Abriss des ersten Traktats des dritten Teils des Liber de triplici motu

Kapitel 3.1.1

Das erste Kapitel des ersten Traktats behandelt eine erste opinio, die Ursache einer Geschwindigkeit zu bestimmen:

1. opinio:

„Die erste opinio über die Geschwindigkeit der Bewegungen hinsichtlich der Ursache war die [opinio] einiger Philosophen, die sagen, dass sich die Geschwindigkeit bei einer Bewegung nach dem Verhältnis des Überhangs der Vermögen zu ihren Widerständen richten müsse. Wenn daher der Überhang eines Vermögens zu seinem Widerstand doppelt in Bezug auf den Überhang eines anderen Vermögens zu dessen Widerstand sein würde, wird es die doppelte Geschwindigkeit in Bezug auf die andere Bewegung haben. Zum Beispiel bewegen 6 sich gegen [einen Widerstand wie] 3, und 4 bewegen sich gegen [einen Widerstand wie] 2. Das heißt, dass die Wirkungsfähigkeit wie 4 ist. Daher ist der Überhang von 6 zu 3 anderthalbfach in Bezug auf den Überhang von 4 zu 2, und anderthalbmal schneller werden bewegen 6 die 3, als 4 die 2 [bewegen werden].“¹

obiectatio in Form einer sequela:

„Aber gegen diese opinio wird [so] argumentiert: Wenn sie wahr wäre, würde daraus folgen, dass die Bewegungen, die von gleichen Verhältnissen hergeleitet werden, ungleich sein könnten. Jedoch der Nachsatz ist falsch. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“²

replica:

„Aber dagegen [kann gesagt werden]: Daher würde dann folgen, dass zwei beliebige mobilia von gleichen Verhältnissen bewegt werden würden, und dennoch das eine [mobile] sich um das Doppelte schneller als das andere [mobile] bewegen würde. Aber der Nachsatz ist falsch. Also [auch] das, woraus er folgt.“³

Empfehlung von Alvarus Thomas: „[Dann] wirst du das durch das Zugestehen dessen, was dargelegt wird, [auch] sagen. Und nichts wird man für unschicklich halten, vielmehr [alles] für die Folge dieser opinio.“⁴

replica:

„Aber dagegen [kann gesagt werden]: Daher würde dann folgen, dass, wenn sich irgendein Vermögen mit irgendeiner Geschwindigkeit gegen einen Widerstand bewegen würde, sich die Hälfte des Vermögens gegen die Hälfte des Widerstands nicht mit einer solchen Geschwindigkeit bewegen würde. Der Nachsatz ist falsch und entgegen dem Philosophen im siebenten [Buch] der Physik, der ausdrücklich das Gegenteil darlegt. Daher [ist es auch] das, was daraus folgt. Die Folge wird bewiesen: Ich will, dass ein Vermögen von 8 sich gegen einen Widerstand wie Vier bewegt. Als nächstes bewegt sich die Hälfte des Vermögens von 8, nämlich 4, gegen die Hälfte des Widerstands, nämlich 2. Unter diesen Vorbedingungen argumentiere ich derart: Ein Vermögen wie 8 übersteigt seinen Widerstand um das Doppelte mehr als seine Hälfte, die 4 ist, ihren Widerstand, der wie 2 ist, übersteigt. Weil das eine [Vermögen seinen Widerstand] um 4 [übersteigt], und das andere [Vermögen seinen Widerstand] um 2 übersteigt, bewegt daher die Hälfte des Vermögens die Hälfte des Widerstands nicht mit einer so großen Geschwindigkeit, wie das gesamte Vermögen sich gegen den gesamten Widerstand bewegt. Was darzustellen war.“⁵

1. confirmatio in Form einer sequela: „Denn wenn diese opinio wahr wäre, würde daraus folgen, dass, wenn zwei Pferde getrennt zwei Schiffe über eine Stunde hinweg zögen, jene Pferde zusammen gemeinschaftlich die zwei Schiffe um das Doppelte schneller ziehen würden. Aber dieser Nachsatz steht der Erfahrung entgegen, daher [steht dem auch] das [entgegen], was daraus folgt.“⁶

exemplum: „Ein Beispiel: Man erfasse das Verhältnis von 4 zu 2 und ein anderes ihm gleiches [Verhältnis] in denselben Termen, nämlich 4 zu 2. Daraus wird sich, indem man die kleineren Zahlen – nämlich der Zwei mit der Zwei – und der größeren [Zahlen] – nämlich der Vier mit der Vier – vereinigt, das doppelte Verhältnis von 8 zu 4 ergeben. Und dort übersteigt die größere Zahl die kleinere Zahl um den doppelten Überhang in Bezug auf den Überhang der anderen Verhältnisse. So ist es offensichtlich für die Wahrnehmung.“⁷

2. confirmatio: „Zweitens wird dies [so] bestätigt: Denn wenn der Standpunkt wahr wäre, würde daraus folgen: Wenn man ein Gewicht aus Blei annimmt, das bei einer Rolle ein halbes Gewicht auf der Gegenseite über einen gewissen Raum in einer gewissen Zeit hochhebt, könnten zwei Gewichte ein Gewicht in einer um das Doppelte kleineren Zeit von der Gegen[seite] heben und infolgedessen um das Doppelte schneller. Aber das ist ersichtlicherweise falsch und gegen die Erfahrung, die leicht genug erhalten werden kann. Daher [ist es auch] das, aus dem es folgt.“⁸

Argument von Alvarus Thomas zur Beziehung zwischen Verhältnissen und Geschwindigkeiten von Bewegungen: „Man sagt [dies], indem man die vorher genannten Autoritäten bestätigt, und indem man die Schlussfolgerungen verneint. Die ratio ist die: Solange der Philosoph und der Kommentator sagen, dass die Geschwindigkeit einer Bewegung dem Überhang oder dem Hervorragen des Vermögens des Bewegers über seinen Widerstand folgen, wird unter dem Herausragen oder dem Überhang des Vermögens des Bewegers über seinen Widerstand der Überhang eines Verhältnisses über ein anderes [Verhältnis] verstanden. Daher kann es [folgende] Auffassung geben: Je mehr ein Verhältnis ein anderes [Verhältnis] übersteigt, desto mehr übersteigt die Geschwindigkeit einer Bewegung, die von dem [einen] stammt, die Geschwindigkeit einer Bewegung, die von dem anderen stammt.“⁹

nota zur regula:

