1. Kapitel des 3. Traktats des 3. Teils

Capitulum primum, in quo disputative inquiritur, quid si raritas et densitas et penes quid raritatis et densitatis intensio et rarefactionis et condensationis sit velocitas attendenda

Exacto tractatu de motu locali insequendo vestigia patrum et maiorum subiungam tractatum de motu augmeutationis et rarefactionis et inquirendo substantiam raritatis et densitatis velocitatemque et tarditatem rarefactionis et condensationis. |

Quaero, utrum raritas et densitas sit possibilis. Et arguitur primo, quod non, quia si raritas et densitas sit possibilis, vel tam raritas quam densitas dicuntur positivae, et sunt qualitates aut non, nullum istorum est dicendum, igitur nec raritas nec densitas est possibilis, non primum, quia raritas ita se habet, quod aequevelociter et aeque proportionabiliter sicut raritas acquiritur, ita velociter et proportionabiliter densitas deperditur, sed hoc non potest esse de duobus positivis, igitur raritas et densitas non sunt qualitates positivae. Maior probatur, quia quantum aliquid de raritate acquirit, tantum deperdit de densitate, cum acquisitio raritatis non sit, nisi deperditio densitatis et aeque proportionabiliter, sicut aliquid rarefit sive efficitur magis rarum, ita proportionabiliter efficitur minus divisum, quia si in duplo magis rarium efficitur aliquid illud, in duplo minus densum efficitur et econtra, igitur aequevelociter et aeque proportionabiliter sicut raritas acquiritur, ita densitas deperditur, et sic patet maior. Probatur minor, quia si aliqua duo positiva possunt, ita se habere quod aequevelociter et aeque proportionabiliter, sicut unum deperditur, ita aliud augeatur seu intendatur. Sint illa A et B, et augeatur A, et deperdatur B. Et arguitur sic: vel A et B sunt aequalia vel inaequalia. Si aequalia et arguitur sic: Aequevelociter augetur A, sicut diminuitur B, ergo continuo A erit maius B, et continuo tantum A acquiret, quantum B deperdet. Consequentia patet de se, quia aequevelociter augetur unum, sicut aliud diminuitur. Et ultra continuo A erit maius B, et continuo tantum acquirit A quantum deperdit B. Igitur continuo B maiorem proportionem deperdit, quam A acquirit, et per consequens non aequevelociter et aeque proportionabiliter augetur A, sicut diminuitur B, patet haec consequentia per hanc maximam geometricam: Quandocumque certa latitudo sive quantitas demitur a minori et addatur maiori, maiorem proportionem deperdit minus quam acquirat maius, (quantum per additionem aequalis quantitatis maiori et minori maiorem proportionem acquirit minus quam maius, ut dictum est in secunda parte), igitur per substractionem cuiusdem a minori et appositionem maiori maiorem proportionem deperdit minus, quam acquirat maius, et sic patet, quod si sint aequalia, non potest unum illorum aequevelociter et aeque proportionabiliter augeri sive aliud diminui. Si vero sint inaequalia, et minus illorum diminuatur, et maius illorum augetur aequevelociter, iam sequeretur, quod minus illorum maiorem proportionem deperdit, quam maius acquirat, ut patet ex superiori deductione. Si vero maius diminuitur ita velociter, sicut minus augetur, sequitur, quod continuo maiorem proportionem acquirit minus, quam deperdat maius, quia quando aliqua latitudo demitur a maiori et additur minori, maiorem proportionem acquirit minus, quam deperdat maius, igitur et sic patet, quod non est dicendum raritatem et densitatem esse qualitates positivas. Sed nec dice[nd]um est ipsas non esse qualitates, quia hoc est contra commentatorem in septimo physicorum, quem insequitur ibi Burleus et in tractatu suo de intensione formarum. ¶ Dices forte ad punctum argumenti negando, quod sit impossibile unum positvum aequevelociter et aeque proportionabiliter augeri, sicut diminuitur. Et ad probationem dices, quod argumentum illud non probat, quando maius diminuitur, et minus augetur, ut in diminutione sextipedalis et augmentatione quadrupedalis. Cum enim sextipedale deperdit duo pedalia, et illa acquirat quadrupedale in eodem tempore, manifestum est, quod ita velociter diminuitur sextipedale, sicut augetur quadrupedale et aeque proportionabiliter, quia sextipedale deperdit proportionem sexquialteram, et quadrupedale acquirit tantam, ut notum est.

Sed contra, quia saltem habeo, quod duo positiva non possunt ita se habere, quod continuo aequevelociter et aeque proportionabiliter sicut unum augetur, ita alterum diminuatur. Sed continuo aequevelociter et aeque proportionabiliter

sicut raritas augetur, ita et densitas diminuitur, ergo raritas et densitas non sunt positiva[e]. Consequentia est nota cum minori, et arguitur maior, quia si illud esset possibile de aliquibus positivis, hoc maxime esset, quando maius diminuitur, et minus augetur, sicut dictum est in solutione, sed hoc non. Igitur. Probatur minor, quia vel illud minus, quod augetur semper in augmentatione, manebit minus altero, vel aliquando deveniet ad aequalitatem, si continuo illud, quod augetur, erit minus illo, quod diminuitur, et ita velociter diminuitur maius, sicut augetur minus, sequitur, quod continuo in toto illo tempore, in quo erit minus, ipsum velocius proportionabiliter augebitur, quam aliud diminuitur. Volo dicere in quolibet instanti intrinseco illius temporis, patet haec consequentia regulam geometricam: Quandocumque aliqua latitudo demitur a maiori, et additur minori, ipso manente minori quam illud, ad quo demitur illa latitudo, continuo maiorem proportionem acquirit illud minus, quam deperdat illud maius. Quod patet, quia si, postquam illa latitudo est addita minori, addatur tanta latitudo illi maiori, a quo fuit dempta, minorem proportionem acquiret illud maius, quam deperdet illud minus, ergo quando maius deperdat illam latitudinem, et minus acquirit eandem, maiorem proportionem acquirit minus, quam deperdat maius, cum non deperdat, nisi illam, quam acquisivit, igitur illa regula est vera. Si autem illa perveniant ad aequalitatem, iam non aeque velociter et aeque probationabiliter unum illorum augebitur, sicut aliud diminuitur, ut probatum est in argumento. ¶ Confirmatur, quia raritas et densitas inter se non differunt, cum idem sit propinquitas punctorum et distantia eorundem, igitur illae non sunt qualitates positivae. ¶ Confirmatur secundo, quia si essent qualitates, essent contrariae, sed hoc est falsum, quia tunc nullum rarum esset densum et eocontra, et aliquid esset, quod non esset rarum neque densum, quia rarum et densum essent termini contrarii. ¶ Confirmatur tertio, quia tunc sequitur, quod possibile est dare rarum uniformiter difforme a certo gradu usque ad non gradum, ut ab octavo usque ad non gradum, sed consequens est falsum, ergo et illud, ex quo sequitur. Consequentia probatur, quia omnis qualitas corporea potest esse uniformiter difformis a certo gradu usque ad non gradum, sed raritas est huiusmodi per te igitur. Maior patet, quia ubicumque est qualitas uniformis, ibi est una medietas intensiva uniformiter difformis a maximo gradu, quem habet illa qualitas usque ad non gradum, ut patet i[n]tuenti. Sed iam arguitur falsitas consequentis, quia sit illud A, et arguo sic: illud est uniformiter difformiter rarum ab octavo usque ad non gradum, ergo prima pars proportionalis eius est aliqualiter rara, et secunda in duplo minus rara, et tertia in duplo minus rara quam secunda et sic consequenter, ut patet de albedine uniformiter difformi ab octavo usque ad non gradum, et per consequens prima pars proportionalis est aliqualiter densa, et secunda in duplo densior, et tertia in duplo densior quam secunda et cetera. Igitur A est infinite densum, quia infinitam materiam continet sub finita quantitate, nam quaelibet pars proportionalis continet tantam materiam sicut prima, quia in quacumque proportione aliqua pars proportionalis est minor prima, in eadem est densior prima, et ultra A est infinite densum, ergo non est rarum, et sic non est uniformiter difformiter rarum, quod est oppositum concessi. ¶ Confirmatur quarto, quia rarum est, quod sub magna quantitate continet parum de materia, densum vero est, quod sub parva quantitate continet multum de materia, et hoc describendo „rarum“ et „densum“, ergo dato, quod A nullam qualititatem haberet et sub finita quantitate finitam materiam contineret, ad huc illud esset rarum et densum, ut facile deducitur ex descriptione „rari“ et „densi“, igitur raritas et densitas non sunt qualitates nec positivae se habent.

Secundo principaliter tangendo, penes quid maioritas raritatis et densitatis attendatur, arguitur | sic: Si raritas et densitas essent possibiles, vel in quacumque proportione raritas efficitur maior, proportio quantitatis ad materiam efficiretur maior, et non quantitas in illa proportione, vel in quacumque proportione raritas efficitur maior, quantitas efficitur maior. Sed neutrum istorum est dicendum, igitur raritas et densitas non sunt possibiles. Minor patet, quia istae duae sunt famatae opiniones, quas maior tangit de maioritate et minoritate raritatis, et non plures pro nunc practicantur. Sed iam probatur minor, et primo, quod non in quacumque proportione raritas efficitur maior, proportio quantitatis ad materiam efficitur maior, quia tunc sequeretur, quod ad duplationem raritatis non sequeretur duplatio quantitatis, quia aliquando sequitur magis quam duplatio quantitat[i]s et aliquando minus et aliquando adequata duplatio. Igitur. Sed consequens est falsum. Igitur. Falsitas consequentis arguitur, quia rarum est, quod sub magna quantitate continet modicum de materia, ergo illud erit in duplo magis rarum, quod subdupla maiori quantitate continet aequale de materia, et sic semper ad duplationem raritatis sequitur duplatio quantitatis. Sed iam probo sequelam, et capio unum pedale, cuius quantitatis ad materiam sit proportio sesquialtera, et volo, quod dupletur eius raritas. Quo posito arguitur sic: quantitas illius pedalis non efficitur in duplo maior, sed praecise in sesquialtero maior, igitur propositum. Probatur antecedens, quia in fine proportio quantitatis ad materiam erit dupla ad sexquialteram, puta dupla sexquiquarta, ergo sequitur, quod praecise quantitas acquisivit proportionem sesquialteram et non duplam. Patet consequentia, quia proportio quantitatis ad materiam in fine componitur ex duabus sesquialteris, et iam quantitas ad materiam habebat proportionem sexquialteram, ergo modo praecise acquisivit sesquialteram supra se. Probatur secunda, quia si acquisivisset duplam proportionem supra se, in fine proportio quantitatis ad materiam fuisset tripla, quae ex dupla et sesquialtera componitur, et sic non ad duplationem raritatis fuisset secuta duplatio proportionis, cum tripla sit maior quam dupla ad sesquialteram, ut patet ex secunda parte huius operis, et sic sequitur, quod ad duplationem raritatis aliquando sequitur minus quam duplatio quantitatis. Q[uod] vero aliquando sequatur praecise duplatio quantitatis, probatur ponendo, quod proportio quantitatis ad materiam sit dupla, et quod dupletur raritas, et sic habebitur intentum. Nam tunc proportio quantitatis ad materiam efficeretur quadrupla, quae est dupla ad duplam, et iam antea proportio quantitatis ad materiam fuit dupla adaequate, ergo modo acquisivit aliquam proportionem duplam, et sic sequitur, quod quantitas acquisivit duplam proportionem supra se, quam tantam acquisivit supra se, quantam supra suam materiam. Sed iam probo, quod non in quacumque proportione raritas efficitur maior, quantitas efficitur maior, quia alias sequeretur, quod posset dari infinite rarum, sed consequens est falsum, Igitur et illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et capio unum pedale uniforme per totum, et volo, quod rarefiat in infinitum. Quo posito illud erit infinite rarum, quam ad duplationem eius sequitur duplatio raritatis, et ad triplationem quantatis sequitur triplatio raritatis et sic consequenter, et acquiretur quantitas infinita, ergo raritas infinita. Sed falsitas consequentis arguitur: et si illud est infinite rarum, sequitur, quod nullam materiam continet, et ultra nullam materiam continet. Ergo nec est rarum, nec est densum. Consequentia patet, et arguitur sequela, quam ut suppono ipsum est uniforme et uniformiter rarefactum, si igitur habet aliquam materiam in aliqua parte sui, cum ipsum sit uniforme, sequitur, quod in qualibet tanta sui parte habet tantam sicut ipsa est, et sunt infinitae partes illi parti aequales, ergo sequitur, quod habet infinitam materiam, et sic est infinite rarum. Quod fuit probandum.

Tertio principaliter arguitur sic: Si raritas et densitas es[sen]t possibil[e]s, vel per ipsam rarefactionem acquireretur substantia vel quantitas, sed neutrum istorum est dicendum, igitur non primum, quia rarefactio non ponitur motus ad substantiam, quia tunc esset generatio, nec secund[u]m, quia tunc sequitur penetratio dimensionum naturaliter, quod est impossibile. Sequela probatur, et posito, quod aliquid, puta pedale, rarefiat per totum uniformiter per unam horam, quousque sit bipedale. Et arguitur sic: in quolibet instanti intrinseco talis rarefactionis illud pedale habet per totum aliam et aliam quantitatem per te, et quaelibet pars eius rarefit, et non corrumpitur quantitas praehabita. Igitur manet cum illa eam penetrando. Consequentia non est dubia, et maior arguitur, quia in quolibet instanti intrinseco illud est magis rarum quam in instanti praecedenti, igitur in quolibet tali est maior quantitas acquisita quam in praecendenti. Et sic in quolibet habet aliam et aliam quantitatem. Quod fuit probandum. Sed iam probatur minor, quia quantitatis praecedens non habet contrarium. Igitur non corrumpitur, nam si corrumperetur maxime esset a contra[r]io aut a desitione subiecti aut ab absentia conservantis, sed nullo istorum modorum potest corrumpi, cum non possit a contrario nec a desitione subiecti nec ab absentia conservantis, cum nec habet contrarium, nec subiectum desinat, nec ab aliquo dependet in conservando quam a subiecto. Nec valet dicere, ut innuit Marsil[i]us, quod quantitas sequens non manet cum praecedente, immo corrumpitur maiori adveniente quantitate, quia – ut inquit – quantitas maior minori contrariatur, tum primo, quia quantitates contrariari est contra omnem modum opinandi philosophorum, et signanter philosophi oppositum asserentis. Tum secundo, quia tunc pars contrariatur toti. Nam per eum omnis quantitatis pedalis contrariatur semipedali, modo semipedalis quantitas est pars pedalis quantitatis. Tum tertio, quia sequeretur in quacumque rarefactione infinitas quantitates totales corrumpi et infinitas tales generari, sed hoc est falsum, igitur et illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis probatur, quia nulla virtus finita potest infinita totalia gignere aut corrump[e]re. Sequela tamen probatur, quia in quolibet instanti per eum est nova qualitas in toto, et sunt infinita instantia in quantulocumque tempore rarefactonis, ergo sunt infinitae quantitates novae totales, et per consequens infinitae corruptae, cum in quolibet instanti intrinseco incipiat esse aliqua quantitas per primum esse, et eandem quantitas in eodem desinat esse per ultimum esse, et haec est eadem imaginatio, omnino sic imaginatio Burlei de intensione formarum. Et ideo dices aliter et bene cum doctore subtili, quod per rarefactionem nec acquiritur substantia nec quantitas, sed rarefactio est mutatio localis adhunc sensum, quod per rarefactionem acquiritur locus maior quam antea, et per condensationem deperditur locus, ita quod, cum aliquid rarefit, partes eius magis distant, quam antea partes – inquam – mediatae, quam immediatae semper immediatae manent.

Contra, quia si in rar[e]factione dumtaxat acquireretur maior locus, sequ[e]retur in omni rarefactione omnia naturalia rarefieri vel penetrationem dimensionum esse, sed utrumque istorum naturaliter est impossibile. Igitur rarefactio etiam isto modo est naturaliter impossibilis. Sequela probatur, et ponatur unum pedale rarefieri, quousque sit bipedale, et acquirat locum pedalem loco praehabito, in quo locu pedali erat pedale aeris, quod pedale aeris vocetur A, et arguitur: vel A manet adhuc cum corpore rarefacto in eodem loco vel non. Si sic, habeo intentum videlicet, quod cum aliquid rarefit, | est penetratio dimensionum. Si non, manet, sed expellebatur ad alium locum pedalem. Tunc sequitur, quod corpus existens in isto alio loco pedali pellebatur ad alium locum et existens in illo ad alium locum, et cum non sit processus in infinitum in illis pedalibus, antea quam deveniatur ad caelum, sequitur, quod etiam caelum pellebatur. Et in tali mutatione locali semper fiebat rarefactio, cum motus sit causa rarefactionis, igitur data una rarefactione omnia alia rarefiunt. Vel saltem mutantur localiter. Quod fuit probandum. Non enim maius inconveniens est, quod omnia rarefiant, quam quod omnia mutant locum, cum unum rarefit. Nec oportet dicere, quod cum aliquid rarefit, aliquid densatur et eo contra, ut inquit Hentisber in illo sophismate, necesse est aliquid condensari, cum aliquid rarefit, quia cum rarefactio et condensatio, si fiant a diversis causis et contrariis, puta condensatio a frigiditate et rarefactio a caliditate, ut patet ex quarto meteororum, vel ab aliis causis contrariis. Volo, quod in loco, ubi fit rarefactio, nulla penitus sit frigiditas aut aliqua causa condensans. Quo posito nulla fiet condensatio propter deffectum causae condensantis, et tunc fiet rarefactio, igitur rarefactio possiblis est sin[e] condensatione. Nec valet dicere, quod quamvis non sit causa sufficiens condensationis in loco, ubi fit rarefactio. Nihilominus alibi est talis causa, et ibi ordine naturae fiet condensatio, quia tunc sequeretur, quod oportet omnia corpora intermedia inter locum rarefactionis et condensationis mutari, quod tamen est falsum. Sequela patet, quia alias in loco rarefactionis daretur penetratio dimensionum, et in loco condensationis daretur vacuum, ut patet inspicienti.

Quarto arguitur sic: si rarefactio et condensatio essent possibiles, sequeretur, quod rarum uniformiter difforme vel difformiter difforme, cuius utraque medietas est uniformis, corresponderet gradui medio, sed co[n]sequens est falsum, ergo et antecedens. Sequela patet, et falsitas consequentis arguitur, et capio unum pedale, cuius una medietas sit rara ut octo, et alia ut quatuor. Et arguitur sic: si raritas illius pedalis corresponderet suo gradui medio, sequeretur, quod illud pedale posset ad uniformitatem reduci, ita quod continuo correspo[nde]ret tali gradui medio medietate intensiore continuo tantum perdente, quantum alia acquirit. Sed consequens est falsum. Igitur et antecedens, falsitas consequentis probatur, et volo, quod medietas rara ut octo perdat unum gradum raritatis, et tantum acquirat medietas minus rara. Quo posito sic argumentor: tale pedale rarefit, et tamen tantum acquirit raritatis medietas minus rara, quantum deperdit medietas magis rara. Igitur non potest reduci ad uniformitatem ipso continuo manente aeque raro. Consequentia patet cum maiore, et arguitur minor, quia quando medietas rarior, quae est ut octo, perdit unum gradum raritatis, ipsa efficitur in sexquiseptimo minus rara, et sic perdit unam octavam sui, quae est una sexdecima pedalis, et medietas minus rara acquirit unum gradum raritatis, et habebat quatuor, ergo efficitur in sexquiquarto rarior. Et sic efficitur in sexquiquarto maior, et per consequens acquisivit unam quartam sui, et illa quarta est una octava pedalis, igitur maiorem quantitatem acquisivit totale pedale, quam deperdit, c[u]m acquisivit octavam, et deperdit sexdecimam dumtaxat, nec acquisivit materiam aliquam, nec deperdit. Igitur ipsum pedale efficitur rarius quam antea, et per consequens non potest illo modo ad uniformitatem reduci ipso continuo manente aeque raro et aeque denso. ¶ Dices forte concedendo, quod non est possibile tale rarum

ad uniformitatem reduci medietate rariori tantum deperdente, quantum minus rara medietas acquirit ipso difformi manente continuo sub eodem gradu raritatis, sed bene potest fieri, quod reducatur ad uniformitatem sub eodem gradu, sub quo est, puta sub gradu medio in toto tempore, quamvis in tempore medio sit magis rarum, hoc est in quolibet instanti intrinseco. Volo dicere, quod postquam pars minus rara acquisiverit medietatem exessus, per quem medietas magis rara excedit eam, tunc totum manebit aeque rarum, sicut erat in principio, quando erat difformiter difforme, cuius utraque medietas erat uniformis.

Sed contra, quia volo, quod in hora illa medietas, quae est ut octo, deperdat duos gradus, et tantum acquirat medietas minus rara, puta ut quatuor. Quo posito in fine pars minus rara acquisivit medietatem ex[c]essus, per quem excessum pars magis rara excedebat eam, et totum manet uniforme sub gradu medio inter octavum et quartum, qui est ut sex, et tunc totale corpus est rarius, quam erat in principio, quando erat difformiter difforme, cuius utraque medietas est uniformis, igitur antea erat minus rarum quam ut sex, et per consequens solutio nulla. Consequentia patet cum maiore, et arguitur minor, videlicet quod tale corpus rarefit, quia in fine est maius, quam erat antea, et nullam materiam acquisivit. Igitur rarefit. Arguitur maior, quia medietas eius, puta rarior, effecta est in proportione sesquitertia minus rara, et per consequens in eadem proportione minor, et sic ipsa deperdit unam quartam sui, quae est una octava pedalis, medietas vero minus rara effecta est in sesquialtero rarior, ut patet ex casu. Igitur effecta est in sexquialtero maior, et sic ipsa acquisivit medietatem sui supra se, quae medietas eius est una quarta pedalis, igitur totum illud corpus in duplo maiorem quantitatem acquisivit, quam deperdit, igitur est maius. Quod fuit probandum. ¶ Dices forte et bene, quod non potest sic rarum uniformiter difforme, cuius utraque medietas est uniformis, ad uniformitatem reduci. Sed subtiliter dicit Suiseth calculator: ad reducendum raritatem ad uniformitatem oportet reducere densitatem, sicut ad reducendam remissionem oportet reducere intensionem, quia omne uniformiter densum est uniformiter rarum, et sic si densitas est uniformitati restituta, etiam raritas.

Sed contra, quia tunc sequiretur, quod densum uniformiter difforme, cuius una medietas est densa uniformiter ut octo, et alia medietas ut quatuor, posset reduci ad uniformitatem medietate densiori tantum perdente adaequate, quantum medietas minus densa acquirit ipso corpore contino manente aeque denso, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequen[t]is probatur, et pono, quod medietas unius pedalis sit densa ut octo, et alia ut quatuor, et in una medietate horae deperdat medietas densior unum gradum densitatis, et tantum acquirat medietas minus densa. Quo posito sic arguo: totale corpus in illa media hora condensatur, ergo sequitur, quod non valet sic ad uniformitatem reduci parte minus densa tantum acquirente, quantum magis densa deperdit continuo ipso manente aeque denso. Consequentia patet, et arguitur antecedens, quia ipsum efficitur minus quam antea, et nullam materiam deperdit, ergo sequitur, quod condensatur. Patet consequentia cum minore, et arguitur maior, videlicet quod efficitur minus, quia medietas densior perdit unum gradum densitatis, et sic efficitur in sexquiseptimo minus densa, igitur in sexquiseptimo magis rara, et maior et per consequens acquirit unam septimam sui, quae est quatuor decima unius pedalis, alia vero pars vel medietas, quae est densa ut quatuor, acquirit unum gradum densitatis. Et sic efficitur in sexquiquarto densior et per consequens in sesquiquarto minor, et sic perdit unam | quintam sui, quae est decima unius pedalis, igitur illud totale corpus perdidit unam decimam, et acquirit unam quatuor decimam sui. Magis igitur deperdit, quam acquirit, et ex consequenti efficitur minus, quam erat antea. Quod fuit probandum. ¶ Dices et bene, quod argumentum bene probat talia difformia in densitate posse sic ad uniformitatem reduci ipsis manentibus continuo sub eodem gradu densitatis, quia necesse est, quando sic una medietas tantum acquirit, quantum alia deperdit de densitate, ipsa difformia per aliquod tempus condensari et perdere quantitatem, sed tunc per tempus sequens tantum rarefient, quantum antea fuerunt condensata, et sic in totali tempore ipsa nec rarefiunt nec condensantur, ut si medietas ut octo in hora perdat duos gradus adaequate, et tantum medietas ut quatuor adaequate acquirat. Tunc in fine quantum una medietas acquisivit, tantum alia deperdit, et manebit adaequate illud pedale in fine tantae quantitatis, quantae erat antea. Quod patet sic, quia illa medietas ut octo perdit proportionem sexquitertiam densitatis, et per consequens ipsa efficitur in sexquitertio maior, igitur ipsa acquisivit unam tertiam sui, quae est una sexta pedalis, altera vero medietas effecta est in sexquialtero densior, igitur in sexquialtero minor, et per consequens ipsa deperdit unam tertiam sui, quae est sexta unius pedalis, igitur quantum illud corpus acquisivit de quantitate, tantum deperdit, et in fine manebit uniforme sub gradu medio, qui est sextus, igitur nunc illi gradui sua densitas correspondet. Quod fuit inducendum.

