6. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

Sextum capitulum, in quo ponuntur aliquae obiectiones contra aliquas conclusiones superioris capitis

Contra quintam conclusionem arguitur sic: per intensionem et crementum alicuius resistentiae respectu duarum potentiarum inaequalium minor potentia velocius | remittit motum suum quam maior. Igitur sexta conclusio falsa. Arguitur antecedens, et pono, quod sit A potentia ut 8, et B potentia ut 4, et C resistentia ut 2, et D resistentia ut unum, et agat utraque illarum potentiarum cum utraque illarum resistentiarum, et crescat C resistentia ut 2 uniformiter, quo ad usque sit ut 4, et D resistentia itidem uniformiter crescat, quo ad usque sit ut 4, crescat tamen resistentia ut 2 in duplo velocius quam resistentia ut unum, ita quod quando resistentia ut unum acquisiverit unum gradum resistentiae, resistentia ut duo acquirat duos. Quo posito sic argumentor: B potentia ut 4 velocius remittit motum suum cum C resistentia ut 2, quam A potentia ut 8 cum eadem resistentia ut duo. Igitur assumptum verum.

Probatur antecedens, quoniam aeque velociter potentia A ut 8 remittet motum suum cum resistentia C ut 2 sicut potentia B ut 4 cum resistentia D ut unum, quoniam proportiones erunt aequales, et aeque velociter proportionabiliter deperduntur. Igitur semper manebunt aequales ad invicem, sed B potentia ut 4 velocius remittet motum suum cum C resistentia ut 2 quam cum D resistentia ut unum, ergo B potentia ut 4 velocius remittet cum C motum suum quam A potentia ut 8 cum eodem C. Quod fuit probandum. Consequentia patet cum maiore, et minor probatur, quoniam velocius deperditur proportio B ad C quam proportio B ad D, ergo velocius remittitur motus proveniens a proportione B ad C quam motus proveniens a proportione B ad D. Consequentia est nota, et arguitur antecedens, quoniam proportio B potentiae ut 4 ad C resistentiam ut 2 est in duplo minor proportione B potentiae ut 4 ad D resistentiam ut unum, quoniam una dupla et alia quadrupla, et plusquam in duplo citius remittetur proportio B ad C quam proportio B ad D, igitur velocius remittetur proportio B ad C quam B ad D. Quod fuit probandum. Consequentia est nota, ut apparet cum maiore, et minor probatur, quoniam quando resistentia C acquisiverit duos gradus resistentiae, tunc proportio B ad C erit omnino deperdita. Et in eodem tempore adaequate perdetur proportio dupla ipsi quadruplae, et acquiretur unus gradus dumtaxat ipsi resistentiae D, et restabunt acquirendi duo, qui debent acquiri uniformiter, ergo illi acquirentur adaequate in duplo tempore ad acquisitionem primi, et sic sequitur, quod tempus deperditionis proportionis B ad C est subtriplum, ad tempus deperditionis proportionis B ad D, et per consequens plusquam in duplo citius deperditur proportio B ad C quam B ad D. Quod fuit probandum.

Respondeo negando antecedens, et ad probationem admisso casu negatur antecedens, et ad probationem negatur haec: minor B velocius remittet motum suum cum C quam cum D, et ad probationem negatur antecedens, et ad probationem antecedentis negatur haec consequentia, in qua est [ratio] argumenti, proportio B ad C est in duplo minor proportione B ad D, et plusquam in duplo citius deperdetur proportio B ad C quam proportio B ad D, ergo velocius deperdetur proporportio B ad C, quam deperdetur proportio B ad D, sicut eam esse negandam docet tricesimasexta conclusio. In probatione tamen consequentiae negatae adducit calculator duas conditionales, quarum neutra est bona consequentia. Ipse tamen nihil ad eas respondet. Pro quarum impugnatione pono aliqua correlaria.

¶ Primum correlarium in casu argumenti: D resistentia ut unum et C resistentia ut 2 non uniformiter crescunt, et tamen utraque illarum uniformiter crescit. Probatur, quia quando resistentia ut unum acquirit unitatem, resistentia ut 2 acquirit duali[ta]tem graduum.

