6. Kapitel des 2. Teils

Capitulum sextum, in quo agitur de proportionum proportione, commensurabilitate earundem et incommensurabilitate

Pro specialiori notitia proportionis proportionum habenda sit.

Prima suppositio: commensurabilia sive in proportione rationali se habentia sunt illa, quorum idem est pars aliquota ut 4 et 2, pedale et bipedale. Unitas enim est pars aliquota et duorum et quatuor, et medietas pedalis est pars aliquota et pedalis et bipedalis. Haec est definitio commensurabilium in principio decimi elementorum Euclidis.

Secunda suppositio: illae proportiones dicuntur commensurabiles, quarum eadem proportio est pars aliquota. Patet ex priori.

Tertia suppositio: quando aliqua proportio componitur ex aliquot proportionibus adaequate, semper altera illarum est proportio, quae est alicuius termini intermedii ad minimum extremum, ut proportio quatuor ad duo componitur ex proportione 4 ad 3 et trium ad duo, quae est alicuius termini intermedii ad minimum extremum. Patet haec satis ex his, quae dicta sunt in quarto capite huius partis.

Quarta suppositio: quilibet numerus est multiplex ad unitatem. Patet ex his, quae dicta sunt in quarto capite. Et rursus, quia omnis numerus aut componitur ex duabus unitatibus, et sic est duplus ad unitatem, vel ex tribus, et sic est triplus, vel ex quatuor, et sic est quadruplus, et sic in infinitum. ¶ Ex hac sequitur:

Quinta suppositio: cuiuslibet proportionis multiplicis unitas est minimum extremum.

Sexta suppositio: nullus numerus est suprapartiens aut superparticularis aut multiplex suprapartiens aut multiplex superparticularis ad unitatem. Probatur, quoniam quilibet numerus adaequate est multiplex ad unitatem, ut patet ex quarta, igitur nullus est suprapartiens aut superparticularis aut multiplex et cetera ad unitatem.

His suppositis sit prima conclusio: nulla proportio multiplex est pars aliquota alicuius proportionis non multiplicis. Probatur, quoniam multiplex nullius proportionis superparticularis aut suprapartientis est pars, cum qualibet tali sit maior, nec etiam alicuius non multiplicis alterius, quia si sic, detur illa proportio et sit A, et multiplex pars aliquota eius sit B inter D et E terminos primos, et arguitur sic: B proportio multiplex est pars aliquota ipsius A, igitur A est proportio multiplex, quod est oppositum dati. Probatur consequentia, quia si B est pars aliquota ipsius A, sequitur, quod ipsa B proportio multiplex aliquoties | sumpta reddit et componit ipsam A proportionem, componat igitur C vicibus sumpta adaequate, et tunc capio proportionem B inter primos numeros eius sive terminos D, videlicet maiorem, et E minorem, et manifestum est, quod E est unitas, ut patet ex quinta suppositione, capio igitur tunc unum alium numerum, quae se habeat in proportione B ad ipsum D, qui sit F, et iterum unum alterum, qui se habeat in proportione B ad F, et sic C vicibus, et sit ultimus numerus sic sumptus G, et manifestum est, quod G ad E erit proportio composita ex B proprotione C vicibus adaequate, et illa proportio G ad E est multiplex, quia est inter G numerum et E unitatem. Consequentia patet ex quarta suppositione et sexta, et illa est A proportio per te, ergo A est [...] multiplex. Quod fuit probandum. Et sic patet conclusio. ¶ Ex qua sequitur, quod nulla proportio non multiplex est dupla, quadrupla aut aliqua alia de genere multiplici ad aliquam multiplicem.

Probatur facile ex conclusione, quia si sic, iam multiplex esset pars aliquota illius non multiplicis, ut constat, quod est contra conclusionem.

Secunda conclusio: nulla proportio multiplex est commensurabilis alicui proportioni superparticulari aut suprapartienti. Probatur, quoniam cuiuslibet proportionis multiplicis unitas est minimum extremum, igitur nulla proportio multiplex est commensurabilis alicui proportioni superparticulari aut suprapartienti. Antecedens patet ex quinta suppositione, et consequentia probatur, quia detur oppositum consequentis, et sit illa proportio superparticularis aut superpartiens B et multiplex et commensurabilis A, et sequitur, quod aliqua proportio est pars aliquota ipsius B et ipsius A, ut patet ex secunda suppositione, sit igitur illa proportio, quae est pars aliquota C, et arguitur sic: C est pars aliquota ipsius A, igitur A ex aliquot C proportionibus adaequate componitur.

Patet haec consequentia ex definitione partis aliquotae, et ultra ex aliquot proportionibus C adaequate componitur, ergo altera illarum C proportionum est alicuius termini intermedii ad minimum extremum ipsius proportionis A. Patet haec consequentia ex tertia suppositione. Et C non est proportio multiplex, ut constat, cum sit pars aliquota proportionis qualibet multiplice minoris, ergo sequitur, quod minimum extremum talis proportionis C non est unitas, et illud minimum extremum proportionis C est minimum extremum proportionis A, igitur illud minimum extremum proportionis A non est unitas, et A est multiplex per te, ergo non cuiuslibet multiplicis unitas est minimum extremum, quod est oppositum antecedentis consequentiae probandae et quintae suppositionis.

