4. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

Capitulum quartum, in quo principaliter quaeritur, penes quid attendi intensio qualitatis difformis debeat

Aggrediendo unum de praecipuis membris huius 4. tractatus quaero, utrum intensio qualitatis uniformis attendi debet penes multitudinem graduum penetrative et unitive se habentium, et uniformiter et difformiter difformis intensio penes reductionem ad uniformitatem.

Et arguitur primo contra primam partem, quod non quia intensio talis qualitatis debet attendi penes distantiam a non | gradu, igitur non debet attendi penes multitudinem gradus et cetera. Probatur antecedens, quia quanto aliqua qualitas est intensior, tanto ipsa magis distat a non gradu qualitatis, igitur sua intensio mentiri debet penes distantiam a non gradu. ¶ Dices et bene concedendo antecedens et negando consequentiam. Et ratio est, quia utroque modo mensurari potest qualitatis intensio, videlicet et penes multitudinem graduum et penes distantiam a non gradu.

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod deberet attendi penes propinquitatem ad non gradum. Sed consequens est falsum, (quia tunc quanto pauciores gradus contineret, tanto esset intensior), igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia intensio per te attenditur penes distantiam a non gradu. Et omnis distantia[] a non gradu est propinquitas ad non gradum, (suppono enim opinionem nominalium non distinguentem propinquitatem a distantia), igitur intensio attenditur penes propinquitatem ad non gradum. Patet haec consequentia in 4. figura. Simile argumentum potest fieri probando, quod non attenditur penes multitudinem graduum, hoc addito, quod omnis multitudo graduum est paucitas. ¶ Et confirmatur, quia si attenderetur intensio penes distantiam a non gradu, sequeretur gradum summum esse remissum. Sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia in duplo plus distat a non gradu quam gradus medius, ut constat, ergo est in duplo magis intensus quam gradus medius, et per consequens in duplo minus remissus, et sic sequitur, quod est remissus. Quod fuit probandum.

Secundo principaliter contra secundam partem quaestionis arguitur sic, quia nulla est qualitas uniformiter difformis, igitur illa pars supponit falsum. Consequentia patet, et probatur antecedens, quia, si esset aliqua, sequeretur, quod quaelibet qualitas, cuius omnes partes immediatae secundum extensionem sunt immediatae secundum intensionem, quae videlicet sic se habet, quod captis quibuscumque duabus partibus immediatis remississimus gradus, qui est in una, est remissimus, qui non est in alia, esset uniformiter difformis. Sed consequens est falsum, igitur et antecedens, sequela patet mediante loco a definitione. Sed falsitas consequentis probatur. Et signo unum bipedale, cuius una medietas sit uniformiter difformis a 4 usque ad 8. Et alia medietas sit ab 8 usque ad 16. Quo posito sic argumentor: illa est qualitas, cuius omnes partes immediatae secundum extensionem sunt immediatae secundum intensionem et cetera. Et tamen non est uniformiter difformis, igitur illud consequens est falsum. Probatur minor, quia illa non correspondet gradui medi,o hoc est existenti in medio illius qua[]litatis, qui est ut 8, igitur illa non est uniformiter difformis. Consequentia patet et probatur [antecedens], quia tota illa qualitas est intensa ut 9, cum una medietas sit ut 12 et denominet ut 6, et alia sit ut 6 et denominet ut 3, igitur tota denominatio est ut 9 et non ut 8. Quod fuit probandum. Maior patet, quia 4 immediatae, 5 immediatae, 6 immediatae et sic de quibuscumque duabus partibus immediatis sunt immediatae sunt intensionem, igitur omnes partes illius immediatae secundum extensionem sunt immediatae secundum intensionem. ¶ Dices et bene negando antecedens et ad probationem negando sequelam. Et cum probatur negando illam esse definitionem qualitatis uniformiter difformis, ut bene probat argumentum. ¶ Et si quaeratur definitio, dicitur forte cum calculatore in capitulo de inductione gradus summi, quod qualitas uniformiter difformis est illa, quae sic se habet, quod cuiuslibet partis eius gradus medius [...], qui est in medio, tantum exceditur a sum[m]o eiusdem partis, quantum excedit infimum.

Sed contra, quia aliqua qualitas est uniformiter difformis, et tamen non cuiuslibet partis eius gradus, qui est in medio, tantum exceditur et cetera, igitur illa definitio nulla. Probatur antecedens: et capio unam lineam girativam ad imaginationem nominalium girantem omnes partes proportionales unius colmnae per totum uniformiter difformis ab 8 usque ad non gradum. Quo posito arguitur sic: illa linea girativa est pars ill[i]us qualitatis uniformiter difformis,

et tamen non cuiuslbet partis gradus, qui est in medio, tantum exceditur a summo, quantum et cetera, igitur assumptum verum. Probatur minor, quia illa linea non habet medium, cum sit infinita, nec tota pars eius de[m]pto primo giro habet medium propter eandem causam, ergo non cuiuslibet partis eius gradus, qui est in medio, tantum exceditur et cetera. ¶ Dices forte ad punctum argumenti distinguendo, quod in illa lignea non sit medium aut medium longitudinis – et sic conceditur, quod in illa non sit medium. Nec de tali medio intelligitur definitio aut medium magnitudin[i]s – et sic negatur. Illa enim linea, quamvis sit infinite longa, non tamen est corpus infinitum sive quantitas infinita. Sed finita, et per consequens habet duas medietates, illud enim de ratione quanti finiti est habere, videlicet duas medietates, quare facile dici potest, quod in medio magnitudinis illius est gradus medius, cum tale medium sit dabile, et de tali medio intelligitur dicta definitio.

Sed contra, quia aliqua est qualitas uniformiter difformis, et tamen non cuiuslibet partis eius gradus, qui est in medio magnitudinis, tantum exceditur a summo, quantum excedit infinitum, igitur solutio nulla. Probatur antecedens: et signo unum quadratum uniformiter difformiter album ab 8 usque ad non gradum, et divido illud in duas medietates triangulares per diametrum procedentem ab uno angulo in relinquum, ut patet in figura in margine. Et manifestum est, quod altera pars sive medietas triangularis illius quadrati habet maiorem partem sui quam medietatem qualificatam maiori gradu, quam ut 4 habet enim 3 quartas incipientes a 4 et terminatas ad non gradum et unam dumtaxat incipientem a 4 et terminatam ad 8, ergo sequitur, quod gradus medius non est in medio magnitudinis illius partis triangularis. Sed in fine primae 4, ergo aliqua est qualitas uniformiter difformis, et tamen non cuiuslibet partis eius gradus, qui est in medio talis partis tantum exceditur a summo, quantum excedit infinium eiusdem partis, puta illus partis triangularis. Quod fuit probandum.

Tertio principaliter arguitur sic, quia si qualitatis uniformiter difformis et difformiter difformis inten[s]io attendenda est penes reductionem ad uniformitatem, sequeretur, quod qualitas difformis, cuius utraque medietas est uni[]f[o]rmis, corresponderet gradui medio. Sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet. Et probatur falsitas consequentis: et signo unum bipedale, cuius una medietas sit calida ut 8. et alia ut 4. Et volo, quod pars calida ut 8 perdat duos gradus caliditatis, et illos acquirat pars calida ut 4. Et continuo, cum pars intensior remittitur, condensetur perdendo quantitatem ad subduplum, et aeque velociter pars remissior rarefiat acquirendo quantitatem, ita quod illud corpus semper maneat bipedale. Quo posito sic argumentor: istud corpus continuo intendetur, et in fine manebit uniforme sub gradu medio, puta ut 6, igitur modo est remissius gradu med[i]o. Consequentia patet, et probatur maior, quia continuo per maiorem partem illis corporis fiet intensio quam remissio eodem gradu, igitur continuo illud corpus intendetur. Consequentia probatur a simili, quia si per maiorem partem alicuius corporis esset albedo quam nigredo, continuo tale corpus denominaretur album, igitur a simili, si continuo per maiorem partem illius subiecti est intensio quam remissio eodem gradu, continuo illud corpus denominabitur remitti. Antecedens probatur videlicet, quod per maiorem partem continuo fiet intensio quam remissio et eodem gradu, quia continuo pars, quae intenditur, erit maior parte, quae remittitur per totum, cum modo sit aequalis, et continuo rarefiat, et alia condensetur. Igitur continuo per maiorem partem fiet intensio quam remissio eodem gradu. Quod fuit probandum. Iam probatur | minor, videlicet quod in fine illud corpus manebit uniforme sub gradu medio, quia manebit uniforme ut sex, [ea], qu[ae] est medietas ut 8, perdet duos gradus, et medietas ut 4 acquiret illos duos, igitur totum manebit ut sex, et gradus medius inter 8 et 4, cum aequaliter distet ab extremis, igitur illud corpus in fine manebit uniforme sub gradu medio.

Quarto principaliter arguitur sic: si intensio qualitatis uni[formiter] difformis attendenda est penes reductionem ad uniformitatem, sequeretur, quod etiam intensio corporis difformiter difformis attendenda esset penes reductionem ad uniformitatem, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela est nota, et probatur falsitas consequentis: et capio unum corpus finitum, cuius prima pars proportionalis sic calida ut 4, et 2 ut 3 et similiter quaelibet sequens sit calida ut 3. Quo posito sic argumentor: istud corpus est difformi[]ter calidum. Et tamen eius intensio non debet attendi penes reductionem ad uniformitatem, igitur propositum. Minor probatur, quia tunc sequeretur ipsum esse infinite calidum. Sed consequens est falsum, ut constat, igitur illud, ex quo sequitur. Probatur sequela, quia ipsum corpus potest reduci ad uniformem caliditatem infinitam, igitur sequitur ipsum esse infinite calidum. Probatur antecedens: et pono, quod unus gradus, qui est in 2. parte proportionali, extendatur per totum, et unus, qui est in 3., extendatur etiam per totum et sic consequenter, et hoc penetrative et unitive. Quo posito illa caliditas manet infinita et uniformis, igitur illud corpus potest reduci ad uniformem caliditatem infinitam. Quod fuit probandum. ¶ Dices forte ad argumentum concedendo sequelam et negando falsitatem consequentis, et ad punctum probationis nego, quod sequeretur illud corpus esse infinite calidum. Et ad probationem distinguo antecedens videlicet, quod tale corpus potest reduci ad caliditatem infinitam aut debita reductione – et sic nego – aut indebita – et sic concedo. Unde ut dicis ad hoc, quod aliqua qualitas debite reducatur ad uniformitatem, oportet, quod nulla fiat rarefactio aut condensatio in q[u]alitate, quae reducitur et cetera. Sed in proposito quaelibet caliditas existens in aliqua parte proportionali alia a prima rarefit ad quantitatem totius corporis. Non igitur fit debita reductio.

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod si esset unum corpus infinitum, cuius primum pedale esset calidum ut 4 et quodlibet aliud, corpus esset infinite calidum. Sed consequens est falsum (cum non sit calidius corpore calido ut 4 uniformiter per totum), igitur illud, ex quo sequitur. Probatur sequela, quia fine rarefactione et condensatione potest illud corpus effici infinite calidum, igitur est infinite calidum. Probatur antecedens: et pono, quod a quolibet pedali sequente primum dematur unus gradus et ponatur in primo, et hoc sive aliqua rarefactione aut condensatione. Et manifestum est, quod in fine in primo pedali sunt infiniti gradus caliditatis, et per consequens infinities infiniti. Volo igitur, quod capiantur infiniti ex illis et ponantur in 2. pedali[s], et iterum alii infiniti et ponantur in 3. Et sic consequenter fine rarefactione et conden[]satione. Quo posito in fine totum illud corpus manebit uniformiter infinite calidum, igitur iam modo est infinite calidum. Patet haec consequentia, quia per te eius intensio debet attendi penes reductionem ad uniformitatem debite factam, quemadmodum sit in proposito.

Quinto principaliter arguitur sic: si corporis difformis intensio deberet cognosci pe[n]es reductionem ad uniformitatem, sequeretur, quod si unum pedale dividatur per partes proportionales proportione quadrupla, et prima sit aliqualiter alba, et 2.

in duplo plus, et 3. in duplo plus quam 2., et 4. in duplo plusquam 3. et sic consequenter, tale corpus esset infinite album. Sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis patet, quia illud corpus est finite album, igitur. Probatur antecedens: et pono gratia argumenti, quod albedo primae partis proportionalis sit ut 4, et manifestum est, quod ipsa denominat totum ut 3, igitur tota illa denominat illud corpus ut 6, et per consequens finite totum denominat, et ex consequenti illud corpus est finite album. Quod fuit probandum. Probatur tamen consequentia, quia si albedo existens in prima parte proportionali denominat totum ut 3. Et albedo existens in 2 est in duplo intensior, et est in subquadruplo subiecto, igitur denominat in duplo minus patet consequentia, quia si esset a[l]bedo 2 partis aequalis intensionis albedine primae, denominaret in subquadruplo, sed modo denominat in duplo plus, cum sit in duplo intensior, ergo denominat in duplo minus quam albedo primae, quia duplum subquadrupli est subduplum quadrupli. Et eadem ratione albedo existens in 3 denominat in subduplo minus quam albedo existens in 2. Et sic cuiuslibet partis sequentis albedo denominat in duplo minus illud subiectum quam albedo immediate praecedentis ipsam, igitur denominato illius albedinis componitur ex infinitis continuo se habentibus in proportione dupla, et primum illorum est ut 3, ergo totum est ut sex. Patet haec consequentia ex prima parte huius libri. Sed iam probo sequelam, quia si in prima parte proportionali alicuius corporis proportione dupla divisi ponatur aliqua albedo, et in 2. [in] duplo intensior per totum si[n]e mixtione contrarii in 3. in duplo intensior, quod in 2. et in 4. in duplo intensior quam in 3, et sic consequenter, tale corpus esset infinite album, igitur pari ratione si dividatur proportione quadrupla, et in prima parte ponatur aliqua albedo, et in 2. in duplo intensior et cetera, tale corpus erit infinite album. Patet consequentia, quia non videtur maior ratio de uno quam de altero. Probatur antecedens: et pono gratia argumenti, quod albedo primae partis sit ut 2, deinde volo, quod in prima parte proportionabili unius horae capiantur 4 gradus existentes in 2. parte proportionali illius corporis, quae est una quarta, et ponatur quilibet illorum in diversa quarta. Et in 2. parte horae ponatur quilibet 8 graduum existentium in 3. parte corporis, quae est una octava in diversa octava illius cor[po]ris. Et in 3. parte horae capiatur quilibet sexdecim graduum existentium in quarta parte corporis et ponatur in diversa decimasexta et sic consequenter. Quo posito in fine horae illud corpus habebit per totum infinitam albedinem, ut constat, et erit reductum ad uniformitatem, igitur illud corpus modo ante reductionem ad uniformitatem est infinite album [...]. Quod fuit probandum.

