3. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

Download Chapter

 

Capitulum tertium, in quo ostenditur modus cognoscendi sive commensurandi motum uniformi[t]er difformem et difformiter difformem quoad tempus, quoad velocitatem et tarditatem in omni specie et cetera 

In omni specie proportionis rationalis et irrationalis per modum quaestionis procedendo. 

Exactis, ut potuimus, difficultatibus circa motus difformis quoad subiectum contingentibus iam restat accedere ad difficultates circa cogno[scen]dam et commensurandam velocitatem motus difformis quoad tempus occur[r]entes, circa quod talem quaero quaestionem. ¶ Utrum omnis motus uniformiter difformis quoad tempus mensurari habet penes gradum medium, et omnis difformiter difformis quoad tempus penes reductionem ad uniformitatem sive p[e]nes commensurationem denominationis, qua denominatione denominat mobile moveri. 

1 Faksimile der Seite 139 

Et arguitur primo, quod motus uniformiter difformis velocitas no[n] est grad[u] illius medio commensuranda, quia sequeretur, quod omne, quod movetur in aliquo tempore uniformiter difformiter a non gradu usque ad certum gradum – id est a non gradu usque ad duo decimum – moveretur in duplo tardius quam mobile motum per idem tempus gradu duo decimo continuo, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Consequentia patet, quia in toto illo tempore tale mobile motum uniformiter difformiter movetur ita velociter, ac si moveretur motu ut sex, si talis motus debeat correspondere gradui medio, cum sex sit gradus medius inter duodecim et non gradum, sed si continuo per idem tempus moveretur gradu sexto, in duplo tardius moveretur mobili moto gradu duodecimo uniformiter, igitur. Sed falsitas consequentis ostenditur, quia si in illo tempore moveretur in duplo tardius quam mobile motum gradu duodecimo, vel igitur in utraque medietate moveretur in duplo tardius vel in aliqua vel in aliqua non, sed neutrum istorum est dicendum, igitur. Non primum, quia in prima movetur in quadruplo minus, igitur non in duplo minus, nec secundum, quoniam in secunda medietate non movetur in duplo minus, sed in sexquitertio. Velocitas enim secundae medietatis temporis correspondet gradui nouo, ut patet ex isto modo dicendi. ¶ Forte dices et bene ad illud, quod quaerit argumentum, quod in toto tempore adaequate movetur in duplo minus quam mobile motum uniformiter ut duodecim, tamen per nullam partem temporis movetur adaequate in duplo minus. Et ideo illa consequentia non valet, movetur in isto tempore in duplo minus, ergo in utraque medietate vel in aliqua vel in aliqua non. Nam in prima movetur in quadruplo minus quam mobile gradu duodecimo et in secunda in sexquitertio. 

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod omne movens uniformiter a non gradu usque ad certum gradum in triplo velocius moveretur in secunda medietate temporis quam in prima, sed consequens est falsum. Igitur. Sequela patet, quoniam in secunda medietate – ut dicis – movetur velocitate subsexquitertia ad gradum intensiorem, et in prima medietate movetur velocitate subquadrupla ad eundem gradum intensiorem, sed omne subsexquitertium ad aliquod est triplum ad quartam eius vel ad subquadruplum illius, quod idem est, igitur gradus medius primae medietatis est triplus ad gradum medium secundae medietatis. ¶ Dices et bene concedendo, quod infertur, ut postea ostendetur in quadam propositione. 

Sed contra, quia si illa solutio esset bona, sequeretur, quod in secunda medietate primae medietatis in triplo velocius moveretur illud mobile quam in prima eiusdem medietatis, et divisa illa medietate adhuc in duas in subtriplo moveretur, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis probatur, quia tunc sequeretur quodlibet mobile incipiens moveri a non gradu usque ad certum gradum infinita tarditate moveri per aliquod tempus, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quoniam in mediate post instans initiativum motus tale mobile movebitur aliquantula velocitate et in duplo minori et in triplo minori et in quadruplo et sic consequenter, igitur infinita tarditate movebitur quodlibet tale mobile. Antecedens patet ex solutione. Sed falsitas consequentis | arguitur, quia alias sequeretur mobile, quod continuo infinite velociter intendit motum suum, infinitum tarde moveri, sed consequens videtur implicare, igitur illud, ex quo sequitur. Et sequela probatur: pono casum, quod sint infinita mobilia A, B, C et cetera, quae moveantur per horam uniformiter difformiter incipiendo a non gradu, et A moveatur per eandem a non gradu usque ad octavum, et B a non gradu usque ad sextumdecimum, et C a non gradu usque ad tricesimum secundum et consequenter procedendo per numeros duplos, et hoc in eadem hora. Quo posito sic argumentor, quodlibet istorum mobilium infinita tarditate per aliquod tempus movebitur, sed in[fini]ta velocitate aliquod istorum per idem tempus intendet motum suum. Ergo aliquod istorum, quod infinita tarditate per aliquod tempus movebitur, infinita velocitate per aliquod tempus intendit motum suum, quod fuit proba[n]dum. 

¶ Et confirmatur, quia si quilibet motus uniformiter difformis commensurari debeat penes gradum medium, sequeretur, quod motus a certo gradu usque ad non gradum ut exempli gratia, quo aliquod mobile movetur a quarto usque ad non gradum remittendo motum suum in hora, et motus, quo aliquod mobile movetur uniformiter difformiter a non gradu usque ad quartum in eadem hora, essent omnino aequales, sed hoc est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur: utriusque enim motus illorum duorum motuum gradus medius est ut duo, et per consequens illi motus sunt aequales. Sed iam ostenditur falsitas contequentis, quia tunc sequeretur, quod si aliquis motus intenderetur a gradu ut 4 usque ad gradum duplum in hora, et alter motus aequalis illi, puta ut 4 ab eodem gradu quarto, in eadem hora uniformiter et aeque velociter remittatur usque ad quietem sive ad non gradum motus, tunc talis motus, qui remittitur, non dumtaxat uniformiter et aeq[u]e velociter remitteretur, sicut alter motus aequalis ei intenderetur in eodem tempore, sed hoc est falsum, quia quantam latitudinem acquirit ille motus, qui intenditur, tantam adaequate deperdit ille motus, qui remittitur, in eodem tempore. Nam ille, qui intenditur, cum sit ut 4, acquirit 4 gradus supra se, et in eodem tempore ille, qui remittitur, usque ad non gradum, cum si[t] ut quatuor, perdit etiam quatuor gradus in eodem tempore. Sed iam probo sequelam, quoniam ille motus ut 4, qui remittitur, in hora usque ad non gradum remittitur in eadem hora ad suum subduplum et ad suum subquadruplum et ad suum suboctuplum et sic in infinitum. Motus vero alter, qui intenditur, praecise intenditur ad suum duplum. Igitur in infinitum maiorem proportionem deperdit motus, qui remittit[u]r, quam acquirat motus, qui intenditur, et per consequens non ita velociter sicut unus remittitur, alter intenditur. Quod fuit probandum. 

¶ Dices forte ad punctum argumenti distinguendo illatum, aut quod in eadem hora non remittatur aequevelociter unus motus, sicut alter intenditur aequalitate geometrica, et sic conceditur, ut bene probat argumentum, aut aequalitate arithmetica, et sic negatur. Ad hoc enim, quod aeque velociter unus motus remittatur, sicut alter intenditur aequalitate arithmetica, sufficit, quod quantancumque latitudinem unus acquirat in aliquo tempore, tantam alter deperdat in eodem tempore, et ita sit in casu posito, sed ad hoc, quod aliquis motus intendatur aequevelociter geometrice, sicut alter remittitur geometrice, oportet, quod quantamcumque proportionem unus acquirat supra se in aliquo tempore, tantam alter, qui remittitur, deperdat 

2 Faksimile der Seite 140 

in eodem tempore. Modo non sit sic in proposito. 

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod si motus ut 4 vel aliquis alter intendatur ad suum duplum uniformiter, et alter motus ei aequalis remit[t]atur in eadem hora ad non gradum sive ad quietem, tunc ille, qui remittitur in infinitum, velocius remittitur quam alter, qui intenditur intendatur. Quod tamen est falsum, cum tantam latitudinem unus acquirat, sicut alter deperdat. 

¶ Dices et bene distinguendo illatum aut, quod in infinitum velocius remittatur in eodem tempore velocitate geometrica, et sic conceditur, aut arithmetica, et sic negatur. 

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod non esset possibile, quod ita velociter geometrice intenderetur unus motus in tempore finito uniformiter, sicut motus ei aequalis remitteretur uniformiter ad non gradum in eodem tempore, sed consequens videtur falsum, (cum aequalem latitudinem unus motus deperdat, sicut alter acquirit), igitur illud, ex quo sequitur. Sequela tamen probatur quoniam, ut patet ex responsione motus, qui remittitur ad non gradum, infinitam proportionem deperdit, et motus, qui intenditur, solum finitam, igitur non aeque velociter geometrice unus motus intenditur, sicut alter ei aequalis remittitur in eodem tempore. ¶ Confirmatur secundo, quoniam si motus uniformiter difformis corresponderet suo gradui medio, sequeretur, quando duo motus aequales uniformiter difformes remitterentur in hora, unus in duplo velocius altero, ille, qui tardius remittitur, quando est remissus ad subduplum, alter esset remissus ad subquadruplum et non ad quietem sive ad non gradum, sed consequens falsum, ut patet intuenti, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela tamen probatur, quoniam, si in eodem tempore unus continuo in duplo velocius altero remittitur, sequeretur, quando unus deperdit proportionem duplam, alter deperdit proportionem quadruplam, et in tempore, quo unus quadruplam, alter sexdecuplam, quae est dupla ad quadruplam, ut patet ex secunda parte capite sexto. 

¶ Confirmatur tertio, quia si motus uniformiter difformis corresponderet gradui medio, sequeretur, quod si essent duo motus uniformiter difformes, aequales, incipientes ab eodem gradu, terminati ad eundem vel ad non gradum, et unus illorum, puta A, in duplo velocius continuo intenderetur quam alter, puta B, et talis intensio duraret in infinitum, quod aliquando A esset motus duplus ad B, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia quandocumque B acquirit aliquam latitudinem, A acquirit duplam, et semper in duplo velocius A acquiret aliquem gradum, quam eundem acquirit B, et haec intensio procedit in infinitum, igitur aliquando A erit motus duplus ad B. Probatur haec consequentia, quoniam per infinitam latitudinem excedet latitudo acquisita ipsi A latitudinem acquisitam ipsi B, igitur aliquando totus motus A erit duplus ad totum motum B. Consequentia apparet nota, et arguitur antecedens, quia in infinitum maior erit latitudo acquisita ipsi A quam latitudo acquisita ipsi B, quia per infinitos gradus latitudo acquisita ipsi A excedet latitudinem ipsius B, igitur per infinitam latitudinem excedit latitudo acquisita ipsi A latitudinem acquisitam ipsi B. Probatur antecedens, quoniam latitudo acquisita ipsi A, cum semper erit dupla ad latitudinem acquisitam ipsi B, quando erit ut 4, excedit latitudinem ipsius B per duos gradus, et quando ut 8, per 4, et quando ut centum, per 50, et quando ut 1000, per 500 et sic in infinitum. Igitur | per infinitos gradus latitudo acquisita ipsi A excedet latitudinem acquisitam ipsi B. Quod fuit probandum. Sed iam probatur falsitas consequentis, quoniam, si aliquando totus motus A ad totum motum B erit duplus, signetur illud instans, in quo ita erit, et arguitur sic: totus motus A ad totum motum B est duplus, ergo si una pars ipsius A est dupla ad unam partem B, totum residuum de A est duplum ad residuum de B, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis probatur, quia in illo instanti totum acquisitum A est duplum ad totum acquisitum B, et tamen residua pars de A non est dupla ad residuam partem de B, sed illae partes sunt aequales, sicut erant in principio, et sic sequitur, quod quando una pars A est dupla ad unam partem B, totum residuum A non est duplum ad totum residuum B, et sic A non est duplum ad B. Patet haec consequentia ex septimo correlario quartae conclusionis octavi capitis secundae partis. 

¶ Et confirmatur quarto et ultimo, quia si omnis motus uniformiter difformis commensurari habet gradu medio, vel igitur in quolibet tali motu ille gradus medius est subduplus adaequate ad intensius extremum talis motus, vel maior subduplo, vel minor, nullum istorum est dicendum, igitur. Probatur minor, quia capto motu uniformiter difformi ab octavo usque ad quartum gradus medius eius est ut 6, et talis est dumtaxat subsexquitertius ad gradum intensiorem, et non subduplus, igitur non in omni motu uniformiter difformi gradus medius est subduplus ad gradum intensiorem. Item capto motu uniformiter difformi ab octavo usque ad non gradum medius gradus eius est subduplus ad extremum intensius, igitur non in omni motu uniformiter difformi gradus medius est maior quam subduplus. Item nullus gradus medius alicuius motus uniformiter difformis est minor quam subduplus ad extremum intensius, ut facile est intueri, igitur illa minor vera. ¶ Dices sicut dicendum est negando illam minorem, immo in aliquibus motibus uniformiter difformibus gradus medius est praecise subduplus ad gradum summum eiusdem motus, ut patet in omni motu uniformiter difformi terminato ad non gradum. In omni motu vero uniformiter difformi terminato utrimque ad gradum gradus medius est maior quam subduplus ad extremum intensius. 

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod aliquando gradus medius alicuius motus uniformiter difformis utrimque terminati ad gradum esset subsesquitertius ad gradum summum, aliquando subsesquialterius, aliquando subsesquiquartus et sic in infinitum. Quod si concedis, sicut concedendum est, sequitur, quod nulla potest inveniri certa regula et universalis ad sciendum in quolibet motu uniformiter difformi, quanto plus pertransitur per totum motum in medietate intensiori quam in medietate remissiori, quod videtur satis inconveniens. 

Secundo principaliter tangendo velocitatem motus difformiter difformis, cuius nulla pars est uniformis comparando ipsum ad uniformiter difformem, arguitur sic, quia si prima pars et secunda quaestionis essent verae, sequeretur, quod aliqui duo motus sunt modo aequales, et in tempore aequali aequales latitudines deperdent successive, ita quod in fine illius temporis erunt aequales, et tamen per unum illorum motuum maius spatium continuo pertransitur quam per alium, hoc videtur impossibile, igitur 

3 Faksimile der Seite 141 

illud, ex quo sequitur. Impossibilitas consequentis arguitur quoniam, si illi motus sunt aequales in principio et manent aequales in fine et in toto tempore remissionis illorum aequales latitudines deperdunt adaequate, sequitur, quod in toto illo tempore cathegore[]matice illi motus sunt aequales, et per consequens non maius spatium in eodem tempore pertransitur per unum quam per reliquum, et per te est oppositum, igitur contradictio. Sequela tamen probatur, et capio duos motus aequales gratia exempli ut 8, puta A [et] B, et volo, quod A uniformiter i[n] hora sequenti deperdat 4 gradus, ita quod medietas illorum 4 deperdatur in medietate illius temporis, et una quarta in quarta parte, et quinta in quinta et sic confequenter, ita quod continuo in aequali tempore sit aequalis deperditio. B vero in hora illa deperdat 4 gradus successive non uniformiter sed continuo velocius, ita quod in qualibet parte temporis sequentis velocius quam in praecedenti sibi aequali, quod facile potest fieri isto modo, si di[v]isa illa hora per partes proportionales proportione quadrupla in prima illarum deperdat medietatem illius medietatis deperdendae et in secunda parte proportionali proportione quadrupla subduplum et in tertia subquadruplum et sic in infinitum, et manifestum est, quod iam illo latitudo continuo deperditur continuo velocius et velocius, ut facile est intueri. Quo posito sic arguitur: per motum B continuo per totam horam pertransibitur maius spatium quam per motum A, et in fine et in principio sunt aequales, et in eodem tempore aequalem latitudinem deperdent adaequate, igitur intentum. Consequentia patet cum minore, sed arguitur maior, videlicet quod continuo per motum B transibitur maius spatium quam per motum A, quia continuo motus B est maior et intensior motu A, igitur continuo per illum maius spatium pertransibitur in eodem tempore. Consequentia se manifestat, et arguitur antecedens, quia B motus in nullo instanti intrinseco illius horae erit aequalis A nec mi[n]or, ergo continuo maior. Probatur antecedens, quia si in aliquo instanti motus B erit aequalis aut minor ipsi A, signetur illud, et sit C instans intrinsecum, et arguitur sic: in isto instanti A motus et B sunt aequales, ergo ex casu aequalem perdiderunt latitudinem, et aequales restat deperdenda ipsi A et ipsi B, et A continuo uniformiter deperdet illam deperdendam ex casu, et B velocius quam antea deperdebat. Et antea deperdebat aequaliter cum A, ergo velocius deperdet modo totam latitudinem deperdendam quam A, et per consequens citius tota latitudo deperdenda erit deperdita ipsi B quam ipsi A, quod est contra casum. Et per locum a maiori probabitur similiter, quod pro nullo instanti motus B est minor motu. 

¶ Et confirmatur supposito, quia una pars proportionalis proportione quadrupla est duae partes proportione dupla, et per consequens duae partes proportionales proportione quadrupla sunt 4 proportione dupla et sic consequenter procedendo per numeros pariter pares, quod potest patere intuenti quintum caput primae partis. Quo supposito sic argumentor ex casu in fine primae partis proportionalis proportione quadrupla B perdet primam partem proportionalem proportione dupla latitudinis deperdendae, et tunc A deperdit duas partes proportionales proportione dupla latitudinis deperdendae, quia tunc sunt transactae duae partes proportionales temporis proportione dupla, ut patet ex supposito, et A motus remittitur uniformiter, ut patet ex casu. 

In fine vero secundae partis proportionalis temporis proportione quadrupla B deperdit duas partes | proportionales latitudinis deperdendae proportione dupla, et A 4, quam illae duae partes proportione quadrupla sunt quatuor partes pr[o]portionales proportione dupla, igitur continuo maior latitudo est deperdita A quam ipsi B usque ad instans terminativum, et sic semper in quolibet instanti intrinseco illius horae motus B est velocior motu A. Quod fuit probandum. ¶ Dices et bene ad argumentum concedendo, quod infertur, ut bene probat argumentum, et negando falsitatem consequentis, et cum astruitur illa falsitas consequentis, negatur consequen[t]ia. Immo conceditur, quod in principio illi motus sunt aequales et in fine aequales, et aequalem latitudinem adaequate deperdunt in eodem tempore, et tamen in toto illo tempore unus est intensior altero, ut pulchre probat argumentum. Immo conceditur, quod in principio illi motus sunt aequales et in fine aequales, et aequalem latitudinem adaequate deperdunt in eodem tempore, et tamen in toto illo tempore unus est intensior altero, ut pulchre probat argumentum. 

Sed contra, si solutio veritati esset consona, talis ex ea duceretur conclusio, quod videlicet aliqui duo motus se habent modo in proportione dupla et per idem tempus uniformiter et aeque velociter remitterentur adaequate, et tamen semper in illo tempore spatium pertransitum a maiori erit plusquam duplum ad spatium pertransitum a minori, sed consequens videtur falsum, cum illo modo se habent in proportione dupla et semper aequaliter remittuntur. Apparet igitur, quod continuo manebunt se habentes in proportione dupla, et sic spatium pertransitum a maiori non est plusquam duplum ad spatium pertransitum a minori, et sic illud consequens est falsum, et per consequens illud, ex quo sequitur, probatur tamen sequela, et pono casum, quod sint A et B motus, et A sit duplus ad B, et remittantur continuo aeque velociter et uniformiter A et B perdendo aequalem latitudinem omnino per totum tempus. Quo posito sic argumentor: in toto illo tempore remissionis motus A erit plusquam duplus ad motum B, et modo A se habet ad B in proportione dupla, et continuo in illo tempore aeque velociter remittentur et cetera. Igitur conclusio vera. Consequentia patet cum minore, et arguitur maior, et volo, quod sit C aequale ipsi A in principio, et continuo remittatur taliter, quod co[n]tinuo se habeat in proportione dupla ad B, et arguitur sic: continuo C perdet maiorem latitudinem quam B, quia continuo duplam, ut patet ex primo et secundo correlariis quintae conclusionis secundi capitis secundae partis, igitur continuo maiorem quam A, cum A et B deperdant aequales latitudines continuo, ut patet per casum, et in principio A et C sunt aequalia, igitur continuo A motus erit maior C motu, et C continuo adaequate est duplus ad B, ergo continuo A erit maior motus quam duplus ad B. Quod fuit probandum. Patet haec consequentia per hanc maximam. Quando duo inaequalia habent aliquas proportiones ad unum, et idem tertium maiorem proportionem ad idem tertium habet maius illorum quam minus, ut satis constat. 

Tertio principaliter tangendo materiam principaliter intentam in hoc capite de commensuratione motus difformiter difformis, cuius difformitas in infinitum procedit secundum numerum partium proportionalium, arguitur si[]c: si motus difformiter difformis commensurari haberet penes reductionem ad uniformitatem aut penes denominationem suae intensionis, sequeretur haec conclusio, quod videlicet aliquis esset motus difformis, qui non posset ad uniformitatem reduci, et cuius non posset dari certa intensio, consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Falsitas consequentis patet, et arguitur sequela, et divido horam in duas partes inaequales, quarum utraque se habet ad totam horam 

4 Faksimile der Seite 142 

in proportione irrationali, et volo, quod in maiori illarum moveatur A mobile gradu octavo, et in minori illarum moveatur idem mobile gradu quarto. (Semper in istis argumentis suppono, quod uni gradui velocitatis in hora correspondeat pedanea pertransitio.) Quo posito sic argumentor: talis motus est difformiter difformis, et tamen non potest reduci ad uniformitatem. Nec eius valet dari sive assignari determinata intensio. Igitur. Maior est nota, et minor probatur supponendo, quod quanto aliqua pars motus totalis est [tantum] minori parte temporis, tanto minus facit ad denominationem intensionis totius motus ceteris aliis paribus, et tanto minus de spatio per talem motum transitur, ut motus ut unum partialis in una quarta horae facit ad intensionem totius motus ut una quarta, et per illum in illa quarta pertransitur quarta pars pedalis. Et generaliter observandum est, quod in quacumque proportione se habet pars temporis ad totum tempus, in eadem se habet velocitas motus in [i]lla parte ad velocitatem totalis motus in toto tempore. Quo posito arguitur assumptum, quia motus ut 8 in illa parte temporis non se habet in aliqua proportione rationali ad totalem motum, nec etiam ut quatuor, et penes tales proportiones debet investigari eius intensio et reductio ad uniformitatem, ig[i]tur non potest dari eius determinata intensio aut reductio ad uniformitatem. Consequentia patet cum minore, et arguitur maior, quia partes temporis, in quibus sunt illi motus, se habent ad totum tempus in proportione irrationali, ut positum est, igitur etiam motus illarum partium ad totalem motum. Consequentiam declarat suppositio. ¶ Dices forte et bene concedendo, quod talis motus non potest dari determinata intensio, et rationalis reductio ad uniformitatem, ita quod intensio illius motus se habeat ad motum alicuius illarum partium in proportione aliqua rationali, nec hoc est inconveniens, nec contra titulum quaestionis, quia intelligitur titulus quaestionis, dummodo partes, in quibus tales motus ponuntur, se habeant in proportione rationali. Unum tamen est, quod postea ostendetur, quod talis motus totalis est intensior quam motus ut sex. 

