Capitulum undecimum, in quo pulchre admodum comparantur motus diversarum potentiarum in eodem medio uniformiter difformi invariato moventium per earum potentiarum uniforme crementum
Tradita (ut potuimus) notitia velocitatis et tarditatis motus penes causam potentiae per sui crementum in medio uniformiter difformi invariato moventis, consequens est, ut comparando motus diversarum potentiarum in medio uniformiter difformi invariato moventium per earum potentiarum uniforme crementum conclusiones inducamus. Pro quo sit ista suppositio:
Quaelibet potentia medium uniformiter difforme invariatum ad non gradum terminatum suo continuo motu absolvens ab extremo remissiori inchoando in ea proportione cum maiori resistentia movetur continuo, in qua plus a remissiori termino eiusdem medii ipsa potentia distat.
Probatur haec suppositio, quia in resistentia uniformiter difformi omnis resistentia in ea proportione est maior adaequate, in qua plus distat ab extremo, in quo est non gradus, ut patet ex definitione qualitatis uniformiter difformis quarto tractatu. Igitur omnis potentia medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum suo motu absolvens ab extremo remissiori inchoando in ea proportione maiori resistentia movetur continuo, in qua sua resistentia plus distat ab extremo remissiori eiusdem medii, et per consequens in ea proportione cum maiori resistentia movetur, in qua ipsamet potentia plus distat ab eodem extremo remissiori eiusdem medii. Quod fuit probandum. Patet consequentia, quia tantum distat potentia in tali medio uniformiter difformi ab extremo remissiori eiusdem medii adaequate, quantum resistentia eiusdem medii, ad quam est extremitas talis potentiae. Et sic patet suppositio. ¶ Nascitur hinc omnem potentiam altera[m] continuo velocius medium uniformiter difforme invariatum et ad non gradum terminatum absolventem in ea proportione continuo | moveri cum maiori resistentia quam altera, in qua ipsa velocius quam altera continuo movetur. Patet correlarium, quia talis potentia continuo in ea proportione movetur cum maiori resistentia, in qua plus distat ab extremo remissiori eiusdem medii terminati ad non gradum, ut patet ex suppositione. Et talis potentia continuo in ea proportione plusquam altera distat ab extremo remissiori eiusdem medii terminati ad non gradum, in qua velocius movetur adaequate, ut constat. Igitur talis potentia continuo in ea proportione movetur cum maiori resistentia, in qua ipsa velocius quam altera continuo movetur. Quod fuit probandum. Et sic patet correlarium.
Hoc praemisso sit prima conclusio: duabus potentiis aliquod medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum transeundo uniformiter continuo moventibus per earum a non gradu potentiae uniforme et continuum crementum unaque altera in certa proportione velocius continuo crescente potentia, quae velocius continuo crescit, velocius continuo movetur, in minori tamen proportione velocius continuo, quam sit proportio, in qua continuo velocius crescit. Probatur: sit A potentia, quae C medium uniformiter difforme terminatum ad non gradum transeundo uniformiter continuo movetur per suae potentiae a non gradu uniforme crementum, et B potentia C medium transeundo in F proportione velocius crescat continuo quam A potentia idem C medium transeundo continuo uniformiter movendo. Tunc dico, quod B potentia movetur velocius ipsa potentia A, in minori tamen proportione velocius quam sit F proportio, in qua B potentia velocius continuo crescit quam potentia A. Quod sic probatur, quia B potentia movetur velocius continuo quam A, ut constat – citius enim uniformiter continuo movendo C medium pertransit – et B potentia non movetur in F proportione velocius nec in maiori, igitur B potentia movetur velocius quam ipsa potentia A, in minori tamen proportione velocius quam sit F. Quod fuit probandum. Consequentia patet cum maiore, et arguitur prima pars minoris videlicet, quod B potentia non movetur velocius A potentia in F proportione, quia si B potentia movetur velocius in F proportione, sequitur, quod continuo resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est F proportio, ut patet ex correlario suppositionis, et ex hypothesi B potentiae ad A potentiam est F proportio, (cum B a non gradu in F proportione continuo velocius crescat quam A etiam a non gradu crescens), igitur qualis est proportio ipsius B potentiae ad ipsam A potentiam, talis est proportio resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A, quia utraque F, et per consequens permutatim qualis est proportio ipsius B potentiae ad resistentiam eiusdem B potentiae, talis est proportio ipsius A potentiae ad resistentiam eiusdem A potentiae, et per consequens moventur ab eadem proportione, quod est falsum. Et sic patet, quod B non movetur in F proportione velocius ipsa potentia A. Iam probatur secunda pars minoris videlicet, quod B non movetur in maiori proportione, quam sit F, velocius A potentia, quia tunc sequeretur, quod continuo tardius moveretur quam A potentia, (ut facile deducitur), quod est falsum. Et sic patet conclusio. ¶ Ex quo sequitur primo, quod duabus potentiis aliquod medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum transeundo uniformiter continuo moventibus per earum a non gradu potentiae uniforme et continuum crementum unaque in triplo velocius continuo crescente quam altera, quae uniformiter idem medium transeundo movetur a proportione dupla, potentia, quae in triplo velocius continuo crescit, movetur velocius continuo. Velocius inquam
