Capitulum octavum, in quo agitur decremento et decremento proportionum
Quoniam in sequentibus plerumque sese offert diminutio proportionis ex augmento resistentiae aut virtutis decremento et etiam augmentatio proveniens ex decremento resistentiae aut virtutis augmento. Ideo opere pretium est in huius secundae partis calce aliquid de augmento et decremento proportionum adiicere.
Pro quo suppono primo: augere sive augmentare aliquam proportionem contingit multipliciter, aut enim maiori numero aliquid additur minore invariato aut decrescente, aut minori aliquid demitur maiore non variato aut crescente, aut utroque crescente, velocius tamen proportionabiliter crescente maiore quam minore, aut utroque diminuto, velocius tamen proportionabiliter diminuto minore quam maiore. Probatur, quia capta proportione dupla, quae est 8 ad 4, contingit eam augeri per crementum ipsorum 8 ipsis 4 invariatis vel decrescentibus, ut si 8 acquirant unitatem ipsis 4 invariatis, manebit proportio maior dupla, novem ad 4, quae est dupla sexquiquarta, si quando 8 acquirunt unitatem, 4 deperdunt unitatem, etiam manebit proportio maior dupla, puta tripla. Item si quiescentibus 8 4 deperdant binarium, augmentabitur proportio, ut constat, et si etiam tunc 8 aliquid acquirant, etiam augmentabitur proportio. Si vero 8 acquirant quaternarium numerum, puta proportionem sexquialteram, et quaternarius numerus acquirat unitatem, puta proportionem sexquiquartam, proportio efficietur maior. Efficietur enim dupla suprabipartiens quintas. Si autem 8 deperdant duo et 4, similiter duo augmentabitur etiam proportio, quia maiorem proportionem deperdit numerus minor quam maior. Et sic patet suppositio.
Secunda suppositio: augmentare proportionem est addere proportioni proportionem ceteris paribus, ut augere duplam est ei addere aliquam proportionem ceteris aliis manentibus paribus, ut augere duplam est ei addere aliquam proportionem ceteris aliis manentibus paribus.
Ex quo sequitur tertia suppositio proposita una proportione quavis et duabus aliis minoribus investigare, utrum illa maior ex illis duabus minoribus adaequate componitur, ut proposita proportione dupla et sesquialtera et sequitertia minoribus videre, utrum dupla ex sesquialtera et sesquitertia adaequate componatur. Probatur, sit A proportio maior, B et C minores, et volo videre, utrum adaequate componatur A ex B et C. Ad quod videndum, addam C ipsi B, et si tunc proportio composita ex B et C adaequate est aequalis ipsi A, ex illis adaequate componitur A, sin minus, non ex his adaequate componitur, sed ex duabus maioribus aut duabus minoribus.
Abb. 1: Faksimile der Seite 50
Quarta suppositio: diminuere proportionem maioris inaequalitatis est ab ea demere aliquam proportionem maioris inaequalitatis ceteris paribus. Et haec definitio est. Contingit autem tot modis proportionem maioris inaequalitatis diminui, quot modis ipsam contingit augeri, de quibus in prima suppositione [dicitur].
Quinta suppositio: semper plus diminuitur proportio maioris inaequalitatis per augmentum minoris termini maiore non variato quam per aequale decrementum maioris minore non variato, ceteris paribus. Et semper plus crescit proportio per decrementum minoris termini quam per aequa[le] augmentum maioris ceteris paribus. Prima pars huius suppositionis probatur: sit una proportio F inter A maiorem terminum et B minorem, et perdat A terminus aliquam partem sui manente B invariato, tunc dico, quod si A nihil deperderet, et B acquireret tantam partem, quantam iam deperdit A ceteris paribus, maiorem proportionem deperderet F proportio, quam iam deperdit. Quod probatur sic, quia B per acquisitionem illius partis maiorem proportionem acquirit, quam deperdat A per deperditionem eiusdem partis vel aequalis, quod patet, quia si tam A quam B deperderent illam partem, maiorem proportionem deperderet B quam A, ut patet ex octava suppositione quarti capitis huius partis. Igitur quando B acquirit illam partem, et A deperdit illam, maiorem proportione acquirit B, quam deperdat A. (Suppono enim, quod semper A maneat maius.) Et ex consequenti sequitur, quod maiorem proportionem perdit F per augmentum minoris termini, puta B, quam per aequale decrementum maioris, puta A. Quod fuit probandum. Patet haec consequentia, quoniam semper proportio inter aliqua duo inaequalia perdit illam proportionem, quam acquirit minus extremum, et etiam illam, quam deperdit maius extremum ceteris paribus, ut patet ex probationibus nonae et decimae suppositionum secundi capitis huius. Patet igitur prima pars. Et eodem modo demonstrabis secundam. Intelligo, quod semper maior terminus maior maneat. Alias denmonstratio non procederet. ¶ Ex quo sequitur, quod aliquando tantum diminuitur proportio maioris inaequalitais per crementum minoris numeri adaequate ceteris paribus, quantum diminuitur per aequale decrementum maioris numeri. Probatur, et volo, quod sit una proportio inter quadrupedale et octupedale, quod manente quadrupedali invariato octupedale perdat quadrupedale adaequate, et sequitur, quod illa proportio diminuitur usque ad proportionem aequalitatis, volo igitur iterum, quod manente octupedali invariato quadrupedale acquirat supra se quadrupedale adaequate, et sequitur, quod tunc etiam diminuitur proportio dupla usque ad proportionem aequalitatis, igitur correlarium verum. ¶ Sequitur secundo, quod per aequale decrementum maioris termini et simul aequale crementum minoris proportio manet aequalis. Patet correlarium posito, quod octupedale A deperdat quadrupedale, et quadrupedale B acquirat tantum, puta quadrupedale. Quo posito sequitur, quod in fine inter illos terminos erit proportio dupla, sicut erat in principio. Nam in fine B erit octupedale, A vero quadrupedale, igitur.
