Capitulum quintum, in quo agitur de divisione corporis in partes proportionales qua proportione rationali, quis voluerit
Quoniam plerumque in materia triplicis motus occurunt plerique casus, in quibus oportet uti multiplici specie divisionis corporis in partes suas proportionales variis et diversis proportionibus rationalibus, ideo ad universalem methodum inveniendam sit.
Prima suppositio: non omnes partes alicuius corporis, in quas idem corpus dividitur, continuo se habentes in eadem proportione, gratia exempli [...] sunt omnes partes proportionales eiusdem corporis eadem proportione A. Probatur, quia possibile est, quod una medietas alicuius corporis dividatur in omnes partes suas proportione tripla, et omnes illae partes sunt partes illius corporis totalis, in quas idem corpus dividitur, habentes se continuo in proportione tripla, et tamen non sunt omnes partes proportionales illius corporis proportione tripla. Et capio in suppositione ly „omnes“ collective in primo loco et in secundo.
Secunda suppositio: omnes partes alicuius corporis innuitae continu[o] se habentes aliqua proportione, puta A, et absolventes totum corpus sunt omnes partes proportionales eiusdem corporis proportione A. Et volo dicere, quod si aliquod corpus dividatur in infinitas partes continuo se habentes in proportione A et absolventes totum corpus, illae simul sunt omnes partes proportionales proportione A. Patet haec suppositio, quia sic dividere corpus est dividere ipsum in omnes partes proportionales proportione A. Patet hoc ex descriptione termini.
Tertia suppositio: quandocumque aliqua continuo proportionantur aliqua proportione geometrica, qualis est proportio inter proportionata, talis est inter suas differentias sive excesseus, quod idem est, ut quia [8] ad 4 se habet in proportione dupla, et similiter 4 ad 2, et continuo proportionantur eadem proportione, ideo differentia sive excessus inter 8 et 4 se habet ad differ[en]tiam sive excessum inter 4 et 2 in proportione dupla. Patet haec suppositio ex quinta proprietate proportionalitatis sive medietatis geometricae ex secunda parte capitulo secundo.
Quarta suppositio: si aliquod corpus dividatur in infinitas partes, et deperdendo primam illarum perdit aliquam proportionem, puta A, hoc est, efficitur in A proportione minus, et perdendo secundam post primam iterum efficitur in A minus, et perdendo tertiam post secundam iterum efficitur in A minus, et sic consequenter illae partes sunt omnes partes proportionales illius corporis proportione A, si vero perdendo primam illarum non perdit unam proportionem A, | et perdendo secundam post primam unam alteram, perdendo tertiam post secundam unam alteram proportionem A et sic consequenter, tales partes non sunt omnes partes proportionales talis corporis proportione A. Probatur prima pars, quia si non, detur oppositum videlicet, quod aliquod corpus dividitur in aliquas partes i[n]finitas, et perdendo primam illarum perdit proportionem A et cetera, et tamen non sunt illae omnes partes proportionales illius corporis proportione A, et sic tale corpus B, et arguitur sic: B est divisum in infinitas partes, et perdendo primam illarum in prima parte proportionali horae exempli gratia in fine illius partis est in A proportione minus, et perdendo secundam partem in secunda parte proportionali temporis iterum efficitur in fine eiusdem partis in A proportione minus, quam erat in principio eiusdem partis, et in tertia parte proportionali perdendo ter[]tiam ipsum efficitur minus, quam erat in principio eiusdem partis in A proportione, et sic consequenter. Igitur in partibus proportionabilibus illius horae sunt infinita corpora continuo se habentia in proportione A Patet, quia corpus quod est in principio primae partis