„Und das ist das Ansinnen des Philosophen: Es wird offensichtlich aus der Regel, die weiter oben erklärt wurde, und die er darlegt im siebenten [Buch] der Physik, und die – wie es später ausführlicher besprochen werden wird – so verstanden werden muss: Wenn irgendeine virtus irgendetwas Bewegliches bewegt – das bedeutet gegen irgendeinen Widerstand mit einer irgendwiegroßen Geschwindigkeit – bewegt sich eine durch 2 geteilte virtus gegen einen durch 2 geteilten Widerstand mit gleicher Geschwindigkeit. Das heißt: Wenn irgendein Verhältnis von größerer Ungleichheit irgendein Verhältnis von kleinerer Ungleichheit mit irgendeiner Geschwindigkeit bewegt, wird sich ein zu jenem in kleineren Termen gleiches Verhältnis mit gleicher Geschwindigkeit bewegen. Das wird später ausführlicher erklärt werden.“¹⁰

Kapitel 3.1.2

Das zweite Kapitel beschäftigt sich mit zwei weiteren opiniones über die Ursache der Geschwindigkeit einer Bewegung. Sie werden beide verworfen.

2. opinio zur Ursache der Geschwindigkeit einer Bewegung

„Die zweite opinio legt dar, dass die Geschwindigkeit einer Bewegung dem Verhältnis des Überhangs des Vermögens des Bewegers zu dem Vermögen des bewegten Dings folgt. Und diese opinio will ausdrücken, dass die Geschwindigkeit bei den Bewegungen dem Verhältnis des Überhangs der Aktivität des Bewegers zu der Aktivität des bewegten Dings folgt. Wenn sich deshalb ein Beweger so in Bezug auf sein Bewegliches verhält, dass seine Aktivität die Aktivität des Beweglichen durch vier Stufen übertrifft, und die Aktivität des anderen Bewegers die Aktivität seines Beweglichen durch zwei Stufen übertrifft, dann bewegt sich der erste Beweger um das Doppelte schneller als der zweite [Beweger]. Und diese opinio scheint zusammen zu fallen mit der ersten opinio, wenn man es weglässt, dass die eine [opinio] die Aktivität mit dem Widerstand vergleicht, und die andere die Aktivität mit der Aktivität.“¹¹

obiectatio in Form einer sequela:

„Aber gegen diese opinio kann man folgendermaßen argumentieren: Denn wenn sie wahr wäre, würde daraus folgen, dass etwas, das sich bewegt, nach und nach ohne Widerstand bewegt werden würde und sogar so schnell mit Widerstand wie auch ohne Widerstand. Aber der Nachsatz ist falsch. Und Daher [ist es auch] das, aus dem er folgt. Die sequela wird bewiesen. Und ich lege ein Beispiel [dafür] dar, dass es eine virtus wie 8 eines Aktiven und eine virtus wie Vier von einem Passiven [gibt], in dem ein Widerstand wie 2 ist, und irgendetwas anderes da ist, das passiv war, in dem es keinen Widerstand, aber dennoch eine Aktivität wie Vier gibt. Nachdem das dargelegt wurde, wird so argumentiert: Das Aktive wie 8 handelt gleich schnell gegen jedes dieser beiden Passiven, weil die Verhältnisse der Aktivitäten gleich sind. Und dennoch handelt es gegen das eine Passive mit Widerstand und gegen das andere [Passive] ohne Widerstand. Daher das Vorgeschlagene.“¹²

3. opinio zur Ursache der Geschwindigkeit einer Bewegung

„Die dritte opinio ist die, die darlegt, dass die Geschwindigkeit bei einer Bewegung dem Verhältnis der Widerstände zueinander folgt. Wenn es deshalb zwei gleiche Aktive gibt, und sie bewegen sich gegen zwei ungleiche Widerstände, [gilt folgendes]: In welchem Verhältnis auch immer der eine Widerstand kleiner als der andere [Widerstand] ist, in demselben Verhältnis wird es schneller bewegt. Wenn zum Beispiel eine virtus wie 8 sich gegen einen Widerstand von 4 und einen Widerstand von 3 bewegt, [gilt]: Weil der Widerstand von 3 um das Vierdrittelfache kleiner als der Widerstand von 4 ist, daher wird sich die virtus von 8 um Vierdrittelfache schneller gegen den Widerstand von 3 bewegen als den Widerstand von 4.“¹³

obiectatio:

„Es ist [Folgendes] anzunehmen: Wenn irgendeine virtus wie zum Beispiel 8 ausreicht, um irgendetwas Bewegliches mit einer irgendwie großen Geschwindigkeit zu bewegen, so reicht dieselbe virtus aus, um irgendetwas anderes Bewegliches doppelt so langsam zu bewegen, und etwas dreimal [langsamer] und viermal [langsamer] und so bis ins Unendliche. Wenn daher eine virtus ausreicht, um etwas Bewegliches in einer Stunde eine Meile zu bewegen, reicht dieselbe virtus aus, etwas größeres Bewegliches in einer Stunde eine halbe Meile zu bewegen. Und dieselbe virtus reicht aus, um etwas größeres [Bewegliches] in einer Stunde den dritten Teil einer Meile zu bewegen, und etwas anderes [Bewegliches] den vierten Teil [einer Meile] und so bis ins Unendliche. Nachdem das dargelegt wurde, wird folgendermaßen argumentiert wird: Wenn die opinio wahr wäre, würde daraus folgen, dass etwas, das sich wie 8 bewegt, ein irgendwie großes Bewegliches bewegen kann. Aber der Nachsatz ist falsch, weil [die virtus] dann eine unendliche Aktivität hätte. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“¹⁴

probatio: „Die sequala wird bewiesen: Ich lege dar, dass etwas, das sich wie 8 bewegt, sich gegen einen Widerstand wie 4 eine Meile in genau einer Stunde bewegt. Nachdem das dargelegt wurde, kann ein solches [Aktives], das sich bewegt, irgendetwas Bewegliches zweimal langsamer in einer Stunde eine halbe Meile bewegen, wie es offensichtlich ist aus der suppositio. Und zwar nur ein Bewegliches wie 8, wie es offensichtlich ist aus der opinio, weil ja das Verhältnis dem Verhältnis der Widerstände folgt, aber die Geschwindigkeit durch 2 geteilt ist. Also ist der Widerstand doppelt. Ebenso kann jene virtus etwas Bewegliches mit einer durch 3 geteilten Geschwindigkeit bewegen, wie es offensichtlich ist aus der suppositio, und [zwar] nur bei einem dreifachem Widerstand, wie es offensichtlich ist aus der opinio. Und so bis ins Unendliche. Daher das Vorgeschlagene.“¹⁵