Abb. 1: Faksimile der Seite 101
in maiori proportione, quam sexquialtera in minori tamen velocius quam dupla. Probatur: et sit A potentia, quae continuo C medium transeundo movetur a proportione dupla per suae potentiae a non gradu uniforme et continuum crementum, sitque B potentia, quae idem C medium transeundo crescit a non gradu continuo in triplo velocius quam A potentia. Tunc dico, quod B potentia movetur continuo velocius quam A potentia in maiori proportione quam sexquialtera et in minori quam dupla. Quod sic probatur, quia B potentia non movetur in sexquialtera proportione velocius adaequate nec in minori. Similiter B potentia non movetur in dupla proportione velocius nec in maiori. Igitur B potentia movetur in maiori proportione velocius quam sexquialtera et in minori quam dupla. Quod fuit probandum. Maior probatur, quia si B movetur in sexquialtera proportione velocius quam ipsa potentia A adaequate, sequitur, quod continuo resistentia ipsius B est in sexquialtero maior resistentia ipsius A, (quia C medium est uniformiter difforme ad non gradum terminatum), et ultra resistentia ipsius B est in sexquialtero maior resistentia ipsius A, et ipsius B ad resistentiam ipsius A est proportio sextupla, (cum componatur ex tripla, quae est ipsius B ad potentiam A, et ex dupla, quae est ipsius A ad suam resistentiam), igitur ipsius B ad resistentiam eiusdem B est proportio quadrupla, quia sexquialterum ad subsextuplum ad aliquod est subquadruplum ad illud, et per consequens B movetur a proportione quadrupla, et ex hoc in duplo velocius quam A continuo movens a proportione dupla et non in sexquialtero velocius adaequate. Quod fuit probandum. Sed quod B non moveatur in minori proportione velocius quam sexquialtera, probatur, quia tunc resistentia ipsius B ad resistentiam ipsius A esset minor proportio quam sexquialtera, ut patet ex correlario suppositionis huius, et ipsius B ad resistentiam ipsius A est proportio sextupla – ut supra argutum est – ergo ipsius B ad resistentiam ipsius B esset maior proporio quam quadrupla. Patet consequentia per hoc, quod quando aliquis numerus est sextuplus ad alterum, talis numerus est maior quam quadruplus ad omnem numerum, qui est minor sexquialtero ad suum subsextuplum – ut patet intelligenti quartum caput secundae partis. Iam probatur minor, quia si B movetur in duplo velocius quam A, sequitur cum casu, quod resistentia ipsius B continuo est dupla ad resistentiam ipsius A, ut patet ex correlario suppositionis, (cum C medium terminetur ad non gradum), et ultra resistentia ipsius B continuo est dupla ad resistentiam ipsius A, et ipsius B ad resistentiam ipsius A est proportio sextupla – ut probatum est – ergo ipsius B ad resistentiam eiusdem B est proportio tripla. Patet haec consequentia per hoc, quod omne duplum ad subsextuplum alicuius numeri est subtriplum ad talem numerum, (ut patet intelligenti quartam conclusionem quarti capitis secundae partis cum suis correlariis), et per consequens sequitur, quod B movetur a proportione tripla, quae non est dupla duplae, (ut patet intelligenti sextum caput secundae partis), et ex hoc B non movetur in duplo velocius A potentia mota a proportione dupla. Quod fuit probandum. Sed quod non moveatur a maiori dupla, patet, quia tunc resistentia ipsius B esset maior quam dupla ad resistentiam ipsius A, et sic ipsius B ad resistentiam ipsius B esset minor proportio quam tripla, (ut facile deducitur ex dictis), et per conseq[u]ens non movetur a maiori proportione quam dupla, cum nulla minor tripla nec ipsa tripla sit dupla ad duplam. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur [secundo], quod duabus potentiis aliquod medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum transeundo uniformiter continuo moventibus per earum a non gradu potentiae uniforme et continuum crementum unaque altera in duplo velocius continuo crescente et potentia, quae tardius crescit, continuo movente a proportione sesquialtera potentia, quae velocius continuo crescit, velocius continuo movetur, in minori tamen proportione quam dupla et maiori quam sesquialtera. Probatur, et sit B potentia, quae in duplo velocius continuo crescat potentia A continuo movente a proportione sexquialtera C medium terminatum ad non gradum pertranseundo. Quo posito arguitur sic: B potentia non movetur in dupla proportione velocius nec in maiori, (ut patet ex conclusione), nec B potentia movetur in sexquialtera proportione velocius adaequate nec in minori. Igitur B potentia movetur continuo in minori proportione quam dupla velocius et in maiori quam sexquialtera. Quod fuit probandum. Consequentia patet cum maiore, et arguitur minor, quia si B potentia movetur in sexquialtera proportione velocius quam A, sequitur, quod resistentia ipsius B est sexquialtera ad resistentiam ipsius A, ut patet ex correlario suppositionis, (quia medium est terminatum ad non gradum), et ultra resistentia ipsius B est sexquialtera ad resistentiam ipsius A, et ipsius B ad resistentiam ipsius A est proportio tripla, ergo ipsius B ad resistentiam ipsius B est proportio dupla, et per consequens B movetur a proportione dupla.