Tertia conclusio: nulla proportio multiplex est commensurabilis alicui multiplici superparticulari aut multiplici suprapartienti.

Probatur, quia si aliqua proportio multiplex sit commensurabilis alicui proportioni multiplici superparticulari aut suprapartienti, aliqua proportio esset pars aliquota utriusque, puta multiplicis et multiplicis superparticularis vel multiplicis suprapartientis, quae sit C, et arguo sic: C non est proportio multiplex, ut patet ex prima conclusione huius, nec est superparticularis aut suprapartiens, ut patet ex secunda, igitur erit multiplex superparticularis aut multiplex suprapartiens, sed hoc est falsum, igitur C non est pars aliquota proportionis

multiplicis vel multiplicis superparticularis vel multiplicis suprapartientis. Falsitas consequentis probatur, quoniam si C est pars aliquota multiplicis proportionis, capio talem proportionem multiplicem inter primos terminos eius, et arguo sic: C proportio multiplex superparticularis aut multiplex s[u]prapartiens est pars aliquota alicuius proportionis multiplicis, igitur ex aliquot C illa proportio multiplex componitur. Igitur ex consequenti sequitur, quod alicuius termini intermedii ad minimum extremum ipsius proportionis multiplicis, quod minimum externum est unitas est proportio C, ut patet ex tertia suppositione, et illa proportio C est multiplex superparticularis aut multiplex superperpartiens, igitur alicuius numeri ad unitatem est proportio multiplex suprapartiens aut multiplex superparticularis, quod est oppositum sextae suppositionis et per consequens falsum, et ex consequenti illud, ex quo sequitur, videlicet quod C est proportio multiplex superparticularis aut multiplex suprapartiens. Et sic patet conclusio.

Quarta conclusio: nulla proportio multiplex est commensurabilis alicui proportioni rationali, non multiplici. Probatur, quia nulla proportio multiplex est commensurabilis alicui superparticulari aut suprapartienti, ut patet ex secunda, nec alicui multiplici superparticulari aut multiplici suprapartienti, ut patet ex tertia, igitur nulla proportio multiplex commensurabilis est alicui proportioni rationali, non multiplici. Et sic patet conclusio.

Quinta conclusio: nulla proportio superparticularis est commensurabilis alicui proportioni superparticulari. Probatur supponendo, quod inter cuiuslibet proportionis superparticularis primos numeros nullus numerus mediat, ut visum est in prima parte, ubi agebatur de generatione proportionum superparticularium. Quo supposito arguitur sic: inter cuiuslibet proportionis superparticularis primos numeros nullus mediat numerus, igitur nulla talis ex aliquot intermediis proportionibus adaequate componitur. Patet consequentia, quia nulla est proportio intermedia, nisi sit numerus intermedius, et ultra ex nullis proportionibus componitur. Igitur nulla proportio est pars aliquota eius, et per consequens ipsa non est commensurabilis alicui proportioni superparticulari. Patet consequentia, quia alias aliquid esset pars aliquota utriusque. Et sic patet conclusio.

¶ Sed tu dices, quod haec probatio est inefficax, quoniam concedit, quod aliqua proportio ex nullis proportionibus componitur, quod est contra ea, quae dicta sunt capite quarto huius partis. Immo probatio nihil aliud probat, nisi quod ex nullis proportionibus aequalibus rationalibus componitur, quae sint partes aliquotae illius, cum hoc tamen stat, quod aliqua proportio irrationalis est pars aliquota duarum proportionum superparticularium, et sic erunt commensurabiles. ¶ Sed hoc non obstat, quia nulla proportio superparticularis componitur ex alia superparticulari et una irrationali, sicut nec aliquae rationalis componitur ex una rationali et altera irrationali adaequate, ut probant mathemathici. Igitur nulla superparticularis continet alteram superparticularem semel aut aliquoties et unam partem aliquotam eius, quae sit proportio irrationalis, quia tunc componeretur ex rationali et irrationali adaequate, nec aliqua superparticularis continet alteram semel | vel aliquoties et aliquot partes eius aliquotas, quae sint proportiones irrationales, quia tunc iam illae proportiones irrationales componerent unam rationalem, quia alias componeretur illa superparticularis ex rationali et irrationali, et si illae partes aliquotae faciant unam rationalem iam inter terminos illius proportionis superparticularis, reperientur aliquot proportiones rationales aequales, ut patet intuenti, quod tamen est falsum, cum non reperiantur inter primos numeros alicuius proportionis superparticularis.

Sexta conclusio: inter rationales tantum proportio multiplex commensuratur proportioni multiplici. Probatur, quia proportio multiplex est commensurabilis proportioni multiplici, ut patet de quadrupla respectu duplae, et inter rationales nulla non multiplex est commensurabilis alicui proportioni multiplici, ut patet ex quarta conclusione, igitur propositum. Consequentia patet ex dialectica.