Kapitel 3.1.3

Das dritte Kapitel verspricht eine vierte, diesmal als wahr bezeichnete opinio über die Ursache der Geschwindigkeit einer Bewegung darzulegen.¹⁶ Sie stammt von Thomas Bradwardine.¹⁷ Die opinio wird als „nunc communiter tenetur“ charakterisiert.¹⁸ Daher kann man annehmen, dass sie in der damaligen Zeit zumindest in Paris als allgemein anerkannt aufgefasst wird. Dass Alvarus Thomas zuerst drei Widerlegungen von opiniones angibt, bevor er die vera opinio darlegt, ist auf Paulus Venetus zurückzuführen, der nur die erste der drei – laut Alvarus Thomas falschen – opiniones darlegt. Nach den Beispielen zur 4. opinio führt der Autor zwei conclusiones an, die im Anschluss diskutiert werden.

4. opinio zur Ursache der Geschwindigkeit einer Bewegung

„Eine vierte und wahre opinio ist die, die derzeit im Allgemeinen vertreten wird. Und sie legt dar, dass die Geschwindigkeit einer Bewegung dem Verhältnis der Verhältnisse folgt, und zwar einem geometrischen Verhältnis. Wenn sich daher irgendeine virtus gegen einen Widerstand in einem doppelten Verhältnis bewegt, und eine andere [virtus] sich gegen denselben Widerstand oder einen anderen (es kommt auf dasselbe zurück) in einem vierfachen Verhältnis bewegt, bewegt sich eine solche virtus, die sich in einem vierfachen Verhältnis [gegen den Widerstand] bewegt, in demselben Verhältnis schneller, in dem ein vierfaches Verhältnis das doppelte [Verhältnis] übertrifft. Und weil ein vierfaches [Verhältnis] ein doppeltes [Verhältnis] um ein doppeltes Verhältnis übertrifft, wie es offensichtlich ist aus dem sechsten Kapitel des zweiten Teils, daher bewegt sich ein vierfaches Verhältnis um das Doppelte schneller.“¹⁹

Und weiter: „Und wenn irgendeine virtus sich gegen irgendeinen Widerstand in einem anderthalbfachen Verhältnis bewegt, und eine andere [virtus] sich gegen denselben Widerstand in einem dreifachen Verhältnis bewegt, dann bewegt sich die virtus, die sich in einem dreifachen Verhältnis bewegt, schneller als die virtus, die sich in einem anderthalbfachen Verhältnis bewegt, [und zwar] um das Verhältnis, durch das das dreifache [Verhältnis] das anderthalbfache [Verhältnis] übertrifft. Und weil ein solches Verhältnis, das zwischen einem dreifachen [Verhältnis] und einem anderthalbfachen [Verhältnis] ist, irrational ist, wie es  im sechsten und im siebenten Kapiteln des zweiten Teils leicht gezeigt werden kann, daher übertrifft der Raum, der in einem dreifachen Verhältnis überwunden wurde, einen Raum, der von einem anderthalbfachen [Verhältnis] aus überwunden wurde, weder um irgendein vielfaches, oder superpartikulares, oder suprapartientes [Verhältnis] noch um ein vielfach superpartikulares oder vielfach suprapartientes Verhältnis. Das wird später weiter erhellt.“²⁰

Die conclusiones

1. conclusio:

„Die Geschwindigkeit einer Bewegung richtet sich weder nach dem Verhältnis des Überhangs der Vermögen zueinander, noch nach dem Verhältnis der Aktivitäten zueinander, noch nach dem der Widerstände untereinander.“²¹

2. conclusio:

„Die Geschwindigkeit der Bewegungen folgt beziehungsweise richtet sich nach dem Verhältnis der Verhältnisse. Deshalb [gilt Folgendes]: In welchem Verhältnis auch immer ein Verhältnis größer oder kleiner als ein anderes [Verhältnis] ist, geht aus demselben Verhältnis eine höhere oder niedrigere Geschwindigkeit hervor. Und wenn das Verhältnis der Verhältnisse rational sein würde, werden die Geschwindigkeiten rational sein. Und wenn es irrational [sein würde], werden die Geschwindigkeiten solcher Bewegungen nicht [miteinander] kommensurabel sein können.“²²

probatio: „Bewiesen wird diese conclusio, die gemäß dem Syllogismus nach der Ordnung geteilt erklärt wurde, nach der Paulus Venetus sie einführte: Die Geschwindigkeit und die Langsamkeit der Geschwindigkeit richtet sich nämlich ja [entweder] nach dem Verhältnis der Überhänge untereinander, oder nach dem Verhältnis der Aktivitäten untereinander oder der Widerstände oder nach dem Verhältnis der Verhältnisse. Aber [eigentlich richtet es sich] nicht nach den 3 ersten [Möglichkeiten], wie es offensichtlich ist aus der vorigen conclusio.“²³

obiectatio:

„Erstens sind so zwei beliebige Verhältnisse in dem Beispiel gleich, und dennoch sind die Geschwindigkeiten, die von ihnen herstammen, nicht gleich. Daher [ist] die opinio falsch. Der Vordersatz wird bewiesen. Und ich will, dass ein Fuß Erde gebe, der schwer wie 8 [ist], und einen halber Fuß [Erde], der schwer wie 4 [ist]. Und [es gebe] zwei Gase, von denen das eine doppelt zum anderen [Gas] hinsichtlich der magnitudo sei. Und das größere [Gas] habe einen Widerstand wie 4 und das kleinere [Gas einen Widerstand] wie 2. Und die Erde mit der Schwere wie 4 wird durch das Gas mit einem Widerstand wie 2 bewegt.²⁴ Nachdem das dargelegt wurde, argumentiere ich so: Diese Verhältnisse sind gleich, wie es offensichtlich ist, weil beide [Verhältnisse] doppelte [Verhältnisse] sind. Dennoch sind die Geschwindigkeiten, die aus ihnen stammen, ungleich. Daher der Vorschlag. Der Obersatz ist schon bekannt, und der Untersatz wird bewiesen: Und ich frage, ob die Teilung des größeren Gases größer sei als die Teilung des kleineren [Gases] oder kleiner oder gleich. Aber sie sind nicht gleich, weil sonst folgen würde, dass das größere Gas und das kleinere [Gas] gleich wären. Denn jedes der beiden Verhältnisse teilt sein Medium gänzlich. Daher wird ein [Gas] größer oder ein [Gas] kleiner sein. Und folgerichtig werden die Teilungen ungleich sein. Was zu beweisen war.“²⁵

replica:

