Capitulum secundum, in quo investigatur disputative et per modum quaestionis, penes quid attendi habeat motus localis difformis quoad subiectum velocitas
Consequenter ad primi puncti expeditionem accedens quaeritur, penes quid tamquam penes effectum motus difformis quod ad subiectum velocitas attendi habeat, an videlicet penes lineam descriptam a puncto velocissime moto, an penes lineam descriptam a puncto, in quo est gradus medius, an penes reductionem ad uniformitatem.
Et arguitur primo, quod non debeat attendi penes primum, ut opinatur hentisber in tractatu de motu locali capite primo, quia si, sic sequeretur pari ratione, quod deberet attendi penes punctum tardissime motum, sed hoc est falsum cum aliquando non detur, igitur. Patet consequentia, quia non videtur maior ratio de uno quam de altero. ¶ Dices, quod arguens dat rationem dicens, quod plerumque non datur punctus tardissime motus, et ideo non poterit continuo velocitas motus penes talem punctum attendi.
Sed contra, quia etiam – ut inferius videbitur – datur aliquis motus difformis quoad subiectum, cuius non datur punctus continuo velocissime motus, ut patebit in rota rarefiente, igitur etiam non potest continuo attendi penes talem punctum, et si talis punctus continuo maneat, non tamen linea, quam discribit adaequate. ¶ Et confirmatur, quia tunc sequeretur, quod rota uniformiter difformiter mota moveretur continuo ita velociter sicut medietas eius, quae velocius movetur, sed hoc est falsum. Consequentia patet, et falsitas consequentis ostenditur, quoniam cum utraque medietas sit aequalis, non valet ratio sufficiens assignari, quare potius ita velociter movetur tota rota sicut medietas una et non sicut altera – et volo, quod ly „ita“ et „sicut“ distribuat – igitur si ita velociter sicut una etiam sicut et altera vel sicut neutra. ¶ Dices, quod ideo dicitur moveri ita velociter sicut medietas eius, quae velocius movetur, et non sicut illa, quae tardius movetur, quia iuxta dictum philosophi
Sed contra, quia plerumque non datur punctus extremus ut posito, quod deus corrumpat in rota omnia puncta extrema. Item etiam nominalisando non datur punctum extremum, quia termin[a]ta omnia talia indivisibilia negat, et figmentum reputat, igitur saltem secundum viam nominalium non potest sumi velocitas motus difformis quoad subiectum | penes lineam a puncto velocissime moto descriptam. ¶ Dices, quod in tali casu velocitas illius motus debet attendi penes lineam descriptam a puncto imaginario posito in peripheria, hoc est, tota rota tantam lineam describit et tam velociter {movetur, quam velociter movetur unus punctum, qui esset in peripheria talis rotae.}1
Sed contra capio unam rotam, quae difformiter movetur quoad subiectum, et cum incipit moveri, incipiat maiorari per rarefactionem, ita quod punctus eius extremus continuo magis ac m[a]gis distat a centro, ita quod in principio totius rotae diameter sit pedalis et in fine bipedalis. Quo posito sic arguitur: velocitas talis motus non potest attendi penes lineam descriptam a puncto velocissime moto. Igitur propositum. Arguitur antecedens, quia talis punctus nullam lineam describit, quod probatur sic, quia nullam circularem, ut notum est, cum non redeat ad idem punctum, a quo recessit, sed ad punctum in duplo magis distans a centro, nec etiam lineam rectam aliquam describit et non videtur, quam aliam lineam describat, igitur non datur ibi linea descripta a tali p[u]ncto, penes quam possit velocitas motus illius rotae commensurari. ¶ Et confirmatur, qua illa rota non movetur ita velociter, sicut punctus eius extremus movetur in principio motus, ut notum est, cum maiorem lineam describat per totum tempus, quam si rota maneret invariata quoad magnitudinem, nec tanta velocitate, quanta movetur in fine motus, nec in medio instanti motus, quia tunc hoc esset coincidere cum alia opinione, quae commensurat penes gradum medium, igitur non videtur, penes quid attendi habeat velocitas talis motus. Et sic habetur, quod non omnis velocitas motus difformis quoad subiectum attendi habeat penes velocitatem puncti velocissime moti.
Secundo principaliter contra eandem partem arguitur, quia si illud esset verum, sequeretur haec conclusio, quod aliquod mobile continuo uniformiter moveretur, et tamen quilibet punctus eius intrinsecus continuo intenderet motum suum, sed hoc videtur impossibile. Igitur illud, ex quo sequitur.
Sequela tamen probatur, et capio unam rotam, quam divido in duas medietates circulares concentricas, ut patet supra in figura, et rarefiat continuo uniformiter, dum talis rota movetur circulariter, medietas interior versus circumferentiam condensando medietatem superiorem versus circumferentiam quiescentibus continuo punctis circumferentialibus, ita quod continuo aequaliter distant a centro. Quo posito illa rota continuo uniformiter movetur, ut notum est ex opinione, et tamen quilibet punctus eius intrinsecus continuo intendit motum suum, (cum continuo magis ac magis distet a centro et continuo maiorem lineam describat), igitur. Potest universaliter inferri talis conclusio, si in tali rota corrumpantur extrema pu[n]cta. ¶ Dices, quod hoc non est inconveniens, ut be[n]e probat argumentum. Immo etiam alia opinio idem tenetur concedere.
Contra, quia tunc pari pacto sequeretur, quod aliquod mobile continuo uniformiter moveretur, et tamen quilibet punctus eius intrinsecus continuo remitteret motum suum, sed hoc videtur inconveniens. Igitur. Sequela probatur casu posito, quod medietas rotae superior rarefiat versus medietatem {inferiorem}2 eam condensando punctis extremis quiescentibus. Quo posito facile apparet propositum.
Abb. 1: Faksimile der Seite 132
¶ Dices, quod istae duae conclusiones tam illatae et ab ista opinione et altera sunt concedendae. Et ideo sunt correlaria et non inconvenientia.
