2. Kapitel des 3. Traktats des 3. Teils

Secundum capitulum huius tractatus, in quo solito pro more disputative inquirimus, penes quid velocitas augmentationis attendi habeat

Nunc consequenter quaeritur, utrum velocitas motus augmentationis penes proportionalem acquisitionem quantitatis attendi habeat, an penes absolutam acquisitionem quantitatis.

Arguitur primo, quod non penes proportionabilem acquisitionem quantitatis, ita quod non semper illud, quod in eodem tempore maiorem proportionem acquirit quam aliud, velocius augmentetur quam aliud in eodem tempore, quia si sic, tunc sequeretur, quod A et B sunt aequalia, et A continuo velocius augmentabitur quam B, et tamen semper A manebit minus B, sed consequens est manifeste falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur: et volo, quod A et B sint duo pedalia, et acquirat uniformiter B in hora unum pedale, et nihil deperdat de q[u]antitate praehabita, A vero acquirat unum pedale uniformiter per horam, et deperdat unum semipedale quantitatis praehabitae uniformiter in illa hora. Quo posito arguitur sic: A et B sunt modo aequalia, et semper A post hoc manebit minus B, ut constat, quam si nihil deperderet maneret aequale, sed modo continuo perdet. Ergo continuo manet minus, et tamen A continuo velocius augmentabitur quam B, igitur intentum. Probatur minor, quia A continuo erit minus B et continuo aequalem quantitatem acquiret cum B, igitur A continuo maiorem proportionem acquiret quam B, et penes acquisitionem maioioris proportionis in eodem tempore attenditur maior velocitas augmentationis, igitur A continuo velocius augmentabitur quam B. Quod fuit probandum. Haec consequentia patet de se et prior ex octava suppositione quarti capitis secundae partis, et in aliis plerisque locis libri arguta est. ¶ Dices et bene negando sequelam, et ad probationem admisso casu ad bonum sensum posset enim negari, ut postea dicemus, respondeo negando minorem videlicet, quod A continuo post hoc velocius augmentabitur quam B, et ad probationem concedo, quod A continuo manebit minus, et nego, quod continuo aequalem quantitatem acquiret cum B, sicut de facto est negandum, quia si nihil deperderet, semper acquireret aequalem quantitatem, sed modo continuo deperdit, ergo continuo acquirit minorem, quoniam in tota hora non acquirit A, nisi semipedale. Manebit enim in fine pedale cum dimidio, quoniam mansisset bipedale, nisi perdidisset dimidium. ¶ Item in instanti medio horae acquisivit A unam quartam pedalis, B vero unam medietatem, et sic in illa prima medietate maiorem quantitatem acquisivit B quam A, cuius oppositum assumit argumentum. ¶ Ex quo a parte infertur cal[cu]latorem male induxisse illud consequens tanquam sequens ex opinione, quam impugnamus, quantum illa conclusio nullo pacto sequitur ex positione. Teneatur igitur positio universaliter.

Sed contra hanc responsionem arguitur sic, quia si illa positio esset universaliter vera, sequeretur haec conclusio, quod si sint duo sive aequalia sive inaequalia, quae continuo aeque velociter diminuantur perdendo continuo aequales proportiones, aeque cito venient ad non quantum, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur, falsitas consequentis probatur, quia stat, quod aliqua duo in aliquo tepore aeque velociter diminuatur perdendo in illo tempore praecise 4 duplas, igitur tunc continuo aeque velociter diminuentur, et tamen non aeque cito devenient ad non quantum, et per consequens illud illatum est una conditionalis, quae est falsa, igitur illud consequens est falsum. ¶ Dices et bene, quod de rigore illud consequens est falsum, quamvis sub illa forma ponatur a calculatore, sed oportet addere in anteceden[t]e illius conditionalis, | quae aeque velociter diminuuntur usque ad non quantum, et tunc illa conclusio est concedenda secundum opinionem. Quod sic ostenditur, quoniam si aliquod corpus, puta A, in hora diminuatur ad non quantum, illud corpus infinitam latitudinem proportionum deperdet, et B aliud corpus maius in tota illa hora aeque velociter diminuitur cum A, ergo sequitur, quod infinitam latitudinem proportionis etiam deperdit B in illa hora, et ultra infinitam latitudinem proportionis deperdit B in illa hora, et non restituitur in instanti terminativo pristinae quantitati, ut volo, igitur in instanti terminativo horae B erit non quantum, et tunc A erit non quantum, igitur aeque cito A et B devenient ad non quantum in tali casu. Quod fuit probandum. Sed tam probo hanc consequentiam: B inifinitam latitudinem proportionis deperdit in hora, et non restituitur in instanti terminativo pristinae quantitati, ergo in illo instanti non quantum manet. Quia si in illo instanti maneret alicuius quantitatis, sit illa quantitas una millesima exempli gratia, et tam sequitur, quod in illa hora non deperdit, nisi millecuplam proportionem, et per consequens non infinitam, quod est oppositum consequentis. Et isto modo probatur haec consequentia prius facta: devenit A ad non quantum, ergo infinitam proportionem deperdit, quia si solum finita, puta millecuplam, iam illud in fine maneret ut una millesima, et sic non maneret non quantum.

Sed contra hoc arguitur sic, quia si hoc esset verum, sequ[e]retur eodem modo, quod si in aliqua duo – sive aequalia sive inaequalia – in certa proportione continuo inaequaliter diminuantur usque ad non quantum, talia aeque cito deveniunt ad non quantum, sed consequens videtur falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur: et volo, quod sint A et B pedale, et perdat A in qualibet parte proportionali proportionem quadruplam, B vero semper in duplo minorem proportionem in qualibet parte proportionali, puta proportionem duplam. Et arguitur sic: cum primum A perdiderit infinitas proportiones quadruplas, ipsum devenerit ad non quantum, et tunc B perdidit infinitas duplas, ut patet ex casu, ergo tunc B devenit ad non quantum. Non enim potest infinitas duplas perdere, quin infinitam latitudinem proportionis deperdat, et per consequens aeque cito A et B devenient ad non quantum. Quod fuit probandum. Et isto modo probabis de quibuscumque aliis corporibus, sive aequalibus sive inaequalibus, dummodo unum altero in certa proportione continuo velocius diminuatur ad non quantum.

Secundo principaliter ad idem arguitur sic: si velocitas augmentationis attenderetur penes proportionalem acquisitionem quantitatis, sequeretur haec conclusio, quod, si aliquid inciperet successive augeri a non quanto, ipsum infinite velociter inciperet augeri, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequens arguitur sic, quia tunc sequeretur, quod quodlibet tale infinite velociter inciperet acquirere de quantitate, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sed tam probo sequelam, quia si A incipit augeri a non quanto post instans inceptionis talis augmentationis, ipsum est aliquantum, et ante illud instans fuit in duplo minus et in triplo et in quadruplo et sic infinitum, ergo inter illud instans et instans initiativum illud acquisivit infinitam proportionem, et per consequens sequitur, quod ipsum infinite velociter incipit augeri. Patet consequentia ex positione. ¶ Dices et bene concedendo conclusionem illatam, ut bene probat argumentum, et negando falsitatem consequentis, et ad probationem nego istam consequentiam infinite velociter incipit augeri, ergo infinite velociter incipit A acquire[]re de quantitate,

ut postea ostenditur. Immo stat, quod infinite tarde incipit acquirere de quantitate.

Sed contra, quia tunc sequeretur haec conclusio, quod si aliqua duo inciperent augeri a non quanto, puta A et B, et A in certa proportione continuo velocius augeatur quam B, ipsum A, quod in certa proportione continuo velocius augebitur quam B, per magnum tempus manebit minus ipso B, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis arguitur sic, quoniam, si A et B a non quanto incipient continuo aequevelociter augeri, continuo manerent aequalia, sed modo A continuo velocius augebitur quam B, et incipiunt a non quanto in eodem nstanti, ergo sequitur, quod A continuo erit maius ipso B, et per consequens numquam manebit minus. Sed iam probo sequelam, quoniam si ipsum A, quod velocius augetur, non per aliquod tempus erit minus ipso B, sed semper maius ut dictis. Detur igitur unum instans illius temporis, in quo A est maius ipso B in aliqua proportione, et semper ante illud instans fuit maius, ut dicis, et sit tale instans C, et sit gratia argumenti in tali instanti proportio A ad B sexquialtera adaequate, et volo gratia exempli, quod A continuo augeatur velocius B in proportione dupla. Quo posito arguitur sic: B infinitas proportiones sexquialteras acquisivit ab instanti initiati[v]o augmentationis usque ad instans C, ut patet ex isto argumento, detur igitur unum instans, quod sit D, ante instans C, inter quod et instans C B acquisivit duas sexquialteras, et arguitur sic: inter D instans et C instans acquisivit B duas sesquialteras, et A continuo in duplo velocius augetur quam B, igitur A inter D instans et C instans acquisivit quatuor sesquialteras, et in D instanti erat maius ipso B per te, igitur in C instanti est ipsum A plus quam in sexquialtero maius ipso B, quod est oppositum concessi. Dictum est enim, quod in C instanti se habebant in proportione sesquialtera adaequate. Probatur cons[equent]ia, quia si A et B in instanti D fuissent aequalia, et [B] acquisivisset D duas sesquialteras, et A 4 usque ad instans C in ipso instanti. [In] C A excessisset B per duas sexquialteras, sed modo in tali instanti A est adhuc maius B per te, et acquirit 4 sesquialteras usque ad instans C, et B acquirit praecise duas usque ad idem instans C, ergo sequitur, quod in illo instanti C A excedit B per duas sesquialteras vel per plus. Patet haec consequentia per locum a maiori, et per consequens non per sesquialteram praecise, quod erat inferendum. Tenet haec inductio virtute huius maximae: Quando aliqua duo sunt aequalia, et in eodem tempore unum illorum maiorem proportionem acquirit quam reliquum, in fine temporis illud, quod maiorem proportionem acquisivit, est maius illo, quod minorem proportionem acquisivit in proportione, per quam proportio acquisita illi, quod in fine est maius, excedit proportionem acquisitam illi, quod est minu[s], ut constat ex secunda parte, isto modo universaliter probabis in omnibus.

¶ Dices et bene concedendo, quod infertur, ut bene probat argumentum, et negando falsitatem consequentis, et ad probationem nego hanc conditionalem: si A et B incipiant augeri [a] non quanto continuo aeque velociter, ipsa continuo manebunt aequalia. Immo stat, quod unum, in quacumque proportione volueris, maneat minus altero, ut postea demonstrabitur.

Sed contra hanc solutionem arguitur sic, quia si illa solutio esset bona, sequeretur, quod si A et B inciperent augeri a non quanto, et A in certa proportione continuo velocius augeretur quam B, ipsum A, quod in certa proportione continuo velocius augetur, inciperet in infinitum esse minus ipso B, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis probatur, quia tunc sequeretur, quod quando aliqua duo | incipiunt augeri a non quanto, unum in certa proportione continuo velocius altero, illud, quod tardius incipit augeri, incipiet in infinitum velocius acquirere de quantitate. Sed hoc apparet falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela tamen probatur, quia quocumque instanti dato post instans initiativum augmentationis inter illud et instans initiativum A erit aliquantulum minus ipso B, ut patet ex priori replica, et in duplo minus et in triplo et in quadruplo et sic in infinitum, ergo immediate post illud instans initiativum A erit in infinitum minus ipso B, et iam non est minus, ergo incipit esse in infinitum minus ipso B, et tam A quam B incipit a non quanto acquirere quantitatem, ergo B, quod incipit tardius augeri, incipit infinitum velocius acquirere de quantitate A, quod in certa proportione velocius incipit augmentari. Quod fuit probandum. Sed iam probo, quod quocumque instanti dato post illud instans initiativum erit A inter illud instans et instans initiativum aliquantulum minus ipso B et in duplo et in quadruplo et sic in infinitum, quia si non da oppositum, et dic, quod bene A erit minus ipso B, sed numquam in quadruplo gratia exempli, et arguo sic capiendo unum instans, quod sit C, in quo A est minus B, ut concedis, et superius probatum est, et numquam ante illud instans erit in quadruplo minus, et cum B acquiret infinitas proportiones quadruplas ab instanti initiativo augmentationis usque ad instans C. Capio unum instans ante C, quod sit D inter quod et C, ipsum B acquirit unam quadruplam praecise. Et arguo sic: B inter D et C acquiret unam quadruplam, et A in duplo velocius augetur quam B, ut suppono, ergo sequitur, quod A inter D et C instans acquiret duas quadruplas, et in D instanti A non erit in quadruplo minus ipso D, sed in minori proportione minus. Igitur in C instanti A erit maius B, quod est oppositum concessi. Positum enim est et concessum, quod A esset minus B in C instanti, sed non in quadruplo minus. Patet tamen consequentia, quoniam si in D instanti foret A in quadruplo minus ipso B, et inter D instans et C instans acquireret B unam quadruplam, et A duas, tunc in C instanti A esset aequale B, quia acquiret illam proportionem, quae deficiebat ei, ut sit aequale B, et in super tantam, quantam B. Ergo manet aequale B, sed modo in D instanti erit A minus quam tunc, et acquiret usque ad C instans tantam proportionem, quantam tunc, ergo sequitur, quod in C instanti manet maius quam tunc et per consequens maius ipso B, quod fuit inferendum. Ei isto modo probabis in quibuscumque aliis speciebus proportionum. Si tu enim dicas, quod in sexquialtero velocius A continuo augebitur quam B et numquam erit in quadruplo minus, tunc ego posito, quod B inter instans D et C acquirat duas quadruplas, et per consequens in illo tempore A acquiret 3 quadruplas, et sic acquiret plus, quam deficiebat ei, ut esset aequale B, et insuper tantum, quantum acquisivit B, et per consequens in C instanti manebit A maius B, quod est oppositum concessi.

Confirmatur, quia si illa positio esset vera, sequeretur, quod A inciperet a non quanto in infinitum velociter augeri, et tamen continuo acquireret uniformiter de quantitate, sed consequens videtur repugnare. Igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et divido horam futuram per partes proportionales proportione dupla minoribus terminatis versus finem, et capio unum pedale divisum per partes proportionales proportione dupla, et volo, quod in prima parte proportionali temporis deperdat uniformiter primam partem proportionalem sui et in secunda secundam et in tertia tertiam et sic consequenter semper uniformiter deperdendo quantitatem usque ad non quantum. Deinde volo, quod in alia hora sequenti augeatur A non quanta

omnino eodem modo, sicut diminuebatur acquirendo uniformiter quantitatem, sicut eam deperdebat. Quo posito arguitur sic: A in instanti initiativo alterius horae sequentis incipit uniformiter acquirere quantitatem, quia uniformiter deperdit in hora priori cum positis in casu, et tamen incipit in infinitum velociter augeri, ut patet ex principio huius secundi argumenti, igitur propositum. ¶ Dices et bene concedendo, quod infertur, et negando, quod illud repugnet. Immo in tali casu illud sequitur ex hac positione.

