4. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

Capitulum quartum, in quo disputative inquiritur, quomodo motus difformis quoad subiectum et tempus simul pariterque motus mixti velocitas cognosci debeat

Absoluta superioribus capitibus doctrina perscrutandae motus dif[or]mis quoad subiectum et difformis quoad

tempus velocius iam nunc restat velocitatem motus difformis quoad tempus et quoad subiectum simul itidemque motus mixti, inquiramus solito per more disputative procedentes. ¶ Quaeritur ergo, penes quod tanquam penes effectum motus difformis quoad tempus et subiectum simul necnon motus mixti velocitas attendi habeat, an videlicet motus difformis quoad tempus et subiectum simul velocitas mensurari debeat penes lineam descriptam mediante velocitate uniformi, ad quam talis velocitas difformis reduci habet, et an motus mixti velocitas attendi habeat penes spatium compositum ex spatiis pertransitis mediantibus pluribus motibus, quibus simul moveatur mobile motum motu mixti.

Et arguitur primo, quod velocitas motus difformis quoad tempus et subiectum simul non attendi habeat penes lineam descriptam et cetera. Quia si sic sequeretur, quod adaequata velocitas talis motus mensuranda esset penes reductionem ad uniformitatem, sed consequens est falsum. Igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, et arguitur falsitas consequentis, quia tunc sequeretur, quod si una rota inciperet moveri circulariter continuo uniformiter intend[end]o motum suum a gradu quarto usque ad octavum in hora adaequate, tunc talis rota in tota illa hora moveretur adaequate velocitate ut sex transeundo spatium natum absolvi a velocitate ut 6 in hora adaequate, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, quia tota illa velocitas, quae (ut constat) est uniformiter difformis a quarto usque ad octavum correspondet motui uniformi ut 6 ex supradictis. Falsitas consequentis probatur, quia tunc sequeretur, quod si illa rota sic incipiens moveri uniformiter difformiter continuo uniformiter intendendo motum suum a quarto usque ad octavum continuo etiam rarefieret per illam horam, ipsa adaequate moveretur etiam velocitate ut 6. Sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet, quia ille motus – ut ponitur – est uniformiter difformis a quarto usque ad octavum, et velocitas uniformis, cui correspondet, est ut 6, ergo si illa rota movetur uniformiter difformiter continuo in illa hora a quarto usque ad octavum, ipsa adaequate in illa hora movetur velocitate ut 6. Sed iam probo falsitatem consequentis, quia si illa rota non rarefieret, sed solum moveretur motu circulari uniformiter difformi in illa hora a quarto usque ad octavum sine rarefactione, tunc ipsa moveretur in illa hora adaequate velocitate ut 6, sed addita illa rarefactione ipsa movetur velocius quam tunc, igitur in illo casu, quo rarefit, ipsa movetur maiori velocitate, quam sit velocitas ut 6. Consequentia patet ex se, et arguitur minor, quia ex superius dictis velocitas totius illius rotae attendi habet continuo penes punctum medium vel summum. Sed pun[c]tus medius et summus in tota hora adaequate per motum circularem, quo movetur a quarto usque ad octavum, pertransit tantum spatium, ac si non rarefieret, et in super per motum rarefactionis pertransivit illud spatium, per quod plus distat a centro illius rotae, quam distabat a principio illius motus, igitur maius spatium pertransit, quando rarefit, quam quando non rarefit. Quod fuit probandum. ¶ Dices et bene ad argumentum concedendo sequelam et negando falsitatem consequentis, et ad probationem concedo sequelam, et nego iterum falsitatem consequentis, et cum probatur, nego sequelam, quod videlicet si illa rota sic incipiens moveri uniformiter difformiter continuo uniformiter intendendo motum suum, et ipsa adaequate moveretur etiam velocitate ut sex. Et ratio est, quia illa rota movetur duplici motu per utrumque describendo spatium, puta motu circulari vel quodammodo | habente naturam motus circularis, (quia continuo movetur super eodem axe, quamvis non proprie lineam circularem describat, ut superius dictum est), et insuper movetur punctus, a cuius velocitate debet sumi totalis velocitas ipsius rotae motu rarefactionis continuo recedendo a centro. Quare velocitas illius puncti et ex consequenti ipsius rotae debet commensurari penes lineam aggregatam ex linea, quam describeret ille punctus seclusa rarefactione et penes lineam brevissimam, per quam plus distat a centro, quam ante rarefactionem distabat.

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod si rota B inciperet moveri circulariter puncto eius medio, a cuius velocitate – ut suppono – debet commensurari totalis rotae velocitas movente in prima parte proportionali horae proporti[o]ne quadrupla divisae velocitate ut quatuor et in secunda in duplo velocius et in tertia in duplo velocius quam in secunda et sic consequenter, et cum hoc in qualibet parte proportionali illa rota uniformiter rarefieret taliter, quod ille punctus medius in qualibet parte proportionali acquireret pedalem distant[i]am a centro supra distantiam habitam, tunc ipsa rota in illa hora adaequate finite describeret ad lineam descriptam in prima parte proportionali, secundum consequens est falsum. Igitur illud, ex quo sequitur. Sequela patet ex primo correlario septimae conclusionis praecedentis capitis, et falsitas conseq[u]entis probatur, quia punctus ille, a cuius velocitate debet sumi velocitas totius rotae, infinitam lineam describit in illa hora, ergo sequitur, quod non pertransit in totali hora duplum spatium adaequate ad spatium per[t]ransitum in prima parte proportionali. Antecedens probatur, quia ille punctus describit lineam in illa hora, qua magis distat a centro per pedale quam antea et per bipedale quam antea et per quadrupedale et sic in infinitum, cum ex casu in qualibet parte proportionali describit pedalem distantiam per rarefactionem recedendo a centro. Igitur ille punctus infinitam lineam describit in illa hora. Quod fuit probandum.