„Ich antworte, indem ich den Vordersatz verneine. Und nachdem das Beispiel zugestanden wurde, sage ich bei dem Beweis zu dem Argumentationspunkt, dass jene totalen Teilungen ungleich sein werden: Zufällig wird daher die Teilung der einen Meile und die andere [Teilung] der halben Meile sein. Und weil es angeführt wird, werden also die Geschwindigkeiten ungleich sein. Ich verneine jene Schlussfolgerung, aber es folgt gültig daraus, dass die Geschwindigkeiten quantitativ ungleich sein werden. Es beinhaltet auch etwas Zweifaches, dass die Geschwindigkeiten und die Widerstände ungleich sind, nämlich quantitativ und qualitativ. Denn dann sind Geschwindigkeiten qualitativ gleich, wenn sie von gleichen Verhältnissen herstammen. Und die Widerstände sind dann qualitativ gleich, wenn sie gleiche Unterschiede des handelnden Vermögens schaffen. Aber dann sind sie quantitativ gleich, wenn sie von gleicher Quantität sind.“²⁶

2. obiectatio:

„Zweitens wird gegen dieselbe opinio so argumentiert: Ein Magnet zieht gleich schnell ein großes [Stück] Eisen und ein kleines [Stück] Eisen zu sich. Und dennoch hat er zu dem großen und dem kleinen [Stück Eisen] keine gleichen Verhältnisse. Daher stammen von ungleichen Verhältnissen gleiche Wirkungen her, was gegen die vorhergehende opinio ist. Das wird bewiesen durch die Erfahrung. Denn wenn man einen Magneten erfasst, und man ihm nahe ein Eisen von einer gewissen Quantität erfasst, so dass ihm das Eisen zugeführt wird, und später der Magnet bewegt wird, wird das Eisen gleich schnell wie der Magnet bewegt werden, auch wenn etwas Eisen dazugelegt wird, das größer ist als jenes, das der Magnet dann ausreicht zu ziehen. Und der Magnet würde gleich schnell bewegt, wie das Eisen mit dem Magneten bewegt werden wird. Daher das Vorgeschlagene.“²⁷

confirmatio: „Und es wird bestätigt: Wenn bei einem Sonnenhorologium ein Magnet in einer solchen Art und Weise aufgestellt wird, [gelte Folgendes]: Wenn er in einer Kreis[bewegung] umkreist wird, ist die Nadel des Horologiums oder das Eisen gleich schnell darin. Dadurch wird der Pol der Nadel so wie der Magnet gezeigt. Und wenn das Eisen solange vergrößert werden würde, solange es trotzdem ausreicht, vom Magneten bewegt zu werden, wird es gleich schnell bewegt werden wie der Magnet. Und gleichsam wird weniger Eisen bewegt werden. Daher freilich das Vorgeschlagene, dass ein Magnet ein großes Eisen und ein kleines [Eisen] gleich schnell bewegt. Der Kommentator antwortet zum siebenten [Buch] der Physik im vierten Kommentar zu dem Punkt der Argumentation, der nämlich in dem Argument freilich als falsch angenommen wird, dass der Magnet sich bewegt und das Eisen zu sich zieht. Aber er sagt, dass sich das Eisen zu dem Magneten aus einer natürlichen Inklination heraus bewegt, wie es auch zu einem natürlichen Ort bewegt wird. Dennoch ist eine gewisse mittelnde Qualität da, die von dem Magneten selbst in dem Eisen selbst hervorgerufen wird. Und so wird der Obersatz des Arguments bewiesen.“²⁸

replica in Form einer sequela:

„Aber gegen diese Lösung wiederholt Bradwardine: Wenn dies wahr wäre, würde daraus folgen, dass sich ein großes [Stück] Eisen nicht so schnell zu dem Magneten bewegen würde wie ein kleines [Stück Eisen]. Das ist dennoch falsch, zumindest so wie sie selbst meinen. Die sequala wird dennoch bewiesen: Denn ein Magnet kann das große [Stück] Eisen schneller alterieren als ein kleines [Stück Eisen]. Daher wird das kleine [Stück] Eisen schneller zu dem Magneten bewegt als das große [Stück Eisen]. Dazu antwortet Bradwardine, indem er die Schlussfolgerung verneint, aber auch keine Rechnung aufzeigt. Oder wenn er die Ursache aufzeigt, dann erfasse ich sie nicht. Und daher antworte ich, indem ich die sequela gleichfalls verneine. Und zum Beweis verneine ich das, was du nämlich annimmst, dass ein Magnet ein kleines [Stück] Eisen schneller alteriert als ein großes [Stück Eisen], wie es bei einer solchen alteratio keinen Gegensatz gibt, und das große [Stück] Eisen auch nicht mehr widersteht als das kleine [Stück Eisen]. Daher werden sie gleich schnell alteriert.“²⁹

replica in Form einer sequela:

