Abriss des zweiten Teils des Liber de triplici motu

Kapitel 2.1

Das Kapitel behandelt die Definition und die Einteilung der proportionalitates.

definitio der proportionalitas:

„Die Proportionalität, die besonders mit der sententia des Nikomachus verbunden ist, trägt dazu bei, die Sternkunde, die Musik und die Vorlesungen der Alten zu verstehen, aber in der Tat bezieht sie sich nicht weniger auf die Physik und die physikalischen Berechnungen. Um sich deren Verständnis zuzuwenden, gilt es, dass es einen Unterschied zwischen einem Verhältnis und einer Proportionalität gibt. Denn ein Verhältnis ist, wie gesagt worden ist, die Beziehung zweier Quantitäten, die wechselseitig aufgestellt werden. Darüber wurde weiter oben gesprochen. Aber die Proportionalität ist die fest stehende Beziehung zweier Verhältnisse oder mehrerer von einen zum anderen. So wie ein Verhältnis sei es die Beziehung von Zahlen oder Quantitäten. Die Proportionalität ist aber eine Zusammenstellung von Verhältnissen. Gleichwie denn Zahlen wechselseitig nach der maioritas oder minoritas aufgestellt werden, so beziehen sich Verhältnisse wechselseitig nach maioritas oder minoritas aufeinander.“¹

Korollar: „Daher rührt es, dass jede Proportionalität ein Verhältnis ist, obwohl sich nicht jedes Verhältnis als Proportionalität heraushebt. Dieses Korollar ist aus sich selbst heraus offensichtlich. Denn ein Verhältnis oder eine Klasse oder etwas an Stelle einer Klasse verhält sich so, als ob die Proportionalität mit diesem Term verglichen wird.“²

nota: „Und achte darauf, dass in dem Vorschlag das Mittel, die Gleichheit und die Proportionalität dasselbe sind und in derselben Art und Weise definiert werden. Denn das Mittel ist die Beziehung zweier oder mehrerer Verhältnisse von einem zum anderen, wie die Beziehung, die zwischen einem doppelten und einem vierfachen Verhältnis ist.“³

Aufteilung der proportionalitates:

„Bei den neueren Mathematikern gibt es elf Proportionalitäten oder Mittel, deren letztes das vollendetste ist. Darin findet man alle einfachen musikalischen Klänge. Aber bei den alten [Mathematikern] findet man [noch] drei berühmte Proportionalitäten, nämlich die arithmetische [Proportionalität], die geometrische [Proportionalität] und die musische oder harmonische [Proportionalität].“⁴

definitio der proportionalitas arithmetica und der differentia:

„Dann besteht eine arithmetische Proportionalität, wenn nach der Aufstellung von drei, vier oder mehreren Termen zwischen ihnen dieselben differentiae, aber nicht dieselben Verhältnisse gefunden werden. Ein Beispiel, wie man nach der Aufstellung von diesen drei Termen oder Zahlen 1, 3, 5, zwischen denen man nicht dasselbe Verhältnis findet, aber sehr wohl denselben Unterschied. Denn Eins zu 3 ist ein durch Drei geteiltes [oder eindrittelfaches] Verhältnis, und Drei zu 5 ist ein durch Fünfdrittel geteiltes [oder dreifünftelfaches] Verhältnis. Daher sind jene Verhältnisse nicht ähnlich. Dennoch gibt es eine [gleiche] differentia. Das heißt, dass der Überhang, durch den die zweite Zahl die erste [Zahl] übertrifft, hinsichtlich der differentia gleich dem [Überhang] ist, durch den die dritte [Zahl] die zweite [Zahl] übertrifft, weil beider differentia Zwei ist. Denn in dem Vorschlag – das heißt bei der gegebenen definitio durch die Terme – verstehe man [es so], dass die Zahlen in einer Reihe aufgestellt werden, oder dass man die, die sich wie Zahlen verhalten, in einer Reihe aufstellt. Und man verstehe den Überhang, durch den eine Zahl die andere übertrifft, durch die differentiae. Man wird auch diese Proportionalität in einer natürlichen Reihe an Zahlen finden, wenn man die 6, die 7 und die 8 erfasst. Und man vergleiche zwischen ihren Termen die verschiedenen Verhältnisse, weil ja das [Verhältnis] der ersten [Zahl] zur zweiten [Zahl] ein durch Siebensechstel geteiltes [oder sechssiebentelfaches] Verhältnis ist, und das [Verhältnis] der zweiten [Zahl] zur dritten [Zahl] ein durch Achtsiebentel geteiltes [oder siebenachtelfaches] Verhältnis. Und es besteht zwischen jenen Verhältnissen die gleiche differentia. Daher findet man bei diesen Termen eine arithmetische Proportionalität. Jene Terme sind nämlich stetig arithmetisch und proportional.“⁵

definitio der termini continuo proportionabiles proportionalitate arithmetica: „Daher sind jene Terme stetig proportional gemäß einer arithmetischen Proportionalität, zwischen denen stetig ein gleicher Überhang besteht. Und so wie der erste [Term] den zweiten [Term] durch irgendeinen Überhang übertrifft, so überträfe der zweite [Term] den dritten [Term] mit dem gleichen Überhang, und der dritte [Term] den vierten [Term] und folgerichtig so weiter; oder auch umgekehrt, wenn man von den kleineren [Termen her] anfängt.“⁶

1. Korollar: „Daraus holt man hervor, dass alle Zahlen in einer natürlichen Reihe an Zahlen stetig proportionale Terme gemäß einer arithmetischen Proportionalität sind, weil sie sich stetig um den gleichen Überhang zum Beispiel durch Eins übertreffen.“⁷

2. Korollar: „Es folgt weiter darüber hinaus, dass Verhältnisse, [zum Beispiel] doppelte, vierfache, achtfache, sechzehnfache, zweiunddreißigfache [Verhältnisse und] folgerichtig so weiter beim Aufsteigen nach pariter pares Zahlen stetig arithmetische proportionale Terme sind, weil sich ja jene Verhältnisse durch ein gleiches Verhältnis übertreffen, z.B. ein doppeltes [Verhältnis]. Denn ein vierfaches [Verhältnis] übertrifft ein doppeltes [Verhältnis] um ein doppeltes [Verhältnis]. Und ein achtfaches [Verhältnis] übertrifft ein vierfaches [Verhältnis] auch um ein doppeltes [Verhältnis]. Und ebenso übertrifft ein sechzehnfaches [Verhältnis] ein achtfaches [Verhältnis] um ein doppeltes [Verhältnis]. Daher sind jene Verhältnisse stetig arithmetisch proportional.“⁸

definitio der proportionalitas geometrica:

„Ein geometrisches Mittel oder [eine geometrische] Proportionalität ist, wievielmal auch immer nach der Aufstellung von drei Termen oder mehreren zwischen denen dieselben Verhältnisse, aber ganz und gar nicht dieselben differentiae gefunden werden. Und unter denselben Verhältnissen verstehe man in dem Vorschlag gleiche Verhältnisse. Und unter gleichen Verhältnisse verstehe man Verhältnisse derselben denominatio. Dieser Art und Weise sind das Verhältnis von 4 zu 2 und [das Verhältnis von] 12 zu 6. Denn sie haben dieselbe denominatio. Denn beide von ihnen sind doppelte [Verhältnisse], wie es aus dem vorigen Teil fest steht. Daher sind alle doppelten [Verhältnisse] gleich, und alle anderthalbfachen [Verhältnisse] und alle fünfdrittelfachen [Verhältnisse]. Ein Beispiel dieses Mittels wird in den Termen 2, 4 und 8 gefunden. Denn wie das Verhältnis der ersten [Zahl] zur zweiten [Zahl] ist, so ist das Verhältnis der zweiten [Zahl] zur dritten [Zahl]. Denn bei beiden [Verhältnissen] findet man ein die zwei enthaltendes Verhältnis. Aber beide [Verhältnisse] haben nicht dieselben differentiae, weil ja der dritte Term den zweiten [Term] um die Zahl Vier übertrifft, aber der zweite [Term] den ersten [Term] nur um Zwei.“⁹

1. Korollar: „Aus dem Gesagten wird ausgeführt, dass alle Zahlen, die pariter pares sind, stetig geometrisch proportioniert werden. Denn zwischen ihnen ist stetig ein doppeltes Verhältnis, wie es in den Termen 2, 4, 8, 16 offensichtlich ist.“¹⁰

2. Korollar: „Alle ungeraden Zahlen, die sich stetig verdreifachen, wobei mit der Drei angefangen werden muss, sind stetig geometrisch proportionierbar. Denn wenn sie sich stetig verdreifachen, verhalten sie sich stetig in einem dreifachen Verhältnis. Daher beinhaltet jede [Zahl], die unmittelbar folgt, die vorausgehende [Zahl] dreimal, wie es in den Termen 3, 9, 27 offensichtlich ist.“¹¹

3. Korollar: „Es wird drittens erkannt, dass alle von pariter pares Zahlen bestimmten Verhältnisse durch das Auslassen einer pariter par Zahl nach der zweiten Zahl, die pariter par ist, zweier [pariter pares Zahlen] nach der vierten [Zahl, die pariter par ist], von vier [Zahlen, die pariter par sind,] nach der siebenten [Zahl, die pariter par ist] und folgerichtig so weiter durch stetiges Verdoppeln der dazwischen liegenden Zahlen stetig proportionale geometrische Terme sind, wie zum Beispiel ein doppeltes Verhältnis, ein vierfaches, ein sechzehnfaches, ein hundertachtundzwanzigfaches [Verhältnis] und folgerichtig so weiter, oder wie sie in diesen Termen 1, 2, 1, 4, 1, 16, 1, 128 und so weiter gefunden werden.“¹²

definitio der proportionalitas harmonica:

„Ein harmonisches oder musikalisches Mittel oder [eine harmonische] Proportionalität ist [vorhanden], so oft auch immer drei Terme oder mehr aufgestellt werden, zwischen denen nicht dieselben Verhältnisse und nicht [dieselben] differentiae bestehen. Aber wie sich der größte Term zum kleinsten [Term] verhält, so verhält sich die differentia der größeren [Terme] zur differentia der kleineren [Terme] wie nach der Aufstellung der drei Terme 6, 4, 3, zwischen denen weder dieselben Verhältnisse noch dieselben Differenzen gefunden werden können. Aber wie der größte von ihnen sich zum kleinsten [Term] verhält, so verhält sich die differentia des größten [Terms] zum mittleren [Term] und [die differentia] des mittleren [Terms] zum kleinsten [Term], wie es fest steht. Einige Eigenschaften werden zu diesem harmonischen Mittel ausgezeichnet, aber sie werden [erst] im nachfolgenden [Kapitel] gezeigt.“¹³

nota zu den weiteren proportionalitates:

„ Nikomachus fügte den drei alten und berühmten Mitteln oder Proportionalitäten 7 neuere Proportionalitäten hinzu, so dass die Zahl auf Zehn aufgefüllt wurde. Sie wurde bei den alten [Mathematikern] höher geschätzt, wie es offensichtlich ist bei dem Philosophen im 15. Teil der Probleme. Aber man wird sie sehen können bei Severinus Boëthius am Ende seiner Arithmetik und bei anderen neuen Mathematikern. Denn sie werden in diesem Werk nicht ausgelassen, obwohl die Philosophierenden sie in ihren physischen Berechnungen ganz und gar nicht nutzen.“¹⁴

Zusatz zu definitio der proportionalitas: „Hier muss schließlich beachtet werden, dass eine Proportionalität [etwas] Zweifaches ist: Einige sind verbunden, einige getrennt.“¹⁵

definitio der proportionalitas coniuncta:

„Eine verbundene Proportionalität ist jene [Proportionalität], die in drei der mehreren Termen zusammenhängend aufgestellt ist, wie die Proportionalität, die in den drei Termen 3, 6 und 12 gefunden wird. Und diesem Mittel ist es eigen, dass es zwei Verhältnisse unter den drei Termen zum kleinsten [Term] gibt. Unter den drei Termen werden immer nur allein zwei Verhältnisse gefunden werden. Und mehr [als die] können nicht gefunden werden beim Nutzen dieser Terme und auch keine anderen, außer man stellt den ersten [Term] mit dem letzten [Term] zusammen. Aber dann werden alle Terme zweimal erfasst. Daher muss bemerkt werden, wenn wir sagen, dass unter drei Termen allein zwei Verhältnisse oder höchstens zwei [Verhältnisse] gefunden werden, falls man den letzten [Term] mit dem ersten [Term] zusammenstellen sollte, dass es [nur] verstanden werden muss, wenn wir außer den drei Termen nichts nutzen und auch keine irgendwelche anderen [Terme], die in Gedanken dazwischen liegen. Denn zwischen der 6 und der 12 werden viele Verhältnisse gefunden werden, wenn wir die dazwischenliegenden Terme wie die Acht, Neun, Zehn und Elf nutzen.“¹⁶

definitio der proportionalitas disiuncta sive divisa:

„Aber eine geteilte oder getrennte Proportionalität ist jene [Proportionalität], die nicht zusammenhängend aufgestellt ist in 4 oder mehr Termen, wie diese Proportionalität eine getrennte Proportionalität ist, die in diesen vier Termen ist – 1, 2, 6, 12. Und dieser [Proportionalität] ist es eigentümlich, zumindest aus vier Termen, die nicht zusammenhängend proportionale [Terme] sind, zu bestehen. Deshalb besteht nicht dasselbe Verhältnis vom ersten [Term] zum zweiten [Term] und vom zweiten [Term] zum dritten [Term]. Das ist aus dem gegebenen Beispiel offensichtlich.“¹⁷

definitio der proportionalitas maxima sive perfectissima:

„Diesen drei [vorherigen] Mitteln muss ein gewisses Mittel oder eine Proportionalität zugefügt werden, die von den Mathematikern die größte und vollendetste [Proportionalität] genannt wird. Daher ist das vollendetste Mittel jenes, dass aus vier Termen und drei Zwischenräumen besteht, und in dem andere berühmte Proportionalitäten gefunden werden können, wie in diesen vier Termen: 6, 8, 9, 12. Denn dort besteht eine größte und vollendetste Proportionalität. Unter dem Zwischenraum verstehe man das Verhältnis, das zwischen zwei unmittelbaren Termen ist. Und indem man es so versteht, wird man zwischen vier Termen freilich drei Zwischenräume finden. Das sind drei Verhältnisse, die sich reihenweise verhalten, wie man bei den gegebenen Termen die Verhältnisse 6 zu 8, 8 zu 9 und 9 zu 12 finden wird. Dieses Mittel hat viele Eigenschaften.“¹⁸

1. proprietas: „Wenn man den dritten [Term] zum ersten [Term] und den vierten [Term] zum dritten [Term] zusammenstellt, wird eine arithmetische Proportionalität gefunden, weil ja dieselben Unterschiede und nicht dieselben Verhältnisse gefunden werden.“¹⁹

2. proprietas: „Wenn man den vierten [Term] zum zweiten [Term] stellt und den dritten [Term] zum ersten [Term], findet man eine geometrische Proportionalität, weil bei den beiden [Verhältnissen] dort ein anderthalbfaches Verhältnis ist. Die differentiae aber sind nicht bei beiden [Verhältnissen] dieselben. So ist die eine differentia die Zahl Vier, die andere [differentia] Drei. Daher ist dort ein geometrisches Mittel.“²⁰

3. proprietas: „Wenn die vierte Zahl zur zweiten [Zahl] und die zweite [Zahl] zur ersten [Zahl] stellt, wird man ein harmonisches Mittel finden.“²¹

4. proprietas: „In diesem vollendetsten Mittel werden alle einfachen Klänge verbunden.“²²

consonantiae musicae simplices:

„Denn es gibt vier einfache musische Klänge, der Tonus, der Fünfklang, der Vierklang und der Achtklang.“²³

tonus: „So hat der Tonus zwei Stimmen, von denen die eine über die andere in einem Neunachtelverhältnis angehoben wird, und er ist ein harmonischer Klang der einen [Stimme] zur anderen [Stimme] wie zwischen zwei Stimmen, von denen die eine [Stimme] sich wie 8 verhält und die andere [Stimme] wie Neun, oder von denen sich die eine [Stimme] wie 16 verhält und die andere [Stimme] wie 18.“²⁴

diatesseron: „Und ein Vierklang ist ein musischer Klang zwei Stimmen, von denen die eine [Stimme] über die andere [Stimme] in einem Vierdrittelverhältnis angehoben wird. Wie zwischen zwei Stimmen, die sich wie 4 und 3 verhalten.“²⁵

diapente: „Der Fünfklang ist ein harmonischer Klang zweier Stimmen, von denen die eine [Stimme] über die andere [Stimme] in einem anderthalbfachen Verhältnis angehoben wird. Zum Beispiel zwischen den Stimmen, die sich wie 12 und 8 oder wie 3 und 2 verhalten.“²⁶

diapasson: „Ein Achtklang ist aber ein harmonischer Klang zweier Stimmen oder Töne – was ich im gegenwärtigen Augenblick für dasselbe erachte – von denen die eine [Stimme] über die andere [Stimme] in einem doppelten Verhältnis angehoben wird. Wie jener harmonische Klang, der zwischen den Stimmen besteht, die sich wie 12 und 6 verhalten. Das ist der musische Klang, der Achtklang genannt wird.“²⁷

1. Korollar: „Zwischen allen harmonischen einfachen Klängen ist der Achtklang der größte [einfache harmonische Klang]. Das wird bewiesen, weil die anderen Teile von ihm sind. Daher sind diese kleiner [als der Achtklang]. Der Vordersatz legt dar, dass der Achtklang aus dem Tonus, dem Vierklang und dem Fünfklang zusammengesetzt wird. Daher. Das Vordersatz wird bewiesen: Zum Beispiel ist das Verhältnis 12 zu 6 als Klang ein Achtklang. Und ein solcher Klang wird zusammengesetzt aus dem Klang 8 zu 6, der ein Vierklang ist, und aus dem Klang 9 zu 8, der ein Tonus ist, und aus dem Zusammenklang 12 zu 8, der ein Fünfklang ist. Daher wird der Achtklang aus drei anderen einfachen, zugleich erschallenden [Klängen] gebaut oder zusammengesetzt. Daraus folgt, dass der Achtklang der größte musische Klang unter den einfachen [Klängen] ist. Ich behaupte, dass es unter den einfachen [Klängen] sehr viele zusammengesetzte Klänge gibt wie den Doppeltonus, den Halbtonus, den Dreifachtonus, den Doppelvierklang, den Doppelfünfklang, den Doppelachtklang und den Dreifachachtklang und den Vierfachachtklang und folgerichtig so weiter. Aber nur mit Schwierigkeit findet man in der menschlichen Stimme einen größeren Klang als den Doppelachtklang, außer Stentor kehrte aus der Unterwelt zurück. An dessen wundersame Stimme erinnern Homer und auch der Philosoph im siebenten [Buch] über die Politik im vierten Kapitel. Wenn dennoch eine menschliche Stimme beim Aufsteigen bis ins Unendliche vermehrt werden oder verstärkt werden würde, oder auch irgendein harmonisches Werkzeug, würden sich die harmonischen Klänge bis ins Unendliche verdoppeln. Und sie würden sich harmonischer Verhältnisse bedienen. Soviel dazu. Denn sie dienen zu wenig der Philosophie. Aber all jenes wird eingeführt, so dass der Physiker und Naturforscher über die Geschwindigkeiten der Bewegungen klar einsieht, dass in Bezug auf harmonische oder musische Klänge keine Gleichheiten oder Proportionalitäten beachtet werden müssen. Diese conclusio wäre ihm nur offensichtlich, wenn er die vorher genannten Terme verstehen würde.“²⁸

2. Korollar: „Zweitens ist aus dem Genannten das Mittel offensichtlich, das wir zum dritten dazugefügt haben, das nämlich aus gutem Grunde das vollendetste [Mittel] genannt wird. Der Beweis dafür ist, wie man beim genannten Mittel drei berühmte Proportionalitäten findet, die arithmetische, die geometrische und die harmonische [Proportionalität]. In diesem Mittel findet man sogar alle einfachen harmonischen Klänge.“²⁹

3. Korollar: „Aus all diesem füge ich weiter hinzu, dass alles Wissen und alle andere Kunst der Philosophie dient. Und ihr [dienen] die Mägde und Burschen, wie leicht aus dem, was gesagt worden ist, erblickt werden kann. Und deutlich dient dies [alles] der Philosophie des Pythagoras, der aufstellte, dass die Himmel als jene Körper, die wiederkehrend ewig sind, um sich [selbst] durch harmonischen Klängen herumgedreht werden. [Siehe] als Zeugnis den Philosophen im zweiten [Buch] über die Welt und den Himmel, sowie Plinius im zweiten Buch der Naturgeschichte.“³⁰

Kapitel 2.2

Im zweiten Kapitel werden Eigenschaften der im ersten Kapitel des zweiten Teils aufgeführten Proportionalitäten beschrieben.