Septima conclusio: omnes proportiones multiplices, quarum denominationes sunt de numero numerorum, sunt inter se commensurabiles. Hanc conclusionem ponit Nicolaus Horen sub forma dicta, sed pono eam sub alia forma clariori. Omnes proportiones multiplices procedentes semper secundum den[o]minationem primae illarum sunt commensurabiles, ita quod si prima illarum sit dupla, secunda immediate sequens sit etiam dupla et sic consequenter, tales sunt commensurabiles. Et ut paucis absolvam, omnes proportiones, quarum quaelibet immediate sequentes sunt eiusdem denominationis cum prima, sunt commensurabiles. Patet haec conclusio, quoniam omnes tales ita se habent, quod aliquid est pars aliquota utriusque, igitur. Et ad hoc videndum disponatur una series numerorum incipiendo ab unitate, semper duplando, et una alia semper triplando, et alia quadruplando, et alia quintuplando et sic in infinitum, et tunc dico, quod omnes proportiones primi ordinis sunt commensurabiles inter se, et quaelibet cuilibet alteri illius ordin[i]s. Et sic etiam dicendum est de proportionibus aliorum ordinum. Patet hoc in his figuris.

Et sic etiam constitues ordines multarum superparticularium et suprapartientium et cetera. Quod autem iste sunt commensurabiles, probatur, quoniam quaelibet illius ordinis est aequalis primae aut componitur ex aliquot aequalibus illi, igitur. ¶ Istae conclusiones dempta prima et sexta sunt Nicolai Horen, cum suis probationibus saltem virtutes probationum et fundamenta sunt ex ipso.

¶ Sed videntur mihi illae probationes inefficaces. Fundatur enim principaliter probatio secundae, tertiae et quartae in hac suppositione, cuiuslibet proportionis multiplicis unitas est minimum extremum. Modo illa suppositio falsa est, quoniam octo ad quatuor est proportio multiplex, tamen neutrum extremorum eius est unitas. Sed diceret Nicolaus Horen et bene, quod illa suppositio, et si non sit vera distribuendo pro singulis generum, est tamen vera distribuendo pro generibus singulorum, et in

tali sensu capitur, ut patet intuenti.

Sed contra, quia in tali sensu capiendo eam non concluditur propositum, sed solum concluditur, quod de qualibet specie proportionis multiplicis aliquod individuum eiusdem speciei non est commensurabile alicui superparticulari aut suprapartienti et cetera, et adhuc vix id potest haberi contra protervum. ¶ Sed diceret Nicolaus, quod satis ei est habere, quod una proportio dupla non est commensurabilis alicui proportioni non multiplici rationali, quoniam cum omnes duplae sint aequales, quicquid non est commensurabile uni certae, non est commensurabile alteri. Et certo credo, quod in hoc fundatur principaliter deductio illarum conclusionum, quarum fundamenta sumuntur ex Euclide septimo et octavo elementorum. Notum enim est, quod si aliquid est incommensurabile uni aequalium, etiam cuilibet erit incommensurabile, quoniam omnia aequalia ex aequalibus adaequate componuntur.

Sed contra diceret protervus, quia dabiles sunt duae proportiones aequales, et tamen aliqua proportio est pars unius, et nec illa nec aliqua aequalis ei est pars alterius, igitur non est inconveniens aliquas duas proportiones esse aequales et aliquid esse partem unius et nec illud nec tantum esse partem alterius, et per consequens pari ratione posset dici, quod, quamvis omnes duplae sint aequales, aliquid tamen est pars aliquota unius, quod non est pars aliquota alterius nec tantum, quemadmodum aliqua proportio est pars alicuius proportionis duplae, et tamen nec illa nec ei aequalia est pars alterius duplae. Probatur assumptum de his duabus duplis, quarum una est 8 ad 4, et altera 2 ad 1. Nam illa, quae est 8 ad 4, componitur ex proportione sesquialtera et sesquitertia, quae mediant inter sua extrema, illa vero, quae est duorum ad unum, ex nulla sesquialtera aut sesquitertia componitur, quoniam nullus numerus mediat inter extrema illius. Nec valet dicere, quod – quam[vi]s non mediat numerus – mediat tamen unitas cum fractione aliqua, et illud sufficit, quoniam unitatis cum dimidio ad unitatem est proportio sesquialtera. Quoniam iam tunc haberem, quod alicuius proportionis sesquialterae unitas est alterum extremum, quod ipse negare videtur. Et etiam habito illo iam destruitur totus modus procedendi et probandi illas conclusiones et etiam quintam. Fundatur enim probatio illius quintae conclusionis in hoc, quod inter nul[l]ius proportionis superparticularis primos numeros reperitur aliqua proportio rationalis, quae sit pars eius. Modo illud est falsum utendo fractione unitatis, inter 5 enim et 6 mediant 5 cum dimidio. Item esto, quod inter primos numeros proportionis superparticularis non mediat aliquis numerus, mediat tamen inter non primos, et diceret protervus, quod proportio superparticularis inter non primos numeros componitur ex aliquot rationalibus, quibus est commensurabilis, et tamen ipsa proportio inter primos numeros constituta non componitur ex talibus. Nec valet dicere, quod non est imaginabile, quod aliqua duo sint aequalia, et tamen aliquid sit pars aliquota unius, et nullum tantum sit pars aliquota alterius, quoniam diceret protervus illud non esse imaginabile in quantitatibus continuis, sed bene esse imaginabile in proportionibus, quoniam impossibile est dare duas quantitates continuas aequales, et quod aliquid sit pars unius sive aliquota sive non, et quod nullum tantum sit pars | alterius, et tamen illud datur in proportionibus. Duarum enim intelligentiarum ad unam intelligentiam est proportio dupla, quae non componitur ex sesquialtera et sesquitertia nec cum fractione nec sine, et tamen proportio dupla ei aequalis 4 ad duo componitur ex sesquialtera et sesquitertia, ut patet. ¶ Hic tamen tu adverte, quod hae conclusiones cum demonstrationibus suis dependent ex octava propositione octavi elementorum Euclidis, quae dependet ex 35. septimi et [ex] 14. et 18. et 21. septimi et tertia octavi. Et ideo difficilis est demonstratio harum conclusionum, quia ex multis dependent. Dicit tamen Euclides in propositione allegata, quod si inter aliquos numeros non primos alicuius proportionis reperiuntur aliqui numeri continuo proportionabiles, totidem inter primos numeros eiusdem proportionis reperiuntur. Et ideo tu ipse efficatiores demonstrationes inquire.

