurarsi come tentativi di “applicazione” al mondo sensibile della verità del superiore principio della coincidentia oppositorum.

Cusano opera dunque una sorta di inversione di rotta, anzi un vero e proprio rovesciamento, del tradizionale rapporto instaurato nel Medioevo tra geometria pratica e geometria speculativa: quest’ultima diventa ora non il mezzo, bensì il fine (e l’origine) della prima e la geometria, nella sua dimensione pratico–costruttiva, trova ora la sua legittimità in sede teorica, facendo uscire quest’ultima dai margini del modello assiomatico–costruttivo della geometria classica.

3.4 Lo spazio come luogo della mente

Un aspetto originale della dimensione concettuale entro cui si muove Cusano è l’idea di uno spazio “malleabile”, di una spazialità dotata di una fluidità intrinseca, che consente all’immaginazione di far tendere le determinazioni oppositive della ratio verso il punto metafisico (teologico) della loro coincidenza³¹.

Tale “fluidità” deriva dal fatto che, per Cusano, lo spazio geometrico è un prodotto della mente umana e, in quanto prodotto, può essere non solo misurato, ma anche, in qualche modo, manipolato. Se, infatti, è vero che lo spazio geometrico (mentale) e lo spazio fisico (reale) non corrispondono perché non derivano dallo stesso autore, è altrettanto vero che tanto l’autore (umano) dello spazio geometrico, quanto l’autore (divino) dello spazio fisico hanno la medesima potenza creatrice: questo di un infinito Uno assoluto, quello dei rapporti seriali, ossia di proporzioni continue attraverso cui le opposizioni dello spazio mentale tendono verso l’unità metrica³². Certamente, e Cusano lo dice espressamente nel De theologicis complementis, l’unità, nella quale gli opposti coincidono, è il fondamento originario ed è proprio perché pre–supposto che esso può fungere da punto di tendenza della serialità³³.

La natura costruttiva – quindi dinamica e seriale – delle relazioni geometriche stabilite dal cardinale riflette a sua volta la concezione cusaniana dello spazio come il luogo della mens nel quale si esplica l’attività di mensura.³⁴ L’intelletto solo, in quanto uno e indivisibile – concezione che egli eredita molto probabilmente da Biagio Pelacani³⁵ – è in grado di stabilire rapporti proporzionali atti a far coincidere gli opposti nell’unità originaria ossia nell’uguaglianza assoluta. Proprio perché è proportio o ratio aequalitatis,³⁶ ossia una unità uguale a se stessa, identità indivisibile, la mente può mensurare, ossia stabilire rapporti di proporzionalità continua verso l’unità, nella quale «non nisi aequalitas videtur»³⁷.

Come «il numero non dipende dalle cose numerate»³⁸, così le rappresentazioni/costruzioni non dipendono dalle figure rappresentate, bensì dall’attività dell’intelletto.

Il concetto chiave espresso nel De docta ignorantia per cui la transumptio ad infinitum è possibile grazie al processo “aggiuntivo” di infinitizzazione dello spazio geometrico attuato dalla mente umana, è ripreso nell’Idiota de mente, del 1450, opera scritta nello stesso periodo di composizione del De circuli quadratura, in cui Cusano scrive che «…mentem esse ex qua omnium rerum terminus et mensura»³⁹.

La mente umana, simile alla mente divina⁴⁰, è una forza essenzialmente creativa, progettuale, che produce “da sé” i contenuti – in se sempre congetturali – del suo sapere⁴¹. Tali contenuti, ossia le nozioni, i concetti e le operazioni con i quali la mente cerca di quadrare il cerchio, la mente li trae, li dispiega e li sviluppa a partire da se stessa perché ad essa pre–disposti, e, in quanto tali, assimilabili⁴².

Più che l’attitudine, comune a molti esponenti della tradizione neoplatonica da Proclo in poi, ad assumere gli enti e le relazioni matematici come espressioni simboliche di verità trascendenti il piano razionale⁴³, a rendere “moderno” il pensiero di Cusano è la centralità del dinamismo creatore dello spirito umano, con cui Cusano cerca – in qualche modo – di superare la sproporzione tra finito e infinito, facendo coincidere gli opposti⁴⁴.