Contra, quia tunc sequeretur, quod a qualibet parte proportionali alicuius mobilis secundum certam divisionem procedendo demeretur aliqua velocitas, ita quod quaelibet secundum talem divisionem moveatur minori velocitate, quam antea movebatur, et tamen totum mobile movetur continuo uniformiter et aeque velociter sicut antea, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis ostenditur, quia alias sequeretur, quod tota velocitas potest demi a partibus proportionalibus manente, tamen semper velocitate totius aequali, quod est mere impossibile. Patet hoc posito, quod in hora continuo cuiuslibet partis proportionalis secundum hanc divisionem remittatur motus, quo ad usque veniat ad non gradum, tunc continuo per illam horam tale mobile per te movebitur aequa[l]iter et uniformiter, ergo adhuc post illud instans terminativum poterit sic moveri motu partium ad non gradum remisso. Sed iam probo sequelam, et pono casum, quod una rota dividatur per partes proportionales circulares concentricas minoribus terminatis versus peripheriam rotae, et a prima dematur medietas suae velocitatis, et a sequenti eam, puta a secunda, dematur medietas unius gradus, et a tertia quarta unius gradus et sic consequenter procedendo per partes subduplas. Quo posito a puncto extremo nulla velocitas demitur et movetur, igitur continuo movetur uniformiter. Patet consequentia, et tamen quaelibet pars eius proportionalis secundum certam divisionem movetur velocitate minori, quam movebatur antea. Sed ad inferendum quod quaelibet pars proportionalis secundum talem divisionem moveatur subdupla velocitate, oportet ponere in casu, quod a qualibet illarum dematur medietas velocitatis, qua antea movebatur, et sic habebitur propositum. Et si tibi casus appareat difficilis, ut nunc mihi videor, facile erit verificare illum casum in rota flexibili, puta aquae vel alterius liquoris existentis intra sphaeram rotundam, et quilibet punctus eius moveatur quiescente centro motu circulari partibus eius moventibus eodem modo, quo ponitur in casu.
Tertio principaliter contra secundam partem quaestionis videlicet, quod non debet attendi penes gradum medium, arguitur sic, quia si illud esset verum, sequeretur, quod si una rota moveretur difformiter quoad subiectum a non gradu usque ad certum gradum, ita quod pars illa, quae est a centro usque ad medietatem semidiametri, moveatur a non gradu usque ad quartum, et residua pars usque ad circumferentiam moveatur a quarto usque ad duodecimum, tunc talis rota moveretur velocitate ut sex, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia ille est gradus medius inter duodecimum et non gradum. Sed iam arguitur falsitas consequentis, quia tunc sequeretur, quod illa rota aeque velociter moveretur, sicut si motus eius esset uniformiter difformis a non gradu usque ad duodecimum. Sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Consequentia apparet, et falsitas consequentis arguitur, quia si illa rota moveretur uniformiter difformiter a non gradu usque ad duodecimum, tunc punctus medius semidiametri moveretur velocitate ut sex, et per consequens maiori velocitate quam modo, et quilibet punctus intrinsecus maiori velocitate quam modo, ut satis patet intue[n]ti, ergo sequitur, quod illa rota | movetur, tunc maiori velocitate quam modo. Probatur haec consequentia, quia modo videlicet quando una pars eius, quae incipit a centro rotae et terminatur ad medium semidiametri, movetur a non gradu usque ad quartum, et reliqua pars a quarto usque ad duodecimum a velocitate vel penes velocitatem alicuius puncti intrinseci eius commensuratur, et attenditur motus illius rotae, et ab eodem postea debet attendi, quando velocius movetur, igitur propositum, quia rota manet, nec rarefacta nec condensata, et idem continuo manet punctus eius medius, quando movetur sic motu difformiter difformi, et qua[n]do movetur motu uniformiter difformi.
¶ Dices negando sequelam, et ad probationem dices, quod non est contra te, quia tu vis dicere, quod debet attendi motus difformis quoad subiectum penes gradum medium, quando talis motus est uniformiter difformis quoad subiectum, sed non, quando est difformiter difformis, q[u]ia tunc sequenda est tertia pars quaestionis videlicet penes reductionem ad uniformitatem.
Sed contra, quia si in omni motu uniformiter difformi quoad subiectum debeat velocitas attendi penes gradum medium, vel igitur per gradum medium intelligitur gradus, qui est medio talis subiecti quoad magnitudinem vel in medio quoad longitudinem vel in medio quoad magnitudinem et longitudinem simul, sed nullum istorum est dicendum, igitur non debet motus uniformiter difformis quoad subiectum velocitas penes gradum medium commensurari et attendi. Maior quoad primam partem videlicet, quod non debeat attendi penes gradum medium, hoc est existentem in medio subiecti quoad magnitudinem, patet ex primo argumento, et secunda confirmatione eius in dubitatione formata in priori capite, et quoad secundam partem patet ex confirmatione secundi argumenti eiusdem dubitationis prioris capitis. Sed quantum ad tertiam partem patet manifeste, quia quando rota movetur sic uniformiter difformiter quoad subiectum a non gradu in centro usque ad certum gradum in circumferentia procedendo a centro usque ad circumferentiam, nullus idem punctus est in medio magnitudinis et longitudinis signanter, quando quod rota est ubique aequalis crassitudinis. Tamen volo efficatiori argumento meo iudicio confirmare secundam partem minoris videlicet, quod non debeat velocitas motus uniformiter difformis quoad subiectum attendi penes punctum existentem in medio mobilis quantum ad longitudinem. Et in praedicta rota, de qua saepe mentio facta est, a centro eius usque ad circumferentiam signo unam colmnam, ex cuius basi in centro rotae educo lineam girativam girantem omnes partes proportionales talis columnae, ut communiter ponitur, et volo, quod talis rota moveatur uniformiter difformiter quoad subiectum a non gradu usque ad octavum. Quo posito sic argumentor illa linea girativa movetur uniformiter difformiter, cum sit pars corporis uniformiter difformiter moti, et tamen motus eius non correspondet gradui existenti in medio corporis quantum ad longitudinem, cum nullum tale sit, ut notum est, igitur aliquod movetur uniformiter difformiter quoad subiectum, cuius motus velocitas non attenditur penes gradum motus existentem in medio eius quantum ad longitudinem. Simile argumentum fierit, si a centro rotae educeretur una linea, quae circumdaret primo primam partem proportionalem circularem illius rotae et secundam et tertiam et quartam
Abb. 2: Faksimile der Seite 133
et sic consequenter, et manifestum est, quod talis linea erit infinita habens continuo circuitiones maiores, et movetur uniformiter difformiter, et nullam est eius medium quantum ad longitudinem. et per consequens non potest motus eius commensurari penes gradum existentem in medio eius quantum ad longitudinem. Praeterea consimile argumentum esset omnino si signaretur unum quadratum a centro illius rotae usque ad circumferentiam, et protraheretur una linea girans omnes partes proportionales eius per modum cuiusdam diametri infinite, ut philosophi ostendunt communiter in materia de infinito. Illa enim movetur uniformiter difformiter quo ad subiectum cum sit pars corporis uniformiter difformiter moti quo ad subiectum, tamen in eo non reperitur punctus medius.