In oppositum arguitur sic: Sit A difforme, et pono, quod reducatur ad uniformitatem nulla facta rarefactione aut condensatione qualitatis in parte aut in tota, nulla qualitate posita in maiori aut minori parte, quam erat antea et cetera. Et tunc manifestum est, quod tale corpus est uniforme. Sit igitur uniforme C gradu. Et arguo sic, A est intensum C gradu, et est ita intensum, sicut erat ante reductionem ad uniformitatem, igitur ante reductionem ad uniformitatem erat A intensum C gradu. Et per consequens eius intensio et pari ratione cuiuscumque difformis mensuranda est penes reductionem ad uniformitatem. Minor probatur, quia A nullam intensionem acquisivit aut perdidit, q[uia] quantam perdidit una eius pars, tantam acquisivit sibi aequalis, ergo A est ita intensum, sicut erat ante reductionem ad uniformitatem.

Quatuor articuli hanc quaestionem absolvent, primus notabit, secund[u]s conclusiones inducet, tertius dubitabit, quartus vero rationes ante oppositum solvet.

Notandum est primo tangendo materiam | primi argumenti: isti termini „parvitas“ et „magnitudo“ sunt termini se habentes per modum privativi et positivi, et similiter isti „intensio“ et „remissio“, et isti „multitudo“ et „paucitas“. Et pro eadem reverificantur: omnis enim magnitudo est parvitas, et omnis parvitas est magnitudo. Quamvis tamen idem sit magnitudo et parvitas, nihilominus non sequitur: haec magnitudo efficitur maior, et haec magnitudo est parvitas, ergo parvitas efficitur maior. Sed debet concludi: ergo parvitas efficitur maior magnitudo. Et quoniam isti termini „distantia“ et „propinquitas“ etiam eodem modo se habent sicut magnitudo et parvitas, dico, quod omnis distantia est propinquitas, et omnis propinquitas est distantia. Tamen istam consequentia non valet: ista propinquitas efficitur maior, et ista propinquitas est ista distantia, ergo ista distantia efficitur maior. Sed debet concludi: ergo ista distantia efficitur maior proprinquitas. Adverte ulterius, quod intensionem attendi penes maiorem distantia[m] a non gradu nihil aliud est quam maioritatem intensionis cognosci mediante veritate huius propositionis. Quanta distantia qualitatis a non gradu est maior, tanto intensio qualitatis est maior, magnitudo autem distantiae attenditur penes multitudinem graduum eiusdem intensionis ipsius qualitatis. ¶ Ex quo sequitur primo, quod melius cognoscitur intensionis maioritas penes multitudinem graduum quam penes distantiam a non gradu, quando quidem ipsius distantiae maioritas penes multitudinem graduum tandem cognoscitur. De hoc plura in expositione primi capitis calculatoris. ¶ Sequitur secundo hanc consequentiam non valere: i[n]tensio attenditur penes maiorem distantiam a non gradu, et omnis distantia est propinquitas, igitur intensio attenditur penes propinquitatem ad non gradum. Probatur, quia convertitur cum ista mala consequentia, intensio mensuratur mediante veritate huius propositionis, quanto distantia a non gradu est maior, tanto intensio est maior, et omnis distantia est propinquitas, igitur intensio mensuratur mediante veritate huius propositionis. Quanto propinquitas ad non gradum est maior, tanto intensio est maior. Et per hoc solvitur pr[i]mum argumentum ante oppositum. ¶ Sequitur 3. gradum summum esse remissum. Patet hoc correlarium ex confirmatione primi argumenti.

Notandum est secundo circa materiam secundi argumenti inquirendo definitionem qualitatis uniformiter difformis, quod duplex est qualitas: quaedam est uniformis, quaedam est difformis. Qualitas uniformis est illa, cuius omnes partes quantitative sunt aeque intensae. Sed qualitas difformis est qualitas, cuius non omnes partes aequales quantitative sunt aeque intensae. Haec autem est duplex, quia quaedam est uniformiter difformis, quaedam vero uniformiter difformis. Sed quia qualitas uniformiter difformis diversimode a diversis definitur. Ideo ad inquirendam definitionem eius pono aliquas propositiones. ¶ Prima propositio: qualitas unifor[miter] diffor[mis] non bene sic definitur: qualitas unifor[miter] diffor[mis] est qualitas difformis, cuius omnes partes immediatae secundum extensionem sunt immediatae secundum intensionem, ut declaratum est in 2. argumento. Patet haec propositio ex eodem 2. argumento ante oppositum. ¶ Secunda propositio: qualitas unifor[miter] diffor[mis] non bene definitur sic: qualitas unifo[rmiter] diffor[mis] est illa, quae sic se habet, quod cuiuslibet partis eius gradus medius [...], qui est in medio, tanto exceditur a summo, quanto excedit infinium. Et hoc est contra calcula[torem] in c[apite] de inductione gradus summi. Patet hoc propositio ex deductione primae replicae dicti 2. argumenti ante oppositum. ¶ Tertia propositio: qualitas unifor[miter] diffor[mis] non bene definitur sic: qualitas unifor[miter] diffor[mis] est illa, quae sic se habet, quod cuiuslibet partis eius gradus medius [...], qui est in medio secundum magnitudinem, tanto exceditur a summo, quantum et cetera.

Patet haec propositio ex 2. replica dicti secundi argumenti. ¶ Ex hac propositione sequitur, quod aliqua est qualitas uni[miter] diffor[mis], cuius secundum aliquam divisionem quaelibet pars proportionalis est difformiter difformis. Patet dividendo unum quadratum uniformiter difformem per lineas transversales sive diametrales. ¶ Quarta propositio: qualitas unifor[miter] diffor[mis] non bene definitur sic: qualitas unifor[miter] diffor[mis] est illa, quae sic se habet, quod secundum aliquam eius divisionem cuiuslibet partis gradus medius [...], qui est in medio et cetera. Probatur, quia illa definitio sic intellecta convenit illi qualitati, quae non est uniformiter difformis, de qua fit mentio in 2. argumento ante oppositum, esto, quod illa dividatur per partes proportionales proportione dupla, ut constat intelligenti casum. ¶ Quinta propositio: qualitas unifor[miter] diffor[mis] non bene definitur sic: qualitas unifor[miter] diffor[mis] est illa, quae sic se habet, quod secundum aliquam divisionem dividendo secundum ter[ti]am dimensionem cuiuslibet partis eius gradus, qui est in medio secundum magnitudinem, tantum exceditur a summo, quanto et cetera. Probatur, quia capto quadrato perfecto, cuius una [sit] in medio procedens ab uno latere in reliquum, sit uniformiter difformis ab 8 usque ad 4. Et una alia [sit] ex transverso procedens usque ad alteram, ex utroque latere per modum crucis sit etiam uniformiter difformis ab 8 usque ad 4. Et residuae partes sint uniform[e]s. Tunc manifestum est illam qualitatem non esse uniformiter difformem, et tamen illa definitio ei convenit, ut patet intelligenti casum. Igitur illa definitio nulla. Hoc videas clarius in expositione 2. capitis calculatoris in principio. ¶ Sexta propositio: qualitas unifor[miter] diffor[mis] bene definitur sic: qualitas uniformiter diffor[mis] est qualitas ita se habens, quod in ea proportione, in qua quaevis omnia puncta eius intrinseca aequalis intensionis magis distant quantitative a gradu e[]ius summo, in ea per maiorem latitudinem distant intensive ab eodem gradu summo, ita quod in quacumque proportione una pars eius est maior altera quantitative, (inaequalis tamen intensionis), in ea extremum eius intensius per maiorem latitudinem excedit extremum remissius eiusdem. Exemplum, ut capta latitudine uniformiter difformi ab 8 usque ad non gradum manifestum est, quod punctus ut 4 i[n] duplo plus distat quantitative quam punctus ut 6 a gradu 8, et etiam per in duplo maiorem latitudinem gradus octavus excedit 4 quam 6, ut satis constat. Et sic de aliis gradibus et punctis poteris facile exemplificare. Item capta medietate intensiori, quae est ab octavo usque ad 4, et prima quarta alterius medietatis, quae est a 4 usque ad 2, manifestum est, quod in ea proportione, puta dupla, qua in medietas est maior illa quarta, in ea per maiorem latitudinem extremum intensius eius excedit eius extremum remissius, quam extremum intensius ipsius quartae excedat eius extremum remissius. Hanc definitionem non aliter sufficientem probo, nisi, quia non video defectum in ea, difficile enim est construere definitionem, ut inquit philosophus 6. topicum. Si quis autem defectum invenerit, aut eo affectu excuset, quo Aulus Gellius in [libro] nocti[um] Atticarum Varronem in complete inducias definientem excusat aut corrigat. Non enim – ut cum Augustino in de trinitate loquar – pudebit me, sicubi haesito querere, aut sicubi erro discere. Non enim est homo, qui non peccet, 3. regum 8. Omnes enim erravimus Isaiae 53., quod et de voluntatis et etiam intellectus errore satis commode intelligi potest. ¶ Qualitas autem uniformiter difformis est duplex, quaedam enim terminatur ad gradum, quaedam vero ad non gradum. Qualitas unifor[miter] diffor[mis] terminata ad non gradum est qualitas unifor[miter] diffor[mis], cuius omnia puncta consimilis intensionis in ea proportione plus distant quantitative a non gradu, in qua sunt intensiora, et econtra, ut qualitas uniformiter difform[is] ab octavo usque ad non gradum. ¶ Ex hac definitione sequitur, quod in omni qualitate unifor[miter] diffor[mi] terminata ad non gradum et uniformium dimensionum in ea proportione, in qua puncta magis distant a non gradu secundum longitudinem, in ea sunt maioris intensionis. ¶ Sequitur secundo: quaedam proprietas qualitatis unifor[miter] diffor[mis] ad gradum terminatae, quae et[iam] definitio est videlicet qualitas unifor[miter] diffor[mis] ad gradum terminate est qualitas uniformiter diffor[mis], inter cuius gradus maior est propo[r]tio intensionum quam distentiarum ab extremo eius remissiori, hoc facile probatur ex definitione qualitatis uni[formiter] diffor[mis] ad non gradum terminatae, hoc addito, quod quaelibet qualitas uni[formiter] diffor[mis] potest esse in potentia propinqua pars uni[formiter] diffor[mis] ad non gradum terminatae. Et quod utroque termino proportionis maioris inaequalitatis aequaliter decrescente proportio augetur. ¶ Sequitur 3., quod si qualitas uniformis addatur qualitati unifor[miter] dif[formi] omnino aequalium dimensionum, resultabit qualitas uniformiter difformis. Probatur, quia facta tali unione adhuc puncta omnino eodem modo se excedent, sicut ante se excedebant in illa qualitate uniformiter diffor[mi]. Sed in illa qualitate uniformi[ter] dif[formi] puncta eo modo se excedunt, sicut sufficit ad qualitatem uni[formiter] dif[formem], igitur facta tali unione illa qualitas manet unifor[miter] dif[formis]. Minor patet, et maior probatur per hoc, quod quandocumque aliqua se excedunt, et aequalem latitudinem omnino acquirunt, continuo aequali excessu se excedunt, ut facile est demonstrare. ¶ Sequitur 4.: si duae qualitates unifor[miter] dif[formes] ad non gradum terminatae et consimilium omnino dimensionum non gradibus simul unitis et extremis aliis etiam a[b] invicem unitis, resultabit qualitas totalis uni[formiter] dif[formis]. Probatur, quia puncta correspondentia in una illarum se habent omnino in eadem proportione quoad intensionem et distantiam a non gradu, sicut se habent correspondentia in altera, ergo ipsa simul unita manebunt in eadem proportione, et per consequens illa totalis qualitas manebit uni[formiter] dif[formis]. Patet haec consequentia auxilio huius, quod in 2. parte demonstratum est, quod videlicet talis est proportio coniunctorum, qualis est divisorum. ¶ Sequitur 5., quod, si qualitati uni[formiter] dif[formi] omnino aequalium dimensionum extremis intensioribus a[b] invicem iunctis et remissoribus a[b] invicem similiter iunctis addatur quali[tas] uni[formiter] dif[formis], resultabit qualitas uni[formiter] dif[formis]. (Semper abigo muscas.) Probatur, quia vel utraque illarum terminatur ad non gradum, et sic ex 4. corre[lario] manebit uni[formiter] dif[formis], aut una terminatur ad non gradum, et alia non, et tunc dematur ab illa terminata ad gradum maximus gradus uniformis per totum, et tunc – ut constat – manebit totum residuum qualitas uni[formiter] diffor[mis] ad non gradum terminata, uniatur igitur alteri terminatae ad non gradum, et ex 4. corre[lario] manebit qualitas uni[formiter] diffor[mis], addatur ergo illa qualitas uni[formiter] diffor[mis] gradui uniformi dempto a qualitate terminata ad gradum, et ex 3 corre[lario] manebit qualitas uni[formiter] dif[formis], igitur si qualitati uni[formiter] diffor[mi] addatur et cetera, resultabit quali[tas] uni[formiter] dif[formis]. Patet igitur correlarium. Et haec est 4. calculatoris in capitulo de inductione gradus s[ummi], quam longis ambagibus probat. ¶ Sequitur 6., quod semper ex unione duarum qualitatum uni[formiter] difformium omnino aequalium et consimilium dimensionum resultat qualitas uniformis vel uniformiter dif[formis]. Hanc facile est ex praedictis demonstrare. ¶ Sequitur 7.: quandocumque eadem latitudo vel omnino consimilis uni[formiter] dif[formis] extenditur per duo subiecta inaequalia, in proportione, [in] qua unum subiectum est maius alio, in ea puncta consimilia in maiori plus distaut quantitative a gradu summo qua[m] eis similia in minori. Exemplum, ut si latitudo ab 8 usque ad 4 extendatur in pedali et in semipedali, punctus ut 6 in duplo plus distat a summo in pedali quam in semipedali. Probatur, sit A latitudo uniformiter difformis extensa per aliquod subiectum, et B omnino consimilis latitudo extensa per subiectum in F proportione minus, et sit C punctus in A, et D consimilis in B, et excedat gradus summus in G proportione maiori excessu extrema illarum latitudinum quam ipsa puncta C [et] D.