proportionalis, se habet in proportione A ad illud quod est in principio secundae, et illud, quod est in principio secundae, se habet in proportione A ad illud, quod est in principio tertiae, et sic consequenter. Igitur illa infinta corpora continuo se habe[n]t in proportione A, et ex consequenti sequitur, quod excessus inter illa corpora continuo se habent in proportione A, puta excessus, quo corpus in principio primae partis proportionalis excedit corpus in principio secundae, se habet in proportione A ad excessum, quo corpus in principio secundae excedit corpus in principio tertiae, et sic consequenter. Patet haec consequentia ex praecedenti suppositione, et illi excessus sunt illae partes, quae deperduntur in partibus proportionalibus temporis, ergo illae partes, quae deperduntur in illis partibus proportionalibus temporis, se habent continuo in proportione A. Consequentia patet, et probatur antecedens, quia corpus in principio primae partis proportionalis temporis exedit corpus in principio secundae per illud, quod deperdit in ipsa prima parte proportionali temporis, et illud est prima illarum partium, in quas dividitur corpus ex casu, igitur assumptum verum. Quam sic probabis de quocumque alio excessu, et ultra illae partes, in quas dividitur illud corpus B, sunt infinitae continuo se habentes in proportione A, et absolvunt totum corpus, igitur illae sunt omnes partes proportionales illius corporis proportione A, quod fuit negatum. Patet haec consequentia ex secunda suppositione. Quod vero illae partes absolvant totum corpus, patet, quia per deperditionem illarum perditur totum corpus ad non quantum, cum deperdat infinitam latitudinem proportionis, ut constat, igitur. Secunda pars patet facile, quia bene sequitur deperdendo illas partes continuo tale corpus non continuo efficitur minus in proportione A, ergo sequitur, quod non sunt ibi in tali diminutione infinita corpora continuo se habentia in proportione A modo superius exposito, ergo sequitur, quod excessus illorum corporum non continuo se habent in proportione A. Patet consequentia ex tertia suppositione, et illi excessus sunt partes, in quas dividebatur ipsum corpus B, igitur ipse non sunt partes proportionales corporis B proportione A, et per consequens de primo ad ultimum sequitur illa secunda pars suppositionis.
Abb. 1: Faksimile der Seite 10
His positis sit prima conclusio: quandocumque aliquod corpus dividitur quovis genere proportionis, totum corpus se debet habere ad aggregatum ex omnibus partibus proportionalibus sequentibus primam in ea proportione, qua corpus dividitur. Exemplum, ut si corpus dividatur proportione sexquialtera, oportet, quod illud corpus se habeat ad aggregatum ex omnibus partibus proportionabilibus sequentibus primam in proportione sexquialtera. Probatur haec conclusio, et volo, quod B corpus dividatur in partes proportionales proportione A in infinitum, et arguo sic: B corpus dividitur in partes proportionales proportione A in infinitum, igitur deperdendo primam partem proportionalem proportione A ipsum efficitur in A proportione minus, patet consequentia ex secunda parte quartae suppositionis, et ultra illud corpus B deperdendo primam partem proportionalem A efficitur sive manet in A proportione minus et non manet, nisi aggregatum ex omnibus sequentibus primam partem proportionalem, igitur illud corpus B se habet ad aggregatum ex omnibus partibus proportionabilibus sequentibus primam eius partem proportionalem proportione A in eadem proportione A. Quod fuit probandum. Patet haec consequentia, quia si illud aggregatum ex omnibus sequentibus primam et cetera est minus ipso B corpore in A proportione, sequitur, quod ipsum B corpus est maius illo aggregato ex omnibus sequentibus primam in A proportione.