Patet tamen consequentia per hoc, quod omne triplum ad aliquem numerum est duplum ad numerum sexquialterum ad illum numerum subtriplum, (ut constat intelligenti quartum caput saepius allegatum[)], et ultra B movetur a proportione dupla, et dupla non est sexquialtera ad {sexquialteram}1, sed maior quam sexquialtera, ut patet ex sexto capite secundae partis. Igitur B movetur in maiori proportione velocius quam sexquialtera. Quod fuit probandum. Sed quod B non moveatur in minori proportione quam sexquialtera velocius, probatur, quia tunc resistentia ipsius B est minor quam sexquialtera ad resistentiam ipsius A, et per consequens ipsius B ad resistentiam ipsius B est maior proportio quam dupla, ut patet per hanc maximam. Omnis numerus triplus ad alterum est maior quam duplus ad omnem numerum minorem numero sexquialtero ad illum subtriplum, (ut patet intuenti), et si B movetur a maiori proportione quam dupla, consequens est, quod B movetur in maiori proportione quam sexquialtera velocius ipsa A potentia movente continuo a proportione sexquialtera, (si quidem dupla, et omnis maior ea, maior est quam sexquialtera ad sexquialteram.) Componitur enim dupla ex sexquialtera et sexquitertia, et sexquitertia maior est quam medietas sexquialterae, ut patet ex nono correlario tertiae conclusionis quarti capitis secundae partis. ¶ Infinita similia correlaria intelligens primam et secundam partem huius operis ex his, quae dicta sunt, et statim dicentur propria industria poterit inferre. ¶ Et si quaeras, ex quo B movetur in minori proportione quam dupla velocius A et in maiori quam sexquialtera, in qua proportione adaequate B movetur velocius quam A:
Respondeo et dico primo, quod in nulla superparticulari (ut patet), quia nulla superparticularis est maior proportione sesquialtera, nec in aliqua multiplici superparticulari nec multiplici suprapartiente, quia nulla talis est minor dupla (ut constat intelligenti sextum caput secundae partis). Restat igitur, ut moveatur in aliqua proportione suprapartiente
Abb. 2: Faksimile der Seite 102
velocius vel in aliqua proportione irrationali. Et si quaeras in qua proportione suprapartiente vel irrationali:
Respondeo et dico secundo cum calculatore
Secunda conclusio: duabus potentiis aliquod medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum transeundo uniformiter continuo moventibus per earum a non gradu potentiae uniforme et continuum crementum unaque velocius continuo quam altera crescente in proportione maiori in ea proportione, a qua altera continuo movetur, potentia, quae velocius continuo crescit, velocius continuo movetur in ea proportione, a qua movetur altera. Probatur: sit A potentia, quae C medium uniformiter difforme terminatum ad non gradum transeundo uniformiter continuo movetur ab F proportione per suae potentiae a non gradu uniforme et continuum crementum, sitque H proportio maior F proportione in ipsamet F proportione, et sit B potentia, quae idem medium pertranseundo uniformiter continuo movetur crescens continuo in H proportione velocius. Tunc dico, quod B potentia continuo velocius movetur quam A potentia, (velocius inquam in proportione F.) Quod sic probatur, quia B continuo movetur velocius ipsa A potentia in certa proportione – ut patet ex dictis – et non continuo movetur velocius in maiori proportione, quam sit F, nec in minori. Igitur B continuo movetur in F proportione velocius. Consequentia est nota cum maiore, et probatur prima pars minoris videlicet, quod B non movetur in maiori proportione, quam sit F velocius, quia si B movetur velocius quam A in maiori proportione, quam sit F, sequitur, quod resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est maior proportio, quam sit F Patet consequentia, quia C medium est uniformiter difforme ad non gradum terminatum, et ultra resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est maior proportio, quam sit F, ergo ipsius B ad resistentiam ipsius B est minor proportio, quam sit H.