1. suppositio, die eine definitio des mathematischen medium ist:

„Ein Medium ist [das], was von beiden Extrema mit gleichen Abstand entfernt ist, wie die Zahl Drei das Medium zwischen der Vier und der Zwei ist, weil sie durch den gleichen Überhang oder durch die gleiche Differenz von jeder der dieser beiden absteht, nämlich durch eine Eins.“³¹

2. suppositio, die eine definitio der partes aliquotae ist:

„Irgendwievielte Teile derselben denominatio sind jene [Teile], die von derselben Zahl bestimmt werden wie die Hälfte durch die Zwei, das Drittel von der Drei und das Viertel von der Vier und so weiter.“³²

3. suppositio, die eine definitio ist:

„Dass eine gewisse Quantität irgendetwas Gleiches mehrfach in genau irgendeinem Verhältnis beinhaltet, als eine andere Quantität dasselbe Gleiche beinhalten kann, bedeutet, dass sich jene Quantität in demselben Verhältnis zur anderen [Quantität] verhält, wie wenn irgendeine Quantität in genau einem anderthalbfachen Verhältnis mehr Füße beinhaltet, als eine andere, kleinere [Quantiät]. Eine solche Quantität verhält sich zu der kleineren [Quantität] in einem anderthalbfachen Verhältnis.“³³

4. suppositio:

„Wenn irgendeine Quantität oder Zahl so oft eine zweite Zahl beinhaltet [oder] umgekehrt, wie oft eine beliebige dritte Zahl eine vierte [Zahl] beinhaltet [oder] umgekehrt, oder umgekehrt [eine die andere] so oft irgendeinen oder beliebig viele irgendwievielte Teile derselben denominatio [beinhaltet], wievielmal genau die dritte [Zahl] oder die vierte [Zahl] irgendeinen Teil oder beliebig viele irgendwievielte Teile dieser [denominatio] beinhaltet [oder] umgekehrt, gilt: Wie das Verhältnis zwischen der ersten [Zahl] und der zweiten [Zahl] ist, so ist es zwischen der dritten [Zahl] und vierten [Zahl].“³⁴

5. suppositio:

„Wenn zwei Zahlen oder Quantitäten in irgendwievielte Teile derselben denominatio geteilt werden, sind so viele Teile der einen denominatio, wie sie in der anderen [denominatio] sind. Das ist offensichtlich: Weil wenn sie von derselben denominatio sind, [dann] werden sie von derselben Zahl bestimmt, wie es aus der zweiten suppositio offensichtlich ist. Und folgerichtig sind sie hinsichtlich der Zahl gleich. Denn dann werden irgendwelche irgendwievielte Teile irgendeiner Quantität von irgendeiner Zahl bestimmt, wenn eine solche Quantität in so viele gleiche Teile geteilt wird, wie Einheiten in einer solchen Zahl sind.“³⁵

6. suppositio:

„Wenn zwei Zahlen oder Quantitäten in irgendwievielte Teile derselben denominatio geteilt werden, und jede [Quantität] einen oder mehrere irgendwievielte Teile von sich verliert, während irgendwelche [Teile] übrig bleiben, werden die restlichen [Teile] von derselben denominatio sein, wie wenn zwei Fuß auf ähnliche Weise in 5 Fünftel geteilt werden, und ein Fuß ebenfalls. Und die zwei Fuß verlieren zwei Fünftel von sich und der eine Fuß ebenfalls. Die restlichen Teile werden von derselben denominatio sein, nämlich eines Drittels, wie es offensichtlich ist. Das wird bewiesen, weil am Anfang der Abnahme jene irgendwievielten Teile jener Quantitäten hinsichtlich einer Zahl gleich sind und hinsichtlich einer Zahl gleichen [Teile] werden von jeder jener Quantitäten verloren werden, wie es dargestellt wird, und einige [Teile] von ihnen zurückbleiben. Also werden die übrig bleibenden [Teile] gleich hinsichtlich einer Zahl bleiben. Die Schlussfolgerung ist offensichtlich, weil wenn man von gleichen Zahlen gleiche [Zahlen] wegnähme und so weiter, werden sie folgerichtig immer von der gleichen Zahl bestimmt werden. Daher werden sie immer von derselben denominatio sein, wie es aus der definitio offensichtlich ist.“³⁶

7. suppositio:

„Wie das Verhältnis einer [Quantität] zu irgendeinem irgendwievielten Teil von ihr ist, so hat [das Verhältnis] einer beliebigen anderen [Quantität] zu einem beliebigen Teil von ihr eine ähnlichen denominatio. Wie es zum Beispiel das Verhältnis einer Quantität zu ihrer Hälfte, ihrem Drittel, ihrem Viertel und so weiter ist, so ist es das [Verhältnis] der beliebigen anderen [Quantität] zu ihrer Hälfte, ihrem Drittel, ihrem Viertel und so weiter. Dies ist offensichtlich aus der vierten suppositio. Es wird hinzugefügt, dass wievielmal eine Quantität einen beliebigen irgendwievielten Teil von ihr beinhaltet, sovielmal beinhaltet eine andere beliebige Quantität einen irgendwievielten Teil von ihr mit einer völlig ähnlichen denominatio, weil die irgendwievielte Teile derselben denominatio immer hinsichtlich der Zahl gleich sind, wie es aus der fünften suppositio offensichtlich ist.“³⁷

8. suppositio:

„Wenn irgendwelche zwei Zahlen oder Quantitäten in zwei gleiche Teile geteilt werden, hat eine beliebige jener Zahlen zur anderen [Zahl] von ihnen dasselbe Verhältnis. Und wenn jede der beiden zwei Zahlen in mehr irgendwievielte Teile derselben denominatio geteilt werde, als es zwei sind, gilt: So ist das Verhältnis der einen jener Zahlen zum Aggregatum aus allen solchen irgendwievielten Teilen, wenn ein [Teil] weggenommen wird, wie es das der anderen [Quantität] zum Aggregatum aus allen [Teilen], wenn ein [Teil] ebenso weggenommen wird. Zum Beispiel [gilt] bei der Teilung von Sechs in drei irgendwievielte Teile, und ebenso bei der Drei [in drei irgendwievielte Teile]: So ist das Verhältnis derselben Sechs zu dem Aggregatum aus zwei Dritteln von ihr, wie es das [Verhältnis] der Drei zu dem Aggregatum aus zwei Dritteln von ihr ist. So steht es fest.“³⁸

1. Korollar: „Wenn jede jener beiden Quantitäten oder Zahlen, die so in irgendwievielte Teile derselben denominatio geteilt sind, genau einen solchen irgendwievielten Teil verlieren würden, verlieren [beide] das gleiche Verhältnis.“³⁹

2. Korollar: „Wenn jede der beiden zwei Zahlen in irgendwievielte Teile derselben denominatio geteilt wäre und [jede] einen jener Teile zu sich aufnähme, erwirbt jede von beiden [Zahlen] genau das gleiche Verhältnis.“⁴⁰

9. suppositio:

„Wenn zwei ungleiche Zahlen oder Quantitäten sich in irgendeinem Verhältnis verhalten, und die größere [Zahl] von ihnen verliere irgendein Verhältnis, während die kleinere [Zahl] unverändert bleibe, dann verliert das Verhältnis zwischen der größeren [Zahl] und der kleineren [Zahl] jenes Verhältnis, das genau die größere [Zahl] verliert, solange die kleinere [Zahl] immer die kleinere [Zahl] bliebe.“⁴¹

10. suppositio:

„Wenn zwei ungleiche Zahlen oder Quantitäten sich zueinander in irgendeinem Verhältnis befinden, und die kleinere [Zahl] irgendein Verhältnis verliere, während die größere [Zahl unverändert] bleibt, dann erwirbt das Verhältnis, das zwischen der größeren Quantität und der kleineren [Quantität] besteht, jenes Verhältnis. Und wenn die größere [Quantität] wie die kleinere Quantität ein so großes Verhältnis verliert, dann wird das Verhältnis zwischen der größeren [Quantität] und der kleineren [Quantität] weder vermehrt noch vermindert, sondern es bleibt gleich, solange die Extrema der Quantität [gleich] bleiben.“⁴²

Korollar: „Wenn die kleinere Quantität genau ein so großes Verhältnis erwirbt, wie es die größere Quantität erwirbt, [dann] wird das Verhältnis immer dasselbe bleiben.“⁴³

11. suppositio:

„Welches Verhältnis auch immer zwischen irgendwelchen Zahlen oder Quantitäten ist, ein solches ist zwischen irgendwievielten Teilen einer ähnlichen denominatio.“⁴⁴

Korollar: „Wenn zwei Zahlen, die sich in irgendeinem Verhältnis befinden, stetig irgendwievielte Teile derselben denominatio erwerben, werden sie immer in demselben Verhältnis bleiben.“⁴⁵

12. suppositio:

„Wenn irgendetwas aus zwei gleichen oder ungleichen [Zahlen] zusammengesetzt wird, gilt: Wie viel die eine jener [Zahlen] verliert, so viel erwirbt die andere [Zahl]. Ein Kompositum aus ihnen verliert oder erwirbt nichts, sondern bleibt immer gleich.“⁴⁶

Folgende conclusiones werden von diesen suppositiones abgeleitet:

1. conclusio:

„Jedes Kompositum aus zwei ungleichen [Zahlen], zwischen denen es eine mittlere [Zahl] gibt, ist das Doppelte in Bezug zur mittleren [Zahl] zwischen jenen [Zahlen], wie das Kompositum aus 4 und 2 das Doppelte in Bezug zur Zahl Drei ist, die die Mitte zwischen jenen bildet.“⁴⁷

1. Korollar: „Der mittlere [Term] zwischen zwei ungleichen [Termen] ist das Mittel des Aggregatum aus jenen [zwei ungleichen Termen].“⁴⁸

2. Korollar: „Das Mittel des Aggregatum aus zwei ungleichen [Zahlen], zwischen denen es eine mittlere [Zahl] gibt, ist gleich von jeder der beiden [Zahlen] entfernt.“⁴⁹

3. Korollar: „Jede Zahl zwischen den um sie herum gesetzten Zahlen , die gleich von ihr entfernt sind, ist ein Mittel. Wenn sie das Mittel von ihnen wäre, kommt man überein, dass sie von ihm gleich entfernt sind.“⁵⁰

4. Korollar mit der 1. proprietas des arithmetischen Mittels: „Daraus folgt viertens, dass der mittlere [Terme] eines verbundenen arithmetischen Mittels der Term das Mittel der ebenso verbundenen Extrema ist. Wie wenn man die stetig proportionalen Terme A, B und C erfasst, [dann] ist der mittlere Term B das Mittel des Aggregatum aus A und C.“⁵¹ Und weiter heißt es: „Und dies sei die erste Proportionalität des arithmetischen Mittels. Und man verstehe diese Eigenschaft so, dass solche Terme stetig proportional hinsichtlich der Proportionalität in ungerader Anzahl sein werden, oder stetige Quantitäten [sind]. Sonst würde man meistens keinen mittleren [Term] zwischen solchen Termen finden, zum Beispiel zwischen 2, 3, 4 und 5.“⁵²

5. Korollar mit der 2. proprietas des arithmetischen Mittels: „Wenn 3 Terme aufgestellt wurden, die stetig arithmetisch proportional sind, ist das Aggregatum aus dem größten Term und dem kleinsten [Term] zwei Drittel des Aggregatum aus jenen drei Termen. Und wenn 5 stetig arithmetisch verhältnismäßige [Terme] aufgestellt worden sind, ist das Aggregatum aus dem größten [Term] und dem kleinsten [Term] zwei Fünftel. Und auch das Aggregatum aus dem zweiten Term und dem vierten [Term] ist zwei Fünftel. Und wenn 7 [Terme] aufgestellt worden sind, ist das Aggregatum aus dem größten [Term] und dem kleinsten [Term] zwei Siebentel und ebenso das Aggregatum aus dem zweiten [Term] und dem sechsten [Term], sowie das Aggregatum aus dem dritten [Term] und dem fünften [Term]. Und wo im Allgemeinen auch immer mehrere Terme in ungerader Anzahl stetig arithmetisch in ein Verhältnis gesetzt werden, ergibt immer das Aggregatum aus zwei beliebigen [Zahlen], die den gleichen Abstand von einem mittleren [Term] haben, zwei irgendwievielte Teile des Aggregatum aus all jenen, von dessen irgendwievielten Teilen jeder der beiden von einer ungeraden Zahl bestimmt wird, von der jene Terme bestimmt werden. Wie wenn es elf Terme gäbe, werden sie als zwei Elftel bestimmt, und wenn 13, [dann] zwei Dreizehntel.“⁵³

2. conclusio:

„Wenn zwei Zahlen von zwei Zahlen, die um sie herum gestellt worden sind, den gleichen Abstand haben, werden sie gleich sein, sobald sie verbunden sind. Wenn sie ihnen nun gleich wären, ist es notwendig, dass sie von ihnen den gleichen Abstand haben. Wie wenn man die Terme 2, 3, 4 und 5 erfasst, die Zahl Fünf und die Zwei, die die Vier und die Drei mit gleichen Abstand umgeben, sobald sie verbunden sind, der Vier und der Drei gleichen, wenn sie zugleich verbunden werden. Und weil die Fünf und die Zwei, wenn sie zugleich verbunden werden, gleich der Vier und der Zwei sind, sobald sie verbunden sind, daher stehen sie notwendigerweise von jenen mit gleichen Abstand ab.“⁵⁴

1. Korollar mit der 3. proprietas des arithmetischen Mittels: „Wenn vier Terme eines arithmetischen Mittels, das getrennt ist, [aufgestellt werden], gleichen die echten Extrema, sobald sie verbunden sind, den versammelten [oder verbundenen] mittleren [Termen].“⁵⁵ Und weiter: „Denn wenn vier Terme sich arithmetisch verhältnismäßig verhalten und noch getrennt sind, wird die Differenz, die zwischen dem ersten [Term] und dem zweiten [Term] sein wird, [auch] zwischen dem dritten [Term] und dem vierten [Term] sein. Deswegen werden die mittleren [Terme] den gleichen Abstand von den Extrema haben, wenn sie verbunden sind. Daher gleichen die versammelten [oder verbundenen] Extrema den mittleren [Termem] gemäß der Lehre der conclusio.“⁵⁶

Und weiter: „Wenn man aber sagen will, dass jene Eigenschaft so verstanden wird, dass das Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem letzten [Term] dem Aggregatum aus dem zweiten [Term] und dem vorletzten [Term] gleicht, und sogar [das Aggregatum] dem Aggregatum aus dem dritten [Term] und dem vorvorletzten [Term] gleicht und so weiter, dann ist es offensichtlich, dass es bei den gegebenen Termen falsch ist. Denn bei jenen bilden die Zwei und die 14 zusammen 16. Und der dritte [Term] schließlich und der vorvorletzte [Term], nämlich 7 und 10, bilden 17. Daher.“⁵⁷

2. Korollar: „Wenn vier arithmetisch proportionale Terme, seien sie verbunden oder getrennt, festgelegt werden, [dann] ist das Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem letzten [Term] das Mittel des Aggregatum aus allen [Termen] und sogar das Aggregatum aus dem zweiten [Term] und dem dritten [Term] ist das Mittel des gesamten Aggregatum aus allen [Termen] zugleich.“⁵⁸

3. Korollar: „Wenn sechs Terme, wenn acht [Terme] oder 10 oder [Terme] in irgendeiner geraden Anzahl aufgestellt wurden, die sich stetig arithmetisch proportional verhalten, [dann] ist das Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem letzten [Term] und das Aggregatum aus dem zweiten [Term] und dem vorletzten [Term] und das Aggregatum aus dem dritten [Term] und dem vorvorletzten [Term] und folgerichtig so weiter ein irgendwievielter Teil des Aggregatum aus allen jenen Termen, die von einer halbierten Zahl in Bezug auf die geraden Anzahl bestimmt werden, in der solche Terme festgelegt werden. Wie wenn es sechs Terme gäbe, dann ist das Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem sechsten [Term] und auch das Aggregatum aus dem zweiten [Term] und dem fünften [Term] und das aus dem dritten [Term] und dem vierten [Term] ein Drittel des Aggregatum aus allen jenen sechs Termen. Und wenn es acht solche Aggregata wären, werden sie ein Viertel sein, weil das Viertel von einer halbierten Zahl in Bezug auf die Zahl Acht bestimmt wird.“ ⁵⁹

4. Korollar: „Gäbe es vier Terme, die nicht stetig sich arithmetisch proportional verhalten, die aber dennoch stetig immer kleiner werden und sich stetig um eine immer kleinere differentia übertreffen, [dann] ist das Aggregatum aus den Extrema größer als das Aggregatum aus den mittleren [Termen]. Und es ist größer als das Mittel des Aggregatum aus jenen vier Termen.“⁶⁰

5. Korollar: „Wenn es sechs Terme gebe, die stetig kleiner werden und sich mit kleinerem Überhang stetig übersteigen, oder 8 oder 10 oder in einer beliebigen Anzahl gerader [Terme], [dann] ist das Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem letzten [Term] größer als ein irgendwievielter Teil, der von einer durch Zwei geteilten Zahl in Bezug auf die Anzahl jener Terme bestimmt wird. Und das Aggregatum aus den zwei mittleren [Termen] und den unmittelbaren Termen ist kleiner als ein solcher irgendwievielter Teil des ganzen Aggregatum aus allen jenen Termen. Wie wenn man 19, 14, 10, 7, 5 und 4 erfasst, [dann] ist das Aggregatum aus 19 und 4 größer als ein Drittel des Aggregatum aus allen jenen sechs Termen und das Aggregatum aus 10 und 7 ist kleiner, wie es aus dem, der nachrechnet, offensichtlich ist.“⁶¹

6. Korollar: „Wenn es mehrere Terme gäbe, deren gerade Anzahl festgelegt ist und die immer größer werden und sich stetig um einen immer größeren Überhang übersteigen, [dann] ist das Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem letzten [Term] größer als ein irgendwievielter Teil, der von einer durch Zwei teilbaren Zahl in Bezug zu der Anzahl bestimmt wird, in der jene Terme festgelegt werden. Und das Aggregatum aus zwei unmittelbaren mittleren [Termen], die den gleich Abstand haben von den Extrema, ist weniger als ein irgendwievielter Teil, der von derselben durch Zwei geteilten Zahl bestimmt wird. Wie wenn man 4, 5, 7, 10, 14 und 19 erfasst, ist das Aggregatum aus den Extrema, nämlich 4 und 19, größer als ein Drittel des ganzen Aggregatum aus allen jenen [Termen]. Und das Aggregatum aus 7 und 10 ist kleiner als ein Drittel des ganzen [Aggregatum].“⁶²

7. Korollar: „Wenn mehrere Terme, die in gerader Anzahl aufgestellt und stetig immer kleiner werden und sich stetig mit einem immer größeren Überhang übersteigen, [dann] wird das Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem letzten [Term] ein kleinerer irgendwievielter Teil des ganzen Aggregatum aus allen [Termen] als ein irgendwievielter Teil sein, der von einer durch Zwei geteilten Zahl in Bezug auf die gerade Anzahl bestimmt wird, in der die gegebenen Terme festgelegt wurden. Und das Aggregatum aus den zwei unmittelbar mittleren [Termen], die den gleichen Abstand von den Extrema haben, ist größer als ein solcher irgendwievielter Teil. Wie wenn man die Terme 12, 11, 9 und 6 erfasst, [dann] ist das Aggregatum aus 12 und Sechs kleiner als das Mittel des Aggregatum aller jener. Das Mittel wird bestimmt von der Zahl Zwei, die durch Zwei geteilte [Zahl] in Bezug auf die Zahl Vier ist, in der jene Terme festgelegt werden. Und das Aggregatum aus der 11 und der 9 ist größer als das Mittel.“⁶³

3. conclusio mit der 4. proprietas des arithmetischen Mittels:

„Was ,unter den Extrema‘ mit dem Quadrat der differentia zusammengefasst wird, das ist dem Quadrat des mitteleren [Terms] gleich.“⁶⁴

1. nota: „Beachte dennoch zum Verständnis des Zusammenhangs dieser conclusio das, was ,unter den Extrema‘ einer arithmetischen Proportionalität verstanden werden soll, [nämlich] das, was sich aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit dem anderen [Extremum] ergibt. Zum Beispiel schließt es die Zahl Acht bei den Extrema der Proportionalität 4, 3 und 2 ein, weil sich beim Vervielfältigen von 4 mit 2 Acht ergibt. Denn zweimal 4 sind Acht. Ebenso schließt es die 32 bei den Extrema der arithmetischen Proportionalität 8, 7 und 4 ein, weil sich durch das Vervielfältigen von 8 mit 4 32 ergeben. Denn viermal Acht sind 32.“⁶⁵

2. nota: „Beachte weiterhin, dass das Quadrat des mittleren Terms das ist, was sich aus der Vervielfältigung des mittleren Terms mit sich selbst ergibt, wie die Zahl Neun das Quadrat des mittleren [Terms] in der arithmetischen Proportionalität 4, 3 und 2 ist, weil es sich aus der Vervielfältigung der Zahl Drei mit sich selbst ergibt. Denn dreimal Drei sind Neun.“⁶⁶

Und weiter: „Aber das Quadrat der differentia ist das, was sich aus der Vervielfältigung der differentia mit sich selbst ergibt, wie in dem arithmetischen Mittel von 8, 6 und 4 die Zahl Vier das Quadrat der differentia ist. Denn die Zahl Zwei ist die differentia, wie es fest steht. Denn die Zwei ergibt vervielfältigt mit sich selbst die Vier.“⁶⁷

Und weiter: „Die Zahl, die sich aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit der anderen [Extremum] in einem stetigen arithmetischen Mittel ergibt, zusammen mit der Zahl, die sich aus der Vervielfältigung der differentia mit sich selbst ergibt, ist gleich der Zahl, die sich aus der Vervielfältigung des mittleren [Terms] mit sich selbst ergibt. Zum Beispiel sind in dem Mittel die 8, die sich aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit dem anderen [Extremum] ergibt, wenn sie mit der Zahl Vier verbunden wird, die sich aus der Vervielfältigung der differentia mit sich selbst, gleich 36, was sich aus der Vervielfältigung des mittleren Terms Sechs mit sich selbst ergibt.“⁶⁸

4. conclusio mit der definitio des geometrischen Mittels:

„Für ein geometrisches Mittel wurden vier Terme aufgestellt. Wenn sich der erste [Term] zum zweiten [Term] wie der dritte [Term] zum vierten [Term verhält], ist es notwendig, dass sich ebenso der erste [Term] zum dritten [Term] wie der zweite [Term] zum vierten [Term] verhält., so dass [gilt:] So wie sich die Acht zur Vier verhält, so verhält sich die Sechs zur Drei. Der Nachsatz ist: Acht zur Sechs wie Vier zu Drei. Das wird bewiesen: A, B, C und D seien vier Terme in einem geometrischen Mittel. Und es verhalte sich A zu B wie C zu D. Dann sage ich, dass wie sich A zu C verhält, so B zu D. Das wird so im ersten [Satz] mit Zahlen bewiesen. Denn wenn sich A zu B verhält, so C zu D, [dann] ist B ein [irgendwievielter] Teil oder irgendwievielte Teile derselben denominatio in Bezug auf A, und ebenso D in Bezug auf C. Und weiterhin ist B ein irgendwievielter Teil oder irgendwievielte Teile derselben denominatio in Bezug auf A, wie D in Bezug auf C. Also wie sich A zu C verhält, so B zu D. Was zu beweisen war.“⁶⁹

1. proprietas des geometrischen Mittels: „Wenn zwei beliebige größere Zahlen ähnliche Verhältnisse zu zwei kleineren [Zahlen] haben, sind jene kleineren Zahlen irgendwievielte Teile der größeren [Zahlen] mit einer ähnlichen denominatio.“⁷⁰

1. Korollar mit der 2. proprietas des geometrischen Mittels: „Aus dieser Schlussfolgerung folgt erstens, dass nach der Aufstellung von vier Termen in diesem Mittel gilt: Wie das Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem zweiten [Term] zum zweiten [Term], so ist das Aggregatum aus dem dritten [Term] und dem vierten [Term] zum vierten [Term]. Zum Beispiel bei der Aufstellung der Terme 8, 4, 6 und 3. Wie sich 8 und 4 zu 4 verhält, so 6 und 3 zu 3.“⁷¹

2. Korollar mit der 3. proprietas des geometrischen Mittels: „Es folgt zweitens, dass nach der Aufstellung von 4 Terme in diesem Mittel gilt: Wie das Verhältnis des ersten [Terms] zum zweiten [Term] ein solches [Verhältnis] ist, so es das Verhältnis des Aggregatum aus dem ersten [Term] und dem dritten [Term] zum Aggregatum aus dem zweiten [Term] und dem vierten [Term]. Zum Beispiel gilt bei der Aufstellung der Terme 12, 6, 4 und 2: Wie das Verhältnis von 12 zu 6, so ist das Verhältnis von 12 und 4 zu 6 und 2.“⁷²

3. Korollar mit der 4. proprietas des geometrischen Mittels: „Nach der Aufstellung von 4 Termen in diesem Mittel [gilt]: Wie das Verhältnis des zweiten [Terms] zum ersten [Term] ist, so ist das [Verhältnis] des vierten [Terms] zum dritten [Term]. Wie bei den aufgestellten 4 Termen, 8, 4, 6 und 3 gilt: Wie das Verhältnis von 4 zu 8 ist, so ist das von 3 zu 6.“⁷³

4. Korollar: „Es folgt viertens, dass bei der Aufstellung von 4 Termen [gilt]: Wie der erste [Term] und zweite [Term] zum zweiten [Term] und der dritte [Term] und vierte [Term] zum vierten [Term steht], so [steht] der erste [Term] zum zweiten [Term] und der dritte [Term] zum vierten [Term]. Zum Beispiel bei der Aufstellung von 4 Termen, 8, 4, 3 und 1: Weil 8 und 4 zu 4 ein solches Verhältnis ist, wie es 2 und 1 zu 1 ist, wie es aus dem ersten Korollar dieser conclusio offensichtlich ist, [gilt]: Wie daher das Verhältnis des ersten [Terms] zum zweiten [Term] ist, so ist das [Verhältnis] des dritten [Terms] zum 4. [Term], wie es fest steht.“⁷⁴

5. Korollar: „Nach der Aufstellung von vier Termen zu diesem Mittel gilt: So wie das Aggregatum aus dem vierten [Term] und dem dritten [Term] zum dritten [Term] ist, so ist auch das Aggregatum aus dem zweiten [Term] und dem ersten [Term] zum ersten [Term]. [Es gilt:] Wie sich nach der Aufstellung von den Termen 8, 4, 6 und 3. So wie 3 und 6 sich zu 6 verhalten, so 4 und 8 zu 8.“⁷⁵

6. Korollar: „Es folgt sechstens, dass nach der Aufstellung von 3 stetig proportionalen Termen in diesem Mittel und drei anderen ebenfalls stetig proportionalen [Termen] in demselben Mittel und in demselben Verhältnis, in dem die drei vorigeren [Terme] sich stetig verhältnismäßig verhalten, [dann] verhalten sich die Extrema der ersten drei [Terme] so, wie sich die Extrema der zweiten [drei Terme] verhalten, wie sich nach der Aufstellung von 4, 2, 1, 12, 6 und 3, sich die 4 zur 1 verhält, so auch die 12 zur 3. A, B, C, D, E und F seien sechs Terme und sind stetig verhältnismäßig gebildet. Sie sind die ersten drei Terme in dem Verhältnis G. Und in demselben Verhältnis verhalten sich stetig verhältnismäßig die anderen drei [Terme], nämlich D, E und F. Und gäbe es das genau zusammengesetzte Verhältnis H aus dem verdoppelten G, dann sage ich, dass dasselbe Verhältnis von A zu C, wie es das von D zu F ist.“⁷⁶