Et manifestum est ex definitione qualitatis uniformiter difformis, quod distantia extremi remissioris ips[i]us A vel non gradus a suo gradu summo est in G proportione maior distantia ipsius C ab eodem gradu summo, et eadem ratione distantiae extremi remissioris vel non gradus ipsius B a gradu summo ad distantiam ipsius D ab eodem gradu summo est G proportio. Tunc dico, quod distantia ipsius C a gradu summo est in F proportione maior distantia ipsius D a gradu summo. Quod sic probatur, quia ex hypothesi sicut se habet distantia extremi remissioris in A ab suo gradu summo ad distantiam ipsius C ab eodem gradu summo, ita se habet distantia extremi remissioris in B a suo gradu summo ad distantiam ipsius D ab eodem gradu summo, ergo auxilio loci a permutata proportione sequitur manifeste probandum. Patet ergo correlarium.

Notandum est tertio circa materiam 3. argumenti, quod duae sunt opiniones circa difformium qualitatum denominationes, quas cal[culator] recitat in 2. capi[te]. Prima est, quod intensio qualitatis difformis et eius denominatio metiri debet penes reductionem ad uniformitatem, quomodo autem debeat fieri talis reductio, sequens notabile declarabit. Alia vero est opinio, quod intensio difformium mensuranda est gradu summo, videlicet quod si in pedali sit qualitas difformis ab 8 usque ad non gradum, subiectum eius denominabitur intensum ut 8, etiam si per 4 partem subiecti vel quant[a]mcumque parvam extendatur. Sed calculator volens impugnare primam opinionem facit talem consequentiam: per maiorem partem alicuius subiecti continuo fit intensio quam remissio eodem gradu, ergo continuo totum intenditur. Ideo ad inquirendum, an in tali reductione subiectum semper intendatur aut semper remittatur aut aliquando intendatur, aliquando vero remittatur, aut maneat aeque intensum, pono aliquas propositiones. ¶ Prima propositio: ista consequentia nihil valet: per maiorem partem huius subiecti continuo fit intensio quam remissio eodem gradu, ergo totum subiectum intenditur. Probatur: et signo unum pedale difformiter album, cuius una medietas sit uniformis 8, et alia ut unum uniformis, et volo, quod per totam horam futuram remittatur pars intensior et perdat duos gradus adaequate, et totidem acquirat pars remissior, et cum hoc condensetur pars intensior ad subduplum, pars vero remissior rarefiat, ita quod quantam quantitatem deperdit pars intensior, tantam acquirat adaequate pars remissior. Quo posito in fine horae illud subiectum erit remissius, quam modo sit. Et tamen intensio continuo fit per maiorem partem quam remissio eodem gradu, igitur in illo casu antecedens illius consequentiae est verum, et consequens falsum. Et per consequens consequentia non valet. Quod fuit probandum. Minor est, declarat c[a]sus, et maior probatur, quia in principio talis alterationis totum illud pedale est album ut 4 cum dimidio. Prima enim medietas illius albedinis denominat ut 4, quia est ut 8, et alia ut dimidium, quia est ut unum. Et in fine totum illud pedale est album ut 3 cum 3 quartis, igitur in fine horae illud pedale est remissius quam in principio. Minor probatur, quia in fine horae 3 quartae illius pedalis erunt albae ut 3. Et sic denominabunt totum album ut duo cum una quarta, reliqua vero quarta intensior, cum sit ut 6, de[nominan]t ut unum cum dimidio. Modo duo cum una quarta et unum cum dimidio faciunt 3 cum 3 quartis, igitur totum illud pedale in fine est album ut 3 cum 3 quartis. ¶ Secunda propositio: ista consequentia non valet: per maiorem partem huius subiecti continuo fit remissio quam intensio eodem gradu, ergo hoc subiectum remittitur. Probatur: et signo unum pedale, cuius una medietas sit alba uniformiter ut 8, et alia ut duo, et per horam futuram perdat successive pars intensior duos gradus albedinis, pars vero remissior acquirat illos duos adaequate, et cum hoc pars intensior rarefiat ad sesquialterum acquirendo 4 pedalis, et | tantum deperdat medietas remissior. Quo posito in fine horae illud pedale erit albius, quam modo sit, et tamen maiorem partem continuo fiet remissio quam intensio eodem gradu, igitur illa consequentia nulla. Maior probatur, quia in principio alterationis illud pedale est album ut 5, ut constat, et in fine est album ut 5 cum dimidio, igitur in fine horae est albius, quam modo sit. Minor probatur, quia in fine 3 quartae albae ut 6 denominant illud pedale ut 4 cum dimidio, ut patet calculanti, et alia quarta ut 4 denominat totum ut unum, igitur totum unum pedale est album ut 5 cum dimidio. Quod fuit probandum. ¶ Et quo sequitur, quod nonnumquam intensio fit per maiorem partem quam remissio eodem gradu, et tamen totum remittitur, et aliquando etiam intenditur. Et plerumque per aliquod tempus intenditur, et per aliquod remittitur. Patent omnia ista cum multis aliis hanc materiam tangentibus in expositione supra 2. capitulum calculatoris. Videas ea ibi. Et per hoc patet solutio 3. argumenti.

Notandum est quarto pro declaratione materiae quinti argumenti, quod calculator aliter mensurat qualitatis et similiter qualificati difformis intensionem quam per reductionem ad uniformitatem, metitur enim difformis corporis intensionem penes denominationem partium ipsius qualitatis difformis, ita quod videlicet cuiuslibet difformis intensio mensurari habet penes gradum denominationis, quo talis qualitas nata est suum totale subiectum denominare seclusa contrarii permixtione. Pro cuius intellectu faciliori ponitur talis suppositiom quae in hac materia pro basi et fundamento habetur, quae talis est: minus facit qualitas extensa per partem subiecti ad denominationem sui subiecti, quam si eadem per totum extendatur manente aequali intensione. Et in quacumque proportione pars, in qua est talis qualitas, est minor suo toto, in eadem talis qualitas minus suum subiectum denominant, ita quod in quadruplo minus denominat qualitas totum, quando est praecise extensa per unam quartam, quam quando est extensa per totum, et per tertiam in triplo minus, et per medietatem in dupla minus. Exemplum, ut albedo ut 4 extensa praecise per quartam partem subiecti denominat totum subiectum album ut unum, quia si esset extensa per totum denominaret totum subiectum ut 4, sed modo est in parte in quadruplo minori suo toto, ergo in quadruplo minus denominat suum subiectum. Huius maior declaratio ponitur in expositione secundi capitis calculatoris. Ad mensurandam autem intensionem alicuius difformis, cuius difformitas est infinita, autem in infinitum procedens, ut si ponatur, quod prima pars proportionalis alicuius corporis sit aliqualiter alba, et secunda in sesquialtero magis, et tertia in sesquialtero magis quam secunda et sic consequenter divisione corporis facta proportione sesquitertia aut quamvis alia et cetera, advertenda est quaedam divisio qualitatum inhaerentium partibus alicuius subiecti, quae huic inquisitioni plurimum est accomoda et necessaria. Illam tamen absolvam, quoniam iam ipsa exposita est in secundo tractatu huius partis capite 6. Divisio autem est haec: qualitates per diversas partes subiecti extensae, quandoque sunt aequales, nonnunquam vero inaequales intensive, facile est exempla dare. Et si sunt aequales aut extenduntur, sive inhaerent partibus aequalibus aut inaequalibus. Exempla sunt in promptu. Et si sint inaequales intensive, similiter valent extendi per partes aequales subiecti aut per partes inaequales. Si qualitates inaequales in aequalibus p[ar]tibus subiecti inhaereant, hoc contingit dupliciter, quia aut maior qualitas maiori parti inhaeret aut minori. Exemplum primi, ut si albedo ut octo inhereat medi[et]ati pedalis, et albedo ut 4 uni tertiae eiusdem pedalis. Exemplum secundi, ut si fiat converso. Si autem intensior qualitas inhaeret parti subiecti minori, remissior qualitas maiori parti subiecti, hoc contingit tripliciter, quia aut proportio illarum partium subiecti excedit proportionem illarum qualitatum, aut proportio qualitatum excedit proportionem illarum

partium subiecti, aut proportio illarum partium est aequalis proportioni qu[]alitatum. Exemplum primi, ut si in una medietate pedalis ponatur albedo ut 4, et in una quarta albedo ut 5, tunc proportio partium est maior proportione qualitatum. Nam haec est sesquiquinta, illa vero dupla. Exemplum secundi, ut si in una medietate subiecti ponatur albedo ut 2, et in quarta ponatur albedo ut 6, tunc proportio qualitatum excedit proportionem partium subiecti. Nam haec dupla, illa vero tripla. Exemplum tertii, ut si in una medietate ponatur albedo ut 8, et in una quarta albedo ut sexdecim, tunc eadem est proportio illarum partium et etiam qualitatum, et tot modis possunt qualitates variari, si intensior qualitas maiori parti subiecti inhaereat, remissior vero minori. Adhibeas exempla! Consummata divisione ponendae sunt aliquae propositiones. ¶ Prima propositio: si qualitates aeque intensae partibus extendantur aequalibus, ipse aequaliter totum subiectum denominant, si vero partibus subiecti inaequalibus inhaereant, tunc illa qualitas, quae per maiorem partem extenditur, plus denominat totum (deducto impedimento) in ea proportione, in qua se habent illae partes subiecti a[b] invicem. ¶ Secunda propositio: quando inaequales qualitates aequalibus partibus subiecti inhaerent, tunc intensior in ea proportione plus denominat subiectum, in qua est intensior. ¶ Tertia propositio: si inaequales qualitates intensive extendantur per inaequales partes unius subiecti, et intensior maiori parti inhaereat, remissior vero minori, tunc intensior plus denominat totale subiectum quam remissior in proportione composita ex proportioni partis maioris ad partem minorem et qualitatis intensioris ad qualitatem remissiorem. Exemplum, ut si in una medietate pedalis ponatur albedo ut 4, et in 4. eiusdem ponatur albedo ut 2. Dico, quod albedo existens immediate in quadruplo plus denominat illud pedale quam albedo existens in quarta eiusdem pedalis, quia proportio illarum qualitatum et etiam partium est dupla, composita vero ex duabus duplis quadrupla. ¶ Quarta propositio: si intensior qualitas parti extendatur minori, et remissior maiori, sitque aequalis proportio partium a[b] invicem et etiam intensionum, tunc illae qualitates aequaliter ad totius denominationem faciunt. Exemplum, ut si in una medietate ponatur qualitas ut 4, et in una quarta ut 8, quia tunc inter partes et etiam qualitates est proportio dupla, tantum facit ad denominationem totius qualitas ut 8 in una quarta, quantum qualitas ut 4 in medietate, quia utraque ut 2, ut patet. ¶ Quinta propositio: si intensior qualitas parti coextendatur minori, et remissior maiori, proportioque intensionum illarum qualitatum partium proportionem exsuperat, tunc qualitas existens in minori parte subiecti totale subiectum intensius denominabit, quam qualitas existens in [maiori] parte in ea proportione, per quam proportio intensionum illarum qualitatum partium proportionem excedit. Exemplum, ut si in una medietate pedalis ponatur albedo ut 2, et in quarta eiusdem albedo ut 8, quia proportio partium dupla exceditur a proportione intensionum illarum qualitatum quadrupla, et quadrupla excedit duplam per duplam, ideo in duplo plus denominat qualitas ut 8 quam ut 2 illud totale subiectum, quia illa ut 2 denominat ut unum, alia vero ut 8 denominat ut 2, ut patent. ¶ Sexta propositio: ubicumque intensior qualitas parti subiecti minori inhaeret, et remissior maiori, estque inter partes maior proportio quam inter illarum qualitatum intensiones, et tunc qualitas remissior plus facit ad totius denominationem quam intensior in ea proportione, per quam proportio partium proportionem intensionum antecedit. Exemplum, ut si in una medietate sit qualitas ut 4, et in una quarta sit qualitas ut 6, quia qualitas intensior minori | parti inhaeret, et proportio partium dupla excedit proportionem intensionum sesquialteram per sexquitertiam, ideo qualitas ut 6 existens in quarta in sesquitertio minus denominat totale subiectum quam qualitas ut 4 existens in mediate. Harum 6 propositionum demonstrationes invenies in expositione secundi capitis calculatoris, et facile ex his, quae dicta sunt capite tertio secundi tractatus et primo capite tertii tractatus, probari valent mutatis mutandis. Quibus praemissis ponuntur conclusiones.