Octava conclusio: si fuerint tres termini continuo proportionabiles geometrice, erit proportio extremi ad extremum dupla ad utramque intermediam, et si fuerint 4, tripla, si 5, quadrupla et sic in infinitum, semper uno minus. Hoc est, si fuerint decem termini non erit proportio decupla extremi ad extremum, sed noncupla. Probatur, quoniam, si sunt tres termini continuo proportionabiles, reperientur ibi duae proportiones aequales, ex quibus adaequate componitur proportio extremi ad extremum, et si quatuor, tres, et si quinque, quatuor et sic consequenter. Modo omne compositum ex duobus aequalibus adaequate est duplum ad quodlibet illorum, et ex tribus triplum et sic consequenter, ut patet ex quinta suppositione quarti capitis huius partis, igitur conclusio vera. ¶ Et haec est decima definitio quinti elementorum Euclidis et quinta definitio secundi elementorum Iordani. ¶ Et adverte, quod quotienscumque allego Euclidem, semper utor nova traductione Bartholomei Zamberti.

Nona conclusio: nulla proportio rationalis habet subduplam rationalem, nisi habeat numerum medium proportionabilem inter sua extrema, et si non habet talem numerum, non habet subquadruplam proportionem rationalem nec suboctuplam nec subsexdecuplam et sic in infinitum procedendo per numeros pariter.

Probatur prima pars huius conclusionis, quia si non, detur oppositum videlicet, quod aliqua proportio habeat subduplam rationalem, quae non habet numerum medium proportionabilem inter sua extrema, et sit illa A, et arguo sic: A proportio habet proportionem subduplam rationalem, quae sit F gratia exempli, igitur A proportio componitur ex duplici F adaequate, et per consequens una illarum F erit maioris extremi ipsius A ad aliquem numerum intermedium, et altera eiusdem numeri intermedii ad aliud extremum minus eiusdem A proportionis, et per consequens ille numerus intermedius erit medio loco proportionabilis, ut patet ex definitione numeri medio loco proportionabilis, quod est oppositum dati. Iam probatur secunda pars, quoniam si inter terminos datae proportionis rationalis non fuerit numerus, qui sit medium proportionale, iam ibi non reperiuntur quinque numeri continuo proportionabiles geometrice, et si non sunt ibi quinque numeri continuo proportionabiles geometrice, iam extremi ad extremum non erit proportio quadrupla ad aliquam proportionem rationalem

intermediam, et per consequens iam non habet subquadruplam rationalem. Patet haec consequentia, quia ex opposito sequitur oppositum, ut patet ex decima definitione quinti elementorum Euclidis. Iam probo priorem consequentiam videlicet, quod si inter terminos datae proportionis non fuerit numerus, qui sit medium proportionabile, non reperiuntur ibi 5 numeri continuo proportionabiles. Quae probatur sic, quia ex opposito consequentis sequitur oppositum antecedentis, quia si sunt ibi quinque numeri continuo proportionabiles, iam ibi tertius numerus est medio loco proportionabilis, quia primi ad ipsum est ea proportio, quae est ipsius ad quintum, ut constat, quia ex aequalibus componuntur illae proportiones adaequate. Et sic probabis alias partes. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod si inter terminos alicuius proportionis fuerit numerus, qui sit medium proportionabile, ipsa habet subduplam rationalem, et si ipsius numeri medii proportio ad aliud extremum minus datae proportionis haberit numerum, qui sit medium proportionabile, tunc tota proportio habet subquadruplam rationalem, et si iterum illius numeri medii proportio ad minus extremum datae proportionis habuerit numerum, qui sit medium proportionabile, iam data proportio habebit suboctuplam rationalem et sic in infinitum. Patet hoc correlarium ex conclusione et eius probatione auxiliantibus correlariis sextae conclusionis secundi capitis.