Il problema matematico della quadratura del cerchio ha una natura paradossale perché illumina la mente della sua costitutiva opacità. La mente umana, confrontandosi con il problema della quadratura del cerchio, diventa consapevole che: 1. il suo ragionare è sempre oppositivo⁴⁵; 2. è essa stessa il principio d’unità di quelle opposizioni.

La ragione contraddice in un certo senso il proprio modus operandi: più tenta di elevarsi alla semplice unità in cui gli opposti non sono opposti, più diventa consapevole della sua impotenza e del suo legame necessario e imprescindibile con il mondo dell’alterità, trasportando così la divisione e l’opposizione dentro se stessa⁴⁶. Tuttavia, proprio perché ha il potere («posse») di far coincidere gli opposti, ossia di tendere all’aequalitas, la mente assomiglia a dio. Una somiglianza che certamente non concerne i suoi prodotti, inevitabilmente destinati alla propinquitas e alla impraecisio, ma la sua capacità di costruire strumenti e determinare procedimenti (proportiones continuae) adeguati a far coincidere ciò che alla ragione appare come incommensurabile (quadrato/cerchio; retto/curvo) attraverso la logica eminentemente ‘seriale’ di mediazione degli «opposti» geometrici.

La matematica, mostrando (alla ragione che la utilizza) l’impossibilità di pervenire all’absoluta praecisio, costituisce, per così dire, la condizione della possibilità di questa impossibilità; le ingegnose trasmutationes geometrices attraverso le quali Cusano cerca instancabilmente di giungere alla perfezione matematica, cioè alla quadratura del cerchio, dimostrano l’impossibilità di dimostrare la quadratura del cerchio perché l’aequalitas, nella quale gli opposti coincidono, è visibile solo trascendendo qualsiasi comparativa proportio: «cum inter illas quantitates adeo contraria forte non cadat numerabilis habitudo. Necesse erit igitur me recurrere ad visum intellectualem»⁴⁷.

3.5 Le fonti

Come abbiamo già evidenziato, le questioni relative alla quadratura del cerchio e alla rettificazione del cerchio non sono argomenti nuovi tra gli intellettuali del tempo: la maggior parte dei matematici del tempo s’interessa al metodo delle figure isoperimetriche⁴⁸, uno su tutti, Raimondo Lullo, il quale, nella Geometria Nova e, in particolare, nel De quadratura et triangulatura circuli⁴⁹, tenta di risolvere la questione della quadratura del cerchio.

Il discorso sulle fonti è molto ampio e qui ci limiteremo a fare brevi accenni su alcuni autori a cui Cusano si ispira per le sue riflessioni sulla matematica⁵⁰: da Anselmo d’Aosta (ca. 1033–1109) Cusano, come egli stesso afferma, desume l’esempio della rectitudo, ossia della linea retta, aenigma che ritrovava anche in Alberto Magno (ca. 1200–1280)⁵¹, come apprendiamo dal De beryllo; nel De sigillo aeternitatis del suo amico e maestro Eimerico da Campo⁵² (opera, posseduta dal Cusano e conservata ancora oggi nel Cod. Cus. foll. 106 s, 77^r), Cusano trova l’esempio del triangolo infinito come espressione del massimo e l’immagine del cerchio con il triangolo inscritto e i raggi che partono dal centro⁵³.

Sebbene non vi siano riferimenti espliciti negli Scritti matematici, sono molte le fonti che influenzano la filosofia matematica di Cusano, tra questi Plotino e Proclo, specie nella concezione generale della matematica come medium tra infinito e finito, e Boezio nell’idea della sproporzione tra finito e infinito, nonché dell’infinito potenziale del numero come modello per la ragione. Da Boezio Cusano riprende soprattutto la teoria delle mediazioni, delle proporzioni continue, che Cusano descrive in termini di medietas dupla, come i mezzi attraverso cui è possibile convergere tutte le disuguaglianze nel principio di uguaglianza da cui esse derivano. Ma, sebbene Boezio nelle Istitutiones arithmeticae⁵⁴ fornisca gli algoritmi per calcolare le incognite del rapporto, non sembra che Cusano ne tragga profitto. Cusano riprende solo l’idea che attraverso le proporzioni continue si può (ri)salire la scala dei numeri: egli non usa mai i numeri (solo un calcolo nella Quadratura circuli, che, tuttavia, non porta lontano) sia perché non aveva dimestichezza con i numeri, sia perché la quadratura del cerchio non avrebbe portato alla determinazione di un rapporto esprimibile attraverso i numeri interi.