Patet haec consequentia, quia ipsius A ad resistentiam eiusdem A est proportio F (ex hypothesi), et resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est maior proportio, quam sit F, ergo maior est resistentia ipsius B quam ipsa potentia A. Patet consequentia, quia resistentia ipsius B habet maiorem proportionem ad unum tertium, puta ad resistentiam ipsius A, quam A potentia habeat ad idem tertium. Et ultra maior est resistentia ipsius B quam ipsa A potentia, et B habet H proportionem ad A potentiam, ergo B habet minorem proportionem quam H ad resistentiam eiusdem B, et per consequens B movetur continuo a minori proportione quam H, et H proportio est in F proportione maior, quam sit F proportio, (ut patet ex hypothesi), ergo B continuo movetur in minori proportione velocius, quam sit F proportio, et sic non movetur in maiori proportione velocius A, quam sit F proportio. Quod fuit probandum. Sed iam probo secundam partem minoris videlicet, quod B non movetur velocius quam A in minori proportione, quam sit F, quia si movetur in minori proportione, quam sit F velocius, sequitur, quod continuo resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est minor proportio, quam sit F ex correlario suppositionis, et ultra continuo resistentiae | ipsius B ad resistentiam ipsius A est minor proportio, quam sit F, et B ad A habet proportionem H, igitur B habet ad resistentiam ipsius B maiorem proportionem, quam sit H. Patet consequentia, quia resistentia ipsius B est minor quam A potentia. Sed quod A potentia sit maior quam resistentia ipsius B, patet, quia A habet maiorem proportionem ad suam resistentiam, quam resistentia ipsius B habeat ad eandem resistentiam ipsius A, (cum A ad suam resistentiam habeat F proportionem, resistentia autem ipsius B ad eandem resistentiam per te minorem), igitur ipsa A potentia maior est quam resistentia ipsius B. Patet consequentia per hanc maximam, quod habet maiorem proportionem ad unum tertium, est maius. Et ultra ex illo consequenti B habet maiorem proportionem ad resistentiam ipsius B, quam sit H, et B movetur continuo ab illa proportione, quam semel habet ad suam resistentiam, (quia continuo [movetur] uniformiter), et H proportio est in F proportione maior ipsa F proportione ex hypothesi, igitur proportio, a qua movetur B, est maior ipsa proportione F in maiori proportione, quam sit F, et per consequens B non movetur in minori proportione velocius A, quam sit F. Quod fuit probandum. Et sic patet minor, et per consequens tota conclusio. ¶ Ex quo sequitur primo, quod si A potentia continuo moveatur a proportione tripla et cetera, et B a non gradu potentiae idem medium transeundo continuo crescat velocius in proportione vicecupla septupla, qualis est 27 ad 1, tunc ipsa B potentia maior movetur continuo in triplo velocius ipsa A potentia minore. Probatur, quia proportio, in qua B potentia maior velocius crescit A potentia minore, est tripla ad proportionem, a qua movetur A potentia minor, et A potentia minor movetur a tripla proportione, igitur B potentia maior movetur continuo in triplo velocius A potentia minore, quod est probandum. Patet consequentia ex conclusione. ¶ Sequitur secundo, quod si A potentia minor moveatur a proportione quadrupla in casu conclusionis, et B potentia maior crescat continuo velocius in proportione ducentecupla quingecupla sextupla, qualis est proportio 256 ad 1, tunc B potentia maior movebitur in quadruplo velocius adaequate. Probatur, quia proportio, in qua B potentia maior crescit velocius A potentia minore, est quadrupla ad proportionem, a qua movetur A potentia minor, et proportio, a qua movetur A potentia minor est quadrupla, ergo B potentia maior movetur in quadruplo velocius [A] potentia minore, quod est probandum. Patet consequentia ex hac conclusione. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur tertio, quod si A potentia minor in casu conclusionis moveatur continuo ab illa proportione irrationali, quae est sesquialtera ad duplam, quae vocetur H, et B potentia maior crescat velocius continuo A potentia minore in proportione K irrationali, quae se habeat ad proportionem H in ipsa H proportione, quae est sesquialtera ad duplam, tunc B potentia maior movebitur velocius ipsa A potentia minore in proportione H, quae est sesquialtera ad duplam. Patet hoc correlarium facile ex conclusione et probatione eius, quae universalis est. ¶ Et sic poteris inferre proprio labore, quotcumque velis, similia correlaria secunda parte huius operis intellecta.