Igitur non uniformiter crescunt. Antecedens patet ex casu. Sed secunda pars probatur, quia utraque illarum inaequalibus temporibus aequales latitudines resis[]tentiae acquirunt, ut patet ex casu. Ex hac correlarium est simile dialectico, Socrates et Brunellus non sunt fratres, et tamen uterque illorum est frat[]er. ¶ Secundum correlarium stat, quod subduplum in subduplo tempore adaequate ad tempus deperditionis dupli deperdatur, et quando deperdatur subduplum, etiam duplum deperdatur quamvis non totaliter, et nihilominus non aeque velociter deperdatur subduplum cum duplo. Probatur, et pono casum, quod sint pedale A et bipedale B, et incipiat deperdi taliter, quod immedietatae horae futurae deperdatur pedale A adaequate, et tunc sit deperditum A, bipedali B praecise semipedale, et totum residuum deperdat in medietate sequenti adaequate, quo posito iam patet correlarium. ¶ Ex quo sequitur tertium correlarium, quod haec consequentia nihil valet. Si A subduplum in subduplo tempore adaequate deperditur ad B duplum, A et B aeque velociter deperduntur. In casu enim posito antecedens est verum, et consequens falsum. Nec puto calculatorem voluisse illam concedere. Ista tamen consequentia est bona, si subduplum in subduplo tempore adaequate deperditur et uniformiter cum suo duplo, iam aeque velociter deperditur. ¶ Quartum correlarium: ista consequentia nihil valet: plusquam in duplo citius deperditur subduplum quam duplum, igitur velocius perditur subduplum quam duplum. Patet hoc correlarium ex dictis in solutione argumentati. ¶ Quintum correlarium: stat duas proportiones aeque velociter deperdi per crementum suarum resistentiarum et tamen resistentias non aeque velociter crescere, immo hoc necessarium est, ubi resistentiae sunt inaequales et cetera. Probatur correlariuum supponendo, quod ad hoc, quod aliqua proportio aeque velociter continuo et uniformiter cum {alia}¹ deperdatur, requiritur, quod inaequalibus temporibus aequales proportiones partiales illae duae deperdant, ut si proportio quadrupla aeque velociter debeat deperdi cum proportione dupla, requiritur, quod quando adaequate quadrupla perdit sexquitertiam, etiam dupla sexquitertiam perdat adaequate et sic consequenter. Sed ad hoc, quod duae resistentiae aeque velociter et uniformiter deperdantur, requiritur, quod inaequalibus temporibus aequales latitudines resistentiarum deperdant. Hoc patet ex sexta suppositione praecedentis capitis. Ad hoc enim, quod uniformiter remittatur proportio, requiritur, quod inaequalibus temporibus aequales latitudines proportionum deperdantur, et ad hoc, quod uniformiter remittatur resistentia, requiritur, quod inaequalibus temporibus aequales latitudines resistentiarum deperdantur, ut patet. Quo supposito probatur correlarium in casu argumentati. Ibi enim resistentia C ut 2 in duplo velocius crescit quam resistentia D ut unum, et tamen, quando proportio A potentiae ut 8 ad C resistentiam ut 2. perdit proportionem duplam, etiam proportio ipsius B potentiae ut 4 ad D resistentiam ut unum perdit proportionem duplam, et sic ibi stat proportiones per crementum resistentiarum aeque velociter deperdi, et tamen resistentias non aeque velociter crescere. Et quod hoc sit necessarium, ubi resistentiae sive minores termini proportionum fuerit inaequales, patet, quia implicat duo inaequalia aeque velociter crescere et aeque proportionabiliter, ut patet ex octava suppositione quarti capitis et ex octavo capite secundae partis per totum. ¶ In his, quae quasi demonstrative procedunt, deducas locorum diversitatem cum ceteris litigiosis cap[i]tuculis sophistarum. ¶ Adverte tamen, quod non in toto tempore illae proportiones, puta dupla et quadrupla, aeque velociter deperduntur, et loquor de proportione B potentiae ut 4 ad resistentiam C ut duo et proportione B potentiae ut 4 ad | D resistentiam ut unum. Sed quamdiu simul remittuntur, aeque velociter decrescunt sive remittuntur. ¶ Sed quia ex sententia philosophi primo caeli veritates inquisitores arbitros esse decet et non inimicos, ideo secundo loco adverte, quod in consequentia calculatoris ly „aeque velociter“ potest capi dupliciter, videlicet resolutorie, ut aequivaleat huic aliqua aequali velocitate, ut sit sensus huius propropositionis, subduplum aequevelociter remittitur cum duplo, id est, aliqua aequali velocitate subduplum aequaliter remittitur cum duplo. Et isto modo consequentia calculatoris est bona cum his, quae supponit ex parte antecedentis. Alio modo ly „aeque velociter“ potest capi exponibiliter, ut sit sensus huius propositionis, subduplum aeque velociter remittitur cum duplo, hoc est, ita velociter remittitur subduplum sicut duplum et econtra. Et in isto sensu haec consequentia non valet: B subduplum, puta pedale, in subduplo tempore adaequate deperditur ad A duplum, puta bipedale, ergo aeque velociter perditur B subduplum sicut A duplum. Probatur, nam posito, quod pedale remittatur uniformiter in hora, et bipedale in duabus horis adaequate remittatur usque ad non quantum, ita tamen quod in tempore, in quo remittitur pedale, remittatur aliquid de bipedali in triplo tardius tamen gratia exempli, et in aliqua parte secundae horae remittatur etiam aliquid de bipedali ita velociter, sicut antea remittebatur pedale, et in aliqua alia parte remittatur ipsum bipedale velocius, quam utiquam remittebatur pedale subduplum. Quo posito antecedens est verum, et consequens falsum. Nam tertia exponens consequentis est falsa, videlicet ista in nullo tempore A duplum velocius remittitur quam B subduplum, ut patet. Et ita debet dari tertia exponens in talibus addendo ly tempore, quam alias oporteret uti circulatione in exponendo, perinde atque alti concedunt, quod mihi non placet. Hac distinctione utendo pariter et expositione facile haec dicta in praedictis correlariis dictis calculatoris conciliabis, esto, quod calculator de facto non adversetur dictis. Haec ex scriniis dialectice non abs re nec inconsulte huic argumento inter[f]erenda decrevi, quoniam defessam mathemathicis et scientia demonstrativa mentem dialecticae atque sophisticae argumentiones plurimum oblectant. Nam teste philosopho decima octava particula problematum secundo problemate. Agonisticae, ligitiosae, atque sophisticae argumentatio[n]es et plurimum sunt exercitativae, et ultra alias disputationes longe plus iuvant atque delectant. His adde, quod iste terminus citius dupliciter potest capi, primo modo, ut dicit temporis propinquitatem, secundo vero modo, ut dicit temporis brevitatem, et hoc posteriori modo accommodatius proposito deseruit.

Secundo contra primam suppositionem et universaliter contra fundamentum totius opinionis arguitur sic: quia si illa suppositio esset vera, sequeretur, quod aliqua potentia posset pertransire aliquam resistentiam, et tamen non posset illam pertransire. Hoc manifeste implicat. Igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et pono casum, quod sit una resistentia uniformiter difformis a gradu ut duo usqu[e] ad quartum, et sit una potentia ut 4, quae invariata incipiat pertransire talem resistentiam sive incipiat moveri in tali resistentia, ab extremo remissiori, quo posito arguitur sic: illa potentia nunquam perveniet ad finem illius resistentiae, igitur non pertransibit illam.