Se gli autori appena citati, insieme a molti altri che qui non possiamo analizzare (tra questi, Dionigi, Alberto Magno e Master Eckart), possono essere considerati le fonti della filosofia della matematica di Cusano⁵⁵, diverso è il discorso da farsi circa le fonti strettamente scientifiche del pensiero cusaniano. È molto difficile stabilire con precisione la lista delle opere possedute e consultate dal cardinale. Dalle citazioni esplicite nelle sue opere, si nota che i riferimenti sono rari e riguardano i veteres e mai i matematici a lui contemporanei. Si trovano citazioni delle opere dei matematici greci, soprattutto Euclide (Elementi, VI, 9) e Archimede (La misura del cerchio e Le spirali), ma i riferimenti sono sempre standardizzati e sporadici: è come se fosse un passaggio dovuto all’interno di un’operazione di volgarizzazione della matematica antica piuttosto che il frutto di una lettura diretta delle opere originali. Così sembra che egli legga Euclide attraverso il già citato Commento di Proclo, il Commento agli Elementi di Euclide di Campano da Novara (Johannes Campanus) (1255–1259)⁵⁶ e la Geometria speculativa di Bradwardine⁵⁷, di cui era noto anche il Tractatus de proportionibus (1328)⁵⁸; e Archimede attraverso il De Arte mensurandi di Johannes de Muris (ca. 1290–ca. 1351)⁵⁹ o il De curvis superficiebus archimenidis di Johannes De Tinemue (vissuto agli inizi del XIII secolo). Tuttavia, è indubbio che Cusano vede Archimede come il punto di riferimento, il maestro che si intende superare; questi, infatti, all’interno delle opere matematiche, è molto più presente di Euclide, il quale sembra piuttosto un richiamo standardizzato.

L’impressionante inventario della biblioteca di Cusano conservata a Kues realizzato agli inizi del Novecento da Joseph Marx⁶⁰ è inevitabilmente incompleto e a volte impreciso: una delle difficoltà è che ciascun volume rilegato contiene più opere i cui titoli non sono facilmente reperibili. D’altra parte questa biblioteca è stata largamente ampliata dopo la morte del suo fondatore, ma manca ancora un indice dei testi e il fatto che lo stesso Marx non abbia rilevato alcun titolo di Archimede o Euclide o Plotino fa pensare che questa non fosse “La” biblioteca di Cusano. Delle fonti arabe si trova qualche titolo nell’inventario, ma niente indica che Cusano ne abbia preso visione. Non c’è nelle opere matematiche alcun riferimento esplicito agli arabi, e nemmeno ad Al-Khwarizmi (ca. 780–ca. 850), sebbene sia evidente l’influsso della tradizione araba nell’uso di una certa terminologia utilizzata da Cusano, nonché nell’uso del metodo di archificazione⁶¹. Non si trovano nemmeno testi in ebraico. Le fonti matematiche di Cusano sono esclusivamente latine. Tra queste si può annoverare il già citato Johannes de Muris, il quale amplia le conoscenze del Quadrivium attraverso vari scritti, tra cui il De arte Mensurandi, commentate a Padova da Prosdocimo di Beldomandi⁶². Come scrive Graziella Federici Vescovini, «Prosdocimo fu l’anello di congiunzione tra l’insegnamento di Biagio da Parma e Nicola Cusano»⁶³.

Certamente Biagio Pelacani, maestro di Prosdocimo, aveva lavorato molto in direzione di la teorizzazione di un’epistemologia di tipo matematico, secondo cui la verità ex suis terminis si basa sul concetto di precisio e scaturisce dalla nozione di ratio aequalitatis, e può essere colta solo dalle scienze matematiche.