Sed contra hanc solutionem arguitur sic, quia tale pedale per totam illam horam rarefit, igitur per nullam partem illius horae condensatur, et etiam in fine manebit rarius quam antea, et sic non manebit ita densum sicut antea, nec eidem gradui correspondebit, et per consequens solutio nulla. Arguitur antecedens, quia continuo in illa hora per maiorem partem erit deperditio densitatis quam acquisitio eiusdem eodem gradus, ut patet ex casu, ergo illud pedale remittitur in densitate, et per consequens ipsum rarefit per totum illud tempus. Quod fuit probandum. Antecedens patet, quia continuo pars, quae remittitur in densitate, erit maior quam pars, quae intenditur in densitate, ut patet intuenti. Consequentia patet a simili, quia si continuo aliquod corpus per maiorem partem acquirit albedinem quam nigredine[m] eodem gradu, manifestum est, quod tale corpus remittitur in nigridine, dato quod ipsum antea fuerit nigrum, ut facile est inspicere, igitur a simili: si per maiorem partem est remissio densitatis quam intensio eiusdem eodem gradu, sequitur totum remitti in densitate. ¶ Et confirmatur, quia non est dabile instans in toto illo tempore, in quo tale corpus incipit rarefieri, postquam condensabatur, igitur falsum est dicere, quod semper quando aliquod corpus sic ad uniformitatem densitatis reducitur, quod [...] per aliquod tempus primo condensatur, et deinde per tempus sequens rarefit acquirendo quantitatem, quam perdiderat. Probatur antecedens, quia maxime tale instans esset instans medium illius temporis, in quo videlicet medietas densitatis deperdendae a medietate densiori est deperdita, et reliqua medietas incipit deperdi, sed hoc est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, quia non videtur, quod instans sit illud, nisi fuerit medium instans. Falsitas tamen consequentis arguitur, et capio unum bipedale, cuius una medietas sit densa ut duodecim, et alia ut dimidium, et volo, quod per horam uniformiter medietas densior deperdat quinque gradus cum tribus quartis, et tantum acquirat medietas minus densa, ita quod totum in fi[n]e maneat uniforme. Et arguitur sic:

ante instans medium totius temporis incipiet tale corpus rarefieri, postquam condensabitur, igitur instans medium illius temporis non est instans, in quo tale corpus incipit rarefieri, postquam antea condensabatur. Consequentia patet, et arguitur antecedens, et volo, quod illa medietas densior deperdat uniformiter duos gradus densitatis, et illos acquirat medietas minus densa, et manifestum est, quod medietas densior efficitur in sexquiquinto minus densa, et sic acquirit supra se unam quintam pedalis, et alia medietas efficitur in quintuplo densior, quam erat antea, et sic deperdit quatuor quintas sui, et manet praecise una quinta pedalis, volo deinde, quod medietas densior perdat medietatem unius gradus, et tantum acquirat medietas minus densa aeque velociter. Et arguitur sic: in tempore illo, in quo pars densior deperdit medietate unius gradus, et pars minus densa tantum acquirit, iam totum rarefit. Et illud tempus est ante instans medium, ut patet ex se, igitur ante instans medium totius temporis incipit tale corpus rarefieri, postquam condensabatur. Patet consequentia, et arguitur maior, quia in tempore illo pars densior, quae est maior pedali, deperdit proportionem sexquidecimam nonam in densitate, et sic acquirit unam decimam nonam unius pedalis et plus. Pars vero minus densa efficitur in sexquiquinto densior, et per consequens in sesquiquinto minor, et sic perdit unam sextam sui, et ipsa est una quinta pedalis. Ergo perdit unam sextam quintae pedalis, et sexta unius quintae pedalis est una trigesima pedalis, ut patet intuenti, igitur illud totale corpus perdit unam trigesimam unius pedalis, et acquirit plusquam unam decimam nona in tempore illo ante instans medium, igitur plus acquirit de quantitate, quam deperdit et per consequens rarefit. Quod fuit probandum.

Quinto principaliter arguitur sic: si raritas et densitas essent possibiles, sequeretur, quod datis duobus corporibus inaequalibus, maiore plus continente de materia quam minus semper maius esset densius minore, consequens est falsum. Igitur et antecedens. Sequela suadetur, quia capto corpore bipedali uniformiter, quod habeat tres gradus materiae, et pedali, quod habeat unum gradum materiae, dumtaxat manifestum est, quod maius est densius minore, quia si manente eadem quantitate maius perderet unum gradum materiae, ipsum rarefieret, et in fine maneret uniformiter aeque densum cum pedali. Igitur modo est densius illo pedali. Quod fuit probandum. Falsitas tamen consequentis probatur, et capio unum pedale, quod habeat duos gradus materiae, et unum bipedale uniforme, quod habeat tres, et arguitur sic: illud pedale est densius illo bipedali maiori continente plus de materia, igitur non si aliquid est maius, plus continens de materia, quam aliud minus eo ipsum est eo densius. Probatur antecedens, et volo, quod stante quantitate ipsius pedalis perdat medietatem unius gradus materiae. Quo posito illud pedale rarefit, ut notum est, et in fine manebit aeque densum cum bipedali. Igitur antea erat densius. Consequentia patet cum maiore, et arguitur minor, quia illud pedale in fine manebit aeque densum sicut medietas illius bipedalis, quia continebit tantum de materia adaequate sicut medietas illius bipedalis, et bipedale est uniforme – ut ponitur – ergo illud pedale est ita densum sicut bipedale, quod f[u]it probandum. ¶ Dices et bene negando sequelam, immo aliquando minus est densius maiore et econtra, et aliquando aeque densum, ut apparere potest ex argumento.

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod non posset dari certa regula ad sciendum, quando unum e densius altero, et quando maius est densius minore vel econtra, quod si neges, des illam, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur.

Sexto principaliter arguitur sic et hoc tangendo rara difformia, quia si raritas et densitas essent possibiles, sequeretur, quod dabile esset rarum uniformiter difforme ab aliquo gradu usque ad non gradum, et eius raritas | corresponderat gradui medio, sed consequens est falsum, igitur et antecedens. Sequela probatur, quia dabile est rarum uniformiter difforme a certo gradu usque ad non gradum, ergo etiam pari forma dabile est rarum uniformiter difforme a certo gradu usque ad non gradum. Sed falsitas consequentis probatur, quia ex illo sequitur aliquid esse rarum et idem non esse rarum, quod est impossibile. Sequela probatur, quia capto tali corpore uniformiter difformiter raro a gradu quarto usque ad non gradum tale corpus est rarum ut duo per te, cum eius raritas correspondeat suo gradui medio, et est non rarum, cum sit infinite densum, igitur intentum, minor probatur, quia prima pars proportionalis illius corporis proportione dupla est aliqualiter densa, et secunda in duplo densior, et tertia in quadruplo et sic in infinitum, igitur illud corpus est infinite densum, et per consequens non rarum. Q[uod] secunda pars proportionalis sit in duplo densior prima, patet, quia est in subduplo rarior, ergo in duplo densior, patet consequentia, quam in quacumque proportione raritas est minor, in eadem densitas est maior – ut satis facile probari potest ex definitionibus „magis rari“ et „magis densi“, et antecedens patet, quia prima pars proportionalis est rara ut tria, cum eius raritas sit uniformiter difformis a quatuor usque ad duo, et secunda pars proportionalis est rara ut unum cum dimidio, sed unum cum dimidio est subduplum ad tria. Igitur secunda pars proportionalis est in subduplo rarior quam prima. Quod fuit probandum. Et sic probabis, quod tertia est in duplo densior quam secunda, et quarta in duplo densior quam tertia et sic in infinitum. Igitur totum continet infinitam materiam sub finita quantitate, et per consequens non est rarum. Omnis enim pars illius proportionalis tantum continet de materia sicut prima, ut patet calculatanti. Igitur. ¶ Dices et bene negando sequelam, et ad probationem concesso ante negando consequentiam, quia ad rarum uniformiter difformi a certo gradu usque ad non gradum sequitur ipsum esse rarum et non rarum, ut bene probat argumentum. Ad rarum vero uniformiter difforme a gradu usque certum gradum illud non sequitur, nec aliud etiam inconveniens ideo neganda est similitudo.

Sed contra, quia eadem ratione sequeretur, quod non posset dari densum uniformiter difforme a certo gradu usque ad non gradum, sed consequens est falsum, igitur et antecedens. Sequela patet, quia non est maior ratio de raritate uniformiter difformi a gradu usque ad non gradum quam de densitate uniformiter difformi a gradu usque ad non gradum, ergo si unum non est dabile, nec aliud concedendum erit. Sed iam probatur falsitas consequentis, quia ad densum uniformiter difforme a certo gradu usque ad non gradum nullum sequitur inconveniens, igitur densum uniformiter difforme a certo gradu usque ad non gradum est possib[i]le. Et si negas, quod ad illud nullum sequatur inconve[n]iens des illud, igitur inconveniens, quod sequitur, et non poteris, quia non sequitur illud, quod sequitur, ad rarum uniformiter difforme a certo gradu usque ad non gradum, nec aliquod aliud. Igitur. Antecedens probatur, quia licet talis uniformiter difformiter densi et cetera, secunda pars proportionalis proportione dupla sit in subduplo densior, et per consequens duplo rarior quam prima, et tertia in duplo rarior quam secunda, et quarta quam tertia et sic in infinitum, non tamen eo illud densum uniformiter difformiter et cetera est infinite rarum. Continet enim sub finita quantitate aliquam materiam, ut patet. igitur non sequitur tale inconveniens. Quod fuit probandum. ¶ Et confirmatu[r], quia si raritas et densitas essent possibiles, sequeretur, quod posset dari infinite densum, sed consequens est falsum. Igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequenti[ae] ostenditur, quia illud densum infinite esset aliqualiter magnum, et posset eius puncta adhuc magis approximari et ad

invicem approximari, et tunc tale condensaretur, igitur non esset ante illam approximationem punctorum infinite densum. Consequentia patet, et minor probatur, quia condensari nihil aliud est quam puncta approximari, ut patet ex descriptione condensationis. ¶ Dices et bene concedendo sequelam et negando falsitatem consequentis, et ad probatio[n]em concedo, quod puncta illius corporis possunt ad invicem aproximari, et nego, quod tunc condensaretur tale corpus, et cum probatur, quod sic per definitionem condensationis, dico, quod non sic describitur condensatio. Sed de hoc videbitur postea. Si enim alicuius pedalis prima pars proportionalis proportione dupla aliquid contineat de materia, et secunda tantum de materia, et tertia tantum et sic consequenter, ita quod prima sit aliquantulum densa, secunda in duplo densior, et tertia in quadruplo et sic consequenter, tunc constat, quod tale corpus est infinite densum et sub pedali quantitate infinitam materiam continet.

Sed contra, quia si solutio esset vera, sequeretur, quod posset dari finitum infinite densum uniformiter, sed consequens est falsum, igitur solutio nulla. Sequela probatur, quia tale corpus, de quo fit mentio in sol[u]tione, est finitum infinite densum difformiter ut dictis, igitur illud corpus finitum potest reduci ad uniformitatem. Quo facto tale corpus finitum esset infinite densum uniformiter. Igitur. Sed iam probatur falsitas consequentis, quia si aliquid est finitum infinite densum uniformiter, sequitur, quod prima pars proportionalis est ita densa sicut secunda adaequate, et secunda sicut tertia, et tertia sicut quarta et sic consequenter, et ultra prima pars proportionalis eius est ita densa sicut secunda adaequate et cetera, igitur secunda in duplo minus continet de materia quam tertia et sic consequenter, ergo residuum ex omnibus dempta prima habet tantum de materia sicut prima, sed materia primae est finita, igitur materia totius corporis est finita, et quantitas similiter finita, igitur totum corpus est finite densum, et sic non est uniformiter infinite densum. Quod fuit probandum. Et si dicas, quod secunda pars proportionalis continet tantam materiam sicut prima, et quaelibet sequens similiter, quia infinitam, iam sequitur, quod ad quodlibet punctum talis corporis est materia infinita et, quod est penetratio dimensionum, vel, quod materia primae partis proportionalis est reducta ad non quantum, et similiter materia secundae et tertiae et sic consequenter, et per consequens totum illud corpus erit reductum ad non quantum, et sic non erit finitum infinite densum uniformiter, quod fuerat demonstrandum. ¶ Confirmatur secundo, quia si raritas esset possibilis, etiam possibilis esset raritas infinita in subiecto finito, sed consequens est falsum. Igitur illud, ex quo sequitur. Sequela apparet, et falsitas consequentis deducitur, quia vel tale subiectum finitum continet infinitam materiam vel finitam. Si infinitam, iam illud non est rarum, et per consequens non est infinite rarum. Si finitam vel igitur continet tantam, quantam unum aliud subie[c]tum, aequale illi finite rarum vel maiorem vel minorem. Si tantam, sequitur, quod illa subiecta sunt aeque rara, et unum est finite rarum. Igitur et aliud. Si maiorem, iam sequitur, quod hoc non est ita rarum. Si minorem, cum non sit possibile, quod aliqua materia sit infinite modica, sequitur, quod in aliqua proportione materiam minorem continebit, et sic in eadem proportione erit magis rarum, et per consequens non erit infinite rarum. Quod fuit probandum.

Septimo principaliter arguitur sic inquirendo materiam de raritate et densitate difformi, quia si raritas et densitas essent possibiles, sequeretur, quod pedale, cuius prima pars proportionalis proportione dupla esset aliquantulum rara, et secunda in duplo rarior quam prima, et tertia in duplo rarior quam secunda, et quarta in duplo rarior quam tertia et sic consequenter, esset infinite rarum, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequelam probatur, quia raritas primae partis proportionalis illius corporis denominat totale corpus aliquantum rarum, et raritas secundae partis proportionalis tantum denominat, et raritas tertiae partis similiter et sic consequenter, igitur ibi | sunt infinitae denominationes aequales non conicantes illud corpus denominantes, igitur illud corpus est infinite rarum. Antecedens patet, quia raritas secundae partis est in subduplo subiecto et in duplo maior quam primae partis raritas, igitur tantum denominat totale corpus sicut raritas primae partis, et eadem ratione raritas tertiae tantum sicut raritas secundae et sic consequenter, ig[i]tur intentum. Sed falsitas consequentis probatur, quia illud corpus pedale sub finita quantitate continet aliquantam materiam, igitur non est infinite rarum. Item illud pedale est aliqualiter densum, igitur non est infinite rarum. Consequentia patet, et arguitur antecedens, quia prima pars proportionalis illius pedalis est aliqualiter densa, et secunda in duplo minus, et tertia in duplo minus quam secunda et sic consequenter, igitur prima pars proportionalis continet aliquantam materiam, et secunda in quadruplo minorem, et tertia in quadruplo minorem quam secunda et sic consequenter, igitur aggregatum ex illis omnibus materi[is] dempta materia primae partis est subtriplum ad materiam primae partis, sed materia primae partis est ut tria, (ut suppono), igitur tota materia illius corporis pedalis est ut quatuor, et per consequens illud corpus est ita densum adaequate sicut unum aliud pedale uniformite, quod habet quatuor gradus materiae. Quod fuit probandum. Et confirmatur, et capio unum corpus, cuius prima pars proportionalis proportione dupla sit aliquantulum rara uniformite[r], puta ut duo, et secunda in duplo minus, et tertia in duplo minus quam secunda et sic consequenter, sequitur, quod illud corpus esset rarum et non esset rarum, sed consequens implicat, igitur et quaestio. Sequela probatur, quia illud est rarum ut unum cum una tertia, igitur illud est rarum. Antecedens probatur, quia si esset unum corpus, cuius prima proportionalis proportione dupla esset intensa ut duo, et secunda in duplo minus, et tertia in duplo minus quam secunda et sic co[n]sequenter, totum esset intensum ut unum cum una tertia, ut probabitur infra de intensione. Igitur pari ratione illud corpus, cuius una pars proportionalis proportione dupla est rara ut duo, et secunda in duplo minus, et tertia in duplo minus quam secunda et sic consequenter, est rarum ut unum cum una tertia. Quod fuit probandum. Sed quod non sit rarum, probatur, quia est infinite densum, ergo non est rarum. Antecedens probatur, quia sub finita quantitate infinitam materiam continet, quod probatur, quia quaelibet pars proportionalis continet tantum de materia sicut prima, ergo tota materia illius totius est infinita. Antecedens probatur, quia cum secunda pars proportionalis est in duplo minus rara quam prima, ipsa est in duplo densior quam prima et est in duplo minor, ergo tantum continet de materia adaequate, quantam continet prima. Consequentia patet, quia si secunda esset aeque densa, cum prima in duplo minorem materiam conti[n]eret quam prima, ut patet, ergo cum modo sit in duplo densior, quam tunc esset modo sub eadem quantitate, in duplo maiorem materiam continet, quam tunc contineret. Et eodem modo probabis, quod tertia tantam materiam continet sicut secunda, et quarta sicut tertia et sic in i[n]finitum, et sic patet, quod il[l]ud continet infinitam materiam sub finita quantitate. Quod fuit probandum. ¶ Confirmat[u]r secundo, et capio unum pedale, cuius prima pars proportionalis proportione decupla sit densa aliqualiter, et secunda in duplo magis, et tertia in duplo magis quam secunda, et quarta in duplo magis quam tertia et sic co[n]sequenter, et sic arguo, sequeretur ex quaestione, quod illud corpus esset infinite densum, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia si alicuius corporis divisi per partes proportionales propositione dupla prima pars proportionalis sit aliquantulum densa, et secunda in duplo densior, et tertia in duplo densior quam secunda, et quarta in duplo densior quam tertia et sic consequenter, totum illud corpus est infinite densum, cum contineat sub finita quantitate infinitam materiam, ut probatum est in confirmatione superiori, igitur pari ratione etiam corpus divisum per partes proportionales proportione decupla, cuius prima

pars proportionalis sit aliquantulum densa, et secunda in duplo magis, et tertia in duplo magis quam secunda et sic consequenter, erit etiam densum infinite. Quod fuit probandum. Sed modo probatur falsitas consequentis, quia illud corpus divisum proportione de[c]upla et cetera, sub finita quantitate continet finitam materiam praecise, igitur est finite densum. Antecedens probatur, et suppono, quod prima eius pars sit densa ut unum, secunda pars proportionalis eius, si tantam materiam contineret, quantam continet prima, esset in decuplo densior, et per consequens ut decem, cum sit in decuplo minor, sed modo est in quintuplo minus densa, quam tunc esset, et hoc sub eadem quantitate, (quia duplum ad subdecuplum est subquintuplum ad decuplum, ut patet), et modo est praecise densa ut duo, ut patet ex casu, igitur modo in quintuplo minus continet de materia, quam tunc contineret, sed tunc continet tantam materiam, quantam continet prima, igitur modo in quintuplo minorem materiam continet quam prima, et pari ratione tertia pars proportionalis in quintuplo minus de materia continet quam secunda, et quarta in quintuplo minus quam tertia et cetera, igitur aggregatum ex omnibus illis materi[is] est sexquiquartum ad materiam primae partis proportionalis, sed materia primae partis proportionalis est finita ut quatour, ut suppono, igitur tota materia totius corcorporis est ut quinque, et per consequens finita. Quod fuit probandum.

Octavo arguitur sic, quia si raritas et densitas esse[n]t possibil[e]s, sequeretur, quod aliquid esset infinite densum, et idem esset densum solum finite, sed consequens implicat, igitur et illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et capio unum densum uniformiter divisum per partes proportionales proportione dupla, et volo, quod in prima parte huius horae pars proportionalis prima condensetur aliquantum, et in secunda parte istius horae secunda pars corporis illius condensetur in duplo plus, et in tertia parte tertia in triplo plus et sic consequenter. Quo posito in fine horae tale corpus est finite densum et infinite, quia infinite densa est aliqua pars eius. Igitur propositum. Q[uod] sit finite densum, arguitur sic, quia apparet, quod sit densum praecise sicut secunda pars proportionalis eius – ut deducebatur superius de motu – et infra videbitur de qualitate difformiter sic existente in corpore pedali. ¶ Dices forte negando sequelam, et ad probationem admisso casu negando, quod illud sit in fine infinite densum, et ad probationem, cum dicitur, infinite densa est aliqua pars eius, igitur est infinite densum, concesso ante, negatur consequentia, quia nec de motu nec de intensione tenet illa consequentia, et sic patet, quod solum est finite densum in fine.

Sed contra, quia si illud corpus in fine esset solum finite densum, posset dari eius adaequata densitas, sed consequens est falsum, igitur et antecedens. Consequentia patet, et arguitur falsitas consequentis, quia si posset dari eius adequata densitas, maxime esset dando densitatem secundae partis proportionalis, sed illud corpus non est in fine ita densum sicut secunda pars proportionalis eius, igitur propositum. Minor probatur, et volo, quod prima pars proportionalis illius corporis condensetur ad subduplum, et tunc patet ex casu, quod secunda pars condensabitur ad subquadruplum, quia in duplo magis. Et arguo sic: in fine tale corpus non erit in quadruplo densius, quam sit nunc, igitur in fine non erit ita densum sicut secunda pars proportionalis eius, quae erit in fine in quadruplo densior quam nunc. Antecedens probatur, quia in fine illud corpus non erit in quadruplo minus, quam sit nunc, sed maius, et aequaliter continebit de materia in fine sicut nunc, igitur in fine non erit in quadruplo densius, quam sit nunc. Maior probatur, quia prima pars proportionalis eius, quae modo est medietas, condensabitur ab subduplum. Igitur in fine manebit quarta illius – illius inquam in principio – et aliae partes proportionales non condensantur ad non quantum, igitur aggregatum ex illa prima parte et aliis erit magis quam quarta illius in principio. Igitur in fine illud corpus non erit in quadruplo minus, quam sit nunc. Quod fuit probandum. ¶ Et confirmatur, et capio unum pedale divisum per partes proportionales proportione dupla, et prima sit aliqualiter densa, et secunda in sesquialtero | densior, et tertia in sesquitertia densior quam prima, et quarta in sesquiquato densior quam prima et sic consequenter procedendo per omnes species proportionis superparticularis, et arguo sic: si raritas et densitas esse[n]t possibil[e]s, tale corpus esset alicuius densitatis, sed hoc est falsum. Igitur. Minor probatur, quia non potest dari eius adequata densitas, igitur non est alicuius adaequate densitatis, ergo propositum. ¶ Confirmatur secundo, et capio unum pedale divisum per partes proportionales proportione tripla, et prima aliquantulum densa, et secunda in duplo magis densa, et tertia in sesquialtero densior quam prima, et quarta in superbipertiente tertia densior quam prima, et quinta in duplo sesquialtero densior quam prima, et sexta in duplo superbipartiente tertias densior quam prima, et septima in triplo densior quam prima et sic consequenter capiendo primo primas species quinque generum proportionum et deinde alias quinque et sic consequenter. Quo posito sic arguo: si densitas esset, possibilis daretur adaequata densitas illius corporis, sed consequens est falsum, igitur, et illud, ex quo sequitur. Et si adversarius minorem neget, det illam, et in dubie facile eum calculator philosophus impugnabit.

Nono arguitur sic: si quaestio esset vera, sequeretur aliquid similiter rarefieri et condensari, sed consequens est impossibile, ergo et antecedens. Sequela probatur, et po[n]o, quod pedale uniforme dividatur per partes proportionales proportione dupla, et in prima pate proportionali huius horae prima pars proportionalis talis corporis rarefiat ad duplum sui, et in secunda parte proportionali secunda condensetur ad subduplum, et in tertia similiter ad subduplum et sic consequenter. Quo posito arguitur sic: in fine tale corpus est rarius et similiter densius, quam sit modo. Igitur. Quod sit densius, probatur, quia infinitae partes eius sunt densiores in duplo, quam erant antea, igitur totum est densius, quam erat antea. Sed quod sit rarius, probatur, quia est maius, quam erat antea, et non nisi per rarefactionem, ut facile habetur ex casu, igitur ipsum est rarius, antecedens probatur, quia plus quantitatis acquisivit prima pars proportionalis, quam perdidit aggregatum ex omnibus sequentibus eam, igitur totale corpus effectum est maius. Antecedens patet, quia prima pars proportionalis, cum esset semipedalis, acquisivit semipedalem quantitatem, et omnes aliae sequentes perdiderunt quartam partem pedalis, igitur prima pars magis acquisivit, quam omnes aliae sequentes perdiderunt. Minor probatur, quia secunda pars proportionalis, quae est una quarta pedalis, perdidit medietatem sui, et sic perdidit octavam pedalis, et tertia perdidit medietatem illius octavae, et quarta iterum subduplam quantitatem ad tertiam et sic consequenter procedendo per proportionem subduplam, igitur aggregatum ex omnibus partibus proportionalibus sequentibus secundam perdidit tantum quantitatis, quantum perdidit secunda, et secunda perdidit unam octavam pedalis, igitur aggregatum ex ipsa et omnibus sequentibus eam perdidit quartam partem pedalis. Quod fuit probandum. Et per consequens totum corpus acquisivit quartam partem pedalis, et sic est maius in sexquiquarto, et per consequens est rarefactum. Quod fuit probandum. ¶ Et confirmatur et pono casum, quod sit aliquod corpus divisum per partes proportionales proportione dupla, et volo, quod in prima parte proportionali huius horae rarefiat prima pars talis corporis versus secundam condensando secundam ad subduplum aeque velociter, ita quod tantum rarefiat, quantum alia condensabitur omnibus aliis quiescentibus, et in secunda parte proportionali rarefiat secunda versus tertiam condensando tertiam ad subduplum, et in tertia rarefiat tertia versus quartam condensando eam ad subduplum ceteris quiescentibus et sic in infinitum.

Quo posito in fine horae illud corpus est densius, quam erat, et etiam rarius, igitur aliquid simul rarefit et condensatur, si raritas et densitas si[n]t possibil[e]s. Antecedens probatur, quia prima pars proportionalis est maior, quam erat antea, et aggregatum ex ipsa et secunda [est] maius, quam erat antea, et aggregatum ex ipsa secunda et tertia [est] maius, quam erat antea, et aggregatum ex mille primis et ex quotcunque finitis computata prima est maius, quam erat antea, igitur illud corpus totale est maius, quam erat antea, et per consequens rarius.