„Aber dagegen [kann gesagt werden]: Wenn das, was gesagt worden ist, wahr wäre, würde daraus folgen, dass sich ein beliebig großes [Stück] Eisen zu einem Magneten bewegen würde. Ebenso [würde daraus folgen], dass ein größeres [Stück] Eisen, das von einem Magneten verändert wird, sich schneller als ein kleines [Stück] Eisen bewegen würde. Aber jede dieser beiden [opiniones] ist falsch, wie es die ratio und die Erfahrung lehrt. Daher gibt es keine Lösung. Die sequela wird dennoch bis zum ersten Teil abgeleitet. Denn wenn ein Magnet das Eisen nicht anzieht und er das Eisen [nicht] bewegt, sondern das alterierte [Stück] Eisen zu dem Magneten bewegt wird, würde daraus folgen, dass das große [Stück] Eisen so gut wie das kleine [Stück Eisen] bewegt wird, weil so das kleine [Stück Eisen] wie das große [Stück Eisen] natürliche Inklinationen haben, so dass sie [beide] zum Magneten bewegt werden. Aber die sequela gemäß dem zweiten Teil beweise ich: Denn in dem größeren [Stück] Eisen ist eine größere Bewegungskraft als in dem kleineren [Stück Eisen]. Also folgt daraus, dass, wenn die übrigen [Gegebenheiten] gleich bleiben, es von Natur aus von selbst bewegt wird oder es mindestens begonnen wird, zu irgendeinem Ort bewegt zu werden, zu dem es natürlicherweise bewegt werden würde. Aber es wird zu dem Magneten auf natürliche Art und Weise bewegt. Daher das Vorgeschlagene.“³⁰

replica von Alvarus Thomas:

„Ich antworte, indem ich die sequela zu jedem der beiden Teile verneine. Und zum Beweis sage ich, dass ein beliebig großes Eisen daher nicht zu dem Magneten bewegt wird, weil bei einer solchen Bewegung immer irgendein Widerstand durch den Teil der Schwere da ist, und zwar solange der Magnet nicht abwärts gerichtet ist und das Eisen [nicht] aufwärts. Denn dann bewegt es die Schwere. Daher urteile ich, dass an einer solchen Stelle eine Unterscheidung und eine suppositio genutzt werden müssen. Denn ich nehme an, dass das Eisen nicht zu dem Magneten bewegt wird außer durch eine mittelnde Qualität, die von dem Magneten im Eisen erzeugt wird. Und um so viel bewegt sich das Eisen schneller zu dem Magneten, wie sie intensiver ist. Danach gebe es folgende Unterscheidung: Dann ist entweder die Qualität, die von dem Magneten geschaffen wurde, in der intensio zu der Schwere des Eisens gleich oder von größerer intensio oder von kleinerer [intensio]. Wenn sie von kleinerer [intensio] oder gleicher [intensio] ist, weil [ihr] die Schwere widersteht, wie gesagt worden ist, geschieht keine Bewegung, weil das Verhältnis von kleinerer Ungleichheit oder Gleichheit dem entgegensteht. Wenn dieselbe Qualität aber von größerer intensio ist, durch die das Eisen von dem Magneten alteriert wird, als die Schwere des Eisens, muss es ohne Nachteil zugestanden werden, dass das Eisen von sich selbst zu dem Magneten bewegt wird.“³¹

replica:

„Aber dagegen [kann argumentiert werden], dass ja daraus für das kleine Eisen folgt, dass es für [ein Eisen] von kleinerer Schwere gilt, schneller zu dem Magneten bewegt zu werden als das größere Eisen, während die übrigen gleich ausgewogen bleiben. Denn das Verhältnis der Aktivität zu dem Widerstand des kleineren Eisens wird größer sein als das Verhältnis derselben Aktivität zu dem größeren Widerstand desselben Eisens. Aber das ist falsch. Daher.“³²

replica von Alvarus Thomas:

„Ich antworte, indem ich [das] zugestehe, was angebracht wird, was der Kommentator und auch andere sagen. Denn mir erscheint keine andere Art und Weise, [dies] zu lösen.“³³

1. Korollar: „Das erste dieser [beiden Korollare] besagt: Wenn Sokrates einen Magneten in der Hand halte, der ausreicht, ein Eisen von einem Pfund zu alterieren, und jenes Eisen zu dem Magneten angehoben wird und mit ihm verbunden wird, daher der Magnet wie auch das Eisen an der Hand des Sokrates hängen, [dann] wiegt der Magnet nicht mehr als der Magnet und das Eisen zugleich und nicht gegenteilig. Dies ist seine ratio, weil der Magnet nicht das Eisen anzieht, sondern das veränderte Eisen aus seiner eigenen Natur heraus den Magneten anstrebt.“³⁴

2. Korollar: „Das zweite Korollar [beschreibt], dass, wenn in irgendeinem Gleichgewicht oder auf eine Waage auf eine Seite ein Schild gelegt wird und auf die andere [Seite] das Gewicht eines Schildes, das aus einem Magneten gemacht worden ist, und gleichzeitig zu dem Gewicht ein anderes Eisen gelegt wird, für das der Magnet ausreicht, ihn zu alterieren, dann wird das Eisen und das Gewicht des Schildes nicht mehr wiegen als genau das Gewicht des Schildes. Das ist seine ratio, weil ja die Waage nicht das Eisen, sondern den Magneten hält.“³⁵

Kapitel 3.1.4

Das vierte Kapitel des ersten Traktats setzt sich mit sieben aristotelischen Regeln zu den Proportionalitäten einer Bewegung auseinander, die im siebenten Buch der Physik dargelegt wurden. Alvarus Thomas hat die Absicht, sie zu überprüfen, weil er diese Regeln mehrfach von anderen Philosophen kritisiert sah. Zuerst führt Alvarus Thomas diese Regeln fast unkommentiert auf. Dann folgen vier Einwände, in denen immer wieder auf das Kapitel 2.4 zurückgegriffen wurde. Im Anschluss finden sich Kommentare für und gegen diese Einwände. Zuletzt stellt Alvarus Thomas noch zwei Korollare auf.

Die regulae

1. Regel:

„Wenn irgendeine virtus oder irgendeine potentia irgendetwas Bewegliches durch irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit bewegt, wird dieselbe potentia die Hälfte jenes Beweglichen durch den doppelten Raum in derselben Zeit bewegen.³⁶

2. Regel:

„Wenn irgendeine potentia irgendein Bewegliches durch irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit bewegt, wird dieselbe virtus die Hälfte jenes Beweglichen durch denselben Raum in einer durch 2 geteilten Zeit bewegen.“³⁷

Korollar zur 1. und 2. Regel: „Wenn irgendein Vermögen irgendein Bewegliches durch irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit bewegt, wird die doppelte virtus dasselbe Bewegliche durch den doppelten Raum in derselben Zeit bewegen.“³⁸

3. Regel:

„Wenn irgendeine potentia irgendein Bewegliches durch irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit bewegt, wird dieselbe potentia dasselbe Bewegliche durch die Hälfte jenes Raums in einer durch 2 geteilten Zeit bewegen.“³⁹

