4. Kapitel des 2. Teils

 

Capitulum quartum, in quo agitur de excessu compositione et divisione proportionum 

Ad investigandum paucis ex quibus proportionibus proportio aliqua componitur, in quas resolvitur et qua vel quibus minorem excedit, pono aliquas suppositiones, quarum aliquae sunt definitiones et petitiones, aliae vero demonstrabuntur. 

Prima suppositio: primi termini alicuius proportionis sunt illi, qui in sua proportione sunt minimi. Minimi autem termini alicuius proportionis – et loquor tam in quantitate continua quam discreta – sunt, quorum minor denominatur ab unitate, maior vero a numero vel numero cum fractione vel unitate cum fractione. Haec non probatur, quia definitio est, sed exemplo explicatur: binarius enim et unitas sunt primi termini proportionis duplae, ternarius et unitas triplae, quaternarius et unitas quadruplae et sic consequenter, unitas et unitas cum medietate et unitas cum unitate et tertia, item unitas cum quarta et unitas et sic consequenter sunt primi termini superparticularium proportionum. Unitatis enim cum medietate ad unitatem est sexquialtera, et unitatis cum tertia ad unitatem sexquitertia, unitatis cum quarta sexquiquarta et sic consequenter. Et isto modo exemplificabis in aliis generibus proportionis. 

Secunda suppositio: denominatio alicuius proportionis est illa, quae sumitur a maiori primorum terminorum talis proportionis, ut denominatio duplae sumitur a binario, qui est maior terminorum primorum proportionis duplae, et denominatio sesquialterae ab unitate cum dimidio. ¶ Ex quo sequitur, quod species proportionis multiplicis denominantur consequenter a naturali serie numerorum. Patet, quia maior terminus primorum terminorum proportionis duplae est binarius, triplae ternarius, quadruplae quaternarius et sic consequenter procedendo per naturalem seriem numerorum referendo numeros ad unitatem, igitur ex secunda suppositione tales species denominantur a naturali serie. ¶ Sequitur secundo, quod species proportionis superparticularis denominantur ab unitate cum aliqua parte aliquota. Probatur, quia maior terminus primorum numerorum proportionis sexquialterae est unitas cum dimidio, et sexquitertiae unitas cum tertia, et sexquiquarta cum quarta, et sexquiquinta cum quinta et sic consequenter descendendo per partes aliquotas denominatas continuo a naturali serie numerorum, igitur species proportionis superparticularis denominantur ab unitate cum parte aliquota. ¶ Sequitur tertio, quod omnes species proportionis suprapartientis denominantur ab unitate cum aliquot partibus aliquotis non facientibus unam. Probatur, quia maior primorum terminorum proportionis suprabipartientis tertias est unitas cum duabus tertiis, et suprapartientis quintas unitas cum duabus quintis, et suprabipartientis septimas unitas cum duabus septimis et sic consequenter discurrendo per duas partes aliquotas numeri imparis. Item discurrendo per tres partes aliquotas non facientes unam, per quatuor, per quinque et sic consequenter, igitur species proportionis suprapartientis denominantur ab unitate cum aliquot partibus aliquotis non facientibus unam. ¶ Sequitur quarto, quod proportiones compositae denominantur a numero cum fractione partis aliquote vel partium aliquotarum non facientium unam. Ostendas hoc correlarium sicut praecedentia. 

1 Faksimile der Seite 30 

Tertia suppositio: omnes proportiones sunt aequales, quarum denominationes sunt aequales, et illa maior, cuius denominatio est maior, et illa minor, cuius denominatio minor. Illa autem denominatio dicitur maior, quae sumitur a maiori numero cum fractione vel sine vel ab unitate cum maiori fractione. Haec non demonstratur, quia definitio est, et a Iorda[n]o petitur in principio secundi elementorum. Exemplum, ut proportio, quae est 8 ad 4, est aequalis proportioni, quae est 2 ad 1, quia utraque illarum denominatur dupla. Sexquialtera autem maior est sexquitertia, quia denominatio eius maior est, denominatur enim ab unitate cum medietate, altera vero ab unitate cum tertia. Modo plus est unitas cum medietate quam cum tertia. 

Quarta suppositio: omne totum ex quantolibet minori eo componitur, et distribuat ly „quantolibet“ pro generibus sing[u]lorum. Probatur haec suppositio, quia quantumlibet minus aliquo maiori eo est pars illius, ergo ex quantolibet tali componitur. Probatur antecedens, quia capto uno pedali quantalibet minor quantitas pedali est pars eius, ut patet ex se. 

Quinta suppositio: omne compositum ex duobus aequalibus adaequate est praecise duplum ad utrumque illorum, et omne compositum ex tribus aequalibus adaequate est triplum ad quodlibet illorum, et ex quattuor quadruplum, et ex quinque quintuplum et cetera. Patet haec suppositio ex definitione dupli, tripli, quadrupli et sic sine termino. 

Sexta suppositio: omne compositum ex duobus inaequalibus est maius quam duplum ad minus illorum et minus quam duplum ad maius illorum, et si componatur ex tribus inaequalibus, est maius quam triplum ad minimum illorum et minus quam triplum ad maximum, et si ex quattuor, est maius quam quadruplum ad minimum illorum et minus quam quadruplum ad maximum et sic consequenter, si componatur ex quinque, ex sex et cetera. Probatur prima pars, quia illud compositum continet minus illorum duorum bis et aliquid ultra, ergo est maius quam duplum ad illud. Consequentia est nota, et antecedens probatur, quia si contineret minus bis adaequate, iam illud esset sua medietas, et per consequens residuum etiam esset medietas, et sic illa duo essent aequalia, quod est contra hypothesim. Alia pars huius partis similiter probatur, quia si esset duplum ad maius illorum, iam illud esset sua medietas, quod modo est impugnatum. Secunda pars probatur, quia illud compositum continet minimum illorum trium ter et aliquid ultra, ergo est plusquam triplum ad illud. Consequentia patet, et antecedens probatur, quia si contineret eum ter adaequate iam illud esset una tertia eius, ut patet ex se, et per consequens aliae duae partes essent duae tertiae, et sic aggregatum ex eis esset duplum ad illud minimum, sed hoc est falsum, quia alterum illorum duorum est maius isto minimo, et aliud aequale vel maius, ut constat, igitur aggregatum ex istis duobus est maius quam duplum ad illud minimum. Alia pars huius partis probatur, quia maximum illorum trium est maius quam tertia, ergo compositum ex illis est minus quam triplum ad illud. Consequentia patet, et antecedens probatur, quia si esset adaequate tertia, iam aliae duae partes essent duae tertiae, et sic aggregatum ex eis esset duplum ad illud, quod est falsum, quia aggregatum ex aliis duobus componitur ex uno minori illo, et alio aequali vel minori, igitur aggregatum ex eis non est duplum ad illud. Et sic probabis alias partes. Patet igitur suppositio. 