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod quotienscumque hora dividitur proportione dupla, et aliquid incipit augeri a non quanto in qualibet parte proportionali acquirendo uniformiter unam sui partem proportionalem proportione dupla, ipsum incipit uniformiter acquirere quantitatem, et continuo uniformiter aquirit. Patet hoc, quia in aequalibus partibus temporis aequalem quantitatem omnino acquirit, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis arguitur, quia tunc sequeretur, quod si duo inciperent augeri a non quanto, et unum illorum in qualibet parte proportionli temporis proportione dupla i[n]cipiendo a minoribus acquireret uniformiter unam partem proportionalem sui proportione dupla, ita quod in qualibet parte proportionali acquireret proportionem duplam, et aliud in certa proportione continuo velocius augeretur, puta in qualibet parte proportionali talis temporis acquirendo proportionem quadruplam vel octuplam continuo, tunc illud, quod in certa proportione continuo velocius augetur, incipit infinitum tarde acquirere de quantitate. Sed consequens est falsum, quia tunc sequeretur, quod omne, quod a non quanto incipit augeri, et in qualibet parte temporis proportionali proportione dupla maiorem proportionem acquirit quam dupla, in infinitum tarde acquireret de quantitate, quod videtur omnino extraneum. Sequela tamen probatur: et volo, quod A sic incipiat augeri a non quanto, et in qualibet parte proportionali temporis proportione dupla acquirat proportionem duplam acquirendo uniformiter de quantitate, et B in omni consimili parte temporis acquirat maiorem proportionem dupla, puta triplam vel quadruplam vel octuplam, in idem redit. Quo posito arguitur sic: A et B incipiunt augeri a non quanto, et B in certa proportione continuo velocius augebitur quam A, ergo sequitur, quod A incipit in infinitum esse maius ipso B, et per consequens incipit in infinitum maiorem quantitatem acquirere ipso B, ut patet ex ultima replica secundi argumenti, et ultra sequitur, quod in infinitum maiorem quantitatem acquirit A quam B in eodem tempore, et A continuo uniformiter et aeque velociter acquirit quantitatem, ergo B incipit in infinitum tarde acquirere de quantitate. Quod fuit probandum.

Confirmatur secundo, quia si positio esset vera, sequeretur, quod si a non quanto aliquid inciperet augeri in qualibet parte proportionali temporis proportione dupla divisi acquirendo minorem proportionem quam duplam, ipsum inciperet in infinitum velociter acquirere de quantitate, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur: et capio A et B et volo, quod A incipiat augeri a non quanto in qualibet parte proportionali temporis proportione dupla divisi acquirendo uniformiter consimilem partem proportionalem sui proportione dupla, ita quod in qualibet tali parte temporis acquirat unam proportionem duplam, et B in qualibet consimili parte temporis acquirat unam partem proportionalem sui proportione minori dupla, puta sexquitertia vel sexquialtera. Quo posito arguitur sic: A et B incipiunt augeri a non quanto, et B in certa proportione continuo tardius ipso A, igitur incipit esse in infinitum maius ips[]o A, et per consequens incipit in infinitum velociter maiorem | quantitatem acquirere quam A in eodem tempore. Pate[]t consequentia ut prius, et A continuo certe velociter acquirit quantitatem, ut positum est. Igitur B in infinitum velociter acquirit quantitatem, quod fuit probadum. Sed iam probo falsitatem consequentis, quia tunc sequeretur, quod si A et B incipere[n]t a non quanto augeri, et A in qualibet parte proportionali temporis proportione dupla acqu[i]reret proportionem sexquialteram, et B in consimili parte continuo acquireret proportionem sexquitertiam, tunc utrumque illorum inciperet infinite velociter acquirere de quantitate, et per consequens B non inciperet velocius acquirere de quantitate quam A et sic non inciperet in infinitum esse maius ipso A, quod est contra conclusionem probatam in ultima replica secundi argumenti. Falsitas consequentis patet, quia non videtur possibile, quod utrumque illorum inciperet infinite velociter acquirere de quantitate, et tamen unum illorum inciperet in infinitum velocius altero acquirere. Consequentia tamen patet, quia utrumque illorum incipit augeri a non quanto continuo in qualibet parte proportionali temporis proportione dupla acquirendo minorem proportionem dupla. Igitur.

Confirmatur tertio, quia si positio esset vera, sequeretur, quod quantumcumque magnum corpus sit divisum per partes proportionales aliquam proportione, et aliud quantumcumque parum divisum per partes proportionales aliqua proportione minori, in infinitum maior est aliqua pars proportionalis minoris parte proportionali correspondente maioris, sed consequens apparet falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia si non detur unum centipedale divisum per partes proportionales proportione quadurupla, et [detur] unum semipedale vel, quantumcumque parvum volueris, divisum per partes portionales proportione sexquitertia seu quavis alia proportione minori quadrupla, et diminuantur illa duo usque ad non quantum, ita quod maius continuo in qualibet parte proportionali temporis proportione dupla unam sui part[]em proportionalem perdat perdendo proportionem quadruplam, et semipedale in qualibet parte consimili perdat proportionem sexquitertiam perdendo unam partem proportionalem sui proportione sextaertia, quousque veniant ad non quantum, tunc volo, quod incipiant omnino eodem modo acquirere quantitates deperditas, et omnino eodem modo augeri sicut diminuebantur. Quo posito arguitur sic illud, quod fuit centipedale, et illud, quod fuit semipedale, incipiunt a non quanto augeri. Et illud, quod fuit semipedale, incipit in certa portione tardius continuo augeri quam centipedale, igitur illud, quod fuit semipedale, incipit in infinitum esse maius illo altero, quod fuit centipedale, et illud, quod fuit centipedale incipit acquirere partes proportionales proportione quadrupla, quas antea perdidit, et illud, quod fuit semipedale incipit acquirere partes proportionales proportione sesquitertia, quas antea deperdit, igitur incipit in infinitum maiores partes acquirere illud, quod fuit semipedale, quam illud, quod fuit centipedale. Patet consequentia, quia immediate post illud, quod fuit semipedale, in infinitum erit maius illo, quod fuit centipedale. Igitur immediate post hoc in infinitum maiores erunt partes proportionales illius proportione sexquitertia partibus proportionalibus alterius proportione quadrupla, et tales partes incipit acquirere, et semper acquirunt partes correspondentes, sicut deperdebant, igitur in infinitum maior est aliqua pars proportionalis minoris parte proportionali correspondente maioris. Quod fuit probandum.

Tertio principaliter ad idem arguitur sic: si illa positio esset vera, sequeretur haec conclusio,

quod si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proportione dupla et in aliquo tempore, puta in hora, prima pars proportionalis augeatur aliquantulum velociter, et secunda in duplo velocius, et tertia in triplo quam prima et sic consequenter, sequeretur, quod totum illud corpus in fine temporis esset infinite magnum, et per consequens illud corpus infinite velociter augmentaretur, sed consequens est falsum, igitur et antecedens. Falsitas consequentis arguitur: et pono casum, quod sit unum corpus divisum per partes proportionales proportione dupla, et in hora prima pars proportionaiis acquirat proportionem sexquialteram, et secunda in eodem tempore acquirat duas sexquialteras, et quarta 4 et sic consequenter. Quo posito arguitur sic: prima pars proportionalis illius corporis aliqualiter augetur, et secunda in duplo magis, et tertia in triplo et sic consequenter, et tamen illud corpus in fine non erit infinitum, sed solum finitum. Igitur in tali casu non acquirit infinitam proportionem, et per consequens illud illatum est falsum, quia est una conditionalis, cuius antecedens est verum, et consequens falsum. Sed iam probo, quod illud in illo casu erit finitum in fine horae, quia in fine horae illae partes, quae ante augmentationem se habebant in proportione dupla, se habebunt continuo in proportione sexquitertia. Igitur aggregatum ex omnibus sequentibius primam est triplum ad primam, ut patet intelligenti quintum caput primae partis, sed primum est finitum, ergo totum est finitum. Sed iam probo, quod illae partes continuo se habent in proportione sexquitertia, quam prima et secunda se habent in proportione sexquitertia, et secunda et tertia, et sic de quibuscumque duabus immediatis. Quod sic probatur, quoniam si prima et secunda aequalem proportionem acquisivissent, puta sexquialteram, tunc adhuc mansissent in proportione dupla sicut antea, ut constat, sed modo secunda, quae est minor, acquirit adhuc sexquialteram adaequate, ergo proportio dupla, quae est inter primam et secundam, perdit sexquialteram, et sic manet sexquitertia tantum inter primam et secundam. Item si tertia pars proportionalis acquisivisset duas sexquialteras adaequate sicut secunda, secunda et tertia mansissent in proportione dupla, sed modo tertia acquisivit adhuc unam sexquialteram, igitur illam sesquialteram deperdit dupla, quae est inter secundam et tertiam, et per consequens manet sexquitertia, ut patet intelligenti quartum caput secundae partis cum octavo, et sit probabis de tertia et quarta, et de omnibus, igitur illae partes continuo proportionantur proportione sexquitertia. Quod fuit probandum. Tenet haec deductio per hanc maximam bipartitam: quandocumque aliqui duo numeri vel quantitates se habent in aliqua proportione et aequales proportiones acquirunt, semper manent in eadem proportione, et si numerus minor sive quantitas minor acquirat aliquam proportionem ultra numerum sive quantitatem maiorem, ita tamen quod semper maneat minor, illam proportionem deperdit proportio, quae a principio erat inter numerum maiorem et minorem. Haec maxima claret ex quarta conclusione et secundo correlario sextae conclusionis octavi capitis secundae partis. Sed iam probo sequelam principalem argumenti, quia si prima pars proportionalis talis corporis divisi per partes proportionales proportione dupla acquireret duplam, et secunda duas duplas, et tertia tres duplas, et quarta quatuor et sic consequenter, tunc in fine horae illud corpus manebit infinite magnum, igitur infinitam proportionem acquisivit in illo tempore et sic infinite velociter augmentabitur. Igitur si talis corporis divisi per partes proportionales proportione dupla prima pars proportionalis acquirat aliquam proportionem, et secunda duas tales, et tertia tres, et quarta 4 et sic consequenter, tunc tale corpus in illa hora infinitam proportionem acquirit et sic infinite velociter augmentatur. Quod fuit probandum. Patet | haec consequentia ab inferiori ad superius. Sed iam probo antecedens, quia in fine horae quaelibet illarum partium proportionalium erit aequalis primae, et sunt infinitae, igitur illud corpus erit infinitum. Probatur maior, quia prima et secunda erunt aequales in fi[n]e, et secunda et tertia, et tertia et quarta et sic de quibuscumque aliis immediatis, quoniam si secunda acquireret adaequate unam duplam sicut prima, tunc prima et secunda adhuc manerent in proportione dupla, ut patet ex maxima nuperrime posita, sed modo secunda acquirit adhuc unam duplam, et illam deperdit proporportio inter primam et secundam, igitur totalis proportio inter primam et secundam deperditur, quia non erat nisi dupla, et sic prima et secunda manent aequales. Item si tertia praecise acquireret duas duplas sicut secunda, adhuc inter secundam et tertiam maneret proportio dupla, sed modo illam duplam acquirit tertia, igitur secunda et tertia manent aequales. Patet, quia quando subduplum augetur ad duplum efficitur duplo aequale. Et isto modo probabis de quibuscumque aliis duabus immediatis, igitur omnes illae partes in fine manebunt aequales, et per consequens illud corpus erit in fine infi[n]itum. Quod fuit probandum. Haec inductio generaliter patet per hanc maximam: quandocumque aliquae duae quantitates se habent in aliqua proportione maioris inaequalitatis, et minor acquirit totam illam proportionem, quae est inter ipsam et maiorem, quae maior etiam augetur, et cum hoc illa minor acquirit etiam illam proportionem, quam acquirit maior, tunc in fine manebunt aequales. Patet, quia minor acquisivit totum, quod deficiebat ei, ut esset aequalis alteri, et cum hoc illud, quod illa maior acquisivit, sed sic est in proposito de his partibus immeditatis, ut constat, igitur in fine illae partes manent aequales.

Et confirmatur, quia si illa positio esset vera, sequeretur, quod si aliquod corpus divideretur in partes proportionales proportione dupla, et prima pars proportionalis in hora acquirat aliquam proportione, ita quod augeatur aliquantulum velociter, et secunda in duplo velocius in eodem tempore, et tertia in duplo velocius quam secunda, et quarta in duplo velocius quam tertia in eodem tempore et sic consequenter, tunc in fine illud corpus manebit infinite magnum, et sic in illo tempore infinite velociter augmentabitur, sed consequens est falsum, igitur et antecedens. Falsitas consequentis probatur: et capio unum pedale divisum in partes proportionales proportione dupla, et volo, quod in una hora prima pars proportionalis acquirat unam sexquioctavam, et in eodem tempore secunda acquirat duas sexquioctavas, et tertia quatuor, et quarta 8, et quinta 16 et sic consequenter duplando. Quo posito sic arguo: prima pars illius corporis proportione dupla in hora aliquantulum augetur, et secunda in duplo velocius, et tertia in duplo velocius quam secunda et sic consequenter, et tamen in fine illud corpus non erit infinite magnum, nec tale corpus infinite velociter augetur. Igitur illud consequens falsum. Probatur antecedens, quia illae partes proportionales, quae sunt minores, continuo manebunt minores, nec uniquam aliqua sequens erit aequalis immediate praecedenti in tali casu. Igitur illud corpus in fine non erit infinitum. Probatur antecedens, quia secunda pars non erit aequalis primae, nec tertia secundae, nec quarta tertia et sic consequenter, ut apparet, igitur non dabuntur in tali casu duae partes, quarum una sit aequalis immediate praecedenti. Sed iam probo sequelam principalem, quia si quaelibet pars proportionalis sequens acquireret adaequate tot proportiones sicut immediate praecedens, tunc illae partes continuo se haberent in proportione dupla, sicut se habent in principio, sed modo aliqua pars sequens acquiret decem proportiones plusquam immediate

praecedens, et aliqua sedecim, et aliqua triginta duas et sic consequenter, igitur aliqua acqu[iri]t tot proportiones sicut immediate praecedens, et cum hoc tot proportiones ultra aequales, quod constituant unam duplam vel plures, et sic iam illae duae partes manebunt aequales, vel sequens erit maior immediate praecedenti, et per eandem rationem quaelibet sequens illam erit maior immediate praecedenti, quam quaelibet talis sequens acquirit tot proportiones ultra proportiones acquisitas a parte immediate praecedente, quae proportiones proportionem maiorem dupla constituent, igitur in fine tale corpus componetur ex infinitis aequalibus non conicantibus et cetera, et sic erit infinitum. Quod fuit probandum. ¶ Dices et bene concedendo sequelam, ut bene probat argumentum, et negando falsitatem consequentis, et ad probationem nego, quod in illo casu posito non dabitur aliqua pars, quae sit aequalis vel maior immediate praecedente. Immo dico, quod quinta erit maior quarta, quoniam quarta acquirit octo sexquioctavas, et quinta 16 sexquioctavas, si igitur quinta acquireret octo praecise sesquioctavas, tunc manerent in eadem proportione, puta in proportione dupla, sed modo quinta acquirit adhuc 8 sesquioctavas, quae componunt maiorem proportionem quam duplam, ergo sequitur, quod quinta manet maior ipsa quarta, et eadem ratione sexta manebit maior quinta, et sic quaelibet sequens. Quam vero octo sesquioctavae componunt maiorem proportionem quam duplam, patet ex se, quam tres proportiones, quarum quaelibet est minor proportione sexquioctava, cum una sesquioctava constituunt adaequate magis quam medietatem duplae, quoniam constituunt sexquialteram, ut patet inter octo et duodecim, igitur per locum a maiore octo sesquioctavae constituunt magis quam duplam. Quod fuit probandum.