Sed contra solutionem arguitur sic, quia aliquis est motus difformis, cuius partes sunt in partibus temporis rationalem proportionem habentibus ad totum tempus, et tamen talis motus non valet reduci ad uniformitatem, nec valet inveniri certa eius intensio. Igitur solutio nulla. Arguitur antecedens, et pono casum, quod dividatur hora per partes proportionales proportione dupla, et in prima A mobile moveatur aliquatulum velociter exempli gratia ut 2 et in secunda in duplo velocius quam in prima et in tertia in triplo et sic consequenter ascendendo per omnes numeros. Quo posito sic arguitur: talis motus est difformiter difformis, cuius partes sunt in partibus temporis habentibus proportionem rationalem in ordine ad totum, et tamen non invenitur, nec dabilis est certa intensio eius nec reductio ad uniformitatem. Igitur propositum: tota ratio patet dempta minore, quae sic arguitur, quia ille motus videtur esse infinitus, igitur non valet dari determinata eius intentio saltem finita, de qua loquimur. Probatur antecedens, quia in infinitum intensus est ille motus in illa hora, igitur apparet, quod sit infinitus. ¶ Dices forte, quod totalis ille motus est ita intensus sicut motus qui fit in secunda parte proportionali temporis, ita quod talis motus est in duplo intensior motu facto in prima parte proportionali temporis, et reduciter ad uniformitatem | supponendo, quod per quamlibet partem illius horae est motus ut duo, et per totum residuum a prima parte proportionali est motus ut 4, et per totum residuum a secunda est motus ut 6, et per totum residuum a tertia est motus ut 8, ut facile patet ex casu, ita quod quaelibet pars sequens alteram cum omnibus sequentibus eam excedit immediate praecedentem per duos gradus. Quo supposito arguitur reductio uniformitatis talis motus, et volo, quod capiantur duo gradus extensi per totum residuum A prima parte proportionali, et ponantur in prima sibi aequali. Dividendo enim proportione dupla totum aggregatum ex omnibus immediate sequentibus aliquam est aequalis illi, ut patet ex quinto capite primae partis, deinde capiantur duo gradus a toto a secunda, et ponantur in secunda, et nihil ponatur ulterius in prima aut secunda, deinde a sequentibus tertiam capiantur duo gradus, qui ponantur in tertia et sic consequenter. Quo posito in fine totus ille motus erit uniformis ut 4, igitur dabilis est eius intensio, et ad uniformitatem reductio habetur enim, quod velocitas totalis motus est dupla ad velocitatem eius, quae est in prima parte proportionali horae. 

Sed contra, quia tunc sequeretur, quod si hora dividatur per partes proportionales proportione tripla, et per primam illarum moveatur aliquod mobile aliquantula velocitate et per secundam dupla velocitate et per tertiam tripla et sic in infinitum ut in priori casu. Tale mobile etiam moveretur in totali hora adaequate dupla velocitate ad velocitatem, qua movetur in prima parte proportionali horae, sed consequens est falsum, igitur illud, ex quo sequitur. Sequela probatur, quia non videtur maior ration[e] isto casu quam in praecedenti. Falsitas tamen consequentis arguitur, quia talis motus est dumtaxat in sexquialtero velocior motu primae partis proportionalis temporis, igitur non est in duplo velocior. Consequentia patet, et arguitur antecedens, et volo gratia argumenti, quod motus primae partis proportionalis sit ut 2. Quo posito sic argumentor: motus ut duo est per totam horam. ergo talis motus denominat totum moveri ut duo in tota hora motus vero ut duo superadditus in secunda parte proportionali et in omnibus sequentibus est in subtriplo tempore, et est aequalis intensionis c[um] aliis duobus gradibus per totum, igitur in triplo minus denominat. Duo vero gradus extensi per tertiam partem propo[r]tionalem, et totum residuum sunt in triplo minori subiecto, ergo adhuc in triplo minus denominant et sic consequenter procedendo per subtriplam proportionem, ergo totalis denominatio talis motus facti in illa hora conflatur ex infinitis continuo se habentibus in proportione subtripla, igitur residuum a prima est subduplum ad primum, ut patet ex correlario primae conclusionis quinti capitis primae partis, et primum illorum erat ut duo hoc est prima denominatio erat ut 2, igitur omnes aliae denominationes sunt ut unum, modo duo et unum sunt tria, igitur totalis motus velocitas est ut 3, et velocitas in prima parte proportionali est ut 2, ergo velocitas totalis motus se habet in proportione sexquialtera ad velocitatem eiusdem motus in prima parte proportionali temporis. Quod fuit probandum. Patet tamen consequentia, quia trium ad duo est proportio sexquialtera. 

Quarto principaliter tangendo motus difformiter difformis, quorum partes diversis continuo proportionibus se habent, arguitur sic, quia aliquis est motus difformiter difformis, cuius non est dabilis uniformitas, nec denominationis intensio, igitur 

5 Faksimile der Seite 143 

titulus quaestionis falsus. Arguitur antecedens, et pono casum, quod A mobile in prima parte proportionali proportione dupla huius horae moveatur aliquantulum velociter, et in secunda in proportione sexquialtera velocius quam in prima, et in tertia in proportione sesquiquarta velocius quam in secunda et sic consequenter procedendo per omnes species proportionis superparticularis. Quo posito talis motus est uniformiter difformis, et non est dabilis eius intensio, nec reductio ad uniformitatem, igitur. Arguitur minor, quia non apparet, cuius intensionis sit ille motus, nisi fuerit infinitae, cum in infinitum velociter moveatur A mobile in aliqua parte proportionali temporis, igitur non repertiur eius certa intensio. 

¶ Dices et bene negando minorem, et quoniam argumentum nihil aliud petit nisi intensionem talis motus et uniformitatem, et quomodo cognosci debeat et investigari. Ideo dico, quod totalis illius motus velocitas correspondet velocitati secundae partīs proportionalis, et sic illud mobile A in totali tempore movetur in sesquialtero velocius quam in prima parte proportionali temporis. Quod sic ostenditur supposito gratia argumenti, quod in prima parte proportionali moveatur ut duo, et quod quaelibet pars sequens alteram cum toto residuo sequenti eam excedit immediate praecedentem se per unum semper aequaliter, (ut facile est intueri.) Illis suppositis sic argumentor: duo gradus velocitatis, qui sunt per totam horam, denominant totum A moveri ut duo in illa hora, et unus gradus extensus sive continuatus per totum residuum a prima parte proportionali, quod est subduplum ad totum, tempus denominat ut dimidium, quoniam si esset per totum, denominaret ut unum, ergo in subduplo denominat, quia est in subduplo tempore. Item alter gradus, qui est in toto residuo a secunda parte proportionali, denominat in subduplo minus quam ille, qui est in toto residuo a prima, cum illa tempora se habeant in proportione subdupla, et sic consequenter. Igitur totalis denominatio omnium illorum motuum demptis duobus gradibus extensis per totam horam componitur ex infinitis continuo se habentibus in proportione subdupla, ergo residuum a primo est aequale primo. Patet consequentia ex correlario praeallegato, et primum est ut dimidium, ergo totus ille motus [...] est ut unum, et velocitas proveniens a duobus gradibus per totam horam est ut duo, ergo totus motus adequatus illius horae est ut tria, et velocitas primae partis – id est, quam habet in prima parte proportionali temporis – est ut duo, et trium ad duo est proportio sexquialtera, ergo velocitas illius totalis motus se habet in proportione sexquialtera ad velocitatem quam habet in prima parte proportionali, et sic se habet velocitas secundae partis proportionalis ad velocitatem primae. Quod fuit probandum. 

Sed contra mutando paululum casum, volo, quod A in prima proportionali horae proportione dupla aliquantulum velociter moveatur, et in secunda in sesquialtero velocius quam in prima, et in tertia in sesquitertio velocius quam in prima, et in quarta in sesquiquarto velocius quam in prima et sic consequenter procedendo per omnes species proportionis superparticularis semper referendo ad primam partem. Quo posito arguitur sic: talis motus est difformiter difformis quoad tempus et non valet ad uniformitatem reduci aut certa eius intensio eius inveniri, igitur minor patet, quia non apparet modus, quo ille motus posset ad uniformitatem reduci, et si adversarius hoc neget, det illum modum, et in dubie facile erit calculatori | philosopho illum impugnare. ¶ Et confirmatur, quia si aliquod mobile moveatur in prima parte proportionali huius horae aliqua proportione aliquantulum velociter et in secunda in duplo velocius et in tertia in sesquitertio velocius quam in prima et in quarta in sesquiquinto velocius quam in prima et in quinta in sesquioctavo velocius et insequenti in sesquiduodecimo velocius et sic in infinitum procedendo interscalariter per species proportionis superparticularis continuo una pluries omittendo, tunc talis motus est difformiter difformis quoad tem[p]us, et non potest eius certa intensio dari. Igitur. Et sic potest etiam formari casus, ubi inter scalariter procedatur per easdem species proportionis superparticularis continuo plures omittendo duas dicendo in sexquialtero, in sexquiquinto, in sexquidecimo, in sexquidecimo septimo, item procedendo per easdem species continuo dimittendo plures per tres vel quatuor vel per 5 vel per 6 et sic in infinitum, et dabuntur motus difformes quoad tempus, et tamen ipsi non possunt ad uniformitatem reduci. Igitur. ¶ Confirmatur secundo, et pono casum, quod in prima parte proportionali aliquod mobile moveatur aliquantulum velociter et in secunda in sesquialtero velocius quam in prima et in tertia in superbipartiente tertias velocius quam in prima et in quarta in sesquitertio velocius quam in prima et in quinta in super[tri]partiente quartas velocius quam in prima et in sexta in sesquiquarto velocius quam in prima et sic consequenter procedendo per omnes species proportionis superparticularis interserendo species proportionis suprapartientis, tunc tale mobile movetur difformiter quoad tempus, et tamen motus illius uniformitas non potest venari, igitur titulus quaestionis est falsus. ¶ Confirmatur tertio, et pono casum, quod A mobile in prima parte proportionali moveatur aliquantulum et in secunda in duplo plus et in tertia in sesquialtero plus quam in prima et in quarta in superbipartiente tertias plus quam in prima et in quinta in duplo sesquialtero plus quam in prima et in sexta in duplo superbipartiente tertias velocius quam in prima et in septima in triplo velocius quam in prima et sic consequenter capiendo primo quinque et consequenter alias 5 et sic in infinitum. Quo posito illorum motus est difformiter difformis, et tamen illius velocitas non valet perscrutari. Igitur. 

In oppositum tamen est universalis opinio communiter philosophantium, quae in hac parte multum vigoris acroboris habet. Praeterea per quemlibet talem motum difformem in totali tempore adaequate pertransitur aliquod spatium adaequate, et tale spatium in tali tempore ab aliqua velocitate uniformi natum est pertransiri, igitur illa velocitas uniformis est tanta, quanta est velocitas illius motus difformis, quo illud spatium in eodem tempore pertransitur adaequate. Quod patet per definitionem motus aeque velocis, igitur quilibet motus difformis alicui uniformi correspondet, cui aequivalet. Quod fuit probandum. 

Pro decisione huius quaestionis tria faciemus. Primo aliqua notabimus, secundo nonnullas conclusiones, quibus facilis erit ad quaesitum responsio eliciemus. Prostremo vero respondebimus ad argumenta in oppositum. 

Pro primi expeditione repetentes quodammodo ea, quae superius iam tacta sunt, dicamus, quod duplex est motus difformis quodad tempus, puta difformiter difformis et uniformiter difformis. 

Utriusque membri definitio superius data est. Sed motus uniformiter difformis quoad tempus adhuc duplex 

6 Faksimile der Seite 144 

est: nam quidam est uniformiter difformis terminatus ad non gradum in altero extremo, alter vero est uniformiter difformis utrobique ad gradum terminatus. Et de utroque istorum dicitur, quod gradui suo medio correspondet, id est gradui motus, quem habet in medio temporis. Nam quanto velocius movetur mobile motum uniformiter difformiter mediante medietate talis motus intensiori, tanto tardius movetur mediante medietate remissiori, et sic aeque velociter movetur, ac si moveretur gradu medio. Et ad cognitionem talis gradus medii pono aliquas propositiones. 

Prima propositio: In omni latitudine uniformiter difformi incipiente a gradu a terminata ad non gradum gradus medius est subduplus ad extremum intensius, ita quod si latitudo incipiat ad octavo et terminatur ad non gradum, gradus medius est gradus quartus, quia quartus gradus est s[u]bduplus ad octavum. Ad quam propositionem ostendendam supponendum est, quod quandocumque sunt i[n]finiti termini continuo proportionales proportione dupla, tunc totum aggregatum ex eis est duplum ad totum aggregatum ex omnibus sequentibus primum. Secundo supponendum est, quod medium est illud, quod aequaliter d[i]stat ab extremis. Hae suppositiones satis apertae sunt ex prima et secunda partibus. His suppositis arguitur propositio, et volo, quod dividatur latitudo uniformiter difformis a non gradu usque ad certum gradum in partes proportionales continuo se habentes in proportione dupla, et arguo sic: gradus initians aggregatum ex omnibus latitudinibus sequentibus primam est medius, et talis est subduplus ad gradum intensiorem illius latitudinis, igitur talis latitudinis uniformiter difformis terminatae ad non g[r]adum, gradus medius est subduplus ad extremum intensius eiusdem latitudinis, et sic probabis de qualibet alia. Consequentia patet, et arguitur maior, quia talis gradus aequaliter distat ab extremis illius latitudinis, ut patet ex prima suppositione. Nam initiat secundam medietatem latitudinis et terminat primam, igitur est medius gradus. Patet consequentia ex secunda suppositione. Sed quod iste sit subduplus ad extremum intensius, probatur, quia ipse bis sumptus constituit extremum intensius adaequate. Igitur. 

Alio modo Hentisber deducit hanc conclusionem in suo tractatu de motu locali capite primo. 

Secunda propositio: gradus medius motus uniformiter difformis utrobique ad gradum terminati est intensior quam subduplus ad extremum intensius. Probatur haec propositio, quia omnis gradus subduplus ad extremum intensius tantum distat ab extremo intensiori, quantum a non gradu, sed [n]ullus gradus medius latitudinis utrobique ad gradum terminatae tantum distat ab extremo intensiori eius, quantum a non gradu, igitur nullus gradus medius latitudinis utrobique ad gradum terminatae est subduplus ad extremum intensius eiusdem latitudinis nec remissior, ut probabitur, ergo intensior. 

Consequentia patet in secundo secundae. Et maior patet ex praecedenti propositione, et minor probatur, quia tantum talis gradus distat ab extremo intensiori, quantum distet adaequate ab extremo remissiori, sed non tantum talis gradus medius distat ab extremo intensiori, quantum distat a non gradu, ut satis patet de se, igitur non tantum distat ab extremo intensiori quantum a non gradu. Patet consequentia per hanc maximam Quando aliqua duo sunt aequalia, | quicquid est maius uno, est maius altero. Et per hoc patet facile, quod talis gradus est intensior gradu suduplo ad extremum intensius, quia magis distat a non gradu quam gradus subduplus ad extremum intensius, et sic patet propositio. 

Tertia propo[si]tio: cuiuslibet latitudinis motus uniformiter difformis terminati ad non gradum, medietas intensior est in triplo intensior medietate remissiori. Probatur haec propositio supponendo, quod, quando sunt tres termini continuo proportionabiles proportione dupla, tunc extremi ad extremum est proportio duplicata et per consequens quadrupla. Hoc superius ostensum est in secunda parte sexti capitis octava conclusione. Secundo supponendum est, quod in qualibet tali latitudine motus uniformiter difformis terminati ad non gradum gradus initians secundam partem proportionalem proportione dupla est subduplus ad extremum intensius, et gradus initians tertia[]m proportionalem est subduplus ad gradum initiantem secundam et sic consequenter, (loquor de partibus proportionalibus quantitativis.) Suppono ulterius, quod subsesquitertium ad quadruplum alicuius est triplum ad illud subquadruplum. Quod probatur facile, quia si est subsexquitertium ad illud est tres quartae eius, et subquadruplum ad illud quadruplum est una quarta, igitur illud subsexquitertium erit triplum ad illud subquadruplum. Patet consequentia, quia trium quartarum ad unam quartam est proportio tripla. His suppositis probatur propositio, et divido unam talem latitudinem per partes proportionales proportione dupla. Quo posito arguitur sic: gradus medius medietatis intensioris est triplus ad gradum medium medietatis remissioris, et penes tales gradus metri habent velocitates illarum medietatum, ut dictum est. Igitur medietas intensior est triplae intensionis ad medietatem remissiorem. Quod fuit probandum. Patet consequentia cum minore, et arguitur maior, quia – ut patet ex secunda suppositione –gradus initians tertiam partem proportionalem est subduplus ad initiantem secundam et intians secundam ad initiantiantem primam, igitur initians primam est quadruplus ad initiantem tertiam, ut patet ex prima suppositione, et ille est gradus medius secundae medietatis, puta remissioris, igitur gradus medius medietatis remissioris est subquadruplus ad extremum intensius medietatis intensioris, et gradus medius medietatis intensioris est subsexquitertius ad extremum intensius, ergo est triplus ad gradum medium medietatis remissioris, qui est subquadruplus ad extremum intensius latitudinis. Patet consequentia ex tertia suppositione. Sed restat probare, quod gradus medius medietatis intensioris est subsexquitertius ad extremum intensius eiusdcm medietatis. Quod probatur sic, quia talis gradus est medius inter duplum et subduplum, puta inter extremum intensius illius medietatis et extremum remissius eiusdem, qui est subduplus ad illum, igitur talis gradus medius est subsexquitertius ad illum duplum, puta ad illud extremum intensius. Quod fuit probandum. Patet consequentia per hanc maximam. Omnis gradus medius inter duplum et subduplum est sexquialterus ad subduplum et sexquitertius ad duplum, ut patet de senario mediante inter 4 et 8, de ternario mediante inter binarium et quarternarium, et de novenario mediante inter senarium et duodenarium et universaliter in omnibus. 

Quarta propositio, quae sequitur ex priori: 

7 Faksimile der Seite 145 

omnis potentia movens uniformiter difformiter latitudine terminata ad non gradum in triplo plus pertransit in medietate, in qua movetur intensius, quam in medietate temporis, in qua movetur remissius, ut si in medietate, in qua movetur remissius, pertransit unum pedale, in alia pertransit tripedale. Probatur haec propositio facile ex priori, quam motus fluens in medietate, in qua movetur velocius, est triplus ad motum factum in medietate temporis, in qua movetur remissius, ut dicit praecedens, igitur pertransitum in medietate, in qua movetur velocius, erit triplum ad pertransitum in reliqua medietate. Consequentia patet, quia temporibus existentibus aequalibus et velocitatibus in aequalibus spatia pertransita se habent in ea proportione, in qua se habent velocitates, ut facile induci potest ex definitione velocioris et tardioris data sexto physicorum. ¶ Ex quo sequitur, quod si A mobile moveatur per horam uniformiter difformiter incipiendo a non gradu usque ad certum gradum, et in prima medietate unam leucam pertransit, in secunda medietate trium leucarum spatium absolvet. Et si ordine praepostero moveri incepisset, puta ab illo dato gradu usque ad non gradum, in prima medietate horae tribus absolutis leucis, una dumtaxat restaret transeunda in secunda temporis medietate. 

Quinta propositio: si aliquod mobile moveatur uniformiter difformiter a non gradu usque ad certum gradum in aliquo tempore, ipsum adaequate subduplum spatium pertransit ad spatium natum pertransiri illo gradu intensiori per idem tempus continuato. Probatur, quia totalis velocitas illius motus est subdupla ad velocitatem illius gradus i[n]tensioris eiusdem latitudinis, igitur subduplum spatium pertransibitur mediante una illarum ad spatium pertransitum ab illa, quae est in duplo intensior, dummodo tempora sint aequalia, si spatiorum proportio proportionem velocitatum eodem tempore sequitur, ut oportet. Ex hac sequitur. 

Sexta propositio, quae talis est: omne mobile motum uniformiter difformiter a certo gradu usque ad certum gradum in aliquo tempore maius spatium quam subduplum pertransit in eodem tempore ad spatium natum pertransiri mediante extremo intensiori illius latitudinis per idem tempus continuato. Probatur, quia si talis latitudo inc[i]peret a gradu suo intensiori et terminaretur ad non gradum, praecise illud mobile pertransiret in illo tempore subduplum spatium ad spatium natum pertransiri mediante extremo intensiori illius latitudinis per idem tempus continuato, ut patet ex priori, sed modo illa latitudo ab illo gradu incipiens et ad gradum terminata est intensior, ut patet ex secunda, ergo in aequali tempore maius spatium quam illud subduplum pertransibit. Quod fuit probandum. 

Septima propositio: si aliquod mobile uniformiter difformiter moveatur a certo gradu intensiori ad ce[r]tum gradum remissiorem in hora, ipsum in prima medietate horae minus quam triplum spatium pertransit ad spatium pertransitum in secunda medietate horae, in qua tardius movetur. Probatur, quia si talis latitudo motus dividatur per partes proportionales proportione dupla secundum partes temporis, ille partes non continu[o] se habebunt in proportione dupla, sicut se habent tales partes in latitudine terminata ad non gradum, igitur residuum omnium partium a prima non est subtriplum ad velocitatem primae, sed maius quam subtriplum, et per consequens spatium pertransitum in omnibus partibus a prima, puta in secunda medietate, est maius quam subtriplum ad spatium pertransitum in prima. | Antecedens patet intuenti, et consequentia probatur, quia quanto proportio aliqua, in qua se habent continu[o] aliqua infinita, est minor, tanto aggregatum ex omnibus sequentibus primum est maius. Item patet praedicta propositio exemplariter, quam capta latitudine incipiente a duodecim et terminata ad quatuor gradus medius medietatis intensioris est ut decem, et gradus medius medietatis remissioris est ut 6, modo gradus sextus non est subtriplus ad duodenarium, et sic in omni alia latitudine invenies praedictae propositionis certitudinem. ¶ Et si quaeras, quomodo cognoscendum sit in omni latitudine motus utrimque ad gradum terminata, in qua proportione se habeat extremum intensius ad gradum medium eiusdem latitudinis, et in qua proportione plus pertransitur mediante medietate intensiori talis latitudinis quam mediante medietate remissiori. 