Prima conclusio: diviso corpore qualibuerit proportione et prima pars proportionalis eius sit aliqualiter intensa, et secunda in duplo plus, et tertia in triplo quam prima, et quarta in quadruplo quam prima et sic in infinitum, et hoc eadem qualitate si[n]e admixtione contrarii, tunc totum corpus est intensius prima prima parte proportionali in ea proportione, qua se habet totum sic divisum ad primam partem eius proportionalem. Probatur conclusio universaliter: et suppono, quod diviso aliquo corpore per partes proportionales aliqua proportione et primo per totum illud corpus extendatur aliqua qualitas, et per totum residuum a prima parte proportionali super illam extendatur tanta, et per residuum a prima et a secunda iterum tanta extendatur supra praeexistentem, et deinde supra residuum a prima secunda et tertia extendatur iterum tanta supra praeexistentem et sic consequenter, tunc in fine illud corpus ita se habebit, quod prima pars eius proportionalis erit aliqualiter intensa, secunda in duplo plus, et tertia in triplo plus quam prima, et quarta in quadruplo et sic consequenter, ut ponitur in casu conclusionis. Patet haec suppositio, quoniam si in prima est aliquis gradus, puta C, per secundam et totum erunt residuum duo gradus, puta C, per secundam et totum erunt residuum duo gradus C, et per tertiam et totum tres tales gradus C, et per quartam et totum residuum 4 tales et sic consequenter, igitur prima est aliqualiter intensa, et secunda in duplo plus, et tertia in triplo plus quam prima, et sic consequenter. Quo posito probatur conclusio: et sit aliquod corpus divisum per partes proportionales proportione F, et sit G proportio totius divisi per partes proportionales proportione F ad primam eius partem proportionalem, et prima pars proportionalis illius sit aliqualiter intensa, et secunda in duplo plus, et tertia in triplo plus quam prima et sic consequenter. Tunc dico, quod totum est intensius prima parte proportionali in proportione G, quae est proportio totius ad primam partem proportionalem. Quod sic probatur, quia per totum illud corpus extenditur aliqua qualitas, puta illa, quae est in prima parte proportionali, et per totum residuum a prima parte proportionali iterum tanta supra illam, et per totum residnum a prima et secunda iterum tanta et sic consequenter, ut patet ex suppositione, et illa qualitas, quae extenditur per totum, denominat aliqualiter tale corpus, et quae extenditur per totum residuum a prima parte proportionali, denominat in F proportione minus, et quae extenditur per totum residuum a prima parte proportionali et secunda, iterum denominat in F proportione minus quam illa, quae extenditur per totum residuum a prima, et ex istis denominationibus totius corporis denominatio consurgit, igitur illa denominatio intensionis totius corporis componitur ex infinitis partialibus denominationibus continuo se habentibus in proportione F. Igitur tota illa denominatio composita ex illis infinitis se habet ad primam illarum in proportione, qua se habet aliquod totum divisum per partes proportionales proportione F ad primam eius partem proportionalem, quoniam illa totalis denominatio in tales partes proportionales secatur, et illa est G ex hypothesi, ergo in proportione G totum est intensius prima parte proportionali. Quod fuit probandum.

Sed iam probo, quod illa qualitas, quae extenditur p[er] totum, primo denominat aliqualiter et quae per totum residuum a prima in F proportione minus quam illa, quae extenditur per totum et sic consequente[r]. Quoniam omnes illae qualitates sunt aequalis intensionis, et quaelibet sequens per minus in F proportione ex[]tenditur quam praecedens, quoniam totum illud corpus est in F proportione maius quam totum aggregatum ex omnibus partibus proportionalibus eius sequentibus primam, et totum residuum a prima est in F proportione maius toto residuo a prima et secunda et sic consequenter, ut patet ex prima conclusione quinti capitis primae partis, hoc addito, quod quacumque proportione dividitur totum, eadem proportione dividitur aggregatum ex omnibus partibus proportionalibus sequentibus primam et etiam sequentibus secundam et tertiam et quartam et sic consequenter, igitur illa qualitas, quae per totum extenditur, denominant aliquantulum, et quae per totum residuum a prima, in F proportione minus, et quae per totum residuum a prima et secunda, in F proportione minus quam illa, quae per totum residuum a prima et sic consequenter. Quod erat probandum. Patet haec consequentia per secundam partem primae propositionis ultimi notabilis. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod, si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proportione tripla, et prima pars proportionalis eius sit aliqualiter intensa, et secunda in duplo, et tertia in triplo plus quam prima continuo eadem qualitate et sic consequenter sine aliqua contrarii admixtione, totum est in sesquialtero intensius prima parte proportionali. Et si dividatur corpus proportione quadrupla, totum erit intensius prima parte proportionali in sesquitertio. Et si proportione quintupla, erit intensius prima parte proportionali in sesquiquarto. Et si sextupla, in sesquiquinto. Et si septupla, in sexquisextor et sic consequenter procedendo per species proportionis multiplicis et superparticularis. Probatur hoc correlarium, quia corpus divisum proportione tripla se habet ad primam partem proportionalem eius in proportione sexquialtera, et divisum quadrupla se habet ad pr[i]mam partem proportionalem in proportione sesquitertia, et divisum quintupla se habet ad primam partem proportionalem in proportione sesquiquarta et sic consequenter, ut patet ex primo correlario tertiae conclusionis quinti capitis primae partis. Igitur in casu correlarii sequitur: si dividatur corpus proportione tripla, quod ipsum erit intensius prima parte proportionali in sesquialtero, et si quadrupla, in sesquitertio, et si quintupla, in sesquiquinto, et sic consequenter. Patet haec consequentia per conclusionem. ¶ Sequitur secundo, quod, si dividatur corpus per partes proportionales proportione dupla, et distribuatur aliqua intensio per illas partes proportionales, ut ponitur in praecedenti correlario, tunc totum est in duplo intensius prima sui parte proportionali. Probatur, quia totum divisum per partes proportionales proportione dupla est duplum ad primam partem proportionalem eius, ut patet ex primo correlario tertiae conclusionis primae partis praeallegato, igitur per conclusionem illud est intensius sua prima parte proportionali in proportione dupla. ¶ Sequitur tertio, quod diviso corpore sic per partes proportionales proportione dupla et cetera, ut ponitur in antecedenti correlario, totum est ita intensum sicut secunda pars proportionalis eius. Probatur, quia in duplo intensius prima, ut praecedens correlarium ostendit, et secunda pars proportionalis est, esset in duplo intensior prima, ergo totum est ita intensum sicut secunda pars proportionalis. Quod fuit probandum. Patet consequentia per hanc maximam: habentia aequalem proportionem ad unum tertium sunt aequalia. Et haec est prima conclusio calculatoris in capite de difformibus. ¶ Sequitur quarto, quod si aliquod corpus dividatur proportione sesquialtera, et prima pars proportionalis sit aliqualiter intensa, et secunda in duplo plus, et tertia in triplo quam prima et sic consequenter, ut ponitur in casu conclusionis, tunc totum est in | triplo intensius prima parte proportionali. Et si dividatur proportione sexquitertia, totum erit intensius prima parte proportionali in quadruplo. Et si dividatur proportione sexquiquarta, totum erit intensius prima parte proportionali in quintuplo. Et si sexquiquinta, totum erit intensius prima parte proportionali in sextuplo. Et si sexquisexta, in septuplo[] et sic consequenter procedendo continuo per species proportionis superparticularis in divisione corporis et per species proportionis multiplicis ex parte intensionis. Probatur hoc correlarium, quia totum divisum proportione sexquialtera est triplum ad primam partem proportionalem eius, et divisum sesquitertium est quadruplum, et sexquiquarta est quintuplum, et sesquiquinta sextuplum ad primam eius partem proportionalem, ut patet ex quarta conclusione quinti capitis primae partis, ergo in eisdem proportionibus se habent intensiones totius ad intensionem primae partis proportiontialis, ut patet ex conclusione, igitur correlarium verum. ¶ Sequitur quinto, quod si dividatur corpus, ut dicitur in praecedenti correlario, ut puta proportione sesquialtera, et prima pars sit aliqualiter intensa, et secunda in duplo plus, et tertia in triplo plus quam prima et cetera, ut ibi dicitur, totum est ita intensum sicut tertia pars proportionalis. Et si proportione sexquitertia, sicut quarta pars proportionalis. Et si sesquiquarta, sicut quinta pars proportionalis. Et si sexquiquinta, sicut sexta pars proportionalis et sic consequenter descendendo per partes proportionales et per species proportionis superparti[]cularis in infinitum. Probatur, quoniam si corpus sit divisum proportione sexquialtera, ipsum est in triplo intensius prima parte eius proportionali, ut patet ex praecedenti correlario, et tertia pars proportionalis est etiam in triplo intensior prima, ut patet ex casu, ergo ita intensum est tale corpus sicut tertia pars proportionalis. Item si dividatur proportione sexquitertia, ipsum est in quadruplo intensius prima eius parte proportionali ex praecedenti correlario, et etiam quarta pars proportionalis eius est in quadruplo intensior prima ex casu. Igitur illud corpus ita divisum proportione sexquitertia est ita intensum, sicut quarta pars proportionalis eius. Et isto modo probabis ceteras particulas correlarii. ¶ Sequitur sexto, quod si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proportione suprabipartiente tertias, et partes eius sint intensae, ut saepius dictum est, totum erit intensius prima parte proportionali in proportione dupla sesquialtera, ita quod si prima sit calida ut 2, totum est calidum ut 5. Probatur correlarium, quam totum est intensius prima parte proportionali in tali casu in proportione, qua se habet aliquod totum divisum per partes proportionales proportione suprabipartiente tertias ad suam primam partem proportionalem, ut patet ex conclusione, sed talis est proportio dupla sesquialtera, ut patet intelligenti 5. conclusionem quinti capitis primae partis, igitur correlarium verum.

Secunda conclusio: diviso corpore, qua volueris, proportione, et in quacumque proportione se habuerint partes aliquae proportionales, in eadem vel maiori se habuerit intensio minoris ad intensionem maioris, totum illud corpus est infinite intensum. Exemplum, ut si diviso corpore proportione dupla et prima pars proportionalis sit aliqualiter alba, et secunda in duplo plus, et tertia in duplo plus quam 2., et 4. in duplo plus quam 3. et sic consequenter, totum illud corpus est infini[t]e album, quia quaelibet pars tantum denominat sicut prima, et sunt infinitae. (Semper autem intelligo sine contrarii permixtione.) Probatur conclusio facile, quam ex casu conclusionis continuo talis est proportio partium subiecti, qualis est proportio intensionis

minoris partis ad intensionem maioris, ergo continuo tantum denominat una sicut altera. Patet consequentia ex quarta propositione, et cum sint infinitae, totum denominant infinite. Et per locum a maiori probatur alia pars, videlicet quod si continuo inter partes esset minor proportio quam inter intensiones minoris partis et maioris, intensio totius corporis est infinita. Quoniam data una denominatione, qua pars aliqua totum denominat, quaelibet sequens plus denominabit, et sunt infinitae, igitur propositum. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod partito aliquo corpore proportione sesquialtera et prima sit aliqualiter alba, et secunda in duplo plus, et tertia in duplo plus quam secunda, et quarta quam tertia et cetera, totum corpus est infinite album. ¶ Sequitur secundo, quod diviso corpore proportione sesquitertia et prima pars sit aliqualiter alba, et secunda in sesquialtero plus, et tertia in sesquialtero plus quam secunda et sic consequenter, totum corpus est infinite album. Patent correlaria ex conclusione.

Tertia conclusio: diviso aliquo corpore, qua volueris, proportione et in certa proportione qualibet pars praecedens sit intensior immediate sequenti, totius intensionis ad intensionem sive denominationem, qua totum denominabitur a qualitate primae partis proportionalis, est illa proportio, qua se habet totum divisum in proportione composita ex proportione partis proportionalis praecedentis ad immediate sequentem et intensionis praecedentis ad intensionem immediate sequentis ad primam eius partem proportionalem. Ut si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proportione dupla, et continuo intensionis partis praecedentis ad intensionem partis immediate sequentis sit proportio sesquialtera, et ex dupla et sexquialtera coniunctis consurgit tripla, si denominatio, qua prima pars denominat totum, sit ut 2, totum erit ut 3 intensum, quoniam totum divisum proportione tripla est sexquialterum ad primam partem proportionalem, ut patet ex primo correlario secundae conclusionis quinti capitis primae partis. Haec conclusio cum multis similibus facile probatur ex his, quae dicta sunt tertio capite secundi tractatus mutatis mutandis. ¶ Ex quo sequitur primo, quod diviso corpore per partes proportionales proportione dupla et prima pars proportionalis per sui medietatem habet unum gradum albedinis reliqua medietate privata albedine et nigredine, et secunda pars proportionalis habeat per sui quartam medium gradum albedinis reliqua nec alba existente neque nigra, et tertia pars proportionalis per sui octavam habeat unam quartam unius gradus albedinis et cetera et sic in infinitum, totius intensionis ad denominationem, qua totum denominatur a qualitate primae partis proportionalis, est proportio, qua se habet totum divisum proportione quadrupla ad primam sui partem proportionalem, quae est sesquitertia, et totum erit intensum ut una tertia.