Quarto principaliter contra eandem secundam partem conclusionis arguitur, quia si illa pars esset vera, sequeretur, quod caelum non movetur ita velociter sicut linea aequinoctialis (et loquor de primo mobili), sed consequens est falsum, igitur et antecedens. Consequentia patet, et coloratur falsitas consequentis, quia si non movetur ita velociter sicut linea aequinoctialis, et linea aequinoctialis est linea existens in medio eius, ergo mobile motum uniformiter difformiter quoad subiectum non movetur ita velociter sicut punctus existens in medio eius. ¶ Dices negando falsitatem consequentis, et ad probationem dices, quod in caelo et in quolibet corpore sphaerico motus velocitas debet attendi penes lineam descriptam a puncto existente in medio inter polum et punctum velocissime motum, et sic motus primi mobilis commensurari habet penes lineam descriptam a puncto, qui est in medio inter polum sive articum sive a[n]tarticum et lineam aequinoctialem.
Sed contra, quia vel debet attendi penes lineam descriptam a puncto medio in superficie concava vel in superficie convexa, sed nullum istorum est dicendum, igitur. Antecedens arguitur, quia punctus existens in medio quantum ad superficiem convexam non est simpliciter in medio nec punctus existens in superficie concava, igitur. Item tale mobile non movetur ita velotiter sicut superficies convexa nec ita tarde sicut superficies concava, ergo sequitur, quod velocitas eius non habet attendi penes punctum, hoc est penes lineam descriptam a puncto existente in superficie convexa nec in superficie concava.
¶ Dices, quod velocitas illius primi mobilis mensuranda est a puncto existente in medio inter superficiem concavam et convexam inter polum et punctum velocissime motum totius orbis.
Contra, quia tunc sequeretur haec conclusio, quod si primum mobile condensaretur versus superficiem convexam quiescentem, ipsum continuo velocius et velocius moveretur, et si rarefieret versus concavam quiescente etiam convexa, ipsum mobile continuo tardius et tardius moveretur, sed consequens est falsum, quia tunc sequeretur, quod quantocumque illud mobile efficeretur maius, tardius moveretur, et quanto minus, velocius, quod videtur absurdum. Cum ceteris paribus videatur, quod corpus maius maiorem lineam describat quam minus. Sed sequela probatur, quia quanto punctus medius magis accedat ad superficiem convexam per condensationem, tanto magis recedit a centro, et per consequens maiorem lineam describit, et quanto magis recedit a superficie convexa, magis accedit ad centrum sphaerae vel ad axem, et per consequens minorem lineam circularem describit, et sic tardius movetur. Quod fuit probandum. ¶ Dices concedendo conclusionem, | sicut concedenda est.
Sed contra, quia tunc sequeretur, quod si omnes sphaerae intermediae corrumperentur, et primum mobile quiescente convexa superficie rarefieret versus axem, quoad usque ex orbe efficiatur sphaera solida unicam superficiem dumtaxat habens, tunc illud mobile iam fact[a] sphaera solida longe tardius moveretur quam antea, et etiam moveretur uniformiter difformiter quoad subiectum, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet ex opinione et solutionibus datis. Sed falsitas consequentis quoad primam partem arguitur, quia tunc sequeretur, quod ab aequali proportione inaequales motus provenirent, sed consequens est falsum, et contra basim et fundamentum totius huius operis, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela tamen probatur, quia modo intelligentia movet primum mobile ab aliqua proportione, et tunc ipsum sic rarefactum, ut ponitur, ab eadem proportione movetur ad eadem intelligentia, quia volo, quod nullo pacto plus resistet, quam antea resistebat, et tamen tardius movetur, ut dicis, igitur ab eadem proportione inaequales velocitates proveniunt. Quod fuit probandum. ¶ Et si dicas, quod in caelo nulla est resistentia nec ibi proprie motus factus a certa proportione inter activitatem et resistentiam, ponamus casum similem, de quodam orbe habente gravitatem facto ex aliquo mixto vel aliquo elemento, quod sic rarefiat, quo ad usque efficiatur sphaera solida nulla addita gravitate vel levitate, et moveatur ab eadem virtute, a qua antea movebatur. Quo posito sequitur illam, igitur. Sed falsitas secundae partis consequentis arguitur, quia talis motus non ita se habet, quod quanto punctus magis distat a centro, tanto velocius moveatur, ut patet de punctis terminatibus axem, qui maxime distant a centro, et tamen non moventur, igitur talis motus non est uniformiter difformis quoad subiectum. Patet consequentia a definitione ad definitum negative. Nec valet dicere, quod per centrum in tali motu debet intelligi polus, quia etiam contra illud procedit ratio. Non enim quanto punctus in illa sphaera solida magis distat a polo, tanto velocius movetur, ut patet de punctis existentibus prope centrum sphaerae circa axem, quae puncta ita tarde moventur sicut aliqua, quae sunt propinquiora polo, ergo nec centrum sphaerae est centrum talis motusm nec polus. ¶ Et confirmatur, quia si illa opinio esset vera, sequeretur, quod si aliqua rota continuo condensaretur versus centrum movente etiam superficie convexa et motore non movente a maiori conamine, tunc continuo illa rota tardius et tardius moveretur, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia continuo punctus medius minorem lineam describit, igitur tardius movetur. Falsitas tamen consequentis arguitur, quia illa rota aeque velociter circuit sicut antea, ergo aeque velociter movetur sicut antea. Patet consequentia, quia circuitio talis rotae nihil aliud est quam motus circularis talis rotae. Item haec circuitio est ita velox sicut antea, et haec circuitio est hic mot[o]r circularis, igitur hic motus circularis est ita velox sicut antea, et per consequens illa rota tunc non tardius movetur. Quod fuit probandum. ¶ Dices forte negando falsitatem consequentis, et ad probationem concedo, quod ita velociter circuit sicut antea, et negando, quod ita velociter movetur, et cum probatur per syllogismum expositorum, dico, quod male concluditur, sed oportet inferre, ergo hic motus circularis
Abb. 3: Faksimile der Seite 134
est ita velox circulatio sicut antea, ut concludatur maior extremitas de minori. Quamvis enim idem sit circulatio et motus circularis, non tamen penes idem iudicari debet velocitas circuitionis et velocitas motus localis circularis, ut postea dicetur.
