5. Kapitel des 2. Teils

Capitulum quintum, in quo recitatur paucis et impugnatur opinio Bassani Politi de proportione sive commensurabilitate proportionum

Consueverunt veteres et signanter peripathetici philosophantes amputare atque resecare contrarias opinationes et deinde veras interserere. Ideo Bassani Politi opinionem in materia proportionalitatum ceteris mathematicis adversam praesenti duximus expugnandam.

Sit igitur capitalis suppositio: quodlibet habens subduplum est duplum ad suam medietatem, et si ipsum est duplum, ipsum continet suam medietatem bis adaequate. Haec petitio nec iuvat eam demonstrare.

Secunda suppositio sive petitio: omne duplum ad aliquod continet ipsum vel aequale ei bis tantum, et si contineat ipsum plusquam bis, est plusquam duplum ad illud.

Tertia suppositio: si aliquid efficitur in duplo minus, ipsum perdit adaequate medietatem sui.

Quarta suppositio sive petitio: omne, quod successive diminuitur usque ad non gradum, est latitudo divisibilis, et in duas medietates et in tres tertias et in quatuor quartas et sic consequenter. Diminuitur enim ad subduplum, ad subtriplum, ad subquadruplum et sic deinceps.

Quinta suppositio: latitudo proportionis maiores inaequalitatis est successive diminuibilis usque ad non gradum. Probatur tum primo, quia maius extremum proportionis maioris inaequalitatis successive valet diminui usque ad aequalitatem minoris extremi, et in tali diminutione proportio maioris inaequalitatis successive diminuitur ad non gradum, ut constat, igitur in tali diminutione quaelibet proportio minor illa signata dabitur. Tum secundo, quia – ut Bassanus concedit – velocitas motus correspondet magnitudini proportionis quoad aequalitatem, sed ipsa velocitas motus est diminuibilis continuo successive usque ad non gradum, igitur et latitudo proportionis sibi correspondens in aequalitate. ¶ Ex hac sequitur, quod quaelibet latitudo proportionis maioris inaequalitatis dividi potest in duas medietates, in tres tertias, in quatuor quartas et sic deinceps. Patet hoc correlarium ex priore auxiliante quarta.

Sexta suppositio: omne, quod efficitur subduplum, ad id, quod erat antea, perdit medietatem sui, et id, quod remanet, est tantum, quantum est id, quod perdidit, quoniam perdidit aliam medietatem, et cuiuslibet quanti medietates sunt aequales.

His suppositis advertendum est, quod Bassanus volens defensare quamlibet proportionalem rationalem cuilibet alteri esse commensurabilem astruxit proportionum commensurabilitatem sive proportionem assumendam esse ex denominationum proportionibus ponens talem conclusionem. Proportionum proportio est earum denominationum proportio, ut quadrupla est dupla ad duplam, quia inter earum denominationes sive numeros, a quibus denominantur, est proportio dupla, a binario enim dupla, et a quaternario quadrupla denominatur. Item dupla est sesquitertia ad sesquialteram, quia dupla a binario, sesquialtera vero ab unitate cum dimidio denominatur. Constat autem binarii ad unitatem cum dimidio proportionem sesquitertiam esse.