Antecedens probatur, quia aggregatum ex prima et secunda est maius, quam erat antea, quia prima acquisivit aliquantam quantitatem, et secunda subduplam perdidit, igitur aggregatum ex illis magis acquisivit, quam perdiderit, et sic probatur de quocumque aggregato. Sed quod tale corpus non sit rarius, probatur, quia in fine adaequate est tantum, quantum erat antea, igitur non est rarius. Probatur antecedens, quia prima pars proportionalis eius aliquam quantitatem acquisivit – acquisivit inquam ad bonum sensum, ut in proposito debet sumi – et aggregatum ex omnibus sequentibus tantum adaequate deperdidit, ergo illud corpus manet aequale tantum vi[delicet], quantum erat antea. Minor probatur, quia prima pars proportionalis acquisivit aliquam quantitatem, et secunda perdidit in duplo minorem, et tertia in duplo minorem perdidit quam secunda et sic consequenter, ergo aggregatum ex omnibus sequentibus primam quantitatem est aequale primae, et illa est quantitas deperdita, igitur quantitas deperdita est aequalis omnino quantitati aquisitae.

Decimo principaliter arguitur sic: si raritas et densitas esse[n]t possibil[e]s, sequeretur, quod aliquod corpus pedale per totam horam istam sequentem esset maius, quam nunc est, et in fine esset adaequate aeque magnum, sicut nunc est, et tamen tunc nihil perderet, sed hoc apparet impossibile, igitur impossibilitas consequentis coloratur, quia si per totam horam esset maius, quam nunc est, capio igitur quantitatem et excessum, per quam erit maius per totam horam, arguitur sic: talis excessus erit deperditus in fine horae, et erit per totam istam horam, igitur aliquid perdit in fine horae, quod fuit negatum, et sic partes illius illati non se compatiuntur. Sed sequela probatur[], et pono pono casum, quam in prima medietate huius horae future prima medietas pedalis corporis datae rarefiat ad duplum, et in secunda medietate iterum condensetur uniformiter et aeque velociter, sicut rarefiebat. Quo posito in fine horae tale corpus erit adaequate pedale, et tantum adaequate erat in principio, et per totam horam erit maius pedali, igitur propositum. ¶ Dices et bene concedendo illatum, nec illud inconvenit.

Sed contra, si illud esset verum, sequeretur pariformiter, quod aliquid est nunc pedale, et per totam istam horam sequentem continuo erit maius, et tamen in fine erit minus, quam nunc est nihil in fine deperdendo, sed consequens videtur impossibile, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela tamen deducitur, et capio unum corpus pedale divisum ad imaginationem per partes proportionales, et hora similiter futura dividatur (maiorbus terminatis versus instans, quod est praesens), et in prima parte proportionali horae acquirat prima pars corporis unum pedale ceteris quiescentibus, et in secunda parte secunda pars corporis acquirat duo pedalia condensando primam usque ad subduplam quantitatem respectu illius, quam habet in instanti praesenti, et in tertia acquirat tertia pars corporis quatuor pedalia condensando secundam ad subduplam quantitatem respectu illius, quam habet in instanti praesenti, et sic in infinitum. Quo posito in fine horae illud corpus manebit subduplum respectu magnitudinis, quam nunc habet, quia quaelibet pars proportionalis eius condensabitur ad subduplum, et tamen in illo instanti in fine nihil deperdet, quam quicquid perdet, perdet in aliqua parte proportionali, et per totam horam continuo erit maius et maius, ut facile ex casu iudicatur. Immo ex casu in infinitum crescit, igitur propositum. Eodem modo posset deduci conclusio illata: esto, quod illud pedale non augeretur in infinitum, immo semper esset citra bipedale ponendo, quod in prima parte proportionali horae prima pars proportionalis illius pedalis acquirat unam partem proportionem unius pedalis, et in secunda parte proportionali acquirat secunda pars duas primas partes proportionales, et prima condensaret[]ur a[d] subsesquialterum, vel | ad subsesquitertium in idem incidit respectu quantitatis, quam habet in instanti, quod est praesens, et sic in infinitum. Quo posito manifestum est, quod illud corpus semper erit maius et maius per totam illam horam, et numquam erit bipedale, et tamen in fine erit minus, (minus inquam in subsesquitertio), quam perdet unam quartam, ut patuit ex regulis proportionum, sed hoc videtur inconveniens. Igitur.

In oppositum arguitur experimento et auctoriate. Experimento sic: nam videmus aquam igni oppositam maiorari et puncta in ea magis distare quam a[n]tea, et talis maioratio a philosophis rarefactio vocatur, igitur rarefactio est possibilis, per consequens raritas. Item videmus aquam bulientem, cum ab igne seperatur, minorari et eius puncta proximiora effici, et talis minoratio vocatur a philosophis co[n]densatio, igitur condensatio est possibilis, et per consequens densitas. Auctoritate autem probatur: nam philosophus quarto physicorum in capitulo primo videlicet: sunt autem quidam, qui per rarum et densum opinantur manifestum esse vacuum, asserit rarum et densum esse, igitur. Item philosophus et commentator eius septimo physicorum commento quindecimo ponunt motum rarefactionis et condensationis, ubi commentator inquit, densitas nihil aliud est quam transmutatio alicuius ad minorem magntiudinem, raritas vero econtra, hoc idem habetur ex philosopho quarto meteororum commento decimo septimo, igitur raritas et densitas sunt possibiles.

Pro decisione huius quaestionis tria ordine faciemus: primo notabilis diversarum opinionum et complurium terminorum declarativa ponemus. Secundo aliquas conclusiones de intensione densitatis difformis inducemus, et tertio quaedam dubia cum solutionibus argumentorum ante oppositum adiiciemus.

Notandum est primo, quod de entitate sive substantia ipsius raritatis et densitatis quadruplex est opinio, ut ex dictis calculatoris in capitulo de raritate et densitate circa principium clare haberi potest.

Prima opinio est, quod raritas et densitas sunt qualitates contrariae velut albedo et nigredo, ita quod ipsa raritas non est ipsa res rara, nec est punctorum distantia in materia proportionata secundum hanc opinionem, sed est una qualitas, sicut est nigredo, quae si fuerit in subiecto, denominabit ipsum rarum, dummodo contrarium non impediat, puta densitas. Si vero non fuerit talis qualitas in aliquo subiecto, puta in igne aut in aere, tunc nec aer nec ignis diceretur rarus. Et huius opinionis – ut superius tactum e[st] in quodam argumento – fuerunt aliqui doctores ut Galterus Burleus in septimo physicorum et in suo tractatu de intensione formarum et commentator septimo physicorum commento quindecimo, ut sibi imponit Burleus. Eiusdem etiam sententiae fuit Paulus Venetus in quarto physicorum, et etiam haec quaestio temporibus Archytae philosophi, qui praedicam[e]nta edidit vel quem imitatus est philosophus in libro predicamentorum, agitabatur inter philosophos, ut facile est intueri ex verbis philosophi in capitulo de qualitate in libro praedicamentorum, ubi dubitat, an rarum et densum sint qualia – hoc est denominata a qualitatibus – an sint positiones, nec opineris solum de terminis ibi est contentionem.

Secunda opionio est, quod raritas dicitur positive, densitas vero est privatuum eius, et mea sententia haec opinio voluit assere raritatem esse quandam qualitatem et densitatem esse privationem eius, sicut

lux est quaedam qualitas, et tenebrae sunt eius privatio, et intensio est quaedam qualitas, et remissio eius privatio, ita quod quando aliquid rarefit aliqua qualitas, quae dicitur raritas, ei acquiritur, cum vero condensatur, non acquiritur ei aliqua qualitas, quae dicatur densitas, sed tale corpus deperdit raritatem. Alii autem aliter intelligunt hanc opinionem dicentes, quod secundum eam neque raritas neque densitas sunt qualitates, sed ipsa raritas est ipsamet res rara, et ipsa densitas ipsammet res densa. Dicitur tamen raritas positivum secundum hanc opinionem, quia quando aliquid rarefit, ei acquiritur quantitas, ipsumque efficitur maius, quando vero condensatur, ipsum efficitur minus. Et ideo raritas dicitur positive, densitas vero privative, quia per densitatem subiectum aliqua quantitate privatur, per raritatem vero aliquam quantitatem acquirit.

Tertia opinio est, quod densitas dicitur positive, et raritas privative, non tamen dicit densitatem esse qualitatem, et addit, quod ex uniformi rarefactione alicuius per tempus secundum se totum acquiritur uniformiter quantitas, addit secundo, quod si rarius et densius aequalis quantitatis aeque velociter rarefiunt, densius maiorem quantitatem acquirit quam rarius.

Quarta vero positio est, quod densitas dicitur positive, et raritas privative, et quod raritas est ipsamet res rara, et densitas similiter, et differt haec opinio a tertia, quia addit contradictorias propositiones duabus propositionibus, quas addit tertia, ut postea plus declarabitur. Hanc autem opinionem principaliter intendo sustentare et declarare, quia ea est, quam defensat calculator in hac materia ceteros excellens, et quia ipsa et dictis philosophorum et naturalibus experimentis conformior ceteris opinionibus apparet. Hic op[i]nionibus sic recitatis:

Quaeritur, utrum ipsae sint sustentabiles et signanter de tribus primis. ¶ Et arguitur primo, quod prima non sit possiblis per argumentum primum ante oppositum, in quo probatur, quod raritas et densitas non possunt positive accipi sicut albedo et nigredo.

Secundo arguitur, si raritas et densitas essent qualitates et signanter contrariae, ut dicit opinio, sequeretur, quod aliquid nec esset rarum nec densum et contineret finitam materiam sub finita quantitate, consequens est falsum, ergo et antecedens. Sequela probatur, et pono, quod sit A corpus pedale habens duos gradus materiae et habeat quatuor gradus raritatis et quatuor densitatis. Quo posito illud nec est rarum nec est densum, quia raritas et densitas sunt qualitates contrariae aequales in ipso, et sic se impediunt, et tamen ipsum certam materiam continet sub finita quantitate, ut ponit casus. Igitur. Sed iam probo falsitatem consequentis, quia sequitur bene, contine[a]t finitam materiam sub finita quantitate, ergo sequitur, quod est rarum, ut patet ex definitione „rari“, et non est rarum per te. Igitur contradictio.

Tertio contra eandem opinionem arguitur, quia si illa esset vera, sequeretur, quod aliquid esset infinite rarum, quod esset etiam densum, consequens implicat. Igitur. Arguitur antecedens, et pono, quod A sit unum corpus divisum per partes proportionales proportione dupla, et prima pars proportionalis sit aliqualiter rara, et secunda in duplo magis, et tertia in duplo magis quam secunda, et quarta in duplo magis quam tertia et sic in infinitum. Quo posito arguitur sic: A est infinite rarum et est densum. Igitur propositum. Probatur maior, quia raritas | primae partis proportionalis denominat ipsum aliqualiter rarum, et raritas secundae partis tantum, (cum sit dupla in subdupla parte), et raritas tertiae tantum sicut raritas secundae, (cum sit dupla in subduplo subiecto), et sic in infinitum. Igitur quaelibet pars proportionalis alia a prima denominat tantum illud corpus rarum sicut prima, et sunt infinitae, igitur infinitae rarum denominant illud corpus, et sic est infinite rarum. Sed quod sit densum, probatur, quia habet finitam materiam – ut notum est – sub finita quantitate, ut ponitur, igitur est densum.

Contra secundam opinionem quarto arguitur sic, quia, si illa esset vera, sequeretur, quia omne rarum esset infinite desum, et sic esset rarum et non esset rarum, quod implicat. Probatur sequela, quia in omni raro secundum illam opinionem est infinita densitas, igitur omne rarum est infinite densum. Arguitur antecedens, et capio aliquod rarum, in quo sit per totum raritas ut quatuor, quae per te est quaedam qualitas aut positive dicitur. Divido igitur illam raritatem per partes proportionales secundum intensionem, et hoc proportione dupla, et arguo sic: prima pars proportionalis illius raritatis est aliqualiter densa sive habet aliquam densitatem, sicut pars intensa qualitatis habet aliquam remissionem, et secunda pars proportionalis est in duplo minor raritas, igitur in duplo maior densitas, et tertia in quadruplo minor raritas quam prima, igitur in quadruplo maior densitas, et quarta in octuplo minor raritas, ergo in octuplo maior densitas, et sic in infinitum, ergo infinita densitas est in tali corpore. ¶ Et confirmatur, quia ubicumque est aliquod posit[i]vum, ibi est in infinitum de suo privativo, (dummodo privativum et positivum se compatiantur), sed raritas se habet positive, et densitas privative, et se compatiuntur, ergo ubicumque est aliqua raritas, ibi est infinita densitas, seu in infinitum magna densitas. Probatur maior inductive, quia, ubi est aliqua magnitudo, ibi est in infinitum parva quantitas, et ubi est aliqua distantia, ibi est in infinitum magna propinquitas, quia propinquitas dicitur privative ad distantiam. Et ubicumque est aliqua intensio, ibi infinita remissio est, ut facile est intueri, quia ibi est aliqualis intensio et subdupla et subquadrupla et sic in infinitum, et sic de aliis privativae, si quae sint talia.

Qu[]into contra eandem arguo sic: si raritas diceretur positive, sequeretur, quod aliquod corpus aliqualiter rarum per solam rarefactionem sive inductionem raritatis et motum consequentem raritatem, qui motus est augmentatio, ipsum effic[e]retur densius, sed consequens est manifeste falsum, quia tunc ipsum efficiretur maius aequaliter continens de materia, ergo non efficeretur densius, immo rarius, et sic illud consequens est falsum. Sed iam probo sequelam, et capio unum corpus tripedale, cuius una medietas sit rara ut duodecim, et alia rara ut duo, et volo, quod illa rara ut duo acquirat duos gradus raritatis quiescente altera rara ut duodecim. Quo posito arguitur sic: in fine illius rarefactionis illud corpus est minus rarum quam antea, igitur propositum. Antecedens arguitur, quia antea illud corpus erat rarum ut septem, quia medietas rara ut 12 denominabat ut sex, et medietas rara ut duo denominabat ut unum, igitur tota illa raritas erat ut septem, et modo est ut sex cum duabus tertiis praecise, igitur est minus rarum quam antea. Sed iam probo, quod modo est rarum ut sex cum duabus tertiis praecise, quia illud corpus est modo tripedale, quia antea erat bipedale et eius una medietas pedalis effecta est in duplo maior, et sic effecta est bipedalis, et per consequens effecta est duae tertiae totius, et illae duae tertiae habent raritatem ut quatuor per totum, et sic illa raritas denominat totum rarum ut duo cum duabus tertiis. Reliquum vero pedale, quae est una tertia est rarum ut duodecim, et sic denominat totum ut quatuor, modo quatuor et duo cum duabus tertiis sunt

sex cum duabus tertiis, ergo totum est rarum ut sex cum duabus tertiis. Quod fuit probandum. Et hoc est optimum argumentum contra istam opinionem, quod apparentissime impugnat eam sive teneatur secundum istam op[i]nionem raritatem esse qualitatem sive non, dummodo dicatur raritas positive.

Sexto contra eandem secundam opinionem arguitur: si raritas esset qualitas aut positive diceretur, sequeretur, quod difformiter difforme, cuius utraque medietas esset uniformis, non corresponderet suo gradui medio, sed consequens est falsum, igitur, et illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et pono, quod sit unum bipedale, cuius una medietas sit rara ut octo, et alia ut quatuor, et arguitur sic: raritas istius corporis non correspondet suo gradui medio, quae est ut sex. Igitur. Arguitur antecedens, et volo, quod medietas rara ut octo deperdat duos gradus raritatis, et tantum acquirat medietas minus rara uni[]formiter in eodem tempore. Quo posito in fine totum illud manebit uniforme ut sex, et manebit rarius quam est modo, ergo raritas eius non correspondet gradui medio, quae est raritas ut sex. Sed iam probo minorem, videlicet quod illud corpus in fine manebit rarius, quam sit modo, quia illa medietas, quae est rara ut quatuor, acquiret proportionem sesquialtera[m] raritatis supra se, et est unum pedale, igitur acquiret semipedale, medietas vero rarior deperdet proportionem sesquitertiam raritatis et est pedalis, igitur deperdet unam quartam pedalis, ergo sequitur, quam maiorem quantitatem acquirit totum illud corpus, quam deperdit, et per consequens est rarius quam antea, et est rarum uniformiter ut sex, puta gradu medio inter 4 et 8. Igitur antea, quando erat difforme, erat minus rarum, quam sit gradus medius, et sic sua raritas non correspondebit suo gradui medio. Quod fuit probandum.

Septimo contra tertiam opinionem arguitur sic et signanter contra primam propositionem, quam addit opinio, videlicet quod ex uniformi rarefactione sive acquisitione raritatis per tempus sequitur uniformis acquisitio quantitatis, quia si ita est, capio unum pedale rarum ut quatuor, et volo, quod acquirat uniformiter per horam quatuor gradus raritatis, et arguitur sic: in illa hora totale illud pedale difformiter acquirit quantitatem et uniformiter raritatem, igitur illa propositio falsa. Maior probatur, videlicet quod difformiter acquirit quantitatem, quia bene sequitur, uniformiter acquirit raritatem, ergo uniformiter deperdit densitatem. Patet consequentia, quia nihil aliud est uniformiter acquirere raritatem quam uniformiter deperdere densitatem, (raritas enim secundum hanc opinionem privative dicitur), et ultra uniformiter deperdit densitatem, ergo difformiter acquirit quantitatem, antecedens est verum, ergo et consequens. Probo tamen hanc ultimam consequentiam, quia continuo in aequali tempore tale corpus maiorem proportionem densitatis deperdit, igitur continuo in aequali tempore maiorem quantitatem acquirit. Consequentia patet, quia aeque proportionabiliter, sicut deperditur densitas, maioratur quantitas, et antecedens probatur, quia continuo illa densitas, quando deperditur, est minor et continuo aeque velociter deperditur, ergo continuo maiorem proportionem deperdit. Patet consequentia ex secunda parte quarto capite octava suppositione. ¶ Confirmatur, quia secunda propositio, quam addit haec se[c]unda opinio, videlicet quod si rarius et densius aequalia aeque velociter rarefiant, continuo densius maiorem quantitatem acquirit quam rarius, repugnat alteri propositioni, quam addit quam immediate procedens argumentum impugnat. Igitur illa opinio non cohaeret sibi ipsi. Arguitur antecedens, et capio duo pedalia, unum densum ut quatuor et aliud densum ut duo, et manifestum est secundam istam opinionem, quod densum ut duo est magis rarum. Volo igitur, quod utrumque illorum rarefiat aeque velociter acquirendo infinitam raritatem in | hora. Quo posito arguo sic: utrumque illorum in hora acquisivit aequalem quantitatem, [puta] infinitam, cum utrumque sit infinite rarum in fine et uniformiter acquirebat raritatem sicut quantitatem, ut dicit prima propositio, et tamen unum illorum erat densius, et aliud rarius, et aeque velociter rarae fiebant per illud tempus, ergo non si rarius et densius aequalis quantitatis aeque velociter rarefiant, densius maiorem quantitatem acquirit quam rarius, quia in casu illo acquirit aequalem, vel si sic, iam non uniformiter sicut acquiritur raritas acquiritur quantitas, et per consequens una pars repugnat alteri. ¶ Dices forte, quod haec opinio intelligit, dummodo utrumque acquirit finitam raritatem, modo in propositio utrumque acquirit infinitam.

Sed contra, quia esto, quod utrumque acquirit finitam raritatem, rarius videlicet et densius, adhuc tamen rarius maiorem quantitatem acquirit, igitur solutio nulla. Arguitur antecedens et volo, quod sint duo pedalia A et B, A densum ut quattuor [et] B densum ut octo, et tam A quam B acquirat duos gradus raritatis. Quo posito arguitur sic: A maiorem quantitatem acquirit quam B et est rarius B et aeque velociter rarefit cum B, igitur quando rarius et densius aeque velociter rarae fiunt, rarius maiorem quantitatem acquirit quam densius. Probatur maiori, quia si A acquirit duos gradus raritatis, et B similiter, sequitur, quod utrumque illorum deperdit duos gradus densitatis, et sic A efficitur in duplo minus densum, et per consequens efficitur in duplo maius et acquirit unum pedale. B vero, cum deperdat duos gradus densitatis et sit ut octo, deperdit proportionem sesquitertia densitatis, et sic efficitur in sesquitertio maius, et per consequens acquirit unam tertiam pedalis, et aliud rarius acquirit unum pedale, ut dictum est, igitur maiorem quantitatem acquirit rarius quam densius aequale, quando et aeque velociter rarefiunt. Quod fuit probandum. Et haec ferme sunt ex subtili Minerva calculatoris excerpta, qui multa alia in has tres opiniones argumenta coniecit, quae apud eum poteris conspicere.

In oppositum arguitur pro prima opinione auctor[i]tate commentatoris septimo physicorum commenento quindecimo, ut superius allegatum est. Item raritas et densitas videntur effectus qualitatum primarum, igitur sunt qualitates secundae.

Pro secunda opinione arguitur sic: semper ad inductionem raritatis sequitur acquisitio alicuius positivi, puta quantitatis, igitur raritas est quoddam positivum. Coloratur consequentia, quia nullum privativum necessario est causa alicuius positivi, hoc est: non est necesse, quod ad privationem alicuius positivi sequatur necessario necessitate simpliciter acquisitio alterius positivi, ergo si raritas esset sive diceretur privative, numquam ad acquisitionem eius necessario simpliciter sequeretur acquisitio quantitatis aut alicuius alterius positivi. ¶ Et confirmatur hoc inductive: nunquam enim ad acquisitionem silentii sequitur necessario acquisitio alicuius positivi nec ad acquisitionem tenebrarum nec ad acquisitionem parvitatis et similiter remissionis et sic de singulis privativis, igitur si raritas esse[t] privativum, non necessario ad acquisitionem raritatis sequeretur acquisitio alicuius positivi. Patet haec consequentia a simili. ¶ Pro tertia opinione non arguo, quia non intendo ea deffensare, quamvis forte sit deffensabilis.

Pro solutione huius dubitationis advertendum est, quod, cum occurrit contrapugnantia et opinionum diversitas de entitate alicuius rei, tunc diversimode opinantes diversas talis rei co[n]stituunt definitiones et proprietates, ut cum occurrit difficultas

de complexe significabilibus, an sint entia in rerum natura existentia, an sint entia largo modo capiendo eo modo, quo latius Gregorius de Arimino hanc materiam in primo sententiarum disquirit, oportet, quod hi, qui opinantur complexe significabilia esse vere entia realia, quae significantur per extrema propositionis, alio modo definiant complexe significabilia quam hi, qui opinantur ea non esse vere et realiter entia. Et similiter dicendum est de diversitate opinionum inquirentium entitatem secundarum intentionum. Scotus enim diceret secundam intentionem esse obiective in intellectu nec esse creaturam aut creatorem. Nominalis vero diceret secundam intentionem esse terminum et esse vere ens creatorem aut creturam. Nec nominalis admitteret definitionem realis aut eo contra, si debeat serio respondere. Et idem dicendum est de quantitate, quam realis d[e]finit esse accidens inhaerens substantiae nullo pacto esse substantiam. Nominalis vero eo contra oppositam definitionem quantitati asscribit, idem dicendum est de paternitate, quam realis definit esse accidens respectivum intrinsecus distinctum a patre. Nominalis vero dicit paternitatem esse patrem, qui de substantia sua genuit filium, et profecto, si realis admitteret definitionem nominalis, nequaquam posset contradictionem evadere. Eo contra vero de nominalibus censendum est.Ex quibus perspicuum evadet opere pretium esse, cum controversia et opinion[]um repugnantia de rerum entitate intervenerit sive occurrerit per opinionum varietate[m], varias definitiones cudere. Ex quo clare deducitur in hac opinionum varietate circa entitatem raritatis et densitatis necesse esse per opinionum varietate[m] varias raritatis et densitatis descriptiones assignare. Primam enim opinionem aut secundam definitionibus quartae uti, esset perinde atque nominalem in controversia de relatione, an a fundamento distinguatur, realium definitionem assumere. His enim definitionibus assumptis facile ad contradictionem duceretur. Dico igitur ad propositum accedendo, quod secundum primam opinionem, quae ponit raritatem et densitatem esse qualitates, oportet sic definire: raritas est quaedam qualitas, qua aliquid denominatur rarum sive natum est denominari, rarum vero est res habens raritatem denominantem ipsam raram. Densitas vero est aliqua qualitas, qua aliquid denominatur densum sive natum est denominari, densum quidem est res habens densitatem denominantem ipsam densam. ¶ Ex quo sequitur primo, quod si sit unum pedale habens quatuor gradus raritatis, hoc est illius qualitatis, et habeat in triplo plus de materia quam aliud pedale, quod habet duos gradus eiusdem qualitatis, illud, quod habet in triplo plus de materia, est magis rarum in duplo. ¶ Ex quo sequitur secundo hanc consequentiam non valere secundum hanc opinionem: ista duo sunt aequalia, et unum illorum habet in quadruplo plus de materia quam aliud, ergo illud est in duplo densius quam aliud, quantum haec opinio nullo modo aspicit materiam, sed praecise gradus illius qualitatis, quae est densitas sive raritas. ¶ Sequitur tertio, quod haec consequentia nihil valet secundum hanc opinionem: hoc pedale habet multum de materia sub modica quantitate[], ergo est densum, quantum possibile est, quod habeat multam materiam et nullam densitatem habeat, quare non erit densum, ut patet ex definitione data. Et dicas, quod ibi arguitur a definitione ad definitum, negat illud haec opinio, quam omnino eodem modo considerat de raritate et densitate et a caliditate et frigiditate. ¶ Sequitur quarto aliquod pedale esse, quod nec est rarum neque densum, patet de illo pedali, in quo sunt quatuor gradus raritatis et quatuor gradus densitatis, sunt enim raritas et densitas contrariae qualitates suas denominationes [habentes] in gradibus aequalibus aequaliter extensis impedientes more aliarum | repugnantium qualitatum. ¶ Sequitur quinto, quod quamvis communiter ad acquisitionem densitatis sequatur diminutio quantitatis, et ad introductionem raritatis sequatur augmentatio quantitatis, ut in pluribus, tamen non necessario id, quod condensatur, diminuitur, aut id, quod rarefit, augetur. Rarefactio enim et condensatio sunt alterationes, nec secundum illam opinionem eas necessario insequuntur augmentio et diminutio. Quemadmodum ut in pluribus caliditas rarefacit et inducit extensionem quantitatis, et frigiditas diminuit in pluribus quantitatem, non tamen necessario hoc fit, nec naturaliter nec simpliciter. Stat enim aliqua calefieri et continuo magis et continuo minorari, ut postea in dubio quodam patebit. ¶ Sed insequendo secundam opinionem definienda est sic raritas: raritas est quaedam qualitas, qua aliquid dicitur rarum vel, quae nata est, rarum denominare, rarum vero est habens raritatem ipsum denominan[t]em. Densitas vero est raritas remissia eo modo, quo dicimus remissionem esse qualitatem remissam, puta non infinite intensam. Densum vero est habens raritatem finitam denominantem ipsum rarum. ¶ Ex quo sequitur, quod eodem mod[o] loquendum est secundum hanc opinionem de raritate sicut de intensione et de densitate sicut de remissione. ¶ Sequitur secundo, quod eodem modo secundum hanc opinionem et praecedentem raritas difformis ad uniformitatem reducitur sicut albedo difformis. ¶ Sequitur tertio, quod non repugnat secundum hanc opinionem pedale habere infinitam materiam et esse rarum, ut puta si habeat infinite intensam raritatem. His positis pono duas conclusiones.