His iactis sit prima conclusio: si utraque duarum latitudinum inaequalium uniformiter continuo diminuatur sive in tempore aequali sive inaequali perdendo aequalem latitudinem omnino, maiorem proportionem deperdet minor latitudo quam maior, hoc est, inter ipsam | minorem latitudinem in principio diminutionis et seipsam in fine erit maior proportio quam inter alteram maiorem latitudinem in principio et seipsam in fine. Exemplum: ut captis duabus latitudinibus, puta pedali et bipedali sive unius gradus et duorum graduum (non est cura), si latitudo pedalis perdat in hora uniformiter semipedale, et latitudo bipedalis in tanto tempore vel maiore vel minori (Non impedit propositum) perdat uniformiter semipedale adaequate, maiorem proportionem deperdit pedale quam semipedale, quam inter pedale in principio et seipsum in fine est proportio dupla, inter bipedale vero in principio et seipsum in fine est proportio sesquialtera. Probatur hoc conclusio facile, quam quandocumque latitudo maior et minor aequalem partem sive excessum sive latitudinem deperdunt, maiorem proportionem deperdit latitudo minor quam maior, ut patet manifeste ex octava suppositione quarti capitis huius partis, igitur conclusio vera. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod si aliqua latitudo maior, puta A, uniformiter continuo in aliquo tempore deperdat aliquam partem sui, et una alia latitudo minor, puta B, deperdat continuo uniformiter in tanto tempore, maiori vel minori (non curo) tantam partem adaequate sui, maior proportio est inter latitudinem minorem in medio instanti primae medietatis temporis, in quo ipsa diminuitur, et seipsam in medio instanti secundae medietatis eiusdem tempori quam inter latitudinem maiorem in instanti medio primae medietatis temporis, in quo ipsa diminuitur, et seipsam in instanti medio secundae medietatis eiusdem temporis. Exemplum, ut capt[is] latitudin[ibus] 12 graduum et 8 graduum et diminuatur latitudo 12 graduum in hora continuo uniformiter deperdendo adaequate quatuor gradus et in tanto tempore vel maiori vel minori (non curo) continuo uniformiter deperdat latitudo 8 graduum etiam quatuor gradus adaequate, tunc ipsius latitudinis minoris in instanti medio primae medietatis temporis, in quo ipsa diminuitur, ad ipsam in instanti medio secundae medietatis eiusdem temporis est maior proportio quam inter latitudinem maiorem in instanti medio primae medietatis temporis, in quo diminuitur, et seipsam in instanti medio secundae medietatis eiusdem temporis. Nam illa est proportio suprabipartiens quintas, puta 7 ad 5, haec vero est suprabipartiens nonas, puta 11 ad 9. Modo illa maior est hac, ut constat ex praedictis. Hoc correlarium eandem cum conclusione petit demonstrationem, quam ipsa latitudo maior ab instanti medio primae medietatis temporis, in quo diminuitur, usque ad instans medium secundae medietatis eiusdem temporis tantam latitudinem deperdit adaequate, quantam latitudo minor perdit ab instanti medio primae medietatis temporis, in quo diminuitur, usque ad instans medium secundae medietatis eiusdem temporis, quia illa tempora sunt medietates totalium temporum, ut constat, in quibus deperduntur medietates latitudinum deperdendarum adaequate, igitur maiorem proportionem deperdit minor latitudo in tali tempore, quam maior in tempore correspondenti. Patet haec consequentia ex secunda parte octavae suppositionis praeallegatae, et proportio deperdita ab aliqua latitudine in aliquo tempore est proportio inter eandem latitudinem in principio talis temporis et seipsam in fine, ut patet, ergo maior est proportio inter minorem latitudinem in instanti medio primae medietatis temporis, in quo diminuitur, ad seipsam in in instanti medio secundae medietatis temporis eiusdem, quam inter latitudinem maiorem in instanti medio primae medietatis temporis, in quo diminuitur, et seipsam in instanti medio secundae medietatis eiusdem temporis. Quod fuit probandum. Patet igitur correlarium.
Abb. 2: Faksimile der Seite 47
¶ Ex quo sequitur secundo, quod si latitudo motus A maior et B minor diminuantur uniformiter continuo in tempore aequali vel inaequali perdendo adaequate aequalem latitudinem, maior est proportio inter motum B in principio temporis, in quo ipse diminuitur, et seipsum in fine talis temporis quam inter motum A in principio temporis, in quo ipse diminuitur, et seipsum in fine eiusdem temporis, et similiter maior est proportio inter motum B in instanti medio primae medietatis temporis, in quo ipse diminuitur, et seipsum in instanti medio secundae medietatis eiusdem temporis quam inter motum A in instanti medio primae medietatis temporis, in quo ipse diminuitur, et seipsum in instanti medio secundae medietatis eiusdem temporis. Prima pars huius auxilio conclusionis praecedentis ostenditur, et secunda ex correlario facile suam demonstrationem assumit. Et hoc correlarium est quartum suppositum calculatoris
Omnium duarum latitudinum aequalium extensive et inique intensarum maior est proportio gradus medii medietatis intensioris in latitudine remissiori ad gradum medium medietatis remissioris eiusdem latitudinis, quam est proportio graduum mediorum medietatum latitudinis remissioris.
Quas autem vocat latitudines extensive aequales, vide ibi. Et ex hoc probatur etiam regula, quam ponit calculator
Secunda conclusio: quando inter aliquos terminos est proportio maioris inaequalitatis, et maior illorum terminorum acquirit aliquam proportionem stante minore invariato, vel minor terminus deperdit aliquam proportionem invariato maiore, proportio inter illos terminos augmentatur. Probatur, et sint B terminus maior et CD minor, inter quos sit proportio F, et acquirat terminus B unam proportionem, quae sit AB ad B, tunc dico, quod proportio F augetur ceteris aliis manentibus paribus. Item si CD perdat proportionem, quae est CD ad D, proportio F augmentatur. Primum probatur, quia quando B acquirit proportionem, quae est AB ad B ceteris manentibus paribus, ipsi proportioni F, quae est B ad CD, additur proportio AB ad B, ergo sequitur, quod ipsa proportio F augetur. Patet haec consequentia ex secunda suppositione huius. Secunda pars similiter ostenditur, quoniam quando terminus minor CD perdit proportionem, quae est CD ad D, proportioni F, quae est B ad CD, additur proportio, quae est CD ad D, quoniam in fine totalis proportio componitur ex proportione B ad CD et CD ad D, ergo proportioni F, quae est B ad CD fuit addita proportio, quae est CD ad D, ergo proportio F fuit augmentata. Patet haec consequentia ex secunda suppositione praeallegata. Et sic patet conclusio. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod cum inter aliquos terminos est proportio maioris inaequalitatis, et utroque crescente maiorem proportionem acquirit maior terminus quam minor, tunc proportio inter datos terminos augetur. Probatur, sint duo termini ABC maior, DE minor, et sit proportio C ad EF, et proportio ABC ad C excedat proportionem DE ad E per proportionem, quae est ABC ad | BC, et acquirat E proportionem DE ad E, et C proportionem, quae est ABC ad C, et tunc dico, quod proportio F augetur. Quod sic probatur, quia si C acquireret adaequate tantam proportionem, quanta est DE ad E, quam acquirit E adhuc inter illos terminos maneret proportio F, ut patet ex correlario decimae suppositionis secundi capitis huius partis, sed modo C terminus maior acquirit ultra proportionem, quam acquirit terminus minor proportionem, quae est ABC ad BC, ergo proportioni F quae est BC ad DE, additur proportio ABC ad BC, et per consequens proportio F augetur. Quod fuit probandum. Patet consequentia ex secunda suppositione. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur secundo, quod datis duobus terminis, inter quos est proportio maioris inaequalitatis, et diminuatur uterque terminus minore maiorem proportionem deperdente, quam maior [deperdit], proportio inter datos terminos augetur. Probatur, sint AB terminus maior et CDE minor. Et sit inter AB et CDE proportio F, et deperdat AB proportionem, quae est AB ad B, et CDE deperdat proportionem, quae est CDE ad E, excedatque proportio CDE ad E proportionem AB ad B per proportionem CDE ad DE, et tunc dico, quod tali decremento facto in utroque illorum terminorum proportio F augetur. Quod sic probatur, quoniam, si AB terminus maior et CDE terminus minor aequalem proportionem deperderent, puta AB proportionem, quae est AB ad B, et CDE proportionem, quae est CDE ad DE, tunc adhuc maneret proportio F, ut patet ex secunda parte decimae suppositionis secundi capitis huius, sed modo ultra illam proportionem adhuc minor terminus deperdit proportionem DE ad E, ergo sequitur, quod ipsi proportioni F additur proportio DE ad E, et sic proportio illa F augetur. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur tertio, quod quando duo termini se habent in proportione maioris inaequalitatis, et minor perdit aliquam proportionem, et maior acquirit, proportio inter illos terminos augetur. Patet correlarium ex conclusione.