Sed quod illam pertransibit, arguitur, quia quamlibet partem eius proportionalem proportione dupla minoribus terminatis versus extremum intensius pertransibit, igitur totam resistentiam pertransibit. Consequentia patet, quia omnes partes proportionales proportione dupla illius resistentiae totam illam resistentiam constituunt. Sed iam restat probare pro probatione alterius partis, quod numquam ad finem deveniet, quia non sufficit in tempore finito transire illam resistentiam, igitur numquam deveniet ad finem illius resistentiae. Arguitur antecedens, et capio unam aliam resistentiam difformiter difformem divisam per partes proportionales proportione dupla, cuius prima pars proportionales sit uniformis ut duo, et secunda ut tria, et tertia ut 3 cum dimidio, et quarta ut tria cum dimidio et dimidio dimidii et sic consequenter ascendendo, ita quod quaelibet pars proportionalis tali proportionis duplae divisione sit uniformiter intensa in ista resistentia difformiter difformi sicut punctus initiativus consimilis partis in resistentia uniformiter difformi, et sint tales resistentiae aequales extensivae. Quo posito sic argumentor: ista potentia ut 4 non sufficit pertransire istam resistentiam difformem in tempore finito, et ista resistentia minus resistit quam alia uniformiter difformis, ut constat respiciendo ad resistentiam partium proportionalium unius et alterius, igitur talis potentia ut 4 non sufficit pertransire talem resistentiam uniformiter difformem a secundo gradu usque ad quartum. Quod fuit probandum. Consequentia est nota cum minore, et maior arguitur, quia aliquantum tempus requirit illa potentia ad pertranseundum primam partem proportionalem, et tantum vel maius requirit ad pertranseundum secundam, et iterum tantum vel maius ad pertranseundum tertiam et sic consequenter, et sunt infinitae partes proportionales. Igitur in nullo tempore finito sufficit talis potentia illam resistentiam difformiter difformem pertransire. Consequentia patet, et probatur antecedens, quam transeundo primam partem proportionalem, quae est ut duo, movetur a proportione dupla, et transeundo secundam, quae est ut 3, movetur a proportione sexquitertia, et transeundo tertiam, quae est ut 3 cum dimidio, movetur a proportione sexquiseptima et sic consequenter semper a minori proportione quam subdupla ad praecedentem. Igitur continuo transeundo partem proportionalem sequentem requirit maius tempus quam transeundo partem praecedentem. Patet consequentia, quia si cotinuo moveretur a subdupla proportione in parte proportionali sequenti ad proportionem, qua movebatur in parte immediate praecedenti, semper adaequate tantum tempus requireret ad transeundum partem sequentem sicut immediate praecedentem, quia partes continuo se habent in proportione dupla, et similiter proportiones se tunc haberent in proportione dupla, sed modo continuo in parte sequenti movetur a minori proportione quam subdupla ad proportionem, qua movetur in parte immediate praecedenti. Igitur continuo maius tempus requirit ad pertranseundum partem sequentem quam praecedentem. Sed quod continuo moveatur a minori proportione quam subdupla in parte sequenti quam in parte immediate praecedenti, patet, quia in prima movetur a proportione dupla et in secunda a proportione sexquitertia, modo sexquitertia minor est quam subdupla duplae, ut patet ex probatione tertiae conclusionis quarti capitis secundae partis et sexta suppositione capitis eiusdem. Item in tertia movetur a proportione sexquiseptima, modo sexquiseptima minor est quam subdupla sesquitertiae et sic consequenter, ut patet ex sexta suppositione quarti capitis praeallegati, igitur. |

Respondeo ad argumentum breviter negando sequelam, et ad probationem dico, quod illa consequentia nihil valet, quamlibet partem proportionalem secundum hanc divisionem hoc mobile pertransibit, ergo totum spatium sive resistentiam pertransibit, immo sicut probat argumentum, si mobile et illa resistentia simul manerent per infinitum tempus, per infinitum tempus mobile moveretur supra resistentiam et numquam veniret ad terminum.

Sed contra, quia possibile est, quod potentia ut 4 pertranseat resistentiam difformem in tempore finito, cuius prima pars proportionalis est uniformiter difformis a duobus usque ad tertium, et secunda etiam uniformiter difformis a tertio usque ad tertium cum dimidio et sic consequenter usque ad quartum exclusive, igitur possibile est potentiam ut 4 pertransire resistentiam uniformiter difformem a duobus usque ad quartum, et per consequens male negatum est hoc. Arguitur antecedens, et pono, quod sit una resistentia pedalis divisa per partes proportionales proportione quadrupla, cuius prima pars proportionalis sit uniformiter difformis a secundo usque ad tertium, et secunda a tertio usque ad tertium cum dimidio et sic consequenter usque ad quarum exclusive, deinde capio unam aliam resistentiam similiter pedalem divisam per partes proportionales proportione quadrupla, cuius prima pars proportionalis sit uniformis ut 3, et secunda ut 3 cum dimidio, et tertia ut 3 cum dimidio et dimidio dimidii et sic consequenter, ita quod quaelibet pars proportionalis in tali resistentia sit uniformiter intensa sicut gradus in[ten]sissimus in parte consimili sive correspondente in alia resistentia pedali, cuius partes proportionales sunt uniformiter difformes. Quo posito sic argumentor: ista secunda resistentia, cuius partes proportionales sunt uniformes, est maioris resistentiae quam altera, ut satis facile patet intelligenti resistentiam partium proportionabilium in una et in altera, et tamen potentia ut 4 sufficit in tempore finito pertransire istam secundam resistentiam, igitur et alteram, cuius partes proportionales sunt uniformiter difformes. Consequentia patet per locum a maiori, et maior similiter, et minor probatur supponendo, quod omnis proportio superparticularis dividitur in duas proportiones, quarum una est medii numeri ad minimum, et alia maximi ad medium, et illa, quae est maximi ad medium, est maior quam tertia pars totius proportionis superparticularis, ut patet ex decimo correlario tertiae conclusionis quarti capitis secundae partis. Hoc supposito sic arguo: potentia ut 4 in aliquo tempore pertransit prima partem proportionalem talis resistentiae, et in subsexquitertio tempore pertransit secundam et sic consequenter, ita quod quamlibet sequentem pertransit in subsesquitertio tempore ad tempus, in quo pertransit immediate praecedentem, igitur totum tempus, in quo pertransit omnes partes alias a prima, est triplum ad tempus, in quo pertransit primam, ut patet intelligenti quintum caput primae partis, et tempus, in quo pertransit primam, est finitum, igitur totum tempus aggregatum est finitum. Sed iam probo antecedens, quoniam in aliquo tempore pertransit primam, signetur igitur illud tempus, et sit una hora gratia exempli, et in illa hora per illam partem continuo movetur a proportione sexquitertia, quia resistentia est ut 3 et potentia ut 4 et transeundo secundam partem proportionalem, quae est ut 3 cum dimidio, movetur a proportione sexquiseptima, quae, ut patet ex suppositione, non est subtripla ad sexquitertiam, sed maior quam subtripla, sed si illa esset subtripla transiret secundam partem proportionalem in subsexquitertio tempore, ergo modo