Un’altra fonte è Nicola d’Oresme. Molti argomenti e figure utilizzate da Cusano nel De una recti curvique mensura e nella seconda parte del De mathematicis complementis presentano palesi affinità con il Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum del matematico francese. Tuttavia, la precipitazione con la quale Cusano redige la seconda parte dell’opera matematica più lunga e la densità dei riferimenti impliciti a Oresme suggeriscono una lettura rapida del Trattato di Oresme da parte di Cusano. Oltre a questi indizi, negli scritti dei 1453–1454 non si trovano ulteriori tracce di un’influenza del matematico francese⁶⁴.

3.6 Cusanus… geometra ridiculus? La recezione degli scritti matematici

Visti i numerosi e importanti legami di Cusano con i vari esponenti della cultura del tempo, è certo che i manoscritti matematici, composti tra il 1445 e il 1459, circolano da subito tra le persone con cui il cardinale può e sa di potersi confrontare riguardo a specifici argomenti, tra cui Toscanelli e Peurbach. Quando poi vengono pubblicati, gli scritti cusaniani si diffondono ancor più rapidamente, offrendo ai matematici del tempo un ricco materiale su cui riflettere. Il dibattito inizia ben presto visto che le due opere maggiori, il De mathematicis complementis del 1453–1454 e il De mathematica perfectione del 1458, sono pubblicate nell’edizione strasburghese delle opere di Cusano del 1488 e in quella milanese del 1502; a queste si aggiungono, nell’edizione parigina curata da Lefevre d’Étaples del 1514, il De geometricis transmutationibus e il De aritmeticis complementis (entrambi del 1445).

Nel 1533 viene pubblicato a Norimberga, ad opera di Johannes Schöner (1477–1547), un’opera (composta in realtà nel 1464) che segna la nascita della trigonometria moderna, ossia il De triangulis omnimodis di Regiomontanus, pseudonimo di Johannes Müller da Königsberg (1436–1476).

Schöner non si limita a stampare il testo. In appendice a esso pubblica alcuni scritti di Cusano sulla quadratura del cerchio e la rettificazione della curva, più precisamente il De circuli quadratura del 1450 (che, insieme al capitoletto che l’accompagna nell’edizione norimberghese col titolo De sinibus et cordis, costituisce un abbozzo successivamente sviluppato nel primo libro del De mathematicis complementis⁶⁵); il Dialogus de circuli quadratura, contenente una conversazione fra Toscanelli e il cardinale; una lettera di Toscanelli a Cusano che riporta una fondamentale obiezione al De mathematicis complementis e inopinatamente annessa da Schöner agli scritti di Cusano⁶⁶; il testo Declaratio rectilineationis curvae, rivolto a Peurbach con l’intenzione di chiarire alcuni punti sempre del De mathematicis complementis, e infine il De una recti curvique mensura, anch’esso da considerare come un lavoro preparatorio alla stesura del De mathematicis complementis⁶⁷.

Questi scritti erano stati inviati da Cusano al suo amico Georg von Peurbach e, attraverso questi, erano pervenuti all’allievo di Peurbach, appunto Regiomontano.

Schöner, rinvenendo tra le carte di Regiomontano questi scritti, decide non solo di pubblicarli, ma di farli seguire, a loro volta, da altri lavori sempre di Regiomontano dedicati all’esame e alla confutazione del procedimento utilizzato da Cusano nei suoi scritti.

Quest’edizione norimberghese è molto importante perché, pur comprendendo solo un’esigua parte dell’opera matematica cusaniana, dà conto del metodo di Cusano e documenta le obiezioni ad esso mosse da matematici specialisti come Toscanelli⁶⁸ e, soprattutto, Regiomontano. E tuttavia, questa edizione del 1533 non aggiunge molto alle informazioni che sul metodo cusaniano si potevano trarre dalle opere maggiori, in particolare dal De mathematicis complementis, opera rispetto a cui, come si è detto, gli scritti compresi nell’edizione norimberghese costituiscono per lo più dei lavori preparatori⁶⁹. Dunque, già prima di – e indipendentemente da – l’edizione del 1533, le due opere maggiori del cardinale sono presenti, circolano e fanno discutere i cultori della matematica degli ultimi anni del XV e della prima metà – e oltre – del XVI secolo⁷⁰.