Tertia conclusio: q[u]ando inter aliquos terminos est proportio maioris inaequalitatis, et maior illorum diminuitur stante minore, vel minor augetur stante maiore, proportio inter illos terminos diminuitur. Probatur prima pars, et sit proportio F inter AB maiorem terminum et C minorem, et stante C deperdat AB proportionem, quae est AB ad B, quam deperdit deperdendo A partem sui, tunc dico, quod proportio F diminuitur. Quod sic probatur, quia a proportione F demitur aliqua proportio, puta proportio, quae est AB ad B, igitur proportio F diminuitur. Patet consequentia ex quarta suppositione, et antecedens probatur, quia proportio F componitur ex proportione AB ad B et B ad C in principio diminutionis, ut patet ex superius dictis capite quarto huius, et ex illa pr[o]portione F non manet nisi proportio B ad C, igitur proportio F perdit proportionem, quae est AB ad B. Quod fuit probandum. Secunda pars probatur, et sint duo termini se habentes in proportione maioris inaequalitatis A maior et C minor, inter quos est F proportio, et acquirat C terminus minor aliquam proportionem acquirendo B supra se ipso aggregato ex BC manente minore ipso A – hoc enim supponit conclusio – et maneat A invariatum, tunc dico, quod proportio F diminuitur. Quod sic probatur, quia proportio F in principio componitur ex proportione A ad BC et ex proportione BC ad C, ut constat, et in fine talis augmentationionis termini minoris proportio illa manet praecise proportio A ad BC,
Abb. 3: Faksimile der Seite 48
ut constat, ergo sequitur, quod perdit proportionem, quae est BC ad C, et ex consequiti sequitur, quod diminuitur, ut patet ex quartae suppositione. Et sic patet conclusio. Ex quo sequitur primo, quod quando inter aliquos duos terminos est proportio maioris inaequalitatis, et utroque decrescente maiorem proportionem deperdit maior quam minor, proportio inter illos diminuitur, et utroque crescente maiorem proportionem acquirat minor quam maior, proportio inter illos diminuitur. Probatur prima pars: et sint ABC maior terminus et DE minor, inter quos sit F proportio, et excedat proportio ABC ad C proportionem DE ad E per proportionem, quae est BC ad C, et perdat maior terminus proportionem ABC ad C, et minor [perdat] proportionem DE ad E, tunc dico, quod proportio F inter illos terminos diminuitur. Quod sic probatur, quia si maior terminus et minor perderent aequales proportiones, puta minor proportionem DE ad E et maior proportionem ABC ad BC, proportio inter illos terminos nec augeretur nec diminueretur, sed semper maneret F, ut patet ex secunda parte decimae suppositionis secundi capitis huius partis, sed modo maior terminus ultra illam proportionem aequalem illi, quam deperdit minor, stante minore ab ulteriori decremento adhuc perdit aliquam proportionem, puta proportionem BC ad C, ergo sequitur, quod proportio F inter illos terminos diminuitur. Patet consequentia ex tertia conclusione. Quare patet prima pars. Et secunda probatur eodem modo auxilio correlarii decimae suppositionis secundi capitis huius partis, et iuvamine secundae partis huius conclusionis tertiae.
¶ Sequitur secundo, quod quando inter aliquos terminos est proportio maioris inaequalitatis, et maior decrescit crescente minore manente tamen minore, proportio inter illos terminos diminuitur. Patet correlarium ex conclusione tertia iuvante loco a maiori.