¶ Sequitur secundo, quod diviso corpore per partes proportionales proportione quadrupla et per unam quartam primae partis proportionalis extendatur aliqua albedo residuo eiusdem primae partis nec alb[]o existente nec nigro, et per unam sextam secundae partis proportionalis extendatur albedo in quadruplo minor reliquis sextis non existentibus albis vel nigris, et per unam nonam tertiae partis proportionalis ponatur iterum albedo in quadruplo minor quam in sexta partis praecedentis residuo nec albo nec nigro, et per unam decimam octavam quartae partis proportionalis extendatur iterum albedo in quadruplo minor quam in nona partis immediate praecedentis et sic consequenter, ita quod continuo partes, per quas extenditur albedo, se habeant in proportione sextupla, tunc totius intensionis ad denominationem, qua totum denominatur ab qualitate existente in quarta primae partis proportionalis, est proportio sesquivicesima tertia, qualis est 24 ad 23. Patent haec correlaria ex conclusione iuvantibus his, quae dicta sunt in prima et secunda partibus huius operis. ¶ Infinita | talia correlaria poteris inferre.

Quarta conclusio: diviso corpore per partes proportionales aliqua proportione multiplici aut aliqua maiori superparticulari proportione, et in prima parte proportionali sit aliquantula albedo per totum, et in secunda in sesquialtero intensior, et in tertia in sesquitertio intensior quam in prima, et in quarta in sesquiquarto intensior quam in prima et sic consequenter procedendo per species proportionis superparticularis, totius corporis intensio censenda est incommensurabilis intensioni primae partis proportionalis et denominationi, qua ipsa qualitas existens in prima parte proportionali totum denominat, vel saltem – si incommensurabilis est – a nobis pro flatu isto finitam capacitatem habentibus nequaquam commensurari potest. Probatur, quia illae intensiones continuo se habent in alia et alia proportione, et non est possibile omnes tales proportiones mensurari ab intelectu finito, nec inter illas intensiones potest continuo eadem et eadem proportio inveniri, igitur in tali casu intensio totius corporis censenda est incommensurabilis intensioni primae partis proportionalis et cetera. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proportione dupla, et prima sit aliqualiter alba, et secunda in sesquitertio plus, et tertia in sesquiquinto plus quam prima, et quarta in sesquiseptimo plus quam prima et sic consequenter procedendo per species proportionis superparticularis denominatas a numeris imparibus, totius intensio censenda est irrationalis ad intensionem primae partis. Similiter si diviso corpore proportione quadrupla, et prima pars proportionalis sit aliqualiter alba, et secunda in supratripartiente quartas plus, et tertia in supratripartiente octavas intensior quam prima, et quarta in supratripartiente decimas sextas intensior quam prima et sic consequenter procedendo per species proportionis supratripartientis denominatas a numeris pariter paribus, totius intensio incommensurabilis est intensioni primae partis proportionalis. Et isto modo multa similia inferes prima et secunda partibus intellectis.

Quinta conclusio: diviso corpore per partes proportionales proportione irrationali et prima pars proportionalis sit aliqualiter calida, et secunda in duplo plus, et tertia in triplo quam prima et sic consequenter, ut ponitur in prima conclusione, totius intensio est incommensurabilis intensioni primae partis proportionalis. Probatur, quoniam tota intensio se habet ad intensionem primae partis proportionalis in ea proportione, [in] qua se habet totum divisum illa proportione irrationali ad primam eius partem proportionalem, ut patet ex prima conclusione, sed talis est irrationalis, igitur conclusio vera. ¶ Ex quo sequitur primo, quod diviso corpore per partes proportionales proportione irrationali diametri ad costam, quae est medietas duplae, et in prima parte proportionali ponatur aliqua albedo, et in secunda in sesquitertio maior, et in tertia in sequitertio maior quam in secunda et sic consequenter, totius intensionis ad denominationem, qua totum denominabitur ab albedine primae et secundae partis proportionalis, est illa proportio, [in] qua se habet totum divisum in proportione sesquioctava, qualis est 18 ad 16, ad primam sui partem proportionalem. Patet hoc correlarium ex modo probandi conclusionem, hoc addito, quod cum corpus dividitur proportione irrationali, quae est medietas duplae, partes impares et similiter pares continuo se habent in proportione dupla. Quod patet ex secundo correlario secundae conclusionis sexti capitis primae partis, et quod in casu correlarii intensiones partium parium et similiter imparium continuo se habent in proportione supraseptipartiente nonas, quod claret, cum intensionis partis paris ad intensionem imparis immediate praecedentis sit proportio sesquitertia ex casu. ¶ Sequitur 2., quod diviso corpore per partes proportionales proportione irrationali, quae est medietas triplae, et in prima parte proportionali ponatur aliqua albedo, et in secunda in duplo minor, et in tertia in

duplo minor quam in secunda et sic consequenter, totius intensionis ad intensionem sive denominationem, qua totum denominabitur ab albedine primae et secundae partis proportionalis, est illa proportio, [in] qua se habet totum divisum in proportione duodecupla ad primam [e]ius partem proportionalem. Patet hoc correlarium habito, quod dividendo corpus proportione irrationali, quae est medietas triplae, omnes partes pares et omnes impares immediate se habent in proportione tripla, quod patet ex 4. correlario secundae conclusionis sextis capitis secundae partis, et quod in casu correlarii continuo intensionis partis paris ad intentionem paris immediate sequentis est proportio quadrupla et similiter intensionis partis imparis ad intensionem imparis immediate sequentis. Quod patet intuenti casum. ¶ Inferas propria industria, quot volueris, correlaria.

Sexta conclusio: A nunc est solum finite intensum, et per rarefactionem finitam solum fiet subito infinite intensum. Probatur, sit A tale corpus, quale est illud, de quo fit mentio in casu primae conclusionis, cuius videlicet prima pars proportionalis est aequaliter intensa, secunda in duplo intensior, et 3. in triplo intensior quam prima et cetera, incipiatque A rarefieri isto modo, videlicet quod prima pars proportionalis acquirat uniformiter in hora quantitatem pedalem, et in quocumque tempore ipsa acquirit aliquam quantitatem, pars proportionalis duplae intensionis ad illam acquirat subduplam quantitatem ad acquisitam ipsi primae parti, et pars quadruplae intensionis ad primam acquirat in eodem tempore subquadruplam quantitatem ad acquisitam primae, et pars octuplae intensionis ad primam acquirat in eodem tempore suboctuplam quantitatem ad acquisitam primae et sic consequenter procedendo per partes proportionales continuo se habentes in proportione dupla quoad intensionem, ita quod quaelibet sequens in duplo minus acquirat continuo de quantitate quam immediate praecedens. Quo posito arguitur sic: immediate post instans initiativum talis rarefactionis illud corpus erit infinite intensum, et hoc per rarefactionem finitam solum, et in illo instanti est solum finite intensum. Igitur propositum. Consequentia patet, et arguitur maior, quia immediate post illud instans erunt ibi infinitae partes, quarum quaelibet denominabit tantum sicut prima illarum, ergo immediate post illud instans totum erit infinite intensum. Patet consequentia, et probatur antecedens, quam immediate post illud instans illud, quod acquisitum erit primae parti proportionali, aliquantulum denominabit, et illud, quod tunc acquisitum erit parti duplae intensionis ad primam tantum, quia est subduplae quantitatis et in duplo intensius, et similiter tantum denominabit illud, quod tunc acquisitum erit parti quadruplae intensionis ad primam, et sic consequenter. Igitur immediate post illud instans erunt ibi infinitae partes, quarum quaelibet denominabit totum tantum sicut prima illarum, quod erat probandum. Quam vero illa rarefactio sit finita, patet, quia in tempore finito finitam quantitatem adaequate A acquirit, puta bipedalem, ut patet. Nam acquirit infinita continuo se habentia in proportione dupla et primum illorum est pedale ex hypothesi. Et sic patet conclusio. ¶ Ex quo sequitur primo, quod aliquod corpus est nunc infinite album, et per solam condensationem finitam efficietur remisse album, hoc est sine deperditione aut acquisitione alicuius qualitatis. ¶ Sequitur secundo, quod aliquid est modo infinite album, et per solam rarefactionem finitam efficietur non album nulla qualitate acquisita aut deperdita. ¶ Sequitur tertio, quod aliquod corpus est non album, et per solam finitam condensationem efficietur infinite album non acquirendo aut deperdendo aliquam qualitatem. ¶ Sequitur 4., quod aliquod corpus est praecise album ut 4, et non est in eo aliqua impedimentis qualitatis aut contrariae admixtio, et illud non acquiret aliquam qualitatem nec deperdet nec secundum se nec secundum aliquid eius, nec rarefiet aut condensabitur, et tamen subito efficietur infinite album. |

¶ Sequitur 5., quod infinite album nec rarefiet nec condensabitur, nec aliquam qualitatem acquiret aut deperdet qualitatibus contrariis aut se impedientibus exclusis, et tamen efficietur finite album. Patent omnia ista correlaria ex expositione secundae conclusio[n]is calculatoris in capitulo de difformibus.

Septima conclusio: A est infinite intensum, et B solum finite intensum, et A continuo tantum deperdit praecise sicut B et per t[o]tum subiectum, et A remittetur ad non gradum, et non B. Probatur, sit A unum infinitum quantitative, cuius primum pedale habeat infinitas caliditates ut 4, et secundum infinitas in duplo minores, et tertium infinitas in quadruplo minores, et quartum infiuitas in octuplo minores et sic in infinitum, ita quod quodlibet pedale sequens sit infinite intensum habens infinitas caliditates, quarum quaelibet sit subdupla ad quamlibet infinitarum, pedalis immediate praecedentis B vero habeat duas per totum aequalis intensionis cum duabus primi pedalis ipsius A, puta duas ut 4, et insuper unam ut 4, ita quod sit uniforme ut 12, et in qualibet parte proportionali unius horae primum pedale ipsius A perdat unam illarum infinitarum qualitatum continuo per ordinem nullam omittendo, et in qualibet parte proportionali dempta prima secundum pedale ipsius A perdat unam illarum suarum infinitarum qualitatum per ordinem consequenter nullam omittendo, et in qualibet parte proportionali dempta prima et secunda secundum pedale ipsius A perdat unam suarum infinitarum qualitatum, et in qualibet sequente tertiam quartum pedale perdat unam suarum et sic consequenter, ita quod primum perdat per omnes, secundum per omnes excepta prima, tertium per omnes excepta 1. et 2. et sic in infinitum, ita quod in fine nihil maneat in ipso A nec in eius aliqua pedali. Et in prima parte proportionali primum pedale ipsius B perdat unam illarum qualitatum ut 4, quas habet, et in secunda, quando primum pedale ipsius A perdit unam qualitatem ut 4, et secundum perdit unam ut 2, secundum pedale ipsius B perdat unam ut 4, et primum eiusdem perdat unam ut 2, et in tertia parte proportionali, quando primum pedale ipsius A perdit 4 gradus, et secundum duos, et tertium unum, primum ipsius B perdat unum, et secundum 2, et tertium 4 et sic in infinitum, ita quod quacumque parte horae proportionali data in illa perdat primum pedale ipsius A unam suarum qualitatum correspondentem in numero tali parti proportionali, et in quacumque parte proportionali dempta prima secundum pedale perdat unam suarum correspondentem in numero parti proportionali immediate praecedenti et sic consequenter, et in eadem parte proportionali pedale ipsius B correspondens in numero tali parti proportionali deperdat tantam qualitatem sicut primum ipsius A, et pedale immediate praecedens in B perdat tantum sicut secundum pedale ipsius A, et sic consequenter.

Exemplum, ut data sexta parte proportionali horae, tunc primum pedale ipsius A deperdit sextam illarum suarum qualitatum ut 4, et secundum quintam, quae est ut 2, et tertium quartam, quae est ut unum, et quartum tertiam, quae est ut dimidium, et quintum secundam ut una quarta, et sextum primam ut una octava, et in eadem parte sextum ipsius B perdit 4 gradus, et quintum 2, et quartum unum, et tertium dimidium, et secundum unam quartam, et primum unam octavam. Quo posito patet, quod ipsum A in fine erit non intensum, et B per totum erit intensum ut 4, igitur conclusio vera. Probationem huius videas latius in expositione calculatoris, cuius haec conclusio est decima. ¶ Expedito primo articulo et secundo iam restat dubia movere.

Dubitatur primo, utrum cuiuslibet qualitatis difformis sive qualificati intensio correspondeat qualitati uniformi, ad cuius intensionem potest reduci.

Dubitatur secundo, utrum intensio mixti habentis qualitates contrarias coextensas per totum attenditur penes excessum qualitatis [e]xcedentis super excessam.

Dubitatur tertio, utrum dabilis sit qualitas nullius intensionis secundum se et quamlibet eius partem.