Secundo principaliter contra secundam partem quaestionis arguitur sic, quia si illa pars esset vera, sequeretur, quod aliquod mobile in aliquo tempore continuo remitteret motum suum proprium usque ad non gradum, et tamen continuo in eodem tempore velocius et velocius spatium pertransiret, sed hoc videtur implicare, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et pono, quod Socrates moveatur in aliqua navi versus eandem differentiam, versus quam movetur navis ab aliquo gradu conti[n]uo remittendo motum suum usque ad non gradum ipsa nave continuo intendente motum suum ab eodem gradu velocius, quam Socrates remittat. Quo posito Socrates continuo remittit motum suum et hoc usque ad non gradum, et tamen continuo in eodem tempore velocius et velocius spatium pertransit. Quod fuit probandum. Igitur propositum. Maior patet ex casu, et minor probatur, quia continuo velocitas mixta sive composita ex velocitate propria, qua movetur Socrates, et ex velocitate ipsi[u]s navis est maior et maior, cum continuo maiorem velocitatem acquirit, quam deperdit ex casu, igitur continuo Socrates velocius et velocius spatium pertransit. Quod fuit probandum. Igitur propositum. Maior patet ex casu, et minor probatur, quia continuo velocitas mixta sive composita ex velocitate propria, qua movetur Socrates, et ex velocitate ipsi[u]s navis est maior et maior, cum continuo maiorem velocitatem acquirit, quam deperdit ex casu. Igitur continuo Socrates velocius et velocius spatium pertransit. Quod fuit probandum. ¶ Dices et bene concedendo sequelam.

Nec hoc est inconveniens, quando mobile movetur motu mixto ex motu proprio et motu lationis.

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod staret in casu Socratem valde fatigari nitendo moveri nullo impedimento posito, immo ipso Socrate habente optimam dispositionem ad currendum et ad movendum, et tamen nullo pacto moveri, sed hoc est falsum. Igitur. Falsitas consequentis patet, quia si nullum est impedimentum, et Socrates nititur moveri, sequitur, quod ipse Socrates movetur. Item Socrates fatigatur, et non nisi, quia movetur. Igitur Socrates movetur. Sequela tamen probatur, et pono casu, quod Socrates sit in navi, quae moveatur versus orientem, et Socrates nitatur moveri versus occidentem, ita quod Socrates describat aliquod spatium in ipsa navi ita velociter, sicut navis movetur adaequate, et moveatur navis ita velociter, quod Socrates fatigetur plurimum. Quo posito arguitur sic: Socrates fatigatur nitendo moveri nullo impedimento posito, et tamen non movetur, igitur. Minor probatur, quia Socrates semper est in eodem loco respectu spatii fixi, ex quo debet sumi identitas loci et immobilitas, ut patet per philosophum quarto physicorum dicentem locum esse terminum continentis immobilem primum, igitur Socrates in tali casu non movetur, (nullum enim spatium fixum describit.) Igitur.

Tertio principalit[e]r contra eadem partem quaestionis arguitur sic, quia nullus est motus mixtus. Ergo illa pars praesupponit falsum et per consequens [est] falsa. Antecedens probatur, quia si esset aliquis motus mixtus, maxime esset motus compositus ex ascensu et descensu, sed nullus est dabilis talis. Igitur. Probatur minor, quia si aliquis talis esset dabilis, sequeretur, quod dabile esset unum corpus finitum, cuius una pars ascenderet, et alia descenderet, et relictum suae naturali dispositione sic perpetuo moveretur continuo una parte eius ascendente et alia descendente, sed consequens est falsum. Igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, et pono casum, quod terra sit perforata per centrum mundi ab oriente in occidentem, et capiatur globus terrae uniformis gravitatis vel alicuius alterius figurae, (in idem reddit), descendatque illa terra per illud foramen usque ad centrum mundi illo foramine vacuo existente, permittatque deus illam terram moveri tamdiu, quamdiu habuerit proportionem maioris inaequalitatis ad movendum. Quo posito sic argumentor: illa terra perpetuo movebitur continuo una parte eius ascendente et altera descendente, igitur propositum. Probatur antecedens, quia inclinatio illius terrae est, quod centrum eius sit centrum mundi, cum idem sit locus totius et partis primo caeli. Igitur illa terra suae naturali dispositioni relicta continuo movebitur, quousque – si fieri potest – centrum eius sit centrum mundi, sed sic movendo per infinitum tempus movebitur, anteaquam – si fieri potest – centrum eius fiat centrum mundi. Igitur illa terra perpetuo movebitur continuo una parte eius ascendente et alia descendente. Quod fuit probandum. Sed iam probo, quod talis terra sic movendo per infinitum tempus movebitur, antea quam et cetera, centrum eius fiat centrum mundi. Quod sic probatur, et volo, quod dividatur illa terra in quatuor partes aequales, et quod una illarum sit ultra centrum, reliquae vero tres sint citra centrum, et manifestum est, quod quarta ultra centrum resistit tribus quartis citra centrum, ne descendant, ut constat, et descendunt sive incipiunt descendere illi tres quartae a proportione tripla movendo vel minori, ut patet ex casu. Divido igitur medietatem excessus, quo pars citra centrum excedit partem ultra centrum, quae quidem medietas excessus est una quarta inter centrum illius globi et centrum mundi, et hoc per partes proportionales proportione dupla maioribus versus centrum mundi terminatis. Quo posito arguitur sic: quaelibet pars proportionalis illius excessus descendet, et per tantum temporis vel maius movebitur sive descendet quaelibet sicut immediate praecedens eam, et sunt infinite, igitur per infinitum tempus movebitur talis terra. Quod fuit probandum. Probatur minor, quia prima illarum partium descendet a proportione tripla vel minori, et secunda descendet a proportione suprabipartiens tertias vel minori, quae est minor quam subdupla ad triplam, ut constat intuenti, et tertia a proportione suprabipartiente septimas vel minori, quae est minor quam subdupla ad proportionem suprabipartientem | tertias, ut patet aspicienti, et quarta descendet a proportione suprabipartiente quindecimas vel minori, quae est minor quam subdupla ad proportionem suprabipartientem septimas et sic consequenter. Repperies, quod quaelibet pars proportionalis medietatis illius excessus sequens descendit a proportione subdupla vel minor ad proportionem, a qua incipit descendere pars immediate praecedens, et ille partes proportionales continuo se habent in proportione dupla, igitur per tantum temporis vel maius movebitur sive descendet quaelibet pars proportionalis sicut immediate praecedens eam, vel saltem sequitur per infinitum tempus, movebitur talis terra, quod probare intendimus.