Septima suppositio: quando aliqua latitudo sive excessus additur alicui, maiorem proportionem | acquirit, quam quando eidem additur minor excessus sive latitudo, ut quando quaternario additur quaternarius, maiorem proportionem acquirit, quam quando ei additur binarius. Et ex consequenti sequitur, quod quando aliquid deperdit aliquam latitudinem sive quantitatem, maiorem proportionem deperdit, quam quando deperdit minorem latitudinem. Haec suppositio cum suo correlario propter sui evidentiam non probatur, sed simpliciter petitur. Et ex consequenti sequitur, quod quando aliquid deperdit aliquam latitudinem sive quantitatem, maiorem proportionem deperdit, quam quando deperdit minorem latitudinem. Haec suppositio cum suo correlario propter sui evidentiam non probatur, sed simpliciter petitur. 

Octava suppositio: quandocumque idem excessus sive latitudo additur maiori et minori, maiorem proportionem acquirit minus quam maius. Et cum maius et minus deperdunt eandem latitudinem sive excessum, maiorem proportionem deperdit minus quam maius, ut si quaternarius et octonarius perdant binarium, maiorem proportionem deperdit quaternarius quam octonarius. Quaternarius enim perdit proportionem duplam, octonarius vero sesquitertiam, ut constat. Et si binarius et senarius binarium acquirant, binarius eadem ratione maiorem proportionem acquirit quam senarius, ut constat. Probatur, sint AB duae quantitates si[v]e numeri sive quaevis aliae latitudines, A maior et B minor, quae se habeant in proportione F, et acquirat tam A quam B D excessum sive latitudinem, tunc dico, quod B maiorem proportionem acquirit quam A. Quod sic probatur, et volo, quod quando A acquirit D antea, quam B acquirat ipsum D acquirat unam quantitatem, ad quam D se habet in proportione F, et sit illa quantitas E, et arguitur sic: A et B se habent in proportione F, et quantitas acquisita ipsi A se habet etiam in eadem proportione ad quantitatem acquisitam ipsi B, ergo continuo A et B manent in eadem proportione F, in qua se habebant ante talem acquisitionem. Patet haec consequentia ex quinto correlario quintae conclusionis secundi capitis huius, et per consequens tantam proportionem acquisivit B supra se, quantam A supra se. Si enim B acquisivisset minorem, iam proportio inter A et B fuisset augmentata, et si maiorem, iam fuisset diminuta, quam quantam proportionem acquirit numerus minor ultra numerum maiorem, tantam deperdit proportio inter illos numeros, et quantam numerus maior acquirit ultra minorem, tantam acquirit proportio inter illos numeros sive quaevis alia latitudo, ut constat ex superioribus, et ex consequenti quantam proportionem acquisivit B per acquisitionem E latitudinis, tantam adaequate acquisivit A per additionem D latitudinis et eocontra. Igitur quando B acquirit D maiorem latitudinem, quam sit E, maiorem proportionem acquirit, et per consequens maiorem proportionem acquirit B acquirendo D, quam A acquirendo D. Quod fuit probandum. Patet tamen consequentia ex septima suppositione huius capitis. Et sic patet prima pars, et secunda facile probatur, quam si, quando A et B acquirunt D latitudinem, maiorem proportionem acquirit B quam A, sequitur, quod, cum deperdunt eandem D latitudinem, maiorem proportionem deperdit B quam A. Nam adaequate perdit illam, quam acquisivit, et maiorem acquisivit, ergo maiorem deperdit. Et sic patet suppositio. 

His iactis fundamentis sit prima conclusio: omnis proportio multiplex, multiplex superparticularis vel multiplex suprapartiens est maior proportione superparticulari vel suprapartiente. Probatur, quia cuiuslibet proportionis multiplicis, multiplicis superparticularis vel multiplicis suprapartiens denominatio est maior quam alicuius superparticularis vel suprapartientis, igitur quaelibet proportio multiplex aut multiplex superparticularis aut multiplex suprapartiens est maior 

2 Faksimile der Seite 31 

proportione superparticulari aut suprapartiente. Consequentia est nota ex tertia suppositione, et antecedens probatur, quia denominationes illarum proportionum multiplicis, multiplicis superparticularis et multiplicis suprapartientis sumuntur a numero vel numero cum fractione, denominationis vero superparticularis aut suprapartientis sumuntur ab unitate cum fractione, ut patet ex correlariis secundae suppositionis huius capitis, igitur denominationes illarum, puta multiplicis, multiplicis et cetera sunt maiores quam superparticularis aut suprapartientis. Et sic patet conclusio. ¶ Ex qua sequitur primo, quod proportiones multiplices superparticulares et multiplices suprapartientes sunt maiores proportionibus multiplicibus, ita quod quaelibet multiplex superparticularis aut suprapartiens qualibet multiplici ab eodem numero denominata est maior, ut dupla sesquialtera est maior dupla, tripla sesquiquarta maior tripla, tripla enim et tripla sesquiquarta ab eodem numero denominantur, sed non adaequate. Patet hoc correlarium eo modo, quo conclusio. ¶ Sequitur secundo, quod ex dictis faciliter est invenire modum cognoscendi propositis proportione superparticulari et suprapartiente, quae illarum sit maior. Probatur, et proponantur duae proportiones, A superparticularis et B suprapartiens, et cum quaelibet suprapartiens denominetur ab unitate cum fratione partium aliquotarum non facientium unam, et quaelibet superparticularis ab unitate cum fractione partis aliquotae, ut dictum est, et omne aggregatum ex partibus aliquotis alicuius non facientibus unam est qualibet parte aliquota eiusdem maius vel minus, vel igitur illud aggregatum partium aliquotarum, a quo denominatur proportio B suprapartiens, est maius parte aliquota, a qua denominatur proportio A superparticularis, aut [est] minus. Si maius, tunc proportio suprapartiens est maior data proportione superparticulari A. Sin minus, tunc proportio superparticularis est maior data proportione B suprapartiente, quam denominatur ab unitate cum maiori fractione. 