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod subito illud corpus effic[e]retur infinite magnum, et per consequens illud corpus non augmentaretur per illam horam, et sic non augmentaretur, cuius oppositum est concessum, quoniam per nullum tempus augmentaretur. Iam probo sequelam, quam quocumque instanti dato post instans quo ille partes sic incipiunt augmentari, ut dictum est tanta quantitas vel maior est acquisita cuilibet sequenti sicut primae, igitur quocumque instanti dato post instans initiativum inter illud et instans initiativum illud corpus erit infinitum. Probo antecedens, quia dato aliquo instanti, in quo prima pars proportionalis acquisivit aliquam quantitatem, si secunda acquireret tantam proportionem adaequate sicut prima, ipsa secunda acquireret subduplam quantitatem ad primam, ut constat, sed modo super illam proportionem acquirit adhuc tantam proportionem, ergo per illam proportionem, quam acquirit ultra, acquirit maiorem quantitatem, quod subduplam, ergo acquirit maiorem quantitatem quam prima. Patet consequentia, quia acquirit plus quam duas medietates illius quantitatis, quam acquirit prima. Et sic probabis, quod tertia acquirit plus quam secunda, et quarta quam tertia e[]t sic in infinitum. Igitur assumptum verum. ¶ Confirmatur secundo, quia si illa positio esset vera, sequeretur, quod quando aliquod corpus divisum in partes proportionales proportione dupla, ita se haberent, quod prima pars proportionalis eius acquireret aliquam proportionem, et secunda in eodem tempore in duplo minorem, et tertia in eodem tempore in duplo minorem quam secunda et sic consequenter, sequeretur, quod tale corpus in nulla proportione effic[e]retur maius quam antea adaequate, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis est manifesta, quam illud corpus manebit finitum, et cuiuslibet finiti ad finitum est proportio aliqua. Igitur. Sequela tamen patet, quam non apparet modus, quo posset reperiri talis proportio. ¶ Idem fieret, si prima pars proportionalis acquireret proportionem duplam, et secunda sesquialteram, et tertia sesquitertiam | et sic consequenter, tunc enim non videtur, in qua proportione corpus fiat maius, quam illae partes in nulla proportione continuo proportionabiles manent.

¶ Confirmatur tertio, quia si illa positio esset vera, sequeretur, quod aliquid posset uniformiter per totum augmentari et etiam diminui, consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet. Et volo, quod unius pedalis quaelibet pars acquirat proportionem duplam, tunc illud uniformiter augetur per totum, quia quaelibet pars tantum augmentatur sicut totum, igitur uniformiter quoad partes augmentatur, sicut illud uniformiter intenditur, cuius quaelibet pars tantum intenditur sicut totum. Et sic etiam probabitur de diminutione. Sed probatur falsitas consequentis, quia tunc sequeretur, quod illud pedale infinite velociter augmentaretur, quia in eodem tempore infinitas duplas acquirit, sed consequens est falsum. Igitur, quia non manet, nisi duplum ad illud, quod erat ante augmentationem, ut satis constat. Quod autem acquirat infinitas duplas, patet, quia quaelibet pars proportionalis acquiritur unam duplam. ¶ Quarto principaliter ad idem arguitur sic, quia si positio esset vera, sequeretur, quod nihil posset diminui usque ad non quantum successive in aliquo tempore, nisi illud perderet uni signatae proportioni infinitas aequales non con[i]icantes, sed consequens est falsum, igitur et illud, ex quo sequitur. Sequela patet clare, [quoniam], si perderet finitas tantum, cum illae finitam proportionem consti[t]uant, sequitur, quod perderet fi[n]itam proportionem praecise, et sic non maneret in fine non quantum, ut constat. Probo tamen falsitatem consequentis, quod in aliquo casu aliquid diminuitur usque ad non quantum in hora et non deperdit uni signatae proportioni infinitas aequales non conicantes, igitur consequens falsum. Probatur antecedens: et capio unum pedale et volo, quod divisa una hora per partes proportionales proportione dupla in prima illarum perdat proportionem sexquialteram sui et in secunda sexquitertiam sui et in tertia sexquiquartam et in quarta sesquiquintam et sic consequenter procedendo per species proportionis superparticularis. Quo posito in fine deveniet ad non quantum, et tamen uni proportioni datae non perdit infinitas aequales non conicantes, igitur propositum. Minor patet, quia quaelibet sequens in illo casu est minor praecedente, immo qualibet proportione data in infinitum minor est aliqua sequens, ergo uni signatae non perdit infinitas aequales non conicantes et cetera. Sed tam probatur maior, videlicet quod tale corpus diminuetur ad non quantum. Probatur antecedens, quia in illo casu non potest signari tanta proportio, quando maiorem perdiderit, igitur infinitam proportionem perdidit. Probatur antecedens, quia detur illa, et sit decupla gratia argumenti. Et arguitur sic: non perdit, nisi decuplam, ergo sequitur, quod non perdit nisi usque ad sexquidecimam nonam proportionem quod est contra casum quia in casu ponitur quod successive perdat omnes species proportionis superparticularis. Sequela probatur, [quoniam] proportio decupla componitur ex decem et octo primis speciebus proportionis superparticularis, ut patet inter [20] et duo, illa enim proportio componitur ex proportione sesquialtera trium ad duo, sesquitertia quatuor ad tria, sesquiquarta quinque ad quatuor et sic consequenter usque ad proportionem sexquidecimam nonam, quae est viginti ad decem et novem. Et sic universaliter probabis data quacumque proportione, [quoniam] illam semper invenies compositam ex superparticularibus sereatim se habentibus. ¶ Et confirmatur haec probatio quam latitudo omnium sphaerarum proportionis superparticularis componit infinitam proportionem, igitur si aliquid deperdit illam latitudinem, deperdit infinitam proportionem. Probatur antecedens, [quoniam] si bipedale acquirat omnes proportiones superparticulares sereatim, ita quod in qualibet parte proportionali horae acquirat unam, in fine illud [e]rit infinite magnum, et sic infinitam proportionem acquiret, igitur illae species proportionis superparticularis seriatim sumpte constituunt infinitam proportionem. Probatur antecedens, [quoniam] si illud bipedale in prima parte proportionali augeatur

ad sexquialteram, ipsum efficietur tripedale, et sic acquireret unum pedale, et cum in secunda parte proportionali acquirit proportionem sesquitertiam, ipsum efficietur quadrupedale, et sic adhuc acquirit unum pedale, et in tertia acquirit proportionem sexquiquartam, et sic efficietur quintupedale, in quarta acquirit sexquiquintam, et sic efficietur sextupedale et sic consequenter. Igitur in qualibet parte proportionali acquirit unum pedale et sic efficitur infinitum. Quod fuit probandum. Idem assumptum patet ex sexto correlario quartae conclusionis quarti capitis secundae partis.

Quinto principaliter ad idem arguitur sic: si illa positio esset vera, sequeretur, quod si aliquod corpus in prima parte proportionali proportione dupla unius horae aliquantul[]um velociter augeretur, et in secunda in duplo velocius, et in tertia in triplo velocius quam in prima, et in quarta in quadruplo velocius quam in prima ascendendo per omnes species proportionis multiplicis, illud corpus in fine esset infinite magnum, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia non videtur, cuius magnitudinis illud corpus in fine sit, nisi infinitae. Igitur. Item acquirit infinitas proportiones tale corpus aequales non communicantes, quam in prima parte proportionali acquirit aliquam, et in secunda, cum augmentetur, in duplo velocius acquirit duplam, et in alia, quia augmentatur, in triplo velocius acquirit triplam, igitur infinitas acquirit aequales et cetera. Sed iam probatur falsitas consequentis: et volo, quod unum pedale in prima parte proportionali temporis acquirat proportionem duplam, et in secunda parte augmentetur in duplo velocius, et in tertia in triplo et sic consequenter. Tunc manifestum est, quod in secunda parte proportionali tantam acquirit sicut in prima, puta duplam, quia augetur in duplo velocius, et tempus est subduplum, et in tertia acquirit tres quartas unius duplae, quia augetur in triplo velocius et in quarta acquirit quatuor octavas unius duplae, quia augetur in quadruplo velocius quam in prima, si enim aequevelociter augmentaretur sicut in prima, cum quarta pars sit in octuplo minor prima, sequitur, quod in illa acquireret unam octavam duplae, sed modo augetur in quadruplo velocius in eadem quarta parte, ergo quatuor octavas acquirit, et sic probabis, quod in quinta acquirit quinque sexdecimas unius duplae, et in sexta sex tricesimas secundas.

Quibus inspectis arguitur sic: tale corpus acquirit infinitos ordines proportionum, qui quidem ordines continuo se habent in proportione dupla, et primus illorum ordinum est una proportio quadrupla, ergo omnes illi ordines constiu[t]unt duas quadruplas, et per consequens unam sexdecuplam, et sic illud corpus non acquirit, nisi proportionem sexdecuplam in tali casu, et non infinitam. Probatur tamen consequentia facta. Quam si illi ordines proportionum continuo se habent in proportione dupla. manifestum est, quod aggregatum ex omnibus sequentibus primum est aequale primo, ut patet ex quinto capite primae partis. Sed cum primus ordo sit proportio quadrupla, manifestum est, quod omnes alii simul sumpti sunt etiam quadrupla, et sic aggregatum ex omnibus simul est una sexdecupla, ut patet ex sexto capite secundae partis. Sed iam restat probare, quod ibi sunt infiniti ordines continuo se habentes in proportione dupla. Quia sic probatur, quia capiendo proportionem duplam, quam acquirit in prima parte proportionali, et medietatem illius duplae, quam acquirit in secunda parte, et unam quartam duplae ex illis quartis, quas acquirit in tertia, et unam octavam duplae ex illis, quas acquirit in quarta, et unam decimamsextam duplae ex illis, quas acquirit in quinta parte proportionali, et sic consequenter, tunc manifestum est, quod ibi est unus ordo proportionum continuo se habentium in proportione subdupla, et primum illius ordinis est una proportio dupla, igitur totus ille ordo constituit quadruplam. Consequentia patet ut supra. Item ad constituendum secundum ordinem capiatur alia medietas duplae, quae remansit ex illa dupla, quam acquirebat corpus in secunda parte proportionali, et deinde capiatur una quarta duplae ex illis duabus remanentibus et | acquisitis in tertia parte proportionali, et deinde capias una octava ex octavis remanentibus et acquisitis in quarta et sic consequenter, et manifestum est, quod ibi est alter ordo proportionum continuo se habentium in proportione dupla, et primum illorum est una medietas duplae, ergo residuum a prima est alia duplae medietas, et sic totus secundus ordo est una dupla. Item ad inveniendum tertium ordinem incipias ab acquisitis in tertia parte proportionali et invenies unam quartam praecise duplae, quia aliae dum sunt positae in aliis duobus ordinibus, et capias illam pro prima tertii ordinis, deinde capias unam ex duabus octavis acquisitis et remanentibus in quarta parte proportionali, et deinde pro tertia parte illius ordinis capias unam ex tribus decimissextis derelictis et acquisitis in quinta parte proportionali et sic consequenter. Et sic ad inveniendum quartum ordinem incipias ab una octava derelicta et acquisita in quarta parte proportionali. Et ad inveniendum quintum incipies ab una sexdecima derclicta et acquisita in quinta parte proportionali et sic consequenter invenies infinitos ordines, et isti ordines continuo se habent in proportione dupla, ita quod quaelibet sequens ordo est subduplus ad immediate praecedentem ordinem, igitur ibi sunt infiniti ordines continuo se habentes in proportione dupla. Quod fuit probandum. Q[uia] autem illi ordines continuo se habent in proportione dupla. Patet, quia quilibet illorum ordinum componitur ex infinitis continuo se habentibus in proportione dupla, et omnia prima omnium illorum ordinum continuo se habent in proportione dupla, ut constat, igitur omnes illi ordines continuo se habent in proportione dupla. Patet consequentia, quia cuiuslibet ordinis primum est medietas illius ordinis et residuum alia medietas, quia in quacumque proportione se habent medietates aliquorum, in eadem proportione se habent et ipsa tota, quorum sunt medietates, ut patet ex undecima suppositione secundi capitis secundae partis, ergo omnes illi ordines continuo se habent in proportione dupla. Quod fuit probandum. ¶ Et confirmatur, quia si illa positio esset vera, sequeretur, quod si aliquod corpus in prima parte proportionali alicuius horae augmentaretur aliquantulum velociter et in secunda in duplo velocius et in tertia in duplo velocius quam in secunda et sic consequenter, tale corpus in fine horae esset infinitum, et sic illud corpus infinite velociter augmentaretur, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia si hora sit divisa per partes proportionales proportione dupla, et aliquod corpus in prima aliquantulum velociter augmentetur aliquam proportionem acquirendo et in secunda in duplo velocius et in tertia in duplo velocius quam in secunda et sic consequenter. Tunc tale corpus in fine acquisivit [i]nfinitam proportionem, et non est maior ratio, quando dividitur hora tali divisione quam aliqua alia divisione, igitur si hora dividatur aliqua divisione, et in prima aliquod corpus aliqua velocitate augmentetur et in secunda in duplo velocius et in tertia in dupio velocius quam in secunda et sic consequenter, tale corpus infinitam proportionem acquiret, et augmentabitur infinite velociter in tali hora. Quod fuit probandum. Probatur tamen antecedens videlicet, quod si hora dividatur proportione dupla et cetera, quod illud corpus acquirit infinitam proportionem, quia in qualibet parte proportionali acquirit tantam proportionem sicut in prima. Nam in quacumque proportione aliqua pars est minor in eadem proportione velocius augmentatur, et sunt infinitae, ergo infinitas aequales proportiones acquirit, et per consequens infinitam proportionem acquirit. Iam probo falsitatem consequentis, et volo, quod hora dividitur per partes proportionales proportione quadrupla, et in prima parte augmentetur aliquod corpus certe velociter, puta acquirendo proportionem duplam et in secunda in duplo velocius et [in] 3. in duplo velocius quam in 2. et sic consequenter, [ut] positum est. Quo posito arguitur sic: illud corpus augetur, ut ponitur, et tamen non acquirit, nisi proportionem quadruplam tota illa hora, igitur illud consequens est una conditionalis falsa.