Prima conclusio: et si prima opinio multa concedat, quae communiter et passim negantur, ipsa tamen probabilis est. Prima pars patet ex correlariis supra ex ea inductis, secunda patet per rationem in oppositum, adduciam, et tertia, videlicet quod sit facile sustentabilis, patebit solvendo rationes, qui ei adversantur.

Secunda conclusio: secunda opinio licet videatur extranea ex eo, quia in dissuetudinem abiit, tamen ipsa probalitate fulcitur et defensatur. Prima pars ex se patet saltem diebus nostris. Secunda autem in argumento in oppositum coloratur. Et sic patet, quid dicendum sit ad dubium, quod videlicet duae primae opiniones probabiles et sustentabiles sunt. De tertia vero nihil ad presens dico propter eas propositiones quas addit quae non multum coherent ut argumenta in eam ostendunt

Ad argumenta ante oppositum contra primam opinionem: ad primum respondebitur in calce quaestionis, ubi dicetur ad argumenta in oppositum quaestionis principalis. ¶ Ad secundum respondeo concedendo sequelam et negando falsitate[m] consequentis et ad probationem nego consequentiam, et cum probatur per locum a definitione, nego illam esse definitionem, ut dictum est. Et profecto videtur mihi illam definitionem etiam secundum quartam opinionem non esse sufficientem, quam sequeretur nullum accidens aut formam substantialem posse rarefieri nec etiam quantitatem, licet distinguatur a re, quanta quam talia nullam materiam continent, nisi velis proterve dicere aliqua rarefieri posse, quae rara esse non possunt, sed dubio procul conveniens est ut ea, quae rarefiant, etiam rara dicantur. ¶ Ad tertium negatur sequela et ad probationem admitto casum et concedo illud corpus esse infinite rarum perinde, atque concederetur illud esse infinite album, si sic haberet infinitam albedinem suo in permixtam contrario, et nego illud esse densum et ad probationem nego consequentiam, nec ibi arguitur a definitione ad definitum, ut dictum est. ¶ Ad quartum, quod est co[n]tra secu[n]dam opinionem

resondeo negando sequelam et ad probationem concedo antecedens et nego consequentiam, non enim maioris coloris aut apparentiae est illa consequentia, quod ista in quolibet magno est infinita parvitas, ergo quodlibet magnum est infinite parvum, vel quam ista in quolibet intenso est infinita remissio capiendo ly „infinitum“ syncathegorematice, ergo quodlibet infinitum est infinite remissum, sed illae consequentiae nihil valent, ut satis constat, ergo nec altera. Ad quintum, quod est contra secundam opinionem respondeo concedendo sequelam, ut bene probat argumentum, et negando falsitatem consequentis. Censere enim aut iudicare aliquid esse minus aut magis rarum secundum hanc opinionem ex maioritate aut minoritate quantitatis stante eadem materia est a principio huius opinionis plurimum deviare. Si tamen tu velis intelligere per rarefactionem rarefactionem totius sive inductionem raritatis, qua totum rarefit, et sic eo modo nego istam sequelam, quantum in casu argumenti totum istud corpus non rarefit, sed efficitur minus rarum, ut bene probat argumentum. Si vero per rarefactionem intelligas rarefactionem partialem, qua aliqua pars illius corporis acquirit aliquos gradus illius qualitatis, quae est raritas, et sic eo modo concedo tibi sequelam, ut concessi, nec istud consequens videtur afferre maius inconveniens quam istud (supposito, quod caliditas, ut in pluribus, augmentat sive maiorat quantitatem), aliquod calidum per solam calefactionem sive inductionem caliditatis et motum consequentem, ut in pluribus, inductionem caliditatis, qui motus est augmentio, efficitur minus calidum, sed istud consequens non est inconveniens, ut probabitur, igitur nec aliud probatur minor, et posito, quod una medietas corporis bipedalis sit calida ut 12, et alia ut duo, et acquirat medietas calida ut duo duos gradus caliditatis, ita ut efficiatur calida ut quatuor alia medietate quiescente, et efficiatur alia medietas minus calida, quando acquirit illos duos gradus in duplo maior. Quo posito istud corpus efficitur minus calidum quam antea, et hoc solum per inductionem caliditatis et motum, ut in pluribus, consequentem inductionem caliditatis, igitur propositum. Consequentia patet cum minore, et arguitur maior, quia istud corpus in principio inductionis illius caliditatis est calidum ut septem et in fine est calidum ut sex cum duabus tertiis, ut patet ex modo probandi quarti argumenti, quod modo sol[vi]mus. Igitur. Alio modo etiam potest negari sequela[m] simpliciter, et hoc si teneamus intensionem qualitatis correspondere suo gradui summo, quam id oportebit dicere secundum hanc opinionem de raritate difformi, quam secundum eam raritas qualitas est. ¶ Ad sextum, quod est etiam contra secundam opinionem, respondeo negando sequelam et ad probationem admisso casu concedo, quod in fine illud corpus manebit rarum ut sex, et nego, quod manebit rarius, quam sit modo, et ad probationem nego hanc consequentiam, maiorem quantitatem acquirit, quam deperdit, manente eadem materia, ergo est rarius. Et ratio est, quia intensio raritatis non sequitur maiorationem proportionis quantitatis ad materiam, sed sequitur additionem gradus raritatis sequentis gradibus praecedentibus, sicut fit de albedine et nigredine. Rarius autem secundum modum huius opinionis est illud, quod habet raritatem magis denominantem ipsum, sive habeat plus de quantitate sive minus, non est cura. ¶ Ad septimum argumentum, quod est contra tertiam opinionem, cuius fundamenta et principia non exacte capio, non respondeo nec decrevi ad argume[n]ta eam expugnantia respondere nec illi opinioni suppetias dare.

Notandum est secundo circa materiam secundi argumenti principalis ante oppositum, quod ut ex scrinio calculatorio in capite de raritate et densitate | colligi potest (et quidem aperte), duplex est opinio ratione fulcita, penes quid habeat attendi et commensurari raritatis aut densitatis maioritas, quarum prior est, quod ipsa raritas attenditur penes proportionem quantitatis subiecti ad eius materiam, et maioritas raritatis penes maiorem proportionem quantitatis ad materiam. Densitas autem penes proportionem materiae ad quantitatem, et eiusdem [maioritas] penes maiorem proportionem materiae ad quantitatem, (et loquor de proportione maioris inaequalitatis.) Exemplum ut si inter quantitatem unius pedalis et suam materiam sit proportio dupla, illud est rarum, et si alterius pedalis quantitatis ad materiam esset proportio maior dupla, illud est magis rarum, quia proportio est maior, et si unius alterius pedalis materiae ad quantitatem est propoportio dupla, illud est densum, et si proportio materiae ad quantitatem maioretur, illud efficeretur densius. Posterior autem opinio diiudicat raritatem penes quantitatem in comparationem ad materiam vel – ut verbis calculator[]is loquar – in materia proportionata differentiam, autem inter has duas opinationes talis ferme a calculatore signatur loco praeallegato, nam prima opinatio asseverat ad duplationem raritatis non sequi duplationem quantitatis nec ad sesquialterationem raritatis etiam sequi quantitatem effici in sexquialtero maiorem, sed dicit ad duplationem raritatis sive sexquialterionem sequi duplationem proportionis quantitatis ad materiam sive sexquialterationem et sic de aliis proportionibus. ¶ Secunda v[e]ro asserit semper ad duplationem sequi duplationem quantitatis, et ad triplationem raritatis sequi identidam triplationem quantitatis. Exemplum ut esto, quod unius pedalis proportio quantitatis ad materiam sit sesquialtera, et dupletur eius raritas, tunc secundum hanc opinionem eius quantitas non efficitur in duplo maior, (et si raritas ad duplum maioretur), sed duplatur proportio quantitatis ad materiam, ita quod efficitur proportio quantitatis ad materiam dupla ad sexquialteram, cuiusmodi est proportio dupla sesquiquarta, qualis est nomen ad quatuor, et sic illa quantitas effecta est in sexquialtero maior, utpote pedalis cum dimidia. Sed si tale pedale secundum alteram opinionem efficitur in duplo rarius, eius quantitas duplabitur, et efficietur bipedalis, et sic patet, quod secundam priorem opinionem [affirmatur], quod ad duplationem raritatis non sequitur duplatio quantitatis. Secundum alteram vero semper sequitur duplatio quantitatis raritatis duplicationem. Et ut haec opinio clarius intelligatur, et eius fundamenta et bases cognoscantur. ¶ Quaero, utrum ipsa possit vera sustentari.

Et arguitur primo, quod non. Quam si ipsa esset vera, sequeretur, quod quaelibet proportio quantitatis ad materiam certos gradus raritatis produceret, ita quod ubicumque esset proportio dupla quantitatis ad materiam, ibi essent certi gradus raritatis, qui sint duo gratia exempli, et ubi esset proportio quadrupla quantitatis ad materiam, ibi essent in duplo plures gradus raritatis. Et ubi esset sesquialtera proportio quantitatis ad materiam, ibi esset raritas nata proveni[r]e a proportione sesquialtera, quae se habet ad raritatem natam provenire a proportione dupla, sicut se habet sexquialtera proportio ad proportionem duplam, sed hoc co[n]sequens est falsum, igitur et illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia secundum hanc opinionem certa proportio quantitatis ad materiam certam raritatem producit, et in duplo maior proportio in duplo maiorem raritatem, et in sesquialtero maior proportio in sesquialtero maiorem raritatem, igitur in quacumque proportione se habent proportiones

quantitatis ad materiam, in eadem proportione se habent raritates ab eis productae, et per consequens a qualibet proportione certa raritas nata est provenire. Quod fuit probandum. Sed falsitas consequentis ostenditur, quia sequeretur, quod cum pedale, in quo est proportio quadrupla quantitatis ad materiam, et tripedale, in quo est dupla proportio quantitatis ad materiam, augmentaretur ad duplam quantitatem, aeque velociter acquirerent de raritate, sed hoc videtur falsum. Igitur et illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis ostenditur, quia cum illa, puta tripedale et pedale, augmentantur ad duplam quantitatem, etiam augmentantur ad duplam raritatem, quia sicut quantitas efficitur maior, ita etiam raritas manente eadem materia, sed tripedale minorem raritatem habebat quam pedale. Et quodlibet illorum acquisivit tantam raritatem, quantam habebat, cum utrumque fuerit augmentatum ad duplum, ergo sequitur, quod maiorem raritatem acquisivit pedale quam tripedale, patet haec consequentia, quia quando duo inaequalia efficiuntur in duplo maiora, maiorem latitudinem acquirit maius quam minus, ut constat. Sed sequela probatur, quia utrumque illorum acquirit proportionem duplam, ergo sequitur, quod utrumque illorum acquirit raritatem natam provenire a proportione dupla, sed secundum istam opinionem omnis raritas nata provenire a proportione dupla est aequalis cuilibet natae provenire a quacumque proportione dupla, igitur propositum. ¶ Dices forte et bene concedendo sequelam et negando falsitatem consequentis, et ad probationem concedo sequelam, et nego falsitatem consequentis et ad probationem falsitatis consequentis, nego hanc consequentiam hoc efficitur in duplo maius, ergo in duplo rarius, immo ut secundum argumentum ante oppositum principalis quaestionis ostendit, aliquando stat, quod aliquando ad duplationem quantitatis sequeatur duplatio raritatis, et aliquando minor, et aliquando maior.

Sed contra: quia tunc sequeretur, quod quandocumque duo aequalia quantitative – sive aequalia, sive inaequalia in raritate –aequaliter acquirerent de quantitate, ipsa aequaliter rarefierent, sed consequens est falsum, igitur et illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis probatur, quia sint duo corpora aequalia in aeque rara, quae aequales quantitates acquirant, tunc aeque proportionabiliter, sicut acquirunt de quantitate, acquirunt de raritate, sed aequalem proportionem acquirunt de quantitate, ergo aequaliter acquirunt de raritate, et raritas unius est minor quam raritas alterius, ergo raritas minor minorem latitudinem raritatis acquirit qu[am] raritas maior, patet haec consequentia per hanc maximam. Quandocumque aliqua duo inaequalia aeque velociter proportionabiliter maiorantur, velocius maioratur maius in eodem tempore, ut patet, si sex et quatuor debeant ad sesquialterum maiorari eodem tempore adaequate. Tunc enim in tempore, quo sex acquirit tria, quatuor atquirit duo, ut constat, sed in proposito utraque illarum raritatum aeque proportionaliter maioratur, ergo maior raritas maiorem latitudinem raritatis acquirat quam minor in eodem tempore. Sed sequela probatur, quia illa sunt aequalia, et aequales quantitates acquirunt igitur aequales proportiones, et ultra aequales proportiones, ergo aequales raritates. Patet consequentia, quia ab aequalibus proportionibus quantitatis ad materiam aequales raritates natae sunt provenire, ut patet ex opinione et responsione. Igitur.

Secundo ad idem arguitur sic: si illa positio esset vera, sequeretur, quod oporteret signare gradus in quantitate et etiam in materia, sed hoc est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis ostenditur, quam nec quantitas nec materia suscipiant magis et minus, igitur non habent gradus. Sed sequela probatur, quam raritas et raritatis maioritas penes proportionem quantitatis | ad materiam debet sumi – ut dicit opinio – et densitas eocontra penes proportionem materia ad quantitatem, ergo oportet quantitatem materiam exsuperare, cum aliquid rarum dicitur, et materiam quantitatem excedere, cum aliquid densum efficitur, sed numquam quantitas exsuperat materiam extensive, quia sunt aequalis extensionis. Igitur oportet, quod exsuperet intensive, quia alias numquam erit proportio maioris inaequalitatis quantitatis ad materiam vel econtra. ¶ Dices et bene concedendo sequelam per gradus quantitatis non intelligendo gradus intensionis quantitatis, sed intelligendo certas proportiones quantitatis, ut puta quod una quarta pedalis sit unus gradus quantitatis, et una octava pedalis medietas unius gradus quantitatis et cetera. Unus vero gradus materiae sit certa portio materiae, utpote tanta, quanta est in una octava unius pedalis terrae existens in sua naturali dispositione, quod – exempli gratia dico – capias enim pro libito, quantum volueris, de materia pro uno gradu et etiam de quantitate, sicut dicimus de gradibus qualitatis, et secundum hoc negetur falsitas consequentis, et concedatur, quod nec quantitas nec materia suscipiunt magis et minus, cum hoc tamen stat, quod, et si quantitas non habet gradus intentionales, habet tamen extensionales, et similiter, quamvis materia non habet gradus intensionales, habet tamen gradus entitativos, qui sunt partes ipsius materiae, ut declarant communiter hanc materiam de raritate et densitate tractantes.

Sed contra: quia tunc sequeretur, quod nullum rarum esset densum, sed hoc est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis ostenditur, quia capto uno denso finite [d]enso, illud est rarum. Igitur. Probatur antecedens, quia illud sub magna quantitate continet parum de materia, igitur est rarum, patet ex definitione rari. Sed iam probo sequelam, quia si aliquid est rarum, in eo quantitas se habet in proportione maioris inaequalitatis ad materiam, et si ipsum esset densum, in eo materia se habet in proportione maioris inaequalitatis ad quantitatem, sed impossibile est, quod in eodem saltem existente in eodem loco et cetera. Quantitas excedat materiam, et excedatur ab ea, igitur impossibile est, quod aliquid sit rarum et densum. Quod fuit probandum. ¶ Dices et bene concedendo sequelam, (ut haec opinio eam concedit), et negando falsitatem consequentis et ad probat[i]onem negando hanc consequentiam: in hoc corpore est modica materia sub magna quantitate, ergo hoc est rarum, nec ibi arguitur a definitione ad definitum, sed oportet dicere, ut postea clarius et latius dicetur: in hoc corpore quantitas excedit materiam et habet ad materiam proportionem maioris inaequalitatis, igitur illud corpus est rarum, et sic consequentia est bona.

Sed contra: quia tunc sequeretur haec conclusio, aliquod corpus naturale nec est rarum nec densum naturaliter. Sequela probatur, quia capio A pedale, in cuius qualibet quarta est unus gradus materiae. Quo posito ibi inter materiam et quantitatem est proportio aequalitatis, igitur ibi gradus quantitatis non excedunt gradus materiae. Igitur tale pedale non est rarum, nec gradus materiae excedunt gradus quantitatis, igitur non est densum, igitur aliquod pedale est, quod nec est rarum nec est densum. Quod fuit probandum. Falsitas consequentis ostenditur, quia tale pedale habet certam materiam sub certa quantitate, puta parvam materiam sub magna quantitate. Igitur illud est rarum. ¶ Dices et bene concedendo, quod infertur.

Sed contra: quia tunc sequeret[u]r, quod bipedale, in cuius una medietate est proportio dupla quantitatis ad materiam, et i[n] alia est proportio aequalitatis

quantitatis ad materiam, esset rarum, et bipedale, in cuius una medietate esset proportio dupla quantitatis ad materiam, et in alia esset proportio dupla materiae ad quantitatem, esset densum et non rarum, et bipedale, in cuius una medietate esset proportio dupla quantitatis ad materiam, et in alia esse[t] proportio sesquialtera materiae ad quantitatem, nec esset rarum nec densum, sed consequens videtur falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia si in una medietate bipedalis est proportio dupla quantitatis ad materiam, et in alia proportio aequalitatis, cum utraque medietas bipedalis, ex dictis habeat quatuor gradus quantitatis, sequitur, quod una medietas illius bipedalis habet duos gradus materiae, et altera 4, et per consequens totum illud bipedale habet sex gradus materiae, et habet 8 quantitatis, ergo in eo est proportio maioris inaequalitatis quantitatis ad materiam, et per consequens ipsum est rarum, et sic patet prima pars illati. Secunda pars probatur, quia si una medietas bipedalis ita se habet, quod in ea est proportio dupla qua[n]titatis ad materiam, et in reliqua materiae ad quantitatem, et utraque medietas bipedalis habet quatuor gradus quantitatis, sequitur, quod una medietas illius bipedalis habet duos gradus materiae, et reliqua habet octo, et per consequens materia illius bipedalis est ut decem, et quantitas est ut octo, igitur in hoc bipedali est proportio maioris inaequalitatis materiae ad quantitatem. Hoc igitur fidem facit illud bipedale densum esse. Et per hoc etiam patet tertia pars, quam in tali bipedali, (si bene calculaveris), reperies octo gradus materiae gradibus quantitatis aequari. Quare illud bipedale nec rarum nec densum erit. Quod fuit probandum. Sed iam probo falsitatem consequentis, quam illud bipedale, in cuius una medietate est dupla proportio quantitatis ad materiam, et in alia est dupla, proportio materiae ad quantitatem habet unam medietatem raram ut duo et ali[a]m densam ut duo. Volo enim, quod proportio dupla nata sit producere raritatem ut duo et etiam densitatem ut duo. Nec valet hoc negari, quia aliqua proportio nata est producere raritatem ut duo, et aliqua densitatem ut duo, ponantur igitur illae proportiones in illis medietatibus, et sic semper procedit argumentum. Igitur illud bipedale nec est rarum, nec densum. Patet haec consequentia a simili, quia si unius bipedalis una medietas esset calida ut duo, et altera frigida ut duo, illud nec esset calidum nec frigidum. Et sic facile est inferre oppositum aliarum partium.

Tertio ad idem arguitur: si haec opinio esset vera, sequeretur, quod rarum difformiter difforme, cuius utraque medietas esset uniformis, non corresponderet suo gradui medio, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis ostenditur, quia omne qualificatum uniformiter difforme correspondet suo gradui medio, et etiam difformiter difforme, cuius utraque medietas est uniformis, igitur a simili ita debet esse proposito. Sequela probatur: et capio unum bipedale, in cuius una medietate sit proportio dupla quantitatis ad materiam, et in alia medietate sit proportio quadrupla, et volo, quod proportioni dupla correspondeant duo gradus raritatis, et ex hoc quadruplae quatuor, ita quod una medietas sit rara ut duo, et alia ut quatuor. Quo posito sic argumentor: illud bipedale est difformiter difforme, cuius utraque medietas est uniformis, et eius raritas non correspondet suo gradui medio, igitur propositum. Arguitur minor, quia si eius raritas corresponderet suo gradui medio, ipsa esset ut tria, ut satis patet, nam gradus ut tria est medius inter quatuor et duo, sed hoc est falsum. Igitur. Cuius consequentis falsitas ostenditur, quam raritas ut tria, quae est sexquialtera ad raritatem ut duo, correspondet proportioni sesquialterae ad proportionem duplam, quae proportio sexquialtera, | videlicet ad duplam est proportio irrationalis, ut patet ex secunda parte huius operis, sed quantitatis illius bipedalis ad suam materiam non est proportio irrationalis, quae est sexquialtera ad duplam, ergo sequitur, quod raritas illius bipedalis non est ut tria. Patet hoc consequentia, quam raritas ut tria non est nata provenire, nisi a proportione sexquialtera ad duplam. Secundum enim hanc opinionem: in quacumque proportione se habent raritates ad invicem, in eadem proportione se habent proportiones, a quibus proveniunt. Sed iam probo, quod quantitatis illius bipedalis ad suam materiam non sit proportio irrationalis, quae sit sexquialtera ad duplam, quam materia unius medietatis est duorum graduum, puta illius, in qua est proportio dupla quantitatis ad materiam, et materia alterius medietatis est unius gradus, et sic tota materia est ut tria, quantitas vero ut octo, quam una quarta pedalis est unus gradus quantitatis, ut praedictum est, modo 8 ad 3 est proportio dupla superbipartiens tertias, quae est minor quam sexquialtera ad duplam. Continet enim duplam et sexquitertiam adaequate supra duplam, et sexquitertia est minor quam medietas duplae, ut patet ex secunda parte huius operis, ergo continet duplam, et minus quam medietatem duplae adaequate, et per consequens est minor quam sexquialtera ad duplam. Item sexquialtera ad duplam est irrationalis, ut dictum est, ista vero est rationalis, ergo non est sexquialtera ad duplam. Quod fuit probandum. Nec valet dicere, quod non oportet sic signare gradus quantitatis aut materiae, quia quocumque modo signentur, semper erit proportio rationalis quantitatis ad materiam in tali casu, et ista raritas ut tria non est nata provenire proportione aliqua rationali, esto, quod raritas ut duo nata sit produci a proportione dupla.

Quarto arguitur sic: si ista opinio esset vera, sequeretur, quod non posset dari, cui gradu[i] correspondeat raritas unius pedalis sic se habentis, quod prima pars proportionalis eius sit aliqualiter rara, et secunda in duplo, tertia in triplo, quarta in quadruplo quam prima et sic consequenter, sed consequens est falsum. Igitur. Item sequeretur, quod non posset dari, cui corresponderet raritas pedalis, cuius prima pars proportionalis proportione dupla esset aliqualiter rara, secunda in duplo, tertia in quadruplo quam prima, et quarta in octuplo, et quinta in sexdecuplo et sic co[n]sequenter procedendo per numeros pariter pare[s], sed hoc videtur absurdum. Igitur. Sequela patet, quam ad inveniendum in similibus casibus raritatem adaequatam talium corporum oportet adinvenire materiam totalem totius corporis et tunc videre, in qua proportione se habet quantitas illius corporis ad illam materiam, et ex hoc raritatem talis corporis diiudicare, sed non est modus inveniendi in talibus et similibus casibus materiam totius corporis, etiam ad inventa et scita materia primae partis proportionalis, igitur non potest sciri totalis raritas illorum corporum sic difformium in raritate. Sed iam probo, quod non potest materia illius corporis investigari, quam continu[o] materia partis proportionalis sequentis est minor materia partis immediate praecedentis. Et in nulla certa proportione continuo minor, sed continuo in alia et in alia, et sunt istae materiae partiales infinitae, igitur non apparet modus, quo totalis materia mensuretur. Igitur.