Secunda conclusio: ad inveniendum residuum a prima parte proportionali quavis proportione rationali corpus dividatur, capiantur primi numeri talis proportionis, et dividatur corpus in tot unitates, quotus est numerus maior illius proportionis, et ex illis partibus pro residuo a prima parte capiantur tot, quotus est numerus minor talis proportionis. Exemplum, ut si vis dividere corpus proportione sexquitertia et videre, quid restabit pro residuo a prima parte proportionali, capias 4 et 3 primos numeros proportionis sexquitertiae, et dividas totum corpus in quatuor partes aequales, quia numerus maior est quaternarius, et pro residuo a prima parte proportionali capias tres partes ex illis, quia numerus minor est ternarius. Probatur haec conclusio, et volo, quod B corpus dividatur proportione A, cuius proportionis primi numeri sint C maior numerus et D minor, et arguo sic: Istud corpus est divisum per partes proportionales proportione A, ergo totum istud B corpus se habet ad aggregatum ex omnibus partibus proportionabilibus proportione A sequentibus primam in proportione A. Patet consequentia ex priori conclusione, et ultra totum B se habet ad aggregatum et cetera in proportione A, ergo sequitur, quod ipsum B se habet ad illud aggregatum sicut C numereus ad D numerum, ut constat et D numerus est numerus minor, ergo sequitur, quod aggregatum ex omnibus partibus proportionalibus proportione A sequentibus primam se habet ut numerus minor primorum numerorum proportionis A respectu maioris numeri, et non potest sic se habere, nisi fiat divisio talis corporis modo dicto in conclusione vel aequivalenti, ut constat, igitur sequitur conclusio.
Tertia conclusio: ad dividendum corpus per partes proportionales quavis proportione | multiplici capienda est pro residuo a prima parte proportionali una pars aliquota denominata a numero talem proportionem multiplicem denominante, ut in divisione dupla proportione capienda est una medietas pro residuo a prima parte proportionali, et proportione tripla una tertia, et quadrupla una quarta, quintupla vero una quinta et sic in infinitum. Probatur haec conclusio, quam semper corpus divisum per partes proportionales aliqua proportione se debet habere ad residuum a prima parte proportionali in eadem proportione, qua dividitur, ut patet ex prima conclusione, sed quodlibet corpus se habet ad suam medietatem in proportione dupla, et quodlibet ad suam tertiam in tripla, ad quartam in quadrupla et sic consequenter, ergo in qualibet divisione corporis proportione dupla debet capi pro residuo a prima parte proportionali medietas, et proportione tripla una tertia, et quadrupla una quarta, et quintupla una quinta et sic in infinitum. Quod fuit probandum. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod dividendo corpus proportione dupla prima pars erit medietas, et secunda medietas residui, et tertia medietas residui et sic consequenter, proportione tripla prima pars est duae tertiae totius, et secunda duae tertiae residui, et tertia duae tertiae residui a prima et secunda et sic sine termino, proportione vero quadrupla prima pars est tres quartae, et secunda tres quartae residui, proportione vero quintupla prima pars est quatuor quintae et sextupla quinque sextae, et septupla sex septimae et sic sine termino. Probatur hoc correlarium, quia dividendo proportione dupla totum residuum a prima parte proportionali est una medietas, ut patet ex conclusione, igitur prima pars erit una medietas. Patet consequentia ex secunda suppositione, quam omnes partes proportionales totum corpus absolvunt. Item dividendo proportione tripla residuum a prima parte proportionali est una tertia, igitur prima erit duae tertiae. Item dividendo quadrupla residuum a prima est una quarta, igitur prima est 3 quartae. Quintupla vero est una quinta, igitur prima erit quatuor quinte. Et similiter arguendum est de proportione sextupla septupla et sic consequenter. Igitur correlarium verum. Antecedentia harum consequentiarum patent ex proxima conclusione, et ipsae consequentiae ex secunda suppositione. ¶ Sequitur secundo, quod dividendo corpus per partes proportionales proportione dupla residuum a prima est aequale primae parti, et proportione tripla est subduplum ad primam, et quadrupla subtriplum, et quintupla subquadruplum, et sextupla subquintuplum et sic sine termino. Patet haec correlarium facile ex priori et conclusione. Si enim dividendo proportione tripla prima pars est duae tertiae, et residuum una tertia, cum una tertia sit subduplum ad duas tertias, residuum a prima dividendo proportione tripla erit subduplum ad primam. Item cum dividendo corpus proportione quadrupla prima pars sit tres quartae, et residuum a prima una quarta, una autem quarta est subtripla ad tres quartas, igitur residuum a prima parte dividendo proportione quadrupla est subtriplum ad primam partem. Et hoc modo de aliis probabis.