Quarta conclusio: quando inter aliquos terminos est aliqua proportio maioris inaequalitatis, et uterque terminus aequalem proportionem acquirit vel deperdit, tunc proportio inter illos nec augetur nec diminuitur. Patet haec conclusio facile quantum ad deperditionem ex secunda parte decimae suppositionis et quantum ad acquisitionem ex correlario eiusdem decimae suppositionis secundi capitis hui[u]s. ¶ Ex quo sequitur primo, quod si uterque duorum terminorum aequalium aeque velociter proportionabiliter crescat vel descrescat continuo, inter illos terminos continuo manet eadem proportio, et si continuo inter duos terminos, inter quos est proportio maioris inaequalitatis, crescentes vel descrescentes, maneat eadem proportio, continuo aeque velociter proportionabiliter crescunt vel descrescunt. Patet haec correlarium ex secunda parte decimae suppositionis secundi capitis huius cum suo correlario et loco a coniuncta proportione. ¶ Sequitur secundo, quod si proportio maioris ad minus minoretur, et uterque terminus minoretur, velocius proportionabiliter minoratur maior terminus quam minor. Et si illa proportio minoretur per maiorationem utriusque termini, tardius proportionabiliter maioratur maior quam minor. Probatur prima pars, quia si aeque velociter proportionabiliter uterque terminus diminueretur, con[t]inuo inter illos terminos maneret eadem proportio, ut patet ex priori correlario, et si minor terminus velocius proportionabiliter minoretur quam maior, tunc proportio inter illos terminos augetur, ut patet ex secundo | correlario secundae conclusionis huius. Igitur si utroque termino decrescente proportio inter eos diminuatur, velocius proportionabiliter minoratur maior quam minor. Quod fuit probandum. Patet consequentia, quia utroque termino decrescente non possunt illi termini se habere pluribus modis, quam quod aeque velociter proportionabiliter decrescant, vel quod minor velocius proportionabiliter maiore vel eocontra, sed primo et tertio modo utroque decrescente non potest proportio inter eos diminuitur, oportet, quod velocius proportionabiliter maioretur maior quam minor. Et sic patet prima pars. Secunda pars probatur, quia si uterque terminus maior videlicet et minor aeque velociter proportionabiliter maioretur, proportio inter eos nec augetur nec diminuitur, ut patet ex primo correlario huius quartae conclusionis, et si utroque illorum crescente velocius proportionabiliter crescat maior quam minor, proportio inter eos augetur, ut patet ex primo correlario secundae conclusionis huius. Igitur si utroque crescente proportio inter illos diminuitur, tardius proportionabiliter maioratur maior quam minor. Quod fuit probandum. Patet consequentia ut prius. Et sic patet correlarium. Et hoc correlarium est quaedam suppositio calculatoris
Abb. 4: Faksimile der Seite 51
maius, fuit pars maioris, sed remanet H maius, ergo erat pars maioris et erat pars ipsius HD, ergo HD est maius. Quod fuit probandum. Et sic patet prima pars. Iam probatur secunda pars, et volo, quod inter B et D sit proportio F, et acquirat B A supra se, et D acquirat C supra se, sitque ipsius A acquisiti B maiori termino ad ipsum C acquisitum minori termino proportio G minor proportione F, tunc dico, quod proportio F inter illos terminos diminuitur, ita quod in fine ipsius AB ad ipsum CD erit minor proportio quam F. Quod sic probo et capio H latitudinem, ad quam A habet proportionem F, et arguo sic: si quando B acquireret H, adhuc inter illos terminos maneret proportio F, puta inter AB et HD, ut patet ex quinto correlario quintae conclusionis secundi capitis huius, sed modo CD est maius ipso HD, ergo ipsius AB ad ipsum CD est minor proportio quam ad ipsum HD, et per consequens minor quam F. Quod fuit probandum. Sed restat probare, quod ipsum CD est maius ipso HD, quod sic ostenditur, quia dempto eodem communi ab HD et ACD, videlicet dempto ipso D ex CD, manet maius quam ex HD, igitur CD est maius ipso HD. Patet consequentia ex dignitate arithmetica, et probatur assumptum, quia ex HD manet H, et ex CD manet C adaequate, ut constat, et A habet maiorem proportionem ad H, quam idem A habeat ad C, ut positum est, igitur C est maius H, et C manet ex CD, et H ex HD, igitur, quod manet ex CD, est maius illo, quod manet ex HD eodem communi dempto. Quod fuit probandum. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur quarto, quod quando inter aliquos terminos est proportio maioris inaequalitatis, et utroque termino crescente proportio inter eos augetur, tunc inter acquisitum maiori termino et acquisitum minori est {maior}1 proportio, quam sit proportio inter illos terminos, quibus sit acquisitio. Si autem proportio inter datos terminos diminuatur crescente utroque, inter acquisitum maiori et acquisitum minori erit minor proportio quam inter datos terminos. Patet hoc correlarium ex priori demonstratione paucis mutatis. ¶ Sequitur quinto, quod quando inter aliquos terminos est proportio maioris inaequalitatis, et utroque decrescente inter deperditum a maiori termino et deperditum a minori est minor proportio quam inter datos terminos, tunc proportio inter datos terminos maioratur, et si sit maior proportio inter illa deperdita, proportio inter datos terminos diminuitur. Exemplum: ut capto bipedali et pedali si bipedale perdat pedale, et pedale quartam pedalis, tunc pro[por]tio inter datos terminos diminuitur, quia in fine talis diminutionis illorum terminorum manet proportio sesquitertia, quatuor quartarum videlicet ad tres quartas, et si bipedale perdat pedale, et pedale tres quartas, proportio maioratur. Manet enim in fine proportio quadrupla unius pedalis ad quartam. Probatur: sit AB maior terminus, CD minor, inter quos sit proportio F, et inter A et C partes illorum terminorum sit proportio G minor ipsa proportione F, et deperdat AB ipsam A partem et CD C partem, tunc dico, quod in fine talis deperditionis proportio inter illos terminos augetur, ita quod pro[por]tio B ad D, qui sunt termini manentes est maior proportione F. Quod probatur sic, quia facta tali diminutione in utroque illorum terminorum manet praecise proportio inter B et D, et illa est maior proportione F, igitur propositum. Maior est nota cum consequentia, et probatur minor, et sit H una latitudo, ad quam A se habet in proportione F, et arguo | sic: si quando AB perdit A, CD perdit H, tunc inter illos terminos maneret proportio F, ut patet ex tertio correlario quintae conclusionis secundi capitis huius partis, sed modo quando AB perdit A, CD perdit C, quod est maius ipso H, ergo ipsum CD, quando perdit C, manet minus, quam quando deperdit H, et ex consequenti ipsius B ad id, quod manet deperdito C ab ipso CD, puta ad ipsum D, est maior proportio, quam ipsius B ad id, quod manet ex ipso CD deperdito H. Patet consequentia ex se, et ex consequenti sequitur, quod proportio B ad D est maior proportione F. Quod fuit probandum. Sed iam probo illam minorem videlicet, quod quando AB perdit A, CD perdit C, quod est maius ipso H. Quod sic probatur, quia ipsius A ad ipsum H est maior proportio quam eiusdem A ad ipsum C, ut patet ex casu. Igitur C est maius ipso H, quod fuit ostendendum. Patet consequentia, quia eiusdem semper est maior proportio ad minus quam ad maius. Et sic patet prima pars. Secunda pars probatur, sint AB terminus maior, CD minor, inter quos sit proportio F, et inter A et C sit proportio G maior proportione F, et deperdat AB A, et CD [deperdat] C, ita quod in fine maneat praecise proportio inter B et D, et tunc dico, quod in fine illa proportio ipsius B ad D manet minor F. Quod sic probatur, et volo, quod quando AB perdit A, CD perdat H, ad quam latitudinem HA habet proportionem F, et arguo sic: si quando AB perdit A, CD perderet H, tunc illi termini manerent in eadem proportione, puta F, ut patet ex tertio correlario quintae conclusionis secundi capitis huius, sed modo in casu conclusionis quando AB perdit A, CD perdit C, quod est minus ipso H, ergo ipsum CD, quando perdit C, manet maius, quam quando perdit H, et ex consequenti ipsius B ad id, quod manet deperdito C a CD, est minor proportio quam sit F, quae est ipsius B ad id, quod manet ex CD deperdito H. Quod fuit probandum. Sed iam probo, quod C sit maius ipso H, quia ipsius A ad ipsum H est maior proportio quam eiusdem A ad ipsum C ex hypothesi, ergo ipsum C est maius ipso H, quod fuit ostendendum. Patet consequentia ut prius et per consequens correlarium. ¶ Sequitur sexto, quod quando inter aliquos terminos est proportio maioris inaequalitatis, et decrescente utroque termino proportio inter eos augetur, tunc deperditi a maiori termino ad deperditum a minori est minor proportio, quam sit proportio inter datos terminos in principio talis diminutionis. Et si utroque illorum decrescente proportio inter eos diminuitur, tunc deperditi a maiori termino ad deperditum a minori est maior proportio, quam sit proportio inter datos terminos in principio talis diminutionis. Hoc conversum praecedentis correlarii ex eius probatione facile ostenditur paucis adiunctis. ¶ Et circa praedicta correlaria adverte, quod ipsa moderanda sunt, cum maior terminus manens continuo maior maiorem latitudinem acquirit vel deperdit quam minor, alias correlaria non erunt immunia a falsitate, nec sequentibus aliquo modo servirent. ¶ Sequitur septimo, quod datis duobus terminis se habentibus in aliqua proportione et capta aliqua parte maioris se habente ad certam partem minoris in ea proportione, in qua se habent dati termini, residua maioris et minoris se habent etiam in eadem proportione dat[orum] termin[orum]. Exemplum: ut capto pedali et bipedali se habentibus in proportione dupla et capta una quarta maioris et altera quarta minoris, quae etiam se habent in proportione dupla, residua, puta tres quartae
Abb. 5: Faksimile der Seite 52
maioris et tres quartae minoris, se habent etiam in proportione dupla, ut promptum est videre.