Sed contra, quia si illa solutio esset bona, sequeretur, quod ab eadem proportione potentiae ad suam resistentiam provenirent inaequales motus et aequales circuitiones, quod est falsum. Sequela patet facile ex solutione. Positum est enim, quod potentia moveret ab eodem conamine rotam continuo aequaliter resistentem, et dictum est, quod a tali proportione proveniebant inaequales motus, aequales autem circuitiones. ¶ Dices forte, quod iam, tunc non est eadem proportio inter movens et mobile, sed est minor. Sed hoc non potest dici, quam volo, quod potentia sit naturalis, et maneat in rota tanta resistentia sicut antea erat, ut positum est. Et si hoc non admittas, aequa lance currit contra te argumentum de circuitionibus, quia tunc ex inaequalibus proportionibus provenirent aequales circuitiones et inaequales motus, quod tam inconveniens videtur sicut reliquum. ¶ Et ideo dices forte, ut dicunt alii, quod non est inconveniens ab aequali proportione aequales circuitiones inaequales autem motus provenire, ut dictum est.
Sed contra, quia hoc dato iam destruitur fundamentum totius materiae, et iam pari facilitate protervus physicus concederet, quod a proportione dupla et a proportione quadrupla aequales velocitates natae sunt provenire, et multa similia, quae sunt absona calculatori philosopho. ¶ Qua propter dicunt alii ad argumentum concedendo consequentiam et negando falsitatem consequentis, et ad punctum probationis negant, quod talis rota antea et post movebatur ab aequali proportione, quia – ut dicunt – magnitudo rotae tenet se ex parte potentiae. Modo manente eodem conamine potentiae rota tardius movetur et a minore proportione, quia antea magnitudo ip[s]ius rotae iuvabat potentiam ad describendam lineam. Modo vero cum ipsa rota continuo efficiatur minor, non ita iuvat potentiam sicut ante. Quod facile exemplo declarar[i] potest. Manifestum est enim, quod si in superficie alicuius rotae addatur aliquid eiusdem speciei continuatum cum rota nullius gravitatis, et Socrates
Sed contra, quia magnitudo tenet se ex parte resistentiae, ergo non ex parte potentiae etiam manente aequali gravitate omnino. Probatur antecedens de orbe, qui maioratur per rarefactionem, quousque fiat spera solida, qui tunc tardius movetur, quam quando erat minor, ut patet ex secunda replica huius quarti argumenti. ¶ Dices sicut dicendum est, quod nec magnitudo, nec parvitas in talibus tenet se ex parte potentiae ut satis probat replica, sed distantia puncti a centro, penes cuius motum debet attendi velocitas totius mobilis, puta ipsius puncti, in quo est gradus medius, totius latitudinis motus tenet se ex parte potentiae. Ceteris enim paribus iuvat potentiam ad velocius describendum lineam, quam describit, quando recedit a centro, et per contrarium iuvat ad describendam tardius, quando magis accedit ad centrum, a quo exoritur motus. Et sic dico, quod quando rota rarefit versus circumferentiam movente circumferentia, tota proportio efficitur maior, et quando condensatur ordine converso, tota proportio efficitur minor.
Sed contra, quia ista solutio non satisfacit adhuc, enim sequitur, quod ab inaequalibus proportionibus aequales circuitiones proveniunt, quod est impossibile. Patet consequentia, quia Socrate
Quinto contra eandem partem arguitur sic: aliquis motus est uniformiter difformis quoad subiectum, et tamen eius velocitas non correspondet gradui medio. Igitur. Antecedens probatur, et suppono, quod rarefactio sit motus localis difformis quoad subiectum. Quo supposito pono, quod sint duo pedalia secundum omnem dimensionem, puta A, B, et volo, quod a rarefiat uniformiter, quousque efficiatur in duplo longius et in duplo latius uniformiter, et B rarefiat uniformiter, quousque efficiatur in sesquialtero longius et in sesquialtero latius uniformiter, ita quod A in fine sit unum quadratum, cuius costa sit dupla ad costam eiusdem in principio rarefactionis, et B sit aliud quadratum, cuius costa in fine rarefactionis sit sesquialtera ad costam eius in principio rarefactionis. Quo posito sic arguitur: si ill[i] motus, quo movetur A, et etiam, quo movetur B, debeant commensurari penes punctum medium, sequitur, quod A adaequate in duplo velocius moveretur quam B, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia punctus medius ipsius A in toto illo tempore rarefactionis pertransibit unum semipedale, quia punctus extremius movetur per pedale, et punctus medius ipsius B movetur per quartam pedalis, cum punctus extremus eiusdem B moveatur per semipedale, sed semipedalis ad quartam pedalis est proportio dupla, ut patet, igitur in duplo velocius movetur A quam B. Quod fuit probandum. Sed falsitas consequentis arguitur supposita illa conclusione geometrica videlicet, quod semper quadrata perfecta aequalis crassitudinis se habent in proportione duplicata ad proportionem suarum constarum, ut postea dicetur in capitulo de augmentatione. Si vero sint undiquaque quadrata perfecta, tunc se habent in proportione triplicata ad proportionem suarum costarum. Quo supposito sic arguitur: pedale A in duplo suprabipartiente quintas velocius rarefit quam pedale B, et ipsa rarefactio est motus localis, ut suppositum est, ergo in duplo suprabipartiente quintas velocius movetur A quam B, et per consequens non in duplo adaequate. Quod fuit probandum. Consequentia apparet, et arguitur maior, quia pedale A efficitur quadruplum in fine rarefactionis ad ipsum in principio, quia in principio rarefactionis costae ipsius A ad costam eius in fine rarefactionis est proportio dupla cum ceteris positis in casu, ergo ipsius quadrati A in fine ad ipsum in principio est proportio quadrupla, quae est duplicata proportio costarum, et antea erat illud pedale adaequate, ergo acquisivit tria pedalia, et aliud, puta B, acquisivit pedale cum quarta praecise, igitur quantitatis acacquisitae ipsi A ad quantitatem acquisitam ipsi B est proportio dupla superbipartiens quintas, et tanta est proportio rarefactionis ipsius A ad rarefactionem ipsius B. Igitur Sed iam probo, quod B acquisivit pedale cum quarta, quia costae ipsius B in fine ad costam eiusdem in principio rarefactionis est proportio sesquialtera. Ergo totius quadrati B in fine ad ipsum in principio est proportio dupla sexquiquarta, quae est dupla ad sesquialteram. Patet consequentia ex suppositione, et antea B erat pedale, ergo acquisivit pedale cum quarta. Quod fuit probandum. Simile argumentum posset fieri de rarefactione duarum sphaerarum solidarum aequalium in principio rarefactionis et in fine ita se habentium, quod diametri unius ad diameirum alterius esset proportio dupla.
