Capitulum octavum, in quo agitur de inventione proportionis minoris inaequalitatis et etiam maioris respectu cuiuscumque numeri ex rebus divisibilibus compositi
Plerumque contingit tam in materia [in]tenionis difformis, quam proportionis motuum quaerere proportionem subsequialteram vel subduplam vel aliquam aliam minoris inaequalitatis vel etiam maioris inaequalitatis respectu numeri non habentis illam sine fratione, id est divisione unitatis vel unitatum talis numeri, ut si ponatur, quod aliquod mobile pertranseat tripedale spatium in hora, tunc movens subdupla velocitate transit subduplum spatium ad tripedale in eodem tempore. Modo non est possibile dare subduplum ad tripedale sine fractione unitatis, quoniam bipedale cum dimidio est subduplum tripedalis. Item contingit nonnumquam quaerere sexquialterum respectu numeri quinarii, et illud non potest dari sine fractione unitatis, 7 enim cum dimidio ad 5 est proportio sexquialtera. Quare pro inventione talis proportionis maioris aut minoris inaequalitatis cum fractione.
Suppono primo, quod duplex est numerus, ut ad propositum sufficit, quidam est compositus ex unitatibus divisibilibus, [...] cuius quaelibet unitas est res divisibilis ut numerus trium pedalium, quattuor qualitatum et cetera, alius vero numerus est compositus
Abb. 1: Faksimile der Seite 16
ex unitatibus indivisibilibus ut numerus 5 punctorum, 5 intelligentiarum et 10 animarum rationalium. Haec suppositio ex se patet.
Secunda suppositio: non omnis numerus habet subduplum, nec omnis habet subtriplum et sic consequenter. Probatur, quoniam aliquis numerus, puta rerum indivisibilium, cuiusmodi est: numerus ternarius angelorum non potest dividi in duo aequalia, igitur non habet subduplum, nec in quatuor partes aequales, et sic non habet subquadruplum, et sic probatur de aliis, igitur suppositio vera.
Tertia suppositio: oomnis numerus rerum divisibilium habet subduplum, subtriplum, et universaliter omnem proportionem minoris inaequalitatis et etiam maioris aut[em] habere potest. Probatio huius suppositionis, quia talis numerus potest dividi in duo aequalia, cum sit numerus rerum divisibilium, et in tria aequalia et in 4 et in 5 et sic in infinitum. Quare dabitur quilibet numerus habens proportionem minoris inaequalitatis ad ipsum et etiam maioris. Nam ad sui medietatem habebit proportionem duplam, ad tertiam triplam, ad duas tertias sesquialteram et sic in infinitum.
Quarta suppositio: ad dividendum numerum aliquem per alterum sive maiorem, sive minorem, sive aequalem, sive oporteat uti fractione, sive non [fractione] dividenda est quaelibet unitas numeri dividendi in tot partes aliquotas, quotus est numerus, per quem fit divisio, et dandae sunt tot partes illarum cuilibet unitati numeri, per quem fit divisio, quotus est numerus dividendus, et sic quaelibet unitas habebit aequaliter. Exemplum, ut si velis dividere numerum quinarium per numerum ternarium, ut puta quinque gradus in tres partes aequales vel quinque denarios per tres homines, dividas quamlibet unitatem numeri quinarii in tres partes aliquotas, puta in tres tertias, quia numerus, per quem fit divisio, est ternarius, deinde da quinque tertias culibet unitati ternarii, quia numerus dividendus est quinarius. Item si velis dividere tria per quinque, quia numerus, per quem fit divisio, est quinarius, dividas quamlibet unitatem numeri ternarii dividendi in quinque partes aequales, puta in quinque quintas, et quia numerus dividendus est ternarius, da cuilibet tres quintas, et quilibet illorum quinque habebit aequaliter. Probatur haec suppositio, quia sic divendo cuilibet aequaliter datur, ut patet ex se, et nihil manet, ergo illa divisio est completa, et modus dividendi sufficiens, et per consequens suppositio vera. Probatur minor, quia quando tria dividitur per quinque, gratia exempli oportet iuxta tenorem suppositionis dividere quamlibet unitatem numeri ternarii in quinque partes aequales, et sic erunt partes illae ter quinque, et per consequens quinquies tres partes adaequate, ut patet, erunt igitur ibi quinque ternarii illarum partium adaequate, et datur cuilibet unitati quinarii numeri unus ternarius, igitur nullus ternarius manet, quam illi ternarii et unitates numeri quinarii sunt numero aequales, igitur tunc nihil manet dividendum. Et sic probabis de quibuscumque aliis numeris, quorum unus per alterum dividitur, sequitur igitur suppositio.