Probatur: sit AB terminus maior, CD minor, inter quos sit proportio F, et sit etiam eadem proportio F inter A partem maiores et C partem minoris, et tunc dico, quod inter residuas partes, puta inter B et D, est etiam proportio F. Quod sic probatur facile, et volo, quod AB perdat A, et CD perdat C, et arguitur sic: inter deperditum a termino maiori et deperditum a termino minori est eadem proportio, quae est inter ipsos terminos, puta F, igitur illis deperditis adhuc inter residua manet eadem proportio F, ut patet ex tertio correlario quintae conclusionis praeallegato, sed residua sunt B et D, ergo inter B et D est proportio F. Quod fuit probandum. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur octavo, quod quando inter aliquos terminos est aliqua proportio, et utroque illorum decrescente manet inter eos continuo eadem proportio, et alter illorum remittitur usque ad non gradum, etiam et alter.
Probatur, et sint A et B illi termini, inter quos sit proportio F, et decrescente utroque illorum continuo inter eos manet F proportio, et remittatur B ad non gradum, tunc dico, quod etiam A remittitur ad non gradum. Quod sic probatur, quia inter A et B continuo terminos decrescentes continuo manet proportio F, igitur continuo A et B aeque velociter proportionabiliter decrescunt, ut patet ex primo correlario quartae conclusionis huius, sed infinitam proportionem deperdit B, igitur A in eodem tempore adaequate infinitam deperdit et sic in eodem tempore devenit usque ad non gradum. Quod fuit probandum.
Quinta conclusio: quando aliqua proportio maioris inaequalitatis maioratur per maioris extremi crementum stante minori, tunc data proportio efficitur maior per illam proportionem, per quam maior terminus augmentatur. Et quando aliqua proportio maioris inaequalitis maioratur per minoris termini decrementum stante maiori, tunc ipsa data proportio efficitur maior per illam proportionem, quam deperdit terminus minor, sive per quam terminus minor efficitur minor, quod idem est. Probatur prima pars huius conclusionis, et sit F proportio inter B terminum maiorem et C minorem, et B acquirit supra se A acquirendo H proportionem, quae est AB ad B, tunc dico, quod proportio F per H proportionem maioratur, per quam etiam maioratur ipsum B maior terminus. Quod probatur sic, quia facto tali cremento proportio AB ad C componitur ex proportione AB ad B et [ex] B ad C, ergo proportioni F B ad C fuit addita proportio H, quae est AB ad B, ut patet [e]x hypotesi, igitur ex consequenti proportio F B ad C fuit augmentata per H proportionem, per quam augmentatur B terminus maior. Quod fuit probandum. Patet consequentia ex secunda suppositione, et ex consequenti prima pars. Eodem modo demonstrabis secundam partem conclusionis. Et sic manifesta est conclusio. ¶ Ex hoc sequitur primo, quod quando aliqua proportio maioris inaequalitatis augetur per maiorationem maioris termini et minorationem minoris, tunc data proportio augetur et efficitur maior per proportionem compositam ex proportione, per quam maior terminus efficitur maior, sive quam supra se acquirit terminus maior, et ex proportione, per quam minor terminus efficitur minor, sive quam minor terminus deperdit, quod idem est. Patet haec correlarium ex conclusione, quoniam si stante minore termino in prima parte temporis, | in quo fit talis maioratio proportionis, maior terminus acquireret totam illam proportionem, quam debet acquirere in toto tempore, et in secunda parte eiusdem temporis stante iam maiore minor deperderet illam proportionem, quam debet deperdere in toto tempore, tunc proportio inter illos terminos in prima parte temporis efficietur maior per proportionem, per quam maior terminus efficitur maior, ut patet ex prima parte conclusionis, et in secunda parte eiusdem temporis efficietur adhuc maior ceteris manentibus paribus per proportionem, per quam minor terminus efficitur minor, ut patet ex secunda parte huius conclusionis, igitur in toto illo tempore cathegorematice efficitur illa proportio maior per proportionem compositam ex proportione, per quam maior terminus efficitur maior, et ex proportione, per quam minor terminus efficitur minor, ut patet, et in casu correlarii data proportio in fine talis crementi manet adaequate tanta, quanta modo in casu dato, igitur in casu correlarii per tantam proportionem efficitur maior per quam iam in casu dato, et in casu dato efficitur maior per proportionem compositam ex proportione, per quam maior terminus efficitur maior, et ex proportione, per quam minor efficitur minor, igitur per illam compositam ex illis duabus data proportio efficitur maior in casu correlarii. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur secundo, quod quando aliqua proportio maioris inaequalitatis augetur utroque eius termino crescente, tunc ipsa efficietur maior per proportionem, per quam proportio acquisita maiori termino excedit proportionem acquisitam minori termino. Probatur, et sit F proportio inter B maiorem et D minorem, et acquirat B terminus proportionem G acquirendo supra se A latitudinem, et D acquirat H proportionem acquirendo supra se C latitudinem, ita quod in fine maneat proportio ipsius AB ad CD, excedat tamen proportio G proportionem H per E proportionem, et tunc dico, quod data proportio F efficitur maior per E proportionem. Quod sic probatur, quoniam si quando minor terminus acquirit H proportionem, maior terminus acquireret tantam adaequate, inter illos terminos adhuc maneret proportio F adaequate, ut patet ex correlario decimae suppositionis secundi capitis huius, sed modo ultra H proportionem maior terminus acquirit adhuc E proportionem minore ultra nihil acquirente, igitur illa proportio F per E proportionem efficitur maior. Quod fuit probandum. Patet consequentia ex conclusione Manifestum igitur correlarium. ¶ Sequitur tertio, quod quando aliqua proportio maioris inaequalitatis augetur utroque eius termino decrescente, t[u]nc ipsa proportio efficitur maior per illam proportionem, per quam proportio deperdita a termino minori excedit proportionem deperditam a termino maiori. Probatur, et sit AB terminus maior, et CDE minor, inter quos sit proportio F, et perdat terminus maior proportionem, quae est AB ad B, et minor proportionem CDE ad E, quae excedat proportionem deperditam a maiori termino per proportionem DE ad E, quae vocetur G, et tunc dico, quod proportio F efficitur maior per proportionem G. Quod sic probatur, quoniam si quando maior terminus AB perdit proportionem AB ad B, minor perderet adaequate proportionem CDE ad DE, tunc inter B et DE maneret adhuc proportio F, ut patet ex secunda parte decimae suppositionis secundi capitis huius partis, et modo minor terminus nihil deperdente aut