Sexto principaliter arguitur et hoc contra tertiam partem quaestionis videlicet, quod debet attendi motus localis difformis velocitas quoad subiectum penes reductionem ad uniformitatem. Quia motus circularis in subiecto circulari non potest reduci ad uniformitatem, igitur non debet attendi penes reductionem ad uniformitatem. ¶ Et confirmatur, quia si reduceretur ad uniformitatem motus circularis alicuius rotae a non gradu usque ad octavum, vel oporteret reducendo ab aliqua parte capere aliquam
Abb. 4: Faksimile der Seite 135
certam velocitatem et ponere in aequali parte, sicut fit in reductione qualitatis uniformiter difformis, vel capiendo ab aliqua parte et ponendo in minori vel a minori et ponendo in maiori. Non tertium, quia tunc facile reducendo ad uniformitatem probaretur, quod velocitas illius rotae sit infinita, quia caperetur a prima parte proportionali unus gradus, et a secunda tantum, et a tertia tantum, et poneretur per totam rotam, et sic esset infinita velocitas. Nec secundum, quia tunc sequeretur, quod tota velocitas esset minor quam ut quatuor, ut si velocitas totius rotae poneretur immedietate eius, et ibi esset uniformis ut quatuor, deinde accipiendo medietatem illius latitudinis motus reducta ad uniformitatem, puta duos gradus, et ponendo eos in alia medietate et sic tota velocitas maneret ut duo. Nec est dicendum primum, quia divisa illa rota in duas partes concentricas, quarum una sit quarta pars totius rotae, et residua versus circumferentiam sit tres quartae, ut ponebatur in praecedenti capite in secunda confirmatione, puta ultima primi argumenti. Deinde volo, quod ille tres quartae reducantur ad uniformitatem, et patet, quod erunt uniformis in motu gradu sexto, cum totalis motus illius partis, quae componitur ex illis tribus quartis, sit uniformiter difformis a quarto usque ad octavum, et volo etiam, quod reducatur alia pars prope centum ad uniformitatem, et manifestum est, quod erit ut duo motus eius, cum sit uniformiter difformis a non g[r]adum usque ad quartum. Deinde volo, quod a qua[]libet trium quartarum magis intensarum removeatur unus grad[]us, et ponatur in quarta minus inten[]sa, quae est ut duo, et manifestum est, quod omnes quartae manebunt ut quinque uniformes, et per consequens tota illa velocitas talis motus uniformiter difformis reducendo ad uniformitatem removendo a parte aequali et ponendo sibi in aequali erit ut quinque, quod est falsum, quia est ut quatuor, cum est a non gradu usque ad octavum, igitur velocitas motus uniformiter difformis quoad subiectum non debet commensari penes reductionem ad uniformitatem. ¶ Dices forte concedendo, quod motus circularis non potest reduci ad uniformitatem ipso manente in subiecto circulariter moto, quia hoc repugnat, et intellige, sicut intelligendum est, sed bene talis velocitas reduceretur ad uniformitatem, qua tale mobile moveatur uniformiter motu recto quolibet puncto describente tantam lineam, quantam describit punctus medius. Et hoc loquendo de motu circulari, ut loquuntur terministe. Si autem loquimur ut reales, credo, quod dicendum esset secundum eorum viam, quod motus circularis essentialiter esset circularis, ita quod talis motus non potest esse, quin sit motus circularis quia differt specie essentiali a motu recto. Et ideo, ut modus respondendi huic argumento et etiam cognoscendi velocitatem motus difformis quoad subiectum sit utrique viae communis.
Respondeo alter, quod de facto motus difformis quoad subiectum velocitas nequaquam commensurari debet per reductionem ad uniformitatem, sed commensuranda est penes denominationem partium non quantum ad magnitudinem, sed quantum ad longitudinem. Volo dicere, quod non in ea proportione[], qua pars est maior altera, in ea propor[ti]one velocitas motus existens in ea plus facit ad denominationem totius velocitatis. Sed volo dicere, quod in ea proportione, in qua est longior ceteris paribus, in ea plus facit ad denominationem totius, ita quod tantum adaequate movetur una rota, quantum una linea procedens a centro illius rotae usque ad circumferentiam. Et si talis linea moveatur a non gradu usque ad octavum, etiam tota rota. Et potest venari velocitas motus illius lineae penes denominationem isto modo medietas huius lineae, quae velociu[s] movetur, movetur ut sex, igitur denominat totum moveri ut tria, et alia medietas totius ut unum, et sic tota linea movetur ut quatuor. |
Sed contra, quia si talis modus cognoscendi velocitatem motus difformis quoa[d] subiectum esset videlicet validus, sequeretur, quod dabilis esset una pars rotae uniformiter difformiter motae, quae non uniformiter difformiter moveretur, immo non esset dabilis gradus, quo adaequate moveretur, sed quolibet inadaequate citra summum, et consequens omni opinioni adversatur, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et capio unam rotam, quae moveatur uniformiter difformiter a non gradu usque ad octavum, et signo in ea unam colmnam, cuius unum extremum tangat centrum, et aliud circumferentiam. Deinde educo lineam girativam procedentem a centro talis rotae et girantem omnes partes proportionales talis colmnae, (et loquor de linea girativa, sicut loquuntur nominales, quamvis idem esset, si loquerer secundum reales.) Quo posito sic arguitur: talis linea est pars illius colmnae et habet infinitas partes aequales, quarum quaelibet movetur maiori et velociori gradu quam quatuor, et habet infinitas aequales, quarum quaelibet movetur velocius quam quinque et sic consequenter usque ad octavum gradum exclusive, et residuae partes solum sunt finitae, ut facile est intueri, igitur talis linea movetur maiori v[e]locitate quam ut quatuor, quam ut quinque, quam ut sex et cetera usque ad octavum gradum exclusive. Quod fuit probandum.
In oppositum tamen est communis schola asserens velocitatem motus difformis quoad subiectum aliquo illorum modorum attendi debere sive commensurari.