In oppositum tamen arguitur sic, quia penes aliquid mens[u]randa est tamquam penes effectum velocitas motus difformis secundum tempus et subiectum simul et etiam motus mixti, et non nisi penes id, quod dicitur in titulo quaestionis, igitur quaestio vera.

Pro enucleatione huius parvae quaestionis notandum est primo, quod in omni motu difformi quoad tempus et subiectum simul velocitas mensuranda est penes reductionem ad uniformitatem saltem denominationis, ut superius dicebatur in secundo capite huius tractatus. ¶ Hoc tamen unum advertendum est, quod motus difformis quoad tempus et subiectum simul aliquando fit secluso alio motu subiecti, puta rarefactionis aut condensationis et cetera, ut cum rota non rarefacta aut condensata continuo circulariter velocius et velocius movetur aut tardius et tardius. Aliquando vero fit talis motus concomitante rarefactione aut condensatione sive augmentatione et cetera. Primo modo debet mensurari talis motus velocitas penes velocitatem, qua movetur punctus medius aut velocissime motus secundum diversitatem opinion[]um eo modo, quo superius dicebatur de motu difformi quoad subiectum tantum. Et [...] mensuranda est velocitas illius motus penes lineam descriptam a puncto medio talis corporis vel velocissime moto, sed tale punctum duplici motu movetur, motu videlicet locali et rarefactionis sive condensationis et cetera. Et ideo tale punctum tantam lineam describit, ac si moveretur primo modo, et insuper describit illam lineam, per quam plus distat, si rarefiat, aut minus, si condensetur, a centro talis motus, quam antea distabat a principio motus, ut si rota moveatur in hora continuo rarefiendo, ita quod per rarefactionem acquirat punctus, penes cuius motum debet attendi velocitas rotae pedalem distantiam a centro supra distantiam iam habitam, et moveatur talis punctus motu circulari continuo velocius et velocius, tunc dico, quod velocitas talis motus mensuranda est penes lineam, quam describeret motu illo circulari, si non rarefieret, et penes illam lineam pedalem, quam motu rarefactionis describit.

¶ Hic tamen tu adverte, quod nonnumquam movetur aliquod mobile et motu recto e[t] circulari et rarefactionis simul, ita quod continuo centrum illius corporis moveatur, quemadmodum contingit, si pila vel aliquod aliud corpus sphaericum vel alterius figurae moveatur motu recto et circulari continuo rotando continuoque rarefiendo, et in hoc et simili casu velocitas talis mobilis iudicanda est penes velocitatem centri mobilis. Non enim video, quo modo certius et commodius talis motus velocitas commensurari debeat. ¶ Ex his facile patet consideranti, quod tot modis [con]tingit corpus moveri motu difformi quoad tempus et subiectum simul, quot contingit ipsum moveri motu difformi quoad tempus dumtaxat. Potest enim punctus, penes cuius velocitatem attendi debet talis motus velocitas in quolibet illorum trium modorum moveri in prima parte proportionali horae quamvis proportione partit[a] aliquantula velocitate, et in secunda in duplo velocius, et in tertia in triplo velocius quam in prima et sic consequenter vel quovis alio modo, et tunc in isto et similibus casibus velocitas et spatium pertransitum mediante tali velocitate ex his, quae dicta sunt praecedentibus captis commode mensuratur inspectis theorematibus ibidem demonstratis.