pertransit illam in subsexquitertio tempore vel minori. Consequentia est nota, et minor probatur, quia si transeundo secundam moveretur a subtripla proportione, et secunda esset aequalis primae extensive, tunc in triplo tempore pertransiret illam ad tempus, in quo pertransit primam, puta in tribus horis, quam pertransit primam in hora, ut positum est, sed modo illa secunda pars est subquadrupla ad primam, ergo in subquadruplo tempore pertransibit eam, sed subquadruplum ad tres horas sunt 3 quartae, et tres quartae sunt subsexquitertium ad unam horam, in qua pertransit primam partem, igitur secundam transit in subsexquitertio tempore ad primam. Et sic probabis, quod tertiam in subsexquitertio tempore pertransit ad secundam, et de omnibus aliis consequenter adiutorio secundi correlarii quartae conclusionis quarti capitis secundae partis.

Respondeo ad replicam concedendo antecedens, dummodo illae partes proportionales illius resistentiae non se habeant in proportione dupla nec in aliqua minori, et nego consequentiam. Et ratio est, quia talis resistentia, de qua conceditur, non est uniformiter difformis, nec talis potentia requirit tantum tempus ad pertranseundum secundam partem proportionalem, quantum ad pertranseundum primam, ut iam probatum est. ¶ Ex deductione et solutione huius argumenti sequitur primo, quod si potentia ut quatuor continuo moveretur per medium uniformiter difforme a non gradu resistentiae usque ad quartum, et perpetuo duraret potentia et medium taliter dispositum, perpetuo ipsa moveretur, et nunquam ipsum pertransiret. Patet hoc correlarium ex deductione et solutione argumenti.

¶ Sequitur secundo, quod resistentia uniformiter difformis non correspondet gradui medio resistentiae, ita quod tantum resistat sicut gradus medius. Probatur hoc ex praecedenti correlario, quia alias sequeretur, quod potentia ut 4 posset in tempore finito pertransire resistentiam uniformiter difformem a non gradu vel a gradu certo minori usque ad quartum, quia moveretur in ea a proportione dupla vel aliqua alia certa aequivalenter per totam illam resistentiam. ¶ Sed quia aliquis posset dicere, quod correspondet gradui medio, dummodo gradus summus talis [r]esistentiae non sit aequalis potentiae moventi in ea vel minor. Ideo aliter probo praedictum correlarium ratione Gaythani de Thebis, si memini, quia si corresponderet gradui medio, sequeretur, quod potentia ut 9 in aequali tempore adaequate secundam pertransiret resistentiam uniformiter difformem a non gradu usque ad octavum, in quo adaequate pertransiret secundam medietatem eius, ita quod ita cito pertransiret totum sicut eius medietatem adaequate, sed consequens est manifeste falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia talis potentia ut 9 haberet ad totam illam resistentiam proportionem duplam sesquiquartam, cum tota illa resistentia sit per te ut 4, qui est gradus medius. Modo 9 ad 4 est proportio dupla sesquiquarta, et ad secundam medietatem haberet proportionem sesquialteram, cum gradus eius medius sit ut 6. Modo 9 ad 6 est proportio sesquialtera, sed proportio sesquialtera est subdupla ad duplam sesquiquartam, ut patet ex sexto capite secundae partis, et spatium transeundum ab illa proportione, puta secunda medietas, est subduplum ad totam illam resistentiam, ergo sequitur, quod in aequali tempore pertransit illam secundam medietatem et totam illam resistentiam. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur tertio, quod quamvis potentia ut 4 non sufficit pertransire resistentiam uniformiter difformem a secundo gradu usque ad quartum, cuius videlicet prima pars proportionalis proportione dupla incipit a secundo usque ad tertium, et secunda incipit a tertio usque ad tertium cum dimidio et sic consequenter, nihilominus tamen | talis potentia ut 4 sufficit pertransire tantam resistentiam extensive, cuius videlicet prima pars proportionalis proportione quadrupla est omnino consimilis resistentiae cum prima parte proportionali proportione dupla alterius resistentiae uniformiter difformis, et secunda cum secunda, et tertia cum tertia, et sic consequenter. Prima pars patet ex deductione et solutione argumenti, et secunda ex deductione et solutione replicae. ¶ Sequitur quarto, quod quamvis potentia ut 4 non sufficit pertransire in aliquo tempore finito resistentiam pedalem uniformiter difformem terminatam ad quartum, cuius videlicet prima pars proportionalis proportione dupla incipiat a secundo et terminetur ad tertium et cetera, ut positum est in priori parte praecedentis correlarii, nihilominus ubi talis resistentia pedalis efficeretur quadrupedalis per rarefactionem aut augmentationem (non est cura), ita tamen, quod illae partes resistentiae, quae continuo se habebant in proportione dupla, continuo se habeant in proportione quadrupla quoad extensionem ipsis tamen manentibus semper in eodem statu quoad intensionem, potentia ut 4 sufficit tunc illam resistentiam in tempore finito pertransire. Patet prima pars correlarii ex priori correlar[i]o, et secunda ex deductione replicae. ¶ Ex quo correlario sequitur facile quintum, quod quamvis talis resistentia sic ad quadruplum augeatur extensive, nihilominus tamen infinitae partes eius proportionales diminuuntur, et efficiuntur minores extensive. Prima pars ponitur, et secunda probatur, quia si infinitae manerent tantae, quantae erant antea, cum maneant aeque intensae et aeque resistentes, eo modo resisterent, quo resistebant antea, quando continuo se habebant in proportione dupla, sed antea requirebatur tempus infinitum ad pertranseundum illas a tali potentia, cum tantum tempus requirebatur ad pertranseundum aliquam partem vel maius quantum ad quamlibet praecedentem, ut patet ex deductione argumenti, igitur modo etiam requireretur tempus infinitum, sed hoc est falsum, ut patet ex praecedenti correlario, igitur illud, ex quo sequitur, et per consequens dicendum est, quod infinitae efficiuntur minores extensive, cum nec etiam dicendum sit, quod efficiantur maiores, ut facile esset probare per locum a maiori. Et hoc etiam facile patet experimento, nam capto tali pedali sic diviso per partes proportionales proportione dupla ut positum est, et augeatur prima pars proportionalis eius ad quadruplum, ita quod efficiatur bipedalis, tunc ad hoc, quod secunda efficiatur subquadrupla ad ipsam, oportet ipsam similiter augeri ad duplum, ita quod efficiatur semipedalis, et oportet tertiam manere nec auctam nec diminutam, quia est una octava, sed oportet iam quartam minui ad subduplum, quia erat una decima sexta, et oportet, quod efficiatur una tricesimasecunda, ut sit subquadrupla ad octavam, quae est tertia pars, et tunc manebit aequalis cum quinta parte, et sic oportebit quintam ad subquadruplum minui et sextam ad suboctuplum et sic in infinitum, ut patet intuenti igitur. Et ferme hoc modo intendit calculator probare in capitulo de augmentatione conclusione quindecima probatione secunda, quod quantumcumque modicum sit aliquod subiectum divisum per partes proportionales certa proportione, et sit aliud quantumcumque magnum divisum in partes proportionales proportione maiori, aliqua erit pars proportionalis minoris, maior parte proportionali correspondente maioris. ¶ Sequitur sexto, quod quamvis talis resistentia aucta in quantitate ad quadruplum vel octuplum, quocumque modo placuerit, dummodo partes resistentiae, quae antea se habebant in proportione dupla quoad extensionem, se habeant quoad extensionem in proportione