Und weiter: „Und durch einen ebensolchen Nachweis wird man zeigen, dass nach der Aufstellung von drei Vieren, die sich stetig in demselben Verhältnis verhalten, [oder nach der Aufstellung] von fünf Fünfen [oder nach der Aufstellung] in der Anzahl, die man wollen wird, [gilt:] In welchem Verhältnis auch immer sich die Extrema des einen verhalten, in demselben [Verhältnis] verhalten sich die Extrema des beliebigen anderen.“⁷⁷

5. conclusio, die auch die 5. Eigenschaft des geometrischen Mittels ist:

„Nach der Aufstellung von beliebig vielen, stetig proportionalen Termen in diesem geometrischen Mittel [gilt]: So wie stetig das Verhältnis jener Terme ist, so ist es zwischen den differentiae oder den Überhängen von ihnen. Wie nach der Aufstellung der Terme 16, 8, 4, 2 und 1 [gilt]: So wie das Verhältnis von 16 zu 8 ist, so ist es das [Verhältnis] des Überhangs, durch den 16 die 8 übertrifft, zu dem Überhang, durch den 8 die 4 übertrifft, und auch das [Verhältnis] des Überhangs, durch den 4 die 2 übertrifft, zu dem Überhang, durch den die Zwei die Eins übertreffen, wie es offensichtlich ist. Denn es gibt zwischen jenen Überhängen ein doppeltes Verhältnis wie zwischen Termen.“⁷⁸

1. Korollar: „Wenn zwei ungleiche Zahlen stetig vermindert werden und stetig in demselben Verhältnis bleiben, verhält sich der stetig von der größeren Zahl verlorene [Betrag] in demselben Verhältnis zu dem von der kleineren Zahl verlorenen [Betrag], in dem sich jene Zahlen, die vermindert werden, stetig verhalten. Wie wenn die Zahl Acht und Vier vermindert werden, aber stetig in einem doppelten Verhältnis bleiben, wird sich stetig der verlorene [Betrag] von der Acht in einem doppelten Verhältnis zum verlorenen [Betrag] von der Vier verhalten.“⁷⁹

2. Korollar: „Wenn sich stetig der von der größeren Zahl verlorene [Betrag] zu dem von der kleineren Zahl verlorenen [Betrag] nicht in demselben Verhältnis verhalten, in dem sich jene Zahlen stetig verhalten, die vermindert werden, [dann] verhalten sich jene zwei ungleichen, die stetig vermindert werden, nicht in demselben Verhältnis und so weiter.“⁸⁰

3. Korollar: „Wenn die von zwei ungleichen Zahlen verlorenen [Beträge] in demselben Verhältnis bleiben, in dem sich die Zahlen am Anfang der Verlusts verhalten, [dann] bleiben die zurückbleibenden Zahlen stetig in demselben Verhältnis. Und wenn die Zahl Zwölf und Sechs vermindert werden und sich der stetig von der Zwölf verlorene [Betrag] in einem doppelten Verhältnis [zu dem] von der Sechs [verlorenen Betrag] verhält, verhält sich stetig das, was von der Zwölf übrig bleibt, in einem doppelten Verhältnis zu dem, was von der Sechs übrig bleibt. Und durch den Inhalt dieses Beispiels verstehe ich das Korollar. Denn bei diesem [Beispiel] muss keine dialektische Wahrnehmung erwartet werden, sondern der mathematische Satz muss eingefordert werden.“⁸¹

4. Korollar: „Wann immer zwei ungleiche Zahlen stetig anwachsen und sie sich stetig in demselben Verhältnis verhalten, ist es nötig, dass sich der stetig von der größeren Zahl erworbene [Betrag] in demselben Verhältnis zu dem von der kleineren [Zahl] erworbenen [Betrag] verhält, in dem sich die anwachsenden Zahlen zueinander verhalten. Wie wenn die Zahl Vier und die Sechs stetig anwachsen und stetig in einem anderthalbfachen Verhältnis bleiben, [dann] ist es notwendig, dass der stetig von der Sechs erworbene [Betrag] sich in einem anderthalbfachen Verhältnis zu dem von der Vier erworbenen [Betrag] verhält.“⁸²

5. Korollar: „Wenn zwei beliebige, ungleiche Zahlen gegeben werden, die sich in einem beliebigen Verhältnis befinden, und [die kleinere Zahl] in dem Verhältnis, in dem die kleinere [Zahl] von der größeren [Zahl] übertroffen wird, in demselben [Verhältnis] stetig langsamer als die größere [Zahl] anwächst, [dann] bleiben solche Zahlen in demselben Verhältnis. Wie bei den gegebenen [Zahlen] 4 und 6, die sich in einem anderthalbfachen Verhältnis verhalten. Wenn dann die Sechs irgendeinen Zuwachs erwerben würde, erwirbe die Vier einen [Zuwachs], der um das Anderthalbfache weniger ist. [Daher] bleiben sie stetig in einem anderthalbfachen Verhältnis.“⁸³

6. conclusio:

„Nach der Aufstellung der gegebenen drei Zahlen in diesem Mittel gilt: Das, was durch die Vervielfältigung des Extremum mit dem Extremum entsteht, ist gleich dem Quadrat des mittleren [Terms], das heißt der Zahl, die sich aus der Vervielfältigung des mittleren Terms mit sich selbst ergibt. Wie nach der Aufstellung der drei Terme 8, 4 und 2, ist die Zahl Sechszehn, die sich aus der Vervielfältigung der Acht mit der Zwei ergibt, gleich der Zahl, die sich aus der Vervielfältigung der Vier mit sich selbst ergibt, wie es fest steht.“⁸⁴

1. Korollar, das die 6. proprietas des geometrischen Mittels darstellt: „Bei diesem Mittel ist das, was aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit dem anderen Extremum der drei Terme entsteht, eine Quadratzahl.“⁸⁵

2. Korollar: „Wenn man zwei Zahlen aufstellt, die sich in irgendeinem rationalen Verhältnis von größerer Ungleichheit verhalten, und eine Zahl, die sich aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit dem anderen [Extremum] ergibt, nicht eine Quadrat[zahl] ist, gibt es zwischen solchen Termen keinen mittleren proportionalen [Term] gemäß einem rationalen Verhältnis. Daher sei das rationale Verhältnis der ersten [Zahl] zu jener mittleren [Zahl] so wie das [Verhältnis] jener mittleren [Zahl] zur dritten [Zahl].“⁸⁶

3. Korollar: „Wenn eine mittlere, proportionale [Zahl] zwischen zwei Zahlen, die sich in einem Verhältnis von größerer Ungleichheit verhalten, nicht die Wurzel der Zahl ist, die sich aus der Multiplikation der Extrema ergibt, dann ist die Zahl, die aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit dem anderen [Extremum] entsteht, kein Quadrat.“⁸⁷

4. Korollar: „Nach der Aufstellung von zwei Termen, die sich in irgendeinem rationalen Verhältnis von größerer Ungleichheit verhalten, [gilt]: Wenn die Zahl, die aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit der anderen [Extremum] entsteht, ein Quadrat ist, wird zwischen solchen Zahlen ein proportionaler mittlerer [Term] gemäß einem rationalen Verhältnis gefunden, so dass [das Verhältnis] der ersten [Zahl] zu ihr selbst das rationale Verhältnis ist, das auch das [Verhältnis] derselben [Zahl] zur dritten [Zahl] ist. Und eine solcher mittlerer [Term] ist die Wurzel jener Quadratzahl.“⁸⁸

5. Korollar: „Zwischen den Erstzahlen eines doppelten, dreifachen, achtfachen, anderthalbfachen [Verhältnisses] und so weiter wird keine proportionale mittlere [Zahl] gemäß einem rationalen Verhältnis gefunden.“⁸⁹

Und weiter: „Und daraus erhält man den schönen Beweis, um zu erkennen, ob irgendein Verhältnis von Ungleichheit ein durch 2 teilbares Verhältnis zu diesen rationalen [Verhältnis] hat. Denn wenn eine Zahl, die sich aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit der anderen [Extremum] ergibt, kein Quadrat ist, dann hat ein solches Verhältnis kein rationales, durch 2 teilbares Verhältnis zu jenem, weil es keinen proportionalen mittleren [Term] nach einem rationalen Verhältnis hat. Und so verhält sich ein solcher mittlerer [Term] zwischen den Termen jenes Verhältnisses wie die Zahl in Bezug auf irgendein Extremum jenes Verhältnisses. Denn wenn es sich wie eine [solche] Zahl verhalten würde, gäbe es irgendein rationales Verhältnis des größeren Extremum zu sich selbst. Und dasselbe rationale Verhältnis wäre das [Verhältnis] derselben [mittleren Zahl] zum kleinsten Extremum. Und so gäbe ist dort nun drei Zahlen, die in diesem geometrischen Mittel proportional wären. Und so wäre die Zahl, die aus der Vervielfältigung des einen Extremum mit dem [anderen] Extremum, ein Quadrat, wie es offensichtlich ist aus dem ersten Korollar. Das ist das Gegenteil des Angegebenen. Und daraus wird leicht abgeleitet, dass notwendigerweise ein irrationales Verhältnis [gesucht] werden muss. Das ist bekannt.“⁹⁰

Am Ende des Kapitels widmet sich Alvarus Thomas in einem Abschnitt den Eigenschaften (proprietates) der harmonischen Verhältnismäßigkeit. Er führt die Eigenschaften aber nicht weiter aus, weil sie – wie er sagt – seinem Werk zu wenig hinzufügen.

1. Eigenschaft des harmonischen Mittels:

„Das harmonische Mittel bei größeren Termen dient einem größeren Verhältnis als bei kleineren [Termen]. Es ist zu sagen, dass nach dem Erfassen von drei Termen, die in diesem Mittel proportional sind, das Verhältnis des größten [Terms] zum mittleren [Term] größer ist als das [Verhältnis] des mittleren [Terms] zum kleinsten [Term]. Wie nach der Aufstellung der Terme 12, 8 und 6 das größere Verhältnis von 12 zu 8 ist, das ein anderthalbfaches [Verhältnis] ist, so ist das von 8 zu 6, das ein Vierdrittel[verhältnis] ist.“⁹¹

2. Eigenschaft des harmonischen Mittels:

„Nach der Aufstellung von drei Termen zu diesem Mittel erzeugt der mittlere Term, der mit den zusammengefassten extremitates vervielfältigt wird, ein doppeltes [Verhältnis] mit der Zahl, die aus [der Vervielfältigung] des Extremum mit dem [anderen] Extremum entsteht. Wie nach der Aufstellung der vorher genannten Terme 12, 8 und 6 sowie nach dem Zusammenfassen der Extrema, nämlich 6 und 12, die 18 ergeben, ist die Zahl, die sich aus der Vervielfältigung des mittleren [Terms], nämlich der Acht, mit den zusammengefassten extremitates, nämlich mit 18, doppelt im Verhältnis zu der Zahl, die aus der Vervielfältigung der Extrema, nämlich 12 und 6, entsteht.“⁹²

3. Eigenschaft des harmonischen Mittels:

„Die dritte Eigenschaft bei diesem Mittel ist, dass nach der Festlegung der Extrema ein mittlere Term gefunden wird: Wenn die Zahl, die aus der differentia der Extrema mit dem minimalen [Extremum] hervorgeht, durch die Zahl der verbundenen Extrema geteilt wird, wird die, die aus der Teilung übrigbleibt, erfasst und mit dem kleinsten Extremum zusammengezogen. Wenn man nach der Bestimmung der Terme 6 und 3 ein harmonisches Mittel zwischen jenen [Termen] finden will, füge man das eine Extremum mit dem [anderen] Extremum zusammen, nämlich die 3 mit derselben 6. Und sie werden 9 ergeben. Danach vervielfältige man die differentia zwischen 6 und 3 mit dem kleinsten Extremum, der 3. Und weil jene differentia 3 ist und sich aus der Vervielfältigung von ihr mit 3 sich 9 ergeben, teile man daher 9 durch 9. Und das Ergebnis aus der Teilung wird eine Eins sein. Man füge daher die Eins mit der Drei zusammen. Und das Aggregatum aus jener Eins und der Drei ist das harmonische Mittel zwischen Sechs und Drei. Denn das Aggregatum ist die Zahl Vier. Auf diese Art und Weise verhalten sich 6, 4 und 3 harmonisch zueinander.“⁹³

nota:

„Und beachte hier, dass man nach der Aufstellung von zwei beliebigen ungleichen Zahlen in dieser Lehre [über] einen dazwischen liegenden, mittleren Term zwischen jenen [Zahlen] findet, und zwar mit Bruch oder ohne. Zwischen Vier und Drei ist die mittlere harmonische [Zahl] 3 mit vier Siebenteln.“⁹⁴

Kapitel 2.3

Das dritte Kapitel behandelt sechs modi des Argumentierens mit Proportionalitäten, die Alvarus Thomas bei Euklid im sechsten Buch der Elemente entlehnt. Dabei werden die Proportionalitäten werden zuerst definiert und dann ihre Verwendung beispielhaft vorgezeigt. In den darauf folgenden sechs conclusiones gibt Alvarus Thomas an, wo sich die mathematischen Beweise für diese modi argumendi in seinem Buch befinden.

definitiones verschiedener Proportionalitäten und ihre Verwendung

1. definitio der umgekehrten Proportionalität:

„Zum Verständnis der ersten Art und Weise des Argumentierens muss beachtet werden, dass in dem Vorschlag der Vordersatz ein Term irgendeines Verhältnisses genannt wird, der mit einem anderen [Term] verglichen wird. Und der Nachsatz ist der Term, mit dem irgendein [Term] verglichen wird. Wie wenn die Vier zur Zwei in Beziehung gesetzt wird, ist jener Term Vier der vorhergehende [Term] und Zwei der nachfolgende [Term]. Und wenn wir die Zwei zur Vier in Verbindung setzen, wird die Zwei der vorhergehende [Term] und die Vier der nachfolgende [Term] genannt. Unter dieser Annahme ist eine Proportionalität umgekehrt, wenn die nachfolgenden [Terme] aus den vorhergehenden [Termen] zu Stande kommen und umgekehrt genauso. Oder andererseits ist es eine verhältnismäßige illatio, in der aus den Verhältnissen größerer Ungleichheit Verhältnisse kleinerer Ungleichheit erschlossen werden, die mit diesen in Verbindung stehen. Beim derartigen Argumentieren gilt: So wie sich die Acht zur Vier verhält, so [verhält sich] die Zwei zur Eins. Daher [gilt]: So wie sich die Eins zur Zwei verhält, so [verhält sich] die Vier zur Acht, und sogar umgekehrt, indem man aus den Verhältnissen kleinerer Ungleichheit die mit ihnen korrespondierenden Verhältnisse größerer Ungleichheit erschließt.“⁹⁵

2. definitio der veränderten Proportionalität:

„Man spricht von einer veränderten Proportionalität, wenn aus der vorhergehenden [Zahl] des zweiten Verhältnisses die nachfolgende [Zahl] des ersten [Verhältnisses] entsteht, und aus dem nachfolgenden [Term] des ersten [Verhältnisses] entsteht die vorhergehende [Zahl] des zweiten [Verhältnisses]. Oder anders [gesagt] sind nach der Aufstellung von vier geometrisch proportionalen Termen das [Verhältnis] des ersten [Terms] zum dritten [Term] und das [Verhältnis] des zweiten [Terms] zum vierten [Term] eine verhältnismäßige illatio, wobei folgendermaßen argumentiert werden muss: So wie sich die 8 zur 4 verhält, so 2 zur 1. Daher [gilt auch]: So wie sich 8 zu 2 verhalten, so 4 zur Eins. Und diese Art und Weise des Argumentierens nutzt der Philosoph an den meisten Stellen wie am Ende des zweiten [Buchs] der [Schrift] über die Sätze und im dritten [Buch] der Topoi und im ersten [Buch über den] Himmel und die Erde im Traktat über das Unbegrenzte.“⁹⁶

3. definitio der verbundenen Proportionalität:

„Eine verbundene Proportionalität ist eine illatio von getrennten, geometrisch proportionalen Termen zu verbundenen [Termen]. Bei einer solchen Art und Weise des Argumentierens gilt: So wie sich 8 zu 4 verhalten, so 2 zu 1. Daher so wie sich Acht und Vier sich zur Vier verhalten, so Zwei und Eins zur Eins.“⁹⁷

4. definitio der getrennten Proportionalität:

„Eine getrennte Proportionalität ist eine verhältnismäßige illatio von verbundenen, geometrisch proportionalen Termen zu getrennten [Termen]. Bei einer solchen Art und Weise des Argumentierens gilt: So wie sich 8 und 4 zur 4 verhalten, so Zwei und Eins zur Eins. Daher so wie sich die Acht zur Vier verhalten, so [verhalten sich] Zwei zu Eins.“⁹⁸

5. definitio der proportionalitas eversa⁹⁹:

„Eine proportionalitas eversa ist eine verhältnismäßige illatio von getrennten, geometrisch proportionalen Termen zu verbundenen [Termen oder] durch eine Umkehrung der Ordnung zu einer verbundenen [Proportionalität]. Auf diese Art und Weise des Argumentierens gilt: So wie sich Acht zu Vier verhalten, so Zwei zur Eins. So wie sich daher Eins und Zwei zur Zwei verhalten, so Vier und Acht zur Acht. Und diese Art und Weise des Argumentierens unterscheidet sie sich von der dritten [Art und Weise], weil bei dem Nachsatz der dritten [Art und Weise] Verhältnisse von größerer Ungleichheit angebracht werden und in dieser [Art und Weise] aber die Verhältnisse von kleinerer Ungleichheit herangetragen werden.“¹⁰⁰

6. definitio der gleichen Proportionalität:

„Aber eine gleiche Proportionalität ist eine verhältnismäßige illatio der Extrema von zwei gegebenen, gleichen Mengen von Quantitäten oder Zahlen, die sich stetig proportional in demselben Verhältnis unter Auslassung der mittleren [Terme] verhalten. Bei dieser Art und Weise des Argumentierens gilt: So wie sich 1, 2 und 4 verhalten, so [verhalten sich] 4, 8 und 16. Daher so wie sich 4 zu 16 verhalten, so 1 zu 4.“¹⁰¹

nota: „Und beachte, dass jene Teilchen sich so wie jene verhalten, die bei allen Arten und Weisen des Argumentierens aufgestellt worden sind. Sie kennzeichnet eine spezifische Ähnlichkeit der Verhältnisse. Und man verstehe es folgendermaßen: So wie sich 1, 2 und 4 verhalten, so auch 3, 6 und 12. Das heißt, durch welches Verhältnis auch immer sich 1, 2 und 4 reihenmäßig verhältnismäßig verhalten, in demselben spezifischen Verhältnis verhalten sich 3, 6 und 12.“¹⁰²

Die conclusiones

1. conclusio:

„Die Argumentationsweise von einer umgekehrten Proportionalität ist eine notwendige Ausführung. Diese conclusio erlangt ihren Nachweis aus dem dritten Korollar der vierten conclusio des vorangehenden Kapitels, wie jenes Korollar anfangs zeigt, dass diese Art und Weise des Argumentierens bei einer umgekehrten Proportionalität gültig ist.“¹⁰³

2. conclusio:

„Die Art und Weise [so] über eine veränderte oder wandelbare Proportionalität zu schließen, ist unfehlbar. Diese conclusio wird in der vierten [conclusio] des vorhergehenden Kapitels klar bewiesen. Denn diese [conclusio] und jene [conclusio] haben dasselbe im Sinn.“¹⁰⁴

3. conclusio:

„Jene Ableitung und die Art und Weise des Darlegens, die für die verbundene Proportionalität begonnen wird, ist bedeutender als jede Ausnahme. Diese conclusio ist ersichtlich durch den einleuchtenden Nachweis aus den ersten Korollar derselben vierten conclusio.“¹⁰⁵

4. conclusio:

„Die Form des Rechnens mit einer getrennten Proportionalität überwindet jeden Zeitpunkt. Ich halte immer den verschrobenen Verstand [aus der Diskussion] heraus. Diese conclusio ist klar ersichtlich aus dem [bereits] verteidigten, vierten Korollar der vierten, vorher genannten conclusio.“¹⁰⁶

5. conclusio:

„Jene Schlussfolgerung, die jene ausgedrehte Proportionalität benennt, wendet sich leicht jedem Ziel des Zweifels zu. Und die [conclusio] bleibt unbestreitbar. Diese conclusio wird auch mit Hilfe des fünften Korollars gezeigt.“¹⁰⁷

6. conclusio:

„So soll eine gleiche Argumentationsweise für den mittleren [Term] der Gleichheit eintreten, so dass sie – wenn kein Fehler des Zeitpunkts dafür herangezogen wird – vom Weg der Gleichheit und Geradigkeit abweicht. [Aber] die unerschütterte Gleichheit dieser conclusio und die unverwundbare Wahrheit wird von den Schilden und Angriffswaffen des sechsten Korollars derselben conclusio gefestigt und verteidigt. Und es helfe dies gesagt zu haben, um die vorher genannten Art und Weisen des Darlegens zu zeigen, wie der Nachweis jener Korollare dieser conclusiones ein einleuchtender Beweis ist.“¹⁰⁸

Kapitel 2.4

Im vierten Kapitel beschäftigt sich Alvarus Thomas mit dem Überhang, der Zusammensetzung und der Teilung von Verhältnissen. Dafür werden zuerst acht suppositiones aufgestellt. Aus diesen suppositiones leiten sich darauf folgend vier conclusiones ab.

Die suppositiones

1. suppositio, die die definitio der termini primi ist:

„Die ersten Terme irgendeines Verhältnisses sind jene [Terme], die die kleinsten in ihrem Verhältnis sind. Die kleinsten Terme irgendeines Verhältnisses – ich spreche von einer stetigen Quantität wie auch von einer getrennten [Quantität] – sind diejenigen, deren kleinerer [Term] von einer Eins bestimmt wird, der größere [Term] aber von einer Zahl oder einer Zahl mit Bruch oder von einer Eins und einem Bruch.“¹⁰⁹

2. suppositio, die Teil der definitio der denominatio proportionis ist:

„Die denominatio eines Verhältnisses ist jene [Zahl], die von der größeren [Zahl] der Erstzahlen eines solchen Verhältnisses genommen wird, wie zum Beispiel die denominatio eines doppelten [Verhältnisses] von der Zwei genommen wird, die die größere [Zahl] der Erstzahlen eines doppelten Verhältnisses ist. Und die denominatio eines anderthalbfachen [Verhältnisses wird] von einer Eins mit der Hälfte [bestimmt].“¹¹⁰

1. Korollar: „Die species eines vielfachen Verhältnisses wird durchgängig von einer natürlichen Reihe von Zahlen bestimmt.“¹¹¹

2. Korollar: „Die species eines superpartikularen Verhältnisses werden von der Eins mit irgendeinem irgendwievielten Teil bestimmt.“¹¹²

3. Korollar: „Alle species eines suprapartienten Verhältnisses werden von der Eins mit irgendwie vielen irgendwievielten Teilen, die nicht einen [irgendwievielten Teil] ausmachen, bestimmt.“¹¹³

4. Korollar: „Zusammengesetzte Verhältnisse werden bestimmt von einer Zahl mit dem Bruch eines irgendwievielten Teils oder irgendwievielten Teilen, die nicht einen [irgendwievielten Teil] ausmachen.“¹¹⁴

3. suppositio, die ein weiterer Teil der definitio der denominatio proportionis ist:

„Alle Verhältnisse sind gleich, die gleiche denominationes haben. Und jenes [Verhältnis], dessen denominatio größer ist, ist größer. Und jenes [Verhältnis] ist kleiner, dessen denominatio kleiner ist. Aber jene denominatio wird größer genannt, die von der größeren Zahl mit Bruch oder ohne [Bruch] genommen wird oder von einer Eins mit einem größeren Bruch.“¹¹⁵

4. suppositio:

„Jedes Ganze wird aus einem beliebig großen Kleineren zusammengesetzt. Und es lässt sich die [Bezeichnung] „aus einem beliebig großen“ nach den Klassen der einzelnen [Verhältnissen] unterscheiden.“¹¹⁶ (Alvarus Thomas bezieht sich hier auf die Klassen der rationalen Verhältnisse.)