Secunda conclusio: omnis proportio extremi ad extremum componitur ex qualibet minori proportione illa, ut proportio dupla componitur ex qualibet proportione suprapartiente et qualibet superparticulari. Et distribuat ly „qualibet“ pro generibus singulorum. Probatur haec conclusio ostensive ex quarta suppositione, quam si omne compositum ex quantolibet minori eo componitur, et omnis proportio est composita ex aliquibus proportionibus, ut supponitur, consequens est, quod omnis proportio ex qualibet minori ea componatur. Quod fuit probandum. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod quaelibet proportio componitur ex qualibet proportione mediorum ad invicem et mediorum ad extrema, ut proportio dupla, quae est inter 8 et 4, componitur ex proportione 7 ad 6 et 6 ad 5, quae sunt proportiones mediorum, et ex proportione 8 ad 7 et 5 ad 4, quae sunt extremi ad medium et medii ad extremum. Probatur correlarium, quia quaelibet talis proportio est pars illius proportionis extremi ad extremum, cum componat eam, et est minor illa, ut patet ex prima conclusione, igitur componitur ex qualibet proportione mediorum et mediorum ad extrema. ¶ Sequitur secundo, quod omnis proportio ex infinitis proportionibus componitur. Probatur, quia ex qualibet minore ea componitur, ut patet ex conclusione, sed qualibet data infinite sunt minores, ergo quaelibet ex infinitis componitur. Probatur minor, quia imaginor quamlibet proportionem inaequalitatis esse latitudinem in infinitum divisibilem, quia alias non posset augeri nec ad non gradum proportionis | inaequalitatis successive diminui. ¶ Sequitur tertio, quod omnis proportio potest in infinitas proportiones dividi, quae proportiones se habebunt ut partes proportionales illius, et hoc, qua volueris, proportione. Patet, quia cum quaelibet proportio sit latitudo quaedam, ipsa habet medietatem, tertiam, quartam, sextam et sic deinceps, et per consequens quavis proportione divisibilis est in infinitas proportiones, quae sunt partes proportionales eius. ¶ Sequitur quarto, quod si aliqua proportio maioris inaequalitatis diminuatur usque ad proportionem aequalitatis, necesse est ipsam continuo successive transire per infinitas proportiones minores ea, ut si proportio 8 ad 4 deveniat ad proportionem aequalitatis per diminutionem ipsorum 8 usque ad 4, necesse est eam transire per omnes proportiones, ex quibus componitur talis proportio 8 ad 4, et illae sunt infintae, ut dicit secundum correlarium, igitur. Maior patet, quia cum continuo aliquid diminuitur usque ad certam quantitatem, per infinitas minores quantitates transit, ut notum est. Et sic similiter est de qualibet latitudine, quae continuo successive diminuitur, sed proportio 8 ad 4 est latitudo, quae continuo successive diminuitur, (ut pono), igitur. Et sic patet correlarium, quam eo modo probabis de quavis alia. 

Tertia conclusio: quamlibet proportionem in duas aequales proportiones secare, ut capta proportione, quae est 8 ad 4, ipsa in duas inaequales dividetur invento numero sine termino aequaliter distante ab utroque extremorum, puta invento numero senario, 8 enim ad 6 est proportio sesquitertia, et 6 ad 4 proportio sesquialtera, et haec maior est illa. Probatur haec conclusio, quia aut talis proportio datur inter duas quantitates continuas aut inter duos numeros, si inter duas quantitates continuas, illae erunt inaequales, quam de proportione maioris inaequalitatis loquimur, capiatur igitur quantitas media inter illas, quae aequaliter distat ab utraque illarum, et tunc manifestum est, quod maioris illarum quantitatum ad quantitatem mediam est una proportio, et mediae quantitatis ad minimam illarum est una alia proportio, et illa proportio, quae est inter illas quantitates, dividitur in illas duas proportiones intermedias, quia ex illis componitur, ut patet ex primo correlario secundae conclusionis, et prima illarum, quae videlicet est maioris quantitatis ad mediam, minor est illa, quae est mediae ad alterum extremum minus, igitur talis proportio dividitur in duas proportiones inaequales. Quod fuit probandum. Minor probatur, quia illa quantitas media per tantum excedit minus extremum, per quantum adaequate maius extremum excedit illam, igitur maior est proportio illius quantitatis mediae ad minus extremum quam alterius extremi, puta maioris ad mediam. Patet haec consequentia ex octava suppositione huius capitis. Sin autem talis proportio est inter numeros, puta inter A et C, quorum A est maior et C minor, vel igitur illi numeri sunt pares vel non pares. 

Si pares, manifestum est, quod aggregatum ex eis est numerus par, et per consequens habet medietatem, et illa medietas est medium inter illos duos numeros A [et] C, ut patet ex primo correlario primae conclusionis secundi capitis huius, sit igitur illud medium B, et sequitur, quod A ad B est una proportio, et B ad C est una altera, et ex illis componitur proportio A ad B, ut patet ex primo correlario secundae conclusionis huius, et prima illarum, quae videlicet est A ad B, est minor quam illa, quae est B ad C, quod patet ut supra, igitur proportio A ad C in duas proportiones inaequales secatur. Sin non pares, crescat uterque illorum duorum numerorum ad suum duplum, et sequitur, quod aequalem proportionem acquirit maior illorum et minor, puta 