Sed contra hanc opinationem mea sententia mathemathicis principiis derogantem et contrariam arguitur primo sic: ex hac opinione sequitur octuplam esse duplam ad quadruplam, sed consequens est manifeste falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia illarum proportio[]num octuplae videlicet et quadruplae denominationes sive numeros, a quibus denominantur, duplae proportionis rationem habere constat. 8 enim ad 4 dupla proportio est, igitur expositione octupla dupla est ad quadruplam. Iam falsitatem consequentis ostendamus, superest, quia si octupla est dupla ad quadruplam, sequitur, quod quadrupla est medietas ipsius octuplae, ut patet ex prima suppositione, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur, quia tunc sequeretur, quod octupla contineret quadruplam bis adaequate, sed hoc est falsum, quia continet quadruplam et duplam adaequate, ut patet in his terminis 8 ad 4 et 4 ad 1. Patet haec consequentia ex secunda parte eiusdem suppositionis. ¶ Et confirmatur, quia omne duplum ad aliquod continet ipsum vel aequale ei bis tantum, | sed octupla est dupla ad quadruplam per te, igitur continet ipsum bis tantum, sed consequens est falsum, quia sexdecupla continet quadruplam bis tantum. Consequentia patet ex se, et minor est prima pars secundae suppositionis. ¶ Confirmatur secundo, quia si positio esset vera, sequeretur, quod dupla esset medietas octuplae, sed hoc est falsum, igitur illud, ex quo sequitur, quia secundum istam opinionem octupla est quadrupla ad duplam, ut patet ex proportione denominationum duplae et octuplae, et si octupla est quadrupla ad duplam, iam sequitur, quod ipsa dupla est quarta octuplae et non medietas. Quodlibet enim est quadruplum ad sui quartam, cum eam contineat quater adaequate. Iam probatur sequela, et capio proportionem octuplam, et volo, quod diminuatur, quousque fiat quadrupla adaequate, ut posito quod octo diminuantur usque ad quatuor, et arguitur sic: ipsa proportio octupla efficitur in duplo minor, vel concedit positio. Efficitur enim quadrupla, quae est subdupla ad octuplam, igitur ipsa proportio octupla perdit adaequate medietatem sui, ut patet ex tertia suppositione, et non perdit nisi duplam adaequate, ut constat, igitur dupla est medietas octuplae, quod fuit inferendum. ¶ Et confirmatur tertio, quia si ista positio esset vera, sequeretur, quod dupla esset aequalis quadruplae. Consequens est falsum et contra opinantem, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela arguitur, et volo, quod potentia ut octo moveat resistentiam ut unum velocitate ut quatuor exempli gratia, deinde volo, quod potentia stante resistentia diminuatur usque ad subduplum, et arguo sic, ille motus sive velocitas ut quatuor diminuetur ad subduplum, igitur perdit medietatem sui. Patet consequentia ex suppositione tertia, et per consequens non manebit nisi velocitas ut duo, et deperdetur velocitas ut duo, igitur tanta proportio deperdita est, quanta manet. Patet haec consequentia, quia ab aequalibus proportionibus aequales latitudines motuum proveniunt, sed manet quadrupla, ergo deperdita est ei aequalis, sed deperdita est dumtaxat proportio dupla, ergo dupla est aequalis quadruplae, quod fuit inferendum.

Secundo arguitur sic: si illa positio esset vera, sequeretur, quod quarta alicuius et sua medietas essent aequales, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia dupla est quarta pars octuplae, et medietas octuplae per positionem, igitur propositum. Maior probatur, quia dupla est quarta pars ipsius octuplae, cum octuplae ad duplam sit proportio quadrupla, ut patet ex positione. Minor probatur, et volo, quod octupla perdat proportionem duplam adaequate, et manifestum est, quod efficitur quadrupla, et per consequens subdupla ad id, quod erat antea, ut patet ex positione, igitur perdit medietatem sui. Patet consequentia ex tertia et sexta suppositionibus, et non perdit nisi duplam, ergo dupla est medietas octuplae. Quod fuit probandum. ¶ Et confirmatur, quia si positio esset vera, sequeretur, quod aliquid contineret alterum bis adaequate, et tamen non esset duplum ad illud, sed minus quam duplum, consequens est manifeste falsum et contra definitionem proportionis duplae, igitur. Sequela probatur, quia proportio dupla sexquiquarta bis adaequate continet sexquialteram, patet in his terminis 9, 6, 4. Novem enim ad quatuor est proportio dupla sexquiquarta, et componitur adaequate ex proportione 9 ad 6 et 6 ad 4, quarum utraque est sexquialtera, et tamen ipsa proportio dupla sexquiquarta est minor quam dupla ad sexquialteram, igitur propositum.