Probatur antecedens, quam illae proportiones acquisitae continuo se habent in proportione dupla, et prima illarum est dupla, ergo totum est una proportio quadrupla, ut saepius argutum est. Q[uia] autem continuo se habent in proportione dupla. Patet, quia in prima parte proportionabili acquirit illud corpus proportionem dupla et in secunda medietatem duplae, [quoniam] si aeque velociter augmentaretur in secunda sicut in prima, acquireret unam quartam duplae, sed modo in duplo velocius augetur quam tunc, ergo acquirit unam medietatem duplae, et sic probabis, quod in tertia parte acquirit unam quartam et sic consequenter, igitur continuo acquirit proportiones se habentes in proportione subdupla et subdupla. Quod fuit probandum. ¶ Confirmatur secundo, quia si positio esset vera, sequeretur, quod aliquod corpus augmentaretur, et in nulla proportione fierit maius, consequens est fals[um], igitur et illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et volo, quod unum pedale in prima parte proportionali horae proportione dupla divisae aliqualiter augmentetur et in secunda in superbipartiente tertias velocius et in tertia in supertripartiente quintas et in quarta in supraquadripartiente septimas in 5 et supraquintipartiente undecimas et sic consequenter procedendo per numeros impares primos et incompositos. Quo posito sic arguitur: tale corpus augmentatur, ut notum est, et tamen in nulla proportione sit maius. Igitur. Probatur minor, quia nec in multiplici nec in superparticulari nec in suprapartiente nec in multiplici sup[er]particulari nec in multiplici supra[]p[a]rtiente, et si hoc negas, des illam. Item posito, quod in prima parte proportionali unum pedale acquirit proportionem s[u]prabipartientem tertias, et in secunda acquirat proportionem sup[ra]bipartientem quintas et in tertia sup[ra]bipartientem septimas et in quarta suprabipartiente nonas et sic consequenter procedendo per species proportionis sup[ra]bipartient[i]s, tale corpus augmentabitur, et in nulla [p]roportione fiet maius, quam erat antea. Igitur.

Sexto principaliter ad idem arguitur sic: si illa positio esset vera, sequeretur, quod si duo corpora aequalia augmentarentur taliter, quod medietas unius augmentaretur ad duplum, et quarta alterius ad quadruplum, illa corpora aeque velociter augmentarentur, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, [quoniam] si aequalis augmentatio aut acquisitio proportionis in parte alicuius totius aliquid facit ad denominationem augmentationis totius, sequitur, quod dupla proportio acquisita parti in duplo minori tantum facit sicut subdupla proportio acquisita parti in duplo maiori, igitur in proposito illa acquisitio proportionis in medietate tantum adaequate facit ad augmentum totius sicut acquisitio proportionis in duplo maioris in una quarta. Patet antecedens a simili de denominatione qualitatis et densitatis. Iam probo falsitatem consequentis, [quoniam] in tali casu corpus, cuius una medietas augetur ad duplum sui, acquirit proportionem sesquialteram, et aliud acquirit proportionem supertripartientem quartas, quae maior est, igitur non aeque velociter augmentatur, et per consequens illatum falsum. Probatur maior, quia si medietas acquisivit proportionem duplam, sequitur, quod tale corpus acquisiv[i]t tantum, quantum est medietas eius, et per consequens sesquialteram proportionem. Minor probatur, quia si una quarta alterius corporis facta est in quadruplo maior, sequitur, quod acquisivit ter tantum, sicut ipsa est, et sic acquisivit tres quartas totius, et per consequens in fine illud totum componitur ex septem partibus, quarum quaelibet est aequalis uni quartae totius corporis in principio augmentationis, et sic illud corpus erit in supratripartiente quartas maius, quam erat antea. Quod fuit probandum. ¶ Confirmatur, quia si ista positio esset vera, sequeretur, quod vero esset possibile aliquid incipere augeri a non quanto uniformiter aut infinite tarde, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia quodlibet quod a non quanto incipit augeri infinite velociter incipit augeri, igitur nullum tale, quod a non quanto incipit augeri, | incipit uniformiter aut infinitum tarde augeri. Consequentia satis apparet, et antecedens probatur, videlicet quod quodlibet tale incipit infinite velociter augeri, [quoniam] quodlibet tale incipit infinitam magnam proportionem acquirere. Igitur. Probatur tamen falsitas consequentis, quia aliquid incipit a non quanto augeri infinite tarde, et illud idem incipit a non quanto infinite velociter augeri, et illud idem etiam a non quanto incipit uniformiter augeri. Igitur possibile est aliquid incipere a non quanto uniformiter et infinitum tarde augeri, et per consequens illud consequens est falsum. Probatur antecedens, et volo, quod dividatur hora futura in partes proportionales proportione dupla, et capio tres ordines partium proportionalium, qui ordines continuo se habent in proportione octupla, puta pro primo ordine primam partem et quartam et septimam et decimam et sic consequenter omittendo duas, et pro secundo ordine capio secundam et quintam et octavam et undecimam et sic consequenter similiter omittendo duas. Et pro tertio ordine capio tertiam, sextam, nonam, duodecimam et sic conseqnenter etiam omittendo duas, et volo, quod in qualibet parte proportionali primi ordinis unum pedale perdat proportionem duplam, et in prima parte secundi ordinis perdat etiam duplam et in secunda eiusdem ordinis proportio[n]em in octuplo minorem quam in secunda et sic consequenter, ita quod in secundo ordine in ea proportione, qua partes sunt minores, in ea continuo proportionem minorem deṗerdat. In prima vero parte tertii ordinis idem pedale deperdat proportionem duplam et in secunda eiusdem tertii ordinis in sexdecuplo minorem et in tertia eiusdem ordinis in sexdecuplo minorem quam in secunda et sic consequenter. Quo posito manifestum est, quod hoc corpus diminuetur ad non quant[u]m usque et in infinitum velociter diminuetur ad non quantum in partibus proportionabilibus primi ordinis, et in partibus proportionalibus secundi ordinis continuo uniformiter diminuetur, ut patet ex casu, et in partibus proportionalibus tertii ordinis in infinitum tarde diminuitur ad non quantum. Volo igitur, quod cum corpus fuerit ad non quantum redactum. Iterum incipiat in hora sequenti augeri a non quanto omnino eodem modo, sicut diminuebatur. Et arguitur sic: illud corpus incipit in infinitum velociter augeri, puta in partibus primi ordinis, et incipit etiam uniformiter, puta in parbus secundi ordinis, et consimiliter incipit in infinitum tarde augeri, ut indicat diminutio f[a]cta in partibus tertii ordinis, igitur aliquid incipit a non quanto in infinitum tarde et infinitum velociter et uniformiter augeri. Quod fuit probandum.

Septimo principaliter et contra aliam partem quaestionis arguitur sic, quia si velocitas augmentationis deberet attendi penes absolutam acquisitionem quantitati[s], sequeretur, quod aliquid augmentaretur, quod tamen non fierit maius, consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et capio unum bipedale, et volo, quod una medietas eius uniformiter acquirat unum semipedale, et tantum continuo deperdat alia medietas, sicut altera acquirit. Quo posito arguitur sic: illud bipedale non sit maius, ut constat, et tamen augmentatur, igitur propositum. Arguitur minor, quia acquirit aliquam quantitatem, cum una medietas eius acquirat semipedalem quantitatem, igitur augmentatur. Patet consequentia per positione[m], quae ponit, quod augmentatio debet attendi penes absolutam acquisitionem quantitatis. ¶ Dices et bene negando sequelam et ad probationem admisso casu negando, quod illud bipedale augeatur, quam semper manet pedale, et cum probatur, quia acquirit aliquam quantitatem, negando illud, quamvis enim una medietas eius acquirit quantitatem totum non. Ad hoc enim, quod acquireret, oporteret, quod ultra illam, quam habet, haberet maiorem, hoc est, quod acquireret aliquem excessum super illam, quod non sit in proposito, quia quantum una medietas acquirit, tantum alia deperdit. ¶ Sed contra, quia si alia medietas non diminueretur, sequeretur, quod haec medietas, quae augetur, aequevelociter augeretur cum toto, sed consequens est

falsum, igitur ex illud quo sequitur. Sequela patet, quia tantam quantitatem supra totam praehabitam acquirit medietas, sic totum, igitur medietas et totum aeque velociter augentur. Patet consequentia ex positione. Sed probo falsitatem consequentis. Tum primo, quia tunc sequeretur, quod aeque velociter augeretur totum sicut in infinitum modica eius pars. Sed hoc videtur absurdum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, quia quando totum acquirit unum semipedale, medietas eius acquirit tantum, et octava et sexdecima terminata ad illam quantitatem acquisitam et sic consequenter. Igitur. Tum secundo, quia stat, quod medietas alicuius intendatur aliqualiter velociter acquirendo aliquam intensionem, tamen totum non acquirit tantam. Ergo eodem modo stat in motu augmentationis, quod medietas aliqualiter velociter augeatur, et totum non, et per consequens illatum falsum. ¶ Dices et bene concedendo illatum in tali casu et ad probationem falsitatis eius concedendo illud consequens, videlicet quod ita velociter augetur totum sicut infinite modica eius pars signanter, si hoc fiat per additionem quantitatis alicui medietati, sicut sit, quando aliquid additur parti animalis, et augmentatur animal. ¶ Ad secundam improbationem concedo, quia stat, quod medietas alicu[iu]s intendatur et non totum, et stat, quod totum intendatur, et una eius medietas non intendatur. Non tamen stat, quod pars augmentetur sine diminutione aliqua, quin totum augmentetur. Contra tunc sequeretur, quod semper aeque velociter augmentaretur aliqua pars sicut totum. Sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis probatur: et volo, quod utrique medietati unius pedalis addatur semipedale in extremis oppositis, tunc manifestum est, quod totum acquirit pedalem quantitatem, et nulla pars eius acquirit pedalem quantitatem, igitur nulla pars ibi augetur ita velociter sicut totum, et per consequens non semper aequevelociter et cetera. Sequela tamen probatur, quia si non semper augmentaretur aliqua pars ita velociter sicut totum, maxime esset in casu, in quo probatur falsitas consequentis, sed in illo casu aeque velociter augetur aliqua pars sicut totum, puta pars, quae componitur ex duabus quartis extremis cum partibus extremalibus, quae partes extremae circumferentiales constituunt unum quadratum, inter quod manet aliud, ut patet in figura iam sequenti. Igitur.

¶ Dices et bene negando sequelam, et ad punctum probationis dicitur, quod etiam in illo casu aeque velociter augetur aliqua pars sicut totum, ut probat argumentum, et sic negatur, quod maxime esset in illo casu, sed dico, quod est in casu, ubi totum per totum rarefit, tunc enim nulla pars ita velociter augetur sicut totum, ut satis patet, qu[ia] si totum aliquod, quod per totum rarefit, rarefiat ad duplum, ipsum totum acquirit tantam quantitatem sicut ipsum est, et nulla pars acquirit quantitatem, sicut illud totum est. ¶ Sed contra, quia tunc sequeretur, quod quando aliquid augmentaretur per rarefactionem, quae rarefactio est per totum subiectum, quantitas, quam adaequate acquirit totum, esset minima, quam non acquirit aliquae pars. Sed hoc videtur falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, quia dato, quod totum acquirat pedalem quantitatem, manifestum est, quod una medietas eius acquisivit aliquam partem illius, et aggregatum ex illa medietate et prima parte proportionali alterius medietatis acquisivit maiorem, et aggregatum ex illa et duabus primis partibus proportionabilibus alterius adhuc acquisivit maiorem et sic consequenter calculando. Patet, quod quantitas acquisita ipsi toti est minima, quam non acquisivit aliqua pars.