Pro descisio[n]e huius quaestionis supponenda est definitio motus uniformiter difformis quoad subiectum. Et etiam definitio motus difformiter difformis quoad subiectum quae superiori capite positae sunt. ¶ Item advertendum est, quod in motu circulari duo consideranda sunt, puta ipsa circuitio, et ipse motus circularis, quamvis enim idem sit motus circularis et circuitio, penes aliud tamen commensurari habet velocitas circuitionis, et velocitas motus circularis, sicut idem est albedo et similitudo, et penes aliud cognosci habet intensio albedinis, et intensio similitudinis, quod facile ex dialecticis percipi potest. In istis enim aspicienda est appellatio, ne in ea fallamur: Velocitas enim motus circularis attenditur penes lineam descriptam a certo puncto, ut inferius declarabitur. Sed velocitas circuitionis attendi habet penes angulum descriptum in tanto vel tanto tempore circa centrum, ita quod si in aequali tempore duo mobilia sive aequalia sive inaequalia circulariter mota aequales angulos circa centrum describunt, ipsa aequaliter circueunt et circumgirant. Si vero in eodem tempore inaequales describant circa centrum angulos, notum evadet eorum circuitiones inaequales esse. Et haec opinio est communiter loquentium, et signanter Pauli Veneti
Prima conclusio: velocitas motus uniformiter difformis quoad subiectum non debet attendi aut commensurari penes velocitatem puncti existentis in medio corporis quantum ad magnitudinem, ut bene probat tertium argumentum huius capitis.
Secunda conclusio: velocitas motus uni[for]miter
Abb. 5: Faksimile der Seite 136
difformis quoad subiectum non debet attendi penes velocitatem puncti existentis in medio mobilis quantum ad longitudinem. Patet haec conclusio ex eodem argumento.
Tertia conclusio: velocitas motus uniformiter difformis quoad subiectum commensurari debet penes gradum medium totius latitudinis talis motus uniformiter difformis, ubicumque fuerit talis gradus, sive in medio corporis quantum ad magnitudinem, sive non. (Non est cura.) Probatur haec conclusio, quam ceteri modi cognoscendi velocitatem motus uniformiter difformis quoad subiectum superioribus argumentis improbantur, restat igitur, ut penes modum datum cognoscatur.
Quarta conclusio: velocitas motus difformiter difformis quoad subiectum cognosci potest penes denominationem partium quantum ad longitudinem intelligendo per longitudinem distantiam a non gradu talis motus vel a gradu tardissimo versus gradus velociores, ut declaratum est in ultimo argumento. Probatur haec conclusio, quia non occurrit alter modus facilior ad cognoscendum huiusmodi velocitatem per denominationem, igitur tali modo investiganda est motus difformiter difformis quoad subiectum velocitas. Nec replica facta de linea girativa in ultimo argumento huius capitis hanc conclusionem valet ullo pacto infirmare, ut patebit ex solutione eiusdem replicae.
Quinta conclusio: probabile est velocitatem motus difformis quoad subiectum attendi debere penes gradum summum. Patet, quia ad illam opinionem, quae est Hentisberi
Sexta conclusio: distantia punctorum a centro, a quo procedit motus difformis quoad subiectum, tenet se ex parte potentiae, et auget proportionem potentiae ad resistentiam, necnon eidem potentiae est adiumento, et per oppositum propinquitas, nec magnitudo aut parvita[]s aliquid facit. Probatur facile haec conclusio ex deductione quarti argumenti huius capitis. ¶ Ex quo sequitur, quod non stat aliquam rotam, quae movetur a virtute Socratis
Septima conclusio: propinquitas aut distantia punctorum a centro nihil conducit ceteris paribus ad velocitatem circumgirationis sive circuitionis, quod idem est. Probatur, quia aeque velociter omnia puncta complent circulos suos, ut patet in rota, in sphaera lunae, solis et sic consequenter procedendo, et aequales angulos faciunt circa centrum, igitur aeque velociter circueunt, et per consequens distantia nihil confert. ¶ Ex quo sequitur, quod numquam concendendum est ab aequalibus proportionibus inaequales motus circulares provenire aut ab inaequalibus proportionibus aequales circuitiones, ut solutio quarti argumenti ostendit. ¶ Sequitur ex hac solutione secundo, quod si in eodem axe ponantur infinitae rotae continuo minores et minores, ita quod diametri primae sit dupla ad diametrum secundae et secundae ad diametrum tertiae et sic consequenter, et Socrates
Prima suppositio: si sunt duae quantitates aequalis profunditatis uniformiter et aeque late uniformiter, et una longior al[t]era, in quacumque proportione est longior, in eadem est maior. Exemplum, ut si sit unum pedale pedaliter latum et pedaliter profundum, et sit alia quantitas aeque profunda et aeque lata uniformiter et in duplo longior, manifestum est, quod illa est in duplo maior, quia continet duo pedalia. Probatur haec suppositio facile, quam cum tales latitudines sint uniformes in latitudine et profunditate illud, quod maior plus continet, est aeque latum et aeque profundum uniformiter sicut minor, ergo alia quantitas maior continet totam minorem et illud ultra, et illud est aeque magnum adaequate sicut tam longa pars minoris quantatis, igitur in quacumque proportione longitudo maioris excedit longitudinem minoris, in eadem proportione magnitudo maioris excedit magnitudinis minoris.
Secunda suppositio: si duae quantitates inaequales sint aeque profunde uniformiter et aeque longe uniformiter, et una latior altera, in quacumque proportione una est latior, in eadem est maior. Exemplum, ut si sit una quantitas bipedalis secundum longitudinem pedalis secundum latitudinem et profunditatem uniformiter, et alia uniformiter aeque longa et aeque profunda et in sexquialtero latior, erit in sexquialtero maior. Patet haec suppositio sicut prior.