Decima conclusio notanda: proposita quavis proportione rationali an habeat subduplam rationalem investigare ut proposita dupla aut tripla, volo investigare et scire ex praedictis, an habeat subduplam rationalem. Sit proposita proportio rationalis F inter A numerum maiorem et B numerum minorem, et volo investigare, utrum F proportio habeat subduplam rationalem, tunc ducam maiorem numerum in minorem, hoc est, multiplicabo A per B, et si numerus inde proveniens fuerit quadratus, dico, quod habet subduplam rationalem, sin minus, non habet subduplam rationalem. Probatur prima pars videlicet, quod si numerus, qui fit ex ductu ipsius A in B, sit quadratus, tunc habet subduplam rationalem, quia sit talis numerus est quadratus, tunc inter A et B est medius numerus proportionabilis, ut patet ex quarto correlario sextae conclusionis secundi capitis huius partis, et si sit numerus, qui sit medium proportionabile inter A et B, sequitur, quod illa proportio habet subduplam rationalem. Patet consequentia ex correlario praecedentis. Iam probatur secunda pars, quia si numerus, qui fit ex ductu A in B, non sit quadratus, iam inter A et B non est numerus, qui est medio loco proportionabilis, ut patet ex secundo correlario sextae conclusionis secundi capitis huius, et si non est numerus, qui est medio loco proportionabilis inter A et B, iam ille non habet subduplam rationalem, ut patet ex conclusione nona huius.

Patet igitur conclusio. ¶ Ex hac sequitur, quod dupla non habet subduplam rationalem, nec tripla, nec octupla, nec aliqua superparticularis. Probatur, quoniam ducendo quatuor per duo resultat numerus octonarius, qui non est quadratus, ut constat, et ducendo 6 per duo resultat numerus duodenarius, qui etiam non est quadratus, et ducendo 16 per duo consurgit numerus 32, qui non est quadratus, ut apparet intelligenti. Item ducendo 3 per duo producuntur 6, qui non sunt numerus quadratus, et sic probabis de qualibet alia proportione | superparticulari. ¶ Sequitur secundo, quod proposita, qua volueris, proportione rationali investigare poterimus, utrum habeat subquadruplam rationalem, suboctuplam, subsexdecuplam et sic in infinitum procedendo per numeros pariter pares, ut proposita proportione sexdecupla volo investigare, utrum habeat subquadruplam rationalem, suboctuplam, subsexdecuplam et sic in infinitum. Ad quod investigandum sive sciendum sit F proportio inter A maiorem numerum et B minorem, tunc aut inter A et B est numerus, qui sit medium proportionabile aut non. Si non, iam sequitur, quod non habet subquadruplam rationalem, nec suboctuplam et cetera, ut patet ex nona conclu[]sione, si sic, signetur ille et sit H, et tunc videndum est, an numerus, qui fit ex ductu H in B, sit quadratus, et si sic iam talis proportio F, quae est inter A et B, habet subquadruplam, si vero talis numerus non sit quadratus, dico, quod talis proportio non habet subquadruplam rationalem. Primum istorum probatur: quia si talis numerus, qui fit ex ductu H in B, sit quadratus, iam inter H et B est numerus medio loco proportionabilis, qui sit K, ut patet ex quarto correlario praeallegato sextae conclusionis secundi capitis huius, et ex consequenti iam proportio H ad B, quae est subdupla ad proportionem F, habet subduplam proportionem rationalem, ut patet ex correlario nonae conclusionis, et si habet subduplam, iam proportio F habet subquadruplam, quia omne subduplum subdupli est subquadruplum dupli, ut patet ex secundo correlario quartae conclusionis quarti capitis huius, quod erat ostendendum. Iam probatur secundum, quia si numerus, qui fit ex ductu H in B, non sit quadratus, iam proportio, quae est inter H et B, non habet numerum medio loco proportionabilem, ut patet ex secundo correlario sextae conclusionis praeallegatae, et si non habet medium numerum proportionabilem, iam non habet subduplam rationalem, et sic eius medietas non est proportio rationalis, et eius medietas est subquadruplum proportionis F, quae est A ad B, ut constat, igitur proportio subquadrupla ad F non est rationalis, quod fuit ostendendum. Aliae particulae correlarii similem demonstrationem sortiuntur. Si enim non inveniatur rationalis subquadrupla, nec suboctuplam rationalem invenies. Si vero subquadrupla reperta fuerit rationalis, considera, an ex ductu unius extremitalis subquadrupli in alterum resultat numerus quadratus, et si sic, concludas datam proportionem habere suboctuplam rationalem, quia sua quarta habet subduplam rationalem, sin minus, concludas eam non habere talem suboctuplam rationalem. Et sic in aliis operaberis. ¶ Sequitur tertio, quod signata quavis proportione rationali investigare et scire poterimus, an habeat sesquialteram rationalem, sesquiquartam, sesquioctavam, sesquisexdecimam, sesquitrigesimam secundam, sesquitrigesimam quartam et sic in infinitum procedendo per species proportionis superparticularis denominatas a partibus aliquotis, quae partes aliquotae a numeris pariter paribus denominantur, ut proposita proportione quadrupla volo investigare et scire, an ipsa habeat sesquialteram rationalem, tunc videbo, an habeat medietatem rationalem per doctrinam decimae conclusionis huius, et tunc – si habeat medietatem rationalem – manifestum est, quod habet sesquialteram rationalem, quia non oportet ad dandam sesquialteram ipsius quadruplae aliud quam addere ipsi quadruplae suam medietatem, puta duplam, quia

aggregatum ex aliquo et medietate eius est sesquialterum ad illud, ut constat ex definitione sesquialteri. Et isto modo invenitur octuplam esse sesquialteram ad quadruplam. Si vero investigare et scire velis, an quadrupla habeat sesquiquartam, scias primo per doctrinam secundi correlarii, an ipsa proportio quadrupla habeat subquadruplam rationalem, et si sic concludas, quod habet sesquiquartam rationalem, quoniam reperta quarta ipsius quadruplae ad dandam sesquiquartam ad ipsam quadruplam nihil aliud oportet quam addere ipsi quadruplae suam quartam, et tunc aggregatum ex ipsa quadrupla et sua quarta rationali se habet ad ipsam quadrumplam in proportione sesquiquarta. Continet enim illud aggregatum ipsam quadruplam et unam quartam eius adaequate. Et isto modo invenitur trigecuplam secundam esse sesquiquartam ad sexdecuplam. Et isto modo in qualibet proportione rationali investigare poteris, an habeat sesquioctavam, sesquisexdecimam et sic consequenter rationales. Et sic patet correlarium. ¶ Ex quo sequitur quarto, quod si aliqua proportio rationalis non habet subduplam rationalem, ipsa non habet sesquialteram rationalem nec sesquiquartam nec sesquioctavam nec sesquisexdecimam et sic consequenter. Probatur, quia si talis proportio non habeat subduplam rationalem, sequitur, quod non habet numerum, qui sit medium proportionale inter sua extrema, et si non habet numerum medium et cetera, sequitur, [...] quod non habet subquadruplam nec suboctuplam nec subsexdecuplam rationalem et sic in infinitum ascendendo per numeros pariter pares, ut patet ex nona conclusione huius, et si non habet subduplam nec subquadruplam nec suboctuplam rationales et sic consequenter, iam manifestum est, quod non habet sexquialteram rationalem nec sexquiquartam nec sexquioctavam et sic sine fine, ut patet ex probatione praecedentis correlarii. Et sic, si data proportio rationalis non habet subduplam rationalem, ipsa non habet sexquialteram rationalem nec sexquiquartam nec sexquioctavam et cetera. Quod fuit probandum. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur quinto, quod si aliqua proportio proposita non habuerit subduplam rationalem, ipsa non habebit duplam sesquialteram rationalem nec duplam sesquiquartam nec suprapartientem quartas nec aliquam suprapartientem denominatam ab unitate et partibus aliquotis denominatis a numero pariter pari nec aliquam multiplicem superparticularem aut multiplicem suprapartientem denominatam a numero et a parte vel partibus aliquotis, quae denominantur a numeris pariter paribus. Patet hoc correlarium facile, quia si data proportio non habuerit subduplam rationalem, iam non habet illas partes aliquotas rationales denominatas a numeris pariter paribus, ut patet ex quarto correlario, et si non habet illas partes aliquotas, quae sunt proportiones rationales, iam non habet illas proportiones rationales denominatas ab illis partibus, ut constat. ¶ Ex quo sequitur sexto, quod nec tripla nec dupla habent proportionem sesquialteram, sesquiquartam, sesquioctavam, duplam supratripartientem quartas rationalem et sic de multis aliis. Patet, quia neutra illarum habet subduplam rationalem, ut patet ex primo correlario, igitur neutra illarum habet sexquialteram sexquiquartam et cetera, ut patet ex immediate praecedenti. Inferas tu similia correlaria particularia ex dictis. |

Undecima conclusio: nulla proportio rationalis se habet in aliqua proportione multiplici ad aliquam rationalem, nisi inter primos numeros eius reperiantur tot numeri continuo proportionabiles computatis etiam extremis uno plus adaequate, quotus est numerus, a quo denominatur data proportio multiplex. Exemplum: ut si velis investigare et scire, utrum proportio quadrupla se habeat in proportione dupla ad aliquam proportionem rationalem, considera primum, a quo numero denominatur proportio dupla, et invenies, quod a binario iuxta doctrinam primi correlarii secundae suppositionis quarti capitis huius, tunc capias primos numeros eius, qui sunt 4 et 1, et vide, si invenias ibi tres numeros continuo proportionabiles eadem proportione computatis extremis, et si sic, dico, quod proportio quadrupla se habet in proportione dupla ad aliquam rationalem. Si enim ibi sunt tres numeri continuo proportionabiles computatis extremis, iam illa proportio quadrupla, quae est extremi ad extremum, est dupla ad utramque inter[me]diarum, ut patet ex octava conclusione, et si velis scire, an quadrupla sit tripla ad aliquam proportionem rationalem, quia tripla denominatur a numero ternario, videas, utrum inter primos numeros proportionis quadruplae reperiantur tres numeri uno plus, puta quatuor continuo proportionabiles aliqua proportione, et si sic, tunc quadrupla se habet in proportione tripla ad aliquam proportionem rationalem, puta ad quamlibet illarum constitutarum inter aliquos ex illis numeris continuo proportionabilibus et immediatis, et quia tu non invenies inter primos numeros proportionis quadruplae quatuor numeros continuo proportionabiles computatis extremis, concludas, quod quadrupla non habet subtriplam rationalem. Probatur haec conclusio, quia si data proportio rationalis, quae sit A, se habeat in aliqua proportione multiplici ad aliquam proportionem rationalem, quae sit B, sequitur, quod A aliquoties continet B adaequate, et sic B erit pars aliquota ipsius A denominata a numero, a quo denominatur proportio multiplex, in qua A se habet ad B, ut puta si A se habet ad B in proportione quadrupla, erit B una quarta ipsius A, et sic erit B pars aliquota denominata a numero quaternario, a quo denominatur proportio illa multiplex, puta quadrupla, in qua A se habet ad B, et si sic, iam necesse est, quod B reperiatur inter aliquos numeros ipsius A toties, quoties est numerus, a quo denominatur talis proportio multiplex, in qua A se habet ad B, et si sic, iam inter terminos ipsius A computatis extremis reperientur tot numeri, quotus est ille numerus, a quo denominatur data proportio multiplex, in qua A se habet ad B, uno plus, quoniam semper termini sive numeri continuo proportionabiles sunt uno plures proportionibus inter ipsos ad inventis, ut patet ex octava conclusione huius, et ex consequenti si non fuerint reperti tot numeri continuo proportionabiles inter aliquos numeros ipsius proportionis A, quotus est numerus, a quo denominatur proportio multiplex, in qua ponitur A se habere ad B, dico, quod tunc B non est proportio rationalis, nec A se habet in tali proportione multiplici ad aliquam proportionem rationalem. Probatur haec consequentia, quia si se haberet ad B proportionem rationalem in tali proportione multiplici, iam aliquoties componeretur ex ipsa B proportione rationali, et per consequens aliquoties reperiretur B inter numeros eius, puta toties, quotus est numerus, a quo denominat[u]r