Tertia conclusio: duabus potentiis aliquod medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum transeundo uniformiter continuo moventibus per earum a non gradu potentiae uniforme et continuum crementum unaque altera in mai[]ori
Abb. 3: Faksimile der Seite 103
proportione velocius continuo crescente, quam sit proportio, a qua altera continuo movetur, potentia, quae velocius continuo crescit, velocius continuo movetur in maiori proportione, quam sit proportio, a qua movetur minor. Probatur: sit A potentia, quae C medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum pertranseat uniformiter continuo movendo ab F proportione per suae potentiae a non gradu uniforme crementum, sitque B potentia, quae idem C medium pertranseundo a non gradu potentiae in H proportione maiori F, in maiori proportione quam F continuo velocius crescat uniformiter continuo movens. Tunc dico, quod B potentia movetur velocius quam ipsa potentia A in maiori proportione velocius, quam sit F. Quod sic probatur, quia B movetur velocius quam A, et non movetur velocius in F proportione adaequate nec in minori quam F, igitur B movetur velocius [...] in maiori proportione quam sit F. Consequentia patet cum maiore. Et probatur minor quo ad primam partem, quia si B movetur velocius A in F proportione, sequitur ex correlario suppositionis, quod continuo resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est F proportio adaequate, et ultra resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A continuo est proportio F, igitur ipsius B ad resistentiam ipsius B est H proportio. Patet consequentia, quia resistentia ipsius B et ipsa potentia A sunt aequalia, quia utrumque habet F proportionem ad unum tertium, puta ad resistentiam ipsius A per te, et ipsius B ad A est H proportio, ergo ipsius B ad resistentiam ipsius B est H proportio, igitur de primo ad ultimum patet consequentia. Et ultra ipsius B ad resistentiam ipsius B est H proportio, a qua movetur ipsa B potentia continuo, et H proportio est maior F proportione in maiori proportione, quam sit F proportio ex hypothesi, igitur B movetur velocius A in maiori proportione velocius, quam sit F, quod est probandum. Iam probatur secunda pars minoris videlicet, quod B non movetur in minori proportione velocius, quam sit F. Quod sic probatur, quia si B movetur in minori proportione velocius ipsa A potentia, quam sit F, sequitur ex correlario suppositionis, quod continuo resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est minor proportio quam F, et ultra resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est minor proportio, quam sit F, et B habet ad A proportionem H ex hypothesi. Igitur B ad resistentiam eiusdem B est maior proportio, quam sit H. Patet consequentia, quia A est maior quam resistentia ipsius B, (cum A ad unum, puta ad resistentiam eiusdem A habet maiorem proportionem quam resistentia ipsius B ad idem tertium), igitur ipsius B ad resistentiam eiusdem B est maior proportio quam ipsius B ad ipsum A, et ipsius B ad ipsum A est proportio H. Igitur ipsius B ad resistentiam eiusdem B est maior proportio quam H. Et ultra ipsius B ad resistentiam ipsius B est maior proportio quam H, et ab illa proportione B continuo movetur, (cum moveatur a proportione, quam habet ad suam resistentiam), igitur B movetur a maori proportione, quam sit H, et H proportio est maior F proportione in maiori proportione quam F ex hypothesi, igitur B movetur velocius A in maiori proportione, quam sit F proportio. Patet consequentia, quia si aliquid excedit unum tertium in aliqua proportione, omne maius illo excedit idem tertium in maiori proportione, (ut constat), sed sic est in proposito, quod H proportio est maior F proportione in maiori proportione, quam sit ipsa F proportio, et proportio, a qua movetur B, est maior H, ergo proportio, a qua movetur B, est maior F proportione in maiori proportione, quam sit F, et sic habetur, quod B movetur velocius in maiori proportione, | quam sit F. Quod fuit probandum. Et sic patet conclusio. ¶ Ex quo sequitur primo, quod si A potentia minor in casu conclusionis moveatur continuo a proportione sesquitertia, et B potentia maior crescat in duplo velocius A potentia minore, tunc B potentia maior movetur velocius A potentia minore in maiori proportione quam sesquitertia, in minori tamen proportione velocius quam dupla. Secunda pars huius correlarii patet ex prima conclusione huius, et prima ex hac conclusione, quoniam proportio dupla, in qua B potentia maior velocius crescit quam A potentia minor, est maior quam sexquitertia ad sexquitertiam, immo maior quam dupla, ut patet ex quinto correlario tertiae conclusionis quarti capitis secundae partis.