Notandem est secundo, quod dupliciter potest intelligi aliquid moveri motu mixto ex pluribus motibus. Primo modo aeque primo, ita quod secundum se et quodlibet sui moveatur de per se quolibet illorum motuum, et non aliquo illorum ad motum alterius, ut quando idem movetur simul motu locali et motu alterationis. Secundo modo dicitur aliquid moveri motu mixto ex pluribus motibus non aeque primo, sed uno motu ex se et alio ad motum alterius sic, quod unus illorum motuum sit illi mobili proprius, et alter non, quemadmodum fit, quando homo movetur in navi mota. Et de tali motu mixti principaliter in praesenti notabili loqui intendimus. Potest addi tertius modus, qui est, cum una pars ascendit et alia descendit. ¶ Unde velocitas talis motus debet attendi penes spatium interceptum inter punctum fixum et quiescens et punctum sive terminum, in quo est tale mobile in fine motus, hoc est penes lineam descriptam a tali mobili inter illos duos terminos, ut si Socrates incipiat moveri simul cum nave mota versus orientem, velocitas motus Socratis debet commensurari penes lineam descriptam ab ipso Socrate a puncto fixo, a quo incepit Socrates moveri usque ad punctum fixum, in quo est Socrates in termino motus. Et hoc universaliter est verum, sive Socrates moveatur ad oppositum navis sive versus eandem differentiam, versus quam movetur navis sive nec ad oppositam differentiam nec [a]d eandem, sicut esset, si Socrates moveretur a septentrione in meridiem in navi mota ab oriente in occidentem.

Ex quibus pulchre et ingeniose infert dominus cardinalis de Alliaco quatuor correlaria, quae sub eadem forma sequuntur, sub qua ea scriptis mandavit:

Primum est, quod possibile est ex duobus rectis motum circularem describere, id est, quod possibile est aliquid moveri duplici motu recto describendo circulum vel partes circuli. Verbi gratia describatur unus circulu[s], deinde describatur linea contingens circulum in puncto aequalis diametro illius circuli et aeque distans ab illo diametro. Et in ista linea in puncto contactus sit musca A, et ultra ponatur, quod ista linea i[n]cipiat moveri uniformiter infra circulum quousque cooperiat diametrum illius circuli, et musca incipiat moveri uniformiter supra illam sic, quod dum linea illa cooperiet diametrum circuli, quod tunc musca sit in extremo puncto lineae. Tunc in isto casu musca describit quartam partem circuli, et tamen movetur solum duobus motibus rectis scilicet uno ex se et alio ad motum lineae. Et si ponatur, quod illa linea moveatur ultra diametrum, quousque contingat circulum in puncto in alia parte circuli, et musca revertatur ad locum suum. Tunc cum musca pervenerit ad contactum, musca descripserit medietatem circuli. Et si ultra adhuc ponatur illam lineam ascendere, in fine habebitur, quod musca descripserit circulum. ¶ Secundum correlarium, quod ex duobus motibus rectis potest fieri unus motus mixtus in eodem tempore describens costam alicuius quadrati et diametrum eiusdem. Verbi gratia describatur quadratum, et incipiat eius costa superior descendere quousque cooperiat costam inferiorem, et ultra ponatur, quod musca A sit in uno termino illius costae et incipiat moveri uniformiter per illam costam sic, quod dum costa cooperiet aliam costam, quod tunc musca sit in alio termino costae. Tunc in isto casu musca A describit diametrum quadrati, et etiam costam eius in eodem tempore, quia movetur super illam costam motu proprio. ¶ Tertium correlarium: Possibile est idem mobile moveri motu simplici, cuius quaelibet pars movetur motu mixto. Verbi gratia si aliquod sphaericum descendat rotando per diametrum mundi ad centrum, tunc illud totum rotundum movetur motu simplici, tamen quaelibet pars participat de circuitione in suo motu, et sic quaelibet pars movetur motu mixto. ¶ Quartum correlarium: Possibile | est ex duobus motibus regul[ar]ibus fieri unum irregularem. Verbi gratia moveatur navis uniformiter ab oriente in occidentem, moveatur etiam Socrates uniformiter circulariter intra navem, et certum est, quod ex illis duobus motibus resultat unus irregularis, quia cum Socrates est in medietate navis, in qua movetur ad motum sive cum motu ipsius navis, tunc motus eius velocitatur, et dum est in alia medietate, tunc motus eius retardatur. Per motum autem regularem motum uniformem intelligas, per irregularem vero motum difformem et hoc quoad tempus. ¶ Multa his similia correlaria ex dictis facile poteris inferre.

Notandum est tertio: Tangendo materiam tertii argumenti, (cuius principalis inquisitio est, an terra, de qua fit mentio in casu eius, perpetuo sic moveretur, ita quod non posset relicta suae naturali dispositioni taliter moveri, quod centrum eius fiat centrum mundi), quod teste philosopho primo de caelo et mundo idem est naturalis locus totius et partis. Inquit enim ad quemcumque locum natum est aliquid natura moveri, ad eundem natum est moveri quodlibet congeneae consimilisque naturae. Quare si aliqua terra esset in aere remoto impedimento, ipsa descenderet, quoad usque centrum eius efficeretur centrum mundi. Nec pars illius terrae resistit ipsi terrae, ne centrum eius fiat centrum mundi, quam idem est appetitus partis et totius, cuius est pars, ut satis naturaliter inducit calculator in capitulo de loco elementi. Unum tamen est, quod ex subtili Minerva et officina eiusdem calculatoris in hoc notabili inferre intendo, videlicet quod perforata ipsa terra, ut ponitur in casu tertii argumenti, et descendente quadrato terreo, ut ibidem ponitur, si cum talis globus devenit ad centrum terrae, pars ultra centrum resisteret parti citra centrum, ne descenderet, perpetuo tale quadratum ibi moveretur ceteris impedimentis et adiumentis deductis. ¶ Ad quod demonstrandum inducam duas supositiones, quarum prior est:

Tali quadrato sic descendente unaque parte eius minore medietate illius quadrati existente ultra centrum mundi, residua vero parte totius quadrati existente citra centrum mundi pars intercepta inter centrum mundi et centrum talis quadrati est medietas excessus, quo pars citra centrum mundi excedit partem existentem ultra centrum mundi. Exemplum ut si una quarta talis quadrati fuerit ultra centrum mundi adaequate, tres erunt citra cetrum, et sic pars citra centrum mundi excedit partem ultra centrum mundi per duas quartas, ut constat, et medietas talis excessus est una quarta, ex quo totus excessus est duarum quartarum, et una quarta praecise intercipitur inter centrum illius quadrati et centrum mundi, quia una medietas medietatis, cuius una pars est ultra centrum mundi, et reliqua est citra centrum mundi, igitur pars intercepta inter centrum mundi et centrum talis quadrati est medietas talis excessus. Hac exemplari probatione praemissa probatur generaliter suppositio. Sit pars intercepta inter centrum quadrati et centrum mundi D, sitque C pars aequalis ipsi D in medietate superiori talis quadrati, hoc est magis remota a centro, et sit residua pars talis medietatis superioris B. Quae pars B – ut oportet – est aequalis parti ultra centrum, (si enim ab aequalibus aequalia demas, remanentia sunt aequalia, aequales enim sunt medietates illius globi et etiam D et C.) Tunc dico, quod D est medietas totius excessus, quo pars citra centrum mundi excedit partem ultra centrum mundi. Quod sic ostenditur, quia tota pars citra centrum mundi excedit partem ultra centrum mundi per D et C adaequate, et D est aequale ipsi C ex hypothesi, ergo D est una medietas illius totalis excessus compositi ex C et D, quo totali excessu pars citra centrum mundi excedit partem ultra centrum mundi. Quod fuit probandum.

Patet consequentia cum minore et probatur maior, quia tota pars citra centrum mundi continet B partem aequalem parti citra centrum mundi ex hypothesi, et insuper continet D et C, igitur per D et C pars citra centrum mundi excedit partem ultra centrum mundi. Quod fuit probandum. Patet consequentia intelligenti, quid sit unum excedere alterum per aliquid, et sic patet suppositio.