5. suppositio:

„Jedes Compositum aus zwei genau gleichen [Zahlen] ist genau das Doppelte zu jedem jener beiden [Zahlen]. Und jedes Compositum aus drei gleichen [Zahlen] ist gleich dem Dreifachen von einer beliebigen [Zahl] von jenen. Und [jedes Compositum] aus vier [Zahlen gleicht] dem Vierfachen [jeder einzelnen], und [jedes Compositum] aus fünf [Zahlen gleicht] dem Fünffachen [jeder einzelnen] und so weiter.“¹¹⁷

6. suppositio:

„Jedes Compositum aus zwei ungleichen [Zahlen] ist größer als das Doppelte in Bezug zu der kleineren von jenen [Zahlen], und kleiner, als das Doppelte in Bezug zur größeren von jenen [Zahlen]. Und wenn es aus drei ungleichen [Zahlen] zusammengesetzt ist, ist es größer als das Dreifache in Bezug zur kleinsten jener [Zahlen] und kleiner als das Dreifache in Bezug zur größten [jener Zahlen]. Und wenn es aus vier [Zahlen] besteht, ist es größer als das Vierfache in Bezug zur kleinsten jener [Zahlen] und kleiner als das Vierfache in Bezug zur größten [jener Zahlen] und folgerichtig so weiter, wenn es zusammengesetzt ist aus fünf [Zahlen], aus sechs und so weiter.“¹¹⁸

7. suppositio:

„Wenn irgendeine latitudo oder ein Überhang zu irgendetwas zugefügt wird, erwirbt es ein größeres Verhältnis, als wenn demselben ein kleinerer Überhang oder eine [kleinere] latitudo zugefügt wird. Wie wenn der Vier eine Vier zugefügt wird, erwirbt sie ein größeres Verhältnis, als wenn ihr eine Zwei zugefügt wird.“¹¹⁹

Korollar: „Und aus dem Nachsatz folgt, dass wenn irgendetwas irgendeine latitudo oder Quantität verliert, verliert sie ein größeres Verhältnis, als wenn es eine kleinere latitudo verliert.“¹²⁰

8. suppositio:

„Wann immer derselbe Überhang oder [dieselbe] latitudo einer größeren und einer kleineren [Zahl] zugefügt wird, erwirbt die kleinere [Zahl] ein größeres Verhältnis als die größere [Zahl]. Und weil die größere und die kleinere [Zahl] dasselbe Verhältnis oder [denselben] Überhang verlieren, verliert die kleinere [Zahl] ein größeres Verhältnis als die größere [Zahl]. Wie wenn Vier und Acht Zwei verlieren, dann verliert die Vier ein größeres Verhältnis als die Acht. Denn die Vier verliert ein doppeltes Verhältnis und die Acht aber ein anderthalbfaches [Verhältnis], wie es fest steht. Und wenn die Zwei und die Sechs eine Zwei erwerben, erwirbt die Zwei mit Hilfe derselben ratio ein größeres Verhältnis als die Sechs, wie es fest steht.“¹²¹

Die conclusiones

1. conclusio:

„Jedes vielfältige Verhältnis, vielfältig superpartikulare [Verhältnis] oder vielfältig suprapartiente [Verhältnis] ist größer als ein superpartikulares [Verhältnis] oder ein suprapartientes [Verhältnis].“¹²²

1. Korollar: „Daraus folgt erstens, dass vielfältig superpartikulare und vielfältig suprapartiente Verhältnisse größer sind als die vielfältigen Verhältnisse. Daher ist ein beliebiges, vielfältig superpartikulares oder [vielfältig] suprapartientes [Verhältnis] größer als ein beliebiges vielfältiges, von derselben Zahl bestimmtes [Verhältnis]. Wie ein fünfhalbefaches [Verhältnis] größer ist als ein doppeltes [Verhältnis]. Ein dreizehnviertelfaches [Verhältnis] ist größer als ein dreifaches [Verhältnis]. Denn ein dreifaches [Verhältnis] und ein dreizehnviertelfaches [Verhältnis] werden von derselben Zahl bestimmt, aber nicht genau.“¹²³

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass es aus dem Gesagten heraus leicht ist, die Art und Weise zu Erkennen herauszufinden, nachdem ein superpartikulares und ein suprapartientes Verhältnis aufgestellt worden sind, welches das größere [Verhältnis] von jenen ist.“¹²⁴

2. conclusio:

„Jedes Verhältnis eines Extremum zu dem [anderen] Extremum wird aus einem kleineren Verhältnis als jenem [Verhältnis] zusammengesetzt, wie ein doppeltes Verhältnis aus einem beliebigen suprapartienten [Verhältnis] und einem beliebigen superpartikularen [Verhältnis] zusammengesetzt wird. Und dieses ,beliebige‘ werde auf die Klassen einzelnen [Verhältnisse] aufgeteilt.“¹²⁵

1. Korollar: „Aus diesem Korollar folgt erstens, dass ein beliebiges Verhältnis aus einem Verhältnis der mittleren [Terme] zu sich selbst und aus dem [Verhältnis] der mittleren [Terme] zu den Extrema zusammengesetzt wird. Wie ein doppeltes Verhältnis, das zwischen 8 und 4 besteht, zusammengesetzt wird aus dem Verhältnis 7 zu 6 und aus 6 zu 5, welche die Verhältnisse der mittleren [Terme] sind, sowie aus dem Verhältnis 8 zu 7 und 5 zu 4, welche die [Verhältnisse] des Extremum zum mittleren [Term] und des mittleren [Terms] zum Extremum ist.“¹²⁶

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass jedes Verhältnis aus unendlichen Verhältnissen zusammengesetzt ist.“¹²⁷

3. Korollar: „Es folgt drittens, dass jedes Verhältnis in unendliche Verhältnisse geteilt werden kann. Diese Verhältnisse werden sich verhalten wie verhältnismäßige Teile von ihm, und zwar gemäß dem Verhältnis, das man will.“¹²⁸

4. Korollar: „Daraus folgt viertens: Wenn irgendein Verhältnis von größerer Ungleichheit bis zu einem Verhältnis von Gleichheit vermindert wird, dann ist es notwendig, dass dasselbe [Verhältnis] stetig nach und nach durch unendliche kleinere Verhältnisse als dieses [Verhältnis] durchquert. Wie wenn das Verhältnis von 8 zur 4 zu einem Verhältnis von Gleichheit durch die diminutio derselben 8 bis zur 4 sinkt, dann ist es notwendig, dass es durch alle Verhältnisse durchgeht, aus denen ein solches Verhältnis aus 8 zur 4 zusammengesetzt ist. Und diese [Verhältnisse] sind unendlich, wie das zweite Korollar sagt. Daher.“¹²⁹

3. conclusio:

„[Es geht darum], ein beliebiges Verhältnis in zwei gleiche Verhältnisse zu zerteilen. Nach der Erfassung des Verhältnisses zum Beispiel, das von 8 zu 4 ist, wird [dieses Verhältnis] in zwei ungleiche [Teile] durch eine erfundene Zahl geteilt, die ohne Begrenzung gleichmäßig von jedem der beiden Extrema absteht, nämlich die erfundene Zahl Sechs. Denn [das Verhältnis von] 8 zu 6 ein vierdrittelfaches Verhältnis. Und [das Verhältnis von] 6 zu 4 ein anderthalbfaches Verhältnis. Und dieses [Verhältnis] ist größer als jenes [Verhältnis].“¹³⁰

1. Korollar: „Daraus folgt erstens, dass ein beliebiges Verhältnis die Fähigkeit hat, in unendliche Verhältnisse durch Zahlen ohne einem Bruch der Eins geteilt zu werden. Und ich erfasse ,unendliche [Verhältnisse]‘ synkategorematisch auf.“¹³¹

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass nach der Erfassung von drei Termen, die stetig arithmetisch proportional sind, und der Erfassung von drei weiteren [Termen], die sich so verhalten, gilt: Wie das Verhältnis zwischen den zwei größeren [Termen] der ersten drei [Terme], so ist es zwischen den zwei größeren [Termen] der zweiten drei [Terme].“¹³² Und weiter: „Wenn es drei stetig proportionale [Terme] in einem arithmetischen Verhältnis gäbe und die anderen drei [Terme] seien ähnlich proportional in einem geometrischen Verhältnis so wie die ersten drei [Terme], dann sind jene stetig proportional in einem arithmetischen Verhältnis.“¹³³

3. Korollar: „Daraus folgt drittens: Wenn es drei arithmetisch proportionale Terme gibt, und jeder beliebige von ihnen verdoppelt oder verdreifacht oder veranderthalbfacht wird und so weiter, dann bleibt immer das Verhältnis des Extremum zum [anderen] Extremum gleich. Und jene drei Terme werden stetig arithmetisch proportional bleiben. Und in demselben Verhältnis, in dem die Terme vergrößert werden, vergrößert sich der Überhang.“¹³⁴

4. Korollar: „Es folgt viertens: Wenn es drei arithmetisch proportionale Terme gäbe, und der größte [Term] von ihnen gleich bleibt und unverändert, und der kleinste [Term] von jenen nach und nach abnimmt – und so blieben jene drei stetig arithmetisch proportional – dann ist es notwendig, dass der mittlere [Term] bei einer Verdoppelung stetig langsamer abnähme als der kleinste [Term]. Und es ist auch notwendig, dass das Verhältnis des Extremum zum [anderen] Extremum stetig vergrößert wird. Wie wenn drei Termen – 12, 8 und 4 – gegeben sind, und die 12 bleibt, [dann] nimmt die 4 durch das Abziehen von Zwei ab. Wenn jene drei Terme stetig arithmetisch proportional bleiben sollen, ist es notwendig, dass der mittlere [Term] eine Eins verliert. Und so werden sie arithmetisch proportional bleiben. Denn dann werden sie 12, 7 und 2 bleiben. Und es wird ein größere Verhältnis bleiben, als vorher zwischen den Extrema bestand.“¹³⁵

5. Korollar: „Es folgt fünftens, dass jedes Verhältnis aus zwei Verhältnissen zusammengesetzt ist, nämlich dem [Verhältnis] des extremen Terms zum mittleren [Term] und dem [Verhältnis] des mittleren [Terms] zum kleinsten [Term]. Und das Verhältnis des größten [Terms] zum mittleren [Term] ist kleiner als ein durch 2 geteiltes [Verhältnis] zu dem [Verhältnis] selbst, das das [Verhältnis] des Extremum zum Extremum ist. Und das Verhältnis des mittleren Terms zum kleinsten [Term] ist größer als ein durch 2 geteiltes [Verhältnis]. Zum Beispiel wird das anderthalbfache [Verhältnis], das von der 6 zur 4 besteht, aus dem Verhältnis 6 zu 5 und aus 5 zu 4 zusammengesetzt. Und das Verhältnis 6 zu 5 ist kleiner als ein durch 2 geteiltes [Verhältnis]. Und 5 zu 4 ist größer als ein durch 2 geteiltes [Verhältnis] zu dem anderthalbfachen [Verhältnis].“¹³⁶

6. Korollar: „Es folgt sechstens, dass jedes superpartikulare Verhältnis aus zwei [Verhältnissen] zusammengesetzt wird, von denen das eine [Verhältnis] das [Verhältnis] des größten Terms zum mittleren [Term] und das andere [Verhältnis] das [Verhältnis] des mittleren [Terms] zum kleinsten Extremum ist. Und jedes jener beiden [Verhältnisse] ist superpartikular. Und das Verhältnis des mittleren [Terms] zum kleinsten [Term] wird bestimmt von einem irgendwievielten Teil, der von einer doppelten Zahl zu einer Zahl bestimmt wird, von der ein irgendwievielter Teil bestimmt wird, von dem das Verhältnis des größten [Terms] zum kleinsten [Term] bestimmt wird. Und das Verhältnis des größten Terms zum mittleren [Term] wird bestimmt von einem irgendwievielten Teil, der von einer Zahl bestimmt wird, die unmittelbar jener verdoppelten Zahl folgt. Zum Beispiel wird das anderthalbfache Verhältnis, das von 6 zu 4 besteht, aus zwei ungleichen [Verhältnissen] zusammengesetzt, wie gesagt worden ist. Und jedes von jenen beiden [Verhältnissen] ist ein superpartikulares [Verhältnis]. Denn das Verhältnis von 6 zu 5 ist ein superpartikulares [Verhältnis] und das [Verhältnis] von 5 zu 4 ebenso. Und das Verhältnis, das das [Verhältnis] von 5 zu 4 ist, wird von einem Viertel bestimmt, das ein irgendwievielter Teil von der Zahl ist, die verdoppelt größer als die Zahl ist, von der das Mittel bestimmt wird, von der als Mittel das anderthalbfache [Verhältnis] bestimmt wird. Denn die Mittel wird bestimmt von der Zwei, und ein Viertel von der Vier, und ein Fünftel wird von der Fünf bestimmt, die die Zahl ist, die der Vier unmittelbar folgt.“¹³⁷

nota: „Und daher werde ich über das Übrige sagen wollen, dass irgendein superpartikulares Verhältnis von irgendeinem irgendwievielten Teil bestimmt wird, der von irgendeiner fest stehenden Zahl bestimmt wird. Ich werde sagen, dass ein solches superpartikulares Verhältnis dank der Kürze von einer solchen Zahl bestimmt wird, weil kein superpartikulares [Verhältnis] von einer Zahl bestimmt wird, sondern von einem irgendwievielten Teil und einer Eins. Und wenn ich sage, dass er von einem irgendwievielten Teil bestimmt wird, verstehe ich das ungenau, was das Vorgeschlagene unterstützt.“¹³⁸

7. Korollar: „Es folgt siebentens, dass bei jedem superpartikularen Verhältnis – wenn man ein Verhältnis erfasst, das das [Verhältnis] des mittleren Terms zum untersten [Term] ist – jenes [Verhältnis] aus zwei superpartikularen [Verhältnissen] zusammengesetzt ist, von denen das eine [Verhältnis] ebenso das [Verhältnis] des mittleren Terms zum untersten [Term] ist. Und jenes [Verhältnis] wird von der vierfachen Zahl zu der Zahl bestimmt, von der jenes gegebene superpartikulare Verhältnis bestimmt wird. Zum Beispiel wenn bei einem fünfviertelfachen Verhältnis, das von 20 zu 16 besteht, ein Verhältnis erfasst wird, das zwischen 18 und 16 besteht, nämlich ein [Verhältnis] der mittleren Zahl zum untersten [Term], [dann] wird auch jenes [Verhältnis] zusammengesetzt aus dem Verhältnis des mittleren Terms von ihr, nämlich 17 zu 16. Und jenes Verhältnis wird bestimmt von der vervierfachten Zahl zu der Zahl, von der das fünfviertelfache Verhältnis bestimmt wird. Weil das Verhältnis, das von 17 zu 16 besteht, von der Zahl Sechzehn bestimmt wird, und das Verhältnis von 20 zu 16 von der Zahl Vier, und zwar von einem irgendwievielten Teil, der von ihr bestimmt wird, nämlich der Vier (ich verstehe es immer so) – [dann] ist auf diese Art und Weise die Zahl Sechzehn das Vierfache in Bezug auf die Vier.“¹³⁹

8. Korollar: „Es folgt achtens: Wenn ein beliebiges superpartikulares Verhältnis gegeben wird, und es von einer irgendeiner fest stehenden Zahl bestimmt wird, [dann] ist jedes superpartikulare Verhältnis, das von einer größeren Zahl bis einschließlich dem Doppelte bestimmt wird, größer als das Mittel jenes gegebenen superpartikularen Verhältnisses. Wie wenn ein fünfviertelfaches Verhältnis gegeben wird, [dann] ist jedes superpartikulare Verhältnis, das von irgendeiner Zahl von Vier bis einschließlich Acht bestimmt wird, die die doppelte Zahl in Bezug auf die Vier ist, größer als das durch 2 geteilte [Verhältnis] in Bezug auf das Fünfviertelfache. Und so ist das Fünfviertelfache, Siebensechstelfache, das Achtsiebentelfache und Neunachtelfache größer als das durch 2 geteilte [Verhältnis] in Bezug auf das Fünfviertelfache [und so weiter].“¹⁴⁰

9. Korollar: „Es folgt neuntens, dass in jedem superpartikularen Verhältnis ein Verhältnis seines größten Extremum zum mittleren [Term] größer ist als das durch 2 geteilte zu dem Verhältnis des mittleren [Terms] zum kleinsten Extremum. Wie wenn es ein vierdrittelfaches Verhältnis gebe, das von 8 zu 6 gegeben ist, [dann] ist das Verhältnis von 8 zu 7 größer als ein durch 2 geteilte [Verhältnis] zu dem Verhältnis von 7 zu 6.“¹⁴¹

10. Korollar: „Es folgt zehntens, dass in jedem superpartikularen Verhältnis das Verhältnis des größten Extremum zum mittleren [Term] größer ist als das durch 3 geteilte zu jenem superpartikularen Verhältnis.“¹⁴²

11. Korollar: „Es folgt elftens: Wenn ein beliebiges superpartikulares Verhältnis gegeben wird, und es von irgendeiner Zahl bestimmt ist, [dann] ist jedes superpartikulare Verhältnis, das von der Zahl bestimmt wird, die jenes [erste Verhältnis] um genau eine Eins übertrifft, größer als das Mittel des gegebenen Verhältnisses.“¹⁴³

12. Korollar: „Es folgt zwölftens: Wenn eine natürliche Reihe an suprapartienten Verhältnissen gegeben sei, nämlich ein anderthalbfaches [Verhältnis], ein vierdrittelfaches [Verhältnis], ein fünfviertelfaches [Verhältnis] und so weiter, [dann] ist ein beliebiges superpartikulares Verhältnis, das von der anderen der zwei Zahlen bestimmt wird, die unmittelbar der Zahl folgen, von der das Anderthalbfache bestimmt wird, größer als das Mittel des anderthalbfachen [Verhältnisses]. Und ein beliebiges [Verhältnis], das von irgendeiner der drei Zahlen bestimmt wird, die unmittelbar der Zahl folgen, von der das vierdrittelfache [Verhältnis] bestimmt wird, ist größer als die Hälfte des Vierdrittelfachen. Und ein beliebiges [Verhältnis], das von irgendeiner der vier Zahlen bestimmt wird, die unmittelbar der Zahl folgen, von der das vierdrittelfache [Verhältnis] bestimmt wird, ist größer als seine Hälfte, und so immer bis ins Unendliche, indem eine Eins hinzugefügt werden muss.“¹⁴⁴

4. conclusio:

„Zwei beliebige ungleiche Verhältnisse seien vorgeschlagen. Das größere jener [Verhältnisse] übertrifft das kleinere [Verhältnis] durch das Verhältnis, das zwischen den denominationes dieser [Verhältnisse] ist. Wie wenn man ein vierfaches [Verhältnis] und ein dreifaches [Verhältnis] erfasst, übertrifft das vierfache [Verhältnis], das das größere [Verhältnis] ist, das dreifache [Verhältnis] durch das Verhältnis, das zwischen 4 und 3 ist, was [wiederum] ein vierdrittelfaches [Verhältnis] ist, und zwar daher, weil das dreifache [Verhältnis] von der Drei bestimmt wird und das vierfache [Verhältnis] aber von der Vier.“¹⁴⁵

nota: „Und man beachte hier, dass es etwas Anderes zu sagen ist, [dass] ein vierfaches [Verhältnis] ein dreifaches [Verhältnis] um ein vierdrittelfaches Verhältnis übertreffe und es sich zum dreifachen [Verhältnis] in einem vierdrittelfachen Verhältnis verhalte. Denn ein sechzehnfaches [Verhältnis] übertrifft ein achtfaches [Verhältnis] durch ein doppeltes Verhältnis und es verhält sich zu jenem in einem vierdrittelfachen Verhältnis, wie es später offensichtlich ist. Und diese Probe soll man sich merken, wenn man den Kalkulatoren im zweiten Buch über das Medium, das nicht widersteht, verstehen will, was ich [im Liber de triplici motu] als Medium, das gleichförmig ungleichförmig widersteht, bezeichne.“¹⁴⁶

1. Korollar: „Wenn man nach der Erfassung eines Terms zwei Verhältnisse größerer Ungleichheit in Bezug auf zwei kleineren ungleichen Terme erhält, wie es offensichtlich ist, ist das Verhältnis zwischen jenen zwei Termen jenes, durch das das größere Verhältnis das kleinere [Verhältnis] übertrifft. Wie wenn man die Zahl Acht erfasst und [die Acht] ein Verhältnis zur Drei und zur Vier hat, [dann] sage ich , dass das Verhältnis der Acht zur Drei, welches das größere [Verhältnis] ist, das kleinere Verhältnis der Acht zur Vier durch das Verhältnis übertrifft, das zwischen der Vier und der Drei ist.“¹⁴⁷

2. Korollar: „Wenn zwei Zahlen oder Quantitäten sich in einem dreifachen Verhältnis verhalten, ist das durch 2 Geteilte der größeren [Zahl] das durch Vierdrittel Geteilte der kleineren [Zahl]. Und wenn zwei Zahlen sich in einem doppelten Verhältnis verhalten, ist das durch 4 Geteilte der größeren [Zahl] das durch 2 Geteilte der kleineren [Zahl]. Wie wenn sich zwei Zahlen in einem anderthalbfachen Verhältnis verhalten, [dann] ist das durch 2 Geteilte der größeren [Zahl] das durch Vierdrittel Geteilte der kleineren [Zahl].“¹⁴⁸

3. Korollar: „Es folgt drittens, dass im Allgemeinen ein solches Verhältnis zwischen zwei beliebigen ungleichen Teilen irgendeiner Quantität besteht, wie es zwischen den Zahlen ist, von denen solche irgendwievielten Teile bestimmt werden. Wie ich nach der Erfassung eines Viertels irgendeines [Verhältnisses] und eines Drittels desselben [Verhältnisses] sage, dass zwischen dem Drittel und dem Viertel ein solches Verhältnis ist, wie zwischen 4 und 3 [ist], nämlich ein vierdrittelfaches [Verhältnis].“¹⁴⁹

4. Korollar: „Es folgt viertens, dass nach der Auffstellung einer natürlichen Reihe an vielfachen Verhältnissen und auch nach der Aufstellung einer natürlichen Reihe von superpartikularen Verhältnissen die zweite species des vielfachen Verhältnisses die erste species durch die erste species des superpartikularen Verhältnisses übertrifft, nämlich durch ein anderthalbfaches [Verhältnis]. Und die dritte species des vielfachen [Verhältnisses] übertrifft die zweite [species des vielfachen Verhältnisses] durch die zweite species des superpartikularen Verhältnisses. Und die vierte [species] des vielfachen [Verhältnisses] übertrifft die dritte [species des vielfachen Verhältnisses] durch die dritte [species] des superpartikularen [Verhältnisses] und so bis ins Unendliche.“¹⁵⁰

5. Korollar: „Es folgt fünftens, dass durch so viele superpartikulare Verhältnisse, die als nacheinanderfolgend und reihenweise angenommen werden, eine beliebige species eines vielfachen Verhältnisses, die von der ersten [species] entfernt ist, die erste species eines vielfachen [Verhältnisses] übertrifft, durch wie viele Einsen die Zahl, von der jene species bestimmt wird, von der Zahl entfernt ist, von der die erste species eines vielfachen Verhältnisses bestimmt wird, nämlich eines doppelten [Verhältnisses]. Und so muss es auch gesagt werden von einer beliebigen anderen vielfachen species, von der sie durch irgendwie viele species absteht. So übertrifft zum Beispiel ein fünffaches Verhältnis ein doppeltes Verhältnis durch drei species eines superpartikularen Verhältnisses, die in einer Reihe angenommen werden, nämlich durch ein anderthalbfaches [Verhältnis], das von der 3 zur 2 besteht, und ein vierdrittelfaches [Verhältnis], das von 4 zu 3 besteht, und ein fünfviertelfaches [Verhältnis], das von 5 zu 4 besteht.“¹⁵¹

6. Korollar: „Es folgt sechstens, dass eine allgemeine Reihe von superpartikularen Verhältnissen eine unendliche latitudo eines Verhältnisses aufstellt.“¹⁵²

Kapitel 2.5

Im fünften Kapitel kritisiert Alvarus Thomas die Thesen des Bassanus Politus zu Verhältnissen und zur Kommensurabilität von Verhältnissen.