quadrupla, valeat in tempore finito pertransiri a potentia ut 4, ut dictum est, nihilominus si diminuatur talis resistentia quoad extensionem ad subduplum vel ad subtriplum et cetera, ita quod efficiatur semipedalis vel una tertia vel quarta vel quinta et sic in infinitum, dummodo partes resistentiae continuo manent in eadem proportione, in qua se habebant antea, puta dupla, potentia ut 4 (intelligo semper non variata) in nullo tempore finito valet talem resistentiam pertransire. Patet facile ex primo correlario.

Sequitur septimo, quod quamvis potentia ut 4 non sufficit in tempore finito pertransire pedalem resistentiam divisam in partes proportionales proportione dupla, ad cuius primam habet proportionem duplam et ad secundam sesquitertiam et ad tertiam sesquiseptimam et ad quartam sesquiquindecimam et sic in infinitum, ut ponebatur in casu argumenti, nihilominus tamen talis potentia sufficit pertransire in tempore finito resistentiam pedalem divisam in partes proportionales proportione dupla similiter, ad cuius primam habet proportionem duplam et ad {secundam}² sesquialteram et ad tertiam sesquitertiam et ad quartam sesquiquartam et sic in infinitum ascendendo per species proportionis superparticularis nulla praetermissa. Prima pars huius correlarii probata est in argumento, et secunda probatur, quia talis potentia in aliquo tempore finito sufficit pertransire primam partem parem, quae est secunda in ordine, et in minori, quam sit {tale}³, sufficit pertransire omnes sequentes pares, et similiter in aliquo tempore finito sufficit pertransire primam imparem, et in minori tempore, quam in triplo ad illud, sufficit pertransire omnes sequentes impares, igitur omnes simul tam pares quam impares sufficit pertransire in tempore finito. Consequentia patet ex se, et arguitur maior, quia si illa potentia continuo haberet proportionem subduplam ad partem parem sequentem ad illam proportionem, quam habet ad partem parem immediate praecedentem, continuo pertransiret partem sequentem parem in duplo minori tempore quam immediate praecedentem, cum ipsa sit subquadrupla ad parem immediate praecedentem, et per consequens si transiret primam parem in hora adaequate, secundam parem transiret in media hora, et sequentem parem [transiret] in subduplo tempore, et sic omnes pares protransiret in duabus horis, ut patet ex quinto capite primae partis. Modo ad quamlibet sequentem parem habet maiorem proportionem quam subduplam ad proportionem, quam habet ad partem parem immediate praecedentem, igitur continuo modo velocius movebitur, et per consequens minus quam in aequali tempore pertransibit omnes pares sequentes primam. Quod fuit probandum. Sed iam probo istam minorem videlicet, quod modo habet ad quamlibet partem parem sequentem maiorem proportionem quam subduplam ad proportionem quam habet ad partem parem immediate praecedentem. Quod sic probo, quia ad primam partem proportionalem parem, quae est secunda, habet proportionem sexquialteram, ad secundam, quae est quarta, habet proportionem sexquiquartam. Modo sesquiquarta est maior quam medietas sesquialtere. Item ad tertiam partem parem, quae est sexta, habet proportionem sexquisextam, ut patet ex casu, modo sesquisexta maior est quam medietas sexquiquartae et sic consequenter, ut patet ex octavo correlario tertiae conclusionis quarti capitis secundae partis. Sed iam probo maiorem principalis argumenti videlicet, quod in aliquo tempore finito sufficit pertransire primam partem imparem, et in minori quam triplo omnes impares sequentes. Quod sic demonstro, quia si ad quamlibet sequentem imparem haberet continuo proportionem subtriplam ad proportionem, quam haberet ad imparem immediate praecedentem, tunc pertransiret omnes impares sequentes primam in triplo tardius quam primam adaequate, | ita quod si transiret primam imparem in una hora, omnes impares sequentes primam in tribus horis adaequate pertransiret, sed modo continuo movetur a maiori proportione transeundo aliquam partem imparem sequentem primam quam tunc pertranseundo eandem, quia continuo a maiori quam subtripla, igitur modo in minori tempore quam triplo pertransibit omnes impares sequentes primam quam primam. Consequentia patet, et maior probatur, quia si transiret primam imparem in hora, et transecundo secundam moveretur a proportione subtripla, et ipsa esset aequalis primae, tunc in triplo tempore pertransiret ipsam, puta in tribus horis, sed modo illa secunda pars proportionalis impar est subquadrupla, ergo in subquadruplo tempore modo pertransit eam, et per consequens in subsexquitertio tempore ad tempus, in quo pertransit primam. Patet haec consequentia ex secundo correlario quartae conclusionis quarti capitis praeallegati. Et sic probabitur de quibuscumque aliis duabus partibus imparibus, videlicet quod continuo pertransibit quamlibet partem imparem sequentem in sexquitertio tempore minori quam immediate praecedentem, et sic si transit primam in hora, omnes alias pertransit in tribus horis, ut patet intelligenti quintum caput primae partis. Sed restat probare minorem videlicet, quod modo continuo pertransit a maiori proportione quamlibet partem imparem sequentem, quam tunc faceret eandem. Quod sic probo, quam primam transit a proportione dupla, ut patet ex casu, et secundam imparem, quae est tertia, a proportione sexquitertia. Modo sexquitertia maior est quam subtripla duplae, ut patet ex decimo correlario tertiae conclusionis quarti capitis praeallegati. Item transit tertiam imparem, quae est quinta, in ordine a proportione sexquiquinta. Modo sexquiquinta maior est quam subtripla, immo maior quam subdupla ad sexquitertiam, ut patet ex octavo correlario eiusdem conclusionis, et sic consequenter, ut facile probat dictum correlarium, igitur continuo pertransit a maiori proportione quamlibet partem imparem, quam tunc faceret eandem. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur octavo, quod haec consequentia nihil valet: hoc mobile sufficit pertransire cum hac resistentia quamlibet partem proportionalem huius pedalis et quamlibet sequentem in minori tempore quam immediate praecedentem, igitur sufficit transire pedale cum hac resistentia. Et loquor in antecedente de partibus proportionalibus proportione dupla secundum hanc divisionem. Probatur correlarium, et volo, quod aliquod pedale dividatur proportione dupla, et quod aliqua potentia, puta et 8 gratia exempli, sufficiat pertransire primam partem proportionalem in hora et secundam in media hora cum quarta et tertiam in media hora cum octava et quartam in media hora cum decima sexta et sic in infinitum taliter, quod quamlibet praeter primam pertransiret in media hora cum aliquo tempore ultra, quod tempus ultra esset continuo subduplum. Quo posito iam patet totum correlarium. Quam manifestum est, quod requirerentur infinitae mediae horae ad pertranseundum illud pedale, et tamen quaelibet pars proportionalis sequens in minori tempore pertransitur quam immediate praecedens, et quamlibet sufficit pertransire, ut notum est, igitur.