Secunda suppositio: Quando inter aliquos terminos est proportio maioris inaequalitatis et maiore quartam excessus, quo minorem excedit, deperdente adaequate minoreque eandem dumtaxat quartam acquirente, quae a [maiore] deperditur, proportio inter datos terminos plusquam ad subduplum sui diminuitur, et ex consequenti data proportio ultra suam medietatem deperdit. Probatur: sit proportio F inter A terminum maiorem et E terminum minorem, dividaturque excessus, quo A excedit E, in quatuor partes aequales adaequate, hoc est in quatuor quartas, et signentur ibi inter A et E annumeratis extremis quinque termini continuo arithmetice proportionabiles, quorum primus sit A, secundus B, qui exceditur ab A per unam quartam illius excessus, quo A excedit E adaequate, et tertius sit C, qui excedatur a B per aliam quartam illius excessus, et quartus sit D, qu[i] excedatur a C per unam aliam quartam excessus, et quintus sit E terminus minor proportionis datae, qui exceditur ab ipso D per ultimam quartam excessus, et manifestum est illos quinque terminos continuo esse arithmetice proportionabiles, cum aequali excessu exsuperent. Deperdat igitur A terminus maior unam quartam excessus, illam videlicet, per quam B terminum excedit, et illam adaequate acquirat E terminus minor. Tunc dico, quod data proportio diminuitur et plus, quam suam medietatem deperdit, et ex hoc plus, quam ad subduplum diminuitur. Quod sic ostenditur, quia proportio F diminuitur et plus, quam sui medietatem deperdit propositum. Maior patet manifeste ex secundo correlario tertiae conclusionis octavi capitis secundae partis auxiliante hypothesi, et minor probatur, quia illa proportio F, quae est inter A et E, componitur adaequate ex quatuor proportionibus, puta ex proportione D ad E et ex proportione C ad D et ex proportione B ad C et ex quarta proportione ipsius A ad B, ut constat consideranti hypothesim, et illae proportiones sunt continuo minores et minores, et minori excessu continuo sese excedunt, igitur aggregatum ex duabus extremis proportionibus, puta ex proportione D ad E et ex proportione A ad B, est maius quam medietas aggregati ex illis quatuor proportionibus, et per consequens est maius quam medietas ipsius F proportionis adaequate ex illis quatuor proportionibus compositae. Patet haec consequentia ex quarto correlario secundae conclusionis secundi capitis secundae partis, et aggregatum ex illis extremis proportionibus perdit proportio F, ut patet ex hypothesi auxiliante primo correlario sextae conclusionis octavi capitis secundae partis. (Terminus enim maior, puta A, cum deperdit excessum, quo excedit B, deperdit proportionem, quae est ipsius A ad B, et terminus minor, puta E, cum acquirit illum excessum, quo exceditur a D, acquirit illam proportionem adaequate, quae est ipsius D ad E), igitur proportio F plus quam sui medietatem deperdit. Quod fuit probandum. Prima pars minoris videlicet, quod illae proportiones sunt continuo minores et minoris. Probatur, quia quando inter aliquos terminos est aliqua proportio maioris inaequalitatis, et maiores aequali excessu excedunt suos minores, semper inter maiores est minor proportio quam inter minores, ut patet ex octava suppositione quarti capitis secundae partis, sed omnes illi termini A, B, C, D excedunt suos minores aequali excessu, et D et E sunt minores quam D et C, et D et C minores quam C et B, et C et B minores quam B et A, igitur proportio ipsius D ad E est maior proportione C ad D, et proportio C ad D maior est proportione[] B ad C, et proportio B ad C maior proportione A ad B, et sic illae | proportiones sunt continuo minores et minores. Quod fuit probandum. Sed iam probo aliam partem minoris, videlicet quod continuo minori excessu se excedant, quia proportio ipsius D ad E per maiorem proportionem excedit proportionem ipsius C ad D, quam proportio ipsius C ad D excedit proportionem ipsius B ad C, et proportio ipsius C ad D per maiorem proportionem excedit proportionem B ad C, quam proportio B ad C excedat proportionem A ad B, igitur illae proportiones continuo minori excessu se excedunt. Maior patet ex quinto correlario quintae conclusionis octavi capitis secundae partis, quam B, C, D, E sunt quatuor termini continuo arithmetice proportionabiles ex hypothesi, igitur proportio, quae est inter duos terminos minores, puta inter D et E, per plus excedit secundam proportionem, quae est inter C et D, quam illa secunda excedat tertia[m], quae est ipsius B ad C, ut patet ex correlario allegato. Et sic probabis minorem capiendo istos quatuor terminos continuo arithmetice proportionabiles, puta A, B, C, D. Et sic patet correlarium. ¶ Consimiliter probares, quod diviso excessu, quo maior terminus excedit minorem, in [quin]que partes aequales maiore termino deperdente unam illarum quintarum, minore acquirente eandem, quod tunc proportio inter datos terminos perdit plus quam duas quintas sui, et si excessus dividatur in sex partes aequales maiore deperdente unam illarum et minore acquirente eandem, proportio inter datos terminos perdit plus quam unam tertiam, et si dividatur excessus in septem maiore deperdente unam illarum et minore acquirente eandem, proportio inter datos terminos perdit plus quam duas septimas et sic consequenter. Omnia ista patent ex deductionibus quinti correlarii primae conclusionis et quinti correlarii secundae conclusionis secundi capitis secundae partis. ¶ Ex his inducitur et demonstratur propositum, videlicet quod illud quadratum terreum perpetuo moveretur in tali casu. Sit una pars illius quadrati ultra centrum mundi minor medietate, et dividatur pars intercepta inter centrum illius quadrati et centrum mundi, quae est medietas totius excessus partis citra centrum mundi ad partem ultra centrum mundi ex prima suppositione, et hoc per partes proportionales proportione dupla maioribus versus centrum mundi terminatis, quae pars sit D, sitque totum illud quadratum uniforme in gravitate, sit etiam proportio totius partis citra centrum mundi ad partem ultra centrum mundi F. Quo posito sic arguitur: quadratum illud tamdiu movebitur, quamdiu aliqua pars ipsius D partis interceptae inter centrum quadrati et centrum mundi fuerit citra centrum mundi, quam tamdiu excedet pars citra centrum partem ultra centrum, quia tunc continuo erit maior, sed perpetuo aliqua pars ipsius D partis erit citra centrum mundi, ergo perpetuo tale quadratum movebitur. Quod fuit probandum. Consequentia patet cum maiore, et probatur minor, quia perpetuo aliqua pars aggregati ex omnibus partibus proportionalibus ipsius D partis descendet, ergo perpetuo aliqua pars ipsius D partis erit citra centrum mundi. Quod fuit probandum. Consequentia patet, et probatur antecedens, quia prima pars proportionalis ipsius D partis incipit descendere a proportione F, ut habetur hypothesi, et secunda pars proportionalis ipsius D partis incipit descendere a proportione subdupla ad proportionem F vel a minori, et tertia incipit descendere a subdupla vel minori subdupla ad proportionem, a qua incipit descendere secunda, et sic consequenter quaelibet pars proportionalis ipsius D sequens incipiet descendere a proportione subdupla vel minori ad proportionem, a qua incipit descendere pars immediate praecedens, et quaelibet pars, quamdiu aliquid eius descendit, continuo descendit sive movetur a minori proportione, quam sit illa, a qua incipit illa eadem pars descendere, (cum continuo partis citra centrum mundi ad partem ultra centrum mundi proportio, a qua partes illae descendunt, continuo diminuatur, continuo enim pars