Quinto arguitur: si ista op[i]nio esset vera, sequeretur, quod raritas diceretur posit[i]ve eodem modo, quo densitas, cum non sit maior ratio de raritate quam de densitate, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis ostenditur, quia si raritas diceretur positive, sequeretur, quod posset dari unum finitum infinite rarum, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas huius consequentis ostenditur,

quoniam signetur illud, et sit unum pedale, et arguo sic: illud pedale est infinite rarum, igitur in eo est infinita proportio quantitatis ad materiam, sed quantitas est finita, ergo materia est infinite modica, sed non est dabilis materia infinite modica, igitur eo nulla est materia, vel ipsum non est infinite rarum, sed non est dicendum, quod in eo nulla est materia, ergo est dicendum, quod non est infinite rarum. Quod fuit probandum.

In oppositum tamen arguitur sic: haec [o]pinio est adeo sustentabilis et rationabilis sicut secunda, ergo eo modo potest defensari vera sicut secunda. Antecedens patebit solvendo ea, quae hanc positionem oppugnant.

Pro solutione huius dubitationis et exacta huius opinionis inquisitione considerandum est, quod in hac opinio[n]e sicut et in aliis peculiaribus definitionibus raritatis et densitatis sive rari et densi utendum est. Cum enim haec opinio dicat ad raritatem requiri proportionem maioris inaequalitatis quantitatis ad materiam et ad densitatem econtra requiri proportionem maioris inaequalitatis materiae ad quantitatem, id signum nobis erit, et fidem faciet rarum hoc pacto definiri debere. Rarum est illud, in quo est proportio maioris inaequalitatis quantitatis ad materiam. Densum vero ita describi debet: densum est illud, in quo est proportio maioris inaequalitatis materiae ad quantitatem. Aliter tamen possunt isti termini sic describi manente eadem sententia paululum verbis variatis. Rarum est, cuius quantitas eiusdem materiam exsuperat. Densum vero est, cuius materia suam excedit quantitatem. Quo in loco intelligendum est hanc opinionem et materiae et quantitati gradus ascribere, non quidem intensionales, ita quod ipsa quantitas sit intensa aut ipsa materia velut albedo sive nigredo, sed habet certas partes suae substantiae sive entitatis ipsa materia, et similiter ipsa quantitas certas portiones, quas ista opinio gradus appellat, ut si dicamus quartam partem unius pedalis unum gradum quantitatis esse et medietatem quartae medium gradum quantitatis et sic consequenter, tunc recte dicemus pedale quatuor gradus quantitatis continere et bipedale octo et sic consequenter, et pari industria non abs re assignaverit haec opinio ipsa materiae gradus, ut si dicamus mariam existentem in una octava parte pedalis terrae existentis in sua naturali dispositione esse unum gradum materiae et medietatem illius materiae unum medium gradum et sic consequenter dividendo. Ex consequenti manifestum nobis esset unum p[e]dale terrae in sua naturali et optima dispositione existens 8 gradus materiae continere et bipedale terrae decem et sex et sic consequenter ascendendo, et isto modo assignando gradus et ipsi materiae et quantitati facile erit inspicere, quando gradus quantitatis excedunt gradus materiae aut econtra, et sic iu[]dicare, utrum tale corpus debeat dici densum aut non. Nam secundum hanc opinionem nullum densum est rarum, nec rarum est densum. Quod sic patet manifeste. Si enim A est densum, gradus materiae ipsius A exsuperant gradus quantitatis eius. Si vero ipsum A sit rarum, iam gradus quantitatis gradus materiae exsuperant, sed impossibile est, quod idem sit maius altero, et econtra. Ideo non est possibile huic opinioni adherendo idem simul fateri rarum et densum vel saltem in eodem loco et cetera. Sequitur secundo iuxta hanc opinionem, quod nullum infinitarum, ubi est infinitum de materia, est rarum aut densum. Patet, quia ibi nec materia exsuperat quantitatem nec ab ea superatur, ut constat. Sequitur tertio, quod aliquod finitum est, quod | nec est rarum nec densum, et tamen habet materiam. Patet de pedali habente quatuor gradus materiae. Esto, quod quarta pedalis sit unus gradus quantitatis. In tali enim pedali nec quantitas excedit materiam nec ab ea exceditur.

Advertendum est secundo, quod diversimode haec opinio et communis, qui in sequenti notabili declarabitur, censent raritatem duplari, triplari aut in aliqua alia proportione augeri. Nam opinio communis asseverat ad duplationem quantitatis sequi duplationem raritatis et econtra ad duplationem raritatis sequi duplationem quantitatis. Haec vero opinio oppositum dicit. Aliquando enim ad duplationem raritatis duplatur quantitas, aliquando vero efficitur in sesquialtero maior dumtaxat, ut secundum huius principalis quaestionis argumentum ostendit. Unum tamen certum habet haec opinio, dicit enim semper ad dupla tionem raritatis sequi duplationem proportionis quantitatis ad materiam, ut si ipsa proportio quantitatis ad materiam fuerit dupla, duplata raritate erit quadrupla, et si fuerit quadrupla, duplata raritate erit sexdecupla. Si autem tripla duplata raritate erit nonocupla. Si vero fuerit sexquialtera, duplata raritate erit dupla sexquiquarta, et sic in aliis exemplificandum est.

¶ Ex quo educitur clare, quod si quantitatis ad materiam fuerit proportio minor dupla, duplata raritate nequaquam duplabitur quantitas, sed minus quam ad duplam augebitur, quemadmodum promptum est in proportione sesquitertia intueri. Si ver[]o fuerit proportio maior dupla, necessum erit quantitatem plusquam ad duplum augeri. Si autem fuerit dupla dumtaxat quantitatis ad materiam proportio, raritate duplata quantitas ipsa dupla evadet dumtaxat. Patet hoc correlarium in singulis inducenti. Ipsum enim correlarium mathematico ordine et apparatu ostendere sive demonstrare maiori sollicitudini esset quam huic opinioni adiumento. Radix tamen et basis huius opinionis est, ex qua basi facile ea, quae ab hac opinione asseverantur, claram sortiuntur demonstrationem. Est enim hoc fundamentum, cuilibet proportioni quantitatis ad materiam determinati gradus raritatis correspondent, itidem et cuilibet proportioni materiae ad quantitatem determinati gradus densitatis correspondent, perinde atque in motus velocitate certe proportioni potentiae ad resistentiam certa motuum velocitas correspondet, et duplae proportioni dupla motus velocitas, et sesquialterae proportioni sesquialtera velocitas ascribitur, volo dicere, quod secundum hanc opinionem proportioni duplae quantitatis ad materiam correspondent certi gradus raritatis, qui gratia exempli sint duo, ita videlicet quod ubicumque sive in magno corpore sive in parvo dupla proportio quantitatis ad materiam reperiatur, iudicabitur tale corpus rarum adaequate ut duo, et ubicumque reperietur proportio quadrupla quantitatis ad materiam, raritas erit ut 4, quoniam proportio quadrupla dupla est ad ipsam duplam, et sic consequenter. Tu poteris exemplicare in aliis proportionum speciebus et generibus.

¶ Ex quo sequitur, quod raritas proveniens a proportione tripla non se habet in aliqua proportione rationali ad raritatem provenientem a proportione dupla. Quod patet, quia proportio dupla et tripla non se habent in in proportione rationali, igitur nec raritas proveniens a proportione dupla ad raritatem provenie[n]tem

a proportione [tri]pla, quod patet quia proportio dupla et tripla non se habent in proportione rationali, ut patet intuenti tractatum proportionum.

¶ Et exinde deducitur, quod, si quantitatis alicuius corporis ad suam materiam fuerit proportio tripla, et alterius corporis fuerit proportio dupla, raritates illorum corporum sunt incommensurabiles. ¶ Deducitur ulterius, quod si quantitas alicuius corporis rari sine acquisitione materiae quadrupletur, ipsum corpus quatuor gradus raritatis acquiret supra raritatem praehabitam, quoniam talis raritas ipsi proportioni quadruplae correspondet, et si aliud corpus rarum acquirat proportionem triplam suae quantitatis sine materiae augmento aut decremento, tale corpus acquiret maiorem raritem quam ut 2, in nulla tamen proportione rationali maiorem adaequate. Patet hoc, quia raritas ut duo correspondet proportioni duplae, maior igitur raritas correspondet triplae, cum ipsa sit maior, et cum ipsa in nulla proportione rationali sit maior, sequens est in nulla proportione rationali sibi maiorem raritatem correspondere quam duplae. Caute igitur respondendum est, cum quaeritur, quantae raritatis est corpus, in quo quantitatis ad materiam est proportio tripla. Non enim signanda est talis raritas per aliquem numerum. Quemadmodum si quaeratur, quanta est velocitas correspondens proportioni duplae, et dicatur exempli gratia, quod est ut 2, et deinde quaeratur, quantam est velocitas correspondens proportioni triplae, nullo modo signanda est per aliquem numerum, cum enim inter quoscumque numeros sit proportio rationalis, ut constat, et proportio velocitatum sequatur proportionem proportionum, nasceretur inde proportionem triplam duplae proportioni fore commensurabilem proportione rationali, quo nihil in hac scientia falsius. Et si quaeras, an secundum hanc opinionem raritas vel densitas distinguatur ab ipsa materia. ¶ Respondeo, quod non. Nam quando dicimus "istud corpus est rarum ut 2 adaequate", volumus dicere, quod ibi est proportio dupla quantitatis ad materiam, esto, quod proportioni duplae correspondeant duo gradus raritatis, et sic in aliis proportionibus exemplificandum est. Semper tamen cavendo proportioni irrationali ad duplam assignes raritatem aliquo numero signatam. ¶ Advertendum est tertio, quod secundum hanc opinionem ad diiuidicandum raritatem alicuius corporis – sive uniformis, sive difformis – aspicienda est totalis eius quantitas, et totalis eius materia. Et deinde inspicienda est proportio totius quantitatis ad totam eius materiam, et secundam illam metiri oportet raritatem talis corporis, ut si sit unum bipedale, cuius una medietas sit rara ut 2, et alia ut 4, ad videndum, quanta est totius bipedalis raritas, capienda est tota materia illius bipedalis, quae – ut constat ex praedictis – est ut 3, et deinde capienda est tota quantitas, quae est ut 8, cum bipedale contineat 4 quartas pedalis, et asserendum est talem raritatem esse tantam, quanta proportioni 8 ad 3, quae est dupla superbipartiens tertias, correspondet. Et sic invenietur totam raritatem illius corporis non esse ut 3, sed minorem, ut patet ex deductione tertii argumenti huius dubii. ¶ Ex quo sequitur secundum hanc opinionem raritatem difformiter difformem, cuius utraque medietas est uniformis vel uniformiter difformis, non correspondere suo gradui medio, ut argumentum tertium praeallegatum bene ostendit. ¶ Ex quo sequitur ulterius, quod raritas difformis non est iudicanda penes reductionem ad uniformitatem sui, sed penes reductionem ad uniformitatem suae materiae, ut si una medietas cuiusdam bipedalis | habeat unum gradum materiae, et alia habeat duos, capienda est una medietas unius gradus illorum duorum, et addenda est alteri medietati ipsius bipedalis, et illud manebit uniformiter rarum et aeque rarum sicut antea, (volo enim, quod nulla fiat deperditio aut acquisitio quantitatis aut materiae.) Et eodem modo debet fieri, si prima pars proportionalis, et secunda haberet in quadruplo minus quam prima, et tertia in quadruplo minus quam secunda et sic consequenter, tunc reducenda est materia ad uniformitatem, et videndum est, quanta est tota materia, et tota quantitas, et penes proportionem totius quantitatis ad totam materiam diiudicabitur raritas. Est isto etiam modo metienda est densitas corporis densi, penes videlicet proportionem totius materiae ad totam quantitatem et non penes denominationem, quemadmodum fit in qualitatibus difformibus. Quod diligenter animadverte, si hanc opinionem defensare affectas. ¶ Sed non abs requireres, quomodo iudicanda est et mensuranda materia corporis rari aut densi, in quo est infinita difformitas, ita quod diviso tali corpore proportione dupla nulla pars proportionalis secundum talem divisionem sit ita rara aut densa sicut alia, ut tangitur in quarto argumento huius quaestionis. ¶ Respondeo breviter, quod aliquando materia talis corporis se habet continuo in certa propositione, ita quod materiae primae ad materiam secundae partis sit aliqua proportio, et materiae secundae ad materiam tertiae sit eadem proportio et sic conseqnenter, aliquando vero non eadem continuo proportio observatur, sed in infinitum variatur, puta si materiae primae ad materiam secundae sit proportio dupla, et materiae partis secundae ad materiam tertiae sit proportio tripla, et materiae tertiae ad materiam quartae sit quadrupla et sic consequenter ascendendo per species proportionis multiplicis, et tunc non est possibile capacitati intellectus finitae adaequate illam materiam mensurare, ut iam in simili dictum est circa materiam de motu locali penes effectum. Sed si materiae illarum partium proportionalium continuo se habeant in eadem proportione, facile erit diiudicare totalem materiam ex conclusionibus et correlariis quinti capitis primae partis huius operis.

Ad rationes ante oppositum huius dubii: ad primam responsum est ibi usque ad replicam, ad quam respondeo concedendo sequelam, quia illud consequens manifeste sequitur ex hac positione, et negatur falsitas consequentis, et ad probationem datis illis duobus corporibus aequalibus quantitative et inaequalibus in raritate, et cum sic arguitur, aeque proportionabiliter, sicut ista duo corpora acquirunt de quantitate, acquirunt de raritate, negatur illud secundum hanc opinionem. Immo dico, quod omnia corpora – sive aequalia quantitative, sive inaequalia, sive aeque rara sive non, quae aeque proportionabiliter acquirunt de quantitate – aequaliter omnino acquirunt de raritate, quam aequales proportiones acquirunt, et semper ab aequalibus proportionibus aequales raritates natae sunt provenire, ut dictum est. ¶ Ad secundam rationem responsum est ibi usque ad replicam, ad quam respondeo concedendo sequelam et negando falsitatem consequentis. Et ad probationem negatur haec consequentia, in qua est vis rationis: una medietas huius bipedalis est densa ut duo adaequate, et alia rara ut duo adaequate, et raritas et densitas non se compatiuntur, immo se cohabent sicut caecitas et visus. Igitur illud corpus nec est rarum non est densum, et ad probationem, quae consistit in quadam similitudine, concedo antecedens et nego consequentiam, quia non est omnino simile de illis qualitatibus et de raritate et densitate, quae sunt duo opposita privative, nam si

homo esset caecus secundum unum oculum et videns secundum alterum, adhuc talis homo esset videns. Item secundum hanc opinionem intensio raritatis aut densitatis non debet sumi aut me[n]surari penes densitates partium, ut ostendit tertium notabile huius dubii. Intensio autem calidi aut frigidi potest me[n]surari ex intensionibus partium, et ideo illa similitudo n[u]llo pacto quadrat huic proposito.

Ad tertiam rationem respondeo concedendo sequelam, sicut probat argumentum, et nego falsitatem consequentis et ad probationem nego consequentiam, et ad probationem consequentiae, nego similitudinem propter rationem dictam in solutione secundae rationis.

Ad quartam rationem respondeo negando sequelam, immo dico, quod in aliquibus talibus casibus potest facile reperiri adaequata materia in aliquibus, vero non saltem naturaliter ab intellectu finite capacitatis, ut dictum est tertio notabili huius dubii. In primo tamen casu huius argumenti, videlicet quod prima pars proportionalis sit aliqualiter rara, et secunda in duplo, et tertia in triplo, et sic consequenter divisione facta per partes proportionales proportione dupla, et proportione quantitatis primae partis proportionalis ad suam materiam existente dupla, tunc materiae illarum partium proportionalium continuo se habent in proportione quadrupla, et sic scita materia primae partis proportionalis facile scietur totalis materia, in infinitis tamen casibus, ubi variatur proportio, illud a finito ingenio et intellectu percipi non potest.

Ad quintam rationem respondeo negando sequelam, et cum petitur ratio, quare potius raritas dicitur privative quam positive sec[u]ndum hanc opinio[n]em, respondeo, quod ideo dicitur potius privative quam positive, quia raritas intenditur ad deperditionem sive remissionem alicuius positi[v]i, puta materiae, sine acquisitione alicuius positivi, quod numquam est verum etiam de aliquo positivo. Quod vero ita fiat aut potest fieri, volo, quod diminuatur sive dematur materia alicuius pedalis successive ad non gradum nullo pacto maiorata quantitate. Quo posito iam patet, quod ibi nullum positum acquiritur, sed conti[n]uo deperditur, nihilominus continuo proportio quantitatis ad materiam maiorabitur, et sic continuo raritas intenditur. Sed quia haec ratio aeque bene concludit densitatem dici privative quemadmodum et raritatem, quoniam per diminutionem continuam quantitatis si[n]e acquisitione materiae intenditur ipsa densitas, ideo cum quaeris causam, quare raritas potius privative dicitur quam densitas, respondeo, quod est illa quantum in argumento assumis videlicet, quia non potest reperiri infinita raritas in subiecto sive corpore finito, si tamen diceretur positive posset infinita raritas in subiecto finito reperiri, ut patet de omni positivo magis et minus suscipiente. Et per hoc patet responsio ad dubium.

Notandem est tertio tangendo opinionem commu[n]em, quam calculator in capitulo de raritate insequitur et communiter moderni, quod secundum hanc opinionem aliter describendi sunt isti termini, rarum, densum, rarefieri, condensari quam secundum opiniones praecedentes. Rarum enim est illud, quod sub magna quantitate continet modicum de materia. Densum vero est illud, quod s[u]b modica | quantitate multum continet de materia. Condensari vero est effici magis densum. Rarefieri enim est fieri magis rarum, magis autem rarum esse est sub maiori quantitate continere eandem materiam finitam, quam antea continebat, vel sub eadem quantitate finita continere minus de materia vel sub minori quantitate minus proportionale de materia quam antea. Sed magis densum est illud, quod sub eadem quantitate continet plus de materia, vel sub minori quantitate eandem materiam finitam vel maiorem vel minorem in minori tamen proportione, quam quantitas sit minor, vel sub maiori quantitate magis proportionale de materia. Et si aliquae particulae, quae non facile occurunt, restant his definitionibus adiiciendae, eas addas, cum argumenta ad illud coegerint. Definitio enim brevis debet esse ex sua natura testimonio Ciceronis in sua nona rethorica. ¶ Ex his definitio[n]ibus sequitur primo, quod male describitur sic condensari: condensari est puncta ad invicem magis approximari, quoniam stat, quod puncta magis approximentur, e[t] in ea proportione, qua magis approximentur, dematur de materia, et sic tale corpus non condensabitur, et tamen puncta magis ad invicem approximantur. Item dato pedali infinite denso puncta illius possunt magis approximari, et tamen ipsum non condensabitur, quia iam est infinite densum. Eodem modo dicas de rarefactione sive de rarefieri. Non enim semper rarefieri est puncta magis distare, pedale enim infinite densum potest maiorari stante sua materia, et tamen non rarefiet. ¶ Sequitur secundo, quod stat aliquod esse rarum, a quo aufertur medietas suae materiae manente quantitate, et tamen ipsum non efficitur rarius. Patet de corpore infinito habente materiam finitam praecise, quod est infinite rarum, a quo si dematur medietas materiae ipsum, non efficietur rarius, cum modo sit infinite rarum.

¶ Sequitur tertio, quod aliquod corpus est densum et finitum, a quo si removeatur medietas quantitatis manente materia, ipsum non efficietur densius.

Patet de pedali infinite denso posito, quod minoretur ad subduplum manente sua materia.

¶ Sequitur quarto, quod stat quantitatem alicuius finiti diminui et similiter eius materiam, et ipsum condensari stat [et] similiter ipsum rarefieri, et stat ipsum nec rafefieri nec condensari. Probatur prima pars, quia stat ipsum plus proportionabiliter perdere de quantitate quam de maieria, et tunc ipsum condensabitur, ut postea ex quibusdam conclusionibus patebit, et stat ipsum aeque proportionabiliter deperdere de quantitate sicut de materia et sic ipsum nec rarefieri nec condensari, et stat ipsum magis proportionabiliter deperdere de materia quam de quantitate et sic rarefieri. Et propterea positum est in definitione „vel minorem“, in minore tamen proportione, quam quantitas sit minor. Et eodem modo poteris dicere, quod aliquid per acquisitionem quantitatis et materiae rarefit et nonnunquam condensatur. Si enim aeque proportionabiliter acquirit de materia sicut de quantitate, nec rarefit nec condensatur, si velocius proportionabiliter acquirit de quantitate quam de materia, rarefit. Omnia ista patent mediante tali fundamento. Si in ea proportione, in qua aliquod corpus est maius, in ea plus continet de materia altero corpore minore, illa duo sunt aeque rara et aeque densa, et si in maiori proportione plus contineret de quantitate quam de materia quam alterum minus, ipsum est rarius eo. Si vero in maiore proportione illud maius continet de materia quam de quantitate respectu alterius

minoris, ipsum est densius illo minori. Pro quo intelligendo in suo fundamento et radice potentia aliquas conclusiones quadam divisione praeposita, quae talis est: ¶ Corporum proportionabilium ad invicem in raritate et densitate quaedam sunt aequalia, quaedam inaequalia. Item aequalium quaedam continent aequaliter de materia, quaedam inaequaliter. Corporum inaequalium quaedam continent aequaliter de materia, quaedam vero non. Exemplum, ut si sint duo corpora, quorum unum est pedale, et aliud semipedale, possibile est, quod unum tantum contineat de materia sicut aliud, vel unum contineat plus de materia quam aliud. Item corporum inaequalium inaequaliter contenentium de materia, quaedam ita se habent, quod minus continet minus de materia, quaedam ita se habent, quod minus continet magis de materia. Item minorum continentium minus quam maius, quoddam continet minus in ea proportione, qua est minus, quoddam in maiori proportione, quoddam vero in minori. Exemplum, ut si sint duo corpora, quorum unum est pedale, aliud semipedale, possibile est, quod semipedale contineat materiam in duplo minorem, in triplo maiorem et in sexquialtero minorem, quam contineat pedale. Item corporum inaequalium, quorum minus continet plus de materia quam maius, quoddam continet plus de materia quam maius in aequali proportione, qua est minus, quoddam in maiori, quoddam vero in minori proportione, quam est minus. Ex[emp]lum, ut captis pedali et semipedali possibile est, quod semipedale continet in duplo plus de materia quam pedale. Possibile est, quod in triplo, possibile est etiam, quod in sexquialtero. His divisionibus positis pono aliquas conclusiones, quarum:

Prima conclusio est haec: corpora aequalia aequaliter continentia de materia sunt aequaliter rara et aequaliter densa, dummodo sint rara et densa. Haec conclusio patet ex definitionibus „rari“ et „densi“.

Secunda conclusio: si aliqua duo inaequalia aequaliter contineant de materia, minus illorum in eadem proportione est densius, in qua est minus. Probatur haec conclusio, et capio duo corpora in aequalia, gratia exempli pedale et semipedale habentia aequaliter de materia, et volo, quod semipedale rarefiat, quousque sit pedale sine acquisitione aut deperditione materiae. Quo posito in fine illa duo corpora sunt aeque rara et densa, ut patet ex prima conclusione, et illud, quod antea erat minus, perdidit proportionem duplam densitatis, cum acquisiverit duplam raritatem, ut patet per duplam punctorum distantiam sine acquisitione aut deperditione materiae, igitur antea erat in duplo densius, quam sit modo, et per consequens in duplo densius quolibet aequali modo in densitate, quoniam in quacumque proportione aliquid excedit aliud, in eadem proportione excedit quolibet aequale illi, igitur conclusio vera.

Tertia conclusio: si fuerint duo corpora inaequalia, et minus illorum continet plus de materia quam maius, tunc minus est densius in proportione composita ex proportione, qua maius excedit minus, et ex proportione, qua materia minoris ex[ce]dit materiam maioris. Probatur, et capio pedale et semipedale, quod continet in duplo maigs de materia quam pedale, et volo, quod illud semipedale rarefiat, quousque sit bipedale. Quo posito arguitur sic: in fine talis rarefactionis illud corpus, quod antea erat semipedale, est aeque densum adaequate, cum alio corpore pedali cum subdupla quantitate duplam materiam conti[n]et, et ipsum est in quadruplo minus densum, quam erat antea, cum modo puncta in quadruplo plus distent | et cetera. Igitur ipsum erat antea in quadruplo de[n]sius, quam sit modo, et per consequens in quadruplo densius quolibet, quod est modo aequale ei in densitate, igitur ipsum antea, cum esset semipedale, erat in quadruplo densius illo pedali, et proportio quadrupla est proportio composita ex proportione quantitatis, qua maius excedit minus, puta dupla, et ex proportione, qua materia minoris excedit materiam maioris, similiter dupla, ut patet ex secunda parte huius operis, igitur intentum. Sic enim universaliter probabis.

Quarta conclusio: si sint duo corpora inaequalia inaequaliter continentia de materia, ita quod in quacumque proportione minus minus est, in eadem proportione continet minus de materia, talia corpora sunt aequaliter densa. Patet haec conclusio de se, quoniam capto corpore pedali uniformiter denso manifestum est, quod medietas eius est aeque densa sicut totum, et sicut medietas est in duplo minor, ita in duplo minus continet de materia. Et isto modo universaliter probabis de quibuscumque aliis proportionibus – sive rationalibus, sive non rationalibus.