Nel dialogo De quadratura circuli secundum Nicolaum Cusensem (composto nel 1464)⁷¹ Regiomontano definisce infondati i calcoli «lulliani» di Cusano, il novello geometra al quale «obbediscono le linee e i numeri»⁷², e definisce questi come un «geometra ridiculus Archimedisque aemulus»⁷³. Il mos geometricum delle argomentazioni di Cusano utilizzate nella quadratura del cerchio è refutato dal Regiomontano perché totalmente sprovvisto di rigore e di un’adeguata formalizzazione matematica.

Il giudizio severo di Regiomontano è mitigato da Gerolamo Cardano (1501–1576), il quale, nel suo Encomio della Geometria⁷⁴, pronunciato all’Accademia palatina di Milano nel 1535, tra i recentiores che si occupano di geometria, fa cenno a Cusano, il quale «disputò con tanta sottigliezza, che nulla si potrebbe escogitare di più acuto: tuttavia procedette in modo tale da mostrare non ciò verso cui tendeva, ma soltanto l’acume dell’ingegno, e le sue conclusioni furono per lo più false»⁷⁵. In effetti, a dispetto delle conclusioni trionfalistiche e malgrado l’ingegnosità di cui fornisce prova, tutti i tentativi di Cusano di quadrare il cerchio approdano a un fallimento. È lo stesso Cusano ad ammettere nel De mathematica perfectione l’impossibilità dell’impresa sul piano della matematica razionale e la necessità di servirsi della matematica intellettuale, capace di cogliere la coincidenza degli opposti nel minimum simplex⁷⁶.

E ha ragione Regiomontano, e prima di lui Toscanelli, a rinvenire nell’attrezzatura concettuale del cardinale un arsenale geometrico–matematico fatto di figure più o meno immaginariamente costruite, e non di espressioni algebriche corrette.

Tuttavia, il livello delle argomentazioni cusaniane è notevole, e di queste si può comprendere la portata solo a patto di rispettarne, per quanto possibile, il decorso logico, che, per la sua peculiare natura filosofica – e non soltanto per l’inadeguatezza delle tecniche di calcolo storicamente disponibili (all’epoca non esistono il simbolismo algebrico, il metodo analitico, il concetto di funzione, definizioni precise per la trigonometria) – si presenta irriducibile ai presupposti eminentemente formali su cui si fonda la possibilità di applicare l’algebra alla geometria⁷⁷.

Non bisogna dimenticare che l’intento che anima le indagini matematiche di Cusano è quello di mostrare la sorprendente potenza del principio della coincidenza e, da questo punto di vista, la quadratura del cerchio rappresenta ai suoi occhi un caso, il più “visibile”, di coincidentia oppositorum in atto⁷⁸. Ed è soprattutto per questo aspetto che Giordano Bruno, ne La cena delle ceneri del 1584, riconoscendo nel pensatore di Kues la fonte della propria ispirazione, appella Cusano come «divino»⁷⁹, nonché, nel quinto dialogo del De la causa, principio et Uno, come «inventor di piú bei secreti di geometria»⁸⁰.

Negli scritti matematici di Cusano emerge la chiara consapevolezza che la condizione metodologica di possibilità del darsi della coincidentia non può che risiedere in una diversa impostazione geometrica, in una dimensione dello spazio come il luogo della mens–mensura. Certamente la nuova filosofia della mente resta irretita entro una forma eminentemente teologica di intuizione teorica che, di fatto, non permetteva di padroneggiare «la potenza insita nella serialità che tale intuizione conteneva e a sintetizzare la rigidità delle determinazioni geometriche e la mobilità operativa della mens»⁸¹. E tuttavia, proprio quell’intuizione dinamica, per quanto deformata dalla poderosa immaginazione teorica del filosofo, sarà uno stimolo di notevole portata innovativa ai nuovi «Archimede» del Rinascimento⁸². Sussumendo l’intrinseco e concreto movimento dell’attività di misura all’interno della dialettica astratta della mens, le costruzioni di Cusano suggeriranno ai posteri molto di più di quanto non siano in grado di dimostrare⁸³.