1. suppositio:

„Was auch immer durch 2 teilbar ist, ist das Doppelte in Bezug auf seine Hälfte. Und wenn es selbst das Doppelte ist, beinhaltet es selbst seine Hälfte genau zweimal.“¹⁵³

2. suppositio:

„Jedes Doppelte zu etwas beinhaltet sich selbst oder etwas ihm Gleiches nur zweimal. Und wenn es selbst mehr als zweimal wäre, ist es mehr als das Doppelte zu ihm.“¹⁵⁴

3. suppositio:

„Wenn irgendwas um das Doppelte kleiner wird, verliert es selbst genau seine Hälfte.“¹⁵⁵

4. suppositio oder petitio:

„Alles, was nach und nach bis zu keiner Stufe vermindert wird, ist eine teilbare latitudo, [nämlich] in zwei Hälften, in drei Drittel, in vier Viertel und folgerichtig so weiter. Denn es wird vermindert bis zum durch 2 Geteilten, zum durch 3 Geteilten, zum durch 4 Geteilten und so weiter.“¹⁵⁶

5. suppositio:

„Die latitudo eines Verhältnisses größerer Ungleichheit ist nach und nach verminderbar bis zu keiner Stufe.“¹⁵⁷

1. probatio: „Dann wird erstens bewiesen, dass das größere Extremum eines Verhältnisses größerer Ungleichheit nach und nach vermindert werden kann bis zur Gleichheit mit dem kleineren Extremum. Und bei einer solchen diminutio wird das Verhältnis von größerer Ungleichheit nach und nach bis zu keiner Stufe vermindert, wie es fest steht. Daher wird bei einer solchen diminutio ein beliebiges Verhältnis kleiner als das gekennzeichnete [Verhältnis] angegeben werden.“¹⁵⁸

2. probatio: „Dann [folgt] zweitens, dass – wie Bassanus es zugesteht – die Geschwindigkeit einer Bewegung mit der magnitudo des Verhältnisses hinsichtlich der Gleichheit in Verbindung steht. Aber die Geschwindigkeit der Bewegung selbst ist stetig nach und nach verminderbar bis zu keiner Stufe. Daher steht die latitudo eines Verhältnisses in der Gleichheit in Verbindung.“¹⁵⁹

Korollar: „Daraus folgt, dass eine beliebige latitudo eines Verhältnisses größerer Ungleichheit in zwei Hälften, in drei Drittel, in vier Viertel und so weiter geteilt werden kann.“¹⁶⁰

6. suppositio:

„Alles, was ein durch 2 Geteiltes wird, verliert in Bezug zu dem, was es vorher war, seine Hälfte. Und das, was bleibt, ist so viel, wie es das ist, was es verloren hat, weil es ja die andere Hälfte verloren hat, und wie [auch] die Hälften eines beliebig großen [Verhältnisses] gleich sind.“¹⁶¹

Bassanus Politus stellt folgende These auf:

„Unter diesen Annahmen muss der Blick darauf gelegt werden, dass Bassanus, der es verteidigen will, dass eine beliebige, proportionale und rationale [Proportionalität] zu einer beliebigen anderen [Proportionalität] kommensurabel ist, darauf baut, dass die Kommensurabilität der Verhältnisse oder ein Verhältnis aus den Verhältnissen der denominationes heraus angenommen werden muss. Und er stellt eine solche conclusio dar: Das Verhältnis der Verhältnisse ist das Verhältnis ihrer denominationes, wie ein vierfaches [Verhältnis] das Doppelte zu einem doppelten [Verhältnis] ist, weil zwischen ihren denominationes oder den Zahlen, von denen sie bestimmt werden, ein doppeltes Verhältnis ist. Ein doppeltes [Verhältnis] wird von der Zwei und ein vierfaches [Verhältnis] von der Vier bestimmt. Ebenso ist ein doppeltes [Verhältnis] vierdrittelfach zu einem anderthalbfachen [Verhältnis], weil ein doppeltes [Verhältnis] von der Zwei und ein anderthalbfaches [Verhältnis] von einer Eins mit einem Halben bestimmt wird. Es steht aber fest, dass ein [Verhältnis] von der Zwei zu Eins mit einem Halben ein vierdrittelfaches Verhältnis ist.“¹⁶²

replica mit probatio:

„Aus dieser opinio folgt, dass ein achtfaches [Verhältnis] ein doppeltes [Verhältnis] zu einem vierfachen [Verhältnis] ist. Aber der Nachsatz ist augenscheinlich falsch. Daher auch das, woraus er folgt. Die sequela wird bewiesen, weil es fest steht, dass die denominationes jenes achtfachen [Verhältnis] nämlich und des vierfachen [Verhältnis] oder die Zahlen, von denen sie bestimmt werden, die ratio eines doppelten Verhältnisses haben. Denn [das Verhältnis] von 8 zu 4 ist ein doppeltes Verhältnis. Daher ist in dieser Exposition das achtfache [Verhältnis] doppelt zu einem vierfachen [Verhältnis]. Jetzt bleibt übrig, dass wir die Unwahrheit des Nachsatzes zeigen: Denn wenn ein achtfaches [Verhältnis] das Doppelte zu einem vierfachen [Verhältnis] ist, daraus folgt, dass das vierfache [Verhältnis] die Hälfte desselben achtfachen [Verhältnis] ist, wie es offensichtlich ist aus der ersten suppositio. Aber der Nachsatz ist falsch. Daher auch [das], das daraus folgt. Dann würde folgen, dass ein achtfaches [Verhältnis] ein vierfaches [Verhältnisses] genau zweimal beinhaltet, aber das ist falsch, weil es genau ein vierfaches [Verhältnis] und ein doppeltes [Verhältnis] beinhaltet, wie es bei den vier Termen 8 zu 4 und 4 zu 1 offensichtlich ist. Diese Schlussfolgerung ist offensichtlich aus dem zweiten Teil derselben suppositio.“¹⁶³

1. confirmatio: „Und es wird bestätigt, dass jedes Doppelte in Bezug auf irgendetwas sich selbst oder ein ihm Gleiches nur genau zweimal beinhaltet. Aber ein achtfaches [Verhältnis] ist ein doppeltes [Verhältnis] zu einem vierfachen [Verhältnis] durch dich. Daher beinhaltet es sich selbst nur zweimal. Aber der Nachsatz ist falsch, weil ein sechzehnfaches [Verhältnis] ein vierfaches [Verhältnis] nur zweimal beinhaltet.“¹⁶⁴

2. confirmatio: „Es wird zweitens bestätigt, dass, wenn die Stellungnahme wahr wäre, daraus folgen würde, dass ein doppeltes [Verhältnis] die Hälfte eines achtfachen [Verhältnisses] wäre. Aber das ist falsch. Daher auch [das], das daraus folgt, weil gemäß dieser opinio ein achtfaches [Verhältnis] vierfach in Bezug auf ein doppeltes [Verhältnis] wäre, wie es offensichtlich ist aus dem Verhältnis der denominationes des doppelten [Verhältnisses] und des achtfachen [Verhältnisses]. Und wenn ein achtfaches [Verhältnis] ein vierfaches [Verhältnis] zu einem doppelten [Verhältnis] ist, folgt daraus jetzt, dass das doppeltes [Verhältnis] ein Viertel eines achtfachen [Verhältnisses] ist und nicht die Hälfte. Denn ein beliebiges vierfaches [Verhältnis] steht in Bezug zu seinem Viertel, weil es dieses genau viermal beinhaltet.“¹⁶⁵

3. confirmatio: „Und drittens wird bestätigt, dass wenn diese Stellungnahme wahr wäre, es folgen würde, dass ein doppeltes [Verhältnis] gleich einem vierfachen [Verhältnis] sein würde. Der Nachsatz ist falsch und gegen den, der diese opinio hat. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt. Die sequela wird dargelegt: Und ich will, dass zum Beispiel ein Vermögen von Acht sich gegen einen Widerstand von Eins mit einer Geschwindigkeit von Vier bewegt. Dann will ich, dass der Widerstand bis zum durch 2 Geteilten vermindert wird, während das Vermögen bestehen bleibt. Und ich lege [nun] folgendermaßen dar: Jene Bewegung oder die Geschwindigkeit von Vier wird vermindert bis zum durch 2 Geteilten. Daher verliert sie die Hälfte von sich.“¹⁶⁶

2. ratio in Form einer sequela:

„Wenn jene Stellungnahme wahr wäre, würde [daraus] folgen, dass ein Viertel von irgendetwas und seine Hälfte gleich wären. Aber der Nachsatz ist falsch. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“¹⁶⁷

1. confirmatio: „Und es wird bestätigt, weil daraus folgen würde, wenn die Stellungnahme wahr wäre, dass irgendetwas irgendetwas anderes genau zweimal beinhalte und dennoch nicht das Doppelte in Bezug zu den [anderen] wäre, sondern weniger als das Doppelte. Der Nachsatz ist ersichtlicherweise falsch und gegen die definitio eines doppelten Verhältnisses. Daher.“¹⁶⁸

2. confirmatio: „Alle diese Schlussfolgerungen sind gegen die definitiones und die mathematischen principia. Und daher ist das auch die positio [von Bassanus Politus]. Denn sie sind gegen die definitiones des Anderthalbfachen und des Doppelten, wie es fest steht.“¹⁶⁹

Zur argumentatio von Bassanus Politus: „Aber alle diese Darlegungen hebt Bassanus leicht – aber schamlos und fern von Vernunft – auf, indem er jene petitiones und definitiones verneint und sie auf Zahlen oder stetige Quantitäten einengt und begrenzt. Aber er spricht in der Tat auch wirr und entgegen der Vernunft, wirr und unzureichend, weil er unzureichenderweise keine definitio eines doppelten Verhältnisses, eines vierfachen [Verhältnisses] oder eines anderen [Verhältnisses in seinem Buch] zuweist, die einem beliebigen Inhalt für eine definitio entspricht. Und [er handelt] entgegen der Vernunft, weil er zum Beispiel darauf aufbaut, dass die definitiones eines doppelten [Verhältnisses], eines vierfachen [Verhältnisses] und so weiter den Quantitäten und genau genommen auch den Zahlen entsprechen. Mit gleicher Schamlosigkeit könnte es jeder Beliebige verteidigen und zuversichtlich behaupten, dass jene definitiones genau genommen den Zahlen entsprechen, die aus unteilbaren Einheiten zusammengesetzt sind, nämlich denen der Ideen und denen der Punkte und keinen anderen.“¹⁷⁰

3. ratio in Form einer replica von Alvarus Thomas:

„Daher lege ich drittens gegen ihn aus den principia dar, die jetzt in Bezug auf die Verhältnisse begrenzt sind. Und so ist dadurch ein sechzehnfaches [Verhältnis] ein doppeltes [Verhältnis] in Bezug zu einem vierfachen [Verhältnis], und ein achtfaches [Verhältnis] ist dreifach in Bezug zu einem doppelten [Verhältnis], wie ich es von den mathematischen principia ableite. Und gemäß ihm ist ein sechzehnfaches [Verhältnis] ein vierfaches [Verhältnis] zu einem vierfachen [Verhältnis], wie es die denominatio der Verhältnisse aussagt. Ebenso ist gemäß [Bassanus Politus] ein achtfaches [Verhältnis] ein vierfaches [Verhältnis] zu einem doppelten [Verhältnis], wie die denominationes des doppelten [Verhältnisses] und des achtfachen [Verhältnisses] zeigen. Daher steht seine Stellungnahme entgegen den mathematischen principia, die auf die Verhältnisse begrenzt sind. Und folgerichtig ist sie falsch.“¹⁷¹

4. ratio:

„Viertens: Auch wird gegen ihn, der die These aufstellt, argumentiert, weil er, [Bassanus Politus], selbst am Anfang seines Werks verkündet, dass es ein einführender Traktat seiner Verhältnisse in Bezug auf die Berechnungen Swinesheads sei. Aber selbst der Kalkulator Swineshead nimmt es bei weitem anders wahr. Und am meisten weicht er von ihm beim Thema über das Verhältnis der Verhältnisse ab, wie wir an sehr vielen Orten bei ihm erkennen können. Daher verstand er weder die Denkart des Kalkulators, noch leitet er dessen Traktat ein, um [Swineshead] zu verstehen. Vielmehr leitet er, [Bassanus Politus], eher [davon] weg.“¹⁷² Die ratio wird von Alvarus Thomas noch einmal in drei Argumente und eine Schlussfolgerung untergliedert.

1. ratio: „Denn zuerst, weil ja der Kalkulator in der fünften conclusio der ersten opinio über die augmentatio sagt, dass – wenn irgendetwas um das Doppelte schneller vermehrt wird als etwas Anderes, und jenes ein Verhältnis F in irgendeiner Zeit erwirbt – es notwendig ist, dass in derselben Zeit das, was um das Doppelte schneller vermehrt wird ein zusammengesetztes Verhältnis aus dem verdoppelten F erwirbt, weil in dem Fall des Kalkulators eben dort das, was um das Doppelte schneller vermehrt wird, stetig doppelt so schnell vermehrt wird. Aber jene Schlussfolgerung würde im Grunde nicht gelten, wenn die Stellungnahme des Bassanus wahr wäre.“¹⁷³

2. ratio: „Dann [folgt] zweitens, dass derselbe Kalkulator im Kapitel über die Schwierigkeit einer Aktion im ersten Argument, durch das er die dritte Stellungnahme bekämpft, ein Vermögen annimmt, das sich in einem anderthalbfachen Verhältnis in irgendeinem Medium bewegt. Und er sagt, wenn jenes Vermögen genau bis zum Anderthalbfachen gegen den [unverändert] bleibenden Widerstand des Medium vermehrt wird, dass [dann] das Vermögen genau um das Doppelte schneller bewegt werden wird. Daraus folgt unmittelbar, dass das Verhältnis des Vermögens zum Widerstand um das Doppelte größer geworden war.“¹⁷⁴

3. ratio: „Dann folgt drittens, dass derselbe Kalkulator im letzten Kapitel über das Medium, das keinen Widerstand leistet, in der achten conclusio ausdrücklich beim Beweis jener conclusio sagt, dass ein sechzehnfaches [Verhältnis] ein doppeltes [Verhältnis] zu einem vierfachen [Verhältnis] ist. Und wenn es nicht so wäre, wäre die conclusio falsch und der Beweis nichtig. Und gemäß Bassanus ist es ein vierfaches [Verhältnis] zu einem vierfachen [Verhältnis]. Daher stimmen die Worte des Bassanus und des Kalkulators nicht überein. Dasselbe kann man an vielen anderen Stellen des Kalkulators einleuchtend nachvollziehen.“¹⁷⁵

„conclusio responsiva“ als Korollar: „Und so lasse ich seine Stellungnahme als widerlegt und auseinander gestoben zurück, obwohl sie schamlos verteidigt werden kann, aber nicht folgerichtig im Sinne der mathematischen principia, wie gesagt wurde. Daraus ist daher reichlich ersichtlich, dass das Verhältnis der Verhältnisse nicht wie das Verhältnis der denominationes ist.“¹⁷⁶

Kapitel 2.6

Das sechste Kapitel behandelt das Verhältnis der Verhältnisse und ihre Kommensurabilität beziehungsweise Inkommensurabilität. Es beginnt mit sechs suppositiones. Daraus ergeben sich elf conclusiones.

Die suppositiones

1. suppositio mit der definitio der Bezeichnung commensurabilis:

„Kommensurabel oder die, die sich in einem rationalen Verhältnis zueinander verhalten, sind diejenigen [Zahlen], von denen derselbe [Teil der einen Zahl] ein irgendwievielter Teil [der anderen Zahl] ist wie 4 und 2, ein Fuß und zwei Fuß. Denn die Eins ist ein irgendwievielter Teil von Zwei und Vier. Und die Hälfte eines Fußes ist ein irgendwievielter Teil von einem Fuß und von zwei Fuß. Dies ist die definitio der kommensurablen [Größen] am Anfang des zehnten Buchs der Elemente des Euklid.“¹⁷⁷

2. suppositio mit der definitio der proportiones commensurabiles:

„Jene Verhältnisse sollen kommensurabel sein, von denen dasselbe Verhältnis ein irgendwievielter Teil ist.“¹⁷⁸

3. suppositio:

„Wenn irgendein Verhältnis genau aus irgendwie vielen Verhältnissen zusammengesetzt wird, ist eines von denen immer genau das Verhältnis, das [das Verhältnis] irgendeines dazwischenliegenden Terms zum minimalen Extremum ist, wie das Verhältnis von Vier zu Zwei aus dem Verhältnis von 4 zu 3 und [dem Verhältnis von] Drei zu Zwei [zusammengesetzt ist], das das Verhältnis eines dazwischen liegenden Terms zum minimalen Extremum ist.“¹⁷⁹

4. suppositio:

„Eine beliebige Zahl ist ein vielfaches [Verhältnis] zu einer Eins.“¹⁸⁰ Und weiter heißt es: „Denn jede Zahl wird wiederum entweder aus zwei Einsen zusammengesetzt, und so ist sie doppelt in Bezug zur Eins, oder [wird] aus drei [Einsen zusammengesetzt], und so ist sie dreifach [in Bezug zur Eins], oder [sie wird] aus vier [Einsen zusammengesetzt], und so ist es vierfach [in Bezug zur Eins] und so bis ins Unendliche.“¹⁸¹

5. suppositio:

„Die Eins eines beliebigen vielfachen Verhältnisses ist das minimale Extremum.“¹⁸²

6. suppositio:

„Keine Zahl ist suprapartient oder superpartikular oder vielfach suprapartient oder vielfach superpartikular in Bezug zu einer Eins. Das wird bewiesen, weil ja jede beliebige Zahl genau ein vielfaches [Verhältnis] zur Eins ist, wie es offensichtlich ist aus der vierten [suppositio]. Daher ist keine [Zahl] suprapartient oder superpartikular oder vielfach und so weiter in Bezug zu einer Eins.“¹⁸³

Die conclusiones

1. conclusio:

„Kein vielfaches Verhältnis ist ein irgendwievielter Teil irgendeines nicht vielfachen Verhältnisses.“¹⁸⁴

Korollar: „Aus dieser [conclusio] folgt, dass kein Verhältnis, das nicht vielfach ist, doppelt, vierfach oder irgendein anderes aus der vielfachen Klasse zu irgendeinem vielfachen [Verhältnis] ist.“¹⁸⁵

2. conclusio:

„Kein vielfaches Verhältnis ist kommensurabel zu irgendeinem superpartikularen oder suprapartienten Verhältnis.“¹⁸⁶

3. conclusio:

„Kein vielfaches Verhältnis ist kommensurabel zu einem vielfach superpartikularen oder vielfach suprapartienten [Verhältnis].“¹⁸⁷

Korollar: „Daher folgt aus dem Nachsatz, dass [das Verhältnis] irgendeines dazwischen liegenden Terms zum minimalen Extremum desselben vielfachen Verhältnisses, das als minimales Extremum eine Eins ist, das Verhältnis C ist, wie es aus der dritten suppositio offensichtlich ist. Und jenes Verhältnis C ist vielfach superpartikular oder vielfach suprapartient. Daher ist das Verhältnis irgendeiner Zahl zur Eins ein vielfach superpartikulares oder vielfach suprapartientes [Verhältnis], was aber das Gegenteil der sechsten suppositio und folgerichtig falsch ist. Und daher [ist es auch] das, aus dem es folgt, dass nämlich C ein vielfach superpartikulares oder vielfach suprapartientes Verhältnis ist.“¹⁸⁸

4. conclusio:

„Kein vielfaches Verhältnis ist kommensurabel zu einem rationalen Verhältnis, das nicht vielfältig ist.“¹⁸⁹

5. conclusio:

„Kein superpartikulares Verhältnis ist kommensurabel zu irgendeinem superpartikularen Verhältnis.“¹⁹⁰

obiectatio: „Aber du wirst sagen, dass dieser Beweis unwirksam sei, weil er ja zugesteht, dass irgendein Verhältnis aus keinen Verhältnissen zusammengesetzt wird, was gegen das ist, was ist im vierten Kapitel dieses Teils gesagt worden. Ja, der Beweis beweist sogar nichts anderes, außer dass aus keinen gleichen rationalen Verhältnissen zusammengesetzt wird, die irgendwievielte Teile von ihm sind, obwohl er dennoch fest stellt, dass irgendein irrationales Verhältnis ein irgendwievielter Teil zweier superpartikularer Verhältnisse sein kann. Und so werden sie kommensurabel sein.“¹⁹¹

replica: „Aber das steht dem nicht entgegen, weil kein superpartikulares Verhältnis aus einem anderen superpartikularen [Verhältnis] und einem irrationalen [Verhältnis] zusammengesetzt wird; so wie auch kein rationales [Verhältnis] genau aus einem rationalen [Verhältnis] und einem anderen irrationalen [Verhältnis] zusammengesetzt wird, wie die Mathematiker beweisen. Daher beinhaltet kein superpartikulares [Verhältnis] ein anderes superpartikulares [Verhältnis] einmal oder irgendwievielmal und einen irgendwievielten Teil von ihm, der ein irrationales Verhältnis ist, weil es sonst genau aus einem rationalen [Verhältnis] und einem irrationalen [Verhältnis] zusammengesetzt wäre. Und kein superpartikulares [Verhältnis] beinhaltet ein anderes [Verhältnis] einmal oder irgendwievielmal und irgendwie viele irgendwievielte Teile von ihm, die irrationale Verhältnisse sind. Denn dann würden nun jene irrationalen Verhältnisse ein rationales [Verhältnis] zusammensetzen, weil sonst jenes superpartikulare [Verhältnis] aus einem rationalen und einem irrationalen [Verhältnis] zusammengesetzt wäre. Und wenn jene irgendwievielten Teile nun ein rationales [Verhältnis] zwischen den Termen jenes superpartikularen Verhältnisses herstellen, werden einige gleiche rationale Verhältnisse gefunden, wie es dem Einsehenden offensichtlich ist. Das ist dennoch falsch, weil man sie nicht zwischen den Erstzahlen irgendeines superpartikularen Verhältnisses finden wird.“¹⁹²

6. conclusio:

„Innerhalb der rationalen [Zahlen] ist nur ein vielfaches Verhältnis kommensurabel zu einem vielfachen Verhältnis. Das wird bewiesen, weil ein vielfaches Verhältnis kommensurabel zu einem vielfachen Verhältnis ist, wie es offensichtlich beim vierfachen [Verhältnis] in Beziehung zu einem doppelten [Verhältnis] ist. Und unter den irrationalen [Verhältnissen] ist kein vielfaches [Verhältnis] kommensurabel zu einem vielfachen Verhältnis, wie es offensichtlich ist aus der vierten conclusio. Daher das Vorgeschlagene.“¹⁹³

7. conclusio:

„Alle vielfachen Verhältnisse, deren denominationes von einer Zahl der [beiden] Zahlen [eines Verhältnisses] sind, sind untereinander kommensurabel. Diesen Schluss legt Nikolaus Oresme in der genannten Form dar, aber ich lege ihn in einer ersichtlicheren Form dar.“¹⁹⁴ Die folgende Diskussion dreht sich um den Beiweis dieser conclusio nach Nikolaus Oresme.

probatio: „Alle vielfachen Verhältnisse, die immer nach der denominatio der ersten von ihnen voranschreiten, sind kommensurabel. Wenn daher das erste [Verhältnis] von ihnen doppelt ist, dann ist das zweite [Verhältnis], das unmittelbar folgt, auch ein doppeltes Verhältnis. So sind folgerichtig solche [Verhältnisse zueinander] kommensurabel. Und damit ich mich von den wenigen [Beispielen] löse, gelten alle Verhältnisse als kommensurabel, von denen irgendwelche unmittelbar folgende [Verhältnisse] mit dem ersten [Verhältnis] dieselbe denominatio haben. Diese conclusio ist offensichtlich, weil ja alle solche [Verhältnisse] sich so verhalten, dass irgendetwas ein irgendwievielter Teil jeder der beiden ist. Daher.“¹⁹⁵

Und weiter: „Um dies zu verstehen, stelle man ein Reihe an Zahlen auf, wobei von der Eins angefangen werden muss und sich der nächste [Term] immer durch Verdoppeln ergibt, die nächste [Reihe ergibt sich], indem man verdreifacht, und die nächste [Reihe ergibt sich,] indem man vervierfacht, und die nächste [Reihe ergibt sich,] indem man verfünffacht, und so bis ins Unendliche. Und dann sage ich, dass alle Verhältnisse der ersten Ordnung untereinander kommensurabel sind, und beliebiges [Verhältnis] zu einem beliebigen anderen [Verhältnis] jener Ordnung. Und so muss es auch über die Verhältnisse der anderen Ordnungen gesagt werden. Das ist offensichtlich in diesen Bildern.“¹⁹⁶