R[e]spondeo, quod in hac materia nulla potest dari certa et universalis regula. Quoniam secundum, quod extremum intensius et remissius se habent in alia et alia proportione ad invicem, ita se habet g[r]adus medius ad extremum intensius talis latitudinis in alia et alia proportione, tamen possent sig[n]ari peculiares regulae certis speciebus proportionum accommode. Si enim extrema se habeant in proportione dupla, gradus medius est subsexquitertius ad extremum intensius. Si vero extrema se habent in proportione tripla, tunc gradus medius erit subsexquialterus ad extremum intensius. Si vero se habent in proportione quadrupla, tunc gradus medius est subsupertripartiens quintas ad extremum intensius. Si vero se habeant in proportione sextupla, gradus medius est superquintipartiens septimas ad gradum intensiorem, et sic diversis proportionibus diversae regulae assignatur. ¶ Quaereret tamen aliquis ulterius, quo tramite et mensura posset facile investigari gradus medius in omni latitudine. 

Respondeo, quod per hanc regulam, quia aut latitudo illa terminatur ad non gradum, tunc dividatur extremum intensius per medium, et una medietas est gradus medius. Si vero incipit a gradu et terminatur ad gradum, tunc subduplum ad aggregatum ex extremo intensiori et remissiori est gradus medius inter illa extrema. Exemplum primi, ut si aliqua latitudo incipiat[] ab octavo et terminatur ad non gradum, quoniam medietas ipsorum 8 est 4, ideo gradus quartus est gradus medius. Exemplum secundi, ut si aliqua latitudo incipiat ab octavo et terminatur ad quartum, dico, quod gradus sextus est gradus medius, qui est subduplus ad aggregatum ex 8 et 4. Illud enim aggregatum est ut duodecim, et sic universaliter reperies omni seclusa exceptione. 

Notandum est secundo, quod motu[u]m velocitates – quandoque sunt aequales, quandoque inaequales intensive – et si aequales, aut coextensae [sunt] partibus temporis aequalibus aut inaequalibus. Si vero inaequales, idem etiam contingit, quia aut extenduntur per tempora aequalia aut per inaequalia. Si sint inaequales inaequalibus coextensae temporibus, hoc contingit dupliciter, quia aut maior velocitas coextenditur tempori maiori aut minori. Exemplum primi: ut si velocitas ut 4 coextendatur uni horae, hoc est, mobile moveatur ut 4 per unam horam et ut duo per dimidiam. Exemplum secundi: ut si aliquod mobile moveatur velocitate ut quatuor 

8 Faksimile der Seite 146 

per mediam horam et velocitate ut duo per horam. Item si maior velocitas coextendatur tempori minori, et minor maiori, hoc co[n]tingit tripliciter, quia aut proportio temporum excedit proportionem velocitatum, aut proportio velocitatum excedit proportionem temporum, aut proportiones temporum et velocitatum sunt aequales. Exemplum primi: ut si aliquod mobile in hora moveatur ut duo et in quarta horae ut quatuor, tunc proportio temporum excedit proportionem velocitatum. Nam ipsa temporum proportio quadrupla est, velocitatum vero dupla, ut patet aspicienti. Exemplum secundi: ut si mobile moveatur ut unum per horam et in media ut 3, tunc proportio temporum est dupla, velocitatum vero tripla, exsuperat igitur velocitatum proportio temporum proportionem. Exemplum tertii: ut si aliquod mobile moveatur in hora ut unum, et aliud in media ut duo, constat proportionem temporum proportioni velocitatum aequari, utraque enim dupla est, et velocitatum et temporum. Hac longa divisione velocitatum exacta ipsaque velocitate frustrat in concisa, opere pretium est, cuilibet huius divisionis frusto et membro peculiarem propositionem asscriberet. Sit igitur. 

Capitalis propositio: Si velocitates sint aequales aequalibus coextensae temporibus, mobilia in eisdem mota aequalia spatia in eisdem temporibus absolvunt (ceteris aliis deductis), ut puta rarefactione, condensatione spatii et praepostera motione, ut conclusiones sexto physicorum ostendunt. Si vero velocitates aequales per inaequalia labantur tempora, tunc in ea proportione mobile in maiori tempore maius spatium pertransit quam in minori, in qua ipsum maius tempus se habet ad minus. Prima pars huius propositionis patet ex se, et secunda probatur supposito, quod quando aliquid mobile movetur uniformiter per aliquod tempus, in quacumque proportione se habent partes temporis ad totum, in ea proportione se habent spatia pertransita in illis temporibus ad ad spatium pertransitum in toto tempore. Quo supposito arguitur sic: mobile, quod movetur in maiori tempore, et mobile motum in minori tempore moventur uniformiter et aeque velociter. Ergo in aequalibus temporibus aequalia spatia pertranseunt, ut patet ex priori parte, ergo quantum spatium mobile motum in minori tempore pertransit in totali suo tempore, tantum adaequate pertransit mobile motum in maiori tempore in tempore sibi aequali, ergo qualis est proportio illius temporis maioris ad tempus minus, talis est proportio spatii pertransiti in tempore maiori ad spatium pertransitum in tempore minori. Quod fuit probandum. Et consequentia patet ex supposito hoc adiecto, quod qualis est proportio totius temporis ad illam suam partem aequalem tempori minori, talis est proportio ipsius maioris temporis ad illud minus tempus, ut patet de se. 

Secunda propositio: Quando inaequales velocitates aequalibus temporibus coextenduntur, tunc mobile, quod maiore velocitate movetur, in ea proportione maius spatium pertransit quam alterum mobile, in qua se habet velocitas maior ad minorem. Probatur haec propositio – quamvis facilis sit – quia si mobile motum velocitate maiori in tempore A moveretur adaequate aequali velocitate, sicut movetur aliud mobile motum velocitate minori in eodem A tempore, tunc illa duo mobilia aequalia spatia pertransirent in A tempore, ut patet ex priori parte praecedentis propositionis, sed modo illud mobile movetur in aliqua proportione, puta in F, velocius quam tunc, ergo in F proportione maius spatium pertransit quam tunc, et per consequens maius spatium pertransit in eodem tempori in F proportione, | quam alterum mobile motum in eodem tempore [pertransit] velocitate in F proportione minori. 

Tertia propositio: Si inaequales velocitates in aequalibus temporibus coextenduntur, et maior velocitas maiori tempori coextendatur, et minor minori, tunc mobile, quod movetur in maiori tempore, maius spatium pertransit in proportione composita temporis maioris ad tempus minus et velocitatis maioris ad velocitatem minorem. Exemplum, ut si mobile A moveatur per horam ut quatuor, et B per mediam horam ut 2, tunc dico, quod A pertransit maius spatium quam B in proportione composita ex proportione horae ad mediam horam et velocitatis ut 4 ad velocitatem ut duo, et cum utraque illarum proportionum sit dupla, consequens est, quod composita ex eis sit quadrupla, ut patet ex secunda parte, et per consequens in quadruplo maius spatium pertransit A in hora quam B in media hora. Probatur haec conclusio, quia si A et B moverentur aequaliter in illis duobus temporibus inaequalibus, tunc A pertransit maius spatium quam B in illa proportione, in qua se habent tempora, ut patet ex secunda parte primae propositionis, et modo A in aliqua proportione, quae sit F, maiori velocitate movetur quam tunc, ergo in F proportione maius spatium pertransit quam tunc. Patet consequentia, quia quanto in eodem tempore velocitas est maior, tanto in eodem tempore per eandem maius spatium pertransitur. Ergo proportio spatii pertransiti a mobili, quod velocius movetur, ad spatium pertransitum a mobili, quod tardius movetur, componitur adaequate ex proportione temporum et ex proportione velocitatum, quae est F. Quod fuit probandum. Patet, quia inter terminos illius proportionis reperiuntur isti termini puta spatium pertransitum ab illa velocitate maiori in maiori tempore et spatium pertransitum in eodem maiori tempore a velocitate aequali velocitate minoris temporis, et spatium pertransitum a velocitate minoris temporis in minori tempore, sed primi termini ad secundum est proportio F, quae est proportio velocitatum, et secundi ad tertium est proportio temporum, et totalis illa proportio, quae componitur ex illis duabus, est proportio spatii ad spatium, ergo proportio spatii pertransiti a mobili velociori ad spatium pertransitum a mobili tardiori componitur ex proporti[on]e velocitatis ad velocitatem et temporis ad tempus. Quod fuit probandum. Et sic patet propositio. ¶ Ex hac propositione sequitur primo, quod si A moveatur per unam horam velocitate ut 6, et B per mediam horam velocitate ut 4, quod spatium pertransitum ab A erit triplum ad spatium pertransitum a B. Patet, quam ex proportione temporis ad tempus et velocitatis ad velocitatem, quarum prima est dupla, et secunda sesquialtera, componitur tripla proportio, ut patet in his terminis 6 ad 4 et 4 ad 2, et in illa proportione A movetur velocius B, ut patet ex praecedenti propositione, igitur propositum. 

Sequitur secundo, quod si A mobile moveatur per horam velocitate ut 6, et B per duas tertias horae velocitate ut 4, quod in minori proportione maius spatium pertransit A quam B quam in priori casu. Patet, quia tunc spatium pertransitum ab A erit duplum sexquiquartum ad spatium pertransitum a B, et in priori casu erat triplum, ergo in minori proportione maius spatium pertra[n]sit A quam B in isto casu quam in priori. Patet consequentia, quia tripla est maior quam dupla sexquiquarta proportio. Probo tamen maiorem, quia proportio temporis ad tempus est sesquialtera, et similiter velocitatis ad velocitatem, ergo spatium pertransitum ab A est maius spatio pertransito a B in proportione composita ex duabus sesquialteris, quae est dupla sexquiquarta, ut patet in his terminis 9, 6, 4 auxiliantibus his, 

9 Faksimile der Seite 147 

quae dicta sunt in secunda parte huius operis capite quarto. Infinita alia correlaria possunt ex hac propositione inferri. Sed ista sufficiant pro praxi propositionis habenda. 

Qu[ar]ta propositio: si maior velocitas tempori minori coextendatur, et minor maiori, et proportio velocitatis maioris ad velocitatem minoris sit aequalis proportioni temporis maioris ad tempus minus, tunc illa mobilia aequalia spatia pertranseunt. Exemplum, ut si A mobile per mediam horam moveatur velocitate ut 4, et B mobile per horam velocitate ut 2, tunc, quia proportio temporis ad tempus est dupla, et velocitatis etiam ad velocitatem dupla [est proportio], sequitur, quod A et B aequalia spatia pertranseunt. Probatur haec propositio, sit A mobile, quod moveatur per aliquod tempus, et B movetur per tempus in F proportione maius et in F proportione minori velocitate, tunc ibi proportio velocitatum et temporum sunt aequales, quia utraque F. Igitur si A moveatur aequali velocitate cum B, tunc in F proportione B maius spatium pertransit quam A quia in proportione temporis, ut patet ex secunda parte primae propositionis, sed modo A movetur in F proportione velocius quam tunc, ergo in F proportione maius spatium pertransit quam tunc in eodem tempore, ut patet ex secunda propositione, ergo tantum sicut B. Patet consequentia per hanc maximam, quando aliqua duo se habent in aliqua proportione ut puta F. Si minus illorum acquirit illam proportionem F supra se, efficitur aequale alteri, quod erat maius, ut si quaternarius, ad quem octonarius habet proportionem duplam, acquirat supra se proportionem duplam, efficietur aequalis octavario, ut patet de se, et sic patet propositio. ¶ Ex hac propositione sequitur, quod, si A mobile moveatur per horam velocitate ut 4, et B mobile per duas tertias horae velocitate ut sex, B et A aequalia spatia pertranseunt. Probatio, quia qualis est proportio temporis maioris ad tempus minus, talis est proportio velocitatis fluentis per tempus minus ad velocitatem per maius tempus labentem. (Utrobique enim sexquialtera proportio reperitur.) 

Quinta propositio: si maior velocitas tempori et extendatur minori, et minor velocitas maiori tempori, proportioque velocitatis temporis proportionem exsuperet, tunc mobile minori tempore motum maius spatium describet quam mobile motum in maiori tempore in ea proportione, per quam velocitatum proportio temporum proportionem excedit. Exemplum, ut si A mobile moveatur per horam velocitate ut 2, et B mobile per mediam horam velocitate ut 8, tunc B mobile maius spatium pertransit quam A mobile in ea proportione, per quam proportio quadrupla velocitatum excedit proportitionem duplam temporum. Et quia quadrupla velocitatum duplam temporum per duplam antecedit, notum evadet spatium a B mobili pertransitum ad spatium ab A mobili pertransitum duplum esse. Universalit[e]r tamen mathematico ordine hanc quintam propositio[n]em inducamus. Sit enim A mobile, quod per aliquod tempus aliqua velocitate moveatur, et B mobile moveatur per tempus in F proportione minus et velocitate in G proportione maiori quam velocitas, qua movetur A, sitque G proportio maior F, excedatque G proportio proportionem F per H proportionem. Quibus structis sic arguitur, si proportio velocitatis B ad velocitatem A esset aequalis proportioni temporis, [i]n quo movetur A, ad tempus, in quo movetur B, quae est F, A et B aequalia spatia pertransirent in illis temporibus in aequal[i]bus, ut praecedens propositio demonstrat, puta quarta. Sed modo velocitas, qua movetur B, est in H proportione maior velocitate, qua tunc moveretur, ergo in H proportione maius spatium pertransit modo | B quam tunc, quam sicut se habent velocitates in aliquo tempore, ita spatia pertransita in eodem, ut patet ex secunda propositione, et ex consequenti sequitur, quodmodo B in H proportione maius spatium pertransit quam A, quam A et B tunc aequalia spatia pertransirent, et H proportio est proportio, per quam G proportio velocitatum excedit F proportionem temporum, igitur B movetur velocius ipso A in proportione, per quam proportio velocitatum temporum proportionem excedit. Quod fuit probandum. Et sic patet propositio. 

¶ Ex hac propositione sequitur, quod si A mobile moveatur per horam velocitate ut duo, et B mobile per mediam horam velocitate ut 6, quod B mobile in sesquialtero maius spatium pertransit quam A, ut si A pertransit bipedale, B tripedale pertransit. Probatur, quia ibi velocitates inaequales in aequalibus temporibus coextenduntur, et m[a]ior velocitas maiori tempori coextenditur, ut notum est, et proportio velocitatum, quae tripla est, proportionem temporum duplam per proportionem sexquialteram antecedit. Haec igitur signum est et fidem facit auxilio praecedentis propositionis B mobile in suo tempore, quo movetur, sexquialterum spatium ad spatium ab A exactum absoluisse, quod ab in[]itio propositum fuit. ¶ Inferas tuo marte multa huic similia correlaria, quae ex hac quinta propositione suam demonstrationem facile sortiuntur. Hoc enim correlarium, ideo positum est, quia necesse intelligentem particularia fantasmata speculari teste philosopho secundo de anima, nihilque est in intel[l]ectu qu[am] prius, quodammodo singulariter praecesserit in sensu de sensu et se[n]sato asserente philosopho. 

Sexta propositio: ubicumque maior velocitas tempori coassistit minori, minor vero maiori, estque proportio velocitatum temporum proportione inferior et minor, tunc mobile, quod maiori velocitate moventur, minori tempore minorem magnitudinem describet quam mobile motum maiori tempore in ea proportione, per quam temporum proportio velocitatum proportioni effertur. Exemplum, ut si A mobile per horan moveatur velocitate ut duo adaequate, et B per mediam horam moveatur velocitate ut 3, tunc B minus spatium pertransit quam A – minus inquam – in proportione sexquitertia, per quam sexquitertiam proportio dupla temporum proportionem sesquialteram velocitatum excedit, si igitur A pedale pertranseat, B tres quartas describet. Generaliter tamen iudicatur conclusio isto modo. Sit A mobile per aliquod tempus motum aliqua velocitate, B vero per tempus in G proportione minus, et moveatur B in F proportione minori, tamen G velocius ipso A, excedatque G proportio proportionem F per H proportionem, tunc A maius spatium pertransit in H proportione quam B. Quod probatur sic, quia si proportio velocitatis, qua moveatur B mobile per tempus minus, esset aequalis proportioni temporum, tunc B aequale spatium pertransiret adaequate in tempore, in quo movetur spatio pertransito ab A in tempore, in quo A movetur, ut patet ex quarta pr[o]positione, sed modo movetur B velocitate in H proportione minori quam tunc, igitur B pertransit modo spatium in eodem tempore in H proportione minus quam tunc, ut patet ex secunda propositione, et ex consequenti sequitur, quod m[o]do pertransit B spatium in H proportione minus quam A, quam A pertransit tantum, sicut tunc pertransibat B. Quod fuit probandum. Sed iam probo illam minorem, videlicet quod B modo movetur velocitate in H proportione minori quam tunc, per hanc maximam. Quandocumque duo numeri inaequales habent duas proportiones ad unum tertium, tunc in 

10 Faksimile der Seite 148 

ea proportione minor illorum est minor maiore, per quam maior proportio excedit minorem, id est, per quam proportio maioris numeri ad illud tertium excedit proportionem minoris numeri ad idem tertium. Quoniam proportio maioris ad idem tertium componitur ex proportione illius ad numerum minorem, et numeri minoris ad idem tertium. Hoc est primum correlarium quartae conclusionis quartis capitis secundae partis. Sed ita est in proposito, quod si proportio velocitatis maioris ad velocitatem minorem esset aequalis G proportioni temporum, tunc ipsa iam excederet proportionem, quam modo habet, puta F per H proportionem, ut patet ex casu, ergo modo illa velocitas maior est in H proportione minor quam tunc. Quod fuit probandum. ¶ Et ut haec theoretica non sit expers practice tale, infero correlarium: si equus A moveretur velocitate ut 4 in hora adaequate, et equus B velocitate ut 6 adaequate in media hora, et ipse equus B 6 leucas pertranseat in illa media hora, necesse est equum A ad extremum 8 leucarum in hora devenire. Probatur, quia in praedicto casu equus B motus in minori tempore maiore velocitate movetur ipso equo A moto in maiore tempore, et proportio dupla temporum excedit proportionem velocitatum per sexquitertiam proportionem, igitur auxilio praecedentis propositionis perspicuum evadit equum A in sexquitertio maius spatium pertransire, quam equus B pertranseat. Sed equus B ex casu sex leucarum spatium pertransit in illa media hora, igitur A spatium 8 leucarum in hora complevit, (quandoquidem 8 ad 6 sesquitertia est proportio). ¶ Hoc senario numero propositionum lata illa distinctio velocitatum fimbrias suas colligat, siquidem senarius perfectus est. 

Notandum est tertio tangendo materiam secundi argumenti pricipalis ante oppositum, quod aliud est latitudinem motus uniformiter intendi aut uniformiter remitti, aliud vero mobile uniformiter moveri. Unde cum latitudo motus uniformiter intenditur a non gradu vel a gradu ad certum gradum, semper mobile uniformiter difformiter movetur. Et similiter quando uniformiter remittitur aliquis motus a gradu usque ad non gradum vel certum gradum, tunc mobile uniformiter difformiter movetur. Nam latitudo motus si acquisita aut deperdita coextenditur uniformiter difformiter temporis partibus, ita quod illius motus cuiuslibet partis gradus medius tanto exceditur a summo, quantum excedit infimum vel non gradum, quare definitive arguendo relinquitur omnem talem motum sic uniformiter acquisitum vel deperditum esse uniformiter difformem. Hanc materiam latius inquiras recurrendo ad Hentisberum in suo tractatu de motu locali capite primo in fine adiunctis eiusdem Hentisberi commentariis. Insuper adverte, quod latitudo motus tripliciter acquiri potest, ut ad propositum nostrum sufficit, vel deperdi. Quod ideo dixerim, quam multis aliis modis et remitti et intendi potest motus latitudo, sed hi tres dumtaxat numero quadrant proposito. Primo modo latitudo motus potest acquiri vel deperdi continuo uniformiter, ut puta quando mobile in partibus aequalibus temporis aequales gradus velocitatis acquirit vel deperdit continue. Secundo potest latitudo motus acquiri vel deperdi continuo velocius et velocius, ut puta quando mobile in qualibet parte sequenti temporis continuo maiorem latitudinem motus deperdit quam in aequali praecedenti. Tertio modo potest latitudo motus sive velocitas acquiri vel deperdi continuo tardius et tardius, ut puta quando mobile continuo in qualibet parte sequenti temporis minorem latitudinem motus deperdit quam in aequali praecedente. ¶ Qua divisione praemissa pono aliquas propositiones. 

Prima propositio: si aliquis motus | uniformiter continuo intendatur vel remittatur a certo gradu usque ad certum gradum vel ad non gradum, eius velocitas gradui medio correspondet. Probatur haec propositio, quia talis motus sic inten[]sus aut remissus est uniformiter difformis, ut patet ex principio huius notabilis auxiliante definitione motus uniformiter difformis, igitur eius velocitas gradui suo medio correspondet. Patet haec consequentia ex notabili primo huius capitis. 

Secunda propositio: omnis motus continuo velocius et velocius intensus correspondet quantum ad velocitatem gradui remissiori medio gradu inter extremum intensionis eius in principio motus et inter extremum intensionis in fine motus. Exemplum, ut si motus ut 4 continuo intendatur per horam, quousque sit ut 8, ita quod acquirat quatuor gradus in hora, et illam latitudinem 4 graduum continuo velocius et velocius acquirat in ipsa hora, tunc tota eius velocitas correspondet minori gradui sexto gradu, qui est gradus medius inter 4 et 8, hoc est, illud mobile non tam velociter movetur in illa hora adaequate, quam velociter moveretur, si continuo uniformiter moveretur gradu sexto medio. Probatur haec propositio: sit A motus, et [sit] B motus aequalis ei in principio, et volo, quod A per horam continuo uniformiter intendatur usque ad C gradum acquirendo certam latitudinem, et B continuo in eadem hora adaequate intendatur etiam usque ad C gradum acquirendo eandem latitudinem adaequate, quam acquirit A, ita quod in fine temporis A et B erunt aequales C gradu, sicut etiam in principio sunt aequales, acquirat tamen B illa in latitudinem continuo velocius et velocius, quam A acquirit continuo uniformiter. Et arguitur sic: velocitas ipsius A correspondet gradui medio inter C gradum et gradum, in quo est A et B in principio, ut patet ex praecedente proportione, et velocitas motus B correspondet minori gradui quam gradui medio, igitur omnis motus continuo velocius et velocius intensus correspondet gradui remissiori medio gradu inter extremum eius intensius et remissius. Patet haec consequentia, quia idem est gradus medius vel aequalis inter extrema A motus et B motus, ut ponit casus. Et sicut probatur de B in proposito, ita arguendum est de quocumque alio motu continuo velocius et velocius intenso. Sed iam restat probare minorem, quia motus B in quolibet instanti intrinseco erit minor motu A, ergo velocitas eius in toto tempore adaequate minori gradui correspondebit quam velocitas ipsius A. Sed velocitas ipsius A correspondet gradui medio inter extrema ipsius B, ut probatum est, ergo velocitas B correspondet gradui remissiori gradu medio inter extrema eiusdem B. Quod fuit probandum. Sed iam probo illud antecedens videlicet, quod motus B in quolibet instanti intrinseco est minor et remissior motu A, quia si non detur aliquod instans, in quo sit maior vel aequalis, et sit C tale instans illius horae, et arguitur sic: in C instanti B motus est aequalis A motu cum casu posito, ergo aequales latitudines acquisiverunt adaequate in tempore terminato ad illud instans, et aequales restant acquirendae usque ad C gradum, et continuo B velocius acquiret latitudinem illam acquirendam post illud instans, quam antea idem B acquisiverit, et antea A et B acquisiverunt aequaliter, et continuo A post illud instans acquiret uniformiter, ergo velocius et citius B acquiret C gradum quam A, quod est contra casum. Et eodem modo probabitur, quod in illo instanti motus B non est intensior motu A, quia iam sequeretur, quod ante illud instans velocius acquirebat B latitudinem motus quam A, et post illud instans velocius acquiret ex casu residuum latitudinis acquirendae quam antea, et per consequens post illud instans velocius et citius acquiret residuum latitudinis acquirendae quam A, et sic citius habebit C gradum quam A, quod est contra casum. Et sic patet illa minor probata. 