3 Faksimile der Seite 32 

dupl[a], manent igitur in eadem proportione, ut patet ex correlario decimae suppositionis secundi capitis huius, inveniatur igitur medium inter illos duos numeros, et invenientur duae proportiones [i]naequales, in quas dividitur proportio inter illos duos numeros, ut praeostensum est. Patet igitur universaliter conclusio. ¶ Ex qua sequitur primo, quod quaelibet proportio in infinitas proportiones secari valet in numeris sine unitatis fractione, et capio ly „infinitas“ syncathegore[]matice. Probatur, quia capta proportione A in numeris manifestum est, quod illi numeri saltem per unitatem distabunt, hoc est saltem maior excedit minorem per unitatem, quae unitas est pars aliquota minoris, dupletur igitur uterque illorum numerorum, et sequitur, quod adhuc inter illos numeros duplatos manet proportio A, ut paulo ante deductum est, igitur iam excessus erit in duplo maior, quia erit pars aliquota eiusdem denominationis numeri in duplo maioris, igitur iam ibi inter illos duos numeros reperietur unus numerus medius, ut superius ostensum est, et per consequens duae proportiones inaequales, in quas dividitur talis proportio. Iterum duplentur illi numeri, inter quos est proportio A, et iam inter eos invenientur tres numeri intermedii, et sic erunt quatuor proportiones intermediae. Et si tertio duplentur illi numeri, invenientur septem numeri intermedii, et sic erunt 8 proportiones et sic in infinitum duplando semper numeros. Data igitur, quam volueris, proportione ipsa vel sibi aequalis, (quod pro eodem reputo), in infinitas proportiones secari valet, quod fuit ostendendum. Et sicut probatur in numeris, ita et facilius probabitur in quantitatibus. Et sicut probatur capiendo primos numeros excedentes se unitate, ita per locum a maiori probabitur capiendo numeros excedentes se numero, ut satis constat. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur secundo, quod capitis tribus terminis continuo proportionabilibus arithmetice et captis aliis tribus sic se habentibus, quod qualis est proportio inter duos maiores primi ternarii, talis sit inter duos maiores secundi ternarii, et qualis inter duos numeros primi ternarii, talis etiam sit inter duos minores secundi ternarii, tunc termini secundi ternarii sunt proportionabiles arithmetice, sicut et termini primi ternarii, ut captis his tribus terminis 4, 3, 2, qui sunt proportionabiles arithmetice, dico, quod isti 3 termini 8, 6, 4 sunt etiam arithmetice proportionabiles, quam qualis est proportio inter 4 et 3, talis est inter 8 et 6, et qualis inter 3 et 2, talis inter 6 et 4, ut patet. Probatur, sint tres termini A, B, C proportionabiles arithmetice, et sint alii tr[e]s D, E, F, et sit inter D et E talis proportio, qualis inter A et B, et inter E et F [talis], qualis inter B et C. Et tunc dico, quod D, E, F sunt tres termini proportionabiles arithmetice, ad quod probandum volo, quod excessus, quo A excedit B, sit G, et quo B excedit C, sit H aequalis G, ut oportet, et excessus, quo D excedit E, sit I, et quo E excedit F, sit K, et manifestum est, quod G est tota pars aliquota ipsius B vel totae partes, quota vel quotae I est ipsius E et eiusdem denominationis, et H est tota pars vel totae partes aliquotae et eiusdem denominationis respectu C sicut K respectu F, ut patet ex probatione quartae suppositionis secundi capitis huius. Quo supposito arguitur sic: I, quod est excessus inter D et E, est aequale ipsi K, quod est excessus inter E et F, igitur illi tres termini D, E, F sunt proportionabiles arithmetice. Consequentia patet manifeste, et arguitur antecedens, quia sicut se habet B ad C, ita E ad F, igitur sicut se habet B ad E, ita C ad F. Patet consequentia ex secunda conclusione tertii capitis huius, et ex consequenti sicut se habet B ad E, ita C ad F, puta | in L proportione, igitur G se habet ad I in L proportione, et H ad K etiam in L proportione. Patet consequentia ex undecima suppositione secundi capitis huius, illae enim sunt partes aliquotae eiusdem denominationis numerorum se habentium in L proportione, et ultra G se habet ad I in L proportione, et H ad K etiam in L proportione, igitur sicut se habet G ad H, ita I ad K. Patet per locum A permutata proportione, sed G et H se habent in proportione aequalitatis, igitur I et K. Quod fuit probandum. Probatur aliter correlarium tam in numeris, quam in quantitatibus continuis, et retenta eadem hypothesi manifestum est, quod ipsius A ad D et ipsius B ad C et ipsius C ad F est eadem proportio, quae sit L, quam ex hypothesi sicut se habet A ad B, ita se habet D ad E, ergo per locum A permutata proportione sicut se habet A ad D, ita B ad E, et ultra sicut se habet B ad C, ita E ad F ex hypothesi, ergo permutatim sicut se habet B ad E, ita C ad F, et A ad D est etiam proportio illa, quae est B ad C, igitur eadem proportio est A ad D et B ad E et C ad F, puta L. Quo supposito probatur correlarium, quia I et K sunt aequales, igitur D, E, F sunt termini continuo proportionabiles arithmetice. Patet consequentia ex hypothesi iuncta definitione proportionalitatis arithmetice. Probatur antecedens, quia sicut se habet G ad H, ita se habet I ad K, sed G et H se habent in proportione aequalitatis, ut patet ex hypothesi, igitur I et K se habent in proportione aequalitatis, et sic sunt aequalia, igitur. Probatur antecedens, quia sicut se habet G ad I, ita H ad K, ergo permutatim sicut se habet G ad H, ita I ad K. Quod fuit probandum. Probatur antecedens, quia G se habet ad I in L proportione, et H se habet ad K in eadem L proportione, igitur intentum. Probatur maior, quia G se habet ad I, sicut A se habet ad D, igitur se habet in L proportione. Patet consequentia ex hypothesi. Probatur antecedens, et volo, quod A diminuatur ad aequalitatem B perdendo G differentiam, per quam excedit ipsum B ex hypothesi, et D diminuatur ad aequalitatem C perdendo I differentiam, per quam excedit E ex hypothesi, et manifestum est, quod residui ex ipso A, quod est B, ad residuum ex ipso D, quod est E, adhuc est L proportio, ut patet ex hypothesi, ergo inter deperditum ab ipso A et deperditum ab ipso D est etiam L proportio, et deperditum ab ipso A est G, et deperditum ab ipso D est I, ergo G se habet ad I, sicut A ad D, puta in L proportione. Patet tamen consequentia ex primo correlario quintae conclusionis secundi capitis huius partis. Et sic patet maior. Iam probo minorem, quia H se habet ad K, sicut B si[c] se habet ad E, igitur propositum. Probatur antecedens, et volo, quod B diminuatur ad aequalitatem C perdendo H differentiam, et E diminuatur ad aequalitatem F perdendo K differentiam, et manifestum est, quod residui ex ipso B, quod est C, ad residuum ex ipso E, quod est F, est adhuc L proportio, ut patet ex hypothesi, igitur inter H deperditum a B termino maiori et K deperditum ab C termino minori est etiam L proportio, ut supra argutum est, igitur H se habet ad K, sicut B ad E, puta in L proportione. Quod fuit probandum. Et sic patet correlarium. Et haec est suppositio, quam calculator ponit in capitulo de inductione gradus summi circa principium sub ista forma. Si sint tria continuo proportionabilia proportione arithmetica, et sint alia tria consimiliter proportionabilia proportione geometrica sicut prima tria, illa etiam sunt c[on]tinuo proportionabilia proportione arithmetica. ¶ Sequitur ex hoc tertio, quod si sint tres termini arithmetice proportionabiles, et quilibet illorum dupletur aut tripletur aut sesquialteretur et cetera, semper proportio extremi ad extremum manet aequalis, et continuo manebunt illi tres termini arithmetice proportionabiles, et in ea proportione, in qua termini augmentantur, excessus augmentatur. 

4 Faksimile der Seite 33 

Probatur prima pars, quia semper uterque extremorum acquirit aequalem proportionem, igitur continuo inter ea manet eadem proportio. Secunda pars probatur, quia continuo manet eadem proportio inter medium et tertium, continuo etiam manet eadem roportio, quae antea erat inter secundum et tertium eadem ratione, qua inter extrema manet eadem proportio, ig[i]tur continuo illi termini manent proportionabiles arithmetice. 