Abb. 6: Faksimile der Seite 53
acquirente maiore deperdit ultra proportionem G, quae est DE ad E, igitur per illam propotionem G proportio F efficitur maior. Patet consequentia ex secunda parte conclusionis. ¶ Sequitur quarto, quod si sint quatuor quantitates aequales, quarum secunda stantibus aliis crescat, aliquam quantitatem acquirendo supra primam, et deinde tertia crescat stante prima, secunda et quarta tantam quantitatem adaequate acquirendo supra secundam, quantam secunda habet supra primam, et deinde quarta omnibus aliis invariatis crescat eandem quantitatem acquirendo supra tertiam, in fine proportio maxima, quae scilicet est inter duas quantitates minores, per maiorem proportionem excedit tertiam, quae est illarum trium proportionum minima, ut captis quatuor pedalibus si secundum illorum pedalium crescat aliis quiescentibus acquirendo semipedale, et deinde tertium illorum pedalium aliis invariatis acquirat semipedalem quantitatem supra secundum, quod iam est pedale cum dimidio, et postremo quartum illorum aliis similiter invariatis crescat acquirendo tantam quantitatem adaequate supra tertium illorum, ita quod fiat bipedale cum dimidio, in fine proportio maxima, quae videlicet est ipsius pedalis cum dimidio ad pedale, per maiorem proportionem excedit secundam proportionem, ut puta bipedalis ad pedale cum dimidio, quam istamet secunda excedit tertiam, quae est bipedalis cum dimidio ad bipedale, quia prima et maxima, quae est sesquialtera, excedit secundam, puta sesquitertiam, per proportionem sesquioctavam, secunda autem excedit tertiam, quae est sesquiquarta, per proportionem sesquiquindecimam, ut patet ex quarta conclusione quarti capitis huius partis. Modo sexquioctava sexquiquindecima maior est, ut constat. Probatur correlarium, et sint quatuor quantitates aequales, sive continuae, sive discretae – in idem redit – A, B, C, D, quarum secunda, puta B, acquirat ceteris quiescentibus K latitudinem supra ipsum A, ita quod in fine B quantitas excedat A quantitatem per K latitudinem, et deinde tertia quantitas, puta C, ceteris invariatis eandem K latitudinem acquirat supra B, et postremo quarta quantitas, puta D, eandem K latitudinem acquirat supra C, tunc dico, quod in fine et post istorum quatuor diversarum quantitatum aequalium diversarum latitudinum acquisitionem proportio maxima, puta ipsius B ad A, per maiorem proportionem excedit secundam proportionem, puta ipsius C ad B, quam ipsa proportio C ad B excedit proportionem minimam, quae videlicet est ipsius D ad C. Quod sic probatur, et sit proportio ipsius B ad ipsum A F, et proportio ipsius C ad B M, et proportio ipsius D ad C N, sitque E quantitas, quae habeat ad ipsam B quantitatem proportionem F, et H altera quantitas, quae habeat ad C proportionem M. Quo posito, quia ipsa E quantitas maior est ipsa C quantitate, quia E quantitas maiorem proportionem habet ad unam tertium, utpote ad B quantitatem, quam C, quia ipsius E ad B est F proportio, et ipsius C ad B est M proportio minor F proportione, ut patet diligenter intuenti, sit igitur latitudo sive quantitas, qua ipsa E quantitas excedit C quantitatem P, et quia eadem ratione H est maior quantitas quam ipsum, D sit excessus ipsius H supra DQ. Quibus positis sic argumentor: proportio F excedit proportionem M per proportionem, quae est E ad C, ut patet ex primo correlario quartae conclusionis | quarti capitis huius secundae partis, et proportio M excedit proportionem N per proportionem H ad D eadem ratione, et proportio E ad C est maior quam proportio H ad D, igitur proportio maxima, puta ipsius B ad A, quae est F ex hypothesi, per maiorem proportionem excedit secundam, puta ipsius C ad B, quae est M, quam ipsa proportio C ad B excedit proportionem minimam, quae videlicet est ipsius D ad C, puta N. Quod fuit probandum. Consequentia est nota et similiter maior, sed minor probatur, quia excessus ipsius E supra ipsum C est maior quam excessus ipsius H supra ipsum D, et C est minus quam D, ut patet ex casu, igitur maior est proportio ipsius E ad C quam ipsius H ad ipsum D, quod erat ostendendum. Consequentia patet per hanc maximam. Maior excessus additus minori maiorem proportionem facit quam minor vel aequalis additus maiori. Quae maxima clara evadit ex octava suppositione quarti capitis huius. Et maior probatur, et capio latitudinem resultantem ex K et P coniunctis, qua quidem latitudine E excedit ipsum B, ut patet aspicienti casum, et latitudinem resultantem ex K et Q coniunctis, qua latitudine H excedit ipsum C, et arguo sic: latitudo KP maior est quam latitudo KQ, ergo eodem communi vel aequali dempto ab utraque, puta K, id, quod manet ex KP maiori, puta P, maius est quam id, quod manet ex KQ minori, puta Q, et P est excessus ipsius E supra C, et Q est excessus ipsius H supra D, ut dicit hypothesis, igitur excessus ipsius E supra C maior est quam excessus ipsius H supra D. Quod fuit probandum. Consequentia est manifesta, et antecedens arguitur videlicet, quod latitudo KP maior est quam latitudo KQ, quia latitudo KP maiorem proportionem habet ad unum tertium, puta K, quam latitudo KQ, igitur latitudo KP maior est quam latitudo KQ. Consequentia claret, et antecedens probatur, quia latitudo KP habet F proportionem ad ipsum K, et latitudo KQ habet M proportionem ad idem K, et F proportio maior est proportione M, igitur latitudo KP maiorem proportionem habet ad unum tertium quam latitudo KQ. Consequentia patet cum minore, et maior probatur et prius quo ad priorem partem, quia istae tres quantitates A et B et E sunt continuo proportionabiles F proportione, ut patet ex casu, ergo inter excessum, quo maxima illarum quantitatum excedit mediam, et excessum, quo media excedit minimam, est F proportio. Consequentia patet ex quinta conclusione secundi capitis huius secundae partis, et excessus, quo maxima quantitas, puta E, excedit mediam, quae est B, est latitudo KP, et excessus, quo media quantitas, puta B, excedit minimam, utpote A, est latitudo K, igitur latitudo KP habet F proportionem ad ipsum K. Quod fuit probandum. Et sic patet prior pars. Et posterior probatur videlicet, quod latitudo KQ habet M proportionem ad idem K, quia istae tres quantitates B, C, H sunt continuo proportionabiles M proportione, ut patet ex casu, igitur inter excessum, quo maxima, puta H, excedit mediam, puta C, et excessum, quo media quantitas, puta C, excedit minimam, puta B, est M proportio, ut patet ex quinta conclusione praeallegata, et excessus, quo H excedit C, est latitudo KQ, et excessus, quo C excedit B, est ipsum K, igitur latitudo KQ habet M proportionem ad ipsum K. Quod fuit probandum. Patet igitur posterior pars maioris et per consequens totum correlarium.