Ora, se da un lato lo scritto di Regiomontano pone fra discorso filosofico e discorso matematico una barriera che sancisce l’esclusione dall’ambito della legittimità matematica, qualsiasi fattore immaginativo (che pure è indispensabile alla costruzione teorica)⁸⁴, dall’altro lato la pregnanza filosofico–concettuale dei tentativi cusaniani di quadratura del cerchio sollecitano lui e i matematici specialisti del tempo a una riflessione su nuove possibilità di sviluppo del discorso matematico, costringendoli, per così dire, a pensare nuovi approcci di tipo metrico–meccanico al problema dell’incommensurabile e nuove vie per pervenire all’aritmetizzazione della geometria⁸⁵.

Da questo punto di vista, Cusano può essere considerato un pensatore–limite che, con le sue innovazioni teoriche, anche in campo matematico, seppe, come sintetizza felicemente John Hopkins, «spalancare la porta della modernità senza però riuscire a oltrepassarne la soglia»⁸⁶.

Ancora, suggestionato dal principio lulliano di strumentalità del sapere, Cusano concepisce la mente umana in termini di «partecipazione» alla natura creativa della mente divina, il che si riflette sull’idea che la matematica non è solo theoria, bensì un modo per costruire i concetti necessari per comprendere il mondo, uno strumento operativo prodotto dalla mente dell’uomo per cogliere la struttura del mondo.

La stessa idea che gli oggetti matematici non esistono indipendentemente dall’intelletto umano, ma ne sono una creazione, è una concezione della matematica che sarà accettata pienamente nel mondo scientifico soltanto nel XIX sec, fermo restando che in Cusano tale creazione non è assoluta, bensì partecipativa o assimilativa dell’assoluto.

Nel De mathematicis complementis Cusano, dopo aver discusso l’opera con Toscanelli e Peurbach, propone un metodo di costruzione per approssimazioni successive del raggio di un cerchio di cui è nota la circonferenza⁸⁷. Dalla conoscenza delle relazioni tra gli elementi della serie matematica Cusano deduce le proprietà matematiche dei valori limite della serie in questione. Questa intuizione fondamentale porterà alle soglie di una nuova matematica dei limiti e rivestirà un indubbio valore, facendo da base teorica per la legittimazione del metodo numerico e della concezione dei rapporti fra grandezze in termini «funzionali», anche se l’assunto di Cusano sull’esistenza di una relazione tra raggio e superficie dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio è errata. Già Toscanelli gli indicherà l’errore in una lettera scritta nell’inverno del 1453–1454⁸⁸.

L’idea che il cerchio è un poligono con un numero infinito di lati sarà ripresa nella metà del Cinquecento dal monaco matematico Michael Stifel (ca. 1487–1567), il quale nell’Arithmetica integra del 1544 riprende anche l’idea cusaniana della connessione esistente tra progressioni aritmetiche e progressioni geometriche. La stessa idea ricompare nei Discorsi del 1638 di Galileo Galilei (1564–1642), il quale, peraltro, non fa alcuna menzione di Cusano⁸⁹. Tuttavia, molti elementi indicano che egli sia influenzato dalla sua opera, e ciò vale in particolare per il concetto di ‘non quantità’. Cusano difatti parla di un ‘non triangolo’, nel caso in cui in un triangolo l’ampiezza dell’angolo opposto alla base è progressivamente aumentata sino a 180°, in quanto in questo caso il triangolo si annulla trasformandosi in una retta. Le indagini di Cusano saranno riprese o usate in modo più o meno critico da molti autori del XVI sec. che si occuperanno del problema della quadratura del cerchio o del calcolo di π, tra i quali Oronce Finé (1494–1555) (1544), Jean Borrel o Buteus (1492–1572) (1559) e Cristophorus Clavius (1537–1612) (1604). Ludolph van Ceulen (1540–1610) sarà uno dei primi a valutare le idee di Cusano senza lasciarsi influenzare dalle critiche di Regiomontano, e ne darà un giudizio altamente positivo. Nel suo scritto Van den Circkel (1569), usando il metodo di Archimede dei poligoni inscritti e circoscritti a un cerchio, egli calcola il valore di π sino alla ventesima cifra decimale esatta, e successivamente sino alla trentacinquesima cifra esatta. Un giudizio critico su Cusano sarà espresso invece da Adrian van Roomen (1561–1615), un altro rappresentante della scuola matematica olandese tra il XVI e il XVII secolo. Nel suo scritto In Archimedis circuli dimensionem expositio et analysis (1597), oltre che criticare Cusano, egli respinge anche i calcoli errati di Oronce Finé (1494–1555), Giuseppe Giusto Scaligero (1540–1609) e Raymarus Ursus (1551–1600). Nel 1594, nella sua confutazione dell’errata quadratura del cerchio di Scaligero, François Viète (1540–1603), dimostrerà che nel De mathematica perfectione (1458) Cusano non fornisce una soluzione per approssimazione, bensì un limite superiore per tutte le soluzioni approssimate con l’ausilio di poligoni isoperimetrici: , dove  e  sono i raggi di una successione di poligoni regolari inscritti e circoscritti al cerchio, isoperimetrici a un cerchio di raggio r⁹⁰.