Tertia suppositio: si sint duae quantitates aeque longe aeque late uniformiter, et una sit in aliqua pro[p]ortione profundior altera, in eadem proportione, in qua est profundior, est maior. Exemplum, ut si sit una magnitudo bipedaliter longa pedaliter lata et pedaliter profunda, et una alia bipedaliter longa et pedaliter lata et semipedaliter profunda, tunc dico, quod alia quantitas maior in ea proportione, in qua est profundior, in ea est maior, puta in dupla. Patet etiam haec sicut prima. His suppositionibus praemissis sit haec:
Abb. 6: Faksimile der Seite 137
Octava conclusio: proportio quadratorum perfectorum et aeque profundorum uniformiter est proportio costarum duplicata. Et voco quadratum perfectum, cuius omnes costae sunt aequales, et omnes anguli recti aequales. Non intelligas tamen, quod velim dicere, quod omnes costae debent esse aequales secundum omnem dimensionem, sed satis est secundum latitudinem et longitudinem. Exemplum, ut si sit unum quadratum pedaliter longum, pedaliter latum et pedaliter profundum, et aliud bipedaliter longum, bipedaliter latum et solum pedaliter profundum, tunc dico, quod unum est quadruplum ad alterum, quam costae se habent in proportio dupla, et magnitudines se habebant in proportione dupla ad duplam, cuiusmodi est quadrupla proportio. Probatur haec conclusio, et capio duo quadrata perfecta aequaliter profunda uniformiter, qu[o]rum minus sit A, et maius C, et habeat se costa ipsius C ad costam ipsius A in proportione F, tunc dico, quod ipsius C ad ipsum A est proportio duplicata ad proportionem ipsius F. Quod probo sic, et capio unum aliud corpus, puta B, quod sit aeque profundum et aeque latum sicut A uniformiter et in F proportione longius, et manifestum est, quod ipsius B ad ipsum A est proportio F, ut patet ex prima suppositione, et ipsius C ad ipsum B est etiam F proportio, ut patet ex secunda suppositione, quam cum ipsum C – ut ponitur in casu – sit in F proportione latius quam ipsum B et est aeque longum et aeque profundum sicut ipsum B, igitur est in F proportione maius ipso B, ut ostendit praedicta secunda suppositio, igitur ipsius C ad ipsum A est proportio duplicata ad proportionem F. Patet haec consequentia ex conclusione octava sexti capitis secundae partis, quam ibi sunt 3 termini continuo proportionales F proportione[], quam B ad A est proportio F, et C ad B est proportio F, igitur C ad A est proportio duplicata sive dupla ad proportionem F, ut clare ostendit praedicta octava conclusio allegata. ¶ Ex hac conclusione sequitur tale correlarium, quod proportio duorum corporum cuborum sive perfecte quadratorum simpliciter, cuiusmodi sunt data sive taxilli, quorum longitudo est aequalis latitudini et profunditati, est proportio costarum triplicata. Exemplum, ut si fuerit unum corpus cubum pedaliter profundum, et aliud corpus cubum bipedaliter profundum, dico, quod illud bipedalit[e]r profundum est octuplum ad illud pedaliter profundum, quam costae ad costam est proportio dupla, igitur ex correlario ostenditur proportionem magnitudinis esse triplam ad proportionem duplam, et illa est octupla, ut patet ex secunda parte, igitur. Probatur hoc correlarium, et capio duo corpora cuba, quorum latera sive costae se habeant in F proportione, et sit minus illorum A, et maius illorum D, deinde capio B corpus, quod sit aeque prof[u]ndum et aeque latum sicut A et in F proportione longius, deinde capio quartum corpus, puta C, quod sit aeque longum et aeque profundum sicut B et in F proportione latius, et arguo sic, D ad C est F proportio, ut patet ex secunda suppositione, et B ad A est F proportio, ut patet ex prima, igitur D ad A est triplicata proportio sive tripla ad proportionem F, ut patet ex 8. conclusione sexti capitis secundae partis. Quod fuit probandum. ¶ Ex quo sequitur, quod datis duobus quadrangulis cubis, quorum costae se habent in proportione sesquialtera, maioris quadranguli ad minorem est proportio tripla supertripartiens octavas, qualis 27 ad 8. Probatur quam, ut patet ex praecedenti correlario, proportio duorum cuborum sive quadratorum perfectorum est proportio costarum triplata, sed proportio tripla supertripartiens [octava] est tripla ad proportionem sesquialteram, quae est inter costas datorum quadratorum, igitur talia quadrata cuba se habent in proportione tripla supertripartiente [octava]. Maior patet cum consequentia, et probatur minor, quam proportio[] 27 ad 8 componitur ex tribus sesquialteris. Sint enim inter illos numeros 4 termini continuo proportionales proportione sesquialtera. Nam 27 ad 18 est proportio sesquialtera, et 18 ad 12 est proportio sesquialtera, et 12 ad 8 sesquialtera. ¶ Sequitur ulterius, quod datis duobus quadratis cubicis, quorum latera se habent in proportione tripla, inter maius et | minus reperitur proportio vicecupla septupla, qualis est proportio 27 ad unum. Patet hoc correlarium ex primo correlario, hoc addito, quod proportio vicecupla septupla ex tribus triplis componitur, quod facile est prospicere. Nam 27 ad 9 est proportio tripla, et 9 ad 3 est proportio tripla, et 3 ad unum similiter tripla proportio. Isto modo procedendo aliquantula primae ditatione et consideratione compositionis proportionum, infinita correlaria ex praedicto primo correlario inferri valent et similiter ex conclusione. Sed differantur usque ad materiam de augmentatione.
Nona conclusio: secundum opinionem, quae ponit velocitatem motus difformiter difformis quoad subiectum attendi debere penes gradum summum, proportio motus duarum sp[h]aerarum sive duorum orbium pariterque duorum circulorum in aequali tempore ceteris paribus circumgiratorum est sicut proportio suorum diametrorum. Probatur haec conclusio, quam proportio perimetrorum circulorum est sicut proportio diametrorum, et quanto una diameter est maior altera, tanto maiorem lineam describit eius punctus maxime a centro distans, igitur conclusio vera. ¶ Hic tamen adverte, quod ad inducendam hanc conclusionem processu mathematico oportet maiori apparatu uti, quam praesens exigat opus, satis est enim in istis Euclidi[s]
Decima conclusio: proportio motuum duarum sphaerarum solidarum est sicut proportio diametrorum, et hoc secundum omnem opinionem. Probatur ex priori quantum ad opinionem, quae dicit velocitatem attendi debere penes punctum velocissime motum. Sed quantum ad aliam opinionem patet, quam secundum aliam velocitas sp[h]aerae solidae debet attendi secundum lineam descriptam a puncto medio semidiametri inter centrum et circumferentiam, et per consequens a puncto descripto ab una quarta semidiametri, sed in quacumque proportione una diameter est maior altera, in eadem una quarta est maior una quarta alterius, ergo secundum hanc opinionem in quacumque proportionem diameter unius sp[h]aerae solidae erit maior diametro alterius, in eadem proportione maiorem lineam describet punctus medius semidiametri, et per consequens proportio motus erit sicut proportio diametrorum. Quod fuit probandum.