Octavo contra eandem partem quaestionis arguitur sic: [quoniam] si velocitas augmentationis attenderetur penes absolutam acquisitionem quantitatis, sequeretur, quod quodlibet istorum inciperet infinite velociter augeri, et tamen inciperet [in] infinitum tarde augeri aliquod istorum, sed consequens videtur repugnare, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet: et volo, quod sint infinita continuo se habentia in proportione subdupla, ita quod primum sit pedale, secundum semipedale, tertium quarta pedalis et sic consequenter, et dividatur hora per partes proportionales proportione dupla, quodlibet vero illorum diu­ | datur per partes proportionales proportione sexquialtera, et quodlibet illorum in qualibet parte proportionali horae perdat unam partem proportionalem sui proportione sesquialtera, quousque in fine horae deveniat ad non quantum, deinde incipiant illa a non quanto augeri omnino, sicut diminuebantur, puta in qualibet parte proportionali horae proportione dupla acquirendo una parte proportionalem sui proportione sesquialtera. Quo posito arguitur sic: quodlibet illorum immediate post illud instans augmentationis a non quanto in infinitum velociter augmentabitur, et immediate post tale instans in infinitum tarde augebitur aliquod illorum, et modo nullum illorum augmentatur. Igitur propositum. Probatur maior, quia quodlibet illorum incipit a non quanto in qualibet parte proportionali proportione dupla acquirere proportionem sesquialteram, ergo quodlibet illorum incipit in infinitum velociter acquirere de quantitate, ut patet ex secunda confirmatione secundi argumenti huius quaestionis, et per consequens quodlibet illorum incipit in infinitum velociter augeri, quando in infinitum velox augmentatio est, in infinitum velox acquisitio quantitatis, ut patet ex hac position[e]. Probatur minor videlicet, quod immediate post hoc in infinitum tarde acquiret aliquod istorum de quantitate, quia continuo in infinitum minus primo erit aliquod illorum, sicut fuit in via diminutionis, et incipiunt omnia illa a non quanto in eodem instanti augeri, ergo quocumque instanti dato post hoc inter hoc et illud infinite modicum quantitatem acquisivit aliquod illorum, et per consequens infinite tarde augetur aliquod illorum. ¶ Dices et bene concedendo illatum, nec illud est inconveniens, sed sequens, ut probat argumentum. Sed contra, quia pari ratione concedendum esset, quod unum et idem a non quanto inciperet in infinitum velociter augmentari, et illud idem inciperet a non quanto in infinitum tarde augmentari, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis patet, quia detur illud, et sit A, et arguitur sic: A incipit in infinitum velociter augmentari, ergo incipit in infinitum velociter acquirere de quantitate, et per consequens non incipit in infinitum velociter acquirere de quantitate, et sic habetur, quod incipit in infinitum velociter acquirere de quantitate, et non incipit in infinitum velociter acquire[re] de quantitate, quod implicat. Sequela tum probatur: et volo, quod A incipiat augeri a non quanto in aliqua hora divisa per partes proportionales proportione dupla similiter, quod una medietas eius in qualibet parte proportionali pari acquirat proportionem sesquialteram, et altera medietas in qualibet impari acquirat octuplam. Quo posito arguitur sic: illud in tali casu incipit in infinitum velociter augeri et etiam incipit in infinitum tarde augeri, et hoc a non quanto, igitur propositum. Arguitur maior, quia incipit in partibus proportionalibus paribus infinite velociter acquirere de quantitate, ut patet ex secunda confirmatione secundi argumenti praeallegati, igitur incipit in infinitum velociter augeri. Probatur minor, quia illud incipit in infinitum tarde acquirere de quantitate in partibus imparibus, ut patet ex deductione primae confirmationis secundi argumenti praeallegati, igitur incipit illud infinite tarde augeri in partibus imparibus. ¶ Confirmatur, quia si ill[a] posit[i]o esset vera, sequ[e]retur, quod nullum quadratum perfectum posset uniformiter diminui ad non quantum, quando trina eius dimensio, puta longitudo, latitudo et profunditas, uniformiter a non quanto diminuuntur, sed consequens est falsum, quia non videtur repugnare tale quadratum uniformiter sic diminui ad non quantum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela tamen probatur, quia si aliquod sic potest diminui, detur aliquod quadratum pedaliter longum, pedaliter latum, pedaliter profundum, quod sit A. Tunc arguitur sic: continuo longitudo, latitudo et etiam profunditas huius quadrati A uniformiter in hora diminuitur usque ad non quantum, igitur in prima parte proportionali horae proportione dupla illud quadratum efficitur in duplo minus logum, in duplo minus latum, in duplo minus profundum, et sic per consequens efficitur in octuplo minus, et per consequens in prima medietate perdit septem octavas et in secunda medietate unam tantum, et per consequens in illa hora continuo diminuitur uniformiter. Quod fuit probandum.

Probatur tamen illa consequentia, istud quadratum perfectum efficitur in duplo minus longum et in duplo minus latum et in duplo minus profundum, igitur efficitur in octuplo minus, quam costa illius quadrati in fine ad costam illius in p[r]incipio diminutionis se habet in proportione subdupla, ita quod costae illius quadrati in principio et in fine se habent in proportione dupla, et illa sunt perfecta quadrata, igitur illa quadrata se habent in proportione triplicata ad duplam, et illa est octupla, ut constat ex sexto capite secundae partis, igitur propositum. Patet haec consequentia per quandam conclusionem superius probatam in tractatu de motu locali pe[n]es effectum capite secundo, quae conclusio tal[i]ter est: proportio quodratorum perfectorum est proportio costarum triplicata. Simile argumentum poteris facere de superficie, cuius latitudo et longitudo uniformiter diminuntur per horam.

Nono principaliter arguitur sic: si illa posi[tio] esset vera, sequeretur, si hora dividatur per partes proportionales proportione dupla, et in prima parte proportionali impari pedale A aliqualiter velociter augeatur et in secunda impari in duplo velocius et in tertia impari in duplo velocius quam in secunda impari et sic consequenter continuo in qualibet impari sequente in duplo velocius quam in impari immediate praecedente, tunc A pedale infinite velociter augeretur. Consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, quia si illud pedale in qualibet parte proportionali unius horae proportione dupla ita augmentaretur, quod in qualibet sequente in duplo velocius augmentaretur quam in immediate praecedente, ipsum in qualibet parte proportionali tantam quantitatem acquireret sicut in prima, ut constat, et sic in illa hora in infinitum velociter augmentaretur. Igitur si illud idem pedale in qualibet parte proportionali proportione dupla impari sequente in duplo velocius augeatur quam in impari immediate praecedente, ipsum in qualibet parte tantam quantitatem acquirit, quantam in prima. Patet consequentia, quia non est maior ratio de uno quam de alio. Falsitas tamen consequentis arguitur sic, [quoniam] illae partes impares continuo se habent in proportione quadrupla, ut patet, et velocitates augmentationis in illis partibus continuo se habent in proportione dupla, ergo quantitates acquisitae conti[n]uo se habent in proportione subdupla, et per consequens aggregatum ex omnibus illis est duplum ad primam illarum, omnia ista satis patent intelligenti ea, quae dicta sunt de velocitate motus localis penes effectum superius.

In oppositum arguitur sic, quia non videtur alter modus velocitatis augmentationis ab altero illorum cognoscendae, igitur penes alterum illorum debet velocitas motus augmentationis attendi.

Pro solutione huius quaestionis quatuor sunt ordine facienda. Primo enim definitiones et declarationes terminorum ad hanc materiam spectantium ponentur et notantur. Secundo aliqua inducentur conclusiones. Tertio ponentur dubitationes. Et postremo rationes ante oppositum dissolventur. Advertendum igitur, quod augmentatio ita definitur a philosopho primo de generatione. Augmentatio est praeexistentis magnitudinis additamentum. ¶ Diminutio vero praeexistentis quantitatis minoramentum. Ex quo concludit philosophus, quod ex materia sine magnitudine non potest esse augmentatio. Textu commenti tricesimi primi. Haec autem augmentatio dupliciter fieri potest. Uno [modo] prout distinguitur contra rarefactionem, et sic fit per additionem alicuius rei quante praeexistenti eiusdem speciei, cum illa ex qua re cum praeexistente fit unum maius. Et haec est proprie illa augmentatio, de qua philosophus loquitur loco praeallegato, quamvis videatur ibi proprie de augmentatione animati loqui, quae fit per intus susceptionem. Alio [modo] capitur, augmentatio prout est idem cum rarefactione. Et isto modo augmentatio potest fieri sine additione alicuius alterius, sed praecise per maiorem extensionem praeexistentis. Et utroque istorum modorum loquimur in proposito, quamvis de ea secundo modo peculiariter dictum sit in praecedenti capite. Tu tamen adverte, quod proprie capiendo terminos, rarefactio differt ab augmentatione saltem diversa, connotant illi duo termini, quorum | terminorum significantias et connotationes facile ex his, quae circa primum de generatione dicuntur, intelligere poteris.

Utrum autem augmentatio fiat secundum partes formales aut materiales et, quae sint partes formales aut materiales, et quot conditiones requirantur, habes primo de generatione capitulo de augmetatione, textu commenti tricesimi secundi et tricesimi sexti, videas ibi. Nunc autem sufficiat scire, quid augmentatio et quotuplex est augmentatio, ut intelligatur, penes quod velocitas motus augmentationis attendi habeat. In qua materia duae sunt opiniones, quas calculator recitat in capitulo de augmentatione, quamvis alii tertiam adiiciant. Videas Hentisberum cum commentatore suo in tractatu de motu locali in capitulo de augmentatione. Nunc autem sufficiet dicere, quod secundum unam opinionem velocitas motus augmentationis attenditur penes proportionalem quantitatis acquisitionem. Hoc est dicere, quod si duo augmententur – sive aequalia, sive inaequalia – et aequalem proportionem in eodem tempore adaequate acquirant, ipsa aeque velociter augmentantur, et si minus in duplo maiorem proportionem acquirit quam maius in eodem tempore, ut puta quia minus acquirit quadruplam, et maius duplam, minus in duplo velocius augmentatur quam maius. Quare concedit haec positio, quod stat aliquid in quadruplo velocius augmentari quam illud et in quadruplo minorem quantitatem acquirere adaequate. ¶ Ex quo sequitur has consequentias secundum hanc positionem nihil valere, ista duo in eodem tempore aequalem quantitatem acquirunt, ergo aeque velociter augentur, A in duplo velocius acquirit de quantitate quam B, ergo in duplo velocius augmentatur, A infinite velociter acquirit de quantitate, ergo infinite velociter augmentatur. Secunda autem positio nullo pacto considerat proportionem quam illud, quod augetur, acquirit, sed solum quantitatem. Unde haec consequentia secundum eam est bona, ista duo – sive sint aequalia, sive inaequalia – aequalem quantitatem acquirunt sive quantitatem praehabitam in eodem tempore, ergo aeque velociter augentur. His annotationibus breviter transcursis restat aliquas conclusiones inducere. Et primo eas inducemus, quae ex priori opinione sequuntur, quae vero ex secunda posterius sic, igitur.

Prima conclusio: diviso corpore per partes proportionales quavis proportione et prima pars proportionalis talis corporis aliqualiter augmentetur acquirendo talem proportionem, qualis est inter ipsam et secundam, vel maiorem, et secunda in eodem tempore augmentetur in duplo velocius, et tertia in triplo velocius quam prima, et quarta in quadruplo velocius quam prima in eodem tempore, tale corpus efficit[u]r infinitum, et infinitam proportionem acquirit, et sic infinite velocius augmentatur. Probatur conclusio, quia in tali casu quaelibet pars proportionalis illius corporis sequens efficitur aequalis vel maior quam prima. Ergo sequitur, quod illud corpus efficitur infinite magnum. Probatur antecedens: et volo, quod A corpus dividatur proportione H, et prima pars proportionalis eius in hora acquirit proportionem H, et secunda duas H, et tertia tres, et quarta quatuor et sic consequenter. Quo posito arguitur sic: prima pars distat a secunda per H proportionem adaequate in principio augmentationis, et ipsa prima acquirit H proportionem, et secunda acquirit unam H proportionem, in qua prima excedebat eam et insuper tantam proportionem, quantam prima, puta unam aliam proportionem H, igitur efficitur aequalis primae. Patet haec consequentia per maximam superius positam. Quando duae quantitates inaequales crescunt, et minor illarum acquirit illam proportionem, quae est inter maiorem et ipsam et insuper tantam proportionem adaequate, quantam acquirit maior in fine augmentationis, tales quantitates manent aequales, sed sic est in proposito. Igitur. Et sic probabis, quod tertia pars effecta est aequalis secundae, quia acquisivit duas proportiones H sicut secunda, et insuper unam aliam H, in qua secunda excedebat tertiam, et similiter quarta acquisivit tres proportiones H sicut et tertia et insuper unam H, in qua tertia excedebat illam, igitur per illam maximam omnes illae partes manent aequales, quam sic probabis de quibuscum duabus immeditatis. Et eodem modo probabis, quod tale corpus acquirit infinitam proportionem, si prima pars eius acquireret maiorem proportionem, quam sit proportio

divisionis patrocinio loci a maiore. ¶ Ex quo sequitur, quod stat aliqua[s] per totam unam horam aeque velociter augmentari, quorum in infinitum minus primo continuo est aliquod, et tamen in fine omnia erunt aequalia. Probatur correlari[u]m: et pono, quod sint infinita continuo se habentia in proportione subdupla, ita quod primum sit pedale secundum semipedale et cetera. Et dividatur quodlibet illorum per partes proportionales proportione dupla, et in hora uniformiter cuiuslibet illorum prima pars acquirat proportionem duplam, et cuiuslibet illorum secunda duas, et tertia tres, et quarta quatuor et sic consequenter. Quo posito manifestum est ex conclusione, quod omnia illa erunt infinita in fine horae, et per consequens aequalia, et per totam horam aeque velociter augmentabuntur, [quoniam] continuo aequales proportiones acquirunt, ut constat, et continuo in infinitum minus primo erit aliquod illorum, quam quodlibet sequens in quolibet instanti intrinseco se habebit ad primum in ea proportione, in qua modo se habent, sed aliquod illorum est in principio subduplum ad primum aliud subquadruplum, aliud suboctuplum, aliud subsexdecuplum et sic consequenter, ergo continuo aliquod erit subduplum, subquadruplum, suboctuplum et sic in infinitum, et sic patet correlarium. ¶ Sequitur secundo, quod diviso corpore proportione sesquialtera et in una hora prima pars acquirat proportionem duplam, et secunda duas triplas, et tertia tres quadruplas et quarta quatuor quintuplas et sic consequenter ascendendo, tale corpus in fine erit infinitum. Patet ex conclusione. ¶ Sequitur tertio, quod diviso corpore per partes proportionales proportione dupla et prima pars illius in una hora acquirat uniformiter proportionem duplam, et secunda duas triplas, et tertia tres quadruplas, et quarta quatuor quadruplas, et quinta quinque quadruplas, et sexta sexquadruplas et sic in infinitum, tunc tale corpus efficitur infinitum. Probatur, quia in tali casu tertia pars proportionalis acquirit sex duplas, et quarta octo duplas, et quinta decem, et sexta duodecim et sic consequenter ascendendo per numeros pares, et hoc universaliter, igitur quaelibet pars proportionalis acquirit tantam quantitatem sicut prima in hora vel maiorem, et per consequens in fine horae corpus est infinitum. Patet haec consequentia, quam quaelibet acquirit maiorem proportionem, quam oporteat, ut sit aequalis primae.