11 Faksimile der Seite 149 

¶ Et confirmatur, quia A et B in principio sunt motus aequales, et in toto tempore debent acquirere aequales latitudines, et in quolibet instanti intrinseco est plus acquisitum ipsi A quam B illius latitudinis acquirendae, igitur continuo A motus est maior B. Consequentia est satis manifesta, et minor patet, quia continuo in quolibet instanti intrinseco maior pars restat acquirenda talis latitudinis ipsi B quam ipsi A, cum B continuo velocius et velocius acquirat, et A uniformiter, igitur in quolibet instanti intriuseco maior pars latitudinis est acquisita ipsi A quam ipsi B, et haec est quinquagesima quarta conclusio calculatoris in capitulo de motu locali. 

Tertia propositio: omnis motus velocius et velocius deperditus quantum ad transitionem spatii inte[n]siori gradui gradu medio correspondet, hoc est, tale mobi[l]e motum illo motu maius spatium in illo tempore pertransit adaequate, quam si gradu medio inter extrema illius motus continuo uniformiter moveretur in illo tempore. Haec propositio probata est in secundo argumento principali ante oppositum in hoc capite. Et haec est quinquagesima secunda conclusio calculatoris in praedicto capitulo de motu locali. ¶ Ex hac conclusione sequitur, quod si A mobile moveatur in hora incipiendo ab octavo usque ad quartum continuo uniformiter remittendo motum suum, et B mobile moveatur etiam in hora ab octavo usque ad quartum continuo velocius et velocius remittendo motum suum, et A pertransit 6 pedalia, B pertransibit plusquam sex pedalia. Probatur, quia motus A correspondet gradui medio, qui est sextus, ut patet ex prima propositione, motus vero B correspondet gradui intensiori medio, ut patet ex tertia propositione. ¶ Sequitur secundo, quod si A incipiat moveri ab octavo usque ad quartum uniformiter, et B in eodem tempore moveatur incipiendo a decimo sexto usque ad duodecimum perdendo latitudinem 4 graduum velocius et velocius, tunc continuo B movebitur plusquam in duplo velocius A, et continuo pertransibit plusquam duplum spatium ad spatium in eodem tempore pertransitum ab A. Probatur, quia quando A et B continuo et uniformiter remitterentur perdendo 4 gradus, continuo inter A et B [e]sset maior proportio quam dupla, immo continuo maior et maior, quam per aequalem remssionem maioris et minoris, maiorem proportionem deperdit minus quam maius, ut patet ex octava suppositione quartis capitis secundae partis, et quando sunt duo numeri se habentes in aliqua proportione et continuo aequaliter remittuntur, continuo se habent in maiori et maiori proportione, igitur sequitur: si illae velocitates A et B, quae se habent in proportione dupla, aeque velociter remittantur, continuo se habebunt in maiori proportione quam dupla, et sic B co[n]tinuo se haberet in maiori proportione quam dupla ad ipsum A, sed modo continuo est minus deperditum ipsi B quam ipsi A, cum continuo restat ei plus deperdendum, ut facile patet ex casu, igitur per locum a maiori continuo B motus erit plusquam in duplo velocior ipso A motu. Ex quo sequitur alia pars correlarii, quod videlicet plusquam duplum spatium pertransibit B quam A in eodem tempore. ¶ Sequit[u]r tertio, si tam [A] quam B remitterentur ad suum subduplum in hora, ita quod A deperdat in hora continuo uniformiter quatuor gradus, et B octo continuo velocius et velocius, sequitur, quod B plusquam duplum spatium in hora pertransibit quam A. Probatur, quia si B motus uniformiter remitteretur per totam illam horam perdendo uniformiter 8 gradus, sicut A perdit uniformiter | quatuor, tunc motus eius corresponderet gradui medio duplo ad gradum medium motus A, ut patet, quia gradus medius inter 16 et 8 est 12, et gradus medius inter 8 et 4 est ut 6, modo 12 ad 6 est proportio dupla, sed modo quando sic velocius et velocius et velocius remittitur sua velocitas, correspondet intensiori gradui quam tunc, ut patet ex tertia propositione, igitur in nostro casu B motus in illa hora pertransibit plusquam duplum spatium ad spatium pertransitum ab A in eodem tempore. Quod tamen prima fronte videtur mirabile, quia in principio motus B est duplus ad motum A adaequate, et in toto tempore perdit motum duplum ad motum, quem perdit A, tamen bene aspicienti materiam proportionum apparebit necessarium. 

Quarta propositio: omnis motus tardius et tardius intens[]us quantum ad pertransitionem spatii gradui intensiori medio correspondet. Probatur, quia si continuo uniformiter talis motus, (qui sit a), intenderetur, ipse praecise corresponderet gradui medio quantum ad pertransitionem spatii, ut patet ex prima propositione, sed modo in quolibet instanti intrinseco temporis, per quod A mobile movetur, movetur velocius quam tunc, ergo velocitas eius modo correspondet gradui intensiori medio, quia intensiori quam tunc. Consequentia patet, et arguitur minor, et volo, quod B sit motus in principio horae aequalis ipsi A, qui in eadem hora uniformiter continuo acquirit aequalem latitudinem illi, quam acquirit A adaequate ipso, tamen A tardius et tardius continuo acquirente, ita quod sicut sunt aequales in principio, ita sunt aequales in fine. Quo posito sic argumentor: continuo B motus erit remissior ipso A motu, et A motus intensior, igitur continuo A motus erit intensior quam tunc, quando continuo uniformiter intenderetur sicut B, quia B et A tunc semper essent aequales. Sed iam probo, quod continuo A motus erit intensior B motu, quia si non detur aliquod instans, in quo non sed in illo sit aequalis vel remissior ipso B, et sit tale instans C terminans unam quartam gratia argumenti vel quintam, vel sextam – non est cura. Et arguo sic: in illo instanti A motus et B motus sunt aequales per te, et in principio erant aequales ex casu, et in tota hora adaequate aequales latitudines sunt eis acquisitae, et aequales restant acquirendae post illud instans C, et quantam latitudinem B acquisivit in illa quarta, tantam acquiret in qualibet sequenti adaequate, quia uniformiter intenditur, et A ex casu in qualibet quarta sequenti minus acquirit quam in illa praecedenti C, ut patet ex casu, quoniam continuo tardius et tardius acquiret illam latitudinem acquirendam, igitur in toto tempore sequenti C minorem latitudinem acquiret quam B, et antea acquisiverat aequalem, igitur in toto tempore adaequate minorem latitudinem acquiret A quam B, quod est contra casum, Et sic probabitur per locum a maiori, quod in nullo instanti motus A est remissior motu B. Et sicut argutum est su[]m[e]ndo quartam temporis, argui potest sumendo quamcumque partem aliquotam vel non aliquotam vel quotcumque, et sic patet proportio. Et haec est quinquagesima quinta calculatoris. 

Quinta proportio: omnis motus tardius et tardius deperditus gradui remissiori medio correspondet. Probatur haec propositio. Sit enim A motus ut 8, qui in hora sequenti adaequate perdat aliquam latitudinem in hora, ita quod maneat in fine minor C gradu, et hoc continuo uniformiter. B vero sit motus aequalis ipsi A et perdat in hora adequate 

12 Faksimile der Seite 150 

tantam latitudinem sicut A, ita quod in fine A et B maneant aequales. Quo posito sic argumentor: velocitas ipsius motus A correspondet gradui medio inter extremum ipsorum A et B in principio, et e[x]tremum eorundem in fine – dico eorundem, quia illi motus tam in principio quam in fine sunt aequales, ut ponit casus. Sed B motus in quolibet instanti intrinseco illius temporis erit remissior ipso A motu, igitur B motus remissiori gradui correspondet quam A motus, et A motus correspondet gradui medio inter extrema ipsius B, igitur B motus correspondet gradui remissiori, quam sit gradus medius inter extrema eiusdem B motus. Consequentia patet, quia extrema B motus et A motus sunt aequalia. Et maior patet ex prima propositione, et minor probatur sic, quia si non detur oppositum illius minoris videlicet, quod non in quolibet instanti et cetera, sed in aliquo aequalis vel intensior, et [...] sit illud C terminans unam sextam gratia argumenti, et arguo sic: in illo instanti C per te motus A et motus B sunt aequales, et in principio erant aequales et aequalem latitudinem debent deperdere, ergo aequalem latitudinem deperdiderunt, et aequales restant ab eis deperdendae, et A in qualibet sexta sequente C tantam deperdet sicut in praecedente, quia uniformiter deperdet, et B in qualibet sequente sexta minus deperdet quam in praecedente, quia continuo tardius et tardius deperdit, ut dicit casus, et in praecedente deperdet tantum sicut A, igitur in qualibet sexta sequente C instans B minus deperdet, quam A ei ante C instans aequalem latitudinem deperdit, ergo in toto tempore illius horae B minorem latitudinem deperdit quam A, quod est contra casum. Et eodem modo probabitur iuvamine tamen loci a maiore, quod B motus in instanti non est intensior a C motu. Et sic patet minor, et per consequens tota propositio. Et haec est qui[n]quagesima tertia conclusio calculatoris in dicto capitulo de motu locali. ¶ Ex hac propositione sequitur, quod si mobile A moveatur uniformiter difformiter ab octavo usque ad quartum perdendo latitudinem motus ut 4 uniformiter continuo in hora, et mobile B moveatur in eadem hora ab octavo usque ad quartum perdendo etiam latitudinem ut 4 continuo tardius et tardius, tunc si A pertranseat 6 pedalia, B pertransibit minus. Probatur, quia si A transit 6 pedalia, illa 6 pedalia sunt spatium natum transiri a gradu medio ipsius motus A uniformiter difformis, et motus B correspondet remissiori gradui gradu medio, igitur mobile B minus pertransit quam sex pedalia. Minor patet ex praecedenti propositione. 

Sexta propositio: omnis latitudo motus consimiliter omnino perdita et acquisita uni gradui omnino correspondet. Volo dicere, quod si sit aliquis motus, qui gratia exempli incipiat a non gradu et intendatur usque ad octavum in hora adaequate uniformiter, et alter motus vel idem remittatur in hora uniformiter, sicut intendebatur, ab octavo usque ad non gradum, tales motus eidem gradui correspondet. Et sic exemplificatu in aliis. Probatio huius conclusionis facilis est, quoniam tanta omnino est latitudo motus in via intensionis, quanta in via remissionis, quoniam omnino eodem modo intenditur sicut remittitur. Igitur eidem gradui correspondet. Et sic patet ista propositio, quae etiam superius probata est in tractatu de motu penes causam. Et haec est quinquagesima sexta conclusio calculatoris in capitulo praeallegato de motu locali. In quo loco idem calculator facit paruam obiectionem contra | hanc conclusionem Vide eum ibi. 

Notandum est quarto – ut superius tactum est – velocitates motuum dupliciter investigari posse, videlicet ex commensuratione spatiorum pertransitorum, et hoc ab effectu et a posteriori, quod in praesenti tractatu inquirimus, alio vero modo ex commensuratione et proportionalitate proportionum, a quibus proveniunt velocitates illae. Et cum aliqua ars ab huius scientiae primoribus tradita sit ad investigandas proportiones, a quibus velocitates motuum proveniunt. Ideo non abs re aliquas propositiones huic famulantes investigationi praesenti operi inserendas censui. 

Prima propositio: quavis velocitate data et quacumque proportione proposita, cuiusdam artis ingenio investigari potest, an data velocitas a proposita proportione aut a minori aut maiore proveniat. Exemplum: ut data aliqua velocitate, quae sit A – cuius proportionem, a qua videlicet proveniat talis velocitas A, ignoramus – et proposita quavis proportione, videlicet dupla vel tripla vel quadrupla, investigare et per artem invenire, quod videlicet talis velocitas A proveniat a tali proportione dupla proposita (exempli gratia,) an a maiori, an a minor[i]. Ad cuius probationem sit illa velocitas A, qua moveatur C resistentia a B potentia, cuius proportionem ad C ignoro, et sit proportio proposita mihi nota dupla exempli gratia, tunc ad investigandum et inveniendum, an illa velocitas A proveniat a maiori proportione quam dupla, an a minori, an ab aequali, capio unam aliam potentiam, quae sit D, quae se habet in proportione dupla ad B potentiam, et moveat utraque illarum potentiarum C resistentiam, et manifestum est, quod D velocius movet C resistentiam quam B. Tunc his sic positis arguitur sic: vel D movet C resistentiam in duplo velocius, quam B moveat eandem resistentiam, vel magis quam in duplo velocius, vel minus. Si in duplo velocius sequitur, quod proportio D ad C est dupla ad proportionem B ad C. Patet, quia velocitates sunt duplae, et talis proportio componitur ex proportione D ad B et B ad C, ut patet ex quarto capite secundae partis, ergo proportio B ad C est medietas proportionis D ad C, ergo residuum, puta proportio D ad B, est reliqua medietas, et est proportio dupla ut positum eum, ergo alia proportio B ad C est etiam proportio dupla, cum sit alia medietas. Modo omnes medietates sunt aequales. Et sic inventum, quod illa est velocitas A, provenit a proportione dupla, quod fuit investigandum. Si vero D potentia maior moveat C resistentiam magis quam in duplo velocius quam B, tunc sequitur, quod proportio D ad C est maior quam dupla ad proportionem B ad C, quia velocitas proveniens a proportione D ad C est maior quam dupla ad velocitatem provenientem a proportione B ad C, et proportio D ad C componitur adaequate ex proportione D ad B et B ad C, ergo proportio B ad C est minus quam medietas, quia alias tota proportio non esset maior quam dupla ad illam sui partem, et totum residuum, puta proportio D ad B, est proportio dupla et est maius, igitur illa proportio B ad C est minor dupla, quod a principio fuit investigandum. Si autem D potentia maior moveat C resistentiam minus quam in duplo velocius, tunc illa proportio D ad C est minor q[u]am dupla ad proportionem B ad C, patet, quia velocitas est minor quam dupla, et ultra est minor quam dupla ad proportionem B ad C, ergo illa proportio B ad C est maior quam medietas totius proportionis D ad C. Consequentia patet 

13 Faksimile der Seite 151 

de se, et ultra est magis quam medietas, ergo totum residuum – quod est proportio D ad B – est minus illa proportione B ad C, et illud residuum est proportio dupla, ergo illa proportio B ad C est maior proportio quam dupla, a qua provenit illa velocitas A. Et sic habetur, quod velocitas A provenit a maiore proportione quam dupla, quod a principio fuerat investigandum. Et sic universaliter probabis proposita proportione vel tripla vel sesquialtera vel quavis mutatis mutandis. 

Secunda propositio: captis duabus potentiis inaequalibus moventibus eandem resistentiam et scita proportione inter illas potentias, scita etiam proportione, in qua maior potentia velocius movet resistentiam, quam minor moveat eandem, artificio quodam reperitur, quanta est proportio maioris potentiae ad resistentiam, et etiam minoris potentiae ad eandem resistentiam. Exemplum, ut posito quod Socrates sit duplae potentiae ad Platonem, et moveat tam Socrates quam Plato A mobile, et moveat Socrates illud A mobile in sexquialtero velocius Platone, tunc volo investigare, quae proportio sit Socratis ad illam resistentiam A, et [sit] Platonis ad eandem resistentiam. Quod sic ostenditur: Socrates movet in sexquialtero velocius A resistentiam quam Plato, ergo proportio Socratis ad A est sesquialtera ad proportionem Platonis ad idem A, et ultra est sexquialtera ad proportionem Platonis ad A, ergo proportio Platonis ad A est duae tertiae proportionis Socratis ad A, quia semper subsexquialterum ad aliquid est duae tertiae illius, et ultra illa proportio Platonis ad A est duae tertiae proportiones Socratis ad A, ergo totum residuum est una tertia totius proportionis Socratis ad A, ut patet de se, et totum residuum est proportio Socratis ad Platonem dupla nota, ut positum est, quia totalis proportio Socratis ad A componitur ex proportione Socratis ad Platonem et Platonis ad A, ut patet ex quarto capite secundae partis, ergo dupla proportio est una tertia proportionis Socratis ad A, et per consequens tota proportio Socratis ad A est tripla a[d] proportionem duplam, quae est una tertia eius, et sic est proportio octupla, cum octupla sit tripla ad duplam, ut patet ex secunda parte octava conclusione sexti capitis. I[n]ter terminos enim proportionis octuplae reperiuntur 4 termini computatis extremis continuo proportionabiles proportio[n]e dupla. Et sic habetur, quae proportio sit Socratis ad A resistentiam, quod fuit investigandum, et quia proportio Platonis ad A est duae tertiae proportionis Socratis ad A, quae est octupla, consequens est, quod sit quadrupla, quam quadrupla est duae tertiae proportionis octuplae, et sic habetur, quae proportio sit Platonis ad A, quod a principio exstitit perscrutandum. 

Tertia propo[si]tio: data quavis potentia movente duas resistentias inaequales, inter quas resistentias est proportio nota, notumque est, in qua proportione velocius data potentia moveat minorem quam maiorem, mathematica industria proportiones potentiae ad utramque resistentiam, quales videlicet existant, investigare licebit, ut si Socrates proiiciat in aliquo tempore lapidem A et in eodem vel aequali lapidem B minorem, inter quos lapides est proportio nota gratia argumenti dupla, moveatque Socrates illos lapides ab eadem virtute, sitque scitum, quod moveat Socrates B lapidem in triplo velocius quam A lapidem gratia exempli, iam investigare intendimus ingenio artis mathematicae, quae est illa proportio, a qua Socrates movet B lapidem, et quae sit illa, a qua moveat A lapidem, utrum videlicet dupla an tripla aut aliqua alia, quia hoc ignotum est. Non enim sequ[it]ur: movet | in triplo velocius B quam A, ergo a proportione tripla movet B. Quando enim aliquid movet aliud a proportione dupla, adhuc dabitur aliquid, quod in triplo tardius in eodem tempore ab eodem movetur, ut superius dictum est. His suppositis volo investigare, a qua proportione Socrates movet A lapidem, et a qua B lapidem, et arguo sic: Socrates in triplo velocius movet B quam A, ergo sequitur, quod propo[r]tio Socratis ad B lapidem est tripla ad proportionem Socratis ad A lapidem, (siquidem proportio velocitatum proportionem proportionum insequatur, et econtra,) et ultra proportio Socratis ad B est tripla ad proportionem Socratis ad A, igitur proportio Socratis ad A est una tertia totius proportionis Socratis ad B, et proportio Socratis ad B componitur ex proportione Socratis ad A et A ad B adaequate, ut patet intelligenti quartum caput secundae partis, et proportio Socratis ad A est una tertia, ut dictum est, ergo residuum, puta proportio A ad B, sunt duae tertiae, et illa proportio A ad B est dupla nota, ut positum est. Ergo proportio dupla est dupla ad proportionem Socratis ad A, quae est una tertia, et dupla duae tertiae proportionis Socratis ad B. Modo duarum tertiarum ad unam tertiam est proportio dupla. Et sic habetur, quod illa proportio Socratis ad A, qua Socrates movet A lapidem, est subdupla ad duplam. Est enim medietas duplae, quod erat inquirendum. Et sic similiter habetur, quod illa proportio Socratis ad B – id est, qua Socrates movet B lapidem, est sexquialtera ad duplam – componitur ex dupla A ad B et medietate duplae Socratis ad A, quod fuit alterum investigandum. ¶ Ex hac propositione sequitur, quod si Socrates moveat B lapidem per tantum spatium, quantus est diameter quadrati, et A lapidem per tantum spatium, quanta est costa eiusdem quadrati, tunc proportio Socratis ad A lapidem, id est, a qua movet A lapidem, est plusquam dupla ad proportionem duplam, et proportio, qua Socrates movet B lapidem, est plusquam tripla ad duplam. Quod sic probatur, quia tota proportio Socratis ad B se habet ad proportionem Socratis ad A, sicut diameter se habet ad costam, ergo proportio Socratis ad A est sicut costa, et proportio Socratis ad B est sicut diameter, et sic proportio A ad B est sicut excessus diametri ad costam, sed ille excessus est minor quam subduplus ad costam, quia costa continet illum excessum plusquam bis, ut patet ex secunda conclusione et eiusdem probatione quarti capitis primae partis, et illa proportio A ad B, quae est sicut excessus diametri ad costam, est proportio dupla, ut positum est, et est minus quam subdupla ad proportionem Socratis ad A, ut dictum est. Igitur proportio Socratis ad A est maior quam dupla, quod fuit unum probandum. Sed quod proportio Socratis ad B sit maior quam tripla ad duplam, iam pene argutum est. Componitur enim illa ex proportione Socratis ad A, quae est plusquam duae duplae, ut probatum est, et ex proportione A ad B dupla, ergo componitur ex una dupla et duabus maioribus dupla adaequate, et sic continet plusquam tres duplas, consequens est igitur, ut sit illa proportio Socratis ad B maior quam tripla ad duplam. Q[u]od fuit alterum inducendum. ¶ Ex quo sequitur, quod illa proportio Socratis ad B est plusquam octupla. Est enim octupla adaequate tripla ad duplam, ut patet ex octava conclusione sexti capitis secundae partis, et illa Socratis ad B maior quam tripla ad duplam, ut probatum est. Igitur propositum. 