Quarta conclusio: ad dividendum corpus quavis proportione superparticulari capienda est pro prima parte proportionali una pars aliquota denominata a maiori numero primorum numerorum talis proportionis, puta dividendo proportione sexquialtera
Abb. 2: Faksimile der Seite 11
capienda est una tertia pro prima parte, et sexquitertia una quarta, et sexquiquarta una quinta. et sexquiquinta una sexta et sic consequenter. Probatur, quia ad dividendum corpus aliqua proportione pro prima parte capiendus est excessus, quo numerus maior et primus talis proportionis excedit numerum minorem eiusdem proportionis, ut facile educitur ex prima conclusione adiuncta secunda suppositione, sed primus numerus et maior proportionis superparticularis excedit numerum minorem semper una parte aliquota sui denominata a numero maiore, ut primus numerus et maior proportionis sesquialtere excedit minorem per unam tertiam sui, et primus numerus et maior proportionis sexquitertiae excedit minorem per unam quartam sui, primus vero numerus et maior proportiones sexquiquartae excedit minorem per unam quintam sui, ut patet ex generatione specierum proportionis superparticularis capite secundo huius partis, igitur dividendo proportione sexquialtera debet capi una tertia pro prima parte, et sexquitertia una quarta et sic consequenter. Patet igitur conclusio. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod diviso corpore per partes proportionales proportione sesquialtera residuum a prima parte est duplum ad primum, et sesquitertia triplum, et sesquiquarta quadruplum, et sesquiquinta quintuplum et sic in infinitum, opposito modo ad species proportionis multiplicis incipiendo a tripla. Probatur hoc correlarium, quam diviso corpore proportione sexquialtera prima pars est una tertia, ut patet ex praecedenti conclusione, ergo residuum a prima est duae tertiae. Modo duae tertiae sunt duplum ad unam. Item diviso corpore proportione sexquitertia prima pars corporis est una quarta, igitur residuum a prima est 3 quartae, sed trium quartarum ad unam quartam est proportio tripla, igitur. Item diviso corpore proportione sexquiquarta prima pars est una quinta, ut patet ex prima conclusione, igitur totum residuum est 4 quintae. Modo 4 quintarum ad unam quintam est proportio quadrupla, et sic de qualibet alia probabis. Pate[n]t istae consequentiae ex secunda suppositione.
Quinta conclusio: ad dividendum corpus, qua placuerit, proportione suprapartienti generentur species huius proportionis sereatim modo posito in secundo capite huius partis, et dividatur corpus in tot partes, quotus est numerus inferioris ordinis, et ex illis partibus capiantur tot pro residuo a prima parte proportionali, quotus est numerus superior, et residuum erit prima pars proportionalis. Exemplum, ut constituatur naturalis series numerorum incipiendo a ternario, et constituatur inferus series omnium numerorum imparium incipiendo a quinario, ut patet in figura.
Abb. 3: Alvarus Thomas, Liber de triplici motu, S. 11.
Tunc si vis dividere aliquod corpus in proportione suprabipartiente tertias, quia numerus inferior in illa specie est quinarius dividas totum corpus in quinque quintas, et quia numerus superior est ternarius, capias pro residuo a prima parte proportionali tres quintas, et manebunt duae quintae, et illae duae quintae sunt prima pars proportionalis proportione suprabipartiente tertias. Et isto modo in omnibus aliis speciebus operaberis. Et quam in capite secundo, ubi generantur species huius proportionis, non omnes generantur, quamvis generentur infinitae. Ideo ad dividendum corpus, qua volueris, proportione suprapartiente utaris doctrina secundae conclusionis. | Patet haec conclusio facile ex conclusione secunda. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod in divisione corporis prima specie proportionis suprapartientis signatae inferius residuum a prima parte proportionali est sesquialterum ad primam, et in secunda specie residuum a prima est sesquitertium ad primam, et in tertia specie est sesquiquartum ad primam, et in quarta residuum a prima erit sesquiquintum ad primam et sic in infinitum procedendo per species proportionis superparticularis. Probatur hoc correlarium, quam in prima specie illarum specierum generatarum in figura pro residuo a prima parte proportionali capiuntur tres quintae, et pro prima parte manent duae quintae, ut patet ex conclusione praecedenti, sed trium quintarum ad duas quintas est proportio sexquialtera, igitur. Item in secunda specie pro residuo a prima parte proportionali capiuntur quatuor septimae, et pro prima tres septimae, sed quatuor septimarum ad tres septimas in proportio sesquitertia, igitur. In tertia, vero specie pro residuo a prima capiuntur quinque nonae, et pro prima residue quattuor nonae, sed quinque nonarum ad quattuor nonas est proportio sexquiquarta, igitur. Et sic probabis de qualibet alia specie illius figurae. Patet igitur correlarium. ¶ Sed ad inveniendam proportionem residui a prima parte proportionali ad ipsam primam in residuis speciebus consulas secundam conclusionem.