Ad primum dubium arguitur primo, quod non. Et signo unum pedale divisum per partes proportiouales proportione, quae est medietas triplae, et in prima parte proportionali eius sit albedo ut duo, et in secunda in duplo minus, et in 3 in duplo minus quam in 2., et in 4. in duplo minus quam in 3. et sic consequenter. Quo posito arguitur sic: illud pedale est difforme, et tamen eius albedo non correspondet albedi uniformi, ad quam possit reduci, igitur pars negativa dubit[ationis] vera. Probatur antecedens, quia totius intensionis illius albedinis ad intensionem albedinis primae partis est proportio irrationalis, ut facile ex dictis percipi potest. Igitur non videtur modus eam reducendi ad uniformitatem, quod, si negas, des illum. ¶ Et confirmatur: et signo unum pedale divisum per partes proportionales proportione dupla, et prima sit aliqualiter alba uniformiter, et 2. in sesquialtero plus quam prima, et 3. in sesquitertio plus quam prima, et 4. in sesquiquarto plusquam prima et sic consequenter procedendo per omnes species proportionis supraparticularis. Quo posito arguitur sic: illud corpus est difforme, et tamen non potest reduci ad uniformitatem, igitur non quodlibet difforme potest ad uniformitatem reduci, antecedens probatur, quia nullus est modus suae reductionis, quod si negas, des illum. ¶ Et confirmatur secundo: et signo unum infinitum, cuius primum pedale sit album ut 6, secundum ut 7, 3. ut 7 cum dimidio, 4. ut 7 cum tribus quartis et sic consequenter, ita quod primo pedali deficiat prima pars proportionalis 4 gradum proportione dupla ad hoc, ut sit ut 8, et 2. secunda, et 3. tertia, et 4. quarta et sic consequenter. Quo posito sic argumentor: illud corpus est difforme ut 8, et tamen eius qualitas non potest ad uniformitatem reduci, igitur pars negativa vera. Quod autem illud corpus sit album ut 8, probatur, quia addendo illi corpori unam qualitatem, cuius primum pedale est ut 2, secundum ut unum, tertium ut dimidium, 4. ut una quarta et sic consequenter, illud corpus manebit album ut 8 per totum, et nulla intensio additur ei, quia illa qualitas adddita nullius est intensionis, igitur iam antea illud corpus erat intensum ut 8. Quod autem non possit riduci ad uniformitatem, patet, quia non videtur modus debitus talis reductionis, quod si negas, des illum.

In oppositum arguitur sic: sit A difforme intesum C gradu. Et arguitur sic: qualitate ipsius A difformi reducta ad uniformitatem C gradus et extensa per totum A ipsum A manebit ita intensum sicut antea mediante eadem qualitate uniformiter, igitur cuiuslibet difformis intensio correspondet qualitati uniformi. Tota ratio est clara, hoc addito, quod quaelibet qualitas quant[a]cumque intensa aut remissa potest fieri cuiusvis intensionis aut remissionis, ut patet ex primo capite huius 4. tractatus in notabili, ubi agitur de potentia rei.

¶ Pro declaratione huius dubitationis notandum est et supponendum, quod qualitas existens in parte subiecti non admixta contrario in ea proportione minus denominat totum, quam denominaret, si esset per totum, in qua totum est maius illa parte. Haec supponitur, quia est huius positionis fundamentum, ut supra dictum est. Secundo supponendum est: in omni bona reductione difformis finiti ad uniformitatem in ea proportione, qua qualitas existens in parte ponitur per maius subiectum, in ea debet effici remissior, quam ipsa sit, et quam ipsa denominat partem subiecti, in qua ponitur, et si ponatur per minus, in ea proportione efficiatur intensior, in qua per minus subiectum ponitur. Patet, quia alias plus [...] denominaret quam antea, et per consequens reductio non valeret, | fundatur enim modus reducendae qualitatis difformis ad uniformitatem in hoc, quod tantum denominat qualitas uniformis sicut difformis sibi correspondes. His suppositis pono aliquas conclusiones.

Prima conclusio: ad reducendum aliquod difforme finitum ad uniformitatem dividenda est qualitas in aliquas partes quantitativas adaequate, et tunc consideranda est intensio, quam habet aliqua talis pars, et in qua proportione pars subiecti, in qua ponitur talis pars qualitatis, est minor suo toto. Et tunc in ea proportione, in qua pars, in qua ponitur, est minor suo toto, in ea talis pars qualitatis fiet remissior et uniformis, non quidem per deperditionem qualitatis, sed per continuationem partium secundum intensionem partibus secundum extensionem. Et sic remissa extendatur per totum subiectum, et sic fiat de qualibet alia parte qualitatis. Et in fine habebitur debita qualitatis reductio ad uniformitatem. Probatur, quia in fine tota illa qualitas manet uniformrs per totum, ut patet, et tantum denominat, quantum ante reductionem, cum quaelibet eius pars tantum denominet subiectum, quantum ante reductio omne, ergo in fine habebitur debita qualitatis reductio ad uniformitatem.

Secunda conclusio: ad reducendum difforme ad uniformitatem in casu primae conclusionis quaestionis huius oportet capere totum gradum, quo secunda pars proportionalis excedit primam, extensum per totum residuum a prima, et facere illum remissiorem in proportione divisionis et extendere per totum, deinde capere totum gradum, quo 3. pars proportionalis excedit 2., et facere illum remissiorem quam praecedens in proportione divisionis, ita quod quilibet sequens fiat remissior praecedente in proportione divisionis. De quibus autem sequentibus gradibus loquor. Declarat suppositio primae conclusionis huius quaestionis. Exemplum, ut diviso corpore proportione dupla, et prima pars sit aliqualiter alba, et 2. in duplo plus, et 3. in triplo ut in casu primae conclusionis quaestionis, et sit albedo primae partis ut unum, tunc capiam unum gradum extensum per totum residuum a prima, quo 2. pars excedit primam, et volo, quod fiat in duplo remissior, et extendatur per totum, et deinde capiatur unus gradus extensus per totum residuum a prima et a 2., et fiat in duplo remissior, quam fuerit factus praecedens et extendatur per totum. Et unus extensus per totum residuum a prima, 2. et .3, et fiat in duplo remissior, quam fuerit factus in mediate praecedens, et extendatur per totum uniformiter, et sic consequenter, et habebitur debita reductio, et sic exemplificabis in omnibus. Patet haec conclusio, quam in fine tota illa qualitas manebit uniformis, ut constat, et tantum denominabit sicut antea, cum quaelibet eius pars tantum denominat sicut antea, ut patet, igitur sic operando habetur debita reductio.

Tertia conclusio: ad reducendum difforme ad uniformitatem in casu 4. conclusionis quaestionis huius oportet facere qualitatem existentem in prima parte proportionali in ea proportione remissiorem, qua illa pars est minor suo toto, hoc est in illa proportione, [in] qua se habet totum divisum proportione, qua dividitur illud difforme ad suam primam partem proportionalem, et extendatur sic uniformiter per totum, et qualitas existens in secunda parte proportionali fiat etiam remissior, quam iam est in proportione [composita ex proportione], [in] qua se habet totum ad primam eius partem proportionalem et ex una proportione divisionis, et extendatur per totum. Et qualitas existens in 3. fiat remissior in proportione composita ex proportione, qua se habet totum ad primam eius partem proportionalem, et ex duabus proportionibus divisionis et sic consequenter, ita quod cuiuslibet partis proportionalis qualitas ponatur per totum uniformiter. Et in ea proportione fiat remissior. Huius conclusionis exemplum patet ex prima et secunda partibus huius libri, et probatio ex prima conclusione huius dubii.

Quarta conclusio: ubicumque denominatio alicuius difformis est incommensurabilis denominationi

primae partis proportionalis, qua totum denominat, ibi tota qualitas reducta ad uniformitatem est incommensurabilis intensioni primae partis proportionalis, postquam per totum extenditur. Probatur, quia semper totalis intensio difformis qualitatis, postquam reducitur ad uniformitatem, correspondet in gradu totali denominationi ipsius, et denominatio, qua prima pars proportionalis totum denominat, et qualitas eius iam remissa et extensa per totum similiter correspondent in gradu, ergo conclusio vera. Sed ad cognoscendam intensionem difformis infiniti quantitative pono aliquas conclusiones.

Quinta conclusio: cuiuslibet infiniti difformis, in quo non sunt qualitates se impedientes, intensio debet attendi penes maximum gradum uniformem per infinita eius pedalia extensum aut penes gradum, qui non extenditur per infinita eius pedalia, sed quilibet, quem ille gradus excedit, extenditur per infinita eius pedalia uniformiter. Non dico „aut penes minimum gradum, qui non extenditur per infinita eius pedalia“ propter gradum infinitum, qui non est parvus. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod corpus infinitum, cuius primum pedale est ut 4, et 2. ut 5, et 3. ut quinque cum dimidio, et 4. ut 5 cum duabus primis partibus proportionabilibus unius, et 5. ut quinque cum 3 primis partibus proportionabilibus unius – intelligo proportione dupla – et 6. ut quinque cum 4 primis partibus proportionalibus unius et sic consequenter, est intensum ut 6. Probatur, quia ille ut 6 est gradus, qui non extenditur per infinita eius pedalia, sed quilibet, quem sex excedunt, extenditur uniformiter per infinita eius pedalia, ut constat, igitur ex 5 conclusione tale corpus infinitum est ut 6. ¶ Sequitur secundo, quod corpus infinitum, cuius primum pedale est ut 6, et 2. ut 5, et 3. ut 5 cum dimidio, et 4. ut 5 cum una quarta, et 6. ut 5 cum vua octava, et 7. ut 5 cum una decimasexta et sic consequenter, est intensum ut 5. Probatur, quia gradus quintus maximus gradus uniformis, qui extenditur per infinita eius pedalia, ut patet. Igitur ex conclusione illud infinitum est intensum ut 5. ¶ Sequitur 3., quod corpus infinitum, cuius primum pedale est ut unum, et 2. ut duo, et 3. ut tria, et 4. et quatuor et sic in infinitum ascendendo per omnes numeros, est infinite intensum, semper excludo contrarias qualitates. Probatur, quia infinitus gradus non extenditur per infinita eius pedalia, et quilibet, quem gradus infinitus excedit, extenditur per infinita eius pedalia, ut constat, ergo ex 5. conclusione illud corpus est infinite intensum. ¶ Sequitur 4., quod infitum, cuius primum pedale vel quaevis pars finita est infinite alba et totum residuum est ut 4, est album ut 4. Probatur, quia gradus ut quatuor est maximus extensus per infinita eius pedalia. Igitur. Et hoc correlarium est de mente calculatoris in 2. capitulo. Nam secundum eum qualitas infinita extensa per partem finitam praecise alicuius corporis infiniti non confert aliquid ad denominationem corporis infiniti.

Sexta conclusio: quamquam infiniti difformis intensio non sit penes reductionem ad uniformitatem attendenda et cognoscenda, sed modo dicto in 5. conclusione nihilominus potest ad uniformitatem suae denominationis reduci. Prima pars probatur, quia tota reductio ad uniformitatem fundatur in hoc, quod tantum potest qualitas extensa per partem denominare totum sicut extensa sub minori intensione per totum. Sed hoc non habet locum in corpore infinito, ut patet ex 4. correlario 5. conclusionis, igitur non debet commensurari intensio infiniti difformis penes reductionem ad uniformitatem. ¶ Secunda pars probatur, quia quaelibet qualitas potest ad quamcumque intensionem reduci, ut patet ex praemo capitulo huius tractatus, ubi agitur de potentia rei. Igitur. Conclusio responsiva ad dubium patet ex dictis conclusionibus. ¶ Ad rationem ante oppositum respondent conclusiones et correlaria.

Ad secundum dubium arguitur pars negativa, quia, si pars affirmativa esset vera, sequeretur, quod pedale habens per totum caliditatem [u]t 6 et frigiditatem ut 8 esset frigidum [u]t 2, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, quia 8 excedunt 6 per 2. Et falsitas consequentis probatur, quia | illud est frigidum ut 8. Igitur. Antecedens probatur, quia aliqui 2 gradus frigiditatis denominant illud pedale frigidum ut 2, ut constat, et non est maior ratio de aliquibus quam de quibuscumque aliis 2, igitur quilibet duo denominant ut 2, et per consequens omnes 8 collective denominant ut 8. Maior est no[ta], et minor probatur, quia non est maior ratio, quod impediantur septimus et octavus quam primus et secunds, secund[u]s et tertius et cetera. ¶ Dices et bene concedendo, quod infertur, et negando falsitatem consequentis, et [...] cum probatur, negatur antecedens, et cum probatur, nego maiorem. Dico enim, quod nulli 2. gradus denominant illud pedale frigidum ut 2, sed omnes 8 collective. Nam quamvis 6 gradus impediantur a qualitate contraria, non tamen totaliter, sed quaelibet dualitas illius frigiditatis aliqui modo denominat, puta ut una medietas, et qu[i]libet gradus ut una quarta, ubi sine contrarii permixtione denominaret ut unum.