¶ Sequitur secundo, quod si A potentia minor in casu conclusionis moveatur ab aliqua proportione superparticulari, et B potentia maior continuo crescat in tripla proportione vel in aliqua alia maiore tripla velocius quam A potentia minor, tunc B potentia maior continuo velocius movebitur A potentia minore in maiori proportione, quam sit aliqua proportio superparticularis, et in minore proportione, quam sit tripla. Patet secunda pars correlarii ex prima conclusione huius, et prima pars ex hac tertia, quia omnis tripla vel maior tripla est maior quam superparticularis ad quamlibet superparticularem, (cum tripla sit maior quam dupla ad maximam superparticularem, quae est sexquialtera), ut constat intelligenti secundam partem huius operis, qui innumera similia correlaria facile poterit inferre.
Quarta conclusio: duabus potentiis aliquod medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum transeuntibus uniformiter continuo moventibus per earum a non gradu potentiae continuum et uniforme crementum, unaque altera in maiori proportione velocius continuo crescente, quam sit proportio, a qua altera continuo movetur, in minori tamen proport[i]one maiori, quam sit illa, a qua movetur altera potentia, quae velocius continuo crescit, velocius continuo movetur altera in minori tamen proportione, quam sit proportio, a qua altera movetur continuo. Probatur: sit A potentia, quae C medium transeundo et cetera, ut supra [dictum est], continuo moveatur ab F proportione, sitque B potentia, quae idem C medium transeundo a non gradu potentiae in H proportione, quae sit maior quam F, (maior inquam in minore tamen proportione, quam sit F), continuo velocius crescat ipsa A potentia. Tunc dico, quod B potentia movetur velocius quam A in minori tamen proportione velocius, quam sit F. Quod sic probatur, quia B non movetur velocius A in F proportione nec in maiori, ergo B movetur velocius A in minori proportione, quam sit F. Quod fuit probandum. Consequentia patet ex hypothesi, et probatur maior, quia si B moveretur velocius [quam] A in F proportione, resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A continuo essent F proportio. (Haec consequentia plerumque arguta est.) Et ultra resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A continuo est F proportio, et ipsius A ad resistentiam ipsius A est F proportio, igitur resistentia ipsius B et ipsum A sunt aequalia. Consequentia patet, quia habent eandem proportionem ad unum tertium, et ultra resistentia ipsius B et ipsum A sunt aequalia, et ipsius B ad ipsum A est H proportio ex hypothesi, igitur ipsius B ad resistentiam eiusdem B est H proportio. Patet consequentia, quia eiusdem ad duo aequalia est eadem proportio, et ultra ipsius B ad resistentiam ipsius B est H proportio, et a tali movetur ipsum B cum continuo moveatur uniformiter a proportione, quam habet ad suam resistentiam, et H proportio
Abb. 4: Faksimile der Seite 104
est maior F proportione in minori proportione, quam sit F ex hypothesi, igitur B movetur in minori proportione velocius A, quam sit F. Quod fuit probandum. Sed iam probatur minor videlicet, quod B non movetur velocius in maiori proportione, quam sit F, quod sic probatur, quia si B moveretur velocius A in maiori proportione, quam sit F proportio, a qua movetur A, sequitur, quod continuo resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est maior proportio quam F, et ultra resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est maior proportio quam F, et ipsius A ad eandem resistentiam ipsius A est F proportio adaequate ex hypothesi. Igitur continuo resistentia ipsius B est maior [quam] A potentia. Patet consequentia, quia resistentia ipsius B habet maiorem proportionem ad unum tertium, puta ad resistentiam ipsius A. Et ultra ex consequenti continuo resistentia ipsius B est maior A potentia. Et ipsius B ad A est proportio H. Igitur ipsius B ad resistentiam eiusdem B est minor proportio quam H, et ab illa movetur continuo B. Igitur B continuo movetur a minori proportione quam H, et H proportio est maior F proportione, a qua continuo movetur A (in minori tamen proportione, quam sit F), igitur proportio, a qua moveatur B, est maior quam F, a qua movetur A, in minori proportione quam F, et per consequens B movetur continuo velocius A in minori proportione, quam sit F. Quod fuit probandum. Patet tamen consequentia, quia cum aliquid excedit unum tertium in aliqua proportione, omne minus, maius tamen illo tertio, excedit idem tertium in minori proportione, sed per te proportio, a qua movetur B potentia, est maior quam proportio F et minor quam H proportio, igitur. Et sic patet antecedens cum conclusione. ¶ Has tres conclusiones pulchras diligenter nota. Possunt enim ex eis inferri infinitae conclusiones cum multis, quas ponit calculator
¶ Ex quo sequitur primo, quod si A potentia minor moveatur ab aliqua proportione minore multiplici rationali in casu conclusionis, puta ab aliqua proportione superparticulari aut suprapartiente, et B potentia maior crescat velocius A potentia minore in al[i]qua proportione multiplici, tunc B potentia maior non movebitur velocius [A] potentia minore in proportione, a qua movetur A potentia minor, sed in maiore vel minore secundum tenorem tertiae vel quartae conclusionis. Patet hoc correlarium, quia, ut patet ex superioribus, numquam maior potentia movetur velocius minore mota a proportione rationali in ea proportione, a qua movetur minor, nisi quando proportio, in qua maior velocius crescit, se habet ad proportionem, a qua movetur minor in proportione rationali, ita quod qualis est proportio, a qua movetur minor, talis debet esse proportio inter proportionem, in qua maior velocius crescit, et proportionem, a qua minor movetur, ut patet, sed nulla proportio multiplex se habet ad proportionem minorem multiplici rationalem in aliqua proportione rationali, ut patet ex secunda et sexta conclusionibus sexti capitis secundae partis, igitur correlarium verum.