Quinta conclusio: si sint duo corpora inaequalia, et minus contineat minus de materia quam maius in maiore proportione, quam maius excedat minus, tunc maius est de[n]sius minore in ea proportione, qua proportio materiae ad materiam excedit proportionem quantitatum. Vel sub aliis verbis eadem re[]tenta sententia: si duorum corporum inaequalium proportio materiae maioris ad materiam minoris excedit proportionem quantitatis ad quantitatem, maius illorum est densius in proportione, per quam proportio materiae maioris ad materiam minoris excedit proportionem quantitatum. Probatur haec conclusio, et capio duo corpora se habentia in proportione dupla, et volo, quod materia maioris sit tripla ad materiam minoris. Quo posito maius est densius in proportione sexquialtera, per quam proportio tripla excedit duplam, igitur conclusio vera. Antecedens probatur, et pono, quod corpus maius condensetur, quousque sit aequale minori, puta ad subduplum. Quo posito arguitur sic: illud corpus, quod antea erat maius, est in triplo densius altero corpore, quod antea erat minus eo, et per talem condensationem praecise acquisivit duplam densitatem, ergo sequitur, quod antea habebat sexquialteram, igitur ipsum erat antea in proportione sesquialtera densius. Quod fuit probandum. Sequela tamen probatur, quia quando aliquid efficitur in aliqua proportione maius respectu alterius, et tunc acquirit praecise unam partem talis proportionis, sequitur, quod iam antea habebat alteram partem, sed tale corpus acquisivit proportionem triplam – id est: effectum est densius in proportione tripla – et non acquisivit, nisi duplam, ergo sequitur, quod iam antea habebat adaequate sexquialteram, quam tripla ex dupla et sexquialtera componitur adaequate. Et isto modo probabis de quibuscumque aliis proportionibus.

Sexta conclusio: si fuerint duo corpora inaequalia, et proportio quantitatum fuerit maior proportione materiae maioris ad materiam minoris, tunc minus est densius maiori in proportione, qua proportio quantitatis excedit proportionem materiae. Probatur haec conclusio, et volo, quod sint duo corpora, puta pedale et bipedale, et bipedale in sexquialtero plus contineat de materia quam pedale, tunc dico, quod pedale est densius bipedali in proportione sexquitertia, quoniam per talem proportionem sexquitertiam proportio quantitatis maioris ad quantitatem minoris, quae est dupla, excedit proportionem materiae maioris ad materiam minoris, quae est sesquialtera, ut constat. Probatur hoc sic,

quam si materia corporis minoris perderet proportionem sexquitertiam suae materiae stante quantitate, tunc maius et minus essent aeque densa, ut patet ex quarta conclusione. In ea enim proportione, qua minus est minus, in ea minus contineret de materia. Sed modo illud corpus minus in sesquitertio plus de materia continet densius quam tunc, et tunc erat ita densum, sicut modo est illud bipedale, ergo modo in sesquitertio est densius illo bipedali, et proportio sexquitertia est illa, per quam proportio quantitatis maioris ad quantitatem minoris excedit proportionem materiae maioris ad materiam minoris, ergo per consequens minus est densius maiore in proportione, per quantum proportio quantitatis maioris ad quantitatem minoris excedit proportionem materiae maioris ad materiam minoris. Et sic probabis quibuscumque duabus proportionibus quantitatum et materi[a]rum inaequalibus propositis in casu conclusionis.

Ultima conclusio: si duorum corporum inaequalium proportio quantitatis ad quantitatem sive materiae ad materiam fuerit irrationalis, tunc proportio raritatis unius et densitatis similiter ad densitatem et raritatem alterius est irrationalis. Probatur sicut conclusio, quam proportio quantitatis unius ad quantitatem alterius non denominatur ab aliquo certo numero, ita etiam distantia punctorum non denominatur ab aliquo certo numero, et per consequens iam proportio raritatis unius ad raritatem alterius est irrationalis, patet consequentia per definitionem proportionis irrationalis in prima parte huius operis.

Notanda est quarto quaedam divisio densitatum partibus alicuius subiecti inherentium, quae divisio huic materiae multum claritatis et utilitatis affert, ex qua propositiones non nullae deducuntur, ex quibus propositionibus quaedam conclusiones huius materiae subtilitatem comprehendentes nascuntur. Divisio vero sub his verbis describetur: ¶ Densitates per diversas partes subiecti distributae, quandoque sunt aequales in gradu, saepius vero inaequales. Exemplum primi, ut si utraque medietas unius pedalis sit densa ut 4. Exemplum secundi, ut si altera medietas sit ut 8, et altera ut 4. Item si sunt aequales in gradu, ipsae densitates aut extenduntur partibus subiecti aequalibus aut inaequalibus. Exempla in promptu sunt. Item si sunt inaequales in gradu, aut per partes aequales subiecti extenduntur aut per inaequales. Praeterea si densitates inaequales inaequalibus partibus subiecti inhaereant, hoc continget dupliciter, quia aut maior densitas maiori parti inhaeret aut minori. Exemplum primi, ut si densitas ut 4 inhaereat sive coextendatur medietati pedalis, et densitas ut 3 uni quartae eiusdem pedalis praepostero ordine densitates illis partibus distribuendo. Exemplum secundi membri patebit. Item si intensior densitas parti subiecti minori asscribitur, et remissior densitas maiori parti, hoc tripliciter evenire solet, quia aut proportio illarum partium subiecti proportionem illarum densitatum excedit, aut proportio densitatum proportionem partium subiecti excedit, aut proportio illarum partium est aequalis proportioni densitatum. Exemplum primi, ut si in una medietate pedalis ponatur densitas ut 8, et in una quarta densitas ut 12, tunc proportio partium est maior proportione densitatum. Nam haec sexquialtera est, illa autem dupla. Exemplum secundi, ut si in medietate subiecti ponatur densitas ut 4, et in quarta ponatur densitas ut 12, tunc proportio densitatum excedit proportionem partium subiecti, Nam haec dupla est, illa vero tripla, ut constat. Exemplum tertii, ut si in una tertia ponatur densitas ut 6, et in una sexta densitas ut 12, tunc eadem est proportio illarum partium et etiam illarum densitatum. Utraque enim dupla est. Hac partitione sive divisione | exacta atque consummata restat quasdem propositiones praeambulas sequentium conclusionum probare.

Prima propositio: si densitates aeque intensae sive gradu aequales, (quod idem est), partibus eiusdem subiecti extenda[n]tur aequalibus, ipsae aequaliter totum denominant. Si vero partibus subiecti inaequalibus asscribantur, tunc illa de[n]sitas, quae maiori parti subiecti asscribitur, plus totum ipsum subiectum denominat in proportione, in qua se habent illae partes subiecti ad invicem, ut si densitas ut 4 sit in una medietate alicuius subiecti, et tanta densitas intensive sit in una quarta eiusdem subiecti, tunc in duplo plus denominat totum illud subiectum densitas in medietate quam densitas in quarta, quia medietatis ad quartam est proportio dupla. Probatur tamen secunda pars huius propositionis, (quia prima ex se patet), quam ex positione, quam iam sustinemus et praecedenti notabili recitavimus, patet, quod densitas existens in parte subiecti in ea proportione minus denominat suum subiectum, in qua est in minori parte subiecti, igitur in quacumque proportione aliqua densitas per maiorem partem alicuius subiecti extenditur quam alia enim aequalis in gradu, in eadem proportione plus suum subiectum denominat. Quod fuit probandum.

Secunda propositio: quando inaequales densitates aequalibus partibus subtecti inhaerent, tunc intensior densitas in ea proportione plus denominat totum subiectum, in qua est intensior. Probatur, quia si illae densita[tes] essent aequales in gradu, cum inhaereant partibus aequalibus, ipsum aequaliter totum densum denominarent, ut docet prior pars praecedentis conclusionis, sed modo una illarum densitatum est intensior in F proportione exempli gratia, et sicut est intensior, ita plus denominat ceteris paribus, igitur in F proportione plus denominat quam reliqua, et in F proportione est intensior, ut ponitur, igitur in ea proportione, in qua intensior, plus totum subiectum denominat. Quod fuit probandum.

Tertia propositio: si inaequales densitates in gradu partibus eiusdem subiecti inaequalibus accommodantur, et intensior maiori parti deputetur, remissior vero minori, tunc intensior densitas plus denominant totum quam remissior in proportione composita ex proportione partis maioris ad partem minorem et densitatis intensioris ad densitatem remissiorem. Exemplum, ut si in una medietate pedalis ponatur densitas ut 4, et in quarta eiusdem ponatur densitas ut 2, tunc dico intensionem existentem in medietate subiecti in quadruplo plus denominare illud subiectum densitate existente in quarta eiusdem subiecti, quam proportio illarum partium et etiam densitatum est dupla, et sic composita ex illis duplis est quadrupla, ut patet. Probatur tamen haec propositio universaliter, et sit A densitas intensior per maiorem partem extensa, B vero remissior per minorem partem extensa, tunc A densitas denominat subiectum totale plus quam B densitas in proportione composita ex proportione partis, in qua est A ad partem, in qua est B, quae proportio sit C, et ex proportione densitatis A ad densitatem B, quae proportio sit D. Quod sic ostenditur, quia si A densitas esset aequalis B densitati, tunc A plus denominaret subiectum quam B in proportione C, quae est proportio partium, ut patet ex secunda parte primae conclusionis, sed modo A est intensior densitas, quam tunc esset, in D proportione, quae est proportio illarum densitatum, igitur modo in D proportione plus denominat totum quam tunc. Patet tamen haec consequentia, quia quanto aliqua densitas est intensior ceteris paribus existens in aliqua parte subiecti, tanto plus facit ad denominationem sui subiecti, ut tenet haec positio, igitur nunc A densitas plus facit ad denominationem

sui subiecti quam B in C proportione partium et in D proportione intensionum illarum densitatum simul, igitur plus denominat A quam B suum subiectum in proportione, quae adaequate componitur ex proportione C partium et D intensionum illarum densitatum. Quod fuit probandum.

Quarta propositio: si intensior densitas parti extendatur minori, et remissior maiori, sitque aequalis proportio partium ad invicem, et etiam densitatum, tunc illae densitates aequaliter ad totius denominationem faciunt. Exemplum, ut si in una medietate ponatur densitas ut 4, et in una quarta ut 8, quia tunc inter partes et inter densitates est proportio dupla. Ideo tantum adaequate facit ad denominationem totius subiecti densitas ut 8 in una quarta, quantum densitas ut 4 in una medietate, quia utraque facit ut duo, ut patet calculanti et aspicienti attentius. Probatur tamen generaliter, et sit A densitas intensior per minorem partem extensa, et B remissior extensa per maiorem partem, et sit F proportio inter illas partes, et etiam si F proportio inter illas densitates A [et] B, tunc dico, quod B de[n]sitas aequaliter denominat totum suum subiectum cum ipsa A densitate. Quod sic arguitur: si A densitas existens in minori parte, quam B esset aequalis in gradu ipsi B, tunc in F proportione minus denominaret totum, quam B modo denominat, ut patet clare ex secunda parte primae propositionis, sed modo in F proportione plus denominat quam tunc, quia in F proportione est intensior ceteris paribus, igitur modo tantum denominat sicut B. Quod fuit probandum.

Quinta propositio: si intensior densitas parti subiecti extendatur minori, et remissior maiori parti eiusdem subiecti inhaereat, et proportio intensionum illarum de[n]sitatum excedat proportionem partium, tunc densitas existens in mi[n]ore parte subiecti ipsum totum subiectum densius denominabit quam densitas existens in maiori parte in ea proportione, per quam proportio intensionum illarum densitatum excedit proportionem partium, in quibus sunt illae densitates. Exemplum, ut si in una medietate pedalis ponatur densitas ut duo, et in quarta eiusdem densitas ut 8, quia proportio partium exceditur a proportione quadrupla illarum densitatum, et quadrupla excedit duplam per duplam. Ideo in duplo plus denominat densitas ut 8 quam densitas ut 2 illud totale subiectum denominet, quia illa ut 2 denominat ut unum, alia vero ut 8 denominat ut 2, ut patet calculanti. Probatur tamen universaliter: sit A densitas intensior, B vero remissior existens in maiore parte subiecti quam A, sitque proportio partium C, proportio vero intensionum illarum densitatum D, quae sit maior, et exceda[]t D proportio ipsam C proportionem per F proportionem, tunc A densitas denominat subiectum in F proportione densius quam B. Quod sic arguitur, quia si proportio intensionum illarum densitatum esset aequalis proportioni C illarum partium subiecti, tunc aequaliter A faceret ad totius subiecti denominationem, ut patet ex prae[c]edenti proportione, sed modo A est i[n] F proportione intensior densitas quam tunc, ergo modo in F proportione plus facit ad totius denominationem quam tunc, et per consequens in F proportione modo plus facit quam B. Quod fuit probandum. Patet consequentia, quia tantum facit B modo sicut tunc A, ut patet. Quia vero A densitas sit nunc in F proportione intensior quam tunc, patet per hanc maximam: quandoque duae proportiones sunt aequales ad hoc, quod una illarum excedat alteram per F proportionem, requiritur, quod numerus maior acquirat illam F proportionem supra se, si numerus minor debet manere invariatus, ut patet facile in numeris, et sic patet propositio.

Sexta propositio: ubicumque maior densitas | parti subiecti minori inhaeret, et remissior densitas maiori parti, estque inter partes maior proportio quam inter illarum densitatum intensiones, tunc densitas remissior plus facit ad totius denominationem quam intensior in ea proportione, per quam proportio partium proportionem densitatum exsuperat. Exemplum est facile. Probatur haec propositio generaliter: sit A densitas intensior in minore parte existens, B vero remissior in maiore parte existens, et si proportio partium C et densitatum D, et C proportio partium excedat D proportionem densitatum per F, tunc arguitur sic: si proportio partium, puta partis maioris ad partem minorem, diminueretur per F proportionem, tunc B densitas aequaliter denominaret totum sicut A densitas, sed modo est in parte in F proportio[n]e maiore, quam tunc esset ceteris paribus, ergo modo in F proportione B plus denominat quam tu[n]c, et per consequens modo in F proportione B plus denominat totum subiectum quam A densitas. Patet consequentia, quia denominatio, qua modo denominat A densitas, et qua tunc denominaret B densitas, sunt aequales. Q[uod] vero tunc B aequaliter denominaret cum ipsa A densitate, patet ex quarta propositione. Et sic patet, quod in ea proportione densitas remissior plus facit ad denominationem totius, per quam proportio partium excedit proportionem densitatum. Quod fuit probandum. ¶ Absolutis notabilibus primaque parte huius quaestionis expedita restat ad secundam partem sive articulum huius quaestionis accedere, qui articulus conclusionibus quibusdam ex praedictis propositonibus sequentibus accommodatur. His enim sequentibus conclusionibus praesentis quaestionis difficultas notatur atque absolvitur. Sit igitur.

Prima conclusio: diviso aliquo corpore [d]enso per partes proportionales quavis proportione et prima pars proportionalis sit aliqualiter densa, et secunda in duplo plus, et tertia in triplo plus quam prima et sic in infinitum, tunc totum corpus est densus prima parte proportionali in ea proportione, qua se habet totum sic divisum ad primam partem eius proportionalem. Patet haec conclusio ex probatione secundae conclusionis tertii capitis secundi tractatus huius tertiae partis, ubi et probationem et exemplum eius inveniens. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod si aliquod corpus dividatur proportione tripla, et prima pars proportionalis eius sit aliquantulum densa, et secunda in duplo, et tertia in triplo quam prima et sic consequenter, tunc totum est in sesquialtero densius prima parte. Et si dividatur corpus proportione quadrupla, totum est densius prima parte proportionali in sesquitertio, et si proportione quintupla, totum erit densius prima parte proportionali in proportione sesquiquarta. Et si in proportione sextupla, in proportione sesquiquinta. Et [s]i proportione septupla, in proportione sexquisexta et sic consequenter procedendo per species proportionis multiplicis superparticularis. Probatur hoc longum correlarium, quia corpus divisum proportione tripla se habet ad primam partem proportionalem eius in proportione sesquialtera et divisum proportione quadrupla in proportione sesquitertia, et divisum quintupla se habet ad primam partem proportionalem in proportione sexquiquarta et sic consequenter, ut patet ex prima parte huius operis capitulo quinto et sexto. Igitur in casu correlarii sequitur, quod si dividatur proportione tripla, ipsum erit densius prima parte proportionali in sexquialtero, et si quadrupla, in proportione sesquitertia, et si quintupla, in sexquiquarta et sic consequenter. Patet haec consequentia per conclusionem praecedentem. ¶ Sequitur secundo, quod si dividatur corpus per partes proportionales proportione dupla, distribuaturque densitas

in partes proportionales, ut ponitur in praecedenti correlario, ita quod prima sit aliqualiter densa, secunda in duplo, tertia in triplo et sic consequenter, tunc totum est in duplo densius sua prima parte proportionali. Probatur, quia totum divisum per partes proportionales proportione dupla est duplum ad primam partem proportionalem eius, ut patet ex quinto capite praeallegato primae partis huius libri. Igitur per conclusionem primam immediate praecedentem illud est densius prima parte proportionali in proportione dupla. ¶ Sequitur tertio, quod diviso corpore si per partes proportionales proportione dupla, ut ponitur in antecedenti correlario, totum est ita densum sicut secunda pars proportionalis eius. Probatur, quia in duplo densius prima, ut secundum correlarium asserit, et secunda pars proportionalis est etiam in duplo densior prima, ergo totum est ita densum sicut secunda pars proportionalis. Quod fuit probandum. Patet consequentia per hanc maximam: omnia habentia aequalem proportionem ad unum tertium sunt aequalia, sed totius densitas et densitas secundae partis proportionalis habent aequalem proportionem ad densitatem primae partis proportionis, puta duplam, igitur densitas totius et secundae partis proportionalis sunt aequales, quod erat inducendum. ¶ Sequitur quarto, quod si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proporportione sesquialtera, et prima pars proportionalis sit aliqualiter densa, et secunda in duplo, et tertia in triplo quam prima et sic consequenter, ut ponitur in casu primae conclusionis et correlarii, totum est in triplo densius prima parte proportionali. Et si dividatur proportione sesquitertia, totum erit densius prima parte proportionali in quadruplo. Et si in sesquiquarta, totum erit densius prima parte proportionali in proportione quintupla et sic consequenter procedendo per species proportionis superparticularis in divisione corpo[r]is et per species proportionis multiplicis ex parte densitatis. Probatur hoc corolarium, quia totum divisum per partes porportionales proportione sexquialtera est triplum ad primam partem eius proportionalem, et sexquitertia quadruplum, et sexquiquarta quintuplum, ut patet ex prima parte huius operis, ergo in eisdem proportionibus se habent densitates totius ad densitatem primae partis proportionalis. Igitur correlarium verum. ¶ Sequitur quito, quod si dividatur corpus, ut dicitur in praecedenti correlario, ut puta proportione sesquialtera, et prima pars sit aliqualiter densa, et secunda in duplo, et tertia in triplo et cetera, totum est ita densum sicut tertia pars proportionalis eius. Et si sesquitertia, sicut quarta pars proportionalis eius. Et si sesquiquarta, sicut quinta pars proportionalis eius. Et sesquiquinta, sicut sexta pars proportionalis eius et sic consequenter ascendendo per partes proportionales et per species proportionis superparticularis in infinitum. Probatur, quia si corpus sit divisum proportione sexquialtera, ipsum est in triplo densius prima parte proportionali, ut patet ex praecedenti correlario, et tertia pars proportionalis est etiam in triplo densior prima, ut patet ex casu. Ergo est ita densum tale corpus sicut tertia pars proportionalis. Item si dividatur proportione sexquitertia, ipsum est in quadruplo densius prima eius parte proportionali, ut patet ex praecedenti correlario, et etiam quarta pars proportionalis eius est in quadruplo densior prima, ut patet ex casu. Igitur illud corpus ita divisum per partes proportionales proportione sexquitertia est ita densum sicut quarta pars proportionalis eius. Et isto modo probabis ceteras particulas correlarii. ¶ Sequitur sexto, quod si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proportione superbipatiente tertias et partes eius sint ita densae, ut saepius | dictum est in praecedentibus correlariis, totum erit densius prima parte proportionali in proportione dupla sesquialtera, ita quod si prima est densa ut 2, totum erit densum ut 5. Probatur correlarium, quam totum erit densius prima parte proportionali in tali casu in proportione, qua se habet totum divisum per partes proportionales proportione superbipartiente tertias ad suam primam partem proportionalem, ut patet ex conclusione, sed talis est proportio dupla sexquialtera, ut patet ex capitulo quinto primae partis huius operis. Igitur correlarium verum.

Secunda conclusio: diviso corpore per partes proportionales quavis proportione, et in quacumque proportione se habuerint partes proportionales, in eadem vel maiori se habuerit densitas minoris ad densitatem maioris, totum illud corpus est infinite densum. Patet haec conclusio ex probatione sextae conclusionis octavi capitis secundi tractatus huius partis. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod partito aliquo corpore proportione sesquialtera et prima pars sit aliqualiter densa, et secunda in duplo et tertia in duplo quam secunda, et quarta quam tertia, totum est infinite densum. ¶ Sequitur secundo, quod diviso corpore per partes proportionales proportione sesquitertia et prima sit aliqualiter densa, et secunda in sesquialtero plus, et tertia in sesquialtero quam secunda et sic consequenter, totum corpus est infinite densum. Haec correlaria ex secunda conclusione patent, quam in utroque illorum proportio densitatum continuo est maior proportione partium, ergo subiecta illa sunt infinite densa.

Tertia conclusio: diviso aliquo corpore per partes proportionales quavis proportione et in certa proportione quaelibet pars praecedens sit densior immediate sequenti, totius densitatis ad densitat[e]m sive denominationem, qua totum denominabitur a densitate primae partis proportionalis, est illa proportio, qua se habet totum divisum in proportione composita ex proportione partis proportionalis praecedententis ad immediate sequentem et densitatis praecedentis ad densitatem immediate sequentis ad primam eius partem proportionalem. Patet haec et [con]clusio cum multis similibus ex probatione octavae conclusionis tertii capitis secundi tractatus huius tertiae partis, videas ibi.

Quarta conclusio: diviso corpore per partes proportionales aliqua proportione multiplici et in prima parte proportionali sit aliquantula densitas, et in secunda in sesquialtero maior, et in tertia in sesquitertia maior densitas quam in prima et sic consequenter procedendo per species proportionis superparticularis, totius corporis densitas censenda est incommensurabilis proportione rationali densitati primae partis proportionalis et denominationi, qua ipsa densitas existens in prima parte proportionali totum denominat, vel saltem si commensurabilis est, pro statu isto a nobis capacitatem finitam habentibus nequaquam commensurari potest. Probatur, quam illae densitates continuo se habent in alia et alia proportione, et non est possibile omnes tales proportiones commensurari ab intellectu finito, cum sint infinitae et continuo aliae et aliae, igitur conclusio proposita vera. Non tamen puto hanc conclusionem demonstrasse aut sufficienter ostendisse, sed eam probabiliter pono. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proportione dupla, et prima sit aliqualiter densa, et secunda in sesquitertio plus quam prima, et tertia in sesquiquinta plus quam prima, et quarta in sesquiseptimo plus quam prima

et sic consequenter procedendo per species proportionis superparticularis denominatas a numeris imparibus, totius densitas iudicanda est incommensurabilis saltem a nobis. Similiter divisio corpore proportione tripla et prima pars proportionalis sit aliqualiter densa, et secunda in superbipartiente tertias densior, et tertia in superbipartiente quintas densior quam prima et sic consequenter continuo procedendo per species proportionis superbipartientis denominatas a numeris imparibus, totius d[en]sitas est incommensurabilis. Innumera correlaria possunt isto modo inferri, in quibus reperietur densitas incommensurabilis densitati primae partis proportionalis.

Quinta conclusio: diviso corpore per partes proportionales proportione irrationali et prima pars proportionalis sit aliqualiter densa, et secunda in duplo, et tertia in triplo quam prima, et quarta in quadruplo quam prima et sic consequenter, totius corporis densitas incommensurabilis est densitati primae partis proportionalis. Probatur haec conclusio, quam tota densitas se habet ad densitatem primae partis proportionalis in ea proportione, qua se habet totum divisum illa proportione irrationali ad primam eius partem proportionalem, ut patet ex prima conclusione. Sed talis proportio est irrationalis, ut patet, igitur conclusio vera.

Expeditis duobus prioribus articulis quae notabilia et conclusiones huius quaestionis absolvunt. ¶ Restat tertius articulus absolvendus, qui dubia huius quaestionis enodat.

¶ Dubitatur igitur primo, utrum raritas uniformiter difformis vel difformiter difformis, cuius utraque medietas est uniformis, suo gradui medio corresp[o]ndeat. ¶ Dubitatur secundo, utrum dabile sit corpus finitum infinite densum et uniforme in densitate. ¶ Dubitatur tertio, utrum dabile sit corpus infinite rarum uniforme in raritate. ¶ Dubitatur quarto, utrum illa quinque notabilia, quae ponuntur a calculatore in capitulo de raritate et densitate, sint vera. ¶ Dubita[t]ur quinto, utrum aliquid sit ita rarum sicut densum.

Dubitatur sexto, numquid ex uniformi acquisitione raritatis sequatur uniformis deperditio densitatis et econtra. ¶ Dubitatur septimo, utrum aeque velociter et aeque proportionabiliter minoratur raritas, sicut maioratur densitas, et econtra. ¶ Dubitatur octavo, utrum – si a non gradu raritatis acquirant aliqua aeque velociter de raritate – continuo manebunt aeque rara.