Quarta propositio: data quavis velocitate quavisque signata proportione arithmetico apparatu an proportio, a qua provenit illa velocitas, proportioni signatae commensurabilis existat, an non, opere pretium erit investigare. Ut esto, quod Socrates moveat A lapidem velocitate B, et ignotum sit, a qua proportione 

14 Faksimile der Seite 152 

movet Socrates, sive proveniat illa velocitas B, et proponitur sive signatur proportio sexquialtera, tunc arithmeticis principiis investigare possumus, an proportio Socratis ad A, a qua provenit velocitas B, sit proportioni sexquialterae propositae et signatae commensurabilis, nec ne. Quo investigatur isto modo, capio unum lapidem, qui sit C, subsexquialterum ad A lapidem, et moveat Socrates in eodem tempore vel aequali ab eadem virtute A et C, tunc arguitur sic: vel spatium, per quod Socrates in illo tempore movet C, est commensurabile spatio, per quod movet A in eodem tempore, vel non. Si non, iam illa spatia se habebunt in aliqua proportione irrationali, et sic proportio sexquialtera erit irrationalis proportioni, a qua provenit velocitas B, quae est Socratis ad A. Quod probatur sic, quia si illa spatia sint incommensnrabilia, consequens est, quod proportiones, a quibus proveniunt, sint incommensurabiles. Sed proportiones, a quibus proveniunt, sunt Socratis ad A et Socratis ad C, igitur proportio Socratis ad C est incommensurabilis proportioni Socratis ad A minori proportione Socratis ad C. Igitur excessus, qu[o] proportio Socratis ad C excedit proportionem Socratis ad A, est incommensurabilis proportioni Socratis ad A. Probatur haec consequentia per hanc maximam. Quandocumque duo sunt incommensurabilia, excessus, quo maius illorum excedit minus est etiam incommensurabilis minori, ut probatum est in prima parte huius operis de excessu diametri ad costam quarto capite suppositione quarta, saltem ex modo probandi illius suppositionis patet. Sed proportio Socratis ad C est incommensurabilis proportioni Socratis ad A, et excedit proportionem Socratis ad A per proportionem A ad C sexquialteram, ergo per datam maximam proportio sexquialtera est incommensurabilis proportioni Socrates ad A, a qua provenit velocitas B, quod fuit unum inducendum. Si vero spatia illa videlicet, per quae Socrates movet C et movet A, sint commensurabilia, sequitur, quod propoitio sexquialtera proposita est commensurabilis proportioni Socratis ad A, a qua provenit B velocitas. Quod sic probatur, quia si illa spatia sunt commensurabilia, sint illa commensurabilia, argumenti gratia proportione dupla, et sequitur, quod proportio Socratis ad C est dupla ad proportionem Socratis ad A. Consequentia saepius arguta est, ergo sequitur, quod illa proportio Socratis ad A est medietas eius, et per consequens totum residuum, quod est proportio A ad C est alia medietas, sed totum residuum est proportio sexquialtera, ergo proportio sexquialtera est medietas illius proportionis Socratis ad C, et alia medietas est proportio Socratis ad A, a qua provenit velocitas B, ergo sequitur, quod illa proportio Socratis ad A, a qua provenit velocitas B, est aequalis proportioni sexquialterae, et sic probabis particulariter in omnibus. Sed universaliter probabitur sic: proportio Socratis ad C est commensurabilis proportioni Socratis ad A, a qua provenit velocitas B, et proportio Socratis ad C excedit proportionem Socratis ad A et cetera per proportionem A ad C sexquialteram adaequate, igitur proportio illa A ad C sexquialtera est commensurabilis proportioni Socratis ad A, quod fuit inducendum. Consequentia patet per hanc maximam: quotienscunque duo inaequalia sunt commensurabilia, excessus maioris supra minus est ipsi minori commensurabilis, quam est pars aliquota vel partes aliquotae utriusque, ut patet ex sexta suppositione quarti capitis secundae partis. Sed in proposito proportio illa sexquialtera A ad C est excessus, quo proportio Socratis ad C excedit proportionem Socratis ad A, a qua provenit B velocitas, ergo proportio sexquialtera commensurabilis est proportioni | Socratis ad A, a qua provenit velocitas B, quod fuit inducendum. ¶ Et hae quatuor conclusiones, (ne alienis spoliis triumphare videamur) ex officina et perspicaci Minerva doctissimi magistri Nicolai Ho[]ren depromptae sunt et excerptae, quas in suo tractatu proportionum quarto capite suis fulcimentis et probationibus mathematicis reperies munitas. ¶ Exactis notabilibus et ex consequenti parte huius corporis nostrae quaestionis absoluta ad secundam partem accedendum est, in qua multae et egregiae conclusiones, (quibus medieantibus quaestio dissolvetur,) probabuntur atque inducentur. 

Prima conclusio: diviso aliquo corpore sive latitudine per partes proportionales, quavis libuerit, proportione totum illud corpus sive latitudo se habet ad residuum a prima parte proportionali in ea proportione, qua ipsum sive latitudo ipsa dividitur. Haec est prima et fundamentalis conclusio, cui innuitur quintum caput primae partis huius operis. Vide eam ibi. 

Secunda conclusio: diviso aliquo tempore per partes proportionales quavis proportione, et sit aliquod mobile, quod aliquanta velocitate moveatur in prima parte proportionali et in secunda in duplo maiori quam in prima et in tertia in triplo maiori quam in prima et in quarta in quadruplo maiori et sic consequenter ascendendo per omnes species proportionis multiplicis, talis velocitas totius illius temporis et omnium illarum partium proportionalium se habet ad velocitatem primae partis proportionalis in ea proportione, in qua se habet totum illud tempus sic divisum in ordine ad primam partem proportionalem. Ut si illud tempus divisim fuerit in partes proportionales proportione sexquialtera, et velocitates illarum partium proportionalium disponantur modo, quo ponit conclusio, tunc dico, quod totalis illa velocitas totius illius temporis adaequate se habet ad velocitatem primae partis proportionalis in proportione tripla. Ex eo [sequitur], quod totum tempus divisum per partes proportionales proportione sexquialtera se habet ad primam proportionalem in proportione tripla. Est enim prima pars una tertia totius, ut ostendit quarta conclusio quinti capituli primae partis huius operis. Probatur tamen universal[i]ter haec conclusio, et suppono, quod quando velocitates se habent eo modo, quo textus conclusionis praetendit, tunc per totum tempus extenditur illa velocitas, quae extenditur per primam partem proportionalem, et per totum residuum a prima extenditur tanta adaequate non conicans cum prima per totum corpus extensa, et per totum residuum a prima et secunda parte proportionali iterum extenditur tanta velocitas adaequate non communicans cum aliqua praecede[n]ti[u]m et sic consequenter. Haec suppositio patet manifeste intuenti, quia si velocitas secundae partis proportionalis est dupla ad velocitatem primae et tertiae tripla et cetera, secunda ipsa continet bis tam intensam velocitatem, sicut est prima, non communicantem, et tertia pars continet ter tantam et sic consequenter. Et per consequens residuum a prima continet uniformiter bis tantam velocitatem, sicut est prima, (quamvis non adaequate, continet enim adhuc maiorem,) et residuum a secunda parte proportionaliter tantam per totum quamvis inadequate et sic consequenter, semper illae partes excedunt se continuo per aequalem velocitatem velocitati primae partis proportionalis. Hoc supposito. 

Probatur conclusio, et volo, quod hora sit divisa per partes proportionales aliqua proportione, (quavis libuerit,) quae sit G, et coextendantur illae velocitates, ut dicit 

15 Faksimile der Seite 153 

casus conclusionis per illas partes proportionales, et sit proportio totius horae divisae per partes proportionales proportione G ad primam partem proportionalem F, tunc dico, quod tota illa velocitas totius horae se habet in proportione F ad {velocitatem}1 primae partis proportionalis. Quod probo sic, quia velocitas aequalis velocitate primae partis proportionalis extensa per illam horam aliquid facit ad intensionem totius velocitatis, quia est pars eius, ut ostendit suppositio praecedens, et tanta velocitas sicut illa superaddita praeexistenti extenditur per totum residuum a prima parte proportionali proportione G, ut etiam dicit suppositio. Igitur illa in G proportione minus facit, quia est aequalis alteri extense per totum, et est in tempore in G proportione minori, ut dicit prima conclusio, quia tempus dividitur proportione G, ergo totum se habet ad residuum a prima parte proportionali in G proportione. Item per totum residuum a prima parte proportionali et secunda extenditur iterum tanta velocitas non communicans cum aliqua praecedentium, et illud tempus residuum a prima et secunda se habet in G proportione ad totum residuum a prima, igitur illa velocitas ei coextensa in G proportione minus denominat quam praecedens velocitas aequalis ei coextensa subiecto in G proportione maiori et sic consequenter. Igitur denominatio totius illius velocitatis componitur ex infinitis continuo se habentibus in proportione G, ergo illa denominatio totius velocitatis sive illa tota velocitas – quod pro eodem capio – se habet ad primam illarum denominationum sive velocitatum, quae est primae partis proportionalis et etiam totius residui a prima in proportione F, quod fuit infer[e]ndum. Patet haec consequentia, quia semper quando aliquid dividitur proportione G, ipsum se habet ad primam partem proportionalem in proportione F, ut positum est. Et ex hoc patet, quod in casu conclusionis tota velocitas se habet ad velocitatem primae partis proportionalis in ea proportione, in qua habet totum tempus in ordine od primam partem proportionalem proportione, qua dividitur ipsum tempus. Quod fuit probandum. 

Tertia conclusio: divisa hora vel tempore aliquo, quavis proportione F volueris, et in prima parte proportionali talis proportionis mobile aliquod moveatur adaequate certa velocitate, et aliud mobile vel idem in tota illa hora vel tempore moveatur eadem velocitate, tunc in quacumque proportione se habuerit tempus ad primam partem proportionalem, in ea proportione se habebit spatium absolutum sive pertransitum in toto tempore ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. Ut si aliquod mobile moveatur velocitate ut 2 in prima parte proportionali horae proportione tripla, et aliud vel idem mobile moveatur in tota hora adaequate eadem velocitate ut 2, tunc dico, quod illud mobile, quod movetur i[n] tota hora velocitate ut 2 vel correspondente ei, sexquialterum spatium pertransit ad spatium pertransitum velocitate ut 2 in prima parte proportionali, quoniam omne totum divisum per partes proportionales proportione tripla se habet ad primam partem proportionalem in proportione sexquialtera, ut patet ex primo correlario secundae conclusionis quinti capitis primae partis. Probatur tamen facile haec conclusio, quoniam quando velocitas est uniformis in aliquo tempore, ipsa dividitur in easdem partes proportionales, in quas dividitur tempus, ut patet in philosopho | sexto physicorum, ubi inquit, [quod] motus et magnitudo pertransita perinde atque tempus dividitur, ergo quan[do]cumque proportionem habebit totum tempus ad primam partem proportionalem, eandem habet velocitas, et per consequens totum spatium pertransitum in toto tempore ad spatium pertransitum in prima parte. Patet haec consequentia ex prima conclusione secundi notabilis. In casu enim velocitas aequales inaequalibus coextenduntur temporibus, ergo spatia se habent in proportione temporum, sed minus tempus est prima pars proportionalis, et tempus maius est totum divisum in partes proportionales, ergo spatium pertransirum in toto tempore se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, sicut se habet totum tempus ad primam partem proportionalem eius. Quod fuit probandum. 

Quarta conclusio: divisa hora, quavis proportione volueris, in partes proportionales et in prima illarum partium proportionalium mobile aliquod aliquanta velocitate moveatur et in secunda in duplo maiori velocitate quam in prima et in tertia in triplo maiori quam in prima et sic consequenter, tunc illo casu totalis velocitas se habebit ad velocitatem primae partis proportionalis in ea proportione, in qua se habebit totum tempus ad primam partem proportionalem eius, et spatium in toto tempore adaequate pertransitum se habebit ad spatium absolutum in prima parte proportionali in proportione duplicata. Volo dicere, quod si hora dividatur modo posito in conclusione, et exempli gratia dividatur proportione sexquialtera, et moveatur mobile per illas partes proportionales proportione sexquialtera, ut dicit casus conclusionis, tunc totalis velocitas talis motus se habebit ad velocitatem primae partis proportionalis in proportione tripla, quia sic se habet totum divisum proportione sexquialtera ad primam partem proportionalem, ut patet ex quarta conclusione quinti capitis primae partis, et spatium pertransitum in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte proportionali se habet in proportione dupla ad triplam, quia tripla est proportio velocitatum. Modo illa proportio tripla ad duplam est noncupla, ut patet ex octava conclusione sexti capitis secundae partis. Et sic si pertransit unum pedale in prima parte proportionali, novem pertransit in tota hora. Demonstratur conclusio sic: sit unum mobile, quod adaequate moveatur velocitate primae partis prop[ro]tionalis per primam partem proportionalem dumtaxat, et transeat spatium C, et aliud mobile moveatur per totam horam velocitate primae partis proportionalis, et pertranseat spatium B, et tertium mobile moveatur per totam horam totali illa velocitate, sicut ponitur in casu conclusionis, quae se habet in F proportione ad velocitatem primae partis proportionalis, in qua F proportione se habet totum tempus ad primam partem eius proportionalem, ut dicit secunda conclusio et prima pars huius conclusionis, et pertranseat spatium A, et arguitur sic: spatii A ad spatium B est F proportio, quoniam tempora, in quibus pertranseuntur sunt aequalia, et velocitas, qua pertransitur A in F proportione, est maior velocitate, qua pertrasitur B, ut patet ex casu. Et etiam spat[i]i B ad spatium C est proportio F, et A est spatium pertransitum in tota hora in casu conclusionis, et C pertransitum in prima parte proportionali, igitux propositum. Maior patet ex secunda propositione secundi notabilis 

16 Faksimile der Seite 154 

huius capitis. Et minor ex secunda parte primae propositionis eiusdem notabilis. 

¶ Alio modo et brevius demonstratur conclusio sic: velocitatis totius horae ad velocitatem primae partis proportionalis est proportio F, et temporis totius horae, quod est maius, ad tempus primae partis proportionalis est etiam F proportio, ergo spatii pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte proportionali est proportio composita ex duplici proportione F, et per consequens spatium pertransitum in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte proportionali est proportio dupla ad proportionem velocitatum, quae est F. Patet tamen consequentia ex tertia propositione secundi notabilis huius capitis. 

¶ Ex his conclusionibus sequitur primo, quod divisa hora per partes proportionales proportione multiplici, sive dupla, sive tripla, sive quadrupla, sive quavis alia multiplici, et in prima parte proportionali aliquod mobile moveatur aliquantulum et in secunda in duplo maiori velocitate quam in prima et in tertia in triplo quam in prima, ut praecedentis theorematis casus ostendit, totius illius velocitatis ad velocitatem primae partis proportionalis erit proportio dupla, si divisio facta fuerit proportione dupla et sesquialtera, si tripla, et sesquitertia, si quadrupla, et sic in infinitum ascendendo seriatim per species proportionis superparticularis et multiplicis. Et spat[i]i pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte est proportio quadrupla, quae est dupla ad duplam, et hoc, si fiat divisio partium proportionalium proportione dupla. Si vero fiat proportione tripla, spatii pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte erit proportio dupla ad sexquialteram, quae est dupla sexquiquarta. Si vero fiat divisio proportione quadrupla, tunc spatii pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte proportionali erit proportio dupla ad sexquitertiam, quae est supra septipartiens nonas, et si fiat divisio proportione quintupla, tunc totius spatii ad spatium pertransitum in prima parte proportionali est proportio dupla ad proportionem sexquiquartam, quae est proportio supra nonipartiens sexdecimas, et sic in infinitum duplicando proportionem velocitatum. Prima pars huius correlarii patet ex secunda conclusione manifeste, et secunda pars eiusdem ex quarta, et applica, si potes. ¶ Sequitur secundo particulariter, quod divisa hora per partes proportionales proportione sextupla, et in prima illarum moveatur aliquod mobile aliquanta velocitate et in secunda in duplo maiori et in tertia in triplo modo saepius recitato, tunc totius velocitatis ad velocitatem primae partis proportionalis est proportio sesquiquinta, et spatii pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte proportionali est proportio supra undecimpartiens vicesimas quintas. Probatur prima pars huius correlarii, quia velocitate ita se habente, ut ponitur, totalis velocitas ex omnium partium velocitatibus consurgens se habet ad velocitatem primae partis proportionalis in proportione, in qua se habet totum tempus ad primam partem proportionalem, ut patet ex secunda conclusione, sed hora divisa per partes proportionales proportione sextupla se habet ad primam partem proportionalem in proportione sexquiquinta, ut docet quintum capitulum primae partis huius operis. Igitur tota illa velocitas se habet ad velocitatem | primae pa[r]tis proportionalis in proportione sexquiquinta. Quod fuit probandum. Sed iam probatur secunda pars, quia proportio supra undecimpa[r]tiens vicesimas quintas est dupla ad proportionem sexquiquintam, ut patet in his terminis 36, 30, 25 iuvamine sexti capitis secundae partis huius operis. Igitur spatium pertransitum in tota hora ad spatium pertransitum in {prima}2 parte proportionali se habet in proportione supra undecimpartiente vicesimas quintas. Patet haec consequentia ex quarta conclusione. ¶ Sequitur tertio, quod divisa hora per partes proportionales proportione octupla, et in eisdem moveatur aliquod mobile modo pluries resumpto, totius velocitatis ad velocitatem primae partis proportionalis est proportio sesquiseptima, et spatii pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte proportionnali erit proportio dupla ad sesquiseptima, quae est super quindecimpartiens quadragesimas [nonas], cuiusmodi est 9 cum septima ad 7 et 64 ad 49. Probatur prima pars correlarii, quia hora sic divisa per partes proportionales proportione octupla se habet ad primam partem proportionalem in proportione sexquiseptima, ut patet ex quinto capite primae partis huius operis, et in eadem proportione se debet habere velocitas totius ad velocitatem primae partis, ut dicit secunda conclusio, igitur propositum. Secunda pars probatur, quia proportio supra quindecimpartiens quadragesimas nonas est dupla ad proportionem sexquiseptimam, ut patet in his terminis 64, 56 et 49 patrocinio sexti capitis secundae partis. Igitur in supra quindecimpartiens quadragesimas nonas se habet spatium pertransitum in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. Quod fuit probandum. Patet tamen consequentia ex quarta conclusione. ¶ Ex hoc modo poteris inferre innita correlaria similia retento casu velocitatis et variando continuo divisionem horae, quae omnia correlaria suffragantibus se[c]unda et quarta conclusionibus facilem sortiuntur demonstrationem. 

Quinta conclusio generi proportionis superparticularis speciebusque eius deserviens: divisa hora per partes proportionales proportione superparticulari sesquialtera, sesquiquarta seu quavis alia superparticulari distributaque velocitate partibus illis proportionalibus, ita ut mobile in prima illarum moveatur aliqnantulum et in secunda in duplo velocius et in tertia in triplo velocius quam in prima et sic consequenter in casu saepius repetito, tunc tota velocitas se habet ad velocitatem primae partis proportionalis in proportione tripla, si fuerit hora divisa in proportione sesquialtera. Si vero fuerit divisa in proportione sesquitertia, in proportione quadrupla, si in proportione sesquiquarta, in proportione quintupla et sic consequenter ascendendo seriatim per species proportionis superparticularis et multiplicis. Et spatia pertransita in totali tempore ad spatia primae partis proportionalis se habent in proportione duplicata (duplicata inquam ad triplam sive dupla ad triplam, si fuerit divisio facta in proportione sesquialtera, et quadrupla, si fuerit facta divisio in proportione sesquitertia et sic consequenter.) 

Probatur haec conclusio, quae infinitas habet partes in termino illo et sic consequenter inclusas, et primo probatur eius prima pars, quae est de proportione velocitatum ex secunda conclusione, hoc addito, quod totum divisum proportione sexquialtera se habet 

17 Faksimile der Seite 155 

ad primam part[e]m in proportione tripla, et totum divisum proportione sexquitertia in proportione quadrupla et sic consequenter, ut prima pars quinto suo capitulo ostendit. Et sic patet prima pars. Secunda vero patet ex quarta conclusione, hoc addito, quod in casu conclusionis proportio spatii pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte est dupla ad proportionem totius velocitatis ad velocitatem primae partis proportionalis temporis. 

¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod divisa hora per partes proportionales proportione superparticulari, quavis libuerit, distributaque velocitate, ut in casu secundae conclusionis ponitur, ita videlicet, quod mobile in prima parte proportionali moveatur aliquantulum et in secunda in duplo velocius et in tertio in triplo velocius quam in prima et in quarta in quadruplo velocius quam in prima et sic consequenter, tunc tota velocitas erit aequalis velocitati tertiae partis proportionalis, si fuerit facta divisio proportione sesquialtera, et si fuerit divisio facta sesquitertia, tota velocitas erit aequalis velocitati quarta partis proportionalis, et si fuerit facta divisio proportione sesquiquarta, erit aequalis velocitati quintae partis proportionalis et sic consequenter ascendendo per species proportionis superparticularis et per partes proportionales. Probatur correlarium facile ex secunda conclusione, quoniam facta divisione horae proportione sexquialtera tota hora se habet ad primam partem in proportione tripla, ut constat, ergo tota velocitas, ut dicit conclusio, se habet ad velocitatem primae partis proportionalis in proportione tripla, et in tali proportione se habet velocitas tertiae partis proportionalis ad velocitatem primae, ut dicit casus igitur. Item divisione facta per partes proportionales proportione sexquitertia totum sic divisum se habet ad primam partem proportionalem in proportione quadrupla, ergo totalis velocitas se habet ad velocitatem primae partis proportionalis in proportione quadrupla, ut patet ex secunda conclusione, et tanta est velocitas quartae partis. Igitur. Et sic probabis residuas partes in infinitum. 

¶ Sequitur secundo, quod hora divisa per partes proportionales proportione sesquialtera et mobile A in prima parte moveatur aliquantulum et in secunda parte in duplo velocius et in tertia in triplo velocius, qua in prima, et sic consequenter, ut in prima parte proportionali pertransit unum pedale, in tota hora p[e]r[t]ransit novem. Probatur, quia illo casu posito velocitatis totius ad velocitatem primae partis est proportio tripla, ut patet ex praecedenti, igitur spatii pertrasiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte est proportio dupla ad triplam, ut patet ex quarta huius, sed noncupla est dupla ad triplam ex secunda parte huius operis capite sexto, igitur totius spatii pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte est proportio noncupla. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur tertio, quod divisa hora vel tempore aliquo proportione quavis superparticulari, ut positum est in primo correlario, spatii pertransiti in tota hora ad spatium pertransitum in prima parte est proportio dupla ad proportionem, quam habet velocitas tertiae partis ad velocitatem primae partis si fuerit divisio facta proportione sesquialtera. Si vero fiat proportione sesquitertia in proportione, dupla ad proportionem velocitatis quartae partis ad velocitatem prime. Si sesquiquarta in proportione, dupla ad proportionem velocitatis quintae partis ad velocitatem | primae et sic consequenter. Et quia hoc correlarium manifeste sequitur ex praedict[i]s, probatione non indiget. ¶ Ex quo sequitur quarto, quod hora divisa per partes proportionales proportione aliqua superparticulari, quavis volueris, et aliquod mobile moveatur in prima et cetera, ut positum est, spatii pertransiti est tota hora est noncuplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, si fuerit divisio facta proportione sesquialtera, si vero {proportione}3 sesquitertia, est sexdecuplum, si autem proportione sesquiquarta, est vicecuplum quintuplum, ita quod in prima parte pertransit unum [et] pedale in tota hora viginti quinque pedalia et sic consequenter. Patet hoc correlarium ex praedictis. ¶ Innumera alia correlaria inferre poteris, si virtutem et robur secundae et quartae conclusionis diligenter inspexeris, non solum in generibus proportionum multiplicis atque superparticularis, verum etiam pari facilitate in omnibus aliis generibus, puta suprapartiente, multiplici superparticulari multiplicique superpartiente. 