Und weiter: „Und so wird man die Ordnungen vieler superpartikularer und suprapartienter [Verhältnisse] und so weiter aufstellen. Dass diese aber kommensurabel sind, wird bewiesen, weil ja eine beliebige jener Ordnung gleich der ersten [Ordnung] ist oder aus irgendwie vielen zusammengesetzt wird, die ihr gleich sind. Daher. Diese conclusiones außer der ersten und der sechsten sind von Nikolaus Oresme, weil in seinen Beweisen zumindest die Stärken der Beweise und ihre Grundlagen aus sich selbst heraus gelten.“¹⁹⁷

obiectatio: „Aber mir scheinen jene Beweise unwirksam. Denn grundlegenderweise wird ein Beweis der zweiten, dritten und vierten [Ordnung] in dieser suppositio darauf gegründet, dass die Eins das minimale Extremum eines beliebigen vielfachen Verhältnisses ist. Nur ist diese suppositio falsch, weil ja Acht zu Vier ein vielfaches Verhältnis ist. Dennoch ist keines der beiden Extreme von ihm eine Eins.“¹⁹⁸

replica im Sinne von Nikolaus Oresme: „Aber Nikolaus Oresme würde auch gültig [begründet] sagen, dass jene suppositio – auch wenn sie nicht wahr ist, indem man sie auf die einzelnen Klassen bezieht – dennoch wahr ist, indem man sie auf die Klassen der einzelnen [Verhältnisse] bezieht, und man erfasse es in einem solchen Sinn, wie es dem Einblickenden offensichtlich ist.“¹⁹⁹

replica von Alvarus Thomas: „Aber dagegen [kann man sagen], dass, indem man sie in einem solchen Sinn erfasst, nicht das Vorgeschlagene daraus geschlossen wird, sondern allein daraus geschlossen wird, dass von einer beliebigen species eines vielfachen Verhältnisses irgendein unteilbares [Verhältnis] derselben species nicht kommensurabel zu irgendeinem superpartikularen oder suprapartienten [Verhältnis] und so weiter ist. Und bis dahin kann es kaum gegen einen Schamlosen gehalten werden.“²⁰⁰

replica im Sinne von Nikolaus Oresme: „Aber Nikolaus würde sagen, dass es ihm genug ist, [die Stellungnahme] zu halten, dass ein doppeltes Verhältnis nicht kommensurabel zu irgendeinem nicht rational vielfachen Verhältnis [ist], weil ja alle doppelten gleich sind. Was immer nicht kommensurabel zu einem fest stehendem [Verhältnis] ist, ist nicht kommensurabel zu einem anderen [Verhältnis]. Und gewiss glaube ich, dass darin grundlegenderweise der Grundstein für eine Ableitung jener conclusiones gelegt wird, deren Grundlangen aus dem siebenten und achten [Buch] der Elemente von Euklid genommen werden. Denn es ist bekannt, dass, wenn irgendetwas inkommensurabel zu einem der gleichen [Verhältnisse] ist, wird es auch inkommensurabel zu einem beliebigen [anderen gleichen Verhältnis] sein, weil ja alle gleichen [Verhältnisse] aus genau gleichen [Verhältnissen] zusammengesetzt werden.“²⁰¹

replica: „Aber dagegen könnte man frecherweise sagen, dass [mitunter] zwei gegebene Verhältnisse gleich sind, und dennoch ein  Verhältnis Teil des einen ist und weder jenes eine [Verhältnis] noch irgendein ihm gleiches [Verhältnis] Teil des anderen [Verhältnisses] ist. Daher ist es nicht unpassend, dass zwei Verhältnisse gleich sind, und dass irgendein [Teil] zwar Teil des einen [Verhältnisses], [aber] weder jenes [Verhältnis als Ganzes oder] zumindest ein Teil des anderen der beiden [Verhältnisse] ist. Und folgerichtig könnte mit dem gleichem Argument gesagt werden, dass – obwohl alle doppelten [Verhältnisse] gleich sind – dennoch irgendetwas ein irgendwievielter Teil des einen [Verhältnisses] ist, was nicht ein irgendwievielter Teil des anderen [Verhältnisses] ist, und auch nicht soviel [ist], wie irgendein Verhältnis ein Teil irgendeines doppelten Verhältnisses ist. Und dennoch ist weder jenes noch ein ihm gleiches [Verhältnis] ein Teil des anderen doppelten [Verhältnisses].“²⁰²

probatio: „Das Angenommene wird bewiesen von diesen zwei doppelten [Verhältnissen], von denen das eine [Verhältnis] von 8 zu 4 ist und das andere [Verhältnis] von 2 zu 1. Denn jenes [Verhältnis], das von 8 zu 4 ist, wird aus einem anderthalbfachen Verhältnis und einem vierdrittelfachen [Verhältnis] zusammengesetzt, die [beide] zwischen den beiden Extrema liegen. Jenes [Verhältnis] aber, das von der Zwei zur Eins ist, wird aus keinem anderthalbfachen oder vierdrittelfachen [Verhältnis] zusammengesetzt, weil ja keine Zahl zwischen den Extrema von ihr liegen. Und es gilt nicht zu sagen, dass, obwohl keine Zahl dazwischen liegt, dennoch eine Eins mit irgendeinem Bruch dazwischen liegt. Und das ist ausreichend, weil ja ein anderthalbfaches Verhältnis auch das Verhältnis einer Eins mit einer Hälfte zu einer Eins ist. Denn dann erachte ich ja jetzt, dass die Eins irgendeines anderthalbfachen Verhältnisses das andere Extremum ist, was er selbst zu verneinen scheint. Und wenn ich es so erachte, wird jetzt die ganze Art und Weise des Vorgehens und des Beweisens jener conclusiones und auch der fünften [conclusio] zerstört. Denn der Beweis der fünften conclusio beruht darauf, dass unter den Erstzahlen keines superpartikularen Verhältnisses irgendein rationales Verhältnis, das ein Teil von ihm ist, gefunden wird. Nur ist das falsch beim Verwenden eines Bruchs einer Eins. Denn zwischen 5 und 6 liegt 5 mit einer Hälfte.“²⁰³

Und weiter: „Ebenso gelte es, dass zwischen den Erstzahlen eines superpartikularen Verhältnisses keine Zahl liegt, und dennoch liegt eine [Zahl] zwischen den Nichterstzahlen. Und frecherweise könnte einer sagen, dass ein superpartikulares Verhältnis, das nicht zwischen den Erstzahlen liegt, aus irgendwie vielen rationalen [Verhältnissen] zusammengesetzt wird, zu denen es kommensurabel ist, und dass dennoch dasselbe Verhältnis, wenn es zwischen den Erstzahlen aufgestellt worden ist, nicht aus solchen zusammengesetzt ist. Aber es gilt nicht zu sagen, dass es nicht vorstellbar ist, dass es irgendwelche zwei gleiche [Verhältnisse] gibt, und dass dennoch irgendetwas der irgendwievielte Teil des einen [Verhältnisses] ist, aber nicht der irgendwievielte Teil des anderen [Verhältnisses] ist. Denn man könnte ja frecherweise sagen, dass dies bei stetigen Quantitäten nicht vorstellbar ist. Aber es ist gut vorstellbar bei Verhältnissen, weil es ja unmöglich ist, zwei gleiche stetige Quantitäten anzugeben, und dass irgendetwas ein Teil der einen [Quantität] ist – sei es ein irgendwievielter Teil oder keiner – und das kein bisschen ein Teil der anderen [Quantität] ist. Und dennoch ist das gegeben bei den Verhältnissen. Denn das Verhältnis zweier intelligentiae zu einer intelligentia ist ein doppeltes Verhältnis, das nicht aus einem anderthalbfachen [Verhältnis] und einem vierdrittelfachen [Verhältnis] zusammengesetzt wird, weder mit noch ohne Bruch. Und dennoch wird ein doppeltes Verhältnis, das zum ihm gleich und von 4 zu Zwei ist, zusammengesetzt aus einem anderthalbfachen [Verhältnis] und einem vierdrittelfachen [Verhältnis], wie es offensichtlich ist.“²⁰⁴

nota: „Beachte du hier dennoch, dass diese conclusiones mit ihren Nachweisen von der achten propositio des achten Buchs der Elemente des Euklid abhängen, der von der 35. [propositio] des siebenten [Buchs] und von der 14., 18. und 21. [definitio] des siebenten [Buchs] und von dritten [propositio] des achten [Buchs] abhängt. Daher ist der Nachweis dieser conclusiones schwierig, weil er von vielen [Faktoren] abhängt. Dennoch sagt Euklid in der erwähnten propositio, dass wenn zwischen irgendwelchen Zahlen, die keine Erstzahlen sind, eines Verhältnisses irgendwelche stetig proportionalen Zahlen gefunden werden, dass [dann] ebenso viele unter den Erstzahlen desselben Verhältnisses gefunden werden.“²⁰⁵

8. conclusio:

„Wenn drei Terme angegeben werden, die stetig geometrisch proportional sind, wird das Verhältnis des Extremum zum [anderen] Extremum ein doppeltes [Verhältnis] zu jedem der beiden dazwischen liegenden [Verhältnisse] sein. Und wenn es 4 sind, dann ein dreifaches [Verhältnis], wenn 5, dann ein vierfaches [Verhältnis] und so bis ins Unendliche, und zwar immer um Eins weniger. Das bedeutet, dass wenn es zehn Terme wären, dass [das Verhältnis] des Extremum zum Extremum [dann] kein zehnfaches Verhältnis sein wird, sondern ein neunfaches [Verhältnis].“²⁰⁶

9. conclusio:

„Kein rationales Verhältnis hat einen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten], außer wenn es eine mittlere proportionale Zahl zwischen seinen Extrema hat. Und wenn es eine solche Zahl nicht gibt, hat es auch keinen rationalen, durch 4 geteilten [Quotienten] und keinen durch 8 geteilten [Quotienten] und keinen durch sechzehn geteilten [Quotienten] und so bis ins Unendliche beim Voranschreiten mit geraden Zahlen.“²⁰⁷

Korollar: „Wenn zwischen den Termen irgendeines Verhältnisses eine Zahl wäre, die in der Mitte liege und proportional ist, hat das Verhältnis ein rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten]. Und wenn das Verhältnis der mittleren Zahl selbst zu dem anderen kleineren Extremum eines gegebenen Verhältnisses eine Zahl hat, die in der Mitte liegt und proportional ist, dann ist das ganze Verhältnis einen rationalen, durch 4 geteilten [Quotienten]. Und wenn erneut das Verhältnis der mittleren Zahl zum kleineren Extremum eines gegeben Verhältnisses eine Zahl haben würde, die in der Mitte liege und proportional sei, wird das gegebene Verhältnis einen rationalen, durch 8 geteilten [Quotienten] haben und so bis ins Unendliche.“²⁰⁸

10. conclusio in Form einer investigatio:

„[Es gilt] herauszufinden, ob nach dem Aufstellen eines beliebigen rationalen Verhältnisses dieses einen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten] hat. Zum Beispiel will ich nach der Aufstellung eines doppelten [Verhältnisses] oder eines dreifachen [Verhältnisses] herausfinden und aus dem Vorhergesagten wissen, ob [dieses Verhältnis] einen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten] hat. D vorgeschlagenes rationales Verhältnis zwischen der größeren Zahl A und der kleineren Zahl B sei F. Und ich will herausfinden, ob das Verhältnis F einen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten] hat. Dann vervielfältige ich die größere Zahl mit der kleineren [Zahl], das heißt, ich werde A mit B multiplizieren. Und wenn die Zahl, die sich daraus ergibt, quadratisch ist, sage ich, dass sie einen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten] hat. Wenn [sie] aber nicht [quadratisch ist], [dann] hat es keinen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten].“²⁰⁹

1. Korollar: „Ein doppeltes [Verhältnis] hat keinen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten], und auch kein dreifaches [Verhältnis], und kein achtfaches [Verhältnis], und kein superpartikulares [Verhältnis].“²¹⁰

2. Korollar in Form einer investigatio: „Nach der Aufstellung eines beliebigen rationalen Verhältnisses könnten wir herausfinden, ob es einen rationalen, durch 4 geteilten [Quotienten] hat, einen durch 8 geteilten [Quotienten], durch 16 geteilten [Quotienten] und so bis ins Unendliche, indem man mit Zahlen voranschreitet, die pariter par sind.“²¹¹

Und weiter: „Um das herauszufinden oder zu wissen, gebe es ein Verhältnis F zwischen der größeren Zahl A und der kleineren [Zahl] B. Dann ist entweder zwischen A und B eine Zahl, die proportional in der Mitte liegt, oder nicht. Wenn nicht, folgt jetzt, dass es keinen durch 4 geteilten [Quotienten] hat und keinen durch 8 geteilten [Quotienten hat], wie es offensichtlich ist aus der neunten conclusio. Wenn ja, wird sie auchgezeichnet und sie sei H. Und dann muss nachgesehen werden, ob die Zahl, die aus der Vervielfältigung von H mit B entsteht, quadratisch ist. Und wenn ja, so hat nun ein solches Verhältnis F, das zwischen A und B ist, einen durch 4 geteilten [Quotienten]. Wenn aber eine solche Zahl nicht quadratisch ist, sage ich, dass ein solches Verhältnis keinen rationalen, durch 4 geteilten [Quotienten] hat.“²¹²

3. Korollar: „Es folgt drittens, dass nach der Auszeichnung eines beliebigen rationales Verhältnisses  wir auch wissen könnten, ob es ein rationales Anderthalbfaches, Fünfviertelfaches, Neunachtelfaches, Siebzehnsechzehntelfaches, Dreiunddreißigzweiunddreißigstelfaches, Fünfunddreißigvierunddreißigstelfaches und so bis ins Unendliche hat beim Voranschreiten mit species eines superpartikularen Verhältnisses, die von irgendwievielten Teilen bestimmt werden. Diese irgendwievielten Teile werden von pariter pares Zahlen bestimmt. Zum Beispiel will ich nach der Aufstellung eines vierfachen Verhältnisses herausfinden und wissen, ob es ein rationales Anderthalbfaches hat. Dann werde ich sehen, ob es eine rationale Hälfte gemäß der Lehre aus der zehnten conclusio dieses [Kapitels] hat; und dann, wenn es eine rationale Hälfte hat, ist es deutlich, dass es ein rationales Anderthalbfaches hat, weil – um das Anderthalbfachen desselben vierfachen [Verhältnis] anzugeben – nichts anderes notwendig ist, als demselben vierfachen [Verhältnis] seine Hälfte hinzufügen, nämlich ein doppeltes [Verhältnis]. Denn das Aggregatum aus irgendetwas und seiner Hälfte ist das Anderthalbfache zu dem[selben], wie es fest steht aus der definitio des Anderthalbfachen. Und auf diese Art und Weise wird man herausfinden, dass das achtfache [Verhältnis] anderthalbfach zu einem vierfachen [Verhältnis] ist.“²¹³

Und weiter: „Wenn du aber herausfinden und wissen willst, ob ein vierfaches [Verhältnis] ein [rationales] Fünfviertelfaches hat, erkenne es zuerst durch die Lehre des zweiten Korollars, [ob] dasselbe Verhältnis einen rationalen, durch 4 geteilten [Quotienten] hat. Und wenn du so schließt, dass es ein rationales Fünfviertelfaches  hat, weil ja nach der Auffindung des Viertels desselben vierfachen [Verhältnisses], um ein Fünfviertelfaches zu demselben vierfachen [Verhältnis] zu ergeben, nichts anderes notwendig ist, als demselben vierfachen [Verhältnis] sein Viertel hinzuzufügen. Und dann verhält sich das Aggregatum aus dem vierfachen [Verhältnis] und seinem rationalen Viertel zu demselben Vierfachen in einem fünfviertelfachen Verhältnis. Denn jenes Aggregatum beinhaltet genau das Vierfache und ein Viertel von ihm. Und auf diese Art und Weise findet man heraus, dass ein Zweiunddreißigfaches fünfviertelfach zu einem Sechzehnfachen ist. Und auf diese Art und Weise könnte man bei einem beliebigen rationalen Verhältnis herausfinden, ob es ein rationales Achtneuntelfaches, ein rationales Siebzehntsechzehntelfaches und so weiter hat.“²¹⁴

4. Korollar: „Wenn irgendein rationales Verhältnis keinen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten] hat, hat es selbst kein rationales anderthalbfaches [Verhältnis] und auch kein [rationales] fünfviertelfaches [Verhältnis] und kein [rationales] neunachtelfaches [Verhältnis] und kein [rationales] siebzehnsechzehntelfaches [Verhältnis] und so weiter.“²¹⁵

5. Korollar: „Wenn irgendein vorgeschlagenes Verhältnis keinen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten] hat, wird es selbst keinen rationales fünfhalbefaches [Verhältnis] haben und kein [rationales,] neunviertelfaches [Verhältnis] haben und kein suprapartientes [Verhältnis], das [irgendein] Viertel ist, noch irgendein suprapartientes [Verhältnis], das von einer Eins und von irgendwievielten Teilen bestimmt wird, die [wiederum] von einer pariter par Zahl bestimmt werden, und kein vielfach superpartikulares oder vielfach suprapartientes [Verhältnis], das von einer Zahl und von einem Teil oder irgendwievielten Teilen bestimmt wird, die von pariter paren Zahlen bestimmt werden.“²¹⁶

6. Korollar: „Daraus folgt sechstens, dass weder ein dreifaches [Verhältnis] noch ein doppeltes Verhältnis ein [rationales] anderthalbfaches, ein [rationales] fünfviertelfaches , ein [rationales] neunachtelfaches oder ein rationales elfviertelfaches Verhältnis hat. Und so in Bezug zu vielen anderen [Verhältnissen gehalten].“²¹⁷

11. conclusio:

„Kein rationales Verhältnis verhält sich in irgendeinem vielfachen Verhältnis zu irgendeinem rationalen [Verhältnis], außer wenn so viele stetig proportionale Zahlen, die genau mehr als eine sind, zwischen seinen Erstzahlen nach der Berechnung der Extreme gefunden werden, wie es die Zahl ist, von der das gegebene vielfache Verhältnis bestimmt wird.“²¹⁸

exemplum: „Wenn du zum Beispiel herausfinden und wissen willst, ob sich ein vierfaches Verhältnis in einem doppelten Verhältnis zu irgendeinem [anderen] Verhältnis befindet, bedenke zuerst, von welcher Zahl das doppelte Verhältnis bestimmt wird, und du wirst befinden, dass es gemäß der Lehre des ersten Korollars der zweiten suppositio des vierten Kapitels dieses Teils von der Zwei [bestimmt wird]. Dann erfasse die Erstzahlen des [ersten Verhältnisses], die 4 und 1 sind. Und sehe, ob du dort nach dem Berechnungen mit den Extremen drei stetig proportionale Zahlen in demselben Verhältnis findest. Und wenn [das so ist], so sage ich, dass ein vierfaches Verhältnis sich in einem doppelten Verhältnis zu irgendeinem rationalen [Verhältnis] befindet. Denn wenn nach dem Berechnungen mit den Extremen dort drei stetig proportionale Zahlen da sind, ist jenes vierfache Verhältnis, das das Verhältnis des einen Extremum zum [anderen] Extremum ist, ein doppeltes [Verhältnis] in Bezug auf jedes der beiden dazwischen liegenden [Verhältnisse], wie es aus der achten conclusio offensichtlich ist. Und wenn du wissen willst, ob ein vierfaches [Verhältnis] dreifach zu irgendeinem rationalen Verhältnis hat, siehe nach – weil das dreifache [Verhältnis] von der Zahl Drei bestimmt wird – ob zwischen den Erstzahlen des vierfachen Verhältnisses drei Zahlen plus einer gefunden werden, nämlich vier stetige, in irgendeinem Verhältnis proportionale [Zahlen]. Und wenn es so ist, dann verhält sich das vierfache [Verhältnis] in einem dreifachen [Verhältnis] zu irgendeinem rationalen Verhältnis, nämlich zu einem beliebigen jener aufgestellten [Verhältnisse] zwischen irgendwelchen [Zahlen] aus jenen stetig proportionalen Zahlen, die in der Mitte liegen. Und weil du unter den Erstzahlen eines vierfachen Verhältnisses keine vier Zahlen finden wirst, die nach dem Berechnungen mit den Extremen stetig proportional sind, schließe daraus, dass das vierfache [Verhältnis] keinen rationalen, durch 3 geteilten [Quotienten] hat.“²¹⁹

nota: „Ob aber zwischen irgendwelchen Zahlen eines gegebenen Verhältnisses A so viele stetig proportionale Zahlen nach den Berechnungen mit den Extremen plus einer [Zahl] gefunden werden, wie es die Zahl ist, von der das vielfaches Verhältnis bestimmt wird, in dem, wie es dargelegt ist, sich A zu B verhält, dafür muss nachgesehen werden, ob zwischen den Erstzahlen von ihm so viele, stetig proportional Zahlen gefunden werden. Und wenn [das so ist], schließe daraus, dass zwischen den Zahlen von A selbst so viele stetig proportionale Zahlen gefunden werden. Und wenn nicht so viele [Zahlen] zwischen den Erstzahlen des gegebenen Verhältnisses gefunden werden, [so] sage, dass zwischen keinen Zahlen von ihm so viele stetig proportionale Zahlen nach den Berechnungen mit den Extremen gefunden werden.“²²⁰

1. Korollar: „Daraus folgt erstens, dass ein doppeltes Verhältnis sich zu keinem rationalen Verhältnis in einem doppelten [Verhältnis] oder dreifachen [Verhältnis] oder vierfachen [Verhältnis] oder in irgendeinem anderen vielfachen [Verhältnis] befindet, weder in einem fünffachen [Verhältnis], noch in einem sechsfachen [Verhältnis] und so weiter.“²²¹

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass kein superpartikulares Verhältnis sich in irgendeinem vielfachen Verhältnis zu irgendeinem rationalen Verhältnis verhält.“²²²

3. Korollar in Form einer investigatio: „Es folgt drittens, dass wir nach der Aufstellung eines beliebigen rationalen Verhältnisses herausfinden können, ob es irgendein rationales Verhältnis hat, das sich zu sich selbst in einem anderthalbfachen Verhältnis, in einem vierdrittelfachen [Verhältnis], fünfviertelfachen [Verhältnis] und so weiter befindet. Zum Beispiel [kann man] nach der Aufstellung eines doppelten Verhältnisses nachsehen, ob es irgendein rationales Verhältnis gibt, das sich zu sich selbst in einem doppelten [Verhältnis], in einem anderthalbfachen [Verhältnis], vierdrittelfachen [Verhältnis] oder irgendeinem anderen superpartikularen Verhältnis befindet. Um das herauszufinden und zu wissen, muss man nachsehen, ob zwischen den Erstzahlen eines doppelten Verhältnisses oder eines beliebigen anderen rationalen [Verhältnisses] drei stetig proportionale Zahlen nach den Berechnungen mit den Extremen da sind. Und wenn [das so ist], so hat ein solches Verhältnis eine rationale Hälfte und folgerichtig ein anderthalbfaches Verhältnis zu sich selbst. Denn durch das Hinzufügen seiner Hälfte wird ein anderthalbfaches rationales [Verhältnis] zu sich selbst aufgestellt. Und wenn zwischen seinen Erstzahlen nach den Berechnungen mit den Extremen vier stetig proportionale Zahlen da sind, hat es selbst ein rationales Drittel und folgerichtig ein rationales vierdrittelfaches [Verhältnis] zu sich selbst. Und wenn 5 stetig proportionale Zahlen nach den Berechnungen mit den Extremen gefunden werden, hat es ein rationales Viertel und folgerichtig ein rationales fünfviertelfaches [Verhältnis zu sich selbst] und so weiter.“²²³

4. Korollar in Form einer investigatio: „Nach der Aufstellung eines beliebigen rationalen Verhältnisses könnten wir nachforschen und wissen, ob es irgendein rationales suprapartientes, vielfach superpartikulares oder vielfach suprapartientes [Verhältnis] hat. Zum Beispiel nach der Aufstellung eines achtfachen Verhältnisses könnten wir aus dem Gesagten bereits wissen, ob es ein fünfdrittelfaches [Verhältnis] oder siebenviertelfaches [Verhältnis] und so weiter hat. Um das zu wissen und herauszufinden, muss es bedacht werden, ob das gegebene, rationale Verhältnis einen rationalen, irgendwievielten Teil hat. Dass heißt, ob irgendein rationales Verhältnis ein so großer irgendwievielter Teil von ihm ist, wie es jener ist, von dem das genannte suprapartiente oder vielfach superpartikulare oder vielfach suprapartiente [Verhältnis] bestimmt wird. Das muss gemäß der elften conclusio herausgefunden und gewusst werden. Und wenn man herausfinde, dass es irgendein rationales Verhältnis hat, dass ein solcher irgendwievielter Teil von ihm da ist, dann ist es ersichtlich, dass es ein rationales Verhältnis hat, das von einem solchen irgendwievielten Teil oder solchen irgendwievielten Teilen bestimmt wird. (Das sage ich wegen der suprapartienten [Verhältnisse].) Wenn [das] aber nicht [so ist], dann ist es ersichtlich, dass jenes vorgeschlagene rationale Verhältnis kein rationales Verhältnis hat, das von einem solchen irgendwievielten Teil oder solchen Teilen bestimmt wird.“²²⁴