Sed contra, quia, si hoc esset verum, sequeretur aliquam frigiditatem extensam per aliquod corpus continuo remitti et corpus continuo esse frigidus, sed consequens videtur impossibile, igitur illud, ex quo seq[i]itur. Sequela probatur: et pono, quod successive per unam horam remittatur frigiditas, et caliditas illius pedalis, ita tamen quod, quando frigiditas perdit aliquem gradum, caliditas perdat duplum ad illum. Quo posito illud pedale per illam horam erit frigidius et frigidius, et tamen continuo frigiditas eius per totum remittitur, igitur propositum. Consequentia patet cum minore, et arguitur maior, quia continuo excessus frigiditatis supra caliditatem erit maior. Nam quando remittetur unus gradus frigiditatis, remittentur duo caliditatis, et sic quando frigiditas erit ut 7, caliditas erit ut 4, igitur frigiditas excedit tunc caliditatem per 3 gradus, et antea praecise excedebat per duos. Item quando frigiditas perdiderit duos gradus, caliditas perdidit 4 ex casu, igitur cum frigiditas erit ut 6, caliditas erit ut 2, et sic excessus erit 4 gradus, igitur continuo excessus augetur. Quod fuit probandum. ¶ Dices et bene concedendo, quod infertur, tanquam correlarium sequens.

Sed contra, quia per idem sequeretur, quod A et B pedalia sunt modo aequaliter frigida, et continuo per horam futuram A erit frigidius B, et tamen frigiditas ipsius A continuo per horam remittetur, frigiditas vero ipsius B continuo intendetur per horam, sed hoc est impossibile, igitur. Probatur tamen sequela: et volo, quod A et B pedalia habeant per totum caliditatem ut 6 et frigiditatem ut 8, et A uniformiter in ista hora perdat duos gradus frigiditatis et 4 caliditatis, B vero uniformiter in eadem hora acquirat duos frigiditatis et 4 caliditatis. Quo posito A et B pedalia sunt aequaliter frigida, et continuo per horam futuram A erit frigidus B, et continuo per eandem horam remittetur frigiditas ipsius A, et intenditur frigiditas ipsius B, igitur propositum. Consequentia patet cum maiore, et arguitur minor, quia A continuo intendetur in frigiditate, et B continuo remittetur, ut patet intuenti, et in principio sunt aeque frigida, igitur continuo A erit frigidus B. Quod fuit probandum. ¶ Item sequeretur, quod in aliquo frigido continuo intenderetur frigiditas, et tamen ipsum in infinitum remitteretur, quod est impossibile. Sequela probatur: et volo, quod A habens frigiditatem ut 6 et caliditatem ut 4, uniformiter in ista hora acquirat duos gradus frigiditatis et 4 caliditatis. Quo posito in infinitum remittetur ipsum A, cum in infinitum parvus erit excessus frigiditatis supra caliditatem. Igitur. ¶ Et confirmatur, quia tunc sequeretur, quod aliquod corpus calidum efficeretur nec calidum nec frigidum sine deperditione aut acquisitione caliditatis aut frigiditatis, quod implicat. Sequela probatur: et sit A corpus divisum per partes proportionales proportione dupla, et in prima eius parte proportionali sit caliditas ut 2 et frigiditas ut unum, et in secunda parte proportionali sit caliditas et frigiditas in duplo maior quam in prima, et in tertia sit caliditas et frigiditas in triplo maior quam in prima et sic consequenter. Quo posito manifestum est expositione et prima conclusione quaestionis, quod A corpus est calidum ut duo, cum tota sua caliditas

sit ut 4, et tota frigiditas ut 2, quae sunt in secunda parte proportionali A corporis. Volo igitur, quod prima pars proportionalis A corporis acquirat in hora aliquam quantitatem per rarefactionem acquirendo, et pars habens duplam caliditatem ad caliditatem primae partis in eadem hora acquirat subdupla quantitatem, et pars habens quadruplam caliditatem ad caliditatem primae partis in eadem hora acquirat subquadruplam quantitatem et cetera. Quo posito arguitur sic: A in fine rarefactionis nec est calidum nec frigidum, et antea erat calidum, et nullam caliditatem aut frigiditatem deperdidit aut acquisivit et cetera. Igitur propositum. Quod in fine nec est calidum nec frigidum, probatur, quia in fine habet caliditatem sufficientem ipsum denominare infinite calidum et frigiditatem suffi[ci]entem ipsum denominare infinite frigidum, puta illam, quam habet in quantitate acquisita per rarefactionem. Igitur caliditas et frigiditas totaliter et adaequate se impediunt, et per consequens illud nec est calidum nec frigidum. Quod fuit probandum. Quod autem caliditas existens in quantitate acquisita per rarefactionem et similiter frigiditas existens in eadem quantitatem sufficiat denominare A infinite satis, patet ex his, quae dicta sunt circa sextam conclusionem quaestionis.

Secundo ad idem arguitur sic: si pars affirmativa dubii esset vera, sequeretur alicuius corporis certa divisione quamlibet partem proportionalem proportione dupla esse calidam, et tamen totum non esse calidum, consequens videtur impossibile, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur: et sit A divisum per partes proportionales proportione dupla, et in prima parte sit caliditas ut 2 et frigiditas ut unum, et in secunda parte sit in duplo maior caliditas et similiter frigiditas quam in prima, et in tertia in duplo maior caliditas et frigiditas quam in secunda et sic deinceps, ita quod in qualibet parte proportionali caliditas sit dupla ad frigiditatem. Quo posito manifestum est quamlibet partem proportionalem secundum illam divisionem esse calidam. Sed quod totum non sit calidum, probatur, quia caliditas impedit totaliter frigiditatem et eocontra. Igitur neutra illarum denominat. Antecedens probatur, quia utraque illarum sufficit denominare infinite, ut satis patet ex secunda conclusione quaestionis, igitur se totaliter impediunt. ¶ Item sequeretur alicuius corporis certa divisione quamlibet partem proportionalem proportione dupla esse infinite calidam, et tamen totum non esse calidum, quod implicat. Sequela probatur retento casu superiori, hoc addito, quod per totum A sit caliditas uniformis infinitae intensionis. Sed quod hoc sit falsum, probatur, quia bene sequitur secundum hanc divisionem: quaelibet pars proportionalis eius est calida, igitur secundum hanc divisionem omnes sunt calidae, et omnes sunt ipsum totum, igitur totum est calidum. Quod est negatum. ¶ Et confirmatur, quia, si intensio mixti habentis qualitates contrarias coextensas per totum attenditur penes excessum qualitatis excedentis supra excessam, sequitur, quod intensio mixti habentis qualitates contrarias non coextensas, sed extensas in diversis partibus subiecti itidem attenditur penes excessum qualitatis excedentis supra excessam, sed hoc est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela videtur nota, sed falsitas consequentis probatur, quia tunc sequeretur, quod frigiditas nullo pacto impediret caliditatem, quod est contra fundamentum opinionis. Sequela probatur: et pono, quod sit A pedale, in cuius una medietate si[t] caliditas ut 8, et in alia frigiditas ut 4, et B, in cuius una medietate sit caliditas ut 8, et alia nec habeat caliditatem nec frigiditatem. Quo posito A per te est calidum ut 4, cum 8 excedant 4 per 4, et B similt[e]r est calidum ut 4, igitur frigiditas in A nullo pacto impedit caliditatem, cum omnino habeant eandem caliditatem per eandem partem.

In oppositum tamen argitur sic, quia intensio mixti habentis qualitates contrarias coextensas per totum non attenditur penes intensionem qualitatis intensioris, cum tunc contrariae qualitates nullo modo se impedirent in denominationibus suis nec penes proportionem qualitatis excedentis ad qualitatem excess[a]m, igitur debet attendi penes excessum qualitatis excedentis | supra excessum, cum non sit alius modus, quo talis intensio posset mensurari. Consequentia patet cum maiore, et probatur minor, quia alias sequeretur albedinem ut 4 denominare infinite. Sequela probatur, et sit in A pedali albedo ut 4 per totum coextensa nigredini ut 2, et remittatur uniformiter nigredo usque ad non gradum in hora stante albedine. Quo posito arguitur sic: in infinitum augebitur proportio albedinis supra nigredinem, igitur per te in infinitum intendetur denominatio albedinis, et per consequens in infinitum denominabit illa albedo. Quod fuit probandum.

Pro solutione huius dubii notandum est, quod qualitates contrariae existentes in eodem subiecto se impediunt in suis denominationibus. Non enim aeque album et corpus, in quo sunt per totum 6 gradus albedinis cum 2 gradibus nigredinis, sicut corpus, in quo sunt 6 gradus albedinis sine admixtione contrariae qualitatis. Et non solum qualitates contrariae se impediunt, quando coextenduntur, verum etiam quando in diversis partibus subiecti ponuntur. Non enim tantum denominat albedo ut 4 existens in una medietate corporis, in cuius alia medietate est unus gradus nigredinis, quantum denominaret, si in subiecto non esset aliqua nigredo. Hoc supposito advertendum est, quod quadruplex est opinio, penes quod debeat attendi intesio mixti habentis contrarias qualitates coextensas, quas recitat calculator in capitulo de intensio[ne] mixtorum. ¶ Prima est, quod intensio mixti debet attendi penes proportionem qualitatis excedentis ad qualitatem excessam. Secunda dicit, quod debet attendi penes qualitatem excedentem. Tertia dicit, quod penes medietatem excessus qualitatis excedentis. Quarta dicit, quod penes excessum. Sed pro impugnatione 3 primarum opinionum pono tres proportiones. ¶ Prima propositio: intensio mixti non attenditur penes proportionem qualitatis excedentis ad excessam. Probatur, quia tunc sequeretur, quod albedo ut duo infinite posset denominare subiectum album ipsa continuo manente ut duo, sed hoc est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur: et pono, quod in A pedali sit albedo ut duo, et nigredo ut unum coextens[a], et remittatur nigredo usque ad non gradum, ipsa albedine continuo manente ut duo. Quo posita manifestum est, quod infinita erit proportio albedinis ut duo ad nigredinem, igitur infinite illa albedo subiectum suum denominabit. ¶ Secunda propositio: intensio mixti non attenditur penes qualitatem excedentem. Probatur, quia tunc sequeretur, quod una qualitas contraria non impediret alteram in sua denominatione. Quod est contra notatum, patet sequela, quia albedo ut 6 secundum istam positionem ad mixta nigredini ut 2 denominat ut 6, et tantum denominaret non admixta contrario. Igitur. ¶ Tertia propositio: intensio mixti non attenditur penes medietatem excessus qualitatis excedentis. Probatur, quia tunc sequeretur, quod albedo ut duo impediret totaliter 4 gradus nigredinis secum extensae, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis probatur: et pono, quod 6 gradus nigredinis coextendantur duobus albedinis. Tunc secundum istam positionem illa nigredo denominat ut 2, quia gradus ut duo est medietas excessus, quo 6 excedunt 2, igitur 4 gradus illius nigredinis ut 6 impediuntur ab illis 2 gradibus albedinis, et sic albedo ut 2 impedit totaliter 4 gradus nigredinis. Quod fuit probandum. His praemissis.

Sit prima conclusio: intensio mixti, in quo sunt qualitates contrariae sive coextensae sive non, mensuranda est penes excessum denominationis, qua una illarum qualitatum admixta contrario nata est magis denominare subiectum quam alia ceteris paribus. Exemplum, ut coextensa albedini ut 6 nigredine ut 2 per totum subiectum, quoniam albedo ut 6 toti coextensa subiecto valet sine contrarii admixtione denominare ut 6, et nigredo ut duo coextensa etiam per totum subiectum deducto impedimento denominaret ut 2. Et 6 excedunt duo per 4, consequens est illud subiectum esse album ut 4. Similiter accommoda exemplum contrariis qualitatibus non coextensis, semper ad denominationes et non ad qualitatum intensiones aspiciendo. Probatur, quia totum residuum denominationis

ab [e]xcessu a contraria denominatione sibi aequali impeditur, igitur ille excessus immunis ab impedimento manens illud subiectum denominat. Et per consequens penes illum excessum denominationis est mixti intensio metienda, quod fuit probaudum.

Secunda conclusio: aliquod est calidum infinite intensum, et una medietas est uniformis sub certo gradu, et alia nec calida nec frigida. Probatur, sit F unum quadratum divisum in 4 quadrata aequalia A, B, C, D, ut patet in figura, et sit quadratum B infinite calidum, et A frigidum ut 4, et C et D uniformiter calida ut 4. Quo posito arguitur sic: F est infinite calidum, cum una quarta eius sit infinite calida, et nulla sit in corpore F frigiditas infinita, et una eius medietas est uniformiter calida certo gradu, puta ut 4, et alia nec calida nec frigida, igitur conclusio vera. Consequentia patet cum maiore, et minor probatur, quia medietas composita ex C et D est uniformiter calida ut 4, ut patet ex casu. Igitur. Sed quod alia medietas sit nec calida nec frigida, probatur, quia medietas composita ex A et C nec est calida nec frigida, quia una medietas eius, puta A, est frigida ut 4, et alia, puta C, calida et 4. Ergo medietas AC nec est calida nec frigida. Quod fuit probandum. Et sic patet conclusio. ¶ Ex quo sequitur, quod A et B sunt inaeque intensa, ita quam A est infinite intensum, et B infinite remissum, et quaelibet pars finita ipsius A est aeque intensa cum parte correspondente ipsius B. Probatur, sit B infinitum, in cuius primo pedali sint duo gradus caliditatis et unus frigiditatis, et in secundo pedali in duplo plus de caliditate et frigiditate quam in primo, et in tertio in duplo plus de caliditate et frigiditate quam in secundo et sic deinceps, sed A sit infinitum, in cuius primo pedali sit unus gradus caliditatis per totum, in secundo duo, in tertio 4, et sic consequenter sine admixtione contrarii, tunc A est infinite intensum, ut patet ex praecedenti dubio, et B infinite remissum, cum in eo caliditas et frigiditas infinite se adaequate impediant, et quaelibet pars finita ipsius A est aeque intensa cum parte correspondente ipsius B, ut patet diligenter intuenti, igitur correlarium verum.