citra centrum mundi efficitur minor, et pars ultra centrum mundi maior), igitur perpetuo aliqua pars aggregati ex omnibus partibus propotionalibus ipsius D partis descendet. Quod fuit probandum. Consequentia probatur, quia si quaelibet pars proportionalis continuo ipsius D partis divisae proportione dupla descenderet sive moveretur a proportione, a qua ipsa incipit descendere, perpe[]tuo aliqua pars aggregati ex omnibus partibus proportionalibus ipsius D partis descenderet, ergo si quaelibet pars proportionalis ipsius D partis continuo descenderet et movetur a proportione minori, quam sit illa, a qua incipit descendere, perpetuo aliqua pars aggregati ex omnibus partibus proportionalibus ipsius D partis descendit. Quod fuit probandum. Consequentia patet cum antecedente ex deductione secundi argumenti sexti capitis primi tractatus huius partis, hoc addito, quod illae partes continuo se habent in proportione dupla et in tempore, in quo adaequate descendit aliqua pars secundum se vel aliquid eius praetereundo centrum mundi, ipsa pars describit tantum spatium, quanta ipsamet pars est, ut patet intuenti casum. Sed iam probo secundam partem maioris, videlicet quod secunda pars proportonalis ipsius D partis incipit descendere a proportione subdupla ad proportionem F vel minori, quia cum primum prima pars proportionalis ipsius D partis est totaliter ultra centrum mundi, pars citra centrum mundi perdit quartam partem excessus, quo excedit partem ultra centrum mundi, et illam acquirit pars ultra centrum mundi, ut constat, ergo tunc proportio F partis citra centrum ad partem ultra centrum perdit plusquam medietatem sui, et plusquam ad subduplum sui diminuitur, patet consequentia ex secunda suppositione huius notabilis hoc addito, quod pars citra centrum est terminus maior proportionis F, et pars ultra centrum est terminus minor. Et ab illa proportione, quae est minor quam subdupla ad F, incipit secunda pars proportionalis ipsius D partis descendere, ut constat, ergo propositum. Et isto modo probabis, quod tert[i]a incipit descendere a proportione subdupla vel minori subdupla ad proportionem, a qua incipit descendere secunda, et sic consequenter de aliis partibus. Sed iam probo maiorem, videlicet quod cum primum prima pars proportionalis ipsius D partis est totaliter ultra centrum, pars citra centrum mundi perdit quartam partem excessus, quo ipsa excedit partem ultra centrum mundi, quia ipsa D pars est medietas excessus, quo pars citra centrum excedit partem ultra centrum, ut patet ex prima suppositione huius notabilis, ergo prima pars proportionalis proportione dupla ipsius D partis est quarta pars totius excessus, et illam perdit pars citra centrum mundi primum, ipsa est totaliter ultra centrum, ergo propositum. Patet ergo maior, et totum antecedens, et per consequens conclusio, quae fuerat probanda. ¶ Ex his infero aliqua correlaria. Primum in casu huius demonstrationis immediate post instans, quod est praesens, ascendet aliquid, immediate post illud descendet, et tamen nihil immediate post hoc ascendet, quod immediate post hoc descendet. Probatur prima pars, quia quocumque instanti dato illius temporis, in quo descendet tale quadratum, quaelibet pars illius quadrati, quae est citra centrum immediate post tale instans, descendet, ut satis constat, et immediate post idem instans aliqua talis pars ascendet, igitur in casu demonstrationis, immediate post instans, quod est praesens aliquid ascendet, quod immediate post idem instans descendet, secunda pars patet ex falsitate suae contradictoriae. Ad hoc enim, quod aliquid ascendat, non sufficit aliquam partem eius ascendere, sed requiritur, quod maior pars quam eius medietas ascendat. Consimiliter dicatur de descensu. ¶ Secundum correlarium: Immediate post instans, quod est praesens, ascendet aliquid, quod praesens ascendet aliquid, quod immediate post idem instans descendet, et tamen non immediate post instans, quod est praesens, descendet | aliquid, quod immediate post idem instans ascendet. Patet prima pars huius ex priori correlario. Et secunda probatur, quia contradictoria illius est falsa, ut patet per falsitatem primae exponentis, quae est ista post instans, quod est presens, descendet aliquid, quod immediate post idem instans ascendet, quia nulla pars illius corporis quadrati, quae post instans, quod est presens, descendit, immediate post idem instans ascendet. ¶ Tertium correlarium: Immediate post instans, quod est praesens, ascendet aliquid, quod immediate post idem instans, quod est praesens, descendet, et tamen nihil simul ascendet, et descendet adaequate divisive capiendo ly, et sicut stat, quod Socrates immediate post hoc erit albus, et immediate post hoc erit niger, et tamen non simul erit albus et niger. Patet correlarium. ¶ Ex his tribus notabilibus patet facile responsio ad quaestionem.