È inoltre evidente l’influenza che le sue riflessione eserciteranno su alcuni pensatori del Cinquecento, ad esempio sul cusaniano Charles De Bouelles (ca. 1475–ca. 1553), la cui Géométrie practique (edita e riedita dal 1546 ai primi del Settecento) godrà di notevole diffusione e apprezzamento fra i cultori della matematica della Francia della seconda metà del ’500⁹¹.

Anche la problematica sul concetto di minimo e di massimo, ampiamente utilizzato negli scritti matematici, influenzerà profondamente i pensatori successivi, tra cui Johannes Kepler (1571–1630), il quale, nel Mysterium Cosmographicum (1596), esprime la sua ammirazione per il cardinale, lo nomina come suo precursore e lo chiama con entusiasmo «Cusanus mihi divinus»⁹². Le stesse riflessioni cusaniane sul concetto di continuo, di indivisibile, di limite e illimitato, saranno certamente feconde per la formazione e lo sviluppo del concetto di infinitesimo⁹³. Anche nella legge di continuità formulata da Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646–1716) è sotteso il principio cusaniano della coincidenza⁹⁴.

In questa scia, nel 1747, Abraham Kästner (1719–1800), architetto tedesco e maestro di Carl Friedrich Gauss (1777–1855), debitore anch’egli delle intuizioni geometriche del cardinale⁹⁵, in Das Lob der Sternkunst⁹⁶ definisce Cusano, insieme a Copernico, come uno dei due «Wiederhersteller des wahren Weltgebäudes» e mostra come il cardinale, nelle sue considerazioni sull’infinito, arrivi a contemplare, senza tuttavia approfondire, il calcolo infinitesimale: «Er dachte an vergängliche Größen, nur er wußte nicht, wie diese Vorstellung benutzt werden würde»⁹⁷.

Moritz Cantor (1829–1920), primo professore di storia della matematica della Germania, nelle sue Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, dedica molto spazio a Cusano e fornisce un’esposizione chiara del metodo di quadratura esposto nel De mathematicis complementis, che ha il pregio di non limitarsi, come spesso è stato fatto dagli studiosi della matematica di Cusano, a tradurre in linguaggio algebrico moderno i risultati dell’argomentazione di Cusano, per verificarne su questa base i limiti di attendibilità, ma di cercare di seguire le fasi delle argomentazioni cusaniane⁹⁸.

Ancora, dalla metà del secolo scorso sono stati prodotti studi specifici sulle opere matematiche di Cusano, che, nonostante – e forse grazie a – gli inevitabili limiti dell’impostazione metodologica –, sottolineano l’importanza degli scritti matematici di Cusano nell’ambito dello sviluppo di quella forma mentis matematica tipicamente moderna che si è andata progressivamente affermando tra il XV e ei XVI secolo attraverso cunicoli spesso oscuri e inconsapevoli⁹⁹.

Note a piè pagina