5. Korollar in Form einer investigatio: „Es folgt fünftens, dass nach der Aufstellung eines beliebigen rationalen Verhältnisses es nicht schwierig ist herauszufinden und zu wissen, ob es einen rationalen, durch ein Vielfaches geteilten [Quotienten] hat oder irgendein anderes rationales [Verhältnis] kleinerer Ungleichheit. Zum Beispiel könnten wir nach der Aufstellung eines doppelten Verhältnisses herausfinden und wissen, ob es einen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten] hat, einen durch 3 geteilten [Quotienten], einen rationalen, durch 4 geteilten [Quotienten] und so weiter oder nicht, [und zwar] indem man gemäß dem ersten [Korollar] aus der Lehre der elften conclusio heraus überlegt, ob es eine rationale Hälfte hat, ein Drittel, ein Viertel oder ein rationales Fünftel hat. Und wenn wir erkennen, dass es nicht so ist, sagen wir, dass es keinen rationalen, durch 3 geteilten [Quotienten oder] durch 4 geteilten [Quotienten] und so weiter hat. Und nach derselben ratio sagen wir, dass es keinen rationalen, durch Vierdrittel geteilten [Quotienten], weil es kein Verhältnis hat, das aus drei rationalen Vierteln von ihm zusammengesetzt ist, und auch keinen rationalen, durch Dreihalbe geteilten [Quotienten] hat, weil es kein Verhältnis hat, das aus zwei rationalen Dritteln von ihm zusammengesetzt ist. Und so kann man es von allen anderen [Verhältnissen] sagen.“²²⁵

demonstatio: „Der Nachweis dieses Korollars stützt sich auf die Basis und die Grundlage, dass niemals irgendein rationales Verhältnis genau aus einem rationalen [Verhältnis] und einem irrationalen [Verhältnis] zusammengesetzt ist. Wende du den Nachweis an. Auf diese Art und Weise musst du nachfragen, ob es einen rationalen, durch ein suprapartientes [Verhältnis] geteilten [Quotienten] hat oder einen rationalen, durch ein vielfach suprapartientes [Verhältnis] geteilten [Quotienten] hat oder einen rationalen, durch ein vielfach superpartikulares [Verhältnis] geteilten [Quotienten] hat, indem du gemäß der elften conclusio nachforschst und es herausfindest, ob ein solches vorgeschlagenes rationales Verhältnis einen irgendwievielten rationalen Teil oder Teile hat, von dem oder denen das genannte Verhältnis kleinerer Ungleichheit bestimmt wird. Und wenn [das so ist], so muss ihm ein solches rationales Verhältnis kleinerer Ungleichheit zugeschrieben werden. Wenn aber weniger, muss es versichert werden, dass es selbst kein solches rationales Verhältnis kleinerer Ungleichheit hat.“²²⁶

6. Korollar: Im sechsten Zusatz unterstreicht Alvarus Thomas noch einmal, wie wichtig dieses Kapitel für den folgenden Teil des Buches über die Bewegung ist. Es heißt: „Es folgt sechstens durch die Art und Weise des Epilogs zu all jenen [conclusiones], die im gegenwärtigen Kapitel verzeichnet sind, dass wir nach der Aufstellung eines beliebigen rationalen Verhältnisses wissen könnten, ob es irgendein rationales Verhältnis größerer Ungleichheit zu sich selbst hat und auch kleinerer Ungleichheit, und welche [irgendwievielte Teile] es hat und welche nicht. Und denke über dieses Kapitel sorgfältig nach, weil ja von ihm fast die ganze Erforschung dieses Themas abhängt und seine außerordentliche Schwierigkeit. Füge dem hinzu, dass, nachdem die Lehre dieses Kapitels nachvollzogen wurde, und nachdem irgendeine fest stehende Geschwindigkeit aufgestellt wurde, die von irgendeinem bekannten rationalen Verhältnis herstammt, man zu einer beliebigen anderen Geschwindigkeit, die von einem beliebigen anderen Verhältnis herstammt, entscheiden kann, ob sie kommensurabel sind oder nicht. Ebenso [könnten wir] nach der Aufstellung einer beliebigen Geschwindigkeit, die von irgendeinem bekannten Verhältnis herstammt, in Bezug zu einer beliebigen anderen kommensurablen Geschwindigkeit erkennen, von welchem Verhältnis sie herstammt, ob von einem rationalen oder einem irrationalen [Verhältnis]. So könnte man aus diesem Wissen und den folgerichtigen [Ableitungen auch] teilweise wissen, aus welchen rationalen oder irrationalen [Verhältnis] sie im Besonderen entstammt.“²²⁷

Kapitel 2.7

Das siebente Kapitel behandelt Fragen nach den Beziehungen von rationalen Verhältnissen zu irrationalen Verhältnissen und von irrationalen Verhältnissen untereinander. Das Kapitel beginnt mit sechs suppositiones. Daraus ergeben sich zehn conclusiones.

Die suppositiones

1. suppositio:

„Jede Zahl hat eine Zahl, die doppelt zu ihr ist, dreifach, vierfach und so bis ins Unendliche durch Aufsteigen mit den species eines vielfachen Verhältnisses.“²²⁸

2. suppositio:

„Jede Anzahl teilbarer Sachen oder [jede] Quantität hat irgendeinen irgendwievielten Teil jeder möglichen denominatio mit Bruch oder ohne Bruch. Ich will sagen, dass nach der Auszeichnung einer beliebigen Anzahl an teilbaren Sachen eine solche Anzahl eine Hälfte, ein Viertel, ein Fünftel, Sechstel, Siebentel und so bis ins Unendliche hat.“²²⁹

3. suppositio:

„Bei jeder möglichen Anzahl an teilbaren Sachen kann es eintreten, eine Zahl zu anzugeben, die sich selbst beinhaltet und ihre Hälfte, und eine andere [Zahl], die sich selbst beinhaltet und ein Drittel, und zwei Drittel oder drei Drittel und so weiter mit jedem möglichen anderen irgendwievielten Teilen.“²³⁰

4. suppositio:

„Ein beliebiges Kontinuum ist doppelt zu seiner Hälfte, dreifach zu seinem Drittel, vierfach zu seinem Viertel, anderthalbfach zu zwei Dritteln und so weiter bei jedem beliebigen anderen [Verhältnis] einer species eines Verhältnisses.“²³¹

5. suppositio:

„Jedes Verhältnis hat eine Hälfte, ein Drittel, ein Viertel und so weiter bis ins Unendliche.“²³²

6. suppositio:

„Wenn irgendwelche zwei stetige Quantitäten sich in irgendeinem rationalen oder irrationalen Verhältnis verhalten, ist eine [Zahl] angebbar, die größer als ein beliebiges Drittel von ihnen ist, das sich in demselben Verhältnis zu der größeren [Quantität] von ihnen verhält. Wenn zum Beispiel 4 und 2 sich in irgendeinem Verhältnis verhalten, ist eine andere Zahl gegeben, nämlich die 8, die sich in demselben Verhältnis zur 4 befindet. Und wenn sich eine Diagonale A sich in irgendeinem Verhältnis zur Seite B, ist eine andere Quantität gegeben, nämlich C, die sich in demselben Verhältnis zu B befindet.“²³³

Die conclusiones

1. conclusio:

„Ein beliebiges rationales Verhältnis wird in einem beliebigen vielfachen Verhältnis von irgendeinem rationalen [Verhältnis] übertroffen. Das bedeutet, dass ein beliebiges rationales Verhältnis ein rationales doppeltes Verhältnis, ein rationales dreifaches [Verhältnis], rationales vierfaches [Verhältnis] und so bis ins Unendliche hat.“²³⁴

Und weiter: „Wenn aber [das Verhältnis] superpartikular ist zum maximalen Extremum von ihm, wird irgendeine Zahl mit und ohne Bruch hinzugefügt, die sich in demselben Verhältnis zu dem größeren Extremum befindet, wie es aus der dritten suppositio offensichtlich ist. Und dann wird das Verhältnis jener Zahl zur kleinsten Zahl ein doppeltes Verhältnis zu jenem superpartikularen [Verhältnis] sein, weil dort drei stetig proportionale Terme und so weiter sein werden. Und auf diese Art und Weise könnte man 5 Terme oder 6 oder 7 aufstellen, die stetig proportional sind, wenn ein superpartikulares Verhältnis gegeben wurde, und so bis ins Unendliche. Daher wird zu ihm ein rationales vierfaches, fünffaches, sechsfaches [Verhältnis] und so bis ins Unendliche angegeben werden [können]. Und auf diese Art und Weise wirst du es von jeder möglichen Klasse der rationalen Verhältnisse beweisen.“²³⁵

2. conclusio:

„Obwohl ein beliebiges rationales Verhältnis in irgendeinem vielfachen Verhältnis von irgendeinem rationalen Verhältnis übertroffen wird, so dass ein beliebiges rationales Verhältnis ein rationales doppeltes [Verhältnis], dreifaches [Verhältnis], vierfaches [Verhältnis] und so bis ins Unendliche hat, hat nichtsdestotrotz kein beliebiges rationales Verhältnis einen rationalen, durch 2 geteilten [Quotienten], durch 3 geteilten [Quotienten], durch 4 geteilten [Quotienten] und so weiter.“²³⁶

3. conclusio:

„Irgendein rationales Verhältnis kann doppelt, dreifach, vierfach und so bis ins Unendliche zu irgendeinem irrationalen Verhältnis sein.“²³⁷

4. conclusio:

„Ein beliebiges rationales Verhältnis kann kommensurabel zu irgendeinem irrationalen Verhältnis sein.“²³⁸

5. conclusio:

„Nicht jedes irrationale Verhältnis ist ein durch 2 geteilter oder ein durch 3 geteilter [Quotient] und so weiter in Bezug auf irgendein [anderes], irrationales [Verhältnis]. Ja, vielmehr gibt es viele irrationale [Verhältnisse], die ein durch 2 geteilter [Quotient] oder ein durch 3 geteilter [Quotient] und so weiter in Bezug zu rationalen [Verhältnissen] sind.“²³⁹

6. conclusio:

„Ein beliebiges Verhältnis wird in einem beliebigen rationalen Verhältnis von irgendeinem rationalen oder irrationalen Verhältnis übertroffen.“²⁴⁰

7. conclusio:

„Ein beliebiges Verhältnis übertrifft in einem beliebigen rationalen Verhältnis irgendein rationales oder irrationales [Verhältnis].“²⁴¹

8. conclusio in Form einer investigatio:

„Achte conclusio, die [auch] conclusio zur Konstruktion eines Mittels genannt wird: Wenn zwei gerade Strecken gegeben sind, die proportional gemäß einem rationalen oder irrationalen Verhältnis sind und in gerader Richtung nebeneinander liegen und verbunden sind, [darüber] ein Halbkreis gezeichnet wird, und von einem gemeinsamen Medium oder Punkt, in dem sie vereinigt werden, eine gerade rechtwinklige Linie bis zur Peripherie des Halbkreises gezogen wird, wird eine solche Strecke [den Halbkreis] gemäß einer stetigen Proportionalität zwischen den gegebenen Strecken teilen. Der Sinn dieser conclusio ist ein solcher: Wenn du zwischen zwei proportionalen Strecken gemäß einem doppelten Verhältnis oder irgendeinem anderen [Verhältnis] eine [Strecke] finden willst, die sich in demselben Verhältnis zur kleineren [Strecke] verhält, in dem sich die größere [Strecke] zu ihr selbst verhält, verbinde jene zwei Strecken und konstruiere einen Halbkreis über sie. Und von dem Punkt, in dem sich jene zwei Strecken verbinden, entspringe gerade und rechtwinklig eine weitere Strecke bis zum Umkreis des Kreises. Und das ist die Strecke, die gesucht wird. Und das Verhältnis der größeren Strecke zu jener mittleren [Strecke] ist die Hälfte des Verhältnisses, das zwischen der größeren [Strecke] und der sehr kleinen [Strecke] ist, wenn sie verbunden sind. Ein Beispiel dieser conclusio ist in dieser Figur offensichtlich.“²⁴²

Alvarus Thomas verweist am Ende der conclusio auf das Kapitel zur Proportionalität in Bradwardines Geometria und auf die 13. propositio des sechsten Kapitels in Euklids Elementa.

9. conclusio in Form einer investigatio:

„Um den durch 2 geteilten [Quotienten] eines doppelten [Verhältnisses] zu finden oder irgendeines anderen [Verhältnisses], stelle man zwei Strecken auf, die sich in dem Verhältnis befinden, dessen Mittel man sucht. Und man finde die mittlere Strecke zwischen ihnen durch die Kunst der vorhergehenden conclusio. Und dann wird das [Verhältnis] der größeren Strecke zu jener mittleren [Strecke] und auch das [Verhältnis] jener mittleren [Strecke] zur kleinsten [Strecke] das Verhältnis sein, das der mittlere [Term] oder das Mittel eines solchen Verhältnisses ist. Und wenn du ein durch 4 geteiltes Verhältnis finden willst, finde eine mittlere Strecke zwischen der ersten [Strecke] und der zweiten [Strecke] und eine andere zwischen der zweiten [Strecke] und der dritten [Strecke], und dann wird ein beliebiges jener dazwischen liegenden [Verhältnisse] durch 4 geteilt sein, weil dort 5 stetig proportionale Terme sein werden. Daher ist das Verhältnis des Extremum zum Extremum ein vierfaches [Verhältnis] zu einem beliebigen dazwischenliegenden [Verhältnis]. Und wenn du ein durch 8 geteiltes [Verhältnis] finden willst, nachdem du ein durch 4 teilbares [Verhältnis] zwischen zwei beliebigen Strecken gefunden hast, die sich unmittelbar verhalten, hebe es um eine [dazwischen liegende Stecke] an. Und wenn du ein durch 16 geteiltes [Verhältnis] finden willst, nachdem du ein durch 8 teilbares [Verhältnis] zwischen zwei beliebigen [Strecken] gefunden hast, hebe es um eine [dazwischen liegende Strecke] nach der Kunstfertigkeit der vorhergehenden conclusio an und so bis ins Unendliche durch Verdoppeln [des Verhältnisses].“²⁴³

10. conclusio:

„Obwohl es leicht ist, zu einem beliebigen Verhältnis einen durch 2 geteilten [Quotienten] zu finden, einen durch 4 geteilten [Quotienten], einen durch 8 geteilten [Quotienten] oder durch 16 geteilten [Quotienten] und so weiter bis ins Unendliche durch Aufsteigen mit Zahlen, die pariter par sind, ist es dennoch schwierig einen durch 3 geteilten [Quotienten], einen durch 5 geteilten [Quotienten] oder einen durch 6 geteilten [Quotienten] durch Aufsteigen mit ungeraden Zahlen oder Zahlen zu finden, die impariter par sind.“²⁴⁴

probatio: „Der erste Teil ist aus der vorherigen conclusio offensichtlich, und der zweite [Teil] ist mir durch einen Versuch bekannt, obwohl Nikolaus Oresme in seinem Traktat der Proportionen im vierten Kapitel ein Verfahren durch die Kunst der Konstruktion eines Mittels bieten will, um ein durch 2, durch 3 oder durch 3/2 geteiltes Verhältnis zu finden.“²⁴⁵

obiectatio: „Aber durch das Urteil und die Kraft der Autorität des Slavus Melior, eines so besonders in den mathematischen Wissensgebieten umsichtigen Mannes, scheint mir, dass durch die Kunst der Konstruktion eines Mittels keine vier Strecken gefunden werden können, die sich stetig proportional verhalten. Das zeige ich so, weil nach der Erfassung von zwei Linien, die sich in einem doppelten Verhältnis verhalten, um vier stetig proportionale Strecken zu finden, es notwendig ist, zwischen jenen zwei [Strecken] zwei andere stetig proportionale [Strecken] zu finden, nämlich zwischen sich und mit den Extremen, wie er selbst zugibt. Aber das kann nicht geschehen durch die Konstruktion eines Mittels. Daher. Der Untersatz wird bewiesen: Denn entweder wird eine jener zwei Strecken, die zwischen zwei [Strecken] gefunden wird, durch jene Kunst gefunden oder nicht. Wenn nicht, dann schlage ich notwendigerweise ich vor, eine andere Kunst zu geben. Wenn doch, dann ist es ersichtlich, dass jene [Strecke] an der mittleren Stelle proportional zwischen zwei Strecken liegt, die sich in einem doppelten Verhältnis verhalten. Und folgerichtig wird [das Verhältnis] der größeren Strecke zu sich und auch das [Verhältnis] von sich zu der sehr kleinen [Strecke] ein Verhältnis sein, das das Mittel des doppelten [Verhältnisses] ist. Und dann frage ich nach der Konstruktion der zweiten Strecke, die dazwischen liegt, weil entweder jener [Sache] durch die Kunst der Konstruktion eines Mittels gefunden wird oder nicht. Wenn nicht, habe ich einen Vorschlag. Wenn ja, frage ich, ob jenes [Verhältnis] durch jene Kunst zwischen der mittleren [Strecke] und der letzten Strecke oder zwischen der ersten [Strecke] und der mittleren [Strecke] gefunden werden muss. Aber keine dieser [Möglichkeiten] darf genannt werden. Daher. Der Untersatz wird bewiesen: Denn wenn eine [Strecke] zwischen der mittleren [Strecke] und der letzten [Strecke] gefunden wird, werden jetzt jene vier Strecken nicht stetig proportional sein, weil ja das [Verhältnis] der ersten [Strecke] zur zweiten [Strecke] das Mittel des doppelten [Verhältnisses] ist, und das [Verhältnis] der zweiten [Strecke] zur dritten [Strecke] und auch das [Verhältnis] der dritten [Strecke] zur vierten [Strecke] ein durch 4 geteiltes [Verhältnis] des doppelten [Verhältnisses] sein wird, weil es das Mittel des Mittels des doppelten [Verhältnisses] sein wird, wie es aus der neunten conclusio dieses [Kapitels] offensichtlich ist. Wenn es aber zwischen der ersten [Strecke] und der mittleren [Strecke] gefunden wird, folgt dasselbe.“²⁴⁶

Korollar: „Daraus folgt, dass Oresme die Lehre nicht überliefert hat, um ein Verhältnis zu finden, das aus zwei Dritteln eines doppelten Verhältnisses zusammengesetzt ist, nämlich ein durch 3/2 geteiltes [Verhältnis] zu einem doppelten [Verhältnis]. Das wird bewiesen, weil – wie seine Worte klingen – es zu bestätigen scheint, dass jene Strecken durch die Kunst der Konstruktion eines Mittels gefunden werden müssen, was [aber] nicht gehalten werden kann, wie es bewiesen wurde. Und wenn dies nicht die Aufmerksamkeit und der ehrwürdige Geist des Lehrers war, würde die Gnade von Nikolaus Oresme für die Schwäche und Bedeutungslosigkeit meines kleinen Genius gegeben. Daher kann jeder auswählen, was er will, und beweisen, dass ich eher wissbegierig als böswillig bin.“²⁴⁷

Kapitel 2.8

Das achte Kapitel behandelt die Zunahme und die Abnahme von Verhältnissen. Es beginnt mit fünf suppositiones. Daraus leitet Alvarus Thomas acht conclusiones ab.

Die suppositiones

1. suppositio:

„Ein Verhältnis zu vergrößern oder zu vermehren kommt auf vielfacher Art und Weise zu Stande: Denn entweder wird der größeren Zahl etwas hinzugefügt, während die kleinere [Zahl] unverändert bleibt oder abnimmt, oder der kleineren [Zahl] wird etwas weggenommen, während die größere [Zahl] unverändert bleibt oder zunimmt, oder beide [Zahlen] nehmen zu, wobei dennoch die größere [Zahl] proportional schneller zunimmt als die kleinere [Zahl], oder beide [Zahlen] werden vermindert, wobei dennoch die kleinere [Zahl] schneller vermindert wird als die größere [Zahl].“²⁴⁸

2. suppositio:

„Ein Verhältnis zu vermehren bedeutet, jenem Verhältnis ein Verhältnis hinzuzufügen, während die übrigen [Gegebenheiten] gleich sind, wie ein doppeltes Verhältnis zu vergrößern bedeutet, ihm irgendein Verhältnis hinzuzufügen, während die übrigen anderen [Gegebenheiten] gleich bleiben.“²⁴⁹

3. suppositio:

„Daraus folgt die dritte suppositio, nämlich nach der Aufstellung eines beliebigen Verhältnisses und zwei anderen kleineren [Verhältnissen] herauszufinden, ob jenes größere [Verhältnis] genau aus jenen zwei kleineren [Verhältnissen] zusammengesetzt wird. Zum Beispiel nach der Aufstellung eines doppelten Verhältnisses und [zweier] kleinerer [Verhältnisse], [nämlich] eines anderthalbfachen [Verhältnisses] und eines vierdrittelfachen [Verhältnisses], gilt es nachzusehen, ob das doppelte [Verhältnis] genau aus dem anderthalbfachen [Verhältnis] und dem vierdrittelfachen [Verhältnis] zusammengesetzt ist.“²⁵⁰

4. suppositio:

„Ein Verhältnis von größerer Ungleichheit zu vermindern bedeutet, von ihm irgendein Verhältnis von größerer Ungleichheit wegzunehmen, während die übrigen [Gegebenheiten] gleich bleiben. Und das ist eine definitio. So kommt es auch auf so viele Art und Weisen zu Stande, ein Verhältnis von größerer Ungleichheit zu vermindern, durch wie viele Art und Weisen es zu Stande kommt, es zu vermehren, worüber in der ersten suppositio gesprochen wird.“²⁵¹

5. suppositio:

„Ein Verhältnis von größerer Ungleichheit wird immer mehr vermindert durch die Zunahme der kleineren Terms, während der größere [Term] unverändert bleibt, als durch die gleiche Abnahme des größeren [Terms], während der kleinere [Term] nicht verändert wird und die übrigen [Gegebenheiten] gleich bleiben. Und immer wächst ein Verhältnis mehr durch die Abnahme der kleineren Terms als durch die gleiche Zunahme des größeren [Terms], während die übrigen [Gegebenheiten] gleich bleiben.“²⁵²

1. Korollar: „Ein Verhältnis größerer Ungleichheit wird irgendwann genau so viel durch den Zuwachs der kleineren Zahl vermindert, während die übrigen [Gegebenheiten] gleich bleiben, wie es durch die gleiche Abnahme der größeren Zahl vermindert wird.“²⁵³

2. Korollar: „Ein Verhältnis bleibt durch die gleiche Abnahme des größeren Terms und sogleich den gleichen Zuwachs des kleineren [Terms] als Verhältnis gleich.“²⁵⁴

Die conclusiones

1. conclusio:

„Wenn beide von zwei ungleichen latitudines stetig gleichförmig in gleicher Zeit oder in ungleicher [Zeit] vermindert werden, indem die gleiche latitudo ganz und gar verloren wird, [dann] verliert die kleinere latitudo ein größeres Verhältnis als die größere [latitudo]. Das bedeutet, dass zwischen derselben kleineren latitudo am Anfang der diminutio und sich selbst am Ende ein größeres Verhältnis sein wird, als es zwischen der anderen größeren latitudo am Anfang und sich selbst am Ende [bestehen wird].“²⁵⁵

exemplum: „Wenn zum Beispiel nach der Erfassung von zwei latitudines, nämlich eine [latitudo] von einem Fuß und eine [latitudo] von zwei Fuß oder eine [latitudo] von einer Stufe und eine [latitudo] von zwei Stufen – das spielt keine Rolle – die latitudo von einem Fuß in einer Stunde gleichförmig einen halben Fuß verliert, und die latitudo von zwei Fuß in so großer Zeit, oder mehr oder weniger [Zeit] – das hängt nicht vom Vorgeschlagenen ab – gleichförmig genau einen halben Fuß verliert, [dann] verliert der eine Fuß ein größeres Verhältnis als der halbe Fuß. Wie zwischen dem einen Fuß am Anfang und sich selbst am Ende ein doppeltes Verhältnis ist, [so] ist zwischen den zwei Fuß aber am Anfang und sich selbst am Ende ein anderthalbfaches Verhältnis.“²⁵⁶