4. Regel:

„Wenn sich irgendeine potentia irgendein Bewegliches durch irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit bewegt, wird die Hälfte einer solchen potentia die Hälfte des Beweglichen durch denselben Raum in derselben Zeit bewegen.“⁴⁰

5. Regel:

„Wenn irgendeine potentia irgendein Bewegliches über irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit bewegt, ist es nicht möglich, dass dieselbe potentia ein doppeltes Bewegliches über denselben Raum in der doppelten Zeit bewegt.“⁴¹

6. Regel:

„Wenn irgendeine potentia irgendein Bewegliches über irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit bewegt, ist es nicht möglich, dass die Hälfte einer solchen virtus dasselbe Bewegliche in der doppelten Zeit bewegt.“⁴²

7. Regel:

„Wenn irgendwelche potentiae irgendwelche Bewegliche über irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit getrennt bewegen, werden auch dieselben potentiae verbunden jene [ebenso] verbundenen Beweglichen über denselben Raum in derselben Zeit bewegen.“⁴³

Die Einwände gegen die Regeln

1. obiectatio:

„Gegen die erste Regel wird [so] argumentiert: Wenn B sich gegen einen Widerstand bewege, [der] wie Vier [ist], wird die Hälfte eines solchen Widerstands nicht von einer solchen virtus über den doppelten Raum in derselben Zeit bewegt werden. Daher.“⁴⁴

Empfehlung von Alvarus Thomas: „Du sagst zufällig, dass das Argument nicht gegen die Regel schließt. Denn in der Regel wird nicht dargelegt, dass genau jenes Vermögen die Hälfte [des Widerstands] um das Doppelte schneller bewegen wird, sondern sie sagt aus, dass [ein Vermögen] um das Doppelte schneller bewegt wird. Aber das hat nichts zu sagen, weil er ja auf dieselbe Art und Weise um ein Anderthalbfaches schneller sagen könnte oder um ein Vierdrittelfaches. Und daher genügt es nicht. Ebenso ist die Regel, wenn sie so verstanden wird, nicht wahr: Wenn nämlich eine virtus wie 12 einen Widerstand wie Vier in irgendeiner Geschwindigkeit bewege, könnte dasselbe Vermögen nicht die Hälfte des Widerstands, der wie Zwei ist, mit der doppelten Geschwindigkeit bewegen. Vielmehr wird sie weniger als mit doppelter Geschwindigkeit bewegt. Daher ist die Regel, wenn sie so verstanden wird, falsch.“⁴⁵

2. obiectatio:

„Aber gegen jene Regel, die ich aus den zwei ersten [Regeln] ableite, wird so argumentiert: Irgendein Vermögen bewegt sich gegen irgendeinen Widerstand mit einer irgendwie großen Geschwindigkeit. Und dennoch bewegt es sich, wenn es verdoppelt wird, nicht doppelt so schnell gegen denselben Widerstand. Daher ist die Regel falsch.“⁴⁶

3. obiectatio:

„Drittens wird gegen die fünfte Regel argumentiert: Denn wenn ein Vermögen von Acht sich gegen eine Widerstand wie 2 mit einer irgendwie großen Geschwindigkeit bewegt, ist es notwendig, dass dasselbe Vermögen wie Acht sich in einer durch 2 geteilten Geschwindigkeit [gegen] einen doppelten Widerstand zu bewegen begann. Und ein Vermögen wie 8 ist ein [beliebiges] Vermögen, und ein Widerstand wie Zwei ist ein [beliebiger] Widerstand. Daher. Wenn ein [beliebiges] Vermögen sich gegen einen [beliebigen] Widerstand in einer beliebigen Zeit mit einer beliebig großen Geschwindigkeit bewegt, wird sich dasselbe [Vermögen] gegen den doppelten Widerstand in einer durch 2 geteilten Geschwindigkeit bewegen. Das ist das Gegenteil der Regel.“⁴⁷

4. objectatio:

„Viertens wird gegen die siebente Regel folgendermaßen argumentiert: Denn wenn ein Vermögen wie Sechs sich gegen einen Widerstand wie Vier bewegt, und ein Vermögen wie 8 sich auch gegen einen Widerstand wie 4 getrennt bewegt, werden jene Vermögen, wenn sie verbunden sind, sich nicht gegen dieselben verbundenen Vermögen um das Doppelte schneller bewegen. Daher ist die Regel falsch.“⁴⁸

responsio von Alvarus Thomas:

„Dazu wird der Reihe nach geantwortet. Zu den ersten zwei Argumenten antwortet Paulus Venetus und [auch] Bradwardine, dass jene Regeln des Philosophen genau von einem doppelten Verhältnis verstanden werden. Nur würden die Zeitpunkte innerhalb einer anderen species eines Verhältnisses abgeleitet werden. Zum dritten antworte ich, dass es sich nicht auf dem Vorschlag des Stoffes bezieht. Denn die Schlussfolgerung von dem weiter unten zu dem weiter oben mit der abschließenden Aussage gilt nicht. Ich habe dennoch jenes Argument angeführt, wie er es immer bei einem vierfachen Verhältnis hochhält. Zum vierten [Argument] antworte ich, dass die siebente Regel des Philosophen nur verstanden wird, solange jene Verhältnisse gleich sind. Und dass sie gleich sind, ist offensichtlich aus der dritten suppositio des vierten Kapitels des zweiten Teils.⁴⁹ Aber aus der Lösung, die Bradwardine zu dem ersten Argument angibt, geht hervor, dass der Philosoph die Regeln recht unzureichend dargelegt hatte. Sie würden genau für eine species eines Verhältnisses gelten. Daher sage ich andererseits, dass der Philosoph das Vermögen für ein Verhältnis größerer Ungleichheit auffasst. Und indem man es auf diese Art und Weise auffasst, haben die Regeln eine Wahrheit für jede Klasse von Verhältnissen.⁵⁰ Und das Argument schließt gar nicht darauf, das Verhältnis zu verdoppeln, wenn man das Vermögen verdoppelt, wie es notwendig wäre, und sich nicht um das Vermögen zu sorgen. Daher sei der Sinn der ersten Regel: Wenn irgendein Vermögen sich gegen irgendeinen Widerstand über irgendeinen Raum in irgendeiner Zeit und so weiter bewegt, wird dasselbe [Vermögen] einen durch 2 geteilten Widerstand und so weiter bewegen. Das heißt, wenn irgendeine virtus sich gegen irgendeinen Widerstand in irgendeinem Verhältnis bewegt, [dann] wird dieselbe virtus einen Widerstand, zu dem sie ein doppeltes Verhältnis hat, in Bezug zu ein anderes Verhältnis doppelt so schnell bewegen, das heißt, zu dem sie ein verdoppeltes Verhältnis hat. Und der Sinn dieser Regel ist: Wenn irgendein Vermögen sich gegen irgendeinen Widerstand in irgendeiner Zeit und so weiter bewegt, dann wird die doppelte virtus denselben Widerstand doppelt so schnell bewegen. Das heißt: Wenn irgendeine virtus irgendeinen Widerstand in irgendeinem Verhältnis bewegt, wird ein doppeltes Verhältnis sich doppelt so schnell bewegen. Und so werden die anderen Regeln verstanden.“⁵¹