¶ Dubitatur nono, utrum quodlibet infinitum quantitative habens infinitam materiam sit infinite densum. ¶ Contra primum dubium arguitur primo sic: si raritas difformiter difformis, cuius utraque medietas est uniformis, corresponderet gradui suo medio, sequeretur, quod per solam rarefactionem et motum consequentem ipsam, qui motus est augmentatio, aliquid efficeretur densius, quam antea erat, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et pono casum, quod sit unum bipedale, cuius una medietas sit rara ut sex, et alia ut unum, et volo, quod rarefiat medietas ut unum acquirendo unum gradum raritatis, ita quod efficiatur rarior in duplo quiescente alia medietate ut 6. Quo posito arguitur sic: per te haec raritas huius corporis bipedalis est ut tria cum dimidio, quia ille est gradus medius inter 6 et unum, et rarefacta illa medietate ut unum ad duplum, ut ponitur in casu, illud corpus bipedale efficietur rarum ut 3 cum una tertia. Igitur efficietur densius, quam antea erat, et hoc per solam rarefactionem et motum consequentem rarefactionem. Igitur. Minor probatur, quod videlicet illud corpus bipedale efficietur rarum ut 3 cum una tertia, quia ipsum | effectum est tripedale. Nam medietas eius rara ut unum effecta est in duplo maior alia quiescente et ipsa erat pedalis. Ergo effecta est bipedalis, et per consequens totum corpus effectum est tripedale, cuius una tertia rara ut 6 denominat totum corpus rarum ut duo, et aliae duae tertiae denominant ipsum rarum ut unum cum tertia, igitur tota raritas illius corporis est ut tria cum una tertia. Quod fuit probandum. Iam probo, quod duae tertiae illius corporis denominant ut unum cum una tertia, quia illa medietas rara ut unum effecta est rara ut 2, et effecta est duae tertiae, sed duo gradus raritatis existentes in duabu[s] tertiis denominant ut unum cum tertia, ut constat, igitur illae duae tertiae denominant totum corpus rarum ut unum cum una tertia. Quod fuit probandum.

Secundo ad [id]em arguitur sic: si raritas difformiter difformis, cuius utraque medietas est uniformis, corresponderet gradui medio, sequeretur, quod posset reduci ad uniformitatem ipsius gradus medii, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis ostenditur, et capio unum bipedale, cuius una medietas sit rara ut 8, et altera ut quatuor, et quod medietas rara ut 8 deperdat duos duos gradus raritatis, et illos acquirat medietas rara ut 4. Quo posito sic arguitur: in fine illud corpus erit rarum gradu medio, puta ut 6, ut satis constat, et erit rarius quam antea, igitur a[n]tea non correspondebat gradui medio, immo remissiori gradui. Maior est nota cum consequentia, et minor probatur, quia illud corpus erit maius, quam erit antea sine acquisitione materiae, ergo rarius, quam erat antea. Probatur antecedens, quia medietas rara ut 8 perdit proportionem sexquitertiam raritatis, e[t] sic efficitur in sexquitertio minor, et per consequens perdit unam quartam pedalis. Medietas vero rara ut 4 efficitur in sexquialtero rarior, et sic efficitur in sexquialtero maior, et est pedalis, igitur acquisivit medietatem pedalis, igitur in fine illud c[o]rpus erit bipedale cum quarta. Et per consequens illud corpus effectum est maius. Quod fuit probandum.

Tertio ad idem arguitur sic: si rarum uniformiter difforme corresponderet suo gradui medio, sequeretur, quod maior proportio esset medii ad extremum [r]emissius quam extremi intensioris ad punctum medium, sed hoc est falsum. Igitur. Sequela probatur, quia idem est excessus, quo extremum intensius excedit punctum medium, et [est is,] quo punctus medius excedit punctum remissius, igitur maior est proportio inter punctum medium et extremum remissius quam inter extremum intensius et punctum medium. Patet haec consequentia per hanc maximam: quando idem excessus additur minori et maiori quantitati, maior proportio acquirit minoris quantitas quam maior, ut constat. Iam probo falsitatem consequentis, et capio unum corpus uniformiter difformiter densum ab octavo usque ad quartum, et arguo sic: puncti medii ad extremum ut 4 est proportio sexquialtera, et extremi ut 8 ad punctum medium est proportia sexquitertia in densitate, ergo extremi ut 4 ad punctum medium est proportio sexquialtera in raritate, et pu[n]cti medii ad extremum ut 8 est proportio sexquitertia in raritate. Patet haec consequentia, quoniam in quacumque proportione aliquod est minus densum, in eadem est rarius, igitur maior est proportio puncti extremi intensioris ad punctum medium quam puncti medii ad extremum remissius. Quod fuit probandum. Patet hoc, quia extremum ut 4 in densitate est extremum intensius in raritate et extremum ut 8 in densitate remissius in raritate. ¶ In oppositum tamen arguitur sic, quia

omnis densitas difformiter difformis, cuius utraque medietas est uniformis vel uniformiter difformis, correspondet suo gradui medio. Et omnis raritas difformiter difformis, cuius utraque medietas est uniformis, et uniformiter difformis est densitas difformiter difformis et cetera vel uniformiter difformis, igitur omnis raritas difformiter difformis, cuius utraque medietas est uniformis vel uniformiter difformis, correspondent suo gradui medio. Consequentia est nota, et [m]inor probatur, quia eadem est latitudo densitatis et raritatis. Nec secundum hanc opinionem aliquo modo differunt raritas difformis et densitas difformis, igitur illa minor vera. Sed iam probatur maior, et capio unum corpus difformiter difforme, cuius u[t]raque medietas est uniformis, et manifestum est, quod in medietate densiori est plus de materia quam in medietate minus densa, quia alias non esset densior. Capio igitur medietatem excessus illius materiae, cui medietati excessus correspondet etiam medietas excessus densitatis. Et volo, quod ponatur in alia medietate. Et hoc sine deperditione aut acquisitio[n]e quantitatis in aliqua illarum medietatum. Quo posito illud corpus manebit ita densum sicut antea, quia sub aequali quantitate continebit tantum de materia sicut antea, et manebit sub gradu medio, ergo modo sua densitas correspondet suo gradui medio. Consequentia patet cum maiore, et arguitur minor, quia utraque medietas manebit uniformiter densa sub gradu medio, igitur totum manebit densum sub gradu medio. Probatur antecedens per hanc maximam: quandocumque sunt aliqua duo inaequalia, et capitur medietas excessus, quo excessu maius excedit minus, et illa medietas excessus additur minori, illa manebunt aequalia sub gradu medio inter illa. Ut si a numero octonario demeretur numerus binarius, et adderetur quaternario, tunc illi duo numeri manebunt aequales sub numero medio, puta ut 6, ut constat, quia fuit medietas excessus, quo maior numerus excedit min[]norem ipsi numero minori addita, sed sic fit in proposito, quia medietas excessus, quo densitas medietatis densioris excedit densitatem partis minus densae, additur ipsi densitati minori, igitur illae densitates manent aequales.

Pro solutione huius dubitationis advertendum est, quod [dividatur] secundum hanc opinionem, quae est opinio calculatoris, et secundum eius modum loquendi. Raritas idem est omnino cum densitate, sed densitas dicitur posit[i]ve, raritas privative, sicut intensio et remissio eadem latitudo sunt. Dicitur tamen intensio positive, remissio vero privative. Et propterea semper gradus densitatis et raritatis eodem numero signantur, ita quod densitas ut 8 est raritas ut 8, et raritas ut 4 est etiam densitas ut 4, et semper minor densitas est maior raritas. ¶ Ex quo sequitur, quod densitas ut 4 est maior raritas quam densitas ut 8, quia est in dupla minor densitas, ergo in duplo maior raritas, et cum densitas ut 4 sit raritas ut 4, ut novissime dictum est, et densitas ut 8 sit raritas ut 8, sequitur indubitanter, quod raritas ut 4 est maior raritas quam raritas ut 8.

Unde ex mente calculatoris pono talem fundamentalem propositionem in hac materia: raritas intenditur per decrementum numeri sicut densitas per crementum, („intenditur“ inquam privative), ita quod si raritas ut 8 debet in esse raritatis intendi ad duplum, oportet, quod ille numerus ut 8 decrescat ad | suum subduplum, et efficiatur ut 4, quia raritas ut 4 est in duplo maior quam raritas ut 8. Sed si densitas ut 8 debet augeri sive intendi ad duplum, oportet, ut efficiatur ut 16, quia raritas privative dicitur. Densitas vero positive. Probatur tamen haec propositio, quia capto corpore denso ut octo manifestum est, quod si illud debeat effici in duplo rarius, ipsum debet effici in duplo minus densum, et per consequens efficitur densum ut 4 est, sed omne densum ut 4 est rarum ut 4, ut dictum est, et densum ut octo similiter est rarum ut octo, igitur rarum ut 4 in duplo rarius est raro ut octo.

¶ Ex quo sequitur, quod sicut in positivis maioris numeri ad numerum minorem est semper proportio maioris inaequalitatis, praepostero ordine in privativis minoris numeri ad numerum maiorem est proportio maioris inaequalitatis. Exemplum, ut quia 6 gradum densitatis ad 4 est proportio sexquialtera, et raritas dicitur privative respectu densitatis, 4 graduum raritatis ad 6 raritatis est proportio sexquialtera, et etiam 4 raritatis ad octo raritatis est proportio dupla, et quatuor raritatis ad 12 est tripla, et quatuor ad 16 ad quadrupla et sic consequenter.

¶ Ex quo ulterius infertur, quod inter omnem gradum raritatis et suum subduplum est in duplo maior latitudo quam inter ipsum et suum duplum raritatis, cuius oppositum semper contingit in positivis quibuscumque, ut facile est videre. Probatur, quod raritas ut octo est subdupla ad raritatem ut 4, et raritas ut 2 est dupla raritas ad raritatem ut 4, et in duplo maior latitudo est inter quartum et octavum quam inter quartum et secundum, igitur maior latitudo est inter aliquem gradum et suum subduplum quam inter ipsum et suum duplum.

¶ Ex quo sequitur, quod inter omnem gradum raritatis finitum et infinitum gradum raritatis est latitudo solum finita. Probatur, quia inter omnem gradum finitum densitatis et non gradum densitatis est latitudo solum finita, ut satis constat, igitur inter omnem gradum finitum raritatis et infinitum raritatis est latitudo solum finita. Patet consequentia a convertibilibus. Convertitur enim non gradus densitatis et infinitus gradus raritatis, et raritas finita et densitas finita. His sic elucidatis ponitur.

Conclusio responsiva talis: omnis raritas uniformiter difformis vel difformiter difformis, cuius utraque medietas est uniformis, correspondet suo gradui medio. Patet conclusio per argumentum in oppositum factum.

Ad rationes ante oppositum: ad primam respondeo negando sequelam et ad probationem admisso casu nego minorem, videlicet quod illud corpus in fine sit rarum ut 3 cum duabus tertiis, et ad probationem concedo, quod pars non rarefacta denominat totum ut 2, et nego, quod rarefacta deno[min]at totum ut unum cum dimidio, et ad punctum probationis concedo, quod illa pars rarefacta est ut duae tertiae, et nego, quod illa effecta est rara ut duo, immo dico, quod effecta est rara ut dimidium. Raritas enim ut dimidium est dupla ad raritatem ut unum, et raritas ut duo est subdupla, ut dictum est in notabili, et sic raritas illa duarum tertiarum denominat totum ut una tertia, et per consequens tota raritas est ut 2 cum tertia, quae est in sexquialtero maior raritate ut 3 cum medietate. Trium enim cum dimidio ad 2 cum una tertia est proportio sexquialtera positive, et per consequens privative duorum

[c]um tertia ad 3 cum dimidio est proportio sexquialtera, et isto modo solves similia argumenta.

Ad secundam rationem respondeo concedendo s[equala]m et negando falsitatem consequentis, et ad pu[n]ctum probationis dico breviter, quod argumentum falso innititur, quia putat arguens: quod rarefit, debet reduci ad uniformitatem per gradus raritatis, et hoc non est ita. Sed debet reduci utendo gradibus densitatis, hoc est dicere, quod, cum volumus reducere raritatem ad uniformitatem, debemus reducere densitatem, sicut facimus volentes reducere remissionem, reducimus intensionem, et reducta densitate reducta est etiam et ipsa raritas, quoniam nihil est aliud reducere raritatem ad uniformitatem quam reducere densitatem, sicut reducere remissionem nihil aliud est quam reducere intensionem, ut constat. Q[u]are in proposito ad reducendum illud bipedale ad uniformitatem oportet, quod medietas densa ut 8, quae etiam est rara ut 8, perdat duos gradus densitatis, et illos acquirat medi[e]tas densa ut 4, quae etiam est rara ut 4, et sic totum manebit uniformiter rarum gradu medio et etiam densum gradu medio, et tam rarum et tam densum et tantae quantitatis sicut antea. Et sic patet, quod arguens falsum imaginatur, quoniam opinatur, quod raritas ut 8 est maior raritas quam raritas ut 4, quod est falsum, ut patet ex notabili, et ideo non oportet, quod medietas rara ut octo perdat raritatem, sed acquirat, et medietas ut 4 perdat raritatem et acquirat densitatem.

Ad tertiam rationem respondeo negando sequelam, et ratio est, quia ille modus arguendi non tenet in privativis, quamvis sit necessarius in positivis.

Pro solutione secundi dubii danda est definitio „infinite densi“ et etiam „infinite rari“. Unde „infinite densum“ est illud, quod sub finita quantitate continet infinitum de materia, vel quod sub infinita quantitate continet uniformiter p[e]r totum infinitam materiam formaliter vel reductive, et reductio fiat eodem modo, quo reductio qualitatis. „Infinite vero rarum“ est illud, quod sub infinita quantitate continet finitam materiam. His duabus definitionibus iactis ut fundamentis pono aliquas conclusiones.

Prima conclusio: possibile est dare corpus finitum infinite densum. Probatur, et pono casum, quod in prima proportionali unius pedalis sit unus gradus materiae, et in secunda tantum, et in tertia tantum de materia sicut in prima et sic in infinitum. Quo posito illud est finitum corpus et infinite densum, quia sub finita quantitate continet infinitam materiam, igitur conclusio vera.

Secunda conclusio: non implicat contradictionem dare corpus finitum infinite densum uniformiter, ita quod quaelibet eius pars quantitativa sit infinite densa. Probatur haec conclusio, quoniam nullum aliud inconveniens videtur ex hoc sequi, nisi quod quaelibet pars quantumcumque parva continet infinitum de materia, et per consequens ibi est penetratio materiae. Sed hoc nullo modo implicat, igitur conclusio vera.

¶ Ex hac conclusione sequitur, quod tale corpus finitum infinite densum potest effici minus in duplo et in triplo et sic consequenter, et tamen non potest effici densius, nec hoc est inconveniens. |

Tertia conclusio: dabile est aliquod corpus, quod nec rarefieri nec condensari potest totali eius materia semper manente uniformi omnino nullaque parte eius aliquam materiam deperdente. Probatur, quia dato corpore infinito, cuius quaelibet pars sit infinite densa uniformiter, illud non potest rarefieri, quia semper in qualibet eius parte manebit materia infinita, nec condensari, quia iam est infinite densum, ergo conclusio vera.

Quarta conclusio: non est possibile dare corpus finitum infinite rarum. Probatur, quia omne tale sub finita quantitate finitam materiam continet vel infinitam, si finitam, iam est densum, et per consequens non infinite rarum. Si vero infinitam, iam est infinite densum, ut patet ex definitione, et per consequens non est rarum, ergo tale corpus non est infinite rarum. Et sic patet conclusio.

Quinta conclusio: possibile est dare corpus infinitum infinite rarum. Probatur, et pono, quod deus producat unum corpus infinitum, et primum pedale eius continet aliquantulum de materia, et secundum in duplo minus, et tertium in duplo minus quam secundum, et quartum in duplo minus quam tertium et sic in infinitum. Quo posito sequitur, quod illud corpus est infinitum et infinite rarum, ergo [conclusio vera]. Minor patet per definitionem „corporis infinite rari“, illud enim finitam materiam continet, quia continet duplam ad materiam primi pedalis, habent enim se illae materiae continuo in proportione dupla, aggregatum ergo ex omnibus est duplum ad primum.

Sexta conclusio: non est possibile dare corpus uniformiter rarum infinitae raritatis, nisi aliquis vellet concedere, quod aliquod corpus est infinitum, cuius omnia puncta in infinitum distant et nulla finite et, cuius non est signabilis aliqua pars finita. Probatur prima pars huius conclusionis, quia signetur illud, et manifestum est, quod non potest esse finitum, ut patet ex quarta conclusione, ergo est infinitum tale corpus, capio ergo unum pedale illius, et arguo sic: illud pedale est rarum, ergo habet aliquid de materia, et tantum habet quodlibet pedale illius corporis, cum sit per te uniforme, et sunt infinita pedalia, ergo habet infinitam materiam, et per consequens non est infinite rarum. Patet consequentia ex definitione „infinite rari“. Secunda vero pars probatur, quia posset aliquis d[i]cere, quod non est signare aliquod pedale in tali corpore nec aliqua pars finita, immo quaelibet pars illius est infinita, et sic argumentum contra eum non procedit, et per hoc ad secundum et tertium dubia sufficienter dictum puto.

Pro quarti solutione dubii est advertendum, quod calculator in capitulo de raritate et densitate ponit quinque notabilia, de quorum veritate quaeritur in hoc dubio, et ideo – ut eorum veritas aut falsitas appareat – oportet illa notabilia in hoc loco recitare.

Primum est: si sint duo aequaliter densa inaequalis quantitatis, quae aeque velociter rarefiant aut condensentur proportionaliter, sicut unum est maioris quantitatis quam reliquum, ita velocius acquiret vel deperdet de quantitate.

Secundum: si sint duo inaequaliter densa [et] aequalia in quantitate, quae aeque velociter acquirant vel deperdant de densitate proportionali, sicut unum est alio minus densum, ita velocius

acquirit vel deperdit de quantitate.

Tertium: si sint duo inaequalia in quantitate et densitate, et sicut unum est alio maius, ita sit eo densius, quae aeque velociter acquirant vel deperdant de densitate, aeque velocit[e]r acquirunt vel deperdunt de quantitate.

Quartum notabile: si sint duo inaequalia et inaequaliter densa, ita tamen quod maior sit proportio quantitatis unius ad quantitatem alterius quam densitatis unius ad densitatem alterius, quae aeque velociter acquirant vel deperdant de densitate, velocius acquirit vel deperdit de quantitate maius quam minus.

Quintum: si sint duo inaequalia in quantitate et in densitate, et minor si proportio quantitatis densioris ad quantitatem alterius quam densitatis unius ad densitatem alterius, quae aeque velociter acquirant vel deperdant de densitate, densius tardius acquiret vel deperdet de quantitate quam rarius. His notabilibus positis pono aliquas propositiones.

Prima propositio: secundum notabile est falsum. Probatur, quia est una conditionalis, cuius antecedens est verum, et consequens falsum, ergo illud notabile est falsum. Probatur antecedens, et volo, quod sint duo pedalia, quorum unum sit densum ut 8, et aliud ut 4, et utrumque illorum aeque velociter acquirat duos gradus densitatis, tunc illud, quod est minus densum, deperdit unam tertiam, et aliud unam quintam, ut patet. Sed unius tertiae ad unam quintam non est proportio dupla, qualis est proportio inter illorum pedalium densitates, ergo non in ea proportione, qua unum est minus densum alio, in ea proportione velocius deperdit de quantitate, et sic in hoc casu anteccdens illius conditionalis est verum, et consequens falsum. Quod fuit probandum. Sed tu diceres, quod ista ratio non impugnat notabile, quoniam in notabile habetur, quae aeque velociter acquirant vel deperdant de densitate proportionali, modo in casu argumenti non aeque proportionalem densitatem deperdunt illa duo pedalia. Sed hoc nihil est dicere. Nam si aeque proportionalem densitatem acquirerent vel deperderent, cum sint aequalia, ipsa aequalem quantitatem omnino acquirerunt aut deperderent, quod est contra notabile. Nec probatio, qua calculator intendit illud notabile probare, aliquid valet, quia antecedens eius est falsum, videlicet hoc in qua proportione unum est minus densum alio, in ea proportione velocius proportionabiliter acquirit vel deperdit de densitate. Falsitas enim eius patet ex casu argumenti contra illud notabile.

Secunda propositio: tertium notabile est similiter falsum. Probatur, quia est una conditionalis, cuius antecedens est verum, et consquens falsum, ergo illud notabile est falsum. Arguitur antecedens, quia capto quadrupedali denso ut 4 et pedali denso ut unum et acquirat quadrupedale 4 gradus densitatis, et pedale etiam aeque velociter, tunc antecedens illius conditionalis est verum, ut constat, et consequens falsum, ergo propositum. Iam probo falsitatem consequentis in illo casu, quoniam illud quadrupedale efficitur in duplo densius, et per consequens in duplo minus, et sic perdit bipedale, pedale vero non perdit bipedale, ut constat, cum non sit, nisi pedale, ergo tunc illa duo non aeque velociter acquirunt vel deperdunt de densitate | et sic antecedens est verum, et consequens falsum. Quod fuit probandum. Nec valet fugere ad id, quod calculator dicit in illo notabili tertio pro hoc instanti, quoniam pro instanti nulla fit acquisitio quantitatis, et ideo illud nullo modo iuvat.

Tertia propositio: quartum notabile non est verum. Probatur, quia est una conditionalis, cuius antecedens in casu est verum, et consequens falsum, ergo. Probatur antecedens, et capio pedale et semipedale, et pedale sit densum ut 6, semipedale vero ut 4, et deperdat utrumque illorum duos gradus densitatis in hora aeque velociter. Quo posito antecedens est verum. Nam illa sunt inaequalia in quantitate et densitate, maior et est proportio quantitatis proportione densitatis. Nam illa est dupla, haec vero sexquialtera, et illa duo aeque velociter deperdunt vel acquirunt de densitate. Et tamen consequens est falsum, quoniam maius illorum non velocius acquirit de quantitate quam minus, immo aequaliter. Nam utrumque illorum acquirit semipedale, ut constat, ergo illud notabile falsum. Quod fuit probandum. Et adverte, quod aliquando data veritate antecedentis maius illorum aequaliter acquirit ut in casu posito. Aliquando maius acquirit maiorem quantitatem quam minus, ut posito quadrupedali denso ut 6 et pedali denso ut 4 et aequaliter deperdat utrumque duos gradus densitatis, tunc quadrupedale acquirit bipedale, pedale vero unum pedale praecise. Aliquando maius deperdit minus de quantitate, ut videlicet posito, quod A sit 9 pedum, B 4, A densum ut 8, B vero ut 4, et deperdat utrumque illorum aeque velociter unum gradum densitatis, tunc quadrupedale acquirit pedale cum tertia. Aliud vero corpus maius acquirit pedale cum duabus septimis, modo plus est pedale cum tertia quam cum duabus septimis. Patet hoc calculanti.

Quarta propositio: qui[n]tum notabile est falsum. Probatur, quoniam dato, quod sit unum sextipedale densum ut octo, et unum bipedale densum ut 2, et utrumque illorum acquirat 4 gradus densitatis aeque velociter, tunc antecedens illius conditionalis est verum, et consequens falsum. Nam tunc densius deperdit duo pedalia, et minus densum non perdit tantum, quia tunc efficeretur non quantum, ergo illud notabile quintum est falsum. Quod fuit probandum.

Sit ergo conclusio responsiva ad dubium quodlibet illorum notabilium dempto primo est falsum. Patet haec conclusio per quatuor praedictas conclusiones, sed quia possunt poni et demonstari 4 notabilia conformia 4 his notabilibus falsis impugnatis, quae plurimum subtilitatis habent. Ideo huic loco ea interserendum non in merito optavi illorum demonstrationibus brev[]itatis causa et quadam alia occulta causa omissis. Sit igitur primum illorum 4 notabilium. ¶ Si sint duo inaequaliter densa, aequalia tamen in quantitate, quae aeque velociter acquirant vel deperdant de densitate, tunc in ea proportione minus densum plus acquirit vel deperdit de quantitate, in qua se habet densitas densioris ad densitatem minus densi in fine depertionis vel acquisitionis talis densitatis, et nolo dicere, quod per totum tempus in ea proportione velocius acquirit, sed in toto tempore cathegorematice. Exemplum, ut si duo pedalia, quorum unum est densum ut 8, et aliud ut 4, perdant duos gradus densitatis aeque velociter, dico, quod pedale minus densum in triplo maiorem quantitatem acquisivit quam magis densum, quia proportio densitatum

in fine est tripla. Si vero duo pedalia acquirant duos gradus densitatis aeque velociter, tunc minus densum maiorem quantitatem deperdit in proportione superbipartiente tertias, quia densitates illorum se habebunt in fine in proportione superbipartiente tertias, qualis est decem ad sex.