Probatur minor, quia tripla est dupla ad sequialteram, et dupla sexquiquarta est minor tripla, ergo dupla sexquiquarta est minor quam dupla ad sexquialteram. Consequentia est nota cum minore, et probatur maior, quam denominationis triplae ad denominationem sexquialterae est proportio dupla. Trium enim ad unum cum dimidio est proportio dupla, igitur tripla est dupla ad sexquialteram. Patet consequentia ex opinione. ¶ Confirmatur secundo, quia si positio esset vera, sequeretur, quod aliquid contineret alterum plusquam bis, et tamen esset adaequate d[u]plum ad illud, quod continet adaequate bis, et aliquid contineret alterum minus quam bis, hoc est, contineret ipsum semel et medietatem eius praecise, et esset duplum ad illud et non sexquialterum. Omnia ista consequentia sunt contra definitiones et principia mathematica, igitur et positio. Sunt enim contra definitiones sesquialterae et duplae, ut constat. Iam probatur sequela, quia tripla est dupla ad sesquialteram, et tamen continet bis sexquialteram et aliquid ultra, puta sexquitertiam, ut patet in his terminis 12, 9, 6, 4. 12 enim ad 9 est proportio sexquitertia, et 9 ad 6 est una proportio sexquialtera, et 6 ad 4 una altera. 12 vero ad 4 est tripla ex illis duabus sexquialteris et una sexquitertia composita. Et sic patet sequela quoad primam partem. Secunda pars patet de octupla et quadrupla, octupla enim non continet bis quadruplam, et tamen est dupla ad illam, ut patet ex positione. ¶ Multa similia possunt inferri, quae manifeste sunt contra dignitates, petitiones et definitiones mathematicas, qui debent supponi tanquam principia scientiae mathematicae. ¶ Sed omnia haec argumenta facile – quamvis proterve et absque ratione – rescindit Bassanus negando illas petitiones et definitiones eas dumtaxat ad numeros sive quantitates continuas restringendo sive limitando. Sed profecto et diminute loquitur et contra rationem, diminute quidem et insufficienter, quia non assignat definitionem proportion[i]s duplae, quadruplae aut alterius sufficienter, quae cuilibet contento sub definito conveniat, et contra rationem, quam sicut ipse astruxit illas definitiones duplae, quadruplae et cetera convenire quantitatibus dumtaxat et numeris, pari protervia quilibet posset defensare atque asseverare illas definitiones dumtaxat convenire numeris compositis ex unitatibus indivisibilibus, puta intelligentiarum aut punctorum, et nullis aliis. Sicut enim ipse negat hanc consequentiam: proportio dupla sexquiquarta continet bis adaequate sexquialteram, ergo est dupla ad illam. Pari temerario ausu posset quilibet hanc consequentiam negare: bipedale continet bis adaequate pedale, ergo est duplum ad pedale, et omni dubio procul contra eum non esset disputandum, si philosopho primo physicorum credatur. Sed quia ipse diceret se non negare principia mathematica, sed ea coartare sive limitare, quam illa non sunt intelligenda in proportionibus.

Id[e]o contra eum tertio arguo ex principiis iam limitatis ad proportiones et hoc, sic proportio sexdecupla est dupla ad quadruplam, et octupla tripla ad duplam, ut deducam ex mathematicis principiis, et secundum eum proportio sexdecupla est quadrupla ad quadruplam, ut suadet proportionum denominatio. Item secundum eum octupla est quadrupla ad duplam, ut denominationes duplae et octuplae ostendunt, igitur sua positio principiis mathematicis ad proportiones limitatis contrariatur et per consequens falsa. Consequentia est nota cum minore, et maior probatur primo quantum ad priorem partem, quia capta proportione sexdecupla inter 16 et 1 ibi reperiuntur 3 termini continuo proportionabiles | proportione quadrupla, utpote 16, 4, 1. Igitur extremi ad extremum, puta 16 ad 1, est dupla proportio ad proportionem primi ad secundum, puta 16 ad 4, ut patet ex decima definitione quinti elementorum Euclidis expresse et ex quinta definitione secundi elementorum Iordani. Secunda pars maioris probatur, quoniam capta proportione octupla, octo ad unum, ibi reperiuntur quatuor termini continuo proportionabiles proportione dupla, videlicet 8, 4, 2, 1. Igitur extremi ad extremum, puta 8 ad 1, est proportio tripla ad proportionem 8 ad 4, quae est dupla. Patet consequentia ex eadem decima definitione quinti elementorum Eucl[i]dis et quinta secundi elementorum Iordani. Nec Bassanus posset hoc argumentum dissolvere, nisi principia arithmetica in eum adducta neget.