Secunda conclusio: diviso corpore per partes proportionales quavis optata proportione, et prima pars proportionalis in una hora acquirat aliquam proportionem minorem proportione divisionis, et secunda acquirat duplam ad illam, et tertia triplam ad illam, et quarta quadruplam ad illam, ita quod augmentetur in quadruplo velocius in eodem tempore, et sic consequenter, tunc in illo tempore illud corpus finite certe velociter augmentatur, et parte,s quae se habebant in proportione divisionis, se habebunt in fine continuo in proportione, per quam proportio divisionis excedit proportionem, quam prima acquirit. Exemplum, ut si aliquod corpus dividatur proportione dupla, et in hora prima pars acquirat proportionem sesquialteram, et secunda duas, et tertia tres, et quarta quatuor et sic consequenter, tunc dico, quod in fine illae partes, quae se habent in proportione dupla, se habebunt in proportione sesquitertia, quam proportio divisionis, quae est dupla, excedit proportionem sesquialteram, quam acquirit prima pars proportionalis sesquialteram, quam acquirit prima pars proportionalis corporis per proportionem sesquitertiam, ut constat. Proba[n]tur hoc 2 theorema generaliter sic: et sit proportio divisionis A corporis H, sitque proportio, quam acquirit in hora prima pars proportionalis F, quae sit minor H per G proportionem, ita quod H excedat F per G proportionem. Tunc arguitur sic: proportio H, quae est inter prima[m] et secundam, perdit F proportionem, et eandem proportionem F perdit proportio, quae est inter secundam et tertiam et inter tertiam et quartam et sic consequenter, et hoc adaequate, et proportio H excedit proportionem F per proportionem G, ut patet ex casu, ergo sequitur, quod inter primam partem et secundam manet G proportio, et inter secundam et tertiam et inter tertiam et quartam et cetera. Patet haec consequentia, per hanc maximam iam superius positam in tertio argumento: quandocumque aliqui duo numeri vel quantitates se habent in aliqua proportione, et aequales proportiones acquirunt, semper manent in eadem proportionem, et si numerus minor sive | quantitas minor acquirat aliquam proportionem ultra numerum sive quantitatem maiorem, ita tamen quod semper maneat minor, illam proportionem deperdit, proportio, quae A principio erat inter terminum maiorem et minorem, sed sic est in propositio. Igitur. Sed tam probatur maior, quia si secunda pars proportionalis acquireret dumtaxat F proportionem, quam adaequate acquirit prima, tunc semper maneret in aequali proportione, puta in H, ut patet ex maxima, sed modo secunda pars acquirit ultra illam proportionem, quam acquirit prima una proportionem F, et cum hoc manet minor, igitur proportionem F deperdit proportio H, quae in principio erat inter primam et secundam parte[m], sed deperdita F proportione ab H non manet, nisi G proportio, per quam proportio H excedit proportionem F, igitur inter prima et secundam manebit G proportio. Item si tertia pars proportionalis acquireret duas F proportiones sicut secunda adaequate, tunc adhuc manerent in H proportione, ut patet ex maxima, sed modo perdit tertia una[m] F proportionem ultra et manet minor qua secunda, igitur proportionem F deperdit proportio H, quae erat in principio inter secundam et tertiam, sed deperdita F proportione ad H non manet, nisi G proportio, per qua[m] proportio H excedit F proportionem, igitur i[n]ter secundam et tertiam manet G proportio. Quod fuit probandum. Et isto modo probabis de quibuscumque duabus immediatis, quod inter eas manet G proportio. Patet igitur secunda pars conclusionis, quod videlicet in casu conclusionis inter partes manebit proportio G, per quam proportio divisionis excedit proportionem acquisitam primae parti proportionali in toto tempore. Et ex hoc facile patet prima pars. ¶ Sed quaereret aliquis, quo cognosci potest quantam proportionem in casu conclusionis, illud corpus acquisivit supra se. ¶ Respondeo et dico primo, quod quamvis possit dari certa [regula] ad hoc universaliter sciendum, nihilominus quia illa est multum intricata et intellectu difficilis. Ideo eam non pono. Dico secundo, quod poterit facile calculari, quantum illud corpus est in fine talis augmentationis scita quantitate primae partis proportionalis in fine augmentationis, quae scita per regulas divisionum positas in quinto capite primae partis adinvenietur totalis corporis magnitudo et tunc habita quantitate, quam habuit in principio augmentationis, habetur proportio acquisita.

Tertia conclusio: diviso corpore in partes proportionales quacumque proportione, et prima pars proportionalis acquirat aliquantulam proportionem in hora, et secunda in duplo maiorem in eadem hora, et tertia in duplo maiorem quam secunda et quarta quam tertia et sic in infinitum, ita quod qua[e]libet sequens in duplo velocius continuo augeatur in hora quam immediate praecedens, tale corpus infinite velociter augetur et subito acquirit infinitam proportionem. Probatur haec conclusio: et sit proportio divisionis corporis G, et proportio, quam acquirit prima pars in hora, sit H. Quo posito arguitur sic: quocumque instanti dato post instans initiativum talis augmentationis datur una pars proportionalis illius corporis, cui quaelibet infinitarum sequentium est aequa[l]is vel illa maior, ergo sequitur, quod quocumque instanti dato inter illud et instans initiativum illud corpus acquirit infinitam proportionem, et per consequens conclusio vera. Consequentia patet, et arguitur antecedens, quia quocumque instanti dato aliquam proportionem acquisivit prima pars proportionalis, quae fit F gratia argumenti, et manifestum est, quod aliquot F proportiones constituunt G proportionem divisionis vel maiorem proportionem, quam sit G proportio divisionis, et tot F proportiones in tali instanti, vel plures acquisivit aliqua pars, quia in tali instanti infinitas F proportiones acquisivit aliqua pars, et pars immeditate sequens acquisivit bis tot F proportiones, ergo acquisivit tantam proportionem, quanta immediate praecedens, et cum hoc tantam proportionem, quanta est inter illam et immediate praecedente[m] vel maiorem, et per consequens illa pars effecta est aequalis in tali instanti immediate praecedenti vel maior. Patet haec consequentia per quandam maximam superius allegatam ad immediate praecedentem conclusione. Et eodem modo probabis de immediate sequente illam, de qua probatum est, quod erat maior vel aequalis immediate praecedenti. Sit enim illa gratia exempli, quam probavimus esse aequalem immediate praecedenti vel maiorem vicesima pars proportionalis,

et tunc manifestum est, quod vicesima prima efficitur aequalis illi vicesimae vel maior, quam tot proportiones acquisivit vicesima prima sicut vicesima, et cum hoc acquisivit bis proportionem divisionis vel maiorem ea, ergo effecta est maior vicesima parte. Et sic probabis de vicesima secunda respectu vicesimae primae. ¶ Ex quo sequitur, quod diviso corpore, quavis proportione volueris, ut ponitur in casu conclusionis, non est possibile tale corpus successive in tali casu augmentari. Patet ex conclusione.

Quarta conclusio: diviso corpore quavis optata proportione et prima pars proportionalis talis corporis in hora aliqualiter augeatur, et secunda velocius prima in proportione, in qua est minor ea, vel maiori, et tertia etiam velocius prima, in qua est minor ea, vel maiori et sic consequenter, continuo totum illud corpus infinite velociter augetur in illa hora et subito efficitur infinite magnum. Probatur haec conclusio: et volo, quod dividatur aliquod corpus proportione A, et incipiant partes augmentari, ut ponitur in conclusione. Tunc arguitur sic: Quocumque instanti dato post hoc dabitur una pars proportionalis aequalis immediate praecedenti vel maior, et quaelibet sequens aequalis illi vel maior, ergo quocumque instanti dato post hoc illud corpus erit infinite magnum. Consequentia patet, et arguitur antecedens. [Quoniam] signato aliquo instanti post hoc aliqua est proportio acquisita primae parte proportionali, quae sit H, et in infinitum maior acquisita est alicui parti, ut patet ex casu, [quoniam] in infinitum minor prima est aliqua pars, capio igitur unam, quae acquisivit unam proportionem A vel maiorem ultra proportionem acquisitam parti immediate praecedenti, et sequitur, quod illa est aequalis vel maior immediate praecedenti, [quoniam] acquisivit tantam proportionem sicut immediate praecedens et insuper illam, per quam excedebatur ab immediate praecedenti, vel maiorem, et per consequens est aequalis vel maior, ut patet ex maxima secundae conclusionis. Et similiter pars sequens illam est aequalis immediate praecedenti vel maior, quam acquisivit tantam proportionem quantam immediate praecedens et cum hoc unam proportionem maiorem, quam si[t] proportio A, per quam excedebatur ab immediate praecedenti, et sic consequenter probabis de qualibet alia.

Quinta conclusio: diviso corpore, quacumque proportione volueris, et tamen aliquo tempore prima pars proportionalis acquirat aliquam proportionem, et quaelibet sequens tantam in eodem tempore, tunc omnes illae partes manent in eadem proportione, in qua antea se habebant, et totum acquirit illam proportionem, quam acquirit prima eius pars. Probatur prima pars conclusionis, [quoniam] quaelibet duae partes immediate ita se habent, quod quan[]tam proportionem acquisivit maior, tantam acquisivit minor, et sic manent in eadem proportione, in qua se habebant antea. Patet consequentia ex secunda parte, et per consequens omnes illae partes proportionales se habent in ea proportione, in qua se habebant antea. Secunda pars probatur, et sit H proportio acquisita primi parti proportionali. Et arguitur sic: quaelibet pars proportionalis istius corporis demonstrato corpore sic diviso et augmentato est in H proportione maior quam antea, ergo totum corpus est in H proportione maius, et illa est proportio, quam acquisivit prima pars proportionalis, igitur in casu conclusionis totum corpus effectum est maius in proportione, quam acquisivit prima pars proportionalis. Probatur consequentia, et sit illud corpus A in fine augmentationis, et B in principio. Et arguitur sic: primae partis proportionalis ipsius a H proportione ad primam ipsius B est proportio H. Et secundae ipsius A ad secundam ipsius B est etiam proportio H, et tertiae ipsius A ad tertiam ipsius B est proportio H et sic consequenter. Igitur omnium partium proportionalium ipsius A ad omnes partes proportionales ipsius B est proportio H, patet haec consequentia, [quoniam] eadem est proportio coniun[c]torum et divisorum, ut patet ex secundo capite secundae partis. Et ex consequenti totum A est in H proportione maius ipso B. |

Sexta conclusio: partito corpore per partes proportionales, quacumque proportione volueris, et in aliquo tempore prima pars proportionalis acquirat aliquam proportionem, et secunda acquirat in aliqua certa proportione in eodem tempore proportionem minorem, et tertia in eadem proportione minorem secunda, et quarta in eadem proportione minorem tertia et sic consequenter, tunc proportio inter primam partem et secundam efficitur maior per primam partem proportionalem proportionis acquisitae primae divisae in ea proportione, qua secunda tardius augmenta [est] prima, et tertia quam secunda et sic consequenter. Et proportio inter secundam et tertiam efficitur maior per secundam partem proportionalem proportionis acquisitae primae. Et proportio inter tertiam et quartam efficitur maior per tertiam partem proportionalem proportionis acquisitae primae et sic consequenter. Et – ut opinor – non valet finita intellectus capacitas commensurare proportionem toti corpori acquisitam. Exemplum, ut si aliquod corpus dividatur per partes proportionales proportione dupla, et prima pars proportionalis acquirat proportionem sexquialteram, et secunda subquadruplam, et tertia subquadruplam ad acquisitam secundae, et quarta subquadruplam ad acquisitam tertiae et sic consequenter, tunc dico, quod proportio inter primam partem proportionalem et secundam acquisivit primam partem proportionis sesquialterae divisae per partes proportionales proportione quadrupla. Et proportio inter secundam et tertiam acquisivit secundam partem proportionalem proportionis sesquialterae, et proportio inter tertiam et quartam tertiam partem proportionalem proportionis sesquialterae et sic consequenter. Probatur: sit A proportio acquisita primae parti proportionali, et sit F proportio, in qua velocius augetur prima quam secunda. Et arguitur sic: proportiones acquisitae partibus huius corporis continuo se habent in proportione F, ut patet ex casu, ergo excessus, quibus continuo se excedunt, etiam se habent continuo in proportione F, et per primum illorum excessuum proportio inter primam et secundam partem efficitur maior, et per secundum proportio inter secundam et tertiam efficitur maior, et per tertium proportio inter tertiam et quartam efficitur maior et sic consequenter, et primus illorum excessuum est prima pars proportionalis ipsius A proportionis divisae proportione F, et secundus secunda, et tertius tertia et sic consequenter, igitur proportio inter primam et secundam partem efficitur maior per primam partem proportionalem ipsius A proportione F, et secunda per secundam, et tertia per tertiam et sic consequenter. Quod fuit probandum. Patet tamen prima consequentia per hanc regulam, quae superius demonstrata est: in quacumque proportione se habent aliqua continuo, in eadem continuo se habent excessus eorum. Sed iam probo, quod per primum illorum excessuum proportio inter primam et secundam efficitur maior, et per secundum proportio inter secundam et tertiam et cetera et hoc per hanc maximam: quandocumque duae quantitates inaequales acquirunt aliquas proportiones, et maior illarum acquirit maiorem proportionem quam minor, tunc proportio inter illas quantitates efficitur maior per excessum, quo proportio acquisita maiori excedit proportionem acquisitam minori, ut in capitulo 8. secundae partis ostensum est, sed sic est in proposito. Igitur. Sed iam probatur, quod primus illorum excessuum est prima pars proportionalis ipsius A proportione F, quia A se habet ad proportionem acquisitam primae partium proportionali in proportione F, ergo excessus, quo A excedit proportionem acquisitam secundae parti proportionali est prima pars proportionalis ipsius A proportione F. Patet consequentia per hanc regulam: quandocumque aliquod totum excedit aliquid in certa proportione, tunc excedit illud per primam sui partem proportionalem tali proportione, ut si unum pedale excedat aliam quantitatem in proportione sesquialtera, illud pedale excedit aliud per primam sui partem proportionalem proportione sesquialtera, quia per

unam tertiam, ut constat. Ex hoc sequitur, quod secundus excessus est secunda pars proportionalis proportione F, et tertius tertia et sic consequenter. Ex eo, quod primus illorum est prima, et sic patet prima pars conclusionis. Et ex illa facile persuadetur secunda, quoniam illae partes continuo se habent in alia et alia proportione, puta minori et minori, igitur impossibile est intellectui finito illam inifinitam proportionum diversitatem commensurare, et per consequens impossibile est ipsum metiri proportionem, quam illud corpus adaequate acquisivit, et sic patet conclusio.