Patet consequentia ex praecedenti correlario. Tertia autem sic probatur, quia semper illi excessus continuo manent partes aliquotae consimilis denominationis suorum numerorum, igitur in ea proportione, qua numeri fiunt maiores, et illi excessus etiam fiunt maiores, quia sunt partes aliquotae illorum numerorum eiusdem denominationis. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur quarto, quod si sint tres termini arithmetice proportionabiles, et stante maximo illorum invariato descrescat minimus illorum successive, ita quod continu[o] illi tres maneant arithmetice proportionabiles, necesse est medium in duplo tardius continuo decrescere minimo, necesse quoque est proportionem extremi ad extremum continuo augeri, ut datis his tribus terminis 12, 8, 4 et stantibus 12 decrescant 4 perdendo binarium, si illi tres termini debeant continuo manere arithmetice proportionabiles, necesse est numerum medium perdere unitatem, et sic manebunt arithmetice proportionabiles. Manebunt enim 12, 7, 2, et manebit maior proportio, quam erat antea inter extrema. Probatur, et sint A, B, C tres termini arithmetice proportionabiles, A maximus, C vero minimus, et perdat C unam partem sui, quae sit D, et medietas D sit E, et tunc dico, quod, cum C perdit D, B perdit E adaequate. Quod sic probatur, quoniam illi tres termini continuo manent proportionabiles arithmetice, igitur medium inter extrema est medietas aggregati et extremis, ut ex superioribus constat, sed facta tali diminutione aggregatum ex extremis est minus per D latitudinem quam antea, quia illam perdit adaequate, igitur medietas illius aggregati effecta est minor per medietatem illius, quod perdit totum, puta per medietatem ipsius D, sed medietas ipsius D est E, igitur medietas illius aggregati facta est minor per E adaequate, et illa medietas est medium inter illa extrema, igitur medietas inter illa extrema perdidit E. Quod fuit probandum. Secunda vero pars patet ex priori parte decimae suppositionis secundi capitis huius, quoniam numerus minor crescit stante maiore. Et haec est quaedam suppositio, quam ponit, et aliter probat calculator in principio capituli de intensione elementi. ¶ Sequitur quinto, quod omnis proportio componitur ex duabus pro[por]tionibus, puta maximi termini ad medium, et medii ad minimum, et proportio maximi ad medium minor est quam subdupla ad ipsam, quae est extremi ad extremum, et proportio medii termini ad minimum maior est quam subdupla, ut proportio sesquialtera, quae est 6 ad 4, componitur ex proportione 6 ad 5 et 5 ad 4, et proportio 6 ad 5 minor est quam subdupla, et 5 ad 4 maior est quam subdupla ad sesquialteram. Prima pars huius patet ex conclusione, et secunda probatur, quia omne compositum adaequate ex duobus inaequalibus est maius quam duplum ad minus illorum et minus quam duplum ad maius illorum, ut patet ex sexta suppositione huius. Sed omnis proportio componitur ex duabus proportionibus inaequalibus, quarum minor est ma[i]oris | extremi ad medium, et maior medii ad minimum extremum, ut patet ex eadem conclusione, igitur omnis proportio est maior quam dupla ad proportionem, quae est maioris extremi ad medium, et minor quam dupla ad proportionem, quem est medii termini ad minimum extremum. Patet consequentia in primo primae, et sic patet correlarium. ¶ Sequitur sexto, quod omnis proportio superparticularis componitur ex duabus, quarum una est maximi termini ad medium, et alia est medii ad minus extremum, et utraque illarum est superparticularis, et proportio medii ad minimum denominatur a parte aliquota denominata a numero duplo ad numerum, a quo denominatur pars aliquota, a qua denominatur proportio maximi ad minimum, et proportio maximi termini ad medium denominatur a parte aliquota denominata a numero immediate sequente numerum illum duplum, ut proportio sesquialtera, quae est 6 ad 4, componitur ex duabus inaequalibus, ut dictum est, et utraque illarum est superparticularis. Nam proportio 6 ad 5 est superparticularis, et 5 ad 4 similiter, et proportio, quae est 5 ad 4, denominatur a quarta, quae est pars aliquota denominata a numero in duplo maiore, quam sit numerus, a quo denominatur medietas, a qua medietate denominatur sesquialtera. Denominatur enim medietas a binario, et quarta a quaternario, et quinta denominatur a quinario, qui est numerus sequens immediate quaternarium. Probatur prima pars huius ex correlario immediate praecedenti, et secunda probatur, et quia omnis proportio superparticularis reperitur inter duos numeros immediatos, ut patet ex eius generatione posita in prima parte, capio igitur unam proportionem superparticularem, quae sit F, et duos terminos eius in numeris immediatos, puta A maiorem et C minorem, et tunc dico, quod proportio superparticularis inter illos duos numeros immediatos componitur adaequate ex duabus proportionibus superparticularibus, ex una videlicet, quae est maximi ad medium, et [ex] altera, quae est medii ad extremum. Probatur, quoniam, cum A et C sunt nnmeri immediati, et A maior, sequitur, quod A excedit C per unitatem, dupletur igitur tam C quam A, et manifestum est, quod inter illos duos numeros duplatos manet eadem proportio, quae erat antea, puta F, ut patet ex correlario decimae suppositionis secundi capitis huius, igitur excessus maioris termini sic duplati ad minorem etiam sit duplatum erit in duplo maior, ut patet ex tertio correlario huius conclusionis, et antea erat unitas, ergo modo est dualitas, et per consequens inter numerum maiorem ipsius proportionis F et numerum minorem mediat numerus excedens minimum illorum per unitatem, et qui exceditur maximo illorum per unitatem. Patet haec consequentia, quia omnis numerus excedens alterum per dualitatem distat ab eo per unum numerum tantum in naturali serie numerorum, ut satis constat, sit igitur talis numerus medius B, et sequitur, quod maximi termini illius proportionis F superparticularis datae ad ipsum B est proportio superparticularis, et ipsius B ad minimum extremum eiusdem proportionis F est etiam proportio superparticularis, quia illi tres numeri sunt immediati, igitur illa proportio F superparticularis 