Sexta conclusio: divisa hora, quavis proportione libuerit, et in quacumque proportione se habuerint duae partes immediatae, in eadem proportione vel maiori se habuerit velocitas minoris partis ad velocitatem maioris, tota illa velocitas est infinita, spatiumque pertransitum pari ratione infinitum erit. Probatur sec[u]nda pars conclusionis, quoniam in illo casu mobile, quod sic movetur, tantum spatium pertransit in sequenti parte sicut in priori vel maius, et sunt infinitae partes proportionales, ergo in totali hora infinitum pertransibit. Patet consequentia cum minore, et arguitur maior, quam qualis est proportio primae partis ad secundam partem proportionalem, talis est proportio velocitatis secundae partis proportionalis ad velocitatem primae partis vel maior, igitur tantum spatium pertransit in secunda sicut in prima vel maius. Item qualis est proportio secundae partis ad tertiam partem, talis est proportio velocitatis tertiae partis ad secundae et sic consequenter de quibuscunque duabus partibus proportionalibus immediatis, ut patet ex casu conclusionis, igitur in qualibet pa[r]te immediate sequente alteram maiorem mobile motum tali velocitate pertransit tantum spatium sicut in immediate praecedenti vel maius. Quod fuit probandum. Patet tamen consequentia ex quarta et quinta propositionibus secundi notabilis. Et sic patet secunda pars et per consequens prima. Si enim mediante illa velocitate mobile pertransit infinitum spatium, consequens est illam velocitatem infinitam esse. (Est enim in tempore fi[n]ito.) Patet igitur conclusio. 

¶ Ex quo sequitur primo, quod si hora dividatur per partes proportionales proportione dupla, ut mobile moveatur in prima parte aliquantulum et in secunda in duplo velocius quam in prima et in tertia in duplo velocius quam in secunda et in quarta in duplo velocius quam in tertia, spatium pertransitum erit infinitum. Patet correlarium ex conclusione, quoniam in quacumque proportione se habent partes proportionales immediate continuo, in eadem proportione se habet velocitas partis minoris ad velocitatem partis maioris, et per consequens totum illud mobile pertransit in qualibet sequenti primam tantum, quantum i[n] prima. Infinitum igitur spatium transcurret. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur secundo, quod partita hora per partes proportionales proportione sesquitertia, et in prima parte proportionali 

18 Faksimile der Seite 156 

A mobile moveatur aliqua velocitate et in secunda in sesquialtero velocius quam in prima et in tertia in sesquialtero velocius quam in secunda et in quarta in sesquialtero velocius quam in tertia et sic consequenter, spatium pertransitum in tota hora erit infinitum. Probatio, quia in qualibet parte sequenti primam A mobile maius spatium absolvet quam in prima, quam contiuo maior est proportio velocitatis minoris ad velocitatem maioris, quam sit temporis maiors ad tempus minus, igitur per quintam propositionem secundi notabilis in qualibet sequenti primam maius spatium pertransibit quam in prima, et per consequens in tota hora infinitum spatium transcurret. Quod fuit probandum. ¶ Tertio sequitur, quod si hora fuerit divisa per partes proportionales proportione aliqua suprapartienti, et continuo velocitates partium proportionalium immediatarum, puta velocitas minoris partis ad velocitatem maioris se habuerit in aliqua proportione multiplici vel multiplici superparticulari vel multiplici superpartienti, spatium pertransitum in tota hora erit infinitum. Patet hoc correlarium, quia continuo maior erit ibi proportio velocitatum temporum maiorum et minorum, quam proportio maioris temporis ad minus tempus. Igitur. In[f]eras ad libitum correlaria. 

Septima conclusio: partita hora per partes proportionales, qua libuerit proportione, mobil[i] continuo movente velocius in parte sequenti quam in parte praecepenti, velocius nihilominus in proportione minori, quam sit proportio divisionis, spatium pertransitum in tota hora se habebit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione, qua aliquod totum divisum proportione, qua maior proportio temporis excedit proportionem velocitatum, se habet in ordine ad primam partem proportionalem. Hoc theorema multiplicibus verbis implicitum et intricatum familiarem et exemplarem enucleationem efflagitat. Exemplo igitur utens volo dicere, quod si hora fuerit divisa per partes proportionales proportione quadrupla exempli gratia, et A mobile moveatur in prima parte proportionali aliquanta velocitate et in secunda in duplo maiori velocitate et in tertia in duplo maiori quam in secunda et sic in qualibet sequenti in duplo maiori velocitate quam in immediate praecedenti, (quoniam proportio illarum velocitatum, quae est dupla, exceditur a proportione temporum, quae est quadrupla per proportionem duplam), dico, quod totale spatium pertransitum in illa totali hora se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, sicut se habet aliquod corpus divisum proportione dupla in ordine ad suam primam partem, ut post modum correlaria familiariter ostendent. Probatur tamen conclusio generaliter, et sit hora divisa per partes proportionales proportione G maiore, sitque continuo velocitatis partis minoris ad velocitatem partis maioris immediate praecedentis proportio F minor, quam sit proportio G, excedatque proportio G proportionem F mediante proportione H. Tunc dicit theorema spatium pertransitum in totali hora se habere ad spatium pertransitum in prima parte proportionali illius horae in ea proportione, in qua se habet aliquod divisum proportione H ad primam partem proportionalem eiusdem proportionis H. Quod sic probatur, quia primae partis proportionalis horae ad secundam partem proportialem eiusdem est proportio G maior, et velocitatis secundae partis proportionalis ad velocitatem primae partis proportionalis est proportio F minor, ut ponit casus, et | G proportio temporis maioris ad tempus minus excedit F proportionem velocitatis temporis minoris ad velocitatem temporis maiori – quod tempus maius est prima pars proportionalis et minus secunda – per H proportionem, ut ponitur in casu, igitur in H proportione maius spatium pertransitur a mobili in prima parte proportionali quam in secunda. Patet haec consequentia ex sexta propositione secundi notabilis huius quaestionis. Et sic argumentaberis de secunda et tertia, quod in H proportione maius spatium pertransitur in secunda quam in tertia, et sic de quibuscunque duabus partibus immediatis argumentatione exordiri licebit, igitur illa spatia pertransita se habent continuo in H proportione, ita quod primi ad secundum sit H proportio, et secundi ad tertium et sic consequenter, igitur aggregatum ex omnibus illis spatiis se habebit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione, in qua se habet totum divisum in proportione H ad primam partem proportionalem eiusdem proportionis H. Quod fuit probandum. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod partitione horae facta per partes proportionales proportione quadrupla, velocitatibus continuo se habentibus in proportione dupla, ita quod velocitatis secundae partis proportionalis ad velocitatem primae sit proportio dupla, et velocitatis tertiae ad velocitatem secundae sit etiam proportio dupla et cetera, spatium pertransitum in tota hora est duplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. Probatur, quia proportio illorum temporum quadrupla excedit proportionem duplam velocitatum per proportionem duplam, ut patet ex quarta conclusioue quarti capitis secundae partis, igitur totale spatium pertransitum in illa hora est duplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali horae. Patet consequentia ex praecedenti conclusione, hoc addito, quod quodlibet divisum per partes proportionales proportione dupla se habet ad primam partem proportionalem in proportione dupla. Arguitur tamen, et familiarius probatur correlarium, et volo, quod spatium pertransitum in prima parte proportionali proportione dupla sit pedale, et arguo sic: spatium pertransitum in secunda parte proportionali est subduplum ad spatium pertransitum in prima et spatium pertransitum in tertia ad spatium pertransitum in secunda, et sic consequenter se habent illa spatia in proportione subdupla, et primum illorum est pedale, igitur totum aggregatum ex omnibus sequentibus primum est pedale, et per consequens totum spatium est bipedale, et sic duplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, quod est pedale, quod fuit inferendum. Probatur tamen maior, quod illa spatia pertransita in partibus proportionalibus se habent in proportione subdupla, quoniam primae partis ad secundam est proportio quadrupla per casum, et velocitatis secundae ad velocitatem primae est proportio dupla per casum, igitur spatium pertransitum in secunda est subduplum ad spatium pertransitum in prima, et sic argues de spatio pertransito in tertia ad spatium pertransitum in secunda et de quibuscunque spatiis pertransitis in duabus partibus immediatis proportionalibus, igitur illa spatia continuo se habent in proportione subdupla. Quod fuit probandum. Patet consequentia ex sexta propositione secundi notabilis, hoc addito, quod proportio quadrupla excedit proportionem duplam per ipsammet duplam, ut secunda pars loco praeallegato docet. 

19 Faksimile der Seite 157 

¶ Sequitur secundo, quod divisa hora per partes proportionales proportione supertripartienti quartas, cuiuslibet partis velocitate se habente ad velocitatem partis maioris immediate praecedentis in proportione sesquialtera spatium pertransitum in tota hora se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione septupla, absolutoque pedali in prima parte, septem pedalia in tota hora absolventur. Probatur hoc correlarium ex conclusione immediate praecedenti, quia partes proportionales temporis se habent continuo in proportione supertripartienti quartas, et velocitates partium immediatarum se habent in proportione sesquialtera, ut ponit casus, et proportio supertripartiens quartas excedit proportionem sexquialteram per {1}4 proportionem sexquisextam, ut patet in his terminis: 7, 6, 4. Igitur spatium pertransitum in toto tempore se habebit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione septupla. Quod fuit probandum. Patet consequentia ex conclusione septima, hoc adiecto, quod corpus divisum proportione sexquisexta se habet ad primam sui partem in proportione septupla, ut patet ex prima parte huius operis. Familiarius tamen probatur sic: et suppono, quod mobile pertransit in prima parte proportionali unum pedale, et arguo sic: mobile pertransit in prima parte proportionali unum pedale et in secunda in sexquisexto minus et in tertia in sexquisexto minus quam in secunda et sic consequenter procedendo per proportiones sexquisextas. Igitur totale spatium componitur ex illis infinitis continuo se habentibus in proportione sexquisexta, ergo aggregatum ex omnibus sequentibus primam est sextuplum ad primum, ut patet ex prima parte huius operis capite quinto, et primum est unum pedale, ergo totum residuum est sextupedale, et per consequens totum spatium est septem pedum, quod se habet in proportione septupla ad unum pedale pertransitum in prima parte proportionali. Quod fuit probandum. Probatur tamen antecedens videlicet, quod illud mobile in qualibet parte sequenti pertransit subsexquisextum spatium ad spatium pertransitum in immediate praecedenti, quia primae partis proportionalis ad secundam est proportio supertripartiens quartas, et velocitatis secundae partis proportionalis ad velocitatem primae est proportio sexquialtera, sed proportio supertripartiens quartas temporum excedit proportionem velocitatum sexquialteram per proportionem sexq[u]isextam, ut notum est. Igitur spatium pertransitum in secunda parte proportionali est subsexquisextum ad spatium pertransitum in prima. Patet consequentia, ex sexta propositione secundi notabilis saepius allegata. Et sic probabis de spatio pertransito in tertia ad spatium pertransitum in secunda et de spatiis pertransitis in duabus partibus immediatis quibuscunque signatis, ergo continuo spatium pertransitum in aliqua parte proportionali sequente est subsexquisextum ad spatium pertransiium in parte immediate praecedente. Quod fuit probandum. Inferas tuo ingenio et labore similia infinita correlaria. Ista enim sufficiunt pro praxi conclusionis. 

Octava conclusio: partita hora per part[]es proportionales quavis proportione volueris, et in certa proportione continuo velocius mobile moveatur in parte praecedente maiore quam in immediate sequenti minori, spatium pertransitum in totali hora se habebit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione, qua se habet aliquod totum divisum in partes proportionales proportione composita ex proportione temporis, puta partis proportionalis maioris ad partem immediate sequentem minorem, et [ex proportione] velocitatis partis maioris ad velocitatem | partis minoris ad primam partem pr[o]portionalem talis divisionis. Hoc involutum theorema exemplari declaratione resolvatur, volo enim dicere, quod conscisa hora per partes proportionales proportione dupla et in prima parte proportionali aliquod mobile moveatur aliquanta velocitate, qu[od] in secunda parte proportionali in sexquialtero minori velocitate [moveatur] et in tertia in sexquialtero minor velocitate quam in secunda et sic consequenter, ita quod cuiuslibet partis praecedentis maioris velocitas ad velocitatem minoris immediate sequentis sesquialteram proportionem habeat, tunc dicit theorema positum spatium pertransitum in totali hora se habere ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione sequialtera, quam proportio composita ex proportione dupla temporum et sexquialtera velocitatum est tripla, et quodlibet totum divisum per partes proportione tripla se habet ad primam proportionalem partem eius in proportione sexquialtera. Probatur tamen universaliter conclusio: sit hora divisa per partes proportionales portione G, et moveatur mobile in aliqua certa proportione velocius continuo in parte praecedenti maiore quam in minore sequente, ita quod continuo maior velocitas sit in parte maiori quam in minore immediate sequente, sitque proportio continuo velocitatis partis maioris ad velocitatem partis minoris F, compositaque proportio ex G et F sit H, tunc spatium pertransitum in totali hora se [h]abet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione, in qua se habet aliquod totum divisum in partes proportionales proportione H ad primam partem proportionalem eiusdem divisionis, videlicet proportione H. Quod probatur sic, quia spatii pertransiti in prima parte proportionali ad spatium pertransitum in secunda parte proportionali est proportio H, et spatii pertransiti in secunda ad spatium pertransiti in tertia est etiam proportio H et sic consequenter de spatiis pertransitis in duabus partibus proportionalibus immediatis quibusvis demonstratis, ergo totale spatium pertransitum in tota hora componitur ex infinitis continuo se habentibus in proportione H, igitur totale spatium se habet ad primum illorum spatiorum, quod est pertransitum in prima parte proportionali in proportione, in qua se habet aliquod totum divisum per partes proportionales proportione H ad primam eius partem. Quod fuit probandum. Patet consequentia, quia eodem modo se habent illa spatia continuo se habentia in proportione H, sicut se habent partes proportionales alicuius continui proportione H. Probatur tamen antecedens videlicet, quod spatii pertransiti in prima parte proportionali ad spatium pertransitum in secunda est propertio H, et spatii pertransiti in secunda ad spatium pertransitum in tertia et cetera, quia prima pars proportionalis est maius tempus quam secunda in G proportione, et ei coextenditur velocitas intensior quam secundae in F proportione, ut dici hypothesis, et H proportio est proportio composita ex G et F proportionibus ex hypothesi, igitur spatium pertransitum in prima parte proportionali se habet ad spatium pertransitum in secunda in H proportione. Consimili argumento probabis de quibuscumque spatiis pertransitis in quibuscumque duabus partibus immediatis, quod erat inferendum. Patet tamen consequentia per tertiam propositionem secundi notabilis huius quaestionis. ¶ Ex hac solutione sequitur primo, quod partitione horae facta per partes proportionales proportione suprabipartiente tertias et in prima parte propor[ti]onali moveatur aliquod mobile aliquanta velocitate et in secunda in suprabipartiente quintas minore et in tertia in eadem proportione suprabipartiente quintas 

20 Faksimile der Seite 158 

minore velocitate quam in secunda et sic consequenter, tunc spatium pertransitum in totali hora se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione supertripartiente quartas, qualis est 7 ad 4. Probatur, quia spatium pertransitum in prima parte proportionali se habet ad spatium pertransitum in secunda in proportione dupla sexquitertia, et in eadem proportione se habet spatium pertransitum in se[c]unda ad spatium pertransitum in tertia et sic consequenter, igitur totale spatium se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione supratripartiente quartas. Patet haec consequentia ex priori conclusione, hoc addito, quod quodlibet corpus divisum per partes proportionales proportione dupla sexquitertia se habet ad primam partem proportionalem in proportione supertripartiente quartas, ut facile est intueri ex prima parte huius operis. Probatur tamen antecedens. Quia proportio primae partis temporis ad secundam est superbipartiens tertias, et velocitatis primae partis ad velocitatem secundae est proportio superbipartiens quintas, igitur totius spatii pertransiti in prima parte proportionali, quae est maius tempus ad spatium pertransitum in secunda parte proportionali, est proportio dupla sesquitertia, et sic probabis de spatiis pertransitis in aliis partibus quibuscumque immediatis. Consequentia probatur per tertiam propositionem secundi notabilis huius quaestionis, hoc addito, quod proportio dupla sesquitertia componitur adaequate ex proportione superbipartiente tertias et superbipartiente quintas, ut patet in his terminis: 7, 5, 3. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur secundo, quod divisa hora per partes proportionales proportione dupla, mobili continuo in duplo tardius movente in parte sequenti minori quam in parte maiori immediate praecedenti illam spatium pertransitum in totali hora se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali horae in proportione sesquitertia. Probatio, quia proportio composita ex proportione temporis maioris ad tempus minus dupla et velocitatis temporis maioris ad velocitatem temporis minoris similiter dupla est quadrupla, ut satis constat, et quodlibet totum divisum per partes proportionales proportione quadrupla se habet ad primam partem proportionalem in proportione sexquitertia, ut patet ex prima parte. Igitur totale spatium pertransitum in illa hora in casu correlarii se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione sexquitertia. Quod fuit probandum. Consequentia patet ex conclusione octava. ¶ Sequitur tertioque: divisa hora in partes proportionales proportione tripla mobilique continuo in quadruplo tardius movente in parte sequenti minori quam in immediate praecedenti eam spatium pertransitum in totali hora se habebit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione sesquiundecima, pertransitoque pedali in prima, duodecim undecimas pedalis in totali hora absolvet. Probatur, quia proportio composita ex proportione temporis maioris ad tempus minus tripla et velocitatis temporis maioris ad velocitatem temporis minoris quadrupla est duodecupla, ut patet in his terminis: 12, 4, 1. Et quodlibet totum divisum per partes proportionales proportione duodecupla se habet ad primam sui partem proportionalem in proportione sexquiundecima, ut patet ex prima parte, igitur spatium pertransitum a mobili in totali tempore se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione sexquiundecima. Patet consequentia ex octava conclusione. 

Nona conclusio: divisa hora per partes proportionales quavis proportione et in certa proportione continuo mobile velocius moveatur in qualibet parte | pari sequenti quam in pari immediate praecedenti eam et similiter in certa proportione aequali, maiori vel minori continuo in qualibet parte sequente impari velocius moveatur quam in impari immediate praecedenti, spatium pertransitum in totali hora erit infinitum, dummodo proportio velocitatum sit aequalis proportioni temporum vel maior, et si proportio velocitatum partium parium et proportio velocitatum partium imparium fueri[n]t minor[es] proportione temporum, tunc spatium pertransitum in omnibus partibus paribus se habet ad spatium pertransitum in prima illarum parium in proportione, qua se habet aliquod totum divisum per partes proportionales proportione, per quam proportio temporum excedit proportionem velocitatum, ad primam partem proportionale eiusdem totius. Et similiter dicendum est de spatio pertransito in omnibus partibus imparibus. Declaratur haec conclusio isto modo: dividatur hora per partes proportionales proportione dupla, et capiantur ex uno latere omnes partes pares et ex alio omnes impares, et in qualibet impari sequente moveatur A mobile in quadruplo velocius quam in impari immediate praecedenti eam, tunc dicit prima pars conclusionis, quod illud mobile infinitum spatium pertransit et etiam infinitum spatium transiret, si in qualibet sequenti impari moveretur in quintuplo velocius quam in impari immediate praecedenti eam, quia proportio velocitatum est ibi maior vel aequalis proportioni temporum. Tempora enim illa continuo se habent in proportione quadrupla. Si vero mobile in qualibet parte sequeti impari moveretur in duplo velocius praecise quam in parte immediate praecedenti impari divisione sic facta in partes proportionales proportione dupla, tunc spatium pertransitum in omnibus partibus paribus se habet ad spatium pertra[n]situm in prima pari in proportione dupla, et spatium pertransitum in omnibus partibus imparibus etiam se habet ad spatium pertransitum in prima impari in proportione dupla, quia proportio temporum quadrupla excedit proportionem velocitatum duplam per duplam, et corpus divisum per partes proportionales proportione dupla se habet ad primam partem proportionalem etiam in proportione dupla, et etiam velocitas maior est coextensa tempori minori. Ideo totum spatium pertransitum in omnibus partibus imparibus est duplum ad spatium pertransitum in prima illarum imparium. Et consimiliter dicendum est de paribus. Probatur haec conclusio ex praedictis, et hoc generaliter, et primo patet prima pars ex sexta conclusione, et secunda ex septima. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod partita hora per partes proportionales proportione dupla et in prima illarum mobile moveatur aliquanta velocitate u[n]iformiter, et in secunda moveatur uniformiter intendendo motum suum a gradu, quo movetur in prima, usque ad gradum duplum, et in tertia moveatur illo gradu duplo uniformiter, et in quarta intendat uniformiter motum suum ab illo gradu duplo usque ad gradum duplum illius, ita quod in omnibus partibus imparibus moveatur uniformiter continuo in duplo velocius in sequente impari quam immediate praecedenti impari, et in qualibet parte pari moveatur intendendo motum suum uniformiter a gradu partis imparis immediate praecedentis usque ad gradum partis {imparis}5 immediate sequentis, ita quod velocitates partium imparium reductae ad uniformi[t]atem, etiam si habeant continuo in proportione dupla, tunc spatium totale pertransitum in hora se habebit in proportione tripla sesquialtera ad spatium pertransitum in prima parte proportionali impari. Probatur 

21 Faksimile der Seite 159 

correlarium, et in prima parte proportionali pertranseat illud mobile unum pedale et arguitur sic: in omnibus partibus tam paribus, quam imparibus pertransit illud mobile tria pedalia cum dimidio, sed trium pedalium cum dimidio ad unum pedale est proportio tripla sexquialtera, igitur correlarium verum. Arguitur maior, quia in prima parte impari pertransit unum pedale, et spatia pertransita in omnibus partibus imparibus continuo se habent in proportione dupla, quoniam velocitates continuo se habent in proportione dupla, et tempora in quadrupla, et sic totale spatium pertransitum in omnibus partibus imparibus erit duplum ad spatium pertransitum in prima illarum, ut patet ex septima conclusione. Ergo per consequens totale spatium pertransitum in omnibus erit bipedale. Et spatium pertransitum in omnibus paribus est pedale cum dimidio. Quod probatur sic, quia continuo velocitatis partis paris ad velocitatem partis imparis immediate praecedentis est proportio sexquialtera, (cum velocitas illius partis paris correspondeat gradui medio inter gradum velocitatis illius partis imparis immediate praecedentis et gradum duplum,) et semper gradus medius inter duplum et subduplum est sexquialterus ad subduplum, ut constat. Igitur talis gradus medius erit sexquialterus ad gradum partis imparis immediate praecedentis, igitur spatium pertransitum in prima parte proportionali impari se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali pari in proportione sexquitertia, ut patet ex sexta propositione secundi notabilis, sed subsexquitertium ad pedale sunt tres quartae, et in omnibus sequentibus paribus pertransibit tantum, igitur in omnibus simul pertransibit sex quartas, quae faciunt pedale cum dimidio, et in imparibus pertransibit bipedale. Igitur in omnibus partibus simul paribus et imparibus pertransibit tria pedalia cum dimidio. Quod fuit probandum. Restat tamen probare, quod in omnibus partibus paribus sequentibus primam tantum pertransit sicut in prima. Nam illae partes pares continuo se habent in proportione quadrupla, et velocitates continuo se habent in proportione dupla ascendendo, ut patet ex casu correlarii, ergo totale spatium pertransitum in omnibus paribus est duplum ad spatium pertransitum in prima illarum, et sic illud spatium est 6 quartae. Consequentia patet ex septima conclusione, hoc addito, quod proportio temporis excedit proportionem velocitatum per proportionem duplam, et totum divisum per partes proportionales proportione dupla est duplum ad primam illarum. 