Tertio contra omnes conclusiones simul arguitur sic, illae [supponunt], vel maior pars illarum supponit unum falsum, ergo sunt falsae. Arguitur antecedens, quia supponunt aliquam resistentiam posse uniformiter successive diminui ab aliqua potentia, sed hoc non est possibile igitur. Minor probatur, quia detur potentia ut 8, quae uniformiter corrumpat et remittat resistentiam ut 4 per unam horam, et arguitur sic: ista potentia ut 8 remittit uniformiter in hora resistentiam ut 4, ergo in medietate horae remittit medietatem resistentiae, et

per consequens talis potentia agit a proportione dupla alterius proportionis. Nam antea agebat a dupla et modo a quadrupla, sed quadrupla est dupla duplae, ut patet intelligenti sextum capitulum secundae partis, igitur agit a duplo maiori velocitate, quoniam velocitas sequitur proportionem proportionum, ut patet ex prima suppositione praecedentis capitis. et per consequens corrumpit tantum resistentiae in secunda parte proportionali proportione dupla, et per consequens non uniformiter. Quod fuit probandum. ¶ Dices forte concedendo, quod infertur, videlicet quod nulla resistentia potest uniformiter deperdi in aliquo tempore, sed hoc non est contra conclusiones.

Sed contra, quia manifestum est hoc esse contra vicesimam conclusionem, igitur. Item resistentia potest uniformiter remitti a potentia, igitur solutio nulla. Arguitur antecedens, et pono casum, quod aeque velociter proportionabiliter sicut remittitur resistentia ab aliqua potentia, ita proportionabiliter potentia decrescat, ita quod potentiae ad resistentiam maneat continuo eadem proportio. Quo posito motus continuo erit uniformis, igitur uniformiter deperdetur tunc resistentia. Quod vero tunc motus erit uniformis, patet ex decima octava conclusione praecedentis capitis.

Respondeo igitur ad argumentum negando antecedens, et ad probationem pono duas conclusiones:

Prima conclusio: nulla resistentia potest uniformiter deperdi per actionem alicuius potentiae non variatae nec ab extrinseco impeditae. Patet haec conclusio ex deductione argumenti.

Secunda conclusio: aliqua resistentia potest uniformiter remitti ab aliqua potentia continuo aeque proportionabiliter variata et minorata cum sua resistentia, vel aeque proportionabiliter impedita, sicut resistentia remittitur. Patet haec conclusio ex deductione replicae. Et dico notanter aut aeque proportionabiliter impedita et cetera, quoniam si sit aliqua resistentia ut 4, quae remittatur a potentia ut 8 non variata, sed ab aliquo extrinseco impedita taliter, quod quando resistentia fuerit ut 3, impediantur duo gradus activitatis ipsius potentiae, et quando resistentia fuerit ut duo, impediantur alii duo gradus activitatis ipsius potentiae, continuo fiet actio a proportione dupla.