5 Faksimile der Seite 34 

componitur ex duabus proportionibus superparticularibus, quarum una est maximi ad medium, et altera medii ad minimum extremum. Quod fuit probandum. Patet tamen consequentia, quia omnis proportio, quae reperitur inter duos numeros immediatos, est superparticularis, ut patet ex generatione superparticularium. Sed tertia pars probatur, quia duplato sic A et C numero ut supra, iam A numerus sic duplatus excedit C sic duplatum per dualitatem, et illa dualitas erit pars aliquota eiusdem denominationis ipsius C, sicut antea erat unitas, quia adhuc manet proportio F inter illos terminos, igitur adhuc maior illorum terminorum excedit minorem mediante eadem parte aliquota minoris, divisa igitur illa parte aliquota A minoris, quae est dualitas in duas partes aequales, puta in duas unitates, manifestum est, quod quaelibet illarum partium, in quas dividitur, est pars aliquota minoris denominata a numero in duplo maiori, ut constat, igitur numerus continens numerum minorem et talem partem aliquotam adaequate se habebit ad minorem numerum in proportione superparticulari denominata a parte aliquota, quae denominatur a numero duplo, a quo denominatur tota illa pars aliquota continens illas duas unitates, et talis numerus, qui videlicet continet numerum minorem et medietatem illius partis aliquotae sic divisae, est numerus medius inter extrema datae proportionis superparticularis, igitur proportio medii termini inter terminos proportionis superparticularis ad minimum extremum denominatur a parte aliquota denominata a numero in duplo maiore, quam sit numerus, a quo denominatur pars aliquota, a qua denominatur totalis illa proportio data superparticularis. Consequentia patet, et minor probatur, quia semper medius numerus inter duos excedit minorem per medietatem excessus, quo maior excedit minorem, quia alias non esset medius. Et sic patet tertia pars correlari. Et quarta probatur, quia ad invento medio inter terminos proportionis superparticularis, quod per solam unitatem excedit numerum minorem, et per solam u[n]itatem exceditur a maiore, ut est in proposito, ibi reperiuntur tres numeri immediati in naturali serie numerorum, igitur proportio maximi eorum ad medium denominatur a parte aliquota denominata a numero immediate sequente numerum, a quo denominatur pars aliquota denominans proportionem medii numeri ad minorem, ut patet ex prima parte aspicienti generationem superparticularium in naturali serie numerorum. Et sic patet correlarium quadripartitum, quod difficile apparet propter longitudinem terminorum, quibus utitur in probatione. Et ideo de cetero cum voluero dicere, quod aliqua proportio superparticularis denominatur ab aliqua parte aliquota denominata ab aliquo certo numero, dicam, quod talis proportio superparticularis denominatur a tali numero gratia brevitatis, quia nulla superparticularis denominatur a numero, sed a parte aliquota et unitate, et cum dico, quod denominatur a parte aliquota, intelligo inadaequate, quod ad propositum sufficit. ¶ Sequitur septimo, quod in omni proportione superparticulari capta proportione, quae est medii termini ad infimum, illa etiam componitur ex duabus superparticularibus, quarum una similiter est medii termini ad infimum, et illa denominatur a numero quadruplo ad numerum, a quo denominatur illa superparticularis proportio data, ut in proportione sesquiquarta, quae est 20 ad 16, capta proportione, quae est inter 18 et 16, puta medii numeri ad infimum, illa etiam componitur ex proportione medii termini eius, puta 17 ad 16, et illa proportio denominatur a numero quadruplo ad numerum, a quo denominatur proportio sesquiquarta, quia proportio, quae est 17 ad 16, denominatus a numero sexdecimo, et proportio 20 ad 16 a numero quaternario, hoc est a parte aliquota denominata ab illo, puta quaternario (semper sic intelligo). Modo sexdecimus numerus est quadruplus ad quaternarium. Probatur, et capio unam proportionem superparticularem F, quae sit A ad D, et medius numerus inter illa extrema sit B, tunc dico, quod proportio B ad D componitur ex duabus proportionibus superparticularibus, quarum una est medii termini ad infimum, qui medius terminus inter B et D sit C, et illa, puta C ad D, denominatur a numero quadruplo ad numerum, a quo denominatur proportio A ad D. Prima pars videlicet, quod proportio, quae est B ad D, componitur ex duabus superparticularibus et cetera, patet ex immediate praecedenti, et secunda probatur, quia proportio B ad D denominatur a numero duplo ad numerum, a quo denominatur F proportio A ad D, ut patet ex praecedenti correlario, et proportio C ad D eadem ratione denominatur a numero duplo ad numerum, a quo denominatur proportio B ad D, ut patet ex eodem correlario, igitur proportio C ad D denominatur a numero quadruplo ad numemerum, a quo denominatur proportio F A ad D. Quod fuit probandum. Patet haec consequentia, quia numerus duplus ad duplum alicuius certi dati est quadruplus ad illum certum datum, ut constat, sed numerus, a quo denominatur proportio C ad D, est duplus ad numerum, a quo denominatur proportio B ad D, et ille iterum est duplus ad numerum, a quo denominatur proportio F A ad D, igitur numerus, a quo denominatur proportio C ad D, est quadruplus ad numerum, a quo denominat[u]r proportio F, quae est A ad D. Quod fuit probandum. ¶ Sequitur octavo, quod quacumque proportione superparticulari data denominata ab aliquo certo numero omnis proportio superparticularis denominata a maiori numero usque ad duplum inclusive est maior quam medietas illius proportionis superparticularis datae, ut data proportione sesquiquarta omnis proportio superparticularis denominata ab [a]liquo numero a quaternario usque ad octonarium inclusive, qui est numerus duplus ad quaternarium, est maior quam subdupla ad sesquiquartam, et sic sesquiquarta, sesquisexta, sesquiseptima, sesquioctava est maior quam subdupla ad sesquiquartam. Probatur, quoniam quacunque tali superparticulari data ab aliquo numero denominata proportio superparticularis denominata a numero in duplo maiore est maior quam subdupla ad illam, quia talis est medii termini ad infimum, ut patet ex quinto et sexto correlario coniunctis, igitur omnis proportio superparticularis denominata a numero minori quam duplo ad numerum, a quo denominatur data proportio superparticularis est maior quam subdupla ad illam datam superparticularem. Patet haec consequentia per hoc, quod omnis superparticularis, quae denominatur a minori numero est maior, quia talis denominatur a maiori parte aliquota, et hoc auxiliante loco a maiori, et per consequens proportione superparticulari data denominata ab aliquo certo numero omnis proportio superparticularis 

