Capitulum septimum, in quo agitur de proportione ordinum partium | proportionalium interscalariter se habentium
Occurrit nonnumquam in mateteria de motu locali quo ad effectum et motu augmentationis comparatio alicuius ordinis aliquarum partium proportionalium interscalariter se habentium ad alium ordinem partium proportionalium, ut cum volumus comparare totum ordinem partium imparium toti ordini partium parium, ut iam ex parte tangebatur in praecedenti capite, ideo non abs re pro notitia huius pono aliquas conclusiones.
Prima conclusio: diviso corpore per partes proportionales quavis proportione et captis certis ordinibus partium proportionalium interscalariter se habentium totumque corpus absolventibus tunc illi ordines se habent continuo in proportione divisionis, ut si corpus dividatur proportione dupla, et capiantur omnes partes, inter quas mediant duae, pro primo ordine, puta prima, quarta, septima, decima, tridecima et cetera, et deinde pro secundo ordine secunda, quinta, octava, undecima, decima quarta et sic consequenter, et demum pro tertio ordine capiantur tertia, sexta, nona, duodecima, quindecima et sic deinceps. Dico, quod primus ordo se habet ad secundum in proportione dupla, et etiam secundus ad tertium in proportione dupla.
Et esto, quod centum ordines caperes, illi etiam in proportione dupla continuo se haberent. Patet hoc, quoniam cuiuslibet illorum ordinum continuo partes correspondentes se habent in eadem proportione, igitur in quacumque proportione se habent continuo primae partes illorum ordinum, in eadem proportione continuo se habent ille ordines, sed primae partes se habent in proportione divisionis, ut constat, igitur et illi ordines. Probatur tamen consequentia per hanc regulam: qua[n]documque aliqua dividuntur aequali proportione, in quacumque proportione se habent primae partes proportionales, in eadem proportione se habent, et ipsa tota, quoniam sunt partes aliquotae eiusdem denominationis. Modo in quacumque proportione se habent partes aliquote eiusdem denominationis, in eadem se habent, et ipsa tota, quorum sunt partes aliquotae, ut postea demonstrabitur. Igitur.
Secunda conclusio per modum documenti posita: ad sciendum, quota pars vel quotae partes aliquotae est quilibet illorum ordinum, videndum est, quot sint ordines, et tunc constituantur in numeris tot proportiones divisionis, quot sunt illi ordinis dempta una, et coadunentur omnes termini illarum proportionum, et dividatur totum in tot partes aliquotas, quotus est numerus resultans, et dentur primo ordini tot ex illis partib[u]s, q[u]otus est maximus numerus in illis proportionibus, et secundo ordini tot, quotus est secundus numerus, et sic consequenter. Et sic videbis, quot partes aliquotas et cuius denominationis continet primus ordo et secundus et tertius et sic consequenter. Exemplum, ut si pedale fuerit divisum in partes proportionales proportione dupla, constituanturque tres ordines, ut paulo ante exemplo expressimus, quia ibi tres sunt ordines constituti, et proportio divisionis est dupla, constituas in numeris duas proportiones
Abb. 1: Faksimile der Seite 15
duplas, puta quattuor ad duo, et duo ad unum, tunc coacerva illos numeros, puta quaternarium, binarum et unitatem, et invenies 7. Dividas igitur corpus in septem septimas, et pro primo ordine capias quattuor septimas et pro secundo duas septimas et pro ultimo unam septimam, et sic comperies, quot partes aliquotas continet quilibet illorum ordinum. Et isto modo in qualibet proportione operaberis facile autem hoc demonstratur ex prima conclusione, quoniam sicut illi tres ordines continuo se habent in proportione dupla, et sunt partes illius corporis, ita op[o]rtet capere partes continuo se habentes in proportione dupla totum corpus absolventes eo, quod operati sumus artificio.