Undecima conclusio: proportio motuum duarum sp[h]aerarum inaequalium in eode[m] tempore circumgiratarum, dummodo sint solidae, est subtripla ad proportionem sp[h]aerarum inter se. Proportio motuum duarum sphaerarum inaequalium in eode[m] tempore circumgiratarum, dummodo sint solidae, est subtripla ad proportionem sphaerarum inter se. Probatur haec conclusio, quam proportio motuum duarum sphaerarum est proportio diametrorum talium sphaerarum, ut patet ex priori, sed proportio sphaerarum inaequalium est proportio diametrorum triplata, sive est tripla ad proportionem diametrorum, quod idem est, ut patet ex ultima decim elementorum Euclidis
Abb. 7: Faksimile der Seite 138
octavas, consequens est motus earum se habere in proportione subtripla ad proportionem triplam supertripartientem octa[v]as, ut patet ex conclusione, et talis est proportio sesquialtera, ut ostensum est in secundo correlario octavae conclusionis huius capitis, igitur propositum, de proportione autem sphaerarum et de motuum earum proportione videas Theodosium d[i]spersis et pulchram doctinam necnon subtile artificium conclusionum, qua in hac materia Thomas Bravardi[n]us
Duodecima conclusio responsiva ad quaestionem: quemadmodum probabile est velocitatem motus, de quo est praesens inquisitio, attendi debere penes lineam descriptam a puncto, in quo est gradus medius, aut penes reductionem ad uniformitatem denominationis, ita probile est talem motum attendi debere penes lineam a puncto velocissime moto descriptam, sive talis punctus velocissime motus sit verus sive imaginarius. Prima pars huius conclusionis aliqualiter patet ex praedictis, [...] et declabitur per amplius in argumentorum solutionibus. Secunda vero pars patet ex conclusione quinta huius. Si tamen plus affectas hanc secundam partem conclusionis investigare praesto, erit tibi Guillermus Hentisber
Ad rationes ante oppositum, quia utramque opinionem sustinemus opere praetium est omnes illas rationes solvere, quamvis illae, quae sunt contra unam opinione[m], sint pro altera.
Ad primam dico, ut dictum est ibi, cum dicebatur, quod ideo velocitas motus difformis quoad subiectum attendi debet penes punctum velocissime motum, quia dignum est unumquodque a digniori denominari, item quia aliquando non datur punctus tardissime motus, ut ibi dicitur, et ad replicam respondeo, quod quamvis non detur aliquando punctus, qui velocissime movetur, verus, datur tamen imaginarius, quod sufficit, et similiter non detur linea vera, datur tamen imaginaria, quam describit, et loquor in proposito de vero vel imaginario, ut ad propositum conducit. Et per hoc patet ad primam confirmationem cum sua replica prima. Et ad secundam replicam, quae ponit rotam continuo rarefieri, ita quod continuo magis distent puncta extra a centr[u]m, admitto casum et nego antecedens et ad probationem nego, quod nullam lineam describat, et cum probatur, quia nec rectam nec circularem, concedo antecedens et nego consequentiam. Multae enim lineae sunt, quae nec rectae nec circulares sunt, ut patet de linea pro media parte recta et pro media circulari. Hoc idem patet de linea girativa et de filio ad globum redacto. Et ideo dico, quod talis linea habet se quasi ad modum lineae girativae vel curvae.
Ad secundam confirmationem dico breviter, quod talis rota movetur ita velociter, sicut punctus, eius extremus, movetur in toto tempore adaequate. Et si quaeras, cui correspondet velocitas illius puncti in toto illo tempore adaequate:
Respondeo, ut mihi videtur pro nunc, quod correspondet velocitati, quam talis punctus habet in instanti medio totius temporis. Nam imaginor illum punctum moveri uniformiter quoad tempus continuo uniformiter intendendo motum, et cum dicis, quod hoc est con[]cidere cum alia opinione, nego tibi illud, et ratio est, quia alia opinio diceret in illo casu rotam illam moveri continuo ita velociter sicut punctus, qui est in medio semidiametri inter centrum et circumferentiam, qui longe tardius move[tur] quam punctus peripheriae, et consequenter diceret, quod velocitas motus totius rotae correspondet velocitati motus, qua habet, ille punctus, qui est in medio illius semidiametri, movetur in medio totius temporis, in quo movetur.
Ad secundum argumentum responsum est | ibi usque ad ultimam replicam, ad quam respondeo concedendo, quod infertur, et negando falsitatem consequentis, et cum probatur falsitas consequentis, nego sequelam videlicet, quod stabit punctum extremum moveri ita velociter, sicut antea movebatur qualibet parte proportionali carente velocitate sive quiescente. Sed dico, quod cum aliqua pars proportionalis devenerit ad non gradum velocitatis, tota rota quiescit. Utrum autem posset fieri, quod in calce argumenti ponitur videlicet, quod a qualibet per parte propotionali secundum certam divisionem dematur medietas velocitatis absque hoc, quod dematur aliquid a puncto existente in peripheria rotae, non est mihi certum, nihilominus videtur, quod pari ratione concedendum sit, sicut conceditur procedens illatum.
Ad tertiam rationem respondent priores conclusiones huius capitis positae in corpore huius quaestionis.
Ad quartum argumentum dictum est ibi usque ad ultimam replicam, ad quam respondet septima conclusio cum suo correlario: distantia enim punctorum vel propinquitas nihil confert ad velocitatem circumgirationis nec auget nec minuit proportionem, sed dumtaxat impedimentum circumgirandi, quod forte est gravitas existens in corpore circunducto. Si nulla enim esset gravitas aut aliquod aliud impedimentum, aeque cito giraretur magna rota sicut parva, et si potentia circumgirans esset naturalis, subito circumgiraretur.
Ad quintum negatur antecedens, et ad probationem admisso casu et suppositione concedo illatum videlicet, quod A adaequate in duplo velocius movetur quam B, et nego falsitatem consequentis, et ad probationem admissa conclusione geometrica, quae ibi supponitur, concedo, quod A pedale in duplo superbipartienti quintas velocius rarefit quam pedale B, et quod rarefactio est motus localis, et cum infertur, ergo in duplo superbipartienti quantas velocius movetur A quam B, nego consequentiam, quamvis enim idem sit rarefactio et motus, penes tamen aliud commensurari habet velocitas rarefactionis et motus localis, sicut dictum est de circuitione et motu circulari.
Ad sextam rationem dictum est ibi usque ad replicam de linea girante columnam, ad quam dico, quod motus talis lineae girativae non debet reduci ad uniformitatem, ut supponit replica, sed totum residuum illius lineae, quod est supra punctum, in quo est medius gradus motus, quo movetur totalis rota, debet capi, ac si esset medietas totius lineae, tam velociter enim movetur illa linea girativa sicut una linea recta exiens a centro rotae usque ad circumferetiam eius. Et ideo velocitas illius lineae girativae commensurari habet penes velocitatem talis lineae rectae. Et si haec solutio tibi non placet, vexes inte[l]lectum ad comperiendam aliam. Non enim pro nunc alia mihi occurit. Argumentum in oppositum non est magis pro una opinione quam pro reliqua. Et ideo quaestio nostra his paucis contenta terminum sumat.