6 Faksimile der Seite 35 

denominata a maiori numero usque ad duplum in[]clusive est maior quam subdupla ad illam superparticularem datam. Patet igitur correlarium. ¶ Sequitur nono, quod in omni proportione superparticulari proportio maximi extremi eius ad medium est maior quam subdupla ad proportionem medii ad minimum extremum, ut data proportione sesquitertia, quae est 8 ad 6, proportio 8 ad 7 est maior quam subdupla ad proportionem 7 ad 6. Probatur, quia proportio maximi extremi ad medium in proportione superparticulari, quaecumque fuerit, illa denominatur a numero superparticuri immediate sequenti numerum, a quo denominatur proportio medii ad minimum extremum, ut patet ex quarta parte sexti correlarii, et sic denominatur a numero minori duplo ad numerum, a quo denominatur proportio medii ad minimum extremum, igitur talis proportio maximi ad medium est maior quam subdupla ad proportionem medii ad minimum extremum. Patet consequentia ex octavo correlario. ¶ Sequitur decimo, quod in omni proportione superparticulari proportio maximi extremi ad medium est maior quam subtripla ad illam proportionem superparticularem. Probatur, quia dato opposito, puta quod sit subtripla aut minor subtripla, sequeretur, quod ipsa esset subdupla adaequate ad proportionem medii ad minimum extremum vel minor quam subdupla, sed consequens est falsum, ut patet ex nono correlario, igitur illud, ex quo sequitur, et per consequens correlarium verum. Quod fuit probandum. Sequela tamen probatur, quia quando aliquid componitur ex duobus inaequalibus adaequate, et minus illor[u]m est subtriplum eius, puta una tertia, illud minus est subduplum ad residuum, puta ad duas tertias, et si illud sit minus quam tertia illius totius, illud est minus quam subduplum ad totum residuum, sed sic est in proposito per te, igitur intentum. ¶ Sequitur undecimo, quod data quacumque proportione superparticulari denominata ab aliquo numero, omnis proportio superparticularis denominata a numero excedente illum per unitatem adaequate est maior quam medietas illius proportionis datae. Patet hoc correlarium ex octavo correlario, quia omnis talis denominatur numero minori quam duplo ad numerum, a quo denominatur data superparticularis. ¶ Sequitur duodecimo, quod data naturali serie proportionum super[par]ticularium, puta sesquialtera, sesquitertia, sesquiquarta et sic deinceps, quaelibet proportio superparticularis, quae denominatur ab altero duorum numerorum immediate sequentium numerum, a quo denominatur sesquialtera, est maior quam medietas sesquialterae, et quaelibet denominata ab aliquo trium numerorum immediate sequentium numerum, a quo denominatur sesquitertia, est maior quam medietas sesquitertiae, et quaelibet denominata ab aliquo quatuor numerorum immediate sequentium numerum, a quo denominatur sesquiquarta, est maior quam medietas eius et sic in infinitum semper addendo unum. Patet hoc correlarium, quoniam quaelibet talis denominatur a numero duplo vel minori duplo ad numerum, a quo denominatur data proportio superparticularis, ut patet intuenti, igitur quaelibet talis est maior quam medietas datae proportionis superparticularis. Patet consequentia ex octavo correlario. 

Quarta conclusio: quibuscumque duabus proportionibus inaequalibus propositis maior | illarum minorem per proportionem, quae est inter denominationes earum, excedit, ut captis quadrupla et tripla, quadrupla, quae est maior, excedit triplam per proportionem, quae est inter 4 et 3, quae est sesquitertia. Et hoc ideo, quia tripla denominatur a ternario, quadrupla vero a quaternario. Et hic adverte, quod aliud est dicere, proportio quadrupla excedit triplam per proportionem sesquitertiam, et se habet ad triplam in proportione sesquitertia. Nam sexdecupla excedit octuplam per proportionem duplam, et se habet ad illam in proportione sesquitertia, ut postea patebit. Et hoc documentum debes memoriae commendare, si vis calculatorem intelligere in capitulo secundo de medio non resistente, quod ego voco de medio uniformiter difformiter resistente. Probatur conclusio supponendo primum unum manifestum, quod probatione non indiget, videlicet quod quacumque quantitate continua signata ad eam potest dari omnis proportio possibilis capiendo maiorem quantitatem. Quo supposito capio duas proportiones F maiorem et G minorem, et utriusque illarum proportionum minimum extremum sit C quantitas continua, et aliud extremum F proportionis sit A, et aliud G proportionis sit B, ita quod proportio F sit A ad C, et proportio G sit B ad C, et sint illi primi termini illarum proportionum gratia argumenti, et tunc dico, quod proportio F maior excedit proportionem G per proportionem, quae est inter denominationes illarum, hoc est inter terminos, a quibus illae proportiones denominantur, puta inter A et B. Quod sic probatur, quia F proportio A ad C maior componitur adaequate ex proportione A ad B et ex proportione B ad C, quae est G, ut patet ex secunda conclusione huius, igitur proportio A ad C continet adaequate proportionem B ad C et ultra proportionem, quae est A ad B. Igitur proportio F, quae est A ad C, excedit proportionem G, quae est B ad C per proportionem, quae est A ad B. Quod fuit probandum. Illa enim est proportio inter primos terminos illarum proportionum, a quibus illae proportiones F et G denominantur. ¶ Ex hac conclusione sequitur primo, quod capto uno termino habente duas proportiones maioris inaequalitatis ad duos terminos minores inaequales, ut oportet, proportio inter illos duos minores terminos est illa, per quam maior proportio excedit minorem, ut capto octonario numero habente proportionem ad ternarium et quaternarium dico, quod proportio octonarii ad ternarium, quae est maior, excedit proportionem octonarii ad quaternarium minorem per proportionem, quae est inter quaternarium et ternarium. Probatur: sint duae proportiones, puta F proportio, quae sit A ad C, et G proportio minor, quae sit A ad B, et tunc ego dico, quod proportio B ad C est illa, per quam proportio F excedit proportionem G. Probatur, quia proportio F componitur adaequate ex proportione A ad B et ex proportione B ad C, ut patet ex secunda conclusione, igitur proportio F, quae est A ad C, addit adaequate supra proportionem G, quae est A ad B, proportionem B ad C, et per consequens F proportio excedit proportionem G per proportionem B ad C adaequate, cum ill[a] adaequate addat ultra alteram, et illa, videlicet B ad C, est proportio, quae est inter terminos minores illarum duarum proportionum inaequalium, igitur correlarium verum. 