¶ Sequitur ex istis correlarium, quod ubicumque aliqua potentia agit in suam resistentiam eam corrumpendo sine reactione, necesse est resistentiam difformiter remitti ceteris aliis paribus, et ubicumque potentia introducit in aliquod passum suam qualitatem, difformiter eam introducit ceteris aliis paribus.

Quarto contra easde[m] conclusiones arguitur sic, quia si illae essent verae, sequeretur haec conclusio, quod omnes potentiae invariatae sive aequales sive inaequales idem medium non variatum transeuntes, in quo acquiritur aut deperditur motus, eandem latitudinem motus acquirerent vel deperderent, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela est nota, quia aequales proportiones acquirerent vel deperderent igitur aequales latitudines motus. Sed falsitas consequentis ostenditur, et pono casum, quod sit unum medium uniformiter difforme a gradu usque ad certum gradum intensiorem, et volo, quod sint duae potentiae aequales | A et B, quarum una, puta A, incipiat moveri a medio gradu versus extremum intensius, et alia, puta B, incipiat moveri ab extremo remissiori versus medium. Quo posito sic argumentor: maiorem proportionem habet B potentia ad quodlibet punctum medietatis remissioris, quam habeat A ad simile punctum sive correspondens medietatis intensioris, crescat igitur ipsum A quo ad, usque ad quodlibet punctum medietatis intensioris habeat maiorem proportionem, quam B ad [habeat] simile punctum medietatis remissioris, et capio instans, in quo A habet aequalem proportionem ad quodlibet punctum medietatis intensioris, sicut B [habet] ad simile punctum medietatis remissioris, et volo, quod continuo moveatur a tali proportione. Quo posito sequitur, quod A aequaliter movebitur per medietatem intensiorem sicut B per medietatem remissiorem, et aequalem latitudinem motus deperdet A per intensiorem movendo sicut B per medietatem remissiorem, sed B minorem latitudinem deperdet per intensiorem medietatem movendo quam per remissiorem, ergo per intensiorem medietatem minorem latitudinem motus deperdit B quam A, et per consequens non aequalem. Quod fuit probandum.

Respondeo ad argumentum admittendo casum et negando illud, quod assumitur vel supponitur, videlicet quod dabile sit instans, in quo A habeat talem proportionem ad quodlibet punctum medietatis intensioris, qualem habet B ad punctum simile sive correspondens in medietate remissiori.

Quamvis enim possibile sit, quod habeat maiorem et quod habeat minorem, non tamen quod habeat aequalem.¶ Ex quo sequitur primo, quod haec consequentia nihil valet: A transit de minori ad maius, ergo A transit per aequale. Instantia enim est in proposito. Transit enim A de minori proportione respectu cuiuslibet puncti ad maiorem et non aequalem cuilibet puncto. Analogia potest faciliter capi, quoniam dato, quod sint hic tres homines, quorum nullus est Socrates, et min[i]mus illorum sit pedalis, alter bipedalis et maximus tripedalis, et sit Socrates semipedalis, et crescat successive Socrates, quoad usque sit quadrupedalis, tunc manifestum est, quod Socrates transibit a minori quantitate, quam sit quantitas alicuius istorum, ad maiorem quantitatem, quam sit quantitas alicuius istorum, et tamen numquam transibit per quantitatem aequalem cuilibet quantitati illorum. Quare ista consequentia nihil valet: A transibit a minori quantitate quantitate istorum ad maiorem quantitatem quantitate istorum, ergo per aequalem quantitatem cuilibet quantitati istorum. Et totum hoc provenit a termino distributo. ¶ Sequitur secundo, quod ista consequentia nihil valet: iste angulus transit a minori augulo, quam sit angulus semicirculi, ad maiorem angulum, quam sit angulus semicirculi, ergo transit per aequalem. Patet hoc correlarium in hac figura.

Et est Campani in commento decimae sextae conclusionis tertii elementorum Euclidis, ubi ostendit similes argumentationes non valere. Et idem ponit Bravardinus in capitulo de circulis conclusione septima.

Quinto arguitur sic: si illae regulae essent verae, sequeretur, quod si aliqua resistentia uniformiter proportionabiliter cresceret respectu duarum potentiarum aequalium potentium moveri cum tali resistentia, tales potentiae uniformiter remitterent motus suos, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela est nota et falsitas consequentis ostenditur, quia ex illo sequitur, quod aliquae duae potentiae aequales ab eodem gradu velocitatis incipiunt remittere motus suos ad non gradum semper aeque velociter remittendo, et nihilominus non aequaliter moventur, sed consequens manifeste implicat, igitur illud, ex quo sequitur.

