4. Kapitel des 1. Teils

 

Capitulum quartum, in quo agitur de infinitis speciebus proportionis irrationalis et de earum procreatione 

Proportio irrationalis perinde atque rationalis in infinitas distribuitur species. Ad quod mathematica industria inferendum ponuntur aliquae suppositio[n]es. 

Prima suppositio: si duae quantitates se habent ut duo numeri, aggregatum ex eis se habebit ut unus numerus. Probatur, quia semper ex additione numeri ad numerum resultat numerus maior. 

Secunda suppositio: si aliquae quantitates se habeant in proportione rationali, illae se habebunt ut duo numeri et econtra. Patet suppositio haec ex definitione proportionis ratioalis cum suo correlario [in] primo capite posita. 

Tertia suppositio: si duae quantitates se habeant in proportione rationali, aggregatum ex eis se habet in proportione rationali ad quamlibet illarum quantitatum. Probatur haec suppositio: quam si se habent in proportione rationali, iam quaelibet illarum se habet ut numerus, ut patet ex secunda suppositione, et si quaelibet illarum se habet ut [n]umerus, se aggregatum ex eis [...] habet ut numerus, ut patet ex prima suppositione, et per consequens illius agggregati, quod se habet ut numerus, ad utramque illarum quantitatum, quae se habent ut numeri, erit proportio rationalis, ut patet ex secunda suppositione. Quod fuit probandum. 

Qu[ar]ta suppositio: costae ad excessum, quo diameter excedit costam, [est] proportio irrationalis. Probatur, quia si esset rationalis, iam se haberent ut duo numeri, ut patet ex secunda suppositione. Et si se haberent ut duo numeri, aggregatum ex eis, quod adaequate est diameter, haberet se in proportione rationali ad utrumque illorum et per consequens ad costam, ut patet ex tertia suppositione, et sic diametri ad costam esset rationalis proportio, quod est contra qua[r]tam conclusionem praecedentis capitis. 

1 Faksimile der Seite 8 

Quinta suppositio: si quantitatis m[a]ioris ad aliquam partem aliquota[m] quantitatis minoris sit proportio rationalis, eiusdem quantitatis maioris ad totam quantitatem minorem erit proportio rationalis. Probatur, quia si quantitatis maioris ad partem aliquotam quantitatis minoris est proportio rationalis, iam quantitas maior et pars aliquota minoris quantitatis se habent ut duo numeri, et per consequens pars aliquota minoris quatitatis se habet ut numerus. Et cum non sit maior ratio de una parte aliquota quam de qualibet tanta, sequitur, quod quaelibet tanta se habet ut numerus, et per consequens aggregatum ex omnibus partibus aliquotis ipsius minoris se habet ut numerus, ut patet ex prima suppositione, et illud aggregatum est ipsa minor quantitas, igitur ipsa minor quantitas se habet ut numerus ad maiorem, et sic inter illas est proportio rationalis, et sic patet suppositio. 

Sexta suppositio: si duae quantitates inaequales se habeant in proportione rationali, utraque illarum se habet ad excessum, quo maior excedit minorem, in proportione rationali vel aequalitatis. Probatur haec suppositio: quam si illae quantitates se habent in proportione rationali, se habent ut duo numeri. Et ultra se habent ut duo numeri, ergo excessus, quo una excedit alteram, est numerus, quam semper numerus excedit numerum per numerum. Et ultra excessus est numerus, et quaelibet aliarum se habet ut numerus respectu illius excessus. Igitur inter illum excessum et quamlibet illarum quantitatem est proportio rationalis vel aequalitatis. Quod fuit probandum. 

His suppositionibus positis sit prima conclusio: infinitae sunt species proportionis irrationalis minores dupla, et illarum in infinitum parva est aliqua. Probatur prima pars huius conclusionis, et capio costam unius quadrati et su[u]m diametrum, et volo, quod uniformiter in hora diminuatur excessus, quo diameter excedit costam ad non quantum, ita quod in fine diameter et costa erunt aequalia. Quo posito sic arguitur: inter diametrum, quae sic diminuitur, et costam erunt infinitae proportiones irrationales continuo minores dupla, igitur infinitae sunt species proportionis irrationalis minores dupla. Probatur antecedens, quam quando excessus, quo diameter excedit costam, perdiderit medietatem sui, tunc aggregatum ex alia medietate et costa se habebit ad costam in proportione irrationali minori dupla, et quando excessus diametri fuerit diminutus ad unam quartam sui, tunc aggregati ex costa et illa quarta excessus diametri ad costam erit proportio irrationalis, et sic consequenter semper aggregatum ex costa et aliqua parte aliquota excessus se habebit ad costam in proportione irrationali minori dupla, et infinita sunt talia aggregata ex costa et aliqua parte aliquota excessus. Igitur infinitae erunt proportiones irrationales continuo minores dupla. Patet consequentia, et arguitur maior videlicet, quod aggregatum ex costa et medietate excessus diametri se habet in proportione irrationali ad costam, quia si non, sed se [h]abent in proportione rationali, sequitur, quod utraque illarum se habet ad excessum, quo maior excedit minorem, in proportione rationali vel aequalitatis. Patet consequentia ex sexta suppositione, et consequens est falsum, quia si utraque illarum se haberet ad excessum, quo diameter excedit costam, in proportione rationali et cetera, cum altera illarum sit costa, et excessus, quo maior excedit minorem, sit medietas excessus diametri, sequitur, quod | costae ad medietatem excessus diametri erit proportio rationalis. Patet haec consequentia ex se. Et ultra sequitur, quod costae ad excessum diametri erit proportio rationalis. Patet consequentia ex quinta suppositione, hoc addito, quod medietas excessus est pars aliquota illius, consequens est falsum, ut patet ex quarta, igitur et antecedens. Et sic probabis, quod aggregatum ex costa et quarta parte excessus diametri se habet in proportione irrationali ad costam et similiter, quod aggregatum ex costa et octava parte excessus et sic consequenter. Quod autem illae proportiones continuo sint minores dupla, patet, quia a principio proportio diametri ad costam erat minor dupla, cum esset medietas duplae, et continuo diminuetur usque ad non gradum, ut patet ex secunda parte. Igitur continuo erit minor dupla. Item continuo excessus erit minor et minor respectu eiusdem quantitatis, ergo continuo proportio erit minor et minor. Et ex hoc patet secunda pars conclsionis, quia in infinitum modicus erit excessus quantitatis maioris ad quantitatem minorem, et ipsa quantitas minor continuo manebit aequalis et invariata. Igitur infinite modica erit proportio maioris ad quantitatem minorem. Consequentia patet ex secunda parte. Et sic patet prima conclusio. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod infinitis modis possunt generari infinitae species minores dupla irrationalis proportionis, utpote si excessus diametri diminuatur per partes proportionales proportione dupla. Alio modo proportione tripla, alio quadrupla, alio sesquialtera et sic in infinitum. Patet correlarium intelligenti probationem conc[lu]sionis. 