Sexta conclusio: ad dividendum corpus, qua volueris, proportione multiplici superparticulari generentur in numeris species huius proportionis modo posito in secundo capite huius partis, et dividatur corpus in tot partes, quotus est numerus inferioris ordinis, et ex illis partibus capiantur tot pro residuo a prima parte proportionali, quotus est numerus superior, et residuum erit prima pars proportionalis. Et eodem modo fiat dividendo proportione multiplici suprapartiente ut ad dividendum corpus proportione dupla sesquialtera, quia numerus maior in illa specie est quinarius, dividatur corpus in quinque quintas, et quia numerus minor est binarius capiantur duae quintae pro residuo a prima parte proportionali, et tres quintae erunt prima pars proportionalis, et tres quintae residui secunda, et iterum tres quintae residui a prima et secunda, tertia et sic sine termino. Item si vis dividere corpus proportione dupla suprabipartiente tertias dividas corpus in octo octavas, quia numerus octonarius est numerus maior illius proportionis, et capias pro residuo a prima parte proportionali tres octavas, et residuae quinque octavae erunt prima pars proportionalis, et quinque octavae residui erunt secunda pars proportionalis et sic consequenter. Patet haec conclusio ex secunda conclusione. ¶ Ex quo sequitur, quod in omnibus speciebus proportionis multiplicis superparticularis aut multiplicis suprapartientis et etiam in omnibus aliis residuum a prima parte proportionali habet se ad primam partem proportionalem in ea proportione, qua se habent numeri superiores in figuris suarum generationum ad numeros, per quos inferiores excedunt superiores, ut in proportione dupla sesquialtera, quia numerus superior est binarius, et numerus inferior quinarius, et quinarius excedit binarium per ternarium, residuum a prima parte proportionali in tali proportione se habet ad primam partem proportionalem sicut duo ad tria, et quia in proportione dupla suprabipartiente tertias numerus superior est ternarius, et inferior octonarius, et octonarius excedit ternarium per quinarium, ideo in talis proportionis divisione residuum a prima parte proportionali se habet ad primam sicut quinarius ad ternarium. Probatur hoc correlarium ex secunda conclusione,
Abb. 4: Faksimile der Seite 12
quam iuxta illam conclusionem residuum a prima parte proportionali quavis proportione rationali debet se habere ut numerus minor talis proportionis, et per consequens manebit pro prima parte proportionali numerus ille, quo numerus maior talis proportionis excedit minorem. Patet haec consequentia, quia semper corpus debet dividi in tot partes, quotus est numerus maior et primus proportionis, qua debet fieri divisio, ut patet ex secunda conclusione, et pro residuo a prima debent capi tot partes ex illis, quotus est numerus minor ut dictum est. Igitur reliquae partes remanentes erunt prima pars. Patet consequentia ex prima suppositione, et illae partes remanentes sunt numerus, quo numerus maior excedit minorem, ut patet, igitur prima pars proportionalis est numerus, quo maior numerus et primus proportionis, qua sit divisio, excedit minorem. Habet se igitur totum residuum a prima parte proportionali ad primam partem proportionalem in ea proportione, qua numerus minor et primus talis proportionis se habet ad numerum, quo maior et primus eiusdem proportionis excedit minorem. Quod fuit probandum. ¶ Ad habendam autem praxim huius correlarii in compositis proportionibus constituentur aliquae figurae, quibus facile iudicabitur, in qua proportione se habet residuum a prima parte proportionali ad primam partem proportionalem. Ad quod facile inspiciendum in proportionibus duplis superparticularibus constituatur naturalis series numerorum incipiendo a binario in inferiori linea, et in superiori linea constituatur naturalis ordo numerorum incipiendo a ternario, tunc referendo primum inferioris ordinis primo superioris habebis, in qua proportione se habet residuum a prima parte proportionali ad primam dividendo corpus prima specie proportionis duplae superparticularis, et referendo secundum inferioris ordinis secundo superioris habebis illud idem in secunda specie proportionis duplae superparticularis et sic consequenter, ut patet in figura.