Abb. 7: Faksimile der Seite 54
¶ Hinc patet primum notabile calculatoris
Sexta conclusio: quando aliqua proportio diminuitur per decrementum termini maioris stante minore, tunc proportio illa efficitur minor per eam proportionem, per quam maior terminus efficitur minor, sive per eam, quam terminus maior deperdit. Et quando aliqua proportio efficitur minor per crementum minoris termini stante maiore, tunc proportio inter illos terminos efficitur minor per proportione[m], quam acquirit minor terminus, sive per quam efficitur maior. Exemplum: ut capta proportione dupla bipedalis ad pedale, quae efficiatur minor per decrementum bipedalis stante pedali, proportio illa dupla efficitur minor per proportionem, quam deperdit bipedale. Sic exemplificabis de alia parte. Probatur prima pars, sit AB maior terminus, et C minor, inter quos sit proportio F, et deperdat AB proportionem AB ad B stante C, tunc dico, quod proportio illa F efficitur minor per proportionem AB ad B, quam perdit terminus maior. Quod probatur sic, quia ante tale decrementum termini maioris proportio AB ad C componitur ex proportione AB ad B et [ex] B ad C, et per tale decrementum termini maioris demitur a B illa proportione F proportio AB ad B, igitur proportio illa F efficitur minor per proportionem AB ad B. Quod fuit probandum. Et sic patet prima pars. Et eodem modo probabis secundam. ¶ Ex quo sequitur primo, quod quando aliqua proportio diminuitur per decrementum maioris termini et crementum minoris, tunc talis proportio efficitur minor per proportionem compositam ex proportione, quam deperdit maior terminus, et ex proportione, quam acquirit minor. Patet hoc correlarium facile ex dictis et conclusione. ¶ Sequitur secundo, quod quando aliqua proportio maioris inaequalitatis diminuitur per crementum utriusque termini, ipsa efficitur minor per proportionem, per quam proportio acquisita minori excedit proportionem acquisitam maiori. Probatur, et sit proportio F inter B terminum maiorem et D minorem, et acquirat B terminus proportionem G acquirando A latitudinem supra se, et terminus D acquirat proportionem H per acquisitionem C, excedatque proportio acquisita ipsi D proportionem acquisitam ipsi B per proportionem E, tunc dico, quod in fine talis crementi illorum terminorum proportio inter illos terminos AB et CD est minor proportione F, quae est inter B et D per proportionem E, per quam proportio acquisita termino minori excedit proportionem acquisitam termino maiori. Quod sit, probatur, quoniam si quando B acquirit proportionem G, D acquireret tantam adaequate, semper inter illos maneret eadem proportio, ut saepius argutum est, sed modo terminus minor, puta D, ultra illam proportionem G, quam acquirit terminus maior, acquirit proportionem E quiescente maiori AB ulteriori acquisitione, igitur illa proportio, quae est in fine videlicet, AB ad CD, efficitur minor per proportionem, per quam proportio acquisita termino minori | excedit proportionem acquisitam termino maiori. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur tertio, quod quando aliqua proportio maioris inaequalitatis diminuitur per utriusque eius termini decrementum, talis proportio efficitur minor per proportionem, per quam proportio deperdita a maiori termino excedit proportionem deperditam a minori. Probatur, sit ABC maior terminus, DE minor, inter quos sit F proportio, et deperdat terminus maior proportionem, quae est ABC ad C et terminus minor proportionem DE ad E, excedatque proportio deperdita a termino maiori proportionem deperditam a termino minori per proportionem H, quae sit BC ad C, et tunc dico, quod in fine talis decrementi proportio F efficitur minor per proportionem H. Quod sic probatur, quia si quando DE perdit proportionem DE ad E, ABC perderet proportionem ABC ad BC, tunc inter tales terminos adhuc manent F proportio, ut saepius probatum est, sed modo ipse terminus maior ABC ultra talem proportionem perdit adhuc proportionem H, quae est BC ad C, ergo per illam proportionem H, quae est BC ad C, illa proportio F efficitur minor. Quod fuit probandum. Patet igitur correlarium.