¶ Sequitur secundo, quod si duo numeri sive quantitates se habent in proportione tripla, subquadruplum maioris est subsesquitertium minoris, et si duo numeri se habent in proportione dupla, subquadruplum maioris est subduplum minoris, quemadmodum 

7 Faksimile der Seite 36 

duobus numeris se habentibus in proportione sesquialtera, subduplum maioris est subsesquitertium minoris. Probatur prima pars, quia in casu illius idem numerus habet duas proportiones maioris inaequalitatis ad duos numeros minores inaequales, puta triplam ad suum subtriplum et quadruplam ad suum subquadruplum, ut constat, igitur proportio, per quam quadrupla excedit triplam, est proportio inter illos numeros minores, puta subtriplum et subquadruplum, ut patet ex praecedenti, et proportiom per quam quadrupla excedit triplam, est sexquitertia, quae est inter numerus denominantes illas, ut patet ex conclusione, igitur inter illos duos numeros minores, puta subtriplum et subquadruplum, est proportio sexquitertia. Quod fuit probandum. Et eodem modo probabis reliquas partes et infinita talia correlaria. ¶ Sequitur tertio, quod universaliter talis est proportio inter duas partes aliquotas inaequales alicuius quantitatis, qualis est inter numeros, a quibus denominantur tales partes aliquotae, ut capta quarta alicuius et etiam tertia eiusdem dico, quod inter tertiam et quartam talis est proportio, qualis est inter 4 et 3, puta sesquitertia. Ad quod probandum peto primo, quod quaelibet pars aliquota alicuius denominatur a certo numero, ut medietas a binario, tertia a ternario, quarta a quaternario, quinta a quinario et cetera. Peto secundo, quod cuiuslibet quantitatis ad quamlibet sui partem aliquotam est proportio multiplex denominata a numero, a quo denominatur talis pars aliquota, ut cuiuslibet quantitatis ad suam quartam est proportio quadrupla denominata a numero quaternario, a quo denominatur quarta, et ad suam tertiam est tripla denominata a numero ternario, a quo denominatur tertia, et sic consequenter. Quibus basibus suppositis ostenditur correlarium, et sit A una quantitas, et sit H una pars eius aliquota, et C alia minor pars aliquota eiusdem A, et sit A ad C F proportio, et A ad B G proportio minor, ut oportet, et sit D numerus, a quo denominatur B pars aliquota, et E, a quo denominatur C pars aliquota, et tunc dico, quod tal[i]s est proportio inter B et C, qualis inter D et E. Quod sic ostenditur, quia proportio F, quae est A ad C, excedit proportionem G, quae est A ad B per proportionem B ad C, ut patet ex primo correlario, et proportio, per quam proportio F excedit proportionem G, est illa, quae est inter denominationes sive inter termininos, a quibus denominantur F et G proportiones, ut patet ex conclusione, igitur proportio B ad C est proportio, quae est inter terminos, a quibus denominatur F et G proportiones, et F et G proportiones denominantur a D et E numeris, a quibus denominantur BC partes aliquotae ipsius A, ut patet ex secunda petitione igitur, talis est proportio inter B et C, qualis est inter D et E. Quod fuit probandum. Et sic patet correlarium. ¶ Sequitur quarto, quod constituta naturali serie proportionum multiplicium et constituta etiam naturali serie proportionum superparticularium secunda species proportionis multiplicis excedit primam speciem per primam speciem proportionis superparticularis, puta per sesquialteram, et tertia species multiplicis excedit secundam per secundam speciem proportionis superparticularis, et quarta multiplicis excedit tertiam per tertiam superparticularis et sic in infinitum. Probatur, quia captis primis duabus speciebus proportionis multiplicis, puta dupla et tripla, illae denominantur a numero binario | et ternario, ut constat, et tripla excedit duplam per proportionem, quae est inter illos numeros, ternarium videlicet et binarium, ut patet in conclusione, et inter illos est prima species proportionis superparticularis, ut patet ex secundo capite primae partis, ubi generantur infinitae species proportionis superparticularis sereatim in naturali serie numerorum, igitur. Item captis tripla et quadrupla multiplicibus illae excedunt se per proportionem, quae est 4 ad 3, ut patet ex conclusione, et inter illos numeros est secunda species proportionis superparticularis, puta sexquitertia, ut patet ex loco praeallegato, igitur correlarium verum, quoniam eodem modo probabis de aliis. ¶ Sequitur quinto, quod per tot proportiones superparticulares consequenter et sereatim assumptas excedit quaelibet species multiplicis proportionis distans a prima primam speciem multiplicis per quot unitates numerus, a quo denominatur illa species, distat a numero, a quo denominatur prima species proportionis multiplicis, puta dupla. Et sic etiam dicendum est de qualibet alia specie multiplici, a qua distat per aliquot species, ut proportio quintupla excedit proportionem duplam per tres species proportionis superparticulares sereatim sumptas, videlicet per proportionem sesquialteram, quae est 3 ad 2, et sesquitertiam, quae est 4 ad 3, et sesquiquartam, quae est 5 ad 4. Patet hoc correlarium facile ex anteriori. ¶ Sequitur sexto, quod universalis series proportionum superparticularium infinitam latitudinem proportionis constituit. Probatur, quia constituit infinite magnam proportionem multiplicem cum proportione dupla, igitur talis series in infinitum magna latitudo est proportionis. Item talis series proportionum superparticularium est naturalis series numerorum incipiendo a binario, sed in infinitum magna proportio est alicuius numeri a binarium, igitur [in] infinitum magna latitudo proportionis est naturalis series proportionum superparticularium. Et hoc nota ad capitulum de augmentatione. 

 

Alvarus Thomas und sein Liber de triplici motu

Table of Contents

Vorbemerkungen

Hinweise zu den Editionsrichtlinien

Faksimile des Liber de triplici motu von Alvarus Thomas und bearbeitete Ausgabe des Liber de triplici motu

Widmungsbrief und Eröffnungsgedichte

Einleitung

1. Kapitel des 1. Teils

2. Kapitel des 1. Teils

3. Kapitel des 1. Teils

4. Kapitel des 1. Teils

5. Kapitel des 1. Teils

6. Kapitel des 1. Teils

7. Kapitel des 1. Teils

8. Kapitel des 1. Teils

1. Kapitel des 2. Teils

2. Kapitel des 2. Teils

3. Kapitel des 2. Teils

4. Kapitel des 2. Teils

5. Kapitel des 2. Teils

6. Kapitel des 2. Teils

7. Kapitel des 2. Teils

8. Kapitel des 2. Teils

1. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

5. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

6. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

7. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

8. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

9. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

10. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

11. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

12. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

13. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

14. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

15. Kapitel des 1. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 2. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 3. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 3. Traktats des 3. Teils

1. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

2. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

3. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

4. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

5. Kapitel des 4. Traktats des 3. Teils

Recognita

Gedichte und Briefe am Ende des Liber de triplici motu


This publication is licensed under a Creative Commons Attribution-Non Commercial-Share Alike 3.0 Germany (cc by-nc-sa 3.0) Licence.