Secunda conclusio: infinitae sunt species proportionis irrationalis maioris dupla, et illarum infinite magna est aliqua. Probatur haec conclusio, et pono, quod excessus, quo diameter excedit costam, diminuatur uniformiter in hora usque ad non quantum, et capio proportionem, quae est costae ad excessum diametri, et arguo sic: illa proportio est maior dupla irrationalis, et proportio costae ad medietatem illius excessus est etiam irrationalis maior, et proportio costae ad quartam est etiam irrationalis maior dupla et sic in infinitum, quaelibet proportio costae ad aliquam partem aliquotam excessus est proportio irrationalis, et sunt infinitae partes aliquotae continuo minores et minores, ergo infinitae sunt proportiones irrationales minores dupla. Probatur maior, quia costae ad excessum, quo diameter excedit costam, est proportio irrationalis, [ut patet] ex quarta suppositione, maior dupla, ut constat, quam ille excessus est minor, quam medietas costae, quia si esset medietas costae, aut moior, iam ibi esset proportio sesquialtera inter diametrum et costam vel maior sexquialtera, quod est falsum, ut patet ex p[rae]cedenti capite. Ergo quaelibet proportio costae ad aliquam partem aliquotam excessus, quo diameter excedit costam, est proportio irrationalis maior dupla. Quod fuit probandum. Patet consequentia ex quinta suppositione, quam ex illa suppositione, si costa ad aliquam partem aliquotam excessus, quo diameter excedit costam, se habet in proportione rationali, ipsius costae ad totum illum excessum erit proportio rationalis, sed non ipsius costae ad totum illum excessum, quo diameter excedit costam, est proportio rationalis, ut patet ex quarta suppositione. Igitur non costa ad aliquam partem aliquotam excessus, quo diameter excedit costam, se habet in proportione rationali. Patet consequentia per syllogismum hypotheticum a tota conditionali cum destructione consequentis et cetera. Et sic patet prima pars. Et secunda probatur facile, quia in infinitum 

2 Faksimile der Seite 9 

magnus erit excessus, quo quantitas maior excedet minorem, igitur in infinitum magna erit proportio quantitatis maior ad minorem, et per consequens illarum infinitarum proportionum in infinitum magna erit aliqua. Quod fuit probandum. Et sic patet conclusio. ¶ Simile correlarium correlario primae conclusionis, hic poteris inferre de generatione huiusmodi proportionum irrationalium. ¶ Plures adiecissem conclusiones et correlaria, nisi obstaret hanc materiam ex secunda parte in universum dependere. Nec mirari oportet, si plurimum in his duobus capitibus contra morem et ordinem mathematicum sequentibus usus fuerim. Non enim potuit haec materia alio modo induci. 

 

Alvarus Thomas und sein Liber de triplici motu

Table of Contents

Vorbemerkungen

Hinweise zu den Editionsrichtlinien

Faksimile des Liber de triplici motu von Alvarus Thomas und bearbeitete Ausgabe des Liber de triplici motu

Widmungsbrief und Eröffnungsgedichte

Einleitung

1. Kapitel des 1. Teils

2. Kapitel des 1. Teils

3. Kapitel des 1. Teils

4. Kapitel des 1. Teils

5. Kapitel des 1. Teils

6. Kapitel des 1. Teils

7. Kapitel des 1. Teils

8. Kapitel des 1. Teils

1. Kapitel des 2. Teils

2. Kapitel des 2. Teils

3. Kapitel des 2. Teils

4. Kapitel des 2. Teils

5. Kapitel des 2. Teils

6. Kapitel des 2. Teils

7. Kapitel des 2. Teils

8. Kapitel des 2. Teils

1. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

5. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

6. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

7. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

8. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

9. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

10. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

11. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

12. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

13. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

14. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

15. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 3. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 3. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

5. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

Recognita

Gedichte und Briefe am Ende des Liber de triplici motu


This publication is licensed under a Creative Commons Attribution-Non Commercial-Share Alike 3.0 Germany (cc by-nc-sa 3.0) Licence.