His suppositis pono talem regulam: ad dividendum numerum se habentem, in qua volueris, | proportione minoris inaequalitatis [ad eum,] ad quemcumque numerum volueris, capias in numeris duos numeros se habentes in tali proportione, et dividas numerum respectu, cuius quaeris numerum se habentem in proportione minoris inaequalitatis in tot partes aequales, quotus est numerus maior talis proportionis, et ex his capias tot illarum partium, quotus est numerus minor dictae proportionis. Et sic invenies propositum. Hoc facili monstratur exemplo, ut si vis invenire numerum se habentem in proportione subsexquitertia respectu numeri quinarii in rebus divisibilibus, (quoniam in indivisibilibus non est possibile, ut patet ex primis duabus suppositionibus), capias in numeris 4 et 3, qui sunt numeri se habentes in proporsitione sexquitertia, et [quia] numerus maior est quaternarius, dividas numerum quinarium respectu, cuius quaeris subsexquitertium numerum in quattuor partes aequales, et hanc divisionem facies per quartae supposionis documentum, et quia numerus minor est ternarius, capias tres quartas quinarii et illarum trium quartarum ad illum numerum quinarium, qui componitur adaequate ex quattuor talibus, est proportio subsexquitertia. Et isto modo in omnibus aliis operaberis. Patet haec regula, quoniam tunc talis numerus se habebit ad illas suas partes aliquotas, sicut se habent numeri proportionis quaesitae, ut constat, igitur illo modo oportet operari ad inveniendum id, quod docet regula, et per consequens regula vera.
Secunda regula: ad inveniendum numerum se habentem in proportione maioris inaequalitatis [ad eum], ad quem volueris, numerum, et in quacumque libuerit proportione, capias in numeris duos numeros se habentes in tali proportione, et dividas numerum respectu, cuius quaeris numerum se habentem in illa proportione maioris inaequalitatis in tot partes aequales, quotus est numerus minor talis proportionis, et tunc illi numero minori sic divis[]o addas tot aequales partes partibus divisionis, quot sunt, per quas numerus maior talis proportionis excedit minorem. Et tunc numerus resultans ex n[u]mero minori et illa additione est numerus se habens ad numerum sic divisum in pr[o]portione data maioris inaequalitatis. Hoc facile declarabit exemplum: si enim velis invenire numerum sexquialterum ad numerum quinarium in rebus divisibilibus, (in indivisibilibus enim id nequit fieri, ut dictum est), capias in numeris duos numeros se habentes in proportione sexquialtera, ut puta 2 et 3, et quia numerus minor est binarius, dividas numerum quinarium respectu, cuius quaeris numerum sexquialterum, in duas partes aequales, quod fiet secundum documentum quartae suppositionis. Oport[e]t enim tunc dividere 5 per 2, et quia ternarius numerus maior, talis proportionis excedit numerum binarium, minorem numerum talis proportionis, per unam unitatem adaequate, addas supra numerum quinarium unam de illis partibus duabus, in quas iam divisus est quinarius, puta medietatem ipsius quinarii, tunc aggregatum ex quinario et illa parte se habet ad quinarium in proportione data, puta sexquialtera. Patet haec regula sicut superior. Applica probationem. Et haec breviter de prima parte huius operis introductionis gratia dicta sufficiant.
Abb. 2: Faksimile der Seite 17
¶ Sequitur secunda pars de proportionalitatibus et de quibusdam proportionum et proportionalitatum proprietatibus et accidentiis.