Ad rationes ante oppositum: Ad primam responsum est ibi usque ad replicam, ad quam respodeo negando sequelam, et ad probationem dico, quod illud correlarium ibi adductum ad probationem illius sequelae non est ad propositum, quia supponit proportionem temporum excedere proportionem velocitatum. Cuius oppositum in casu argumenti est verum. Commensuranda enim est utraque velocitas, et qua illud corpus movetur circulariter, et qua movetur motu rarefactionis puncto eius, a quo debet sumi velocitas totius motus continuo acquirente maiorem et maiorem distantiam a centro, ut patet ex deductione eiusdem replicae. ¶ Ex quo sequitur, quod possibile est aliquod corpus circulare continuo uniformiter et aeque velociter moveri, et tamen ipsum continuo rarefieri et effici maius. Probatur ponendo, quod una rota incipiat moveri circulariter puncto medio semidiametri incipiente moveri velocitate ut 4, et volo, quod similiter incipiat rarefieri illud corpus acquirendo in hora pedalem distantiam adaequate a centro supra distantiam praehabitam, eo tamen modo moveatur ille punctus medius semidiametri, quod numquam pertranseat sive describat maiorem lineam in aliquo tempore, quam nata sit describi a velocitate ut 4 in eodem tempore. Quo posito sequitur correlarium. ¶ Sequitur secundo, quod si aliqua rota in hora moveatur circulariter puncto medio semidiametri continuo motu circulari movente uniformiter, motu vero rarefactionis continuo intendente motum suum in qualibet parte proportionali horae proportione dupla, sequente in duplo velocius rarefiente quam in immediate praecedenti, tunc spatium descriptum a tali puncto est infinitum. Patet hoc correlarium ex sexta conclusione praecedentis capitis.

Ad secundam rationem responsum est ibi usque ad replicam, ad quam respondeo negando sequelam, et ad probationem nego, quod nullum sit impedimentum. Immo contra: motio navis est Socrati impedimento. Fatigatur tamen Socrates non per motum, quo describat aliquod spatium fixum, sed quia describit aliquod spatium non fixum, ad cuius descriptionem non sequitur Socratem proprie moveri. Manet enim Socrates in eodem loco fixo.

Ad tertiam rationem respondeo negando antecedens, et ad probationem concedo maiorem, et nego minorem et ad proba[tio]nem distinguo sequelam, aut si tale corpus sit taliter dispositum, quod partes eius proportionales proportione dupla ita se habeant, quod secundum eam dimensionem, secundum quam descendunt, continuo se habet in proportione dupla omnibus aliis iuvamentis et impedimentis deductis, et sic concedo sequelam. Si vero partes eius proportionales proportione dupla se habuerint in maiori proportione, quam sit proportio dupla, et hoc quantum ad dimensionem, secundum quam descendunt, et sic non oportet. Nego igitur illo modo sequelam. ¶ Ex quo sequitur, quod ita potest aliquod corp[]us

disponi difformiter in partibus suis, quod ipsum in tempore finito movebitur, quousque centrum eius sit centrum mundi. Probatur, et pono, quod pars intercepta inter centrum mundi et centrum corporis dividatur per partes proportionales proportione dupla maioribus versus centrum mundi terminatis, ut ponitur in tertio notabili, quae pars sit D, et postquam prima pars proportionalis ipsius D partis pertransit centrum, quae – ut suppono – pertransit centrum secundum se et quodlibet sui in hora, signo proportionem, a qua debet t[e]rtia pars proportionalis D partis incipere pertransire centrum mundi, quae sit F. Et manifestum est, quod aliquod spatium sufficit pertransiri in medietate horae mediante velocitate nata provenire a proportione F, pono igitur, quod secunda pars proportionalis ipsius D partis diminuatur secundum dimensionem, secundum quam pertransit centrum mundi, quousque sit secundum illam dimensionem aequalis spatio nato pertransiri ab F proportione in medietate horae, ipsa tamen semper manente tanta, quanta erat antea, ita quod augeatur secundum aliam dimensionem. Et postquam secunda pars proportionalis D partis pertransit centrum mundi secundum se et quodlibet sui, signo proportionem, quae sit G, a qua debet quarta pars proportionalis descendere, quae est minor F, ut constat. Et manifestum est, quod aliquod spatium sufficit pertransiri in quarta parte horae mediante proportione, ergo pono igitur, quod tertia pars proportionalis D partis dim[i]nuatur secundum dimensionem, secundum quam pertransit centrum mundi, quousque secundum illam dimensionem sit aequalis spatio nato pertransiri a G proportione in quarta parte horae. Et sic fiat de qualibet sequente, quod ipsa videlicet diminuatur secundum dimensionem, secundum quam pertransit centrum mundi, quousque sit aequalis spatio nato pertransiri a proportione, a qua debet incipere pertransire centrum mundi pars immediate sequens, et hoc in tempore subduplo vel minori, quam sit tempus, in quo adaequate pars immediate praecedens pertransit centrum mundi, qualibet tamen continuo manente tanta, quanta erat antea, ita quod augeatur secundum aliam dimensionem. Tunc manifestum est, quod totum illud corpus, postquam prima pars D partis praeterivit centrum mundi, movebitur praecise per unam horam vel per minus tempus, ante quam centrum illius corporis fiat centrum mundi. Quod sic ostenditur, quia quaelibet pars proportionalis ipsius D partis sequens pertransibit in casu posito centrum in tempore subduplo vel minori ad tempus, in quo pertransibit pars immediate praecedens, ut facile patet ex casu, et prima pertransit centrum in una hora, ut supponitur, ergo omnes aliae pertransibunt in una hora vel in minori tempore et sic in tempore finito, centrum illius corporis fit centrum mundi, potest igitur taliter disponi corpus, quod ipsum in tempore finito praecise movebitur, quousque centrum eius fiat centrum mu[n]di. Quod fuit probandum. Et hoc ex sequitur, quod demonstratio calculatoris in capitulo de loco elementi non est efficax, non enim limitat sive determinat disposit[i]onem illius corporis, quod tamen oportet, ut patet ex dictis.

Sequitur tractatus tertius huius tertiae partis de motu rarefactionis et condensationis.