¶ Sequitur secundo, quod si A potentia minor moveatur ab aliqua proportione multiplici, et B potentia maior crescat velocius ipsa A potentia in aliqua proportione multiplici superparticulari aut multiplici suprapartiente, tunc B potentia maior non movetur velocius A minore in proportione multiplici, a qua movetur A potentia minor. Probatur, quia si sic iam proportio, in qua crescit B maior potentia velocius A minore, se haberet ad proportionem, a qua movetur | A potentia minor in eadem proportione multiplici, a qua movetur eadem A potentia minor, ut patet ex secunda conclusione huius, sed hoc est falsum, quia nulla multiplex est commensurabilis proportioni multiplici superparticulari aut multiplici suprapartienti, ut patet ex tertia conclusione secundae partis, igitur illud, ex quo sequitur, est falsum, et per consequens correlarium verum. ¶ Sequitur tertio, quod si A potentia minor moveatur ab aliqua proportione non multiplici rationali, et B potentia maior crescat velocius minore in proportione aliqua multiplici, tunc B potentia maior non movetur velocius A potentia minore in proportione, a qua movetur A potentia minor. Patet correlarium, quia alias sequeretur, quod proportio non multiplex, in qua B potentia maior velocius crescit A potentia minore, se haberet ad proportionem non multiplicem rationalem, a qua movetur A potentia minor, in eadem proportione non multiplici rationali, a qua movetur A potentia minor, ut patet ex secunda conclusione huius, sed consequens est falsum, ut patet ex quarta conclusione sexti capitis secundae partis, igitur illud, ex quo sequitur, et per consequens correlatium verum. ¶ Sequitur quarto, quod si A potentia minor moveatur ab aliqua proportione superparticulari, et potentia B maior crescat velocius A potentia minore in aliqua proportione superparticulari, tunc B potentia maior non movetur velocius A potentia minore in ea proportione superparticulari, a qua movetur A potentia minor. Probatur, quia alias sequeretur ex secunda conclusione cum aliis, quod proportio superparticularis, in qua B potentia maior velocius crescit minore, se haberet ad proportionem superparticularem, a qua movetur A potentia minor, in eadem proportione superparticulari, a qua movetur eadem A potentia minor, sed hoc est falsum, quia nulla proportio superparticularis est commensurabilis alicui superparticulari, ut patet ex quinta conclusione sexti capitis secundae partis, igitur illud, ex quo sequitur, et per consequens correlarium verum.
¶ Sequitur quinto, quod numquam potentia maior potest moveri velocius minore in proportione multiplici, a qua movetur minor, nisi ipsa maior crescat continuo velocius minore in alia proportione multiplici. Patet hoc correlarium, quia sola multiplex est proportioni multiplici commensurabilis, ut patet ex sexta conclusione sexti capitis secundae partis.
¶ Sequitur sexto, quod si in casu huius quartae conclusionis A potentia minor continuo moveatur ab aliqua proportione multiplici, et B potentia maior crescat velocius a potentia minore in aliqua proportione multiplici superparticulari vel multiplici suprapartiente composita ex proportione multiplici, a qua movetur minor, et aliqua superparticulari vel suprapartiente, (ut oportet), tunc illa B potentia maior movetur velocius A potentia minore in minori proportione, quam sit proportio, a qua movetur A potentia minor, et etiam in minori proportione, quam sit ea, in qua velocius crescit A potentia minore. Probatur prima pars ex hac quarta conclusione, quia omnis proportio multiplex superparticularis aut multiplex suprapartiens est minor quam multiplex ad totum residuum eius dempta proportione suprapartiente aut superparticulari, quam ultra illam multiplicem continet, ut patet, quoniam ipsa non continet talem multiplicem, nisi semel, ergo non excedit illam in aliqua proportione multiplici, sed in minori. Et sic ex conclusione sequitur, quod movetur in minori proportione velocius, quam sit talis proportio multiplex, a qua movetur potentia minor. Sed secunda
Abb. 5: Faksimile der Seite 105
pars correlarii patet ex prima parte eiusdem et ex prima conclusione huius. Et sic patet correlarium. ¶ Innumera poteris studio se lector proprio labore his similia inferre correlaria.