1. Korollar: „Wenn irgendeine größere latitudo, nämlich A, in irgendeiner Zeit stetig gleichförmig irgendeinen Teil von sich verliert, und eine andere kleinere latitudo, nämlich B, stetig gleichförmig in einer so großen Zeit, in einer größeren [Zeit] oder kleineren [Zeit] – darum sorge ich mich nicht – einen genau so großen Teil von sich verliert, ist das Verhältnis zwischen der kleineren latitudo in der Mitte der ersten Hälfte der Zeit, in der sie vermindert wird, und sich selbst in der Mitte der zweiten Hälfte derselben Zeit größer als zwischen der größeren latitudo in der Mitte der ersten Hälfte der Zeit, in der sie vermindert wird, und sich selbst in der Mitte der zweiten Hälfte derselben Zeit.“²⁵⁷

2. Korollar: „Wenn die größere latitudo einer Bewegung A und die kleinere [latitudo einer Bewegung] B stetig gleichförmig in gleicher oder ungleicher Zeit vermindert werden, indem sie genau die gleiche latitudo verliert, [dann] ist das Verhältnis zwischen der Bewegung B am Anfang der Zeit, in der sie selbst vermindert wird, und sich selbst am Ende einer solchen Zeit größer als das [Verhältnis] zwischen der Bewegung A am Anfang der Zeit, in der sie selbst vermindert wird, und sich selbst am Ende derselben Zeit. Und ebenso ist das Verhältnis zwischen der Bewegung B in der Mitte der ersten Hälfte der Zeit, in der sie selbst vermindert wird, und sich selbst in der Mitte der zweiten Hälfte derselben Zeit größer als das [Verhältnis] zwischen der Bewegung A in der Mitte der ersten Hälfte der Zeit, in der sie selbst vermindert wird, und sich selbst in der Mitte der zweiten Hälfte derselben Zeit.“²⁵⁸

2. conclusio:

„Wenn zwischen irgendwelchen Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit besteht, und der größere jener Terme irgendein Verhältnis erwirbt, während der kleinere [Term] unverändert bleibt, oder der kleinere Term irgendein Verhältnis verliert, während der größere [Term] unverändert bleibt, [dann] wird das Verhältnis zwischen jenen Termen vermehrt.“²⁵⁹

1. Korollar: „Immer wenn zwischen irgendwelchen Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit besteht und beide [Terme] anwachsen, der größere Term ein größeres Verhältnis als der kleinere [Term] erwirbt, dann wird das Verhältnis zwischen den gegebenen Termen vergrößert.“²⁶⁰

2. Korollar: „Wenn zwei Terme gegeben werden, zwischen denen ein Verhältnis größerer Ungleichheit ist, und beide Terme vermindert werden, und der kleinere [Term] ein größeres Verhältnis verliere, als der größere [Term] verliert, [dann] wird das Verhältnis zwischen den gegebenen Termen vergrößert.“²⁶¹

3. Korollar: „Wenn zwei Terme sich in einem Verhältnis größerer Ungleichheit verhalten, und der kleinere [Term] irgendeinen Teil verliert, und der größere [Term] einen [Teil] erwirbt, [dann] wird das Verhältnis zwischen jenen Termen vergrößert.“²⁶²

3. conclusio:

„Wenn zwischen irgendwelchen Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit ist, und der größere [Term] von ihnen wird vermindert, während der kleinere [Term] fest steht, oder der kleinere [Term] vergrößert wird, während der größere [Term] bleibt, [dann] wird das Verhältnis zwischen jenen Termen vermindert.“²⁶³

1. Korollar: „Wenn zwischen irgendwelchen zwei Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit besteht, und beide [Terme] abnehmen, und der größere [Term] ein größeres Verhältnis verliert als der kleinere [Term, dann] wird das Verhältnis zwischen jenen vermindert. Und wenn beide [Terme] wachsen, und der kleinere [Term] ein größereres Verhältnis als der größere [Term] erwirbt, [dann] wird das Verhältnis zwischen ihnen vermindert.“²⁶⁴

2. Korollar: „Wenn zwischen irgendwelchen Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit ist, und der größere [Term] abnimmt, und der kleinere [Term] wächst, aber dennoch kleiner bleibt, [dann] wird das Verhältnis zwischen jenen Termen vermindert.“²⁶⁵

4. conclusio:

„Wenn zwischen irgendwelchen Termen irgendein Verhältnis größerer Ungleichheit besteht, und jeder der beiden Terme ein gleiches Verhältnis erwirbt oder verliert, dann wird das Verhältnis zwischen ihnen weder vergrößert noch vermindert.“²⁶⁶

1. Korollar: „Wenn jeder zweier gleicher Terme gleich schnell und stetig proportional wächst oder abnimmt, bleibt zwischen jenen Termen dasselbe Verhältnis. Und wenn stetig zwischen jenen zwei Termen, zwischen denen das Verhältnis größerer Ungleichheit ist, dasselbe Verhältnis bleibt, und sie wachsen oder abnehmen, [dann] wachsen sie stetig gleich schnell und proportional oder sie nehmen [so] ab.“²⁶⁷

2. Korollar: „Wenn ein Verhältnis eines größeren [Terms] zu einem kleineren [Term] verkleinert würde, und beide Terme verkleinert würden, wird der größere [Term] proportional schneller als der kleinere [Term] verkleinert werden. Und wenn jenes Verhältnis durch eine maioratio beider Termen verkleinert werden würde, [dann] wird der größere [Term] proportional langsamer als der kleinere [Term] vergrößert.“²⁶⁸

3. Korollar: „Wenn zwischen irgendwelchen Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit besteht, und beide Terme wachsen, zwischen der zum größeren Term zugefügten [latitudo] und der zum kleineren Term zugefügten [latitudo] ein größeres Verhältnis als zwischen jenen Termen ist, dann wird das gegebene Verhältnis vergrößert. Und wenn es kleiner ist, wird das Verhältnis zwischen den gegebenen Termen vermindert. Und ich bemerke, dass der größere Term immer eine größere latitudo erwirbt, als sie der kleinere [Term] erwirbt, weil es anders nicht notwendig ist.“²⁶⁹

exemplum: „Wenn man zum Beispiel eine ein Fuß [lange Strecke] und eine zwei Fuß [lange Strecke] erfasst, zwischen denen ein doppeltes Verhältnis ist, und der eine Fuß ein Viertel eines Fußes erwirbt, und die zwei Fuß einen Fuß erwerben, dann wird das Verhältnis zwischen jenen zwei Quantitäten vergrößert, weil am Ende zwischen jenen Quantitäten ein Zwölffünftelverhältnis bleibt, welches von 12 zu 5 ist. Wenn aber der eine Fuß einen Fuß erwirbt, und die zwei Fuß einen Fuß und einen halben [Fuß] erwerben, dann wird das Verhältnis zwischen jenen zwei Quantitäten vermindert, weil am Ende ein Siebenviertelverhältnis bleibt, wie es von 7 zu 4 ist.“²⁷⁰

4. Korollar: „Wenn zwischen irgendwelchen Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit besteht, und während beide Terme anwachsen, das Verhältnis zwischen jenen vergrößert wird, dann ist zwischen dem, was zum größeren Term hinzugefügt wurde, und dem, was zum kleineren [Term] zugefügt wurde, ein größeres Verhältnis, als es das Verhältnis zwischen jenen Termen ist, bei denen die Erwerbung geschieht. Wenn aber das Verhältnis zwischen den gegebenen Termen vermindert wird, während beide wachsen, [dann] wird das Verhältnis zwischen dem, was zum größeren [Term] hinzugefügt wird, und dem, was dem kleineren [Term] zugefügt wird, kleiner sein als das [Verhältnis] zwischen den gegebenen Termen.“²⁷¹

5. Korollar: „Wenn zwischen irgendwelchen Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit ist, und beide abnehmen, das Verhältnis zwischen dem, was vom größeren Term verloren geht, und dem, was vom kleineren Term verloren geht, kleiner als das zwischen den gegebenen Termen ist, dann wird das Verhältnis zwischen den gegebenen Termen vergrößert. Und wenn das Verhältnis zwischen jenen verlorenen [latitudines] größer ist, wird das Verhältnis zwischen jenen gegebenen Termen vermindert.“²⁷²

exemplum: „Wenn man zum Beispiel eine [Strecke] von einem Fuß und eine [Strecke] von zwei Fuß erfasst, die zwei Fuß einen Fuß verlieren, und der eine Fuß ein Viertel eines Fußes [verliert], dann wird das Verhältnis zwischen den gegebenen Termen vermindert. Denn am Ende einer solchen diminutio jener Terme bleibt ein vierdrittelfaches Verhältnis übrig, nämlich von vier Vierteln zu drei Vierteln. Und wenn die zwei Fuß einen Fuß verlieren, und der eine Fuß drei Viertel [eines Fußes], wird das Verhältnis vergrößert. Denn am Ende bleibt ein vierfaches Verhältnis von einem Fuß zu einem Viertel.“²⁷³

6. Korollar: „Wenn zwischen irgendwelchen Termen ein Verhältnis größerer Ungleichheit ist, und beide Terme abnehmen, und das Verhältnis zwischen ihnen vergrößert wird, dann ist das Verhältnis von dem, was vom größeren Term verloren wurde, zu dem, was vom kleineren [Term] verloren wurde, kleiner, als es das Verhältnis zwischen den gegebenen Termen am Anfang einer solchen diminutio ist. Und wenn jeder der beiden [Terme] abnimmt, und das Verhältnis zwischen ihnen vermindert wird, dann ist das Verhältnis von dem, was vom größeren [Term] verloren wurde, zu dem, was vom kleineren [Term] verloren wurde, größer, als es das Verhältnis zwischen den gegebenen Termen am Anfang einer solchen diminutio ist.“²⁷⁴

nota: „Und beachte bei den vorhergenannten Korollaren, dass sie [so] eingerichtet werden müssen, dass jedes Mal der größere Term, der stetig größer bleibt, eine größere latitudo erwirbt oder verliert als der kleinere [Term]. Sonst werden die Korollare nicht frei von Falschheit sein, und den folgenden [Korollaren] dienen sie auf keine Art und Weise.“²⁷⁵

7. Korollar: „Wenn zwei Terme gegeben worden sind, die sich in irgendeinem Verhältnis verhalten, und wenn irgendein Teil des größeren [Terms] erfasst worden ist, der sich zu einem gewissen Teil des kleineren [Terms] in dem Verhältnis verhält, in dem sich die gegebenen Terme zueinander verhalten, [dann] verhält sich der Rest des größeren [Terms] und der Rest des kleineren [Terms] auch in demselben Verhältnis der angegebenen Terme. Zum Beispiel: Man erfasse eine ein Fuß [lange Strecke] und einer zwei Fuß [lange Strecke], und sie verhalten sich in einem doppelten Verhältnis. Und wenn ein Viertel des größeren [Terms] und ein anderes Viertel des kleineren [Terms] erfasst wurden, die sich in einem doppelten Verhältnis verhalten, verhalten sich die Reste, nämlich die drei Viertel des größeren [Terms] und die drei Viertel des kleineren [Terms], auch in einem doppelten Verhältnis, wie es leicht zu sehen ist.“²⁷⁶

8. Korollar: „Wenn zwischen irgendwelchen Termen irgendein Verhältnis ist, und beide von jenen [Termen] abnehmen, zwischen ihnen stetig dasselbe Verhältnis bleibt, wird der eine [Term] von ihnen vermindert bis zu keiner Stufe, und auch der andere [Term].“²⁷⁷

5. conclusio:

„Wenn irgendein Verhältnis größerer Ungleichheit durch den Zuwachs des größeren Extremum vergrößert wird, während das kleinere [Extremum] gleich bleibt, dann wird das gegebene Verhältnis um jenes Verhältnis größer, um das der größere Term vermehrt wird. Und wenn irgendein Verhältnis größerer Ungleichheit durch die Abnahme des kleineren Terms vergrößert wird, während der größere [Term] gleich bleibt, dann wird das gegebene Verhältnis größer durch jenes Verhältnis, das der kleinere Term verliert oder durch das der kleinere Term kleiner wird, was dasselbe ist.“²⁷⁸

1. Korollar: „Wenn irgendein Verhältnis größerer Ungleichheit durch eine maioratio des größeren Terms und eine minoratio des kleineren [Terms] vergrößert wird, dann wird das gegebene Verhältnis vergrößert. Und es wird größer durch das Verhältnis, das aus dem Verhältnis, durch das der größere Term größer wird oder das der größere Term zu sich erwirbt, und aus dem Verhältnis zusammengesetzt wird, um das der kleinere Term kleiner wird oder das der kleinere Term verliert, was dasselbe ist.“²⁷⁹

2. Korollar: „Wenn irgendein Verhältnis größerer Ungleichheit vergrößert wird, und beide Terme von ihm wachsen, dann wird es größer durch das Verhältnis, durch das das Verhältnis, das zu dem größeren Term erworben wurde, das Verhältnis übertrifft, das zu dem kleineren Term erworben wurde.“²⁸⁰

3. Korollar: „Wenn irgendein Verhältnis größerer Ungleichheit vergrößert wird, und beide Terme abnehmen, dann wird das Verhältnis durch jenes Verhältnis vergrößert, durch das das Verhältnis, das von dem kleineren Term verloren wird, das Verhältnis übertrifft, das vom größeren Term verloren wird.“²⁸¹

4. Korollar: „Wenn es vier gleiche Quantitäten gäbe, von denen die zweite dadurch anwächst, dass zu der ersten [Quantität] irgendeine Quantität hinzuerworben wird, während die anderen verbleiben, [und wenn] daraufhin die dritte [Quantität] dadurch anwächst, dass sie eine genau so große Quantität zu der zweiten [Quantität] erwirbt, wie die zweite [Quantität] zu der ersten [Quantität erworben] hat, während die erste, zweite und vierte [Quantität gleich] bleiben, [und wenn] danach die vierte [Quantität] dadurch wächst, dass sie dieselbe Quantität wie zu der dritten [Quantität] erwirbt, während die anderen alle unverändert bleiben, [dann] übertrifft am Ende das größte Verhältnis, das freilich zwischen zwei kleineren Quantitäten ist, um ein größeres Verhältnis das dritte [Verhältnis], das das kleinste jener drei Verhältnisse ist.“²⁸²

exemplum: „Man erfasse zum Beispiel vier [einzelne] Fuß. Wenn der zweite jener Fuß anwächst, indem er einen halben Fuß erwirbt, während die anderen sich ruhig verhalten, [und wenn] daraufhin der dritte [Fuß] jener Fuß einen halben Fuß als Quantität zu dem zweiten erwirbt, das bedeutet jetzt einen Fuß mit einer Hälfte, während die anderen unverändert bleiben, [und wenn] – während die anderen ähnlicherweise unverändert bleiben – zuletzt der vierte von ihnen anwächst, indem er genau so eine Quantität zum dritten von ihnen erwirbt, so dass es zwei Fuß mit einem halben sind, [dann] übertrifft am Ende das größte Verhältnis, das freilich das [Verhältnis] des Fußes mit der Hälfte zu dem Fuß ist, durch das größere Verhältnis das zweite Verhältnis, wie zum Beispiel das von zwei Fuß zu einem Fuß mit einer Hälfte, wie das zweite [Verhältnis] das dritte [Verhältnis] übertrifft, das das von zwei Fuß mit einer Hälfte zu zwei Fuß ist, weil das erste und größte [Verhältnis], welches anderthalbfach ist, das zweite [Verhältnis], nämlich das vierdrittelfache [Verhältnis], durch ein neunachtelfaches Verhältnis [übertrifft]. Und das zweite [Verhältnis] übertrifft aber das dritte [Verhältnis], welches ein fünfviertelfaches [Verhältnis] ist, durch ein sechzehnfünfzehntelfaches Verhältnis, wie es aus der vierten conclusio des vierten Kapitels dieses Teils offensichtlich ist.“²⁸³

5. Korollar: „Wenn es vier, stetig arithmetisch proportionale Terme gebe, übertrifft das größte Verhältnis, das freilich zwischen den zwei kleineren Termen dieser vier [Terme] besteht, das zweite Verhältnis mehr, als das zweite [Verhältnis] das dritte [Verhältnis] übertrifft, das das kleinste jener drei Verhältnisse ist, die zwischen jenen vier Termen bestehen.“²⁸⁴

6. conclusio:

„Wenn irgendein Verhältnis durch die Abnahme des größeren Terms vermindert wird, während der kleinere [Term] fest bleibt, dann wird jenes Verhältnis um das Verhältnis kleiner, um das der größere Term kleiner wird, oder um das [Verhältnis], was der größere Term verliert. Und wenn irgendein Verhältnis durch den Zuwachs des kleineren Terms kleiner wird, während der größere [Term] fest steht, dann wird das Verhältnis zwischen jenen Termen um das Verhältnis kleiner, das der kleinere [Term] erwirbt oder um das er größer wird.“²⁸⁵

exemplum: „Wenn man zum Beispiel ein doppeltes Verhältnis erfasst, das von zwei Fuß zu einem Fuß [ist], das durch die Abnahme der zwei Fuß kleiner wird, während der eine Fuß fest bleibt, [dann] wird jenes doppelte Verhältnis um das Verhältnis kleiner, das die zwei Fuß verlieren.“²⁸⁶

1. Korollar: „Wenn irgendein Verhältnis durch die Abnahme des größeren Terms und den Zuwachs des kleineren [Terms] vermindert wird, dann wird ein solches Verhältnis kleiner durch das Verhältnis, das aus dem Verhältnis, das der größere Term verliert, und aus dem Verhältnis, das der kleinere Term gewinnt, zusammengesetzt wird.“²⁸⁷

2. Korollar: „Wenn irgendein Verhältnis größerer Ungleichheit durch den Zuwachs beider Terme vermindert wird, wird es um das Verhältnis kleiner, um das das Verhältnis, das vom kleineren [Term] erworben wurde, das Verhältnis übertrifft, das vom größeren [Term] erworben wurde.“²⁸⁸

3. Korollar: „Wenn irgendein Verhältnis größerer Ungleichheit durch eine Abnahme beider seiner Terme vermindert wird, [dann] wird ein solches Verhältnis um das Verhältnis kleiner, um das das Verhältnis, das vom größeren Term verloren wurde, das Verhältnis übertrifft, das vom kleineren [Term] verloren wurde.“²⁸⁹

4. Korollar: „Wenn es zwei proportionale [Terme] in irgendeinem Verhältnis größerer Ungleichheit gebe, und das Verhältnis zwischen jenen durch eine minoratio jeder der beiden [Terme] verkleinert würde, wird das Verhältnis, das von dem größeren [Term] verloren wurde, größer sein als das Verhältnis, das von dem kleineren [Term] verloren wurde, [und zwar] um das Verhältnis, durch das das Verhältnis zwischen dem größeren [Term] und dem kleineren [Term] kleiner werde. Das bedeutet um das Verhältnis, das zwischen dem größeren [Term] und dem kleineren [Term] verloren wird.“²⁹⁰

7. conclusio:

„Wenn irgendeine größere Quantität in Bezug auf eine kleinere Quantität, die unverändert bleibt, anwächst, indem es zu sich irgendein Verhältnis erwirbt, erwirbt es ein so großes Verhältnis zur kleineren Zahl, das heißt zu dem Verhältnis, das es zur kleineren Zahl hat, wie es zu sich erwirbt. Und wenn die größere Quantität, die in Bezug auf die kleinere Quantität größer bleibt, die unverändert ist, abnimmt oder irgendein Verhältnis verliert, gilt, dass sie ein so großes Verhältnis in Bezug auf die kleinere Quantität verliert, wie sie es von sich selbst verliert. Das bedeutet in dem Verhältnis, das sie zur kleineren Quantität hat.“²⁹¹

exemplum: „Wenn man zum Beispiel ein Verhältnis erfasst, das von 12 zu 8 ist, will ich, dass die größere Zahl, nämlich 12, solange anwächst, bis sie 16 ergibt. Dann ist ersichtlich, dass die größere Zahl zu sich ein vierdrittelfaches Verhältnis erworben hat. Und ein solches erwirbt des Verhältnis von 12 zu 8, wie es fest steht. Denn am Ende wird es aus einem anderthalbfachen [Verhältnis] und einem vierdrittelfachen [Verhältnis] zusammengesetzt. Wenn aber die 12 bis zur 9 vermindert wird, und die 8 stehen bleibt, dann verliert das Verhältnis von 12 zu 8 ein vierdrittelfaches Verhältnis, das auch die größere Zahl verliert.“²⁹²

1. Korollar: „Wenn eine größere Quantität anwächst oder abnimmt, aber größer in Bezug zu die kleinere Quantität bleibt, die unverändert ist, [dann] verliert oder erwirbt sie ein so großes Verhältnis in Bezug auf die kleinere Quantität wie in Bezug auf sich selbst.“²⁹³

2. Korollar: „Wenn eine größere Quantität wächst oder abnimmt und größer bleibt in Bezug zu zwei kleineren Quantitäten, die gleich oder ungleich sind, [dann] erwirbt oder verliert sie das gleiche Verhältnis in Bezug auf jede der beiden Quantitäten, die selbst unverändert bleiben.“²⁹⁴

8. conclusio:

„Wenn eine kleinere Quantität in Bezug auf eine größere Quantität anwächst, die nicht verändert wird, verliert die größere Quantität in Bezug auf die kleinere [Quantität] ein so großes Verhältnis, wie es [die kleinere Quantität] zu sich erwirbt. Das bedeutet, dass das Verhältnis der größeren Quantität zur kleineren [Quantität] um ein solches Verhältnis kleiner wird. Wenn aber die kleinere Quantität in Bezug auf die größere Quantität abnimmt, die unverändert ist, erwirbt die größere Quantität ein so großes Verhältnis zur kleineren [Quantität], um das die kleinere [Quantität] kleiner wird. Das heißt, dass das Verhältnis der größeren Quantität zur kleineren [Quantität] um das Verhältnis kleiner wird, was die kleinere Quantität verliert.“²⁹⁵

1. Korollar: „Wenn eine kleinere Quantität in Bezug auf eine größere [Quantität] anwächst oder abnimmt, die unverändert bleibt, [dann] verliert oder erwirbt das Verhältnis der größeren Quantität zur kleineren [Quantität] ein so großes Verhältnis, wie es die kleinere Quantität verliert oder gewinnt, die in Bezug auf sich selbst kleiner bleibt.“²⁹⁶

2. Korollar: „Wenn eine kleinere Quantität in Bezug auf zwei größere Quantitäten, die gleich oder ungleich sind, anwächst oder abnimmt, [dann] erwirbt oder verliert die eine größere Quantität in Bezug auf die kleinere Quantität ein so großes Verhältnis wie die andere größere [Quantität] in Bezug auf dieselbe kleinere Quantität.“²⁹⁷

3. Korollar: „Wenn zwei größere, ungleiche Quantitäten gleich schnell in Bezug auf dieselbe kleinere Quantität wachsen oder abnehmen, die unverändert bleibt, [dann] gewinnt oder verliert die kleinere jener größeren Quantitäten ein größeres Verhältnis als die größere [jener Quantitäten] in Bezug auf dieselbe kleinere Quantität, die unverändert bleibt.“²⁹⁸

4. Korollar: „Wenn zwei kleinere, ungleiche Quantitäten gleich schnell in Bezug auf eine zu jeder der beiden größere Quantität anwachsen oder abnehmen, die unverändert bleibt, [dann] gewinnt oder verliert jene größere [Quantität] ein größeres Verhältnis in Bezug auf die kleinere [der kleineren Quantitäten] als in Bezug auf die größere [der kleineren Quantitäten].“²⁹⁹

5. Korollar: „Wenn zwei größere Quantitäten, die gleich oder ungleich sind, gleiche Verhältnisse erwerben oder verlieren, aber dennoch größer in Bezug auf zwei kleinere Quantitäten bleiben, die gleich oder ungleich sind, [dann] erwirbt jede jener beiden [größeren Quantitäten] das gleiche Verhältnis oder verliert es in Bezug auf jede der beiden kleineren [Quantitäten], die unverändert bleiben.“³⁰⁰

6. Korollar: „Wenn zwei kleinere Quantitäten gleich proportional in Bezug auf jede der beiden größeren Quantitäten anwachsen oder abnehmen, [dann] wird jede der beiden größeren [Quantitäten] das gleiche Verhältnis in Bezug auf die beiden kleineren [Quantitäten] gewinnen oder verlieren.“³⁰¹

Fußnoten