data proportio multiplex, et si sic, iam inter terminos eius computatis extremis reperirentur tot numeri continuo proportionabiles, quotus est numerus, a quo denominatur dicta proportio multiplex, puta quoties A continet B uno plus. Igitur ex opposito, si non reperiantur tot numeri computatis extremis, iam A non se habet in tali proportione multiplici ad B proportionem rationalem.

¶ Utrum autem inter aliquos numeros datae proportionis A reperiantur tot numeri continuo proportionabiles computatis extremis uno plus, quotus est numerus, a quo denominatur proportio multiplex, in qua ponitur A se habere ad B, videndum est, utrum inter primos numeros eius inveniantur tot numeri continuo proportionabiles, et si sic, concludas, quod inter numeros ipsius A reperiuntur tot numeri continuo proportionabiles, et si non inveniantur tot inter primos numeros datae proportionis, dicas, quod inter nullos numeros eius reperiuntur tot numeri continuo proportinoabiles computatis extremis. Patet haec consequentia, et deductio tota ex octava propositione octavi elementorum Euclidis, in qua habetur, quod si inter duos numeros ceciderint aliqui numeri continuo proportionabiles, inter quoscunque duos in eadem proportione se habentes cadent tot numeri continuo proportionabiles eadem proportione, qua proportiona[n]tur alii. Ex qua immediate infertur, quod si inter duos numeros se habentes in proportio A ceciderint aliqui numeri continuo proportionabiles proportione, quae est una tertia aut una quarta aut una quinta ipsius A, inter primos numeros ipsius A tot numeri cadent proportionabiles eadem proportione, quae sit tertia aut quarta aut quinta ipsius A, igitur ex opposito consequentis: si inter primos numeros A proportionis non reperiantur aliqui numeri continuo proportionabiles proportione, quae est una tertia, una quarta, quinta ipsius A et C, nec inter aliquos numeros ipsius A reperientur, quod fuit ostendendum, Et sic patet conclusio. ¶ Ex quo sequitur primo, quod proportio dupla ad nullam proportionem rationalem se habet in proportione dupla aut tripla aut quadrupla aut in aliqua alia multiplici, nec quintupla nec sextupla et cetera. Probatur, quia inter primos numeros proportionis duplae nullus numerus reperitur, (computamus enim unitatem pro numero), item inter primos numeros proportionis quintuplae, qui sunt 5 et 1, non reperiuntur aliqui numeri continuo proportionabiles adaequate computatis extremis, ut constat. Et sic patet etiam de sextupla. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur secundo, quod nulla proportio superparticularis se habet in aliqua proportione multiplici ad aliquam proportionem rationalem. Patet, quia inter cuiuslibet superparticularis primos terminos nullus reperitur numerus, igitur. ¶ Sequitur tertio, quod proposita quavis proportione rationali investigare possumus, an habeat aliquam proportionem rationalem, quae se habeat ad ipsam in proportione sesquialtera, sesquitertia, sesquiquarta et cetera, ut proposita proportione dupla videre, an sit aliqua proportio rationalis, quae se habeat ad ipsam duplam in proportione sesquialtera, sesquitertia aut in aliqua alia superparticulari. Ad quod investigandum et sciendum videndum est, an inter primos numeros proportio[n]is duplae aut cuiusvis alterius rationalis sint tres numeri continuo proportionabiles computatis extremis, et si sic, talis proportio habet medietatem rationalem et per consequens sesquialteram | rationalem ad ipsam. Addendo enim et medietatem sui constituetur sesquialtera rationalis ad ipsam. Et si inter primos numeros eius computatis extremis inveniantur quatuor numeri continuo proportionabiles, ipsa habebit tertiam rationalem et per consequens sesquitertiam rationalem ad seipsam, et si reperiuntur 5 numeri continuo proportionabiles computatis extremis, ipsa habebit quartam rationalem et per consequens sesquiquartam rationalem et sic consequenter. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur quarto, quod proposita quavis proportione rationali inquirere et scire poterimus, an habeat aliquam suprapartientem, multiplicem superparticularem vel multiplicem suprapartientem rationales, ut proposita proportione octupla investigare poterimus et scire ex dictis, an habeat suprabipartientem tertias, supra[tri]partientem quartas rationales et cetera. Ad quod sciendum et investigandum considerandum est, an data proportio rationalis habeat illam partem aliquotam rationalem, hoc est, an aliqua proportio rationalis sit tota pars aliquota eius, quota est illa, a qua denominatur dicta proportio suprapartiens a[u]t multiplex superparticularis aut multiplex suprapartiens, quod investigari et sciri debet ex undecima conclusione, et si re[]perias, quod habet proportionem aliquam rationalem, quae sit talis pars aliquota eius, tunc manifestum est, quod habet proportionem rationalem, quae denominatur a tali parte aliquota vel talibus partibus aliquotis (quod dico propter suprapartientes), si vero non, tunc manifestum est illam proportionem rationalem propositam non habere proportionem rationalem denominatam a tali parte aliquota vel talibus partibus. Probatur hoc demonstratione particulari, quae aequivalebit universali. Data enim proportione sexdecupla volo investigare et scire, an habeat proportionem supratripartientem quartas, ad quod investigandum considerabo ex doctrina undecimae conclusionis, an talis proportio sexdecupla habeat subquadruplam rationalem, quae sit una quarta eius et invento, quod sic eo, quod inter terminos eius computatis extremis inveniuntur quinque numeri continuo proportionabiles proportione dupla, asseverabo constanter illam proportionem habere proportionem rationalem supertripartientem quartas et multiplicem sexquiquartam et multiplicem supratripartientem quartas rationales. Quod sic monstratur: nam si supra illam proportionem sexdecuplam, quae est 16 ad 1, addantur tres proportiones duplae, tunc aggregatum ex sexdecupla et illis tribus duplis super additis, qualis est proportio 128 ad 1, se habebit ad proportionem sexdecuplam in proportione supratripartiente quartas. Continet enim sexdecuplam et tres quartas eius. Item triplando illam proportionem sexdecuplam et addendo unam sui quartam habebis proportionem triplam sexquiquartam ad sexdecuplam, et addendo ei duas quartas habebis triplam sexquialteram, et addendo super illam triplatam 3 quartas habebis triplam supratripartientem quartas rationalem ad sexdecuplam. Omnia ista patet ex definitionibus suprapartientis, multiplicis superparticularis aut multiplicis suprapartientis. Hoc addito, quod cuilibet proportioni rationali addi potest quaevis alia rationalis aggregato ex ipsis manente rationali proportione. Ex quibusc[u]mque enim rationalibus et quotcumque rationalis componitur, quia alias in