Quinta conclusio: duabus potentiis aliquod medium uniformiter difforme ad non gradum terminatum transeundo uniformiter continuo moventibus unaque altera velocius continuo crescente in ea proportione, quae proportionem, a qua movetur altera, per proportionem duplam excedit, potentia, quae velocius continuo crescit, velocius continuo movetur in proportione dupla ipsa potentia minore. Probatur: sit A potentia, quae C medium et cetera transeundo continuo movetur ab F proportione per sui a non gradu potentiae continuum et uniforme crementum, sitque H proportio, quae F proportionem excedat per proportionem duplam, et sit B potentia, quae idem C medium transeundo a non gradu potentiae continuo in H proportione velocius crescat quam A potentia. Tunc dico, quod B potentia continuo in duplo velocius movetur A potentia minore. Quod sic probatur, quia B movetur velocius A, ut constat, et non movetur velocius in maiori proportione quam dupla nec in minori, igitur B movetur adaequate in duplo velocius. Quod fuit probandum. Consequentia patet cum maiore, et prima pars minoris probatur, quia si B movetur in maiori proportione quam dupla velocius ipsa potentia A, sequitur, quod resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est maior quam dupla, et proportio ipsius B ad resistentiam ipsius A componitur adaequate ex duplici F et proportione dupla, igitur demendo a proportione ipsius B ad resistentiam ipsius A proportionem, quae est resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A, non manet duplex F, sed minus. Patet consequentia, quia per te proportio resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est maior, quam sit proportio dupla, et ultra demendo a proportione ipsius B ad resistentiam ipsius A proportionem, quae est resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A, non manet duplex F, sed minus, et demendo a proportione ipsius B ad resistentiam ipsius A proportionem, quae est resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A, non manet, nisi proportio, quae est ipsius B ad resistentiam eiusdem B. Igitur proportio, quae est ipsius B ad resistentiam eiusdem B, non est duplex F, sed minus, et ab illa proportione continuo B potentia movetur, igitur continuo B movetur a proportione, quae non est duplex F, sed minus, et A potentia continuo movetur ab F proportione, igitur B potentia movetur velocius A in minori proportione quam dupla, et per consequens non in maiori proportione quam dupla. Quod fuit probandum. Sed quod proportio ipsius B ad resistentiam ipsius A componitur adaequate ex duplici F et proportione dupla, patet, quia proportio ipsius B ad resistentiam ipsius A componitur adaequate ex proportione H, quae est ipsius B ad ipsum A, et ex proportione F, quae est ipsius A ad resistentiam ipsius A, ut constat, et proportio H est unum F et proportio dupla adaequate, ut patet, quia H excedit F per duplam proportionem adaequate ex hypothesi, igitur proportio ipsius B ad resistentiam ipsius A componitur adaequate ex duplici F et ex proportione dupla. Quod fuit probandum. Et sic patet prima pars minoris. Iam probatur secunda pars minoris videlicet, quod B non movetur velocius A in minori proportione quam dupla, quia si B movetur velocius A in minori proportione quam dupla, sequitur, quod continuo resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A est minor preportio quam dupla proportio, et | ultra resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A continuo est minor proportio quam dupla, et proportio ipsius B ad resistentiam ipsius A componitur adaequate ex duplici F et ex proportione dupla, ut supra argutum est, igitur demendo a proportione ipsius B ad resistentiam ipsius A proportionem, quae est resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A, manet magis quam duplex F. Patet consequentia, quia per te proportio, quae est resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A, est minor proportio quam dupla, et ultra demendo a proportione ipsius B ad resistentiam ipsius A proportionem, quae est resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A, manet magis quam duplex F, et demendo a proportione ipsius B ad resistentiam ipsius A proportionem, quae est resistentiae ipsius B ad resistentiam ipsius A, manet proportio ipsius B ad resistentiam eiusdem B, igitur proportio B ad resistentiam eiusdem B est maior quam duplex F, et ab illa proportione B potentia continuo movetur, igitur B continuo movetur a maiori proportione quam dupla ad F, et A potentia continuo movetur ab F proportione, igitur B continuo movetur velocius A in maiori proportione quam dupla, et per consequens non movetur velocius in minori proportione quam dupla. Quod fuit probandum. Et sic patet conclusio, quae est octava conclusio calculatoris