Septima conclusio: divisa hora per partes proportionales proportione ad libitum exoptata constitutisque certis ordinibus partium proportionalium inter scalariter se habentium totumque corpus absolventium iuxta tenorem primi conclusionis septimi capitis primae partis et in primo illorum aliquod corpus augmentetur acquirendo aliquam proportionem, et in secundo aeque velociter augmentetur et ita in quolibet, si plures fuerint, illud corpus minorem proportionem acquirit in quolibet sequenti quam immediate praecedenti in proportione, qua hora dividitur. Exemplum, ut si hora dividatur proportione dupla, et constituuntur tres ordines partium proportionabilium interscalariter se habentium, qui ordines totum corpus absolvant, et in primo illorum ordinum unum pedale aliqualiter velociter augmentetur et in secundo aeque velociter et in tertio similiter. Tunc dico, quod si in primo ordine acquisivit proportionem duplam, in secundo ordine acquisivit medietatem duplae et in tertio quartam duplae. Patet, quia illi ordines continuo se habent in proportione dupla, quae est proportio divisionis, et universaliter patet haec conclusio ex prima conclusione septimi capitis praeallegata. ¶ Ex quo sequitur primo, quod conscisa hora per partes proportionales quavis proportione signatisque certis ordinibus – ut dictum est in conclusione – et in quolibet sequenti velocius augmentetur aliquod corpus quam in praecedente in proportione divisionis horae, tunc in quolibet illorum ordinum tantam proportionem acquirit sicut in prima, et si fuerint quatuor ordines, et in primo acquisivit proportionem sesquialteram, in omnibus illis acquisivit quatuor sesquialteras. Patet hoc correlarium, quia illi ordines se habent in proportione divisionis horae et in ea proportione, in qua sunt minores, corpus velocius augmentatur in illis, igitur tantam proportionem acquirit in quolibet sequenti sicut in primo.

¶ Sequitur secundo, quod divisa hora, quacumque proportionem volueris, instructisque ordinibus – ut in conclusione dicitur – et aliquod corpus in quolibet sequenti ordine velocius augmentetur quam immediate praecedenti in certa maiori proportione continuo, quam sit proportio divisionis, t[un]c in quolibet sequenti maiorem proportionem acquirit quam in primo in ea proportione, per quam proportio velocitatum augmentationis illius ordinis et primi excedit proportionem primi ad ipsum, ut si hora dividatur proportione dupla, et constituantur tres ordines, et in quolib[e]t pedale A in quadruplo velocius augmentetur praecede[n]te, et tunc dico, quod in tertio ordine in quadruplo maiorem proportionem acquirit quam in primo, quia proportio primi ad tertium est quadrupla, et velocitas augmentationis in tertio ad velocitatem augmentationis in primo est sexdecupla, ut patet intuenti, sexdecupla enim excedit quadruplam, ideo in quadruplo maiorem proportionem acquirit in tertio quam in primo et in secundo in duplo maiorem proportionem quam in primo, quia proportio eorum ordinum est d[u]pla, et proportio velocitatum quadrupla. Modo quadrupla excedit duplam per duplam. Patet probatio huius | correlarii ex quinta propositione secundi notabilis tertii capitis secundi tractatus. ¶ Sequitur tertio, quod partita hora per partes proportionales una certa proportione ad libitum signata, constructisque ordinibus quotcumque horam ipsam absolventibus ut in conclusione, et pedale A in primo aliquantulum velociter augeatur et in quolibet sequenti in certa proportione minore proportione divisionis continuo velocius quam in immediate praecedenti, tunc maiorem proportionem acquirit in praecen[den]ti quam in sequenti in ea proportione, per quam proportio ordinis praecedentis ad illum ordinem sequentem excedit proportionem velocitatis augmentationis sequentis et praecedentis. Ut si hora dividatur proportione sexquialtera, et constituantur tres ordines, exempli gratia et in quolibet sequente pedale A in sexquitertio velocius augmentetur quam in immediate praecedente. Tunc dico, quod in primo maiorem proportionem acquirit quam in tertio ordine in ea proportione, per quam proportio dupla sexquiquarta, qualis est inter primum ex tertium, excedit proportionem sup[ra]septipartientem no[n]as, qualis est inter velocitatem augmentationis tertii ordinis et velocitatem primi, et quia proportio dupla sexquiquarta excedit proportionem supraseptipartie[n]tem no[n]as per proportionem supradecemseptipartientem sexagesimas quartas. Ideo in tali proportione maiorem latitudinem proportionis acquirit tale corpus in primo ordine quam in tertio. Patet probatio huius correlarii ex sexta propositione secundi notabilis tertii capitis secundi tractatus praeallegati. Et sic poteris inferre infinita alia correlaria ex hac septima conclusione auxiliantibus propositionibus positis in notabili praeallegato.

Octava conclusio: diviso corpore per partes proportionales, qua volueris proportione, assumptisque certis ordinibus partium proportionabilium interscalariter se habentium, qui totum corpus absolvant, et quiescentibus ceteris ordinibus unus illorum augeatur taliter, quod quaelibet eius pars acquirat tantam proportionem sicut prima, tunc ille ordo acquirat eam proportionem, quam acquirat prima pars eius, et totum corpus minorem proportionem acquirit. Quam adinvenies documentis positis in prima parte huius operis capite septimo. Prima pars huius conclusionis patet ex quinta conclusione huius, et secunda patet ex tertia conclusione capitis in ea allegati. Applica, si potes.

Nona conclusio: divisa hora per partes proportionales, qua volueris proportione, et in prima A pedale aliquantulum velociter augeatur et in secunda in duplo velocius et in tertia in triplo quam in prima et in quarta in quadruplo quam in prima et sic consequenter, tunc illud pedale in illa hora acquirit maiorem proportionem quam in prima parte probortionali horae in proportione duplicata ad proportionem, in qua se habet tota illa hora sic divisa ad primam partem eius proportionalem. Ut divisa hora per partes proportionales proportione sexquialtera et augmentato pedali – ut ponitur in conclusione – dico, quod in tota illa hora illud pedale acquirit maiorem proportionem in no[n]ocuplo quam in prima parte proportionali. Quoniam hora divisa per partes proportiones proportione sexquialtera se habet ad primam partem proportionalem proportionem triplam, et proportio dupla ad triplam est no[n]ocupla. Probatur haec conclusio. ¶ Supponendo primo, quod, si in hora divisa, quavis proportione

volueris, continuo illud corpus augeretur ita velociter sicut in prima parte proportionali in ea proportione, qua aliqua pars est minor prima, in ea minorem proportionem acquireret in illa quam in prima. Haec suppositio ex se constat. ¶ Secunda suppositio: quando istud corpus augmentatur in hora sic divisa, ut ponitur in conclusione, duas proportiones aequales acquirit in secunda parte proportionali, aequales – inquam – illi, quam acquireret, si moveretur aequevelociter in ea sicut in prima, quoniam movetur in duplo velocius quam tunc, et in tertia tres aequales illi, quam acquireret, si moveretur aeque velociter sicut in prima, et in quarta quatuor aequales illi, quam acquireret, si moveretur aeque velociter sicut in prima, quia modo in quadruplo velocius movetur quam tunc et sic in infinitum. ¶ Tertia suppositio sequens ex his duabus: in casu conclusionis proportio acquisita in prima parte proportionali se habet ad utramque illarum duarum acquisitarum in secunda in proportione divisionis, et utraque de his duabus acquisitis in secunda ad quamlibet illarum trium acquisitarum in tertia se habet etiam in eadem proportione divisionis et sic consequenter. Patet haec ex prima suppositione. ¶ Ex quibus sequitur, quod ibi sunt infiniti ordines infinit[a]rum continuo se habentium in proportione divisionis, pro primi enim ordi[n]is prima parte capias proportionem acquisitam in prima parte proportionali et pro secunda parte unam acquisitarum in secunda et pro tertia unam acquisitarum in tertia et sic in infinitum. Et pro secundi ordinis prima parte capias alteram acquisitam in secunda et unam de acquisitis in tertia, pro secunda parte illius secundi ordinis et pro tertia parte unam de acquisitis in quarta, et sic in infinitum. Et pro tertii ordinis prima parte capias unam de acquisitis in tertia, quae adhuc non est accepta, et pro secunda unam de acquisitis in quarta et sic consequenter, ita quod nulla maneat acquisita in aliqua parte proportionali, quin sit aliqua pars alicuius illorum ordinum, et manifestum est, quod ibi erunt infiniti ordines continuo se habentes in proportione divisionis, quia semper partes eorum se habent ad invicem continuo in proportione divisionis, et omnium illorum primae partes etiam se habent in proportione divisionis, et secundae, et tertiae, et quartae et sic sine fine, igitur illi ordines continuo se habent in proportione divisionis. Iam haec consequentia antea deducta est, et per consequens aggregatum ex omnibus illis ordinibus se habet ad primum illorum in ea proportione, qua se habet tota hora divisa ad primam partem proportionalem, et primus illorum ordinum se habet etiam ad primam eius partem, quae est proportio acquisita in prima parte horae, etiam in proportione divisionis. Igitur aggregatum ex omnibus illis ordinibus, quod est proportio acquisita in tota hora ipsi corpori, se habet ad proportionem acquisitam in prima parte proportionali in proportione dupla ad proportionem, in qua se habet tota hora sic divisa ad primam eius partem proportionalem.

Patet consequentia, quia ibi sunt tres termini continuo proportionabiles tali proportione, quorum primus et maximus est aggregatum ex omnibus illis ordininibus, et secundus primus illorum ordinum, et tertius proportio acquisita in prima parte proportionali horae, igitur ibi est proportio dublicata, ut patet intuenti. Multae aliae conclusiones et correlaria ex hac imaginatione et industria horum ordinum possunt inferri materiam ampliando, quae omnia facile inducuntur ex dictis. Principium enim plus quam dimidium totius esse videtur ex primis ethicorum, et caeli | et mundi et ex elenchorum et metaphysic[um] secundis. Quandoquidem his, quae circa materiam de motu locali difformi quoad tempus [dictum est], diligenter inspectis facile proprio marte educentur conclusiones innumerae, quoniam omnes, quae ibi inducuntur, mutatis mutandis hic inferri valent. ¶ Deinde ponendae sunt aliquae conclusiones, quae ex positione secunda nascuntur. Prima conclusio: nullum quadratum, cuius omnia latera sunt aequalia, sive superficiale sit si[v]e solidum, potest uniformiter ad non quantum diminui utraque eius dimensione uniformiter ad non quantum diminuta. Haec conclusio patet ex deductione octavi argumenti. Et hanc conclusionem sane intelligas capiendo ly „potest“ in sensu composito. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod si aliquod quadratum a non quanto incipit continuo uniformiter acquirere longitudinem, latitudinem et profunditatem, ipsum infinite tarde incipit augeri. Probatur, quoniam incipit continuo acquirere proportionem octuplam in qualibet parte proportionali proportione dupla, igitur incipit in infinitum tarde acquirere de quantitate. Patet consequentia ex secunda confirmatione secundi argumenti huius. Probatur antecedens, quia in via dimunitionis quando continuo in qualibet parte proportionali dupla proportione latitudo, longitudo et profunditas perdunt proportionem duplam, tunc totum quadratum perdit proportionem octuplam, ergo in via augmentationis econverso augmentando in qualibet parte proportionali proportione dupla acquiret octuplam proportionem illud quadratum. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur secundo, quod si a non quanto aliquod quadratum incipit uniformiter augeri, sua latitudo et longitudo incipiunt infinite velociter augeri. Probatur, quia longitudo et latitudo incipiunt acquirere in parte proportionali pcoportione dupla minorem proportionem dupla. Igitur longitudo et latitudo illius quadrati incipiunt in infinitum velociter augeri. Patet haec consequentia ex secunda confirmatione praeallegata. Probatur antecedens, quoniam non auge[n]tur hae dimensiones in proportione dupla, quia tunc quadratum non uniformiter augeretur, ut patet ex priori correlario, nec in maiori dupla, quia tunc etiam quadratum in maiori quadrupla augeretur, et sic non augeretur uniformiter, ut constat, igitur illae dimensiones in maiori proportione dupla augentur in partibus proportionalibus temporis proportione dupla. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur tertio, quod, si aliquod quadratum incipit a non quanto augeri, et in qualibet parte proportionali proportione dupla ipsius temporis acquirat proportionem minorem dupla, ipsum incipit infinite velociter augeri, et quaelibet eius dimensio incipit in infinitum velociter augeri, et tamen incipit quaelibet eius dimensio in infinitum velocius augeri quam ipsum quadratum. Patet hoc correlarium facile ex secunda confirmatione praedicta, hoc addito, quod semper in tali casu quadratum incipit maiorem proportionem acquirere quam aliqua eius dimensio, ut patet ex deductione octavi argumenti huius paucis facillimis additis.

Secunda conclusio stat, quod A corpus incipit in infinitum velociter augeri et infinite tarde et uniformiter. Patet haec conclusio ex deductione replicae octavi argumenti. In hac materia possunt induci omnes illae conclusiones, quae inductae et probatae fuerunt tractatu secundo capite tertio de motu locali difformi quoad tempus. Videas ibi. Conclusionibus expeditis et consequenti secunda

par[te] quaestionis nostrae restat, ad dubia accedamus.

Dubitatur primo, an secundum primam opinionem undecima, duodecima et tredecima conclusiones calculatoris in capitulo de augmentatione sint concedendae, et an pr[]obationes earum, quas ipse calculator adduxit, concludant [aut] sint efficaces.

Dubitatur secundo, an illae eaedem sint concedendae secundum posteriorem opinionem.

Dubitatur tertio, an iuxta secundum o[]pinionem aliquid possit per totum diminui.

¶ Ad primum accedendo probo primo, quod probatio calculatoris ad undecimam conclusionem non valeat, saltem in casu suo, quia in illo casu illa conclusio est falsa, igitur non probat eam in tali casu. Probatur antecedens, quia ipse ponit casum, quod infinita incipiant augeri a non quanto, et incipiat primum in duplo velocius augeri secundo, et secundum in duplo velocius tertio, et tertium quarto et sic consequenter, in casu ista proposito est falsa, in infinitum velociter incipit aliquod augeri, quod i[n] infinitum tarde incipit augeri. Probatur, quia bene sequitur infinite velociter incipit aliquod istorum augeri, quod infinite tarde incipit augeri, ergo post instans, quod est praesens, infinitum velociter augebitur, quod infinitum tarde incipit augeri, et per consequens post hoc aliqualiter velociter aliquod istorum augebitur, quod infinite tarde incipit augeri. Consequens est falsum, igitur et antecedens. Consequentiae sunt notae, et probatur falsitas consequentis, quia nullum infinite tarde incipit augeri, ut patet intuenti casum. Igitur.