numeris reperirentur irrationales proportiones, ut satis constat intelligenti. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur quinto, quod proposita quavis proportione rationali non difficile est investigare et scire, an habeat proportionem rationalem submultiplicem, an aliquam aliam rationalem minoris inaequalitatis, ut proposita proportione dupla investigare et scire poterimus, an habeat subduplam, subtriplam, subquadruplam rationalem et cetera necne considerando primum ex doctrina undecimae conclusionis, an habeat medietatem, tertiam, quartam, quintam rationales et comperientes, quod non, dicemus ipsam non habere subtriplam, subquadruplam et cetera rationales. Et eadem ratione dicemus ipsam non habere subsesquitertiam rationalem, quia non habet proportionem compositam ex tribus quartis eius rationalibus, nec subsesquialteram rationalem, quia non habet proportionem compositam ex duabus tertiis eius rationalibus. Et sic in omnibus aliis dices.

Demonstratio huius correlarii innititur huic basi et fundamento, quod nunquam aliqua proportio rationalis componitur adaequate ex una rationali et una irrationali. Applica tu demonstrationem. Isto modo inquirere debes, an habet subsuprapartientem rationalem aut submultiplicem subsuprapartientem rationalem aut submultiplicem, subsuperparticularem investigando et inquirendo ex conclusione undecima, an talis proportio rationalis proposita habeat partem aliquotam rationalem vel partes, a qua vel a quibus denominatur dicta proportio minoris inaequalitatis, et si sic, ascribenda est ei talis proportio minoris inaequalitatis rationalis, sin minus, asserendum est ipsam non habere talem proportionem minoris inaequalitatis rationalem. Patet igitur correlarium. Profundius enim velle illud demonstrare est ipsum tenebris involvere. ¶ Sequitur sexto per modum epilo[g]i omnium eorum, quae praesenti capite digesta sunt, quod quavis proportione rationali proposita scire poterimus, an habeat aliquam proportionem rationalem maioris inaequalitatis ad seipsam et minoris inaequalitatis, et quas habeat, et quas non. Et hoc caput diligenter considera, quoniam ex eo pendet ferme universalis huius materiae inquisitio, et suprema eius difficultas. ¶ His adde, quod doctrina huius capitis habita, proposita aliqua certa velocitate proveniente ab aliqua proportione rationali nota, iudicare poteris de quacumque alia velocitate a quavis alia proportione proveniente, commensurabiles sint necne. Item proposita quavis velocitate proveniente ab aliqua proportione rationali nota scire de quacumque alia velocitate datae velocitati commensurabili, a qua proportione proveniat, rationali videlicet vel irrationali, quo ex his scito et sequentibus particularius scire poteris, ex qua rationali vel irrationali proveniat specifice.