¶ Secundo sequitur, quod divisa hora per partes proportionales proportione quadrupla, et in prima parte moveatur mobile aliquanta velocitate uniformiter, et in secunda intendat motum sum uniformiter ab illo gradu, quo movetur in prima, usque ad triplum, et in tertia moveatur uniformiter illo triplo gradu, et in quarta moveatur uniformiter intendendo motum suum a gradu, quo movebatur in tertia, usque ad triplum illius et sic consequenter semper in qualibet pari intendendo gradum immediate praecedentis imparis usque ad triplum eiusdem gradus uniformiter, spatium pertransitum in totali hora se habebit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali impari in proportione supra undecimpartiente tridecimas. Probatur supponendo, quod medium inter triplum et subtriplum est duplum ad subtriplum, ut medium inter unum et 3 est 2, quod est duplum ad unum. Supponitur secundo, quod velocitas partium imparium immediatarum continuo se habent in proportione | tripla et etiam partium parium, ut patet aspicienti casum correlarii. His suppositis esto, quod mobile in prima parte proportionali pertransit tridecim pedalia, arguitur sic: in omnibus partibus imparibus illud mobile pertransit sexdecim pedalia, et in omnibus paribus pertransit octo, igitur in tota hora pertransibit viginti quatuor, et 24 ad 13 pedalia pertransita in prima parte proportionali est proportio supra undecimpartiens tridecimas, igitur propositum. Maior probatur, quia proportio temporum part[i]um imparium, quae est sexdecupla, ut constat, excedit proportionem velocitatis triplam per proportionalem quintuplam sexquitertiam, qualis est 16 ad 3, et quodlibet totum divisum proportione quintupla sexquitertia se habet ad primam partem eius proportionalem in proportione supertripartiente tridecimas, ut patet ex prima parte capite quinto. Igitur in omnibus partibus proportionalibus imparibus illud mobile pertransit 16 pedalia. Patet consequentia ex septima conclusione huius, hoc addito, quod in prima parte impari pertransit 13 pedalia, et 16 ad 13 est proportio supertripartiens tridecimas. Et sic patet maior. Minor probatur, quia proportio temporum partium parium sexdecupla – ut constat – excedit proportionem velocitatum triplam per proportionem quintuplam sexquitertiam, ut patet ex probatione maioris, et quodlibet totum divisum proportione quintupla sexquitertia se habet ad primam partem eius proporportionalem in proportione supertripartiente tridecimas, ut patet ex prima parte capite quinto. Igitur in omnibus partibus paribus pertransit illud mobile spatium se habens ad spatium pertransitum in prima illarum parium in proportione supertripartiente tridecimas, et spatium pertransitum in prima parium est spatium sex pedalium cum dimidio. Igitur spatium pertransitum in omnibus partibus paribus est 8 pedum. Patet consequentia, quia 8 ad 6 cum dimidio est proportio supertripartiens tridecimas. Probatur tamen, quod in prima parte proportionali illud mobile pertransit 6 pedalia cum dimidio, quia illa pars est subquadrupla ad primam imparem, et velocitas illius est dupla ad velocitatem primae imparis, ut patet facile ex primo supposito. Igitur in illa parte mobile pertransit 6 pedalia cum dimidio. Patet consequentia ex sexta propositione secundi notabilis, addito, quod in prima parte proportionali impari pertransit 13 pedalia, et sic patet minor, et per consequens totum correlarium. 

¶ Sequitur tertio, quod partita hora per partes proportionales proportione quadrupla et mobile in qualibet parte sequente impari in quadruplo velocius moveatur quam in immediate praecedenti impari, et in qualibet sequenti pari etiam in quadruplo velocius moveatur quam in immediate praecedenti pari, et in duplo velocius in prima parte pari quam in prima impari, tunc totale spatium pertransitum in hora se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali impari in proportione dupla. Hoc correlarium ex praedictis facile probari potest. ¶ Inferat quilibet suopte ingenio propriisque viribus nonnulla similia correlaria. Possunt enim infinita inferri, ut puta si hora dividatur proportione dupla, et omnium partium parium velocitates continuo se habeant in proportione sexquialtera, omniumque imparium proportio velocitatum sit sexquitertia, sitque velocitatis primae paris ad velocitatem primae imparis proportio sexquiquarta, tunc calcula totale sp[a]tium ad spatium pertransitum in prima parte. Item conscisa hora in partes proportionales proportione tripla et omnium partium imparium immediatarum 

22 Faksimile der Seite 160 

velocitates se habeant in proportione sexquiquarta omnium, vero parium in proportione sexquiquinta, excedatque velocitas primae partis paris velocitatem primae partis imparis in proportione sexquisexta, tunc investiga proportionem totius spatii ad spatium pertransitum in prima innitendo praecedentibus. Item partita hora in partes proportionales proportione quadrupla mobilique in omni impari sequente movente in sexquisexto velocius quam in immediate procedente impari et in omni pari sequente in sexquiseptimo velocius quam in pari immediate praecedente superetque velocitas primae partis paris velocitatem primae imparis in proportione sexquioctava, tunc commensura totale spatium spatio primae partis proportionalis praecedentibus suffultus, et sic ascendendo per species proportionis multiplicis in dividenda hora velocitatibus se habentibus continuo in diversis proportionibus superparticularibus infinitam multitudinem se se consequentium conclusionum inferre valebis. Deinde divisa hora aliqua multipli simplici vel composita velocitatibus partium imparium continuo se habentibus in proportione aliqua suprapartiente, et partium parium immediatarum velocitatibus continuo se habentibus in aliqua alia proportione suprapartiente, excedenteque velocitate primae partis paris velocitatem primae partis imparis in aliqua alia proportione superpartiente infinita correlaria inferre poteris. Praeterea partita hora per partes proportionales proportione multipici, quarumcunque duarum partium per 4 partes proportionales distantium velocitatibus se habentibus in aliqua proportione superparticulari vel superpartiente, ita ut primae distantes per 4 partes proportionales, ut puta prima et sexta se habeant in velocitate in proportione sexquialtera, et septimae velocitas ad velocitatem secundae in proportione sexquitertia, et octavae velocitas ad velocitatem tertiae in proportione sexquiquarta, et nonae velocitas ad velocitatem quartae in proportione sexquiquinta, et decimae velocitas ad velocitatem quintae in proportione sexquisexta, et undecimae velocitas ad velocitatem sextae in proportione sexquialtera et sic iterum ascendendo usque ad proportionem sexquisextam et deinde redeundo usque ad proportionem sexquialteram et sic consequenter, ita quod omnes distantes per 4. incipiendo a prima se habeant in proportione sesquialtera in velocitate et incipiendo a secunda in sesquitertia et a tertia in sexquiquarta et a quarto in sexquiquinta et a quinta in sexquisexta et non plus. 

Ita poteris facere de partibus, inter quas continuo mediant octo partes ascendendo a prima usque ad decimam, et sic in infinitum poteris variare casus retenta semper aliqua uniformiter proportionum. Et sicut inferuntur multa correlaria, quando velocitas maior coextenditur partibus minoribus, ita plura alia possunt inferri, quando continuo velocitas maior coextenditur partibus minoribus, quae omnia ex prioribus facile inducuntur. Et quia nimium in istis immorari ultraque modum eis inherere est a melioribus sublimioribusque prostergari. Ideo calculator his Dedaleis labyrinthulis implicitus verbisque multiplicibus multiformibusque proportionibus implicatus inflatae buccae garritum contineat. 

Decima conclusio: divisa hora per partes proportionales proportione dupla et A mobile in prima parte proportionali moveatur aliquantula velocitate et in secunda in sesquialtero maiori velocitate et in tertia in sesquiquarto maiori velocitate quam in prima et in quinta in sesquisexdecimo maiori quam in prima et sic consequenter ascendendo per species | proportionis superparticularis denominatas a numeris pariter paribus, (melius tamen diceretur descendendo, quia proportiones superparticulares sunt minores, quanto a maiori numero denominantur, hoc est a parte aliquota denominata a maiori numero), spatium pertransitum in totali hora se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione dupla sesquitertia. Probatur, et sit gratia exempli velocitas primae partis proportionalis ut duo, pertranseatque A mobile mediante illa velocitate in prima parte proportionali bipedale, et arguitur sic: illa velocitas ut duo coextenditur toti horae, quia in qualibet parte proportionali horae velocitas est maior quam ut duo, ut habetur ex casu, et tota hora est dupla ad primam partem proportionalem eius, in qua mobile pertransit bipcdale mediante velocitate ut duo. Igitur mediante illa velocitate coextensa toti horae pertransit quadrupedale, et mediantibus excessibus partium proportionalium supra illam velocitatem ut duo pertransit duas tertias pedalis, quae faciunt unam tertiam duorum pedalium. Igitur totum spatium se habebit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione dupla sexquitertia, cuiusmodi est proportio ipsorum quatuor cum duabus tertiis unius ad duo. Probo tamen, quod mediantibus illis excessibus pertranseat duas tertias pedalis, quoniam, cum velocitas secundae partis proportionalis sit sexquialtera ad velocitatem primae, quae est ut duo sequitur, quod excessus velocitatis secundae ad velocitatem primae est unus gradus, et quia tertia excedit primam in propor[t]ione sexquiquarta, sequitur, quod excessus eius est medietas unius gradus, quoniam duorum cum dimidio ad duo est proportio sexquiquarta, et velocitas quartae partis se habet ad velocitatem primae in proportione sexquioctava. Igitur excessus eius est una quarta, igitur in illo casu excessus secundae ad excessum tertiae est proportio dupla, et excessus tertiae ad excessum quartae dupla similiter, et sic consequenter reperies illos excessus se habere in proportione subdupla et subdupla. Et coextenduntur partibus continuo se habentibus in proportione subdupla et subdupla. Igitur continuo illa spatia mediantibus illis velocitatibus pertransita se habe[n]t in proportione subquadrupla, et per consequens aggregatum ex omnibus eis se habebit ad primum illorum in proportione sexquitertia, et primum illorum est unum semipedale, ergo totum erit unum semipedale cum una sexta pedalis, et per consequens duae tertiae unius pedalis. Quod fuit probandum. Sed iam probo, quod primum illorum sit unum semipedale, quoniam primum illorum pertransitur mediante excessu secundae partis proportionalis supra primam, qui excessus est unus gradus mediante, quo in prima parte proportionali pertransitur unum pedale. Igitur mediante illo in secunda parte proportionali subdupla ad illam pertransitur unum semipedale. Quod fuit probandum. Patet consequentia ex secunda parte primae propositionis secundi notabilis. 

¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod si fuerit hora divisa proportione dupla, et in prima illarum partium moveatur aliquod mobile aliquanta velocitate et in secunda in supertripartiente quartas maiori velocitate et in tertia in supertripartiente octavas maiori velocitate quam in prima et in quarta in supertripartiente sexdecimas maiori quam in prima et in quinta in supertripartiente tricesimas secundas maiori velocitate quam in prima et sic consequenter procedendo per species proportionis supertripartientis denominatas a numeris pariter paribus sive a partibus aliquotis denominatis ab illis numeris, spatium 

23 Faksimile der Seite 161 

pertransitum in toto tempore est duplum sesquialterum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. Quod probatur esto, quod velocitas primae partis sit ut 4, et pertranseatur quadrupedale mediante illa per totam horam ex[t]ensa et sic mediante illa in prima parte proportionali bipedale, et arguitur sic: mediante illa velocitate extensa per totam horam mobile pertransit quadrupedale, et mediantibus excessibus, quibus velocitates partium proportionalium aliarum a prima excedunt primam, pertransitur u[n]um, et sic mediante totali illa velocitate pertranseuntur quinque pedalia in totali illa hora, et quintupedalis ad bipedale pertransitum in prima parte proportionali horae est proportio dupla sexquialtera. Igitur propositum. Probatur tamen, quod mediantibus illis excessibus pertransitur unum pedale, quia mediante excessu, quo velocitas secundae partis excedit velocitatem primae, pertranseuntur tres quartae, et mediante excessu, quo tertia excedit primam, pertransitur subquadruplum spatium ad tres quartas et sic consequenter, (quia illi excessus continuo se habent in proportione subdupla, ut facile est intueri, et continuo coextenduntur tempori in duplo minori), igitur aggregatum ex omnibus illis spatiis pertransitis mediantibus illis excessibus componitur ex infinitis continuo se habentibus in proportione subquadrupla, et ex hoc illud habet se ad primum illorum in proportione sexquitertia, ut patet ex prima parte capite quinto, et primum illorum est tres quartae pedalis, ergo totum est pedale. Patet consequentia, quia pedalis ad tres quartas est proportio sexquitertia. Sed restat probare spatium pertransitum ab illo excessu, quo secunda pars proportionalis excedit primam, esse tres quartas, quia velocitas primae partis est ut 4, et velocitas secundae partis habet proportionem supertripartientem quartas ad velocitatem primae, igitur est ut 7, et sic excessus est trium graduum, sed mediante uno gradu in prima parte proportionali mobile pertransibat dimidium pedale, ut habetur ex casu, igitur mediante uno gradu in secunda parte proportionali, quae est in duplo minor, mobile pertransit unam quartam, et sunt ibi tres gradus excessus, igitur mediantibus illis pertransibit tres quartas. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur secundo, quod partita hora per partes proportionales proportione dupla et in prima illarum mobile aliquod moveatur aliqua velocitate et in secunda illarum in sesquitertio maiori et in tertia in sesquisexto maiori quam in prima et in quarta in sesquiduodecuplo maiori quam in prima et sic consequenter ascendo per numeros pares continuo se habentes in proportione dupla exordiendo a numero ternario, hoc est per species proportionis superparticularis denominatas a partibus aliquotis denominatis ab illis numeris, spatium pertransitum in totali hora est duplum superbipartiens nonas ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. Probatur esto exempli causa, quod velocitas primae partis proportionalis sit ut 3, et mediante illa mobile pertranseat in prima parte proportionali tripedale, et per consequens mediante illa extensa per totam horam sextipedale, et arguitur sic: mediante illa velocitate ut 3, coextensa toti horae mobile pertransibit sextipedale, et mediantibus excrementis, quibus velocitates part[]ium proportionalium aliarum a prima excedunt primam, mobile pertransit duas tertias pedalis, igitur in totali illa hora pertransit sextipedale cum duabus tertius, sed sextipedalis cum duabus tertiis ad tripedale pertransitum in prima parte proportionali est proportio dupla superbipartiens | nonas, igitur propositum. Sed iam probo, quod mediantibus excessibus velocitatum, quibus aliae partes proportionales excedunt velocitatem primae, mobile pertransit duas tertias, quia velocitas secundae partis proportionalis excedit velocitatem primae per unum gradum, (est enim velocitas primae ut 3, et secundae sexquitertia ad illam), et mediante uno gradu in prima parte proportionali mobile pertransit unum pedale, ergo mediante illo gradu mobile pertransit unum semipedale in secunda parte proportionali subdupla ad primam, et mediante excessu, quo tertia pars excedit primam, pertransit subquadruplum ad illud semipedale, et mediante excessu, quo quarta excedit primam, adhuc pertransit subquadruplum ad praecedens et sic consequenter, quia illi excessus continuo se habent in proportione sub[d]upla, ut patet ex casu, et continuo extenduntur in duplo minori parte, igitur aggregatum ex omnibus illis spatiis pertransitis mediantibus illis excessibus componitur ex infinitis continuo se habentibus in proportione subquadrupla. Igitur se habet ad primum illorum in proportione sexquitertia. Consequentia saepius arguta est, et cum primum illorum sit semipedale, consequens est, ut aggregatum ex omnibus illis sit duae tertiae, (siquidem duarum tertiarum ad semipedale sit sexquitertia proportio.) Et sic patet probandum et totum correlarium. ¶ Innumera talia correlaria possunt inferri dividendo horam aliis speciebus propoportionis et faciendo excessus, quibus aliae partes excedunt primam, in certa proportione continu[o] se habere, ut si hora dividatur per partes proportionales proportione tripla, et in prima illarum aliquod mobile moveatur aliquanta velocitate et in secunda in duplo sexquialtero maiori et in tertia in duplo sexquisexto et in quarta in duplo sexquidecimo octavo maiori quam in prima et in quinta in duplo sexquiquinquagesimo quarto maiori quam in prima et sic consequenter procedendo ex parte proportionis multiplicis superparticularis per numeros se habentes continuo in proportione subtripla. Ibi enim excessus se habent in proportione subtripla. Item si hora partiatur per partes proportionales proportione superbipartiente tertias, et A mobile in prima moveatur aliquanta velocitate et in secunda in triplo sexquiquinto velocius et in tertia in triplo sexquidecimo velocius quam in prima et in quarta in triplo sexquivicesimo velocius quam in prima et in quinto in triplo sexquiquadrigesimo progrediendo per species denominatas a numeris imparibus sive ab unitate et partibus aliquotis denominatis ab illis numeris continuo se habentibus in proportione dupla exordiendo a quinario. Et sic consequenter poteris infinita similia ponere. 

Undecima conclusio: divisa hora per partes proportionales, quacumque libuerit proportione, et in prima mobile moveatur aliquanta velocitate et in secunda in sesquialtero maiori et in tertia in sesquitertia maiori quam in secunda et in quarta in sesquiquarta maiori quam in tertia et in quinta in sesquiquinto maiori quam in quarta et sic consequenter, et si non valeat regula universalis signari ad reperiendum spatium pertransitum in totali hora, nihilominus tamen qualibet specie divisionis horae signata potest certitudinaliter investigari spatium pertransitum in tota hora et proportio eius ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. Probatur haec conclusio, et primo probatur secunda pars eius, quia sit hora fuerit divisa per partes proportionales 

24 Faksimile der Seite 162 

proportione dupla, et moveatur mobile – ut dicitur in casu conclusionis – spa[t]ium pertransitum in totali hora se habebit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione tripla. 

Quod sic probatur esto, quod velocitas primae partis sit ut duo, et secundae ut 3, et tertiae ut 4, sicut apparet ex casu conclusionis, et mediante illa velocitate primae partis proportionalis ut duo, quae etiam coextenditur toti horae, pertranseat mobile bipedale in prima parte proportionali, et per consequens quadrupedale in tota hora, et arguo sic: illud mobile mediante illa velocitate ut duo extensa per totam horam pertransit quadrupedale, et mediantibus excessibus, quibus partes proportionales se excedunt, pertransit bipedale, igitur in tota hora pertransit sex bipedalia, sed sex pedalium ad duo pedalia pertransita in prima parte est proportio tripla. Igitur. Patet consequentia cum maiore, et arguitur minor, videlicet quod mediantibus illis excessibus mobile pertransit pedale, quia mediante illo gradu, quo secunda pars proportionalis excedit primam, qui est extensus etiam a toto residuo a prima, illud mobile pertransit unum pedale, quia mediantibus duobus gradibus coextensis illi parti – id est toti residuo a prima – pertransit bipedale, ut ponitur, mediante uno. Igitur extenso eidem pertransitur unum pedale, et mediante etiam uno gradu, quo tertia pars excedit secundam, extenso per totum residuum a prima et secunda pertransit subduplum ad pedale quia extenditur per in duplo minorem partem, et mediante excessu quo quarta excedit tertiam qui est etiam unus gradus extensus per totum residuum a prima, secunda et tertia, quod est subduplum ad totum residuum a prima et secunda et tertia, pertransit illud mobile in duplo minus quam mediante praecedente, igitur spatium totale pertransitum mediantibus illis excessibus componitur ex aliquibus continuo se habentibus in proportione subdupla et subdupla, et primum est pedale, ergo totum est bipedale. Quod fuit probandum. Item partita hora in partes proportionales proportione sexquialtera mobilique movente eodem modo, quo ponitur in casu conclusionis, spatium pertransitum in tota hora est sextuplum ad spatium pertransitum in prima parte proporionali horae. Probatur, et sit gratia argumenti velocitas primae partis proportionalis ut duo, et mediante illa coextensa toti horae pertranseat mobile tripedale, et per consequens mediante illa in prima parte proportionali pertransibit pedale, qua prima pars proportionalis est subtripla ad totum divisum tali proportione. Quo posito arguitur: sic mediante illa velocitate ut duo coextenso toti horae pertransit tripedale, et mediantibus excessibus etiam pertransit tripedale, igitur in totali hora pertransit sexpedalia, et in prima parte proportionali unum pedale, ut ponitur, igitur totale spatium se habet ad spatium pertransitum in prima parte proportionali in proportione sextupla. Quod fuit probandum. Sed iam probo, quod mediantibus excessibus pertransit tripepale, quia velocitas secundae partis proportionalis excedit velocitatem primae per totum residuum a prima parte proportionali, igitur mediante illo mobile pertransit unum pedale. Patet haec consequentia, quia mediante uno gradu in prima parte proportionali mobile pertransit semipedale, ut apparet ex casu, igitur mediante uno gradu extenso per totum residuum a prima parte proportionali unum pedale cum totum residuum a prima parte sit duplum ad illam, et mediante excessu, quo tertia pars excedit secundam, qui est etiam unus gradus per totum residuum a prima et secunda extensus, | pertransibit subsexquialterum ad illud pedale, et mediante excessu, quo quarta excedit tertiam extenso per totum residuum a prima, secunda et tertia, pertransit etiam subsexquialterum ad praecedens, cum illi excessus continuo sint aequales continuo coextensis partibus in sexquialtero minoribus, igitur illud spatium pertransitum mediantibus illis excessibus componitur ex infinitis continuo se habentibus in proportione sexquialtera. Igitur totius illius spatii ad primum illorum spatiorum est proportio tripla, et primum est pedale, ergo totum est tripedale. Quod fuit probandum. Et sic patet, quod aliquando totale spatium est sextuplum aliquando triplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. ¶ Et ex his infertur prima pars conclusionis videlicet, quod non est una regula certa, quam partem probaliter pono, quia forte est modus, et certa regula, et non occurrit mihi. Apparet etiam veritas secundae partis, quia quavis proportione proposita, qua tempus dividitur, mobili movente, ut ponitur in casu conclusionis ex praedictis, potest inveniri spatium pertransitum in totali tempore. ¶ Alio tamen modo poterit tale spatium ad inveniri primo imaginando medietatem velocitatis primae partis esse se motam per totam horam, et tunc invenitur spatium pertransitum in totali hora mediante residua velocitate manente ex quarta conclusione huius, quia tunc residua velocitas se habebit omnino, sicut ponit illa conclusio. Deinde illo spatio sic ad invento adiunge spatium natum pertransiri a velocitate, quam subtraxeris, et sic totum spatium erit ad inventum, quo relato ad spatium pertransitum in prima parte proportionali habebitur quaesitum. Exemplum, ut partita hora per partes proportionales proportione dupla mobili moto, ut dictum est in casu conclusionis praecedentis, et sit velocitas primae partis proportionalis ut duo, quae velocitas est coextensa toti horae, et mediante illa velocitate ut duo coextensa toti horae pertranseat mobile exempli gratia bipedale. Removeas igitur ad imaginationem unum gradum illius velocitatis ut duo, quae extenditur per totam horam. Et tunc manifestum est, quod illa semota mobile movebitur aliqua velocitate in prima et in secunda in duplo maiori et in tertia in tripla maiori quam in prima et cetera et sic consequenter, igitur totalis velocitas se habebit ad velocitatem primae partis proportionalis in proportione dupla ex secunda conclusione, et spatium pertransitum in totali hora se habebit in proportione duplicata ad spatium pertransitum in prima parte proportionali mediante velocitate ut unum, (quia oportet intelligere alium gradum semotum mediante, cuius velocitate unius videlicet gradus mobile pertransit semipedale in prima parte proportionali), ergo mediante tota velocitate pertransit bipedale. Et mediante illo gradu, quem removeras, extenso per totam horam pertransit unum pedale in tota hora, igitur totale spatium est tripedale, et in prima parte proportionali mediantibus illis duobus gradibus pertransibat pedale, igitur totum spatium est triplum ad spatium pertransitum in prima parte. Et sic iudicabis de omnibus. 