Quarto et ad opinantem arguitur, quam ut ipse profitetur in sui operis ex ordio suarum proportionum tractatus introductorius est ad Suisethicas calculationes, sed ipse calculator Suiseth longe aliter sentit et plurimum ab eo discrepat in materia de proportione proportionum, ut ex quam plurimis locis eius percipere possumus, igitur nec calculatoris mentem intellexit nec eius tractatus ad eum intelligendum introducit, immo potius extraducit. Probatur minor. Tum primo, quoniam calculator in quinta conclusione primae opinionis de augmentatione dicit, quod si aliquid augeatur in duplo velocius altero, et illud acquirat unam proportionem F in aliquo tempore, necesse est in eodem tempore illud, quod in duplo velocius augetur, proportionem compositam ex duplici F acquirere, cum in casu calculatoris ibidem illud, quod in duplo velocius augetur, continuo in duplo velocius augetur, sed illa consequentia nihil penitus valeret, si Bassani positio esset vera. Quam quando A acquireret proportionem quadruplam, et B in eodem tempore in duplo velocius augeretur adaequate, non esset necesse, quod B in eodem tempore acquireret proportionem compositam ex duabus quadruplis, immo necesse esset, quod non acquireret tantum, sed acquireret compositam ex quadrupla et dupla, quae est octupla, quae secundum Bassanum est dupla ad quadruplam. Tum secundo, quia idem calculator in capitulo de difficultate actionis in primo argumento, quo impugnat tertiam positio[n]em, assumit potentiam moventem a proportione sesquialtera in aliquo medio, et dicit, quod si illa potentia augeatur ad sesquialterum praecise stante resistentia medii, quod ipsa potentia movebitur in duplo velocius adaequate, ex quo immediate sequitur, quod proportio potentiae ad resistentiam fuit effecta in duplo maior. Patet consequentia, quoniam secundum eum velocitas motuum proportionum proportionem insequitur, ut patet ex principio capituli de motu locali, sed cum potentia illa habens proportionem sexquialteram ad suam resistentiam acquirit supra se proportionem sexquialteram, tota proportio componitur adaequate ex duabus sexquialteris, et efficitur dupla sexquiquarta, qualis est 9 ad 4. Igitur dupla sexquiquarta secundum calculatorem est dupla ad sexquialteram, et secundum Bassanum tripla est dupla ad sexquialteram, igitur sua positio suusque suarum proportionum tractatus non ad intelligendam calculatoris sententiam introducit, sed ei adversatur. Tum tertio, quia idem calculator in ultimo capitulo de medio non resistente conclusione octava dicit expresse in probatione illius conclusionis, quod sexdecupla est dupla ad quadruplam, et si sic non esset, conclusio esset

falsa et probatio nulla, et secundu[]m Bassanum est quadrupla ad quadruplam, igitur dicta Bassani et calculatoris non cohaerent. ¶ Hoc idem ex multis aliis locis calculatoris evidenter deprehendere potes. Sed hi loci sufficiant. Et sic relinquo positionem eius confutatam et explosam, quae tamen proterve defensari potest, sed non consequenter ad mathemathica principia, ut dictum est. ¶ Ex his igitur abunde apparet, quod proportio proportionum non est sicut proportio denominationum.