¶ Sequitur quarto, quod si sint duo proportionabilia aliqua proportione maioris inaequalitatis, et proportio inter illa minoratur per utriusque minorationem, proportio deperdita a maiori erit maior proportione deperdita a minori per proportionem, per quam proportio inter maius et minus fiet minor, hoc est per proportionem, quae deperditur inter maius et minus. Probatur: sit proportio F inter A terminum maiorem et B terminum minorem, et decrescente tam A quam B efficiatur F proportio minor per proportionem H, tunc dico, quod H est proportio, per quam proportio deperdita ab A termino maiore excedit proportionem deperditam a B termino minore. Quod sic probatur, quoniam quando aliqua proportio maioris inaequalitatis minoratur per decrementum utriusque extremi, ipsa efficitur minor per proportionem, per quam proportio deperdita a maiore termino excedit proportionem deperditam a minori, ut patet ex anteriori correlario, sed proportio F, quae est A ad B, minoratur decrescente utroque termino, ergo sequitur, quod ipsa proportio F A ad B efficitur minor per proportionem, per quam proportio deperdita a termino maiori, puta A, excedit proportionem deperditam a minore, puta B, sed illa proportio est H ex hypothesi, igitur proportio H est proportio, per quam proportio deperdita a maiori termino, puta A, excedit proportionem deperditam a minori, puta B. Quod fuit probandum. Et haec est quaedam regula et suppositio, quam calculator
Septima conclusio: si aliqua quantitas maior crescat respectu quantitatis minoris non variatae acquirendo supra se aliquam proportionem, tantam proportionem acquirit supra numerum minorem, hoc est supra proportionem, quam habet ad numerum minorem, quantam acquirit supra se. Et si quantitas maior manens maior respectu quantitatis minoris invariatae descrescat sive perdat aliquam proportionem, quantam proportionem deperdit a seipsa, tantam deperdit respectu quantitatis minoris, hoc est a proportione,
Abb. 8: Faksimile der Seite 55
quam habet ad quantitatem minorem. Exemplum: ut capta proportione, quae est 12 ad 8, volo, quod numerus maior, puta 12, crescat, quousque constituant 16, tunc manifestum est, quod numerus maior acquisivit supra se proportionem sesquitertiam, et tantam acquisivit proportio 12 ad 8, ut constat. In fine enim illa componitur ex sesquialtera et sesquitertia. Si vero 12 diminuantur usque ad 9 stantibus 8, tunc proportio 12 ad 8 deperdit proportionem sesquitertiam, quam deperdit numerus maior. Prima pars huius conclusionis patet ex prima parte quinte conclusionis, et secunda ex prima sextae conclusionis huius. ¶ Ex quo sequitur primo, quod si quantitas maior crescat vel decrescat manens maior respectu quantitatis minoris invariatae, tantam proportionem acquirit vel deperdit respectu quantitatis minoris, quantam respectu sui. Patet ex conclusione. ¶ Sequitur secundo, quod si quantitas maior crescat vel decrescat manens maior respectu duarum quantitatum minorum sive aequalium sive inaequalium, aequalem propotionem acquirit vel deperdit respectu utriusque quantitatis ipsis invariatis manentibus. Patet hoc correlarium, quoniam aliquam proportionem acquirit vel deperdit quantitas maior respectu sui, et quantamcumque acquirit vel deperdit respectu sui, tantam acquirit vel deperdit respectu cuiuscumque quantitatis minoris invariatae, ut patet ex priori, igitur quantam acquirit vel deperdit respectu sui, tantum respectu duarum quantitatum minorum, sive aequalium, sive inaequalium. Quod fuit probandum.
Octava conclusio: si quantitas minor crescat respectu quantitatis maioris non variatae, quantam proportionem acquirit supra se, tantam deperdit quantitas maior respectu minoris. Hoc est, per tantam proportionem proportio maioris quantitatis ad minorem efficitur minor. Si vero quantitas minor decrescat respectu maioris quantitatis invariatae, tantam proportionem acquirit quantitas maior supra minorem, per quantam ipsa minor fiet minor. Hoc est, proportio quantitatis maioris ad minorem efficitur maior per proportionem, quam deperdit quantitas minor. Prima pars huius conclusionis patet ex secunda parte quintae conclusionis, et secunda ex secunda parte sextae conclusionis huius. ¶ Ex quo sequitur primo, quod si quantitas minor crescat vel decrescat respectu maioris invariatae, tantam proportionem acquirit vel deperdit proportio quantitatis maioris ad minorem, quantam acquirit vel deperdit quantitas minor manens minor respectu sui ipsius.
Patet haec correlarium ex conclusione. ¶ Sequitur secundo, quod si quantitas minor crescat vel decrescat respectu duarum quantitatum maiorum sive aequalium sive inaequalium, tantam proportionem acquiret vel deperdet una quantitas maior respectu quantitatis minoris, sicut altera maior respectu eiusdem quantitatis minoris. Patet hoc correlarium, quia utraque illarum quantitatum eandem proportionem acquiret vel deperdet, puta illam, quam acquirit vel deperdit quantitas minor, ut patet ex conclusione. ¶ Sequitur tertio, quod si duae quantitates maiores inaequales aeque velociter crescant vel decrescant respectu eiusdem quantitatis minoris invariatae, maiorem proportionem acquirit vel deperdit minor illarum quantitatum maiorum quam maior respectu eiusdem quantitatis minoris invariatae. Probatur, quoniam quantitas | minor maiorem proportionem acquirit supra se aut deperdit respectu sui quam maior illarum quantitatum maiorum, igitur maiorem proportionem acquirit vel deperdit respectu quantitatis minoris invariate minor illarum quantitatum quam maior. Patet consequentia ex primo correlario septimae conclusionis, et antecedens patet ex octava suppositione quarti capitis huius partis. ¶ Sequitur quarto, quod si duae quantitates minores inaequales aeque velociter crescant vel decrescant respectu quantitatis utraque maioris invariatae, maiorem proportionem acquirit vel deperdit quantitas illa maior respectu minoris quam respectu maioris. Hoc correlarium ex secundo correlario huius conclusionis octavae iuncta octava suppositione quarti capitis praeallegati suam demonstrationem sortitur. ¶ Sequitur quinto, quod si duae quantitates maiores sive aequales sive inaequales acquirant vel deperdant aequales proportiones ipsis tamen manentibus maioribus respectu duarum quantitatum minorum sive aequalium sive inaequalium, utraque illarum aequalem proportionem acquirit vel deperdit respectu utriusque minoris invariatae. Patet hoc correlarium, quoniam tantam proportionem utraque illarum acquirit vel deperdit respectu utriusque minoris, quantam respectu sui, ut patet ex primo correlario septimae conclusionis, sed aequalem utraque illarum acquirit vel deperdit respectu sui, igitur aequalem respectu utriusque quantitatis minoris invariate. ¶ Sequitur sexto, quod si duae quantitates minores aeque proportionabiliter crescant vel decrescant respectu quantitatum utraque maiorum, aequalem proportionem utraque illarum maiorum acquirit vel deperdit respectu utriusque minoris. Patet hoc correlarium ex primo correlario huius octavae conclusionis.
¶ Multae aliae conclusiones et correlaria ex his duabus ultimis conclusionibus auxiliantibus ceteris praedictis possent facile induci, sed sufficiant istae, quae ordinantur ad infe[rre]ndas regulas, quas ponit calculator
Primus ad scribetur motui locali penes causam. Secundus motui locali penes effectum. Tertius motui rarefactionis atque augmentationis. Quartus autem motui alterationis.
Sequitur liber de triplici motu huius operis tertia pars tertiae partis tractatus primus, in quo agitur de motu quo ad causam.