Duodecima conclusio: si sit aliquod tempus divisum per partes proportionales proportione dupla, et in prima parte proportionali mobile moveatur aliquanta velocitate et in secunda in duplo velocius quam in prima et in tertia in sesquialtero velocius quam in prima et in quarta in sesquitertio velocius quam in prima et sic consequenter procedendo per omnes 

25 Faksimile der Seite 163 

species proportionis superparticularis, spatium pertransitum in totali tempore est maius quam duplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali et minus quam quadruplum. Probatur prima pars, quia divisa sic hora per partes proportionales proportione dupla et mobili moto continuo uniformiter illo motu, quo movetur in prima parte proportionali, spatium pertransitum adaequate in tota hora esset adaequate duplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, ut patet ex se, sed modo mobile velocius movetur quam tunc in qualibet parte proportionali, dempta prima modo velocius movetur quam tunc, et in prima aeque velociter sicut tunc, igitur pertransit plusquam duplum spatium ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. Probatur secunda pars, quia si illud mobile movetur in prima parte proportionali aliquantum velociter et in secunda in duplo et in tertia in triplo velocius quam in prima et sic consequenter, ut ponitur in casu quartae conclusionis, tunc adaequate pertransiret quadruplum spatium ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, ut patet ex quarta conclusione, sed modo movetur in totali hora tardius quam tunc per omnes partes proportionales dempta prima et secunda, et in prima et secunda aequaliter sicut tunc, igitur modo pertransit minus spatium quam tunc in totali hora, et tunc quadruplum pertransit ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, igitur modo minus quam quadruplum. Quod fuit probandum. Et sic patet conclusio. ¶ Ex cuius probatione sequitur primo, quod si fuerit tempus divisum per partes proportionales proportione sesquialtera, et mobile moveatur eodem modo, quo dictum est in casu conclusionis, spatium pertransitum in totali hora erit maius quam triplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali,et minus quam non ocuplum. Probatur prima pars, quia si mobile moveretur uniformiter per totam horam illa velocitate, qua movetur in prima parte proportionali adaequate, tunc spatium pertransitum in totali hora esset triplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, quia tota hora est tripla ad primam partem proportionalem proportione sexquialtera, sed modo in totali hora movetur intensius quam tunc, ut patet, ergo sequitur, quod modo pertransibit maius spatium quam tunc, et tunc pertransit triplum spatium ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, ergo modo maius quam triplum. Quod fuit probandum. Probatur secunda pars, quia si mobile moveretur eodem modo, quo ponitur in casu quartae conclusionis, divisa sic hora per partes proportionales proportione sexquialtera tunc pertransiret nonocuplam spatium ad spatium pertransitum in prima parte proportionali, ut patet ex quinta conclusione et eius secundo correlario, sed modo tardius movetur in totali hora quam tunc, ergo modo transit minus spatium quam nonocuplum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali. Quod fuit probandum. 

¶ Sequitur secundo, quod hora divisa per partes proportionales proportione superbipartiente tertias, mobili moto in prima parte proportionali aliquantula velocitate et in secunda in proportione supertripartiente quartas velocius et in tertia in proportione supertripartiente octavas velocius quam in secunda et in quarta in proportione supratripartiente decimas sextas velocius quam in tertia et sic consequenter, spatium pertransitum in totali hora erit maius quam duplum sesquialterum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali et minus quam sexdecuplum | sesquiquartum. ¶ Sequitur tertio, quod divisa hora per partes proportionales tripla proportione et in prima parte proportionali mobile moveatur aliquantula velocitate et in secunda in suprabipartiente tertias maiori velocitate et in tertia in superbipartiente quintas maiore velocitate quam in prima et in quarta in superbipartiente septimas maiori quam in prima et in quinta in superbipartiente nonas maiori quam in prima et sic consequenter procedendo per species proportionis superbipartientis denominatas a numeris imparibus vel a partibus aliquotis a numeris imparibus denominatis, spatium pertransitum in totali hora est maius quam sesquialterum ad spatium pertransitum in prima parte proportionali et minus quam duplum sesquiquartum. ¶ Sequitur quarto, quod divisa hora per partes proportionales proportione quadrupla et in prima parte proportionali mobile moveatur aliquantula velocitate et in secunda in sesquialtero velocius et in tertia in superbipartienti tertias velocius quam in prima et in quarta in supertripartiente quartas velocius quam in prima et in quinta in superbipartiente quintas velocius quam in prima et in sexta in supertripartiente octavas velocius quam in prima et sic consequenter in partibus imparibus procedendo per proportionem supertripartientem et in paribus per proportionem superbipartientem, spatium pertransitum in totali hora est plusquam sesquitertium ad spatium pertransitum in prima parte proportionali et minus quam superseptipartiens nonas ad spatium pertransitum in prima. Ista tria correlaria eandem cum superiori correlario sortiuntur demonstrationem. 

¶ Sed quaeret aequilibris calculator ad amissim omnia coniectans et numerorum quadam statera appendens adequatam velocitatem, qua in tota hora illud mobile movetur, et adequatum spatium pertransitum a tali mobili in casu duodecimae conclusionis et quatuor lateralium correlariorum eam sequentium. Hinc curiosae quaestioni, (cui quaestioni quaerente protervo difficilis est responsio), ei silentium imponens per duas propositiones respondeo. 

Prima propositio: si velocitas in infinitum difformis aliquam cohaerentiam sive proportionem continuo servat, facile est totalem velocitatem commensurare et spatium mediante illa transitum mentiri. Patet haec propositio, quia si continuo velocitates in eadem proportione se habeant, et etiam spatia se in aliqua proportione continuo se habebunt, et tunc cognita illa proportione iam totale spatium se habebit ad spatium pertransitum in prima parte propostionali in ea proportione, in qua se habebit totum eadem proportione divisum ad primam eius partem proportionalem, ut dictum est supra. 

Secunda propositio: non habentibus illis velocitatibus difformibus aliquam continuo inter se proportionem, sicut sit in casu duodecimae conclusionis et sequentium correlariorum, impossibile est naturaliter intellectum finitae capacitatis talem velocitatem sic difformem ad uniformitatem redigere et adaequatum spatium pertransitum infallibili[t]er assignare. Probatur haec propositio, quia cum sint ibi i[n]finitae velocitates inaequales, si nullam uniformitatem proportionum inter se servent, sed continuo se habeant in alia et alia proportione, oporteret intellectum infinitas propositiones rimari et deinde considerare, quantum velocitas in una proportione minor altera plus facit ad pertransitum spatii quam altera in eadem proportione minor, sed impossibile est, quod intellectus finitae capacitatis ista infinita prospiciat 

26 Faksimile der Seite 164 

et sine tali praespectione et praescrutatione non poterit spatium pertransitum in totali tempore metiri, consequens igitur erit, quod in tali casu nequit certitudinaliter responsionem ferre. Et sic patet propositio. Credo tamen animas separatas a corpore et intelligentias in imperspecto tempore omnia ista cognoscere. Cesset igitur dolor querulantium, et non putat homo sua termin[i]s clausa intelligentia et finita capacitate universalem rerum naturalium amplitudinem difformes monstruosasque motiones amplecti atque comprehendere. Hoc enim valde difficile est perinde atque infinitam magnitudinem finito loco perstringere. Quare non abs re sapientissimus ille Salomon rerum naturalium difformes motus animo revolve[n]s res naturales quoad sui motiones cognitu difficiles censuit ecclasiastes primo capite inquiens. Cun[c]tae res difficiles non potest eas homo explicare sermone, quare non satiatur oculus visu nec auris auditu. Quam sententiam pertractans Hugo cardinalis inquit, explicat ecclasiastes, quam in explicabilis sit rerum naturalium mitabilitas dicens cunctas res naturales difficiles esse tum ad intelligendum, tum etiam ad explicandum. Nec enim numerari possunt multitudine nec comprehendi quantitate nec investigari queunt profunditate. Et subdit infirmitati nostri intellectus condolens. Quantis ergo tenebris homo involvitur, quanta ignorantiae caecitate humanus sensus coartatur, ut vix pauca etiam secundum superficiem attingere potest, qui si singula secundum exteriorem speciem cerneret, vim late[n]tem naturamque invisibilem rerum nullatenus penetraret. Universitas igitur rerum omnino homini incomprehensibilis et secundum exteriorem speciem est et secundum interiorem qualitatem. Haec ille. Quare non solum in praedictis casibus non valet infallibiliter adequatum spatium tali velocite difformi pertransitum inveniri, (quamvis de facto sit aliquod adequatum spatium, quod adaequate pertransitur), verum etiam in notioribus aliis casibus talis spatii certitudo cecutientibus nobis in hoc saeculo non valet reperiri et certitudinaliter metiri, ut si quispiam ponat, quod partita hora per partes proportionales proportione dupla mobile in prima parte proportionali aliquantum velociter mov[e]atur et in secunda in sesquialtero velocius et in tertia in sesquiquinto et in quarta in sesquioctavo quam in prima et sic consequenter procedendo per species proportionis superparticularis interscalariter continuo duos omittendo, item si divisa hora per partes proportionales proportione tripla A mobile in prima parte proportionali moveatur aliquantulum et in secunda in sesquiquinto velocius et in tertia in sesquinono velocius quam in prima et in quarta in sesquitridecimo velocius quam in prima et in quinta in se[squi]decimo septimo velocius quam in prima et sic consequenter procedendo per species proportionis superparticularis continuo omittendo tres, item sic procedendo continuo omittendo quatuor, item omittendo continuo quinque et 6 et 7 et sic consequenter, infinitae dabuntur velocitates difformes, quarum uniformitas a nobis nequaquam naturaliter reperiri potest. Deinde divisa hora per partes proportionales proportione quadrupla et in prima parte proportionali moveatur A mobile aliquantum velociter et in secunda in duplo sexquialtero velocius et in tertia in supertripartiente quartas velocius quam in prima et in quarta in sexquialtero velocius quam in prima et in quinta in triplo velocius quam in prima et in sexta in dupla sexquisexto velocius quam in prima et sic consequenter permiscendo seriatim species diversorum generum proportionis. ¶ Ex his satis facile apparet | multa talia nobis incomprehensibilia esse. Nec tamen propterea haec ars reiicienda est, quoniam et si infinita sint nobis incomprehēsibilia, infinita etiam mathematica demonstratione valent a nobis infallibiliter demonstrari, puta ea, quae continuum ordinem alicuius proportionis observant, ut superius dictum est. Cetera vero sicut nullum ordinem servant ita nullis regulis scientiae astringi valent. ¶ Hic tamen unum advertendum est, quod plerumque homo arbitrabitur nullam esse seriem aut ordinem proportionum in aliquo casu sibi proposito, nihilominus maturius et diutius consideranti occurret talis ordo, sicut in casu quartae conclusionis non apparet aliquis ordo alicuius proportionis continu[o], nihilominus ibi reperitur continuo aequalitas velocitatum in partibus inaequalibus. ¶ Sed petes, quid igitur calculatori proponenti tales casus in publica et celebri litteraria palestra respondendum sit. 

Respondeo ponendo quandam propositionem, quam ponit doctissimus proportionum indagator magister Nicolaus Horen. ¶ Ubicumque occurrit multiplicitas proportionum, inter quas facile non reperitur proportio, censendum est multas earum irrationales esse ad invicem, quare et spatia pertransita irrationalia esse. Qua propter cum talis casus proponitur, respondendum est spatium pertransitum in tota hora incommensurabile esse spatio pertransito in prima parte proportionali. ¶ Sed dices instabit tamen totis viribus illiberalis, atque acerrimus calculator grandiaque verba trutinando inflata bucca, supercilio elevato rugataque fronte atque ore tragico rationem suam insolubilem personabit, multisque clamoribus respondentem vulgo superatum atque devictum nitetur ostendere. 

Respondeo, quod in simili negotio duplici cautela utendum censeo. ¶ Prima pro delubrio et ridiculo habeatur argumentum eius tanquam inutile et [non] intelligibile, petaturque calamus et atramentarium, ut specie multiplicationis ceterisque algorithmi speciebus calculari valeat velocitatis intensio in casu per eum posito. ¶ Secunda cautela: dicatur breviter arguenti, quod talis velocitas non potest infallibiliter et certitudinaliter calculari perinde, atque multae aliae difformes velocitates non valent naturaliter ad uniformitatem reduci. Et si clamoribus velit respondentem expugnare oppositum asseverendo, proponat ei respondens similem casum et dicat ei, ut certificet illi de spatio pertransito adaequato mediante tali velocitate difformi. Et si dixerit, quod non est possibile naturaliter invenire velocitatem adaequatam in tali casu, subiungat respondens, quod nec in suo similiter pari ratione. Si autem dicat opponens se nolle tale spatium assignare, quavis assignabile sit naturaliter, hoc idem dicat ei respondens. Et hac cautela respondendi, (si fas est etiam eam cautelam in proposito appellare), usus est redemptor noster luce 20, cuius oculis omnia nuda et aperta sunt ad Haebreos quarto cum interrogantibus principibus sacerdotumm in qua potestate hoc facis, dixit, interrogabo v[er]us et ego unum aliud verbum. Respondente mihi Baptismus Iohannis de caelo erat, an ex hominibus, qui perplexi in responsione, ne videlicet in ignominiam aut iram populi inciderent, respondebant se nescire. Et rursum subiunxit dominus, nec ego dicam vobis, in qua potestate haec facio. ¶ His exactis secundum nostri ingenioli capacitatem sit conclusio responsiva ad quaestionem: 

Omnis motus uniformiter difformis quoad 

27 Faksimile der Seite 165 

tempus mensurari habet penes gradum medium, omnisque difformiter difformis quoad tempus penes reductionem ad uniformitatem sive penes calculationem denominationis, et si in non nullis casibus, difficile sit aut impossibile naturaliter ad admissim infallibiliterque velocitatem mensurare. Haec conclusio suum colorem apparentiam et probabilitatem ex superioribus sortitur. 

Ad rationes ante oppositum: ad primam responsum est ibi usque ad ultimam replicam, ad quam respondeo concedendo sequelam et negando falsitatem consequentis, et cum probatur, quia alias sequeretur mobile, quod continuo infinite velociter intendit motum, suum infinite tarde moveri, nego illam sequelam et ad probationem admitto casum et ad argumentum concedo antecedens capiendo ly „infinita“ in maiore et minore syncathegorematice et nego consequentiam. ¶ Ex quo sequitur, quod in casu posito quodlibet illorum immediate post hoc infinita tarditate movebitur, et tamen immediate post hoc infinita velocitate movebitur aliquod illorum. Correlarium hoc facile patet ex casu. ¶ Sequitur secundo, quod in casu posito quodlibet istorum immediate post hoc in infinitum modicum spatium per aliquod tempus pertransibit, et tamen immediate post hoc infinite magnum spatium pertransibit aliquod illorum per aliquod tempus. 

Patet correlarium, quia spatia velocitatibus commensurantur. ¶ Sequitur tertio, quod immediate post hoc infinita tarditate movebitur aliquod illorum, et nullum istorum immediate post hoc movebitur ita tarde sicut A, et A movebitur et ipsum A non immediate p[ost] hoc infinita tarditate movebitur. Probatur correlarium, et pono casum, quod sint infinita mobilia A, B, C et cetera, et incipiat A moveri ab octavo usque ad non gradum in hora uniformiter difformiter, et B a gradu duplo usque ad non gradum in prima medietate, et C adhuc a gradu duplo ad illum in prima quarta horae usque ad non gradum, et D a gradu duplo, a quo incipit C in prima octava horae, usque ad non gradum et sic in infinitum. Quo posito sequitur, quod immediate p[ost] hoc infinita tarditate movebitur aliquod istorum, quia immediate post hoc erit aliquod istorum prope non gradum motus, et aliud in duplo propinquius non gradui, et aliud in quadruplo et sic consequenter, et nullum istorum immediate post hoc movebitur ita tarde sicut A, quoniam quodlibet illorum incipit velocius moveri quam A, dempto A et quodlibet illorum immediate post hoc per aliquod tempus movebitur velocius quam A, ergo nullum istorum immediate post hoc movebitur ita tarde sicut A in eodem tempore. Et quod A non immediate post hoc infinita tarditate movetur. Probatur, quia immediate post hoc movetur maiori quam ut 6, igitur non infinita tarditate movebitur. Et sic patet correlarium. ¶ Ad primam confirmationem responsum est ibi usque ad ultimam replicam, ad quam respondeo negando sequelam immo dico, quod possibile est, quod aeque velociter geometrice intendatur unus motus in tempore finito, sicut alter remittitur ipsis in principio existentibus aequalibus, sed oportet illum, qui intenditur, infinitam velocitatem acquirere in illo tempore finito, in quo alter motus remittitur ad non gradum. Et ad probationem sequelae dico, quod responsio loquitur de motu, qui usque ad certum gradum finite intenditur, et de tali bene concedo, quod non est possibile ipsum aeque velociter proportionabiliter intendi, sicut alter motus ad non gradum remittitur. ¶ Ad secundam confirmationem, quae facilis est, respondeo negando sequelam, immo dico, quod quando unus est remissus ad subduplum, alter est remissus ad non gradum. Et cum probatur, quod non quia quando unus est remissus ad subduplum, | perdidit proportionem duplam, et alter remittitur in duplo velocius adaequate, ergo debuit perdidisse proportionem quadruplam praecise, quae est dupla duplae, nego consequentiam. Et ratio est, quia illud mobile non sufficit ad illum motum remitti in duplo velocius altero, q[u]ia hic non loquimur de velocitate geometrica, sed arithmetica, quae debet attendi penes latitudinem deperditam et non penes proportionem deperditam, et sic debet semper capi, quando dicitur aeque velociter, si non addatur proportionabiliter aut geometrice. ¶ Ad tertiam confirmationem respondeo negando sequelam, et cum probatur, quia semper A in duplo velocius acquiret latitudinem quam B, et haec intensio procedit in infinitum et cetera, igitur aliquando A erit duplus motus ad B nego consequentiam, et cum probatur consequentia, quia per infinitum latitudo acquisita ipsi A excedet latitudinem acquisitam ipsi B, ergo aliquando motus A erit duplus ad motum B concesso antecedente, nego consequentiam, ut argumentum probat, eam negandam esse. ¶ Ad quartam confirmationem responsum est usque ad ultimam replicam, ad quam respondet septima propositio primi notabilis huius quaestionis cum annotationibus ibi positis. 

Ad secundam rationem respondeo concedendo sequelam et negando falsitatem consequentis, et ad probationem concedo, quod illi motus sunt aequales in principio et aequales in fine et aequalem latitudinem deperdunt in totali illo tempore cathegorematice, et cum infertur, ergo in toto illo tempore sunt aequales, nego illam consequentiam, quia non mediantibus eis aequale spatium pertransitur, ut patet ex tertia conclusione tertii notabilis, et ex deductione argumenti. Et haec est solutio ibi posita. Et ad replicam conceditur sequela, et negatur falsitas consequentis, ut docet argumentum et secundum correlarium tertiae propositionis tertii notabilis. 

Ad tertiam rationem respondeo negando sequelam, immo dico, quod dabitur certa intensio in casu posito in argumento, sed non erit rationalis ad intensionem velocitatis primae partis. Nec hoc requiritur. Quod tamen totalis ille motus sit intensior motu ut sex uniformi, probatur, quia si hora essent divisa in duas partes aequales, et in prima illarum mobile moveretur ut octo, et in secunda ut quatuor totus motus esset ut sex – ut notum est – sed motus iste, de quo fit mentio in casu argumenti, est intensior, cum maior pars quam medietas sit ut octo et residua ut 4, ergo sequitur, quod ille motus est intensior quam motus ut sex. Quod fuit probandum. Et ad primam replicam dictum est ibi. Ad ultimam vero respondeo negando consequentiam, sicut docet eam negandam secunda conclusio huius capitis. Vide eam ibi. 

Ad quartam rationem responsum est ibi usque ad replicam, ad quam replicam cum suis confirmationibus patet responsio ex duodecima conclusione huius capitis cum suis correlariis. Vide eam. Et haec de quaestione et capitulo tertio. 

Fußnoten

[1]

Sine recognitis: proportionem.

[2]

Supplementum ex recognitis.

[3]

Sine recognitis: proportio est.

[4]

Sine recognitis: 4.

[5]

Sine recognitis: paris.

 

Alvarus Thomas und sein Liber de triplici motu

Table of Contents

Vorbemerkungen

Hinweise zu den Editionsrichtlinien

Faksimile des Liber de triplici motu von Alvarus Thomas und bearbeitete Ausgabe des Liber de triplici motu

Widmungsbrief und Eröffnungsgedichte

Einleitung

1. Kapitel des 1. Teils

2. Kapitel des 1. Teils

3. Kapitel des 1. Teils

4. Kapitel des 1. Teils

5. Kapitel des 1. Teils

6. Kapitel des 1. Teils

7. Kapitel des 1. Teils

8. Kapitel des 1. Teils

1. Kapitel des 2. Teils

2. Kapitel des 2. Teils

3. Kapitel des 2. Teils

4. Kapitel des 2. Teils

5. Kapitel des 2. Teils

6. Kapitel des 2. Teils

7. Kapitel des 2. Teils

8. Kapitel des 2. Teils

1. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

5. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

6. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

7. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

8. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

9. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

10. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

11. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

12. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

13. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

14. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

15. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 3. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 3. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

5. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

Recognita

Gedichte und Briefe am Ende des Liber de triplici motu


This publication is licensed under a Creative Commons Attribution-Non Commercial-Share Alike 3.0 Germany (cc by-nc-sa 3.0) Licence.