¶ Secundo arguitur probando inefficaciam probationis, qua ipse calculator probat duodecimam conclusionem. Ad eam enim probandam inducit calculator talem casum: sint infinita quanta, quorum primum sit aliquantum, et secundum in quadruplo maius quam primum, et tertium in quadruplo maius quam secundum et sic in infinitum; et augeatur primum aliqualiter velociter, et secundum in duplo minus, et tertium in duplo minus quam secundum et sic in infinitum. Tunc dicit primam partem conclusionis sequi, videlicet [in] infinitum tarde incipit augeri, quod infinitam quantitatem incipit acquirere, quia – ut inquit – secundum in duplo maiorem quantitatem acquirit quam primum, et tertium quam secundum et sic consequenter. Ad quod probandum facit hanc consequentiam: si primum illorum praecise aeque velociter augeretur sicut secundum, secundum in quadruplo velocius acquireret de quantitate quam primum, sed nunc in duplo velocius incipit primum acquirere de quantitate quam t[u]nc, ergo in duplo velocius incipit secundum acquirere de quantitate quam primum, et sic tertium in duplo velocius secundo et sic in infinitum, et per consequens ante quodcumque instans infinita quantitas erit acquisita alicui illorum, et sic infinitam quantitatem incipit aliquod illorum acquirere. Sed haec ratio est inefficax, quia consequentia illa, quam facit, nihil valet, videlicet haec: si primum aeque velociter praecise augeretur, sic secundum. Secundum in quadruplo velocius acquireret de quantitate quam primum, sed nunc, puta in casu, in duplo velocius incipit primum acquirere de quantitate quam tunc, igitur in duplo velocius incipit secundum acquirere de quantitate quam primum. Quod autem illa consequentia nihil valet, patet, quia illius consequentiae antecedens est verum in casu, et consequens falsum, igitur illa nihil valet. Proba[t]ur antecedens: et pono, quod in illo casu primum illorum in una hora acquirat proportionem | sexdecuplam, et sit illud primum unum pedale, et secundum in eadem hora acquirat quadruplam, quod quidem secundum est quadrupedale. Quo posito antecedens est verum et consequens, igitur consequentia nulla. Quod autem antecedens sit verum, patet, quia maior est necessaria, ut constat, et minor in casu nostro vera, quia incipit in duplo maiorem proportionem acquirere quam tunc, et continuo in duplo maiorem acquiret quam tunc, et sic continuo in duplo maiorem quantitatem acquirit quam tunc, et per consequens totum antecedens est verum. Sed iam probo falsitatem [.] consequentis, quia in quolibet instanti illius horae primo erit acquisita maior quantitas quam subdupla ad quantitatem acquisitam ipsi secundo, igitur in nullo tali instanti erit acquisita secundo dupla quantitas ad quantitatem acquisitam primo, et per consequens non incipit in duplo velocius acquirere de quantitate quam primum, ex quonumquam quantitas acquisita secundo erit in duplo maior quam quantitas acquisita primo. Sed iam probo, quod in quolibet instanti illius horae primo erit acquisita maior quautitas quam subdupla ad quantitatem acquisitam primo, quia quocumque instanti dato si primum continuo aeque velociter augeretur cum secundo, ipsum primum in tali instanti haberet acquisitam quantitatem subquadruplam ad quantitatem acquisitam secundo, sed modo super illam quantitatem adhuc acquisivit tantam proportionem, sicut acquisivit tunc acquirendo illam quantitatem, ergo super illam quantitatem acquisitam adhuc acquisivit maiorem illa acquisita, et per consequens in tali instanti quantitas acquisita est maior quam subdupla ad quantitatem acquisitam secundo. Quod fuit probandum. Patet consequentia, quia si praecise acquisivisset usque ad illuod instans tantam proportionem sicut secundum, et super illam subquadruplam quantitatem acquisitam acquisivisset adhuc tantam praecise, quantitas ei acquisita mansisset subdupla ad quantitatem acquisitam secundo, sed modo in illo instanti super illa[m] quantitate[m] subquadrupla ipsum primum acquirit maiorem, quia acquirit tantam proportionem sicut antea, et est maius, ergo quantitas subdupla ei acquisita est maior quam subdupla ad quantitatem acquisitam secundo. Quod fuit probandum. Item ad probandam secundam partem eiusdem conclusionis facit calculator talem consequentiam: si primum aliquorum continuo se habentium in proportione subquadrupla, puta quorum primum sit ut quatuor, et secundum ut unum, tertium ut una quarta, et sic in infinitu[m], aeque velociter diminueretur sicut secundum, in quadruplo velocius deperderet de quantitate quam secundum, sed nunc in duplo tardius incipit primum deperdere de q[u]antitate quam tunc, ergo in duplo velocius incipit primum deperdere de quantitate quam secundum. Et haec consequentia etiam nihil valet, quia primum s[]emper deperdit maiorem quantitatem quam duplam ad quantitatem deperditam a secundo. ¶ Ad istud dubium respondeo ponendo aliquas propositiones. ¶ Prima proposit[i]o: probationes undecimae et duodecimae conclusionis calculatoris sunt in efficaces. Patet hoc ex argumentis nuperrime factis. ¶ Secunda propositio: illae conclusiones, undecima videlicet et duodecima, in casibus ibi positis, si sumantur, in sensu cathegorico sunt falsae. Probatur de undecima ex primo argumento contra dubium, de duodecima etiam probatur, quod ipsa in casu ibi posito sit falsa, qu[i]a nullum illorum corporum infinitam quantitatem incipit acquirere, igitur non in infi[ni]tum

tarde incipit aliquod illorum augeri, quod infinitam quantitatem acquirere incipit. ¶ Tertia propositio: illae conclusiones capiuntur a calculatore in sensu hypothetico. Ita quod sensus primi sit, incipit infinitum velociter aliquod istorum, et incipit in infinitum tarde augeri aliquod istorum, et sensus secundae sit: iste incipit infinitum tarde aliquod istorum augeri, et incipit aliquod eorum infinitam quantitatem acquirere et cetera. ¶ Quarta proposit[i]o: quaelibet illarum trium conclusionum debet tamquam possibilis secundum hanc primam positionem concedi. Et prima, puta undecima, probatur ponendo, quod sit unum pedale et divisa hora per partes proportionales proportione dupla. Volo, quod in qualibet impari deperdat proportionem octuplam et in qualibet pari sesquialteram usque ad non quantum, et manifestum est, quod in infinitum tarde diminuetur in partibus imparibus et in infinitum velociter in paribus, volo igitur, quod eocontra a non quanto incipiat augeri omnino eodem modo. Quo posito in via augmentationis sequitur conclusio. ¶ Secunda conclusio, quae est duodecima, probatur casu posito, quod aliquod corpus incipit augeri a non quanto taliter, quod in qualibet parte impari acquirat infinitam quantitatem syncathegoreumatice, et in fine talis partis redigatur ad certam quantitatem finitam subito, in qualibet vero pari acquirat proportionem octuplam. Quo posito sequitur conclusio pro prima parte, et secunda probatur ponendo, quod sint infinita continuo se habentia in proportione dupla descendendo, quae in qualibet parte proportionali huius horae deperdant proportionem duplam usque ad non quantum, et deinde incipiant eo modo augeri a non quanto. Quo posito patet conclusionis secunda pars dummodo aequivaleat huic: incipit infi[n]itum velociter aliquod istorum augeri, et incipit infinitum tarde continuo aliquod illorum acquirere de quantitate. ¶ Tertia conclusio, quae est tredecima calculatoris, bene ab eo probata est, quamvis [n]onnumquam abutatur ordine terminorum in eius probatione dicendo, aliquid illius ordinis fiet subito infinitum, cum deberet dicere, infinitum fiet subito aliquid illius ordinis et cetera. Et per hoc patet responsio ad dubium.

Ad secundum dubium respondeo ponendo aliquas propositiones. Prima propositio: undecima conclusio calculatoris concedenda est secundum opinionem secundam. Patet haec propositio in casu posito ad probationem eius secundum priorem opinionem, in dubio praecedenti posito, quod in partibus in quibus perdit proportionem octuplam, semper ita se habeat, ac si in aliis nihil acquireret.

¶ Secunda propositio: prima pars duodecimae conclusionis iuxta opinionem secundam concedenda est in casu posito, quod redigatur in cuiuslibet partis imparis principio ad illam quantitatem, quam praecise haberet, si tantummodo augeretur in partibus paribus acquirendo proportionem octuplam.

¶ Tertia propositio: Tridecima conclusio etiam concedenda est, sed non oportet, quod concedatur in sensu conditionali posito casu, sicut ibidem ponitur. Hoc addito, quod quodlibet illorum in qualibet parte impari infinitam quantitatem acquirat, et in qualibet pari acquirat proportionem octuplam, et fiat divisio temporis proportione dupla. Ita tamen se habeat in partibus paribus, ac si praecise in illis augmentaretur, et in eodem patet secunda pars se movendo ly „continuo“. Facile tamen est verificare illam conclusionem ad sensum doctoris manente ly „continuo“. Sed ista sufficiant pro dubii solutione. Tu ipse propria | Minerva plura adiicias.

Ad tertium dubium respondeo breviter distinguendo, aut illa diminutio fit per condensationem tantum aut per corruptionem partium per totum. Si per condensationem, dubium est bene possibile. Si vero per partium corruptionem, dubium est impossibile, ut bene probat argumentum calculatoris capitulo de augmentione versus finem. His positis fit.

Conclusio responsiva huius principalis conclusionis: utraque illarum positionum de motus augmentationis velocitate sua probilitate fulcitur. Patet haec conclusio ex superius dictis et ex his, quae inferius dicentur in argumentorum solutionibus.

Ad rationes ante oppositum: Ad primam responsum est ibi usque ad ultimam replicam, ad quam respondeo concedendo illatum, ut argumentum bene probat ipsum esse concedendum. Et quia argumentum in principio sui videtur quaerere, an quando unum pedale secundum eius medietatem perdit unam octavam, et secundum aliam, acquirit unam quartam, an concedendum sit ipsum deperdere aliquam quantitatem. ¶ Ad quod respondeo breviter, quod non sed simpliciter est concedendum, quod illud pedale acquirit quantitatem, quia quantitas acquisita uni parti excedit quantitatem deperditam ab altera parte, et in tali casu tantam quantitatem acquirit illud pedale, per quantam quantitas acquisita uni parti excedit quantitatem deperditam ab altera. Et si dicas contra demonstrata quantitate, quam deperdit qua pars pedalis, arguitur sic: haec deperdit istud pedale, et hoc est aliqua quantitas, ergo aliquam quantitatem deperdit hoc pedale. Dico, quod aliquam quantitatem deperdit hoc pedale, et tamen non deperdit aliquam quantitatem, sicut in rarefactione. Dicimus, quod corpus acquirit maiorem quantitatem. Hoc est: efficitur maius, et tamen nullam quantitatem acquirit, quia nihil acquirit.

Ad secundam rationem responsum est ibi usque ad ultimam, ad quam respondeo concedendo illatum, ut bene probat argumentum, et [n]egando falsitatem consequentis, et cum probatur, concedendo illud, quod infertur, ut postea probatur in sequentibus confirmationibus. ¶ Ad primam confirmationem responsum est ibi usque ad replicam, ad quam respondeo concedendo consequens et negando, quod sit falsum. Et cum probatur, nego iterum falsitatem consequentis, et ad probationem falsitatis illius consequentis concedo sequelam, et nego falsitatem illius, quod infertur. Omnia enim, quae ibi inferuntur, sequuntur ex positione, ut bene probat argumentum. Et illa inducit calculator aliis tamen utens probationibus. ¶ Ad secundam confirmationem respondeo concedendo illatum et negando falsitatem consequentis, et ad probationem concedo consequentiam, et negando similiter falsitatem consequ[e]ntis immo dico, quod stat duo, puta A et B, incipere in infinitum velociter acquirere quantitatem, et tamen A incipit in infinitum velocius acquirere de quantitate quam B. ¶ Ad tertiam confirmationem respondeo concedendo illatum et negando, quod illud sit falsum, immo secundum omnem positionem est verum. Et ideo ab utraque positione concedendum.

Ad tertiam rationem respondeo negando sequelam, et ad probationem concedo antecedens et nego consequentiam, et cum probatur, dico, quod talis modus arguendi non valet in conditionalibus,

ut patet ex dialecticis. Resolutio huius argumenti habetur ex prima et secunda conclusionibus huius capitis. ¶ Ad primam confirmationem patet responsio ex tertia conclusione cum suo correlario. ¶ Ad secundam confirmationem nego sequelam, et ad probationem dico, quod semper illud corpus erit maius in aliqua proportione rationali vel irrationali, et cum tu quaeris, in qua proportione maius efficitur, respondeo, quod non solum in isto casu, verum etiam in infinitis non posset ingenium finitum illud discutere propter varietatem proportionum inter partes. ¶ Ad tertiam confimationem concedo sequelam secundum hanc positionem primam, et nego falsitatem consequentis, et ad probationem nego sequelam, et ad probationem nego, quod illud acquirat infinitas proportiones aequales. Proportio enim dupla repectu partis non est dupla repectu totius.

Ad quartam rationem respondeo concedendo sequelam et negando falsitatem consequentis, et ad punctum probationis dico, quod illud, quod perdit omnes species proportionis superparticularis, infinitam proportionem deperdit, et per consequens uni signatae infinitas aequales, ut optime probat argumentum.

Ad quintam rationem respondet nova conclusio. ¶ Ad confirmationem respondeo negando sequelam, et ad probationem concedo antecedens, et nego consequentiam. Non est enim eadem ratio, quando hora dividitur proportione dupla in illo casu, et quando maiori, ut patet ex tertio capite secundi tractatus. ¶ Ad secundam confirmationem nego sequelam, et cum quaeritur proportio acquisita, dico, quod aut illa est incommensurabilis aut a nobis nequaquam reperibilis.

Ad sextam rationem respondeo negando sequelam, et ad probationem nego consequentiam. Et quia argumentum quaerit modum cognoscendi, quam proportionem acquirit totum, quando pars aliquota acquirit aliquam proportionem, quae semper respectu totius minor est quam respectu partis, ideo dico, quod in proposito ad illud cognoscendum recurrendum est ad primam partem capit[]ulo septimo. ¶ Ad confirmationem respondeo negando sequelam, ut bene probat argumentum, eam esse negandam, et ad probationem nego consequentiam.

Ad septimam rationem responsum est ibi usque ad ultimam replicam, ad quam respondeo condendo, concedendo illatum et negando ipsum ipsum esse falsum.

Ad octavam rationem responsum est ibi usque ad replicam, ad quam respondeo, concedendo illud, quod inducit, et negando falsitatem consequentis, et ad punctum probationis nego hanc consequentiam. Hoc incipit in infinitum tarde acquirere de quantitate, ergo non incipit infinite velociter acquirere de quantitate. ¶ Ad confirmationem respondeo concedendo illatum, ut bene probat argumentum.

Ad nonam ratio[n]em concedo sequelam et nego falsitatem consequentis et nego, quod ex illo sequitur illud corpus infinitam quantitatem acquirere, nec argumentum intendens illud probare habet magnam apparentiam, ut ex dictis patet. ¶ Et haec de tertio tractatu.

Finis tertii tractatus. |

Sequitur tractatus quartus, in quo agitur de motu alterationis.