Tertia conclusio: A nunc est calidum, quod non intendetur nec remittetur. Et tamen in fine manebit non calidum, hanc conclusionem negat calcu[lator] in capitulo de mixtorum intensione. Hanc conclusionem negat calculator in capitulo de mixtorum intensione. Quam tamen probo sic. Sit A divisum per partes proportionales proportione dupla, et in prima sit aliqua albedo, et in secunda in duplo intensior, et in 3 in quadruplo intensior, et in 4 in octuplo intensior, et sic in infinitum procedendo per numeros pariter pares. Et deinde inducatur in quamlibet partem subdupla frigiditas successive in hora incipipiendo a prima. Tunc ex praedictis patet conclusio hoc addito, quod intendi et remitti dicunt motum, et successionem. ¶ Ex hac sequitur, quod A nunc est non calidum et non intendetur nec remittetur, et tamen in fine manebit infinite calidum. Patet in casu conclusionis posito, quod in hora sequenti remittatur successive frigiditas ad non gradum eo ordine, quo ante inducebatur. Quo posito patet correlarium pro fine temporis.

Quarta conclusio: A non est calidum. Et tamen eius secundum certam divisionem quaelibet pars est infinite calida. Sit A corpus finitum divisum in duas medietates secundum latitudinem, et sit una illarum medietatum infinite calida per totum uniformiter si[n]e contrarii coextensione. Et alterius medietatis prima pars sit aliqualiter frigida, et 2. in duplo plus, et 3. in quadruplo, et 4. in octuplo et sic in infinitum procedendo versus extremum ipsius A. Et deinde dividatur totum A ex transverso per partes proportionales quavis proportione. Et patet conclusio.

Quinta conclusio: diviso A per partes proportionales | proportione dupla, et in prima pari ponantur 4 gradus albedinis, et in 2. pari 8, et in 3. pari 16 et sic consequenter ascendendo per numeros pariter pares. Et in prima impari ponantur 4 nigredinis, et in 2. 8, et in 3. 16 et sic consequenter, ut fit in paribus, totum A est nigrum ut duo. Patet, quia tota denominatio nata provenire ab illa albedine non permixta contrario est ut duo. Et tota denominatio nata prove[n]ire ab illa nigredine est ut 4 ceteris paribus, remoto impedimento. Ergo ex prima conclusione totum A est nigrum ut duo. Antecedens patet calculanti facile ex praedictis. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod si in casu eius prima pars par rarefiat acquirendo aliquam quantitatem, et 2. par subduplam, et 3. par subquadruplam et sic consequenter, ita quod quaelibet sequens acquirat in duplo minorem quantitatem quam praecedes. Tunc in fine illud manebit infinite album. Patet ex modo probandae 6. conclusionis quaestionis. Et isto modo poteris infinita talia inferre, quae omnia ex praedictis facilem sortiuntur probationem. Et sic patet responsio ad dubium. ¶ Ad rationes dubii: ad primam responsum est ibi usque ad replicam, ad quam respondeo concedendo, quod infertur. ¶ Et similiter ad confirmationem respondeo concedendo illatum, nec illud est inconveniens. ¶ Ad secundam rationem respondeo concedendo illatum, et nego illud esse inconveniens. ¶ Ad confirmationem nego sequelam, nec est simile, immo dico, quod i[n]tensio talis mixti debet attendi penes excessum unius denominationis super alteram, ut patet ex prima conclusione huius dubii.

Ad tertium dubium arguitur, quod non sit dabilis qualitas nullius intensionis et cetera. Quia tunc sequeretur illam non esse qualitatem. Sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia omnis qualitas est intensa, cum illud sit ei proprium. ¶ Et confirmatur, quia tum sequeretur illam esse qualitatem non intensibilem. Sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia illa qualitas esset intensibilis, cum quaelibet eius pars sit non intensa, tunc ex non intensis componeretur intensum, quod est manifeste falsum. ¶ In oppositum arguitur, quia potest dari quantitas nullius extensionis, igitur potest dari qualitas nullius intensionis. Patet consequentia a simili, et antecedens communiter conceditur de benedicto corpore Christi in sacramento altaris. Item hoc non implicat. Igitur. ¶ Pro solutione huius dubitationis pono aliquas couclusiones.

Prima conclusio: non est possibile naturaliter dare qualitatem nullius intensionis. Hanc passim omnes admittunt. Et ei experientia suffragatur. Quod autem ab omnibus dicitur, praestat fidem de veritate ex libro de somno et vigilia (ab omnibus), quia, quod parum deest pro nihilo, reputatur ex 2. physicorum. Hac suasione haec conclusio suam summat apparentiam.

Secunda conclusio: possibile est simpliciter dare qualitatem nullius intensionis. Probatur: et signo unam qualitatem infinitam extensive, divisam per partes proportionales proportione quadrupla ascendendo. Et prima eius pars, puta primum pedale sit intensum ut unum, et secunda, puta 4 sequentia pedalia ut dimidium, et 3., puta 16 pedalia ut una quarta, et 4., puta 64 ut una octava et sic consequenter subduplando intensionem. Quo posito manifestum est illam qualitatem nullius esse intensionis, quia nullus gradus certae intensionis est per infinita eius pedalia extensus, igitur ex 5. conclusione praecedentis dubii illa non est alicuius intensionis. ¶ Ex hac conclusione seq[u]itur, quod A est non intensum et proportionabiliter, sicut sua qualitas partialis extendetur per minores partes, ita proportionabiliter fiet intensior, et in fine erit infinite intensum. Probatur posito, quod A sit corpus, de quo fit mentio in casu conclusions immediate praecedentis. Et cuiuslibet illarum partium se habentium in proportione quadrupla totalis qualitas ponatur in primo eius pedali, et proportionabiliter, sicut ponitur in minori parte, proportionabiliter fiat intensior. Quo posito A in fine manebit infinite intensum, et modo est non intensum, et proportionabiliter sicut sua qualitas partialis et cetera, igitur correlarium verum. Sed probatur,

quod in fine manebit infinite intensum, quia primum eius pedale erit intensum ut unum, et 2. ut duo, quia habebit 4 medietates unius gradus, quae antea erant extensae per 4 pedalia. Et 3. eius pedale erit ut 4, quia habebit 16 quartas gradus, quae ante extendebantur per 16 pedalia, modo 16 quartae sunt 4 gradus. Et 4 pedale habebit 8 gradus, quia habebit 64 octavas, quae faciunt 8 gradus. Nam ille ante extendebatur per 64 pedalia. Et sic consequenter semper invenies quodlibet sequens pedale in duplo intensius praecedente. Igitur ex 3. correlario 5. conclusionis primi dubii huius capitis A est infinite intensum iun[c]to loco a maiori. Et haec est 11. Calculalatoris in secundo capitulo. Videas eam amplius in expositione eius.

Tertia conclusio: corpus infinite longum, cuius primum pedale est pedaliter longum latum et profundum et aliqualiter album, et 2. pedale aequaliter longum et in duplo minoris magnitudinis et etiam in duplo minus album, et 3. in duplo minoris magnitudinis quam 2. et etiam in duplo minus album et sic consequenter, ita quod quodlibet sequens sit in duplo minus album et minoris magnitudinis quam immediate praecedens, tota illa albedo denominat illud corpus in sesquitertio [minus album], quam ipsum denominet albedo primi pedalis eius, ita quod si primum pedale est ut 4, totum est intensum ut 2 cum duabus tertiis. Probatur, quia totum illud corpus est bipedale, cum componatur ex infinitis continuo se habentibus in proportio[n]e dupla ex casu, et primum illorum est pedale. Et primum pedale illius est album ut 4, ut suppono gratia argumenti, igitur tota illa albedo primi pedalis denominat illud corpus infinite longum ut duo album, et albedo existens in 2 pedali denominat in quadruplo minus, quia est in subdupla parte et est subduplae intensionis. Et eadem ratione quaelibet sequens albedo alicuius pedalis denominat in quadruplo minus albedine pedalis immediate praecedentis. Igitur ibi sunt infinitae denominationes continuo se habentes in proportione quadrupla descendendo, et prima est ut duo, igitur aggregatum ex omnibus simul est ut duo cum duabus tertiis. Patet haec consequentia ex prima parte, quando quidem totum divisum proportione quadrupla se habet ad primam sui partem in proportione sexquitetia. Et ex consequenti sequitur, quod tota illa albedo denominat illud corpus in sexquitertio [minus album], quam ipsum denominet albedo primi pedalis eius, cum duorum cum duabus tertiis ad duo sit proportio sexquitertia et cetera. ¶ Ex quo sequitur lineam girativam girantem omnes partes proportionales unius columnae uniformiter difformiter albae a non gradu usque ad 8 esse alicuius [int]ensionis et non i[n]finitae remissionis. Probatur, quia talis linea est finitum corpus, cuius primum girum est certae intensionis, et est minus suo toto in certa proportione, igitur et cetera.

Quarta conclusio: est possibile supernaturaliter dare qualitatem, cuius nulla pars sit alicuius intensionis. Probat[u]r: sit unum pedale albedinis uniforme ut 4 et in prima parte proportionali horae fu[t]urae dividatur in duas medietates sec[u]ndum intensionem, et ponantur illae medietates unitive secundum extensionem, et condensetur totum, quoad efficiatur pedalis magnitudinis adaequate, et manifestum est, quod manebit tota albedo intensa ut 2 praecise. Deinde in secunda parte proportionali dividatur rursus illa albedo in duas medietates intensivas, et uniantur secundum extensionem, et iterum condensetur totum ad quantitatem pedalem. Et sic fiat in qualibet parte proportionali sequente, ita quod in qualibet sequente fiat subduplae intensionis ad intensionem, quam | habebat in parte immediate praecedente, et maneat in fine horae non restituta alicui pristinae intensio[n]i aut maiori. Quo posito albedo illa in instanti terminativo horae non est alicuius intensionis nec aliqua eius pars, ut patet intelligenti casum, igitur conclusio vera. Nec valet non amittre casum, quia ille casus non plus repugnat quam casus, qui ponitur, quod tam forma lapidis quam materia reducantur ad non quantum. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod possibile est qualitatem mentalem non quantam, quae videlicet non est quanta, effici quantam et extensam. Probatur, quia ad illud nullum sequitur inconveniens, igitur illud est possibile. Antecedens probatur, quia nullum aliud videtur sequi inconveniens, nisi quod illa qualitas, si reducentur ad mentem, postquam erat extensa, esset infinitae intensionis, cum haberet infinitas partes aequales non conicantes in eodem situ penetrative, quia prima pars proportionalis illius, quando ipsa erat extensa, erat aliquantae intensionis, et quaelibet pars sequens, cum esset extensa, erat tantae intensionis, et sunt in mente omnes simul penetrative et unitive, igitur illa qualitas est infinitae intensionis. Sed illud inconveniens non sequitur, quia illa qualitas, cum extenditur, non est intensa nec aliqua eius pars.

¶ Sequitur secundo, quod qualitas mentalis ut 4, id est, intensionis ut 4 non potest esse maioris aut minoris. Probatur, quia alias, cum effecitur, non intensa, et deinde reducitur ad mentem, posset effici infinitae intensionis. Quod est falsum, quia alias quaelibet qualitas mentalis posset effici cuiuscumque intensionis et etiam remissionis. Quod est falsum. Et si illud velis concedere, tunc ego concedo tibi, quod potest qualitas mentalis extendi intensive in lapide. ¶ Sequitur tertio, quod albedo 4 graduum potest reduci ad punctum semper manens praecise intensa ut 4. Probatur posito, quod deus ponat albdinem ut 4 penetrative in puncto, et quod non uniantur partes alio modo, quam ante uniebantur, sicut superius dictum est in corpore domini nostri in sacramento altaris. Quo posito iam patet correlarium. Non enim sufficit ad maiorem intensionem penetratio plurimum gradum. Sed cum hoc requiritur, quod uniantur illi gradus secundum penetrationem. ¶ Sequitur 4, quod non est propri[]um qualitati intensio aut remissio, sed proprium est illi, quod intensibilis sit et remissibilis. Prima pars patet ex 3. conclusione huius dubii. Et 2. communiter omnes de[m]pto Burleo admittunt. ¶ Sequitur 5, quod quamvis ex his, quae non sunt intensa, potest fieri qualitas intensa adaequate. Tamen nunquam ex non intensis adaequate componitur qua[l]itas intensa. Probatur hoc ex dictis et a simili, quoniam quemadmodum ex his, quae non sunt extensa, potest effici extensum, ut patet reducendo asinum ad non quantum per dei potentiam, et deinde restituendo eum pristinae quantitati. Tamen numquam potest adaequate componi extensum ex non extensis, igitur asimili dicendum est de qualitate suasum est, igitur correlarium. Et per hoc patet responsio ad dubium. Et ad rationes ante oppositum.

Conclusio responsiva patet ex dictis in conclusionibus quaestionis et in primo dubio.

Ad rationes ante opposit[u]m quaestionis. ¶ Ad primam patet responsio ex primo notabili quaestionis.

Ad 2 rationem sufficienter respondet 2. notabile quaestionis.

Ad tertiam rationem respondet tertium notabile.

Ad quartam rationem respondet primum dubium huius quaestionis.

Ad quintam rationem respondent conclusiones quaestionis. Et signanter secunda et tertia et haec de quaestione.