Tertia conclusio: alicuius continui partes aliquota[e] proportionem aliquam rationalem acquirente proportionem acquisitam toti invenire ut divisio corpore in quinque partes aliquotas, putas in 5 quintas, una illarum quintarum acquirente proportionem duplam, invenire, quantam proportionem totum illud corpus proportionem acquirat. In illo enim casu illud corpus proportionem sesquiquintam acquirit, cum acquirat supra se unam quintam, hoc est tantum, quanta est una eius quinta[e]. Probatur haec conclusio, et dividatur A pedale in aliquot partes aliquotas, gratia exempli in 7, et acquirat una illarum aliquam proportionem rationalem, tunc vel illa proportio acquisita alicui illarum partium est multiplex vel non multiplex, si multiplex, tunc aliquotiens vel semel acquirit supra se tantum, quanta ipsa pars est, et tot partes aequales sibi, quot acquirit supra se, tot acquirit supra omnes illas 7 partes aliquotas, in quas corpus erat divisum, et quaelibet talis pars acquisita illi parti est aequalis cuilibet illarum partium aliquotarum, in quas corpus est divisum, igitur illae partes acquisitae vel pars acquisita est vel sunt eiusdem denominationis cum parte, cui acquiruntur vel acquiritur, et ita si illae partes, in quas corpus dividebatur, sunt septimae, et illae partes acquisitae sunt duae vel tres vel quattuor et sic consequenter, totum illud corpus acquisivit duas vel tres vel quatuor septimas vel, si est una, totum illud corpus acquisivit unam septimam, quo ad invento iam patet, quantam proportionem illud corpus acquisivit. Si enim acquisivit tres tales partes, et illae sunt septimae, iam acquisivit totum proportionem supratripartientem septimas, et sic habetur propositum, ubi pars aliquota proportionem multiplicem acquirit. Si autem acquirit rationalem, non multiplicem, manifestum est, quod illa denominatur ab aliqua parte aliquota vel ab aliquibus partibus aliquotis adaequate vel inadaequate (non est modo cura), sicut dupla sesquitertia denominatur a numero binario cum tertia, et suprabipartiens tertias ab unitate cum duabus tertiis. Dato igitur, quod aliquam talem proportionem rationalem, non multiplicem aliqua talium partium aliquotarum acquisiverit, ad invendiendum, quam proportionem acquirit totum, dividatur quaelibet pars aliquota in partes aliquotas, a quibus denominatur talis proportio, et tunc coaceruentur omnes illae partes aliquotae, et numerus resultans indicabit, quota pars aliquota totius est aliqud, immo quaelibet illarum. Deinde illis omnibus addantur illae partes aliquotae acquisitae aequales eis. Et sic invenies, quot partes aliquotas | acquisivit totum, et per consequens qualem proportionem, ut si in exemplo posito una illarum septimarum acquirat proportionem suprabipartientem tertias, et quoniam illa proportio denominatur ab uno cum duabus tertiis, dividatur quaelibet septima in tres tertias, et multiplicientur 7 per tria, et resultabunt 12, et iam ille numerus indicat tibi quamlibet illarum partium esse unam vicesimam primam, et partes acquisitae sunt aequales illis, quia sunt tertiae unius septimae, et sunt duae. Ergo acquisivit duas vicesimas primas, et sic proportionem suprabipartientem vicesimas primas totum acquisivit. Si autem una illarum septimarum acquirat duplam sesquitertiam, dividas quamlibet septimam etiam in tertias, et multiplica septem per tria, et reperies, ut dictum est viginti unum, et quia una septima acquisivit tantum, quanta ipsa est, puta unam septimam totius cum una tertia illius septimae, dividas etiam illam septimam acquisitam in tres partes, et illae tres partes erunt tres vicesime primae totius, ut constat, et totum acquisivit illas tres et cum hoc unam. Acquisivit igitur quattuor vicesimas primas, et per consequens proportionem supraquadripartientem vicesimas primas. Et isto modo in omni alia specie proportionis operaberis. Et ex hoc poteris invenire proportionem, quam acquirit totum duabus partibus eius aliquotis inaequalibus sive duabus non facientibus unam sive pluribus acquirentibus aequalem proportionem vel etiam inaequalem. Et consimiliter cognosces, quam proportionem deperdit totum aliqua parte eius vel aliquibus partibus aliquotis aliquam vel aliquas proporti[o]nes deperdente vel deperdentibus.