Sequela probatur, et pono duas potentias aequales ut 8, A videlicet et B, et capio duo media aequalis resistentiae, C videlicet et D resistentiae ut 4, et C sit pedalis quantitatis, et D semipedalis, et moveatur A potentia supra C pedale, et B supra D semipedale per horam, et crescat resistentia utriusque aeque proportionabiliter uniformiter per horam, in qua D semipedale rarefiat uniformiter secundum partem non pertransitam taliter, quod in fine horae sit etiam pedale sicut C. Quo posito arguitur sic: A et B incipiunt remittere motus suos ab aequali gradu velocitatis propter aeque proportionale crementum resistentiae, et movebuntur semper uniformiter, et tamen non movebuntur aeque velociter in illa hora. Igitur propositum. Maior patet ex casu, et minor probatur, quoniam A pertransibit C pedale in hora, et B non pertransibit D, quod in fine praecise erit pedale nec aliquod tantum, igitur non aequaliter movebuntur. Maior patet ex casu et minor probatur, quoniam B remittit motum suum ad non gradum in illa hora, et D spatium uniformiter rarefit secundum partem non pertransitam, ergo aliquando in hora, aliqua pars non transita velocius movebitur quam ipsum B, et per consequens numquam ipsum B perveniet ad illam partem. Patet haec consequentia. Nam si aliquod mobile movetur in aliquo medio, et pars aliqua ipsius medii antecedens movetur velocius ipso mobili, numquam illud mobile perveniet ad illam partem, ut satis constat, sed sic fit in proposito igitur. ¶ Et confirmatur quoniam, si illud consequens esset verum, sequeretur in casu posito, quod B pertra[n]siret D ante finem horae, et tamen non pertransiret in hora ipsum D, hoc manifeste implicat, igitur. Secunda pars huius consequentis deducta est, et prima probatur supponendo, quod quando aliquid movetur uniformiter difformiter usque ad non gradum in aliquo tempore, spatium pertransitum in prima medietate illius temporis est triplum ad spatium pertransitum in secunda medietate, ut postea in capite tertio secundi tractatus ostendetur. Suppono secundo, quod D semipedale in instanti medio temporis motus erit tres quartae, ut patet. Quoniam ipsum D acquirit semipedalem quantitatem uniformiter in illa hora, igitur in prima medietate horae acquirit medietatem semipedalis, puta unam quartam adaequate. Quo posito sic argumentor: motus ipsius B est uniformiter difformis ad [n]on gradum in illa hora, ut patet ex casu, et movetur aequaliter cum A, sed A in prima medietate horae pertransit tres quartas pedalis, ut patet ex prima suppositione, igitur tunc B pertransit tres quartas pedalis adaequate ipsius D, sed D tunc adaequate est quantitatis trium quartarum, ut patet ex secunda suppositione, igitur tunc D in medio horae est adaequate pertransitum. Quod fuit probandum. Confirmatur secundo, quia si illud consequens esset verum, sequeretur, | quod per motum uniformiter difformem ad non gradum non pertransiretur in triplo maius spatium in prima medietate temporis quam in secunda, sed istud consequens est falsum, ut inferius loco praeallegato ostendetur, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quoniam in casu posito in instanti medio temporis B non pertransit tres quartas, et illud est triplum spatium ad residuum pedalis, puta ad unam quartam, igitur propositum. Minor est nota, et maior probatur, quoniam ex casu B spatium sive medium debet continu[o] per horam uniformiter rarefieri secundum partem non pertransitam, ergo in ipsa hora in quolibet instanti intrinseco debet esse aliqua pars non pertransita, sed si in medio instanti temporis B pertransiret tres quartas in illo instanti, ipsum B esset in termino illius spatii, et nulla pars tunc esset non pertransita. (Erit enim D spatium in instanti medio adaequate quantitatis trium quartarum pedalis adaequate, ut probatum est in anteriori confirmatione.) Igitur in tali instanti ille tres quartae non sunt adaequate pertransitae. Quod fuit probandum. Alias enim iam non rarefieret tunc secundum partem non pertransitam. ¶ Confirmatur tertio, quia si illud consequens esset verum, sequeretur in casu posito, quod cum motus uniformiter difformis deveniret ad velocitatem aequalem velocitati rarefactionis (rarefactio enim motus localis est) nullum penitus punctum talis spatii posset pertransire, quoniam post illud instans quodlibet punctum praecedens mobile movebitur velocius ipso mobili, quoniam tale punctum movebitur uniformiter, et B continuo remittet motum suum, sed hoc est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis ostenditur, quoniam tunc sequeretur, quod B, antea quam deveniret ad non gradum motus, cessaret moveri super dato spatio vel in dato spatio D.

Item sequeretur, quod ipsum B aequalis potentiae cum A non posset pertransire aequalem resistentiam cum A, et hoc est impossibile, igitur. Sequela probatur, quoniam B non potest pertransire medium D, postquam deveniret ad aequalitatem motus cum medio, et tamen medium D est aequalis resistentiae cum medio C, quod pertransit A, igitur propositum.

Respondeo breviter ad argumentum cum duabus confirmationibus non admittendo casum. Argumenta enim probant casum implicare. Probant enim, quod B nunquam deveniet ad terminum ipsius D, et confirmatio prima probat, quod deveniet ad terminum eius in medio instanti temporis, et sic implicat, quod rarefiat dumtaxat secundum partem non pertransitam cum ceteris particulis casus. ¶ Pro solutione tertiae confirmationis supponendem est, quod rarefactio est motus localis. Secundo supponendum est, quod duplex est medium, per quod aliquid movetur, quando ipsum medium rarefit. Quoddam enim est medium, quod per motum suum etiam movet mobile in eo existens, cuiusmodi est navis, quae movet nautam ad motum sui, ita quod si nauta moveatur versus illam partem, versus quam movetur navis, duplici motu movetur et motu navis et motu proprio. Ita etiam sit de homine natante in flumine, qui si natet versus fluctum illius fluminis, duplici motu movetur, et motu proprio et motu fluminis trahentis ipsum. Aliud est medium, ad cuius motum localem non movetur mobile in eo existens, cuiusmodi est aer. Dividit enim mobile potius aerem, quam trahetur ab aere. ¶ His positis respondeo ad confirmationem distinguendo

illatum, quia aut illud medium D est medium primo modo, puta trahens mobile, cuiusmodi est navis, aut aqua trahens natantem, et sic ego nego sequelam. Dico enim, quod tale mobile, quod per tale medium movetur, movetur tota velocitate, qua movetur ipsum medium et insuper velocitate propria, et sic aggregatum ex illis duabus velocitatibus constituit velocitatem maiorem velocitate, qua movetur ipsum mobile per rarefactionem. Et sic potest semper pertingere, quamdiu movetur aliquod punctum praecedens ipsum, quoniam quamdiu movetur intensiori velocitate (computatis utriusque velocitatibus), movetur quam aliquod punctum praecedens ipsum. Sed cum motu proprio devenerit ad non gradum, movebitur a medio dumtaxat, et semper manebit in eodem puncto medii. Si vero medium D sit medium secundo modo non trahens ipsum mobile, concedo illatum, et ad probationem dico, quod non habeo pro inconvenienti, quando una illarum resistentiarum movetur, et alia quiescit. Ibi enim cetera non sunt paria. ¶ Haec argumenta partim sunt ex calculatore traducta, quae ideo huic operi interserui, quoniam aliquid subtilitatis et difficultatis prae se ferunt. Tum etiam, ut redderetur, ipse calculator pervius et vadis plenus.

Fußnoten