¶ Secundum notabile: si sint duo inaequalia in quantitate et in densitate, et sicut est unum alio maius, ita sit eodem densius, quae aeque velociter acquirant de densitate, tunc densius deperdit maiorem quantitatem in ea proportione, per quam proportio densitatum in principio excedit proportionem densitatum in fine. Si vero aeque velociter deperdant de densitate, tunc densius minorem quantitatem acquirit in proportione, per quam proportio densitatum in fine excedit proportionem densitatum in principio deperditionis densitatum. Exemplum, ut si sit bipedale densum ut 8, et pedale densum ut quatuor, et acquirat utrumque illorum duos gradus densitatis aeque velociter, tunc dico, quod quantitas, quam deperdit densius, excedit quantitatem, quam deperdit minus densum, in proportione sexquiquinta. Illa enim est proportio, per quam dupla excedit proportionem superbipartientem tertias, quae est proportio densitatum in fine. Exemplum secundi, ut si illa duo corpora, puta bipedale et pedale, deperdant duos gradus densitatis aeque velociter, tunc densius minorem quantitatem acquirit quam minus densum in proportione sexquialtera, per quam tripla proportio densitatum in fine excedit duplam proportionem densitatum in principio. ¶ Tertium notabile: si sint duo inaequalia et inaequaliter densa, ita tamen quod maius sit densius, et quod proportio quantitatis unius ad quantitatem alterius sit maior proportione densitatis unius ad densitatem alterius, quae aeque velociter acquirant de densitate, tunc densius maiorem qua[n]titatem deperdit in ea proportione, per quam proportio quantitatis in principio excedit proportionem densitatis in fine acquisitionis, hoc est, per quam proportio, quae est inter quantitates in principio talis acquisitionis, excedit proportionem, quae est inter densitates in fine. Si vero illa talia aeque velociter deperdant de densitate, et proportio densitatum in fine sit minor proportione quantitatum in principio, tunc densius maiorem quantitatem acquirit in proportione, per quam proportio quantitatum in principio excedit proportionem densitatum in fine. Si vero proportio densitatum in fine fuerit aequalis proportioni quantitatum in principio, tunc aequalem quantitatem acquirunt. Si autem proportio densitatum in fine sit maior proportione quantitatum in principio, tunc minus densum maiorem quantitatem acquirit in ea proportione, per quam proportio densitatum in fine excedit proportionem quantitatum in principio. Exemplum primi: ut si bipedale densum ut 8 et pedale densum ut 6 aeque velociter acquirant de densitate acquirendo duos gradus, tunc densius deperdet maiorem quantitatem quam minus densum in proportione supertripartiente quintas, quia illa est proportio, per q[u]am proportio dupla quantitatum in principio excedit proportionem densitatum in fine, quae est sexquiquarta. Exemplum secundi: ut eodem exemplo perdat utrumque duos gradus densitatis aeque velociter, tunc densius maiorem quantitatem acquirit in proportione serquitertia, quia illa est proportio, per quam proportio quantitatum in principio, quae est dupla, excedit | proportionem densitatum in fine, quae est sexquialtera, ut patet. Exemplum tertii: ut eodem exemplo retento perdat utrumque 4 gradus densitatis, tunc aequalem quantitatem acquirunt, quia proportio densitatum in fine, quae est dupla, est aequalis proportioni quantitatum in principio, cum etiam sit dupla. Exemplum 4.: ut retento eodem deperdat utrumque illorum quinque gradus densitatis, tunc minus densum acquirit maiorem quantitatem in proportione sexquialtera, quae est proportio, per quam tripla proportio densitatum in fine excedit proportionem duplam quantitatum in principio. ¶ Quartum notabile: si sint duo inaequalia in quantitate et in densitate maiore existente densiore, et proportio densitatis unius ad densitatem alterius excedat proportionem quantitatis eiusdem ad quantitatem alterius, quae aeque velociter deperdant de densitate, tunc minus densum maiorem quantitatem acquirit quam magis densum in proportione, per quam proportio densitatum in fine talis deperditionis excedit proportionem quantitatum in principio. Si vero illa duo aequaliter acquirant de densitate et aeque velociter, et proportio densitatum in fine maneat maior, quam sit proportio quantitatum in principio, tunc minus densum deperdit maiorem quantitatem in proportione, per quam proportio densitatum in fine excedit proportionem, quae est inter quantitates in principio talis acquisitionis ipsius densitatis. Et si proportio densitatis in fine fuerit aequalis proportioni quantitatis in principio, tunc et magis densum et minus densum aequalem quantitatem deperdu[n]t. Si autem proportio densitatum in fine excedit proportionem quantitatum in principio, tunc magis densum maiorem quantitatem deperdit quam minus densum in ea proportione, per quam proportio quantitatis in principio excedit proportionem densitatum in fine. Exemplum primi: ut si sit unum bipedale densum ut 8, et unum pedale densum ut 2, et aeque velociter deperdant unum gradum densitatis, tunc minus densum maiorem quantitatem acquiret quam magis densum in proportione tripla sexquialtera, qualis est 7 ad 2, quia proportio densitatum in fine, quae est septupla, excedit proportionem duplam quantitatis, quae est in principio, per proportionem triplam sexquialteram. Exemplum secundi in eodem exemplo: si utrumque illorum acquirat duos gradus densitatis, tunc minus densum maiorem quantitatem deperdet in ea proportione, per quam proportio densitatum in fine, quae est dupla sexquialtera, excedit proportionem quantitatum in principio, quae est dupla, et quia illa proportio, per quam dupla sexquialtera excedit proportionem duplam, est sexquiquarta, ideo minus densum maiorem quantitatem acquiret in proportione sexquiquarta. Exemplum tertii ut in eodem casu: si utrumque illorum corporum acquirat 4 gradus densitatis, tunc aequaliter deperdent de densitate, quia proportio densitatum in fine erit aequalis proportioni quantitatum in principio. Exemplum quarti ut in eodem exemplo: si utrumque illorum corporum acquirat quinque gradus densitatis, tunc magis densum maiorem quantitatem deperdit in proportione sexquitridecimo, quoniam proportio quantitatum in principio, quae est dupla, proportionem densitatum exsuperat, quae est proportio supersextipartiens septimas, per proportionem sexquitridecimam, ut satis constat. Haec notabilia, quae numero quaternario absolvuntur tanta subtilitate

et industria et improbo labore, exquisita sunt, ut merito quibuscumque aliis huius libelli conclusionibus et praeferri et anteponi possint. Quapropter non abs re eorum demonstrationes atque probationes huic operi censui non interserendas. Malui enim propter illorum notabilium elaboratam subtilitatem et industriam, ut eor[u]m probationes velut scientia caballae propagentur et traducantur. Et ut verum fatear, praecipua causa non demonstrandi haec notabilia est, quia nondum opinior, – ut cum Quintiliano loquar – demonstrationes illorum satis maturuisse. Utendum enim censeo Horatii consilio, qui in arte poetica suadet, ne praecipitetur editio, {nonnumque}¹ prematur in annum. Volo insuper aliorum sententias audire usus dotrina Iacobi: Sit omnis homo velox ad audiendum, tardus ad loquendum. Et non abs re quidem quam nonnumquam credimus teste philosopho habere demonstat[r]ionem, quam non habemus, et scire, quando erramus. Et haec de quarto dubio. ¶ Ad quintum dubium breviter respondet calculator in capitulo de raritate et densitate et in capitulo de intensione et remissione, quod raritas et densitas et intensio et remissio non sunt comparabiles, et unum dicitur positive et aliud privative, et ideo nihil est ita rarum sicut densum nec magis rarum quam densum nec minus rarum quam densum. Et cum arguitur, hoc est aliqualiter densum, et hoc est aliqualiter rarum, et non est magis rarum quam densum, ergo hoc est ita rarum sicut densum, negat consequentiam, quia raritas non sunt comparabiles, et privative opponuntur. Et ita respondet similiter ad septimum dicendo, quod sicut non sunt comparabiles raritas et densitas, ita nec deperditio de[n]sitatis et acquisitio raritatis vel econtra. ¶ Ad sextum dicit, quod ex uniformi deperditione raritatis sequitur uniformis acquisitio densitatis et econtra. Illud tamen ipse videtur negare in capitulo de intensione et remissione. Possunt tamen haec dubia, puta quintum, sextum, septimum, concedi et sine iactura defensari, prout ea defensavi i[n] lectura supra primum [c]apitulum calculatoris. Elige, quod malueris. ¶ Pro solutione octavae dubitationis pono aliquas conclusiones.

Prima conclusio: stat duo aequaliter densa aeque cito condensari usque ad non gradum raritatis, et tamen unum in duplo velocius condensabitur quam reliquum. Probatur: et capio duo pedalia densa ut 4 et divisa hora per partes proportionales proportione dupla, unum illorum in prima parte proportionali acquirit aliquantulum de densitate et in secunda tantum et in tertia tantum, ita quod in qualibet parte proportionali acquirat [ae]qualem densitatem, et aliud in qualibet parte proportionali acquirat in dupla maiorem densitatem quam illud. Quo posito aeque cito devenient ad non gradum raritatis, quia aeque cito devenient ad gradum infinitum densitatis, et sunt aequaliter densa, et unum continuo in duplo velocius condensatur quam reliquum, igitur conclusio vera. ¶ Ex hoc sequitur, quod stat duo aequalia aeque cito devenire ad non gradum raritatis per intensionem densitatis, et tamen in quadruplo et in quintuplo, et in quacumque proportione volueris, unum velocius altero condensabitur. Patet [c]orralerium sicut conclusio.

Secunda conclusio: stat duo aequaliter continuo intendi in densitate et aeque cito devenire ad non gradum raritatis, et tamen unum continuo esse densius altero. „Continuo“ inquam usque ad instans, in quo utrumque habet infinitum gradum densitatis. Probatur: et capio duo pedalia, quorum unum est de[n]sum ut 18, et aliud ut 8, et volo, quod in qualibet parte | proportionali horae sequentis utrumque acquirat 4 gradus. Quo posito continuo usque ad instans terminativum horae illa duo aequaliter condensabuntur, et tamen unum continuo erit densius altero, quia semper, quod excedebat in principio per 8 gradus, excedet per 8 gradus, ut constat. ¶ Ex quo sequitur, quod stat similiter duo aeque velociter acquirere de densitate et aeque cito devenire ad infinitum gradum densitatis et semper manere aequalia in densitate. Patet hoc dato, quod duo pedalia sint aeque densa in principio, quae continuo aeque velociter condensentur.

Tertia conclusio: A et B sunt inaequaliter densa, et B continuo velocius condensabitur quam A usque ad infinitum gradum densitatis, et B continuo manebit minus densum quam A. Probatur: et pono casum, quod A sit densum ut 8, B vero ut 4, et in qualibet parte proportionali horae sequentis A acquirat 4 gradus densitatis, B vero in prima parte proportionali acquirat 6 gradus densitatis et in secunda quinque et in tertia 4 cum dimidio in quarta 4 cum una quarta et in quinta 4 cum una octava et sic infinitum. Quo posito semper B velocius condensabitur quam A usque ad instans terminativum horae, in quo erunt infinite densa A et B, et semper B manebit minus densum, ut constat et apparet intuenti. Igitur.

Quarta conclusio: stat aliqua duo a non gradu raritatis continuo aeque velociter acquirere de raritate, et continuo unum manebit rarius altero, in quacumque proportione volueris. Stat etiam, quod a non gradu raritatis incipiant aeque velociter acquirere de raritate, et quod continuo maneant aeque rara. Probatur prima pars huic couclusionis ex secunda conclusione et correlario primae, hoc addito, quod omnino eodem modo illa remittantur ab infinito gradu densitatis deperdendo densitatem et acquirendo raritates eodem modo omnino et aeque velociter, sicut deperdebant raritatem, et acquirebant densitatem, ita quod omnino eodem modo se habeant in via rarefactionis, sicut se habebant in via condensationis, et quia in via condensationis semper unum erat rarius altero, et ita etiam se debent habere in via rarefactionis, ut ponitur in casu, igitur in via rarefactionis semper unum erit rarius altero. Quod fuit probandum. Secunda pars probatur ex correlario secundae conclusionis, hoc addito, quod illa duo, postquam fuerint infinite densa, incipiant omnino eodem modo deperdere densitatem et acquirere raritatem, sicut antea acquireba[n]t densitatem et deperdebant raritatem, ita quod continuo in via rarefactionis omnino eodem modo se habeant sicut in via condensationis, et quia in via condensationis continuo erant aeque rara, sequitur, quod in via rarefactionis continuo manebunt aeque rara.

¶ Ex quo sequitur, quod stat aliqua duo incipere rarefieri a non gradu raritatis, unum continuo velocius altero, et continuo illud, quod velocius rarefit manebit minus rarum. Patet hoc correlarium ex prima conclusione auxiliante modo probandi praecedentem conclusionem.

Quinta conclusio: nihil potest a finito gradu quantitatis et a non gradu raritatis incipere rarefieri sine deperditione materiae, nisi subito efficiatur infinitae quantitatis. ¶ Probatur, quia si illud est finitum quantitative, et habet non gradum raritatis, sequitur, quod ipsum est infinite densum et habet infinitam materiam et nullam materiam deperdet. Et iam incipitur rarefieri per remotio[n]em de praesenti. Igitur

immediate post hoc erit rarum et continet infinitam materiam. Igitur immediate post hoc habebit infinitam quantitatem. Patet consequentia, q[u]ia, si haberet finitam quantitatem et infinitam materiam, nullo pacto esset rarum, et per consequens subito efficietur infinitae quantitatis. Quod fuit probandum. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod nullum finitum nec etiam infinitum uniformiter densum, ita quod quaelibet pars eius sit infinite densa, potest rarefieri sine deperditione materiae a se toto et a parte, ita quod nulla pars eius deperdat materiam. Patet hoc correlarium facile, quia tunc quaelibet pars eius manebit infinite densa sicut antea, quia – ut ponitur – nulla eius pars debet deperdere aliquam materiam, nec aliquis punctus, et sic ad quemlibet punctum manebit infinita densitas, et imagineris eodem modo in isto correlario, sicut si unum uniforme infinite calidum rarefieret nullo puncto eius aut parte perdente caliditatem.

¶ Sequitur secundo, quod unum uniformiter infinite densum per totum potest rarefieri, id est effici rarum. Probatur: et capio unum infinitum infinite densum uniformiter, ita quod ad quemlibet punctum eius sit infinita materia, et volo, quod omnes gradus materiae, qui sunt in secundo pedali illius, ponantur in primo pedali dempto uno, et sic fiet de quolibet pedali sequenti, ita quod in quolibet pedali sequente primum non maneat, nisi unus gradus materiae. Quo posito illud est rarum, quia non est nisi densum ut unum, ut patebit ex dubio sequenti, quia infinita densitas in parte finita infiniti nullo modo denominat infinitum. Et haec etiam est opinio calculatoris. ¶ Ex quo sequitur tertio, quod non possunt dari duo aeque densa, quorum unum posset rarefieri et non aliud.

¶ Et hoc correlarium est contra calculatorem ponentem oppositum in propria forma. Probatur tamen, quia non est dabile aliquod corpus finitum infinite densum uniformiter, quin ipsum posset effici infinite, et deinde possunt a quolibet pedali eius dempto primo omnes gradus materi[ae] uno dempto removeri et poni in primo pedali, ut ponitur in praecedenti correlario. Quo posito iam patet, quod secundum eundem calculatorem manebit densum ut unum, et rarum nullum est. Igitur densum, quam possit effici rarum, et per consequens correlarium verum. Sed tu dices, quod dictum correlarium non sequitur, nisi addicta calculatoris, et dices, quod illa densitas infinita in primo pedali, adhuc sufficit infinite denominare totum. Quapropter alio modo probo tale corpus posse effici finite densum uniforme, et volo, quod postquam primum pedale habet infinitos gradus materiae, et quodlibet sequens habet praecise unum, quod dimissis duobus in primo pedali in prima parte proportionali ponatur unus gradus de residuis in secundo pedali, et in secunda parte proportionali ponatur unus alter in tertio et sic consequenter. Quo posito in fine horae quodlibet pedale habebit praecise duos gradus densitatis et materiae, et sic totum illud corpus erit uniformiter rarum per totum ut duo, igitur potest rarefieri. Quod fuit probandum. Si tamen velis dicere, quod quodlibet infinitum quantitative, habens infinitam materiam esset infinite densum, omnia ista locum non haberent, sed hoc non videtur rationabiliter dictum, ut in sequenti dubio declarabitur.

¶ Pro solutione nonae dubitationis pono duas conclusiones.

Prima conclusio: probabile est quodlibet habens infinitam materiam esse infinite densum. Probatur, quia quodlibet finitum habens infinitam materiam est infinite densum, et aliquod infinitum habens infinitam materiam est infinite densum, et non est maior ratio de uno habente infinitam materiam quam de altero, igitur qnodlibet tam finitum quam infinitam | habens infinitam materiam est infinite densum. ¶ Ex quo sequitur, quod, si sit unum corpus infinitum, cuius quodlibet pedale habet unum gradum materiae praecise, illud tale est infinite densum. ¶ Sequitur secundo, quod si sit unum infinitum, cuius primum pedale habet infinitum de materia, et totum residuum non densum, sed infinite rarum, illud tale est infinite densum.

¶ Sequitur tertio, quod „infinite densum“ debet sic definiri: „infinite densum“ est quantum habens infinitum de materia. Non enim proprie non quantum est densum, ut patet ex definitionibus „rari“ et „densi“.

Secunda conclusio: probabilius est non quodlibet habens infinitum de materia esse infinite densum. Probatur, quia tunc sequeretur, quod aliquod infinitum esset infinite densum, et a moto uno pedali eius praecise manebit infinite rarum. Patet dato, quod sit unum infinitum, in cuius primo pedali sit infinitum de materia, et in toto residuo finite tantum. Quo posito a moto primo pedali iam illud manebit infinite rarum, et modo est infinite densum per te. Igitur propositum.

Et confirmatur, quia non quodlibet habens infinitam albedinem intensive est infinite album, ergo non quodlibet habens infinitam materiam est infinite densum. Consequentia tenet a simili, et antecedens patet, quia dato uno infinito, cuius primum pedale sit infinite album, et totum residuum non sit album vel finite album, illud tale non est infinite album, igitur assumptum verum.

¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod infinite densum debet sic definiri, ut prius dictum est. Infinite densum est illud, quod sub finita quantitate habet infinitam materiam, vel sub infinita quantitate habet infinitam materiam per totum formaliter vel reductive. Et in tali reductione quaelibet materia ponatur in tanto subiecto, in quanto erat antea adaequate, sicut sit in reductione qualitatis. ¶ Ex quo sequitur secundo, quod si alicuius corporis infiniti primum pedale habuerit unum gradum materiae, et secundum duplam ad illam, et tertium quadruplam, et quartum octuplam, et quintum sexdecuplam et sic in infinitum, tale corpus est infinite densum, quia habet per totum infinitam materiam reductive. Utendo enim debita reductione illa materia manebit per totum infinita. ¶ Sequitur tertio, quod quamvis unum infinitum, cuius primum pedale habet infinitos gradus materiae, et quodlibet aliorum unum praecise posset mediante eadem materia effici infinite densum per totum, nihilominus tamen, quando sic primum pedale habet infinitos gradus materiae et quodlibet aliorum unum dumtaxat, illud corpus est solum densum ut unum. Probatur prima pars, quia ubi sunt infiniti gradus materiae, ibi sunt infinities infiniti, ut patet intelligenti materiam de infinito. Ponantur igitur in secundo pedali infiniti et in tertio infiniti et in quarto infiniti et sic consequenter, et maneant in primo etiam infiniti, ut est satis possibile. Et patet, quod in fine illud corpus erit infinite densum per totum per illam materiam, quam habebat antea praecise, et sic patet prima pars correlarii. Secunda pars probatur, quia secundum hanc opinionem densitas infinita existens in parte finita corporis infiniti nihil conducit, nec aliquid confert ad densitatem corporis infiniti, igitur non plus denominat densitas existens in illo primo pedali, quam si esset se mota, sed si illa esset se mota manentibus aliis, ut modo sunt, totum esset densum praecise ut unum.

¶ Ex h[]is duabus opinionibus elige, quam malueris. Et per hoc patet responsio ad dubium. Vide illud latius in calculatore in capitulo de raritate et densitate.

¶ His positis sit conclusio universalis responsiva quaestionis; raritas et densitas sunt possibiles, patet conclusio ex his, quae superius dicta sunt.

¶ Ad rationes ante oppositum: ad primam duplicit[e]r respondeo primo secundum opinionem recitatam in primo notabili, quae tenet, quod dicuntur positive, et sunt qualitates, et cum probatur, quod non, quia aeque velociter et aeque proportionabiliter, sicut densitas augetur, ita raritas diminuitur, igitur raritas et densitas non dicuntur positive, negatur antecedens secundum hanc opinionem, et etiam aliqui negant idem antecedens secundum alteram, quorum princeps est calculator in quodam dubio, et sic patet secunda responsio similiter, quantum secundum aliam opinionem hoc etiam negatur. ¶ Ad quatuor confirmationes simul respondeo breviter, quod procedunt contra opinionem, quae recitata est in primo notabili, et ibi responsum est ad illas 8 confirmationes. ¶ Ad secundam rationem responsum est in secundo notabili. ¶ Ad tertiam rationem dictum est ibi usque ad ultimam replicam, ad quam respondeo concedendo, quod infertur, videlicet quod omnia intermedia mutantur localiter dato, quod nullum intermediorum condensetur. Nec hoc est inconveniens, sed prout mihi nunc apparet, videtur necessarium naturaliter. Si autem malveris, quod semper, ubicumque est causa condensationis, ibi est causa rarefactionis et econtra, et hoc ex ordine naturali, non video rationem fortem in oppositum. Posset enim non absque ratione dici, quod ubi sit condensatio a causis particularibus, fiat a causis ulteribus rarefactio et econtra, ne vacuum aut dimensionum penetratio naturaliter sequatur. ¶ Ad quartam rationem responsum est ibi usque ad penultimam replicam, ad quam dico dupliciter, primo – ut dictum est ibi – hoc addito, quod non fiat mutatio materiae de una parte corporis in reliquam manente eadem quantitate, quia isto modo nec condensabitur nec rarefiet, ut patet ex primo dubio. Dico secundo, quod tale densum difforme potest reduci ad uniformitatem gradus medii sine rarefactione et condensatione, et hoc removendo medietatem excessus materiae ab una medietate et addendo alteri sive acquisitione aut deperditione quantitatis in aliqua illarum medietatum, ut patet ex argumento in oppositum primi dubii. ¶ Ad ultimam vero replicam respondeo breviter negando hanc consequentiam per maiorem partem, continuo erit []rarefactio quam condensatio, igitur hoc continuo rarefit. Et ad probationem nego similitudinem sicut eam esse negandam docet penultima replica. ¶ Ad confirmationem negatur antecedens, immo dico, quod tale instans est dabile, et nego, quod sit instans medium. Ad minus dico, quod non oportet, quod sit instans medi…̀, ut probat argumentum, quia aliquando rarefit tale corpus ante instans medium. Et dicit calculator, quod ubicumque calculauerit illud instans erat ante instans medium totius temporis. Et si tu queras, quod est illud instans ante instans medium. Respondeo tibi cum eodem calculatore quod huiuscemodi inquisitio talis instantis maioris laboris et anxietatis esset quam utilis, sufficit enim pro solutione argumenti ostendere, quod nec per totum tempus condensatur, sed per aliquam partem temporis condensatur, et per aliquam rarefit Ipsum enim exactum non in omnibus est expetendum quemadmodum nec in compotis auctoritate philosophi primo ethicorum, et secundo methaphysices in calce.

¶ Ad quintam rationem sufficienter respondet tertium notabile, quod propter hanc rationem fuit adductum. ¶ Ad sextam rationem responsum est ibi, nec replica procedit, ut patet ibi. ¶ Ad confirmationem responsum est ibi usque ad replicam, ad quam respondeo concedendo sequelam, ut patet ex secundo dubio, ubi haec materia | resolvitur. Sed quia hoc argumentum quaerit, quomodo unum pedale infinite densum difformiter potest reduci ad uniformitatem, et videtur, quod oporteat primam partem proportionalem in infinitum condensari, et sic videtur, quod ipsa redigetur ad non quantum, et pari ratione quaelibet alia. Et ideo dico, quod illud corpus non debet reduci ad uniformitatem, nec aliqua pars proportionalis eius debet effici in infinite densa per sui condensatione[m] si[v]e mino[rem] rationem, sed per acquisitionem materiae stante quantitate, ut dictum est in primo dubio in argumento ad oppositum facto. ¶ Ex quo sequitur, quod motus augmentationis non sequitur motum rarefactionis, nec motus diminutionis sequitur motum condensationis necessario. Ad secundam confirmationem respondet tertium dubium. ¶ Ad septimam rationem respondeo negando sequelam, sicut nec in simili sequitur de remissione. Et si quaeras, quam rarum est illud, dico, quod eius raritas diiudicari debet ex eius densitate. Eius autem densitas patet ex argumento. Et ad confirmationem priorem respondeo negando sequelam et ad probationem concedo, quod illud corpus est infinite densum, ut patet ex secunda conclusione quaestionis, et nego, quod sit rarum, et ad probationem nego illam similitudinem, quam ille modus arguendo valet in positivis et non in privativis, ut patet de remissione. Ad posteriorem confirmationem respondeo negando sequelam, videlicet quod sequeretur illud esse infinite densum, et ad probationem nego consequentiam, nec est simile, quando ill[u]d corpus dividitur proportione dupla, et densitates continuo se habent in proportione dupla ascendendo, sed ad hoc, quod esset simile, oportet, quod partes continuo se haberent in proportione decupla in densitate, ita quod, sicut pars sequens est in decuplo minor immediate praecedente, ita etiam sit decuplo densior. ¶ Ad octavam rationem dictum est ibi usque ad replicam, ad quam respondeo, quod densitas illius corporis adaequata est incommensurabilis densitati primae partis proportionalis, ut mihi pro nunc apparet, nec aliquis intellectus fini[t]ae capacitatis dato, quod illa esset mensurabilis, potest illam commensurare propter infinitam variationem proportionis. Ad primam et secundam confirmationem simul respondeo concedendo, quod in casibus ibi positis dabilis est certa densitas talis corporis, sed credo illam esse incommensurabilem densitati primae partis proportionalis, et si ipsa sit commensurabilis, eius adaequata proportio ab intellectu finitae capacitatis minime inveniri potest eo, quod infinita varietas proportionum est inter densitates illarum partium proportionalium. ¶ Ad nonam rationem respondeo negando sequelam et ad probationem nego, quod in fine horae illud sit densius, immo est rarius. Et ad probationem nego hanc consequentiam: infinitae partes illius sunt densiores, quam erant antea et cetera, quia stat, quod una sola acquirat tantum de quantitate vel plus, quam illae infinitae omnes deperdant. Ad confirmationem respondeo admisso casu negando antecedens, immo dico, quod in illo causa in fine horae illud corpus non est rarius nec densius, quam est in principio. Et ad probationem nego hanc consequentiam: prima pars proportionalis est maior, quam erat antea, et aggregatum ex ipsa et secunda est maius, quam erat antea, et aggregatum ex ipsa secunda et tertia est maius, quam erat antea, et aggregatum ex ipsa secunda tertia et quarta similiter et sic consequenter aggregatum ex quotcumque finitis computata, prima est maius, quam erat antea, igitur illud totum est maius, quam erat antea. ¶ Ad decimam responsum est ibi usque ad replicam, ad quam etiam respondeo concedendo illatum. Il[]lud enim in non convenit, sed est correlarium sequens, ut probat argumentum. Et haec de totali quaestione, et per consequens de tota materia de densitate et raritate.

Fußnoten