Abb. 5: Alvarus Thomas, Liber de triplici motu, S. 12.
Sed ad praxim huius negotii in speciebus proportionis triplae superparticularis constituatur in inferiori serie naturalis ordo numerorum incipiendo a binario, et in superiori constituantur omnes numeri impares incipiendo a quinario, et tunc referendo primum inferioris ordinis primo superioris et secundum inferioris secundo superioris et tertium inferioris tertio superioris et sic consequenter conspicies, in qua proportione se habet residuum a prima parte proportionali ad primam divisione corporis facto proportione tripla superparticulari, ut patet in figura.
Abb. 6: Alvarus Thomas, Liber de triplici motu, S. 12.
Ad praticandum autem ita in speciebus quadruplae superparticularis, quintuplae superparticularis et cetera constituatur naturalis series numerorum incipiendo a binario in linea inferiori, et in superiori omnes numeros excedentes se continuo ternario incipiendo a septenario, et sic habebis, quod quaeris in speciebus proportionis quadruplae superparticularis. Ad quod inveniendum in speciebus proportionis quintuplae superparticularis constituas in superiori ordine omnes numeros excedentes se quaternario incipiendo a numero novenario, et in specie seque[n]ti costituas in superiori ordine omnes numeros excedentes se quinario | incipiendo a numero undenario, et sic consequenter in aliis speciebus operaberis. Patet hoc in figuris sequentibus.
Abb. 7: Alvarus Thomas, Liber de triplici motu, S. 12.
¶ Sed ad exercitium huius ultimi correlarii in speciebus multiplicium suprapartientium quaedam etiam constituentur figuere. Unde ac facile inveniendam proportionem residui a prima parte proportionali ad ipsam primam in speciebus proportionis duplae suprapartientis constituatur naturalis series incipiendo a ternario inferiori linea, in superiori vero constituantur omnes numeri impares incipiendo a quinario, et tunc referendo primum inferioris ordinis primo superioris, et secundum secundo, et tertium tertio id, quod quaeris, facile reperies, ut patet in figura sequenti.
Abb. 8: Alvarus Thomas, Liber de triplici motu, S. 12.
¶ Ad inveniendam autem proportionem residui a prima parte proportionali ad ipsam primam divisione corporis facta proportione tripla suprapartiente constituatur supra naturalem seriem numerorum incipiendo a ternario una series omnium numerorum continuo excedentium se ternario incipiendo ab octonario numero, ut patet in figura.
Abb. 9: Alvarus Thomas, Liber de triplici motu, S. 12.
¶ Ad inveniendum autem propositum in speciebus proportionis quadruplae suprapartientis supra naturalem seriem numerorum incipiendo a ternario constituatur series numerorum continuo excedentium se quaternario incipiendo ab unde[n]ario, et sic consequenter [in speciebus proportionis quadruplae suprapartientis] supra eandem naturalem seriem numerorum incipiendo a ternario constituatur series numerorum continuo exedentium se numero quinario incipiendo a numero quarto decimo, et sic consequenter operaberis in aliis. Et haec de divisione corporum proportione rationali.