1. Korollar: „Wenn eine virtus sich zu irgendeinem Widerstand in dem irrationalen Verhältnis einer Diagonalen zur Seite befindet und irgendwie schnell bewegt, dann wird das doppelte Verhältnis zu dem Widerstand sie doppelt so schnell bewegen.“⁵²

2. Korollar: „Es ist nicht nötig bei einem beliebigen Verhältnis ein rationales Verhältnis zu suchen, das den Widerstand doppelt so langsam bewegt, sondern es ist ausreichend, dass ein rationales oder irrationales Verhältnis gegeben wird.“⁵³

Kapitel 3.1.5

Das fünfte Kapitel des ersten Traktats behandelt die Interpretation Richard Swineheads zur Geschwindigkeit einer Bewegung unter Berücksichtigung des Verhältnis des Verhältnisses. Zuerst werden 6 suppositiones aufgestellt, denen 41 conclusiones folgen.

Die suppositiones

1. suppositio:

„Gleiche Geschwindigkeiten stammen von gleichen Verhältnissen her, und ungleiche [Geschwindigkeiten] von ungleichen [Verhältnissen], rationale [Geschwindigkeiten] von rationalen [Verhältnissen], und inkommensurable [Geschwindigkeiten] von inkommensurablen [Verhältnissen].“⁵⁴

2. suppositio:

„Von gleichen Verhältnissen, die die Teile anderer, gleicher oder ungleicher Verhältnisse sind, stammen gleiche Geschwindigkeiten ab.“⁵⁵

3. suppositio:

„Durch die Addition gleicher Verhältnisse zu gleichen oder ungleichen Verhältnissen werden die Geschwindigkeiten gleich erhöht.“⁵⁶

4. suppositio:

„Durch die Subtraktion zweier gleicher Verhältnisse, die Teile zweier gleicher oder ungleicher Verhältnisse sind, werden gleiche Geschwindigkeiten vermindert.“⁵⁷

5. suppositio:

„Durch die Addition einer gleichen Quantität zu einer größeren und einer kleineren Quantität wird ein größeres Verhältnis zur kleineren Quantität als zur größeren [Quantität] erworben.“⁵⁸

6. suppositio:

„Eine Bewegung gleich schnell zu erhöhen, bedeutet, in gleicher Zeit genau gleiche Teile zu erwerben. Und gleich proportional zu erhöhen, bedeutet, in gleicher Zeit gleiche Verhältnisse zu erwerben.“⁵⁹

Die conclusiones

1. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen in Bezug zu einen Widerstand anwächst, der sich nicht verändert, [dann] erwirbt es zu sich ein so großes Verhältnis, wie es zu seinem Widerstand [erwirbt] und umgekehrt.“⁶⁰

2. conclusio:

„Wenn irgendeine virtus in Bezug zu den Widerstand abnimmt, der sich nicht verändert, [dann] verliert sie ein so großes Verhältnis in Bezug zu ihren Widerstand wie in Bezug zu sich selbst.“⁶¹

3. conclusio:

„Wenn irgendein Widerstand anwächst oder abnimmt in Bezug zu einem Vermögen, das sich nicht verändert, [dann] erwirbt oder verliert er ein so großes Verhältnis zu sich selbst, wie er es in Bezug zu einem solchen Vermögen verliert oder erwirbt.“⁶²

4. conclusio:

„Wenn ein Vermögen in Bezug zu einem Vermögen wächst oder abnimmt, das sich nicht verändert, [dann] erwirbt oder verliert es ein so großes Verhältnis in Bezug zu seinem Widerstand, wie es in Bezug zu sich selbst erwirbt oder verliert.“⁶³

5. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen gleich schnell in Bezug zu zwei gleichen oder ungleichen Widerständen anwächst oder abnimmt, [dann] erhöht es oder vermindert es seine Bewegung gleich schnell in Bezug zu beiden jener [Widerstände].“⁶⁴

6. conclusio:

„Wenn irgendein Widerstand in Bezug zu zwei gleichen oder ungleichen Vermögen wächst oder abnimmt, die sich nicht ändern, [dann] vermindern oder erhöhen sich beide Vermögen gleich schnell mit dem Widerstand ihre Bewegung.“⁶⁵

7. conclusio:

„Wenn zwei ungleiche Vermögen gleich schnell in Bezug zu demselben Widerstand anwachsen oder abnehmen, der sich nicht verändert, [dann] erhöht oder vermindert das kleinere Vermögen seine Bewegung schneller [als das größere Vermögen].“⁶⁶

8. conclusio:

„Wenn zwei ungleiche Widerstände gleich schnell in Bezug zu demselbe Vermögen an wachsen oder abnehmen, das sich nicht ändert, [dann] erhöht oder vermindert sich jenes Vermögen mit dem kleineren Widerstand schneller seine Bewegung als mit dem größeren [Widerstand].“⁶⁷

9. conclusio:

„Wenn zwei ungleiche Vermögen gleich schnell in Bezug zu zwei gleichen oder ungleichen Widerständen wachsen oder abnehmen, [dann] erhöht oder vermindert das kleinere Vermögen seine Bewegung immer schneller, sei es, dass es mit dem größeren Widerstand agiert oder dem kleineren [Widerstand].“⁶⁸

10. conclusio:

„Wenn zwei ungleiche Widerstände in Bezug zu zwei gleichen oder ungleichen Vermögen anwachsen oder abnehmen, [dann] erhöht oder vermindert das Vermögen, das mit dem kleineren [Widerstand] agiert, seine Bewegung schneller [als mit dem größeren Widerstand].“⁶⁹

11. conclusio:

„Wenn zwei gleiche oder ungleiche Vermögen gleich proportional in Bezug zu demselben Widerstand anwachsen oder abnehmen, der sich nicht verändert, [dann] erhöhen oder vermindern solche Vermögen ihre Geschwindigkeiten gleich schnell.“⁷⁰

12. conclusio:

„Wenn zwei gleiche oder ungleiche Widerstände gleich proportional in Bezug zu demselbe Vermögen wachsen oder anabnehmen, das sich nicht verändert, [dann] wird ein solches Vermögen mit beiden jener Widerstände gleich schnell seine Bewegung erhöhen oder vermindern.“⁷¹

13. conclusio:

„Wenn zwei ungleiche Vermögen gleich proportional in Bezug zu zwei gleichen oder ungleichen Widerständen anwachsen oder abnehmen, die sich nicht verändern, [dann] werden sie selbst gleich schnell ihre Bewegungen erhöhen oder vermindern.“⁷²

14. conclusio:

„Wenn zwei ungleiche Widerstände wachsen oder in Bezug zu zwei gleichen oder ungleichen Vermögen gleich proportional abnehmen, [dann] werden solche Vermögen ihre Bewegungen gleich schnell erhöhen oder vermindern.“⁷³

15. conclusio:

„Wenn zwei Vermögen durch eine intensio dieser [Vermögen] gleich schnell ihre Bewegungen mit demselben oder verschiedenen Widerständen erhöhen, die sich nicht verändern, [dann] wachsen sie selbst gleich proportional. Und wenn sie durch eine remissio dieser [Vermögen] und so weiter ihre Bewegungen gleich schnell vermindern, [dann] nehmen sie selbst gleich proportional ab.“⁷⁴

16. conclusio:

„Wenn durch die Zuwächse irgendwelcher Widerstände oder durch Abnahmen ein Vermögen oder [mehrere] Vermögen, die sich mit jenen Widerständen bewegen, gleichförmig bewegen, [dann] wachsen solche Vermögen gleich proportional an oder sie nehmen mit ihren Widerständen ab.“⁷⁵

17. conclusio:

„Wenn ein Vermögen, das anwächst oder abnimmt, gleichförmig und gleich schnell bewegt wird, [dann] ist es notwendig, dass der Widerstand gleich proportional wächst oder abnimmt und umgekehrt.“⁷⁶

18. conclusio:

„Wenn ein Widerstand anwächst oder abnimmt, und ein Vermögen gleich schnell bewegt wird, [dann] wächst dasselbe Vermögen gleich proportional mit seinem Widerstand an oder nimmt ab und umgekehrt.“⁷⁷

19. conclusio:

„Wenn ein Vermögen gleich schnell bewegt wird und es selbst ungleichmäßig anwächst oder abnimmt, [dann] ist es notwendig, dass sein Widerstand ungleichmäßig anwächst oder abnimmt.“⁷⁸

20. conclusio:

„Wenn irgendein Widerstand gleichförmig anwächst oder abnimmt, und das Vermögen sich gleich schnell bewegt, [dann] ist es notwendig, dass derselbe Widerstand gleichförmig zunimmt oder abnimmt.“⁷⁹

21. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen gleichförmig in Bezug zu einem Widerstand anwächst, der sich nicht verändert, [dann] erhöht ein solches Vermögen immer langsamer seine Bewegung.“⁸⁰

22. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen gleichförmig abnimmt, und der Widerstand wurde nicht verändert, [dann] wird es stetig immer schneller seine Bewegungvermindern.“⁸¹

23. conclusio:

„Wenn irgendein Widerstand gleichförmig wächst in Bezug zu einem Vermögen, das sich nicht verändert, [dann] wird ein solches Vermögen immer langsamer seine Bewegung vermindern.“⁸²

24. conclusio:

„Wenn irgendein Widerstand gleichförmig abnimmt, und sich das Vermögen wurde nicht ändert, [dann] wird ein solches Vermögen immer schneller seine Geschwindigkeit erhöhen.“⁸³

25. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen immer langsamer in Bezug zu dem Widerstand anwächst, der sich nicht verändert, [dann] wird es seine Bewegung stetig immer langsamer erhöhen.“⁸⁴

26. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen stetig schneller abnimmt in Bezug auf einen Widerstand, der sich nicht verändert, [dann] wird es stetig schnell seine Bewegung vermindern.“⁸⁵

27. conclusio:

„Wenn irgendein Widerstand stetig langsamer wächst in Bezug zu einem Vermögen, das sich nicht verändert, [dann] wird das Vermögen stetig langsamer seine Bewegung vermindern.“⁸⁶

28. conclusio:

„Wenn irgendein Widerstand stetig schneller abnimmt in Bezug zu einem Vermögen, das sich nicht verändert, [dann] wird ein solches Vermögen stetig schneller seine Bewegung erhöhen.“⁸⁷

29. conclusio:

„Wenn zwei, drei oder vier oder beliebig viele ungleiche Vermögen gleich schnell in Bezug zu demselben Widerstand anwachsen oder abnehmen, der sich nicht verändert, [dann] wird das kleinste [Vermögen] von ihnen seine Bewegung schneller erhöhen.“⁸⁸

30. conclusio:

„Wenn zwei, drei oder vier oder beliebig viele Widerstände gleich schnell in Bezug zu demselbe Vermögen anwachsen oder abnehmen, das sich nicht verändert, [dann] wird ein solches Vermögen immer in Bezug zu dem kleinsten jener [Widerstände] schneller seine Bewegung erhöhen oder vermindern.“⁸⁹

31. conclusio:

„Wenn ein doppeltes und ein durch 2 geteiltes [Vermögen] gleich schnell bis zu keiner Stufe vermindert werden, [dann] wird ein doppeltes [Vermögen] in größerer Zeit vermindert als das durch 2 geteilte [Vermögen].“⁹⁰

32. conclusio:

„Wenn ein doppeltes [Vermögen] und ein durch 2 geteiltes [Vermögen] gleichförmig vermindert werden und stetig gleich schnell, [dann] ist die Zeit der remissio des doppelten [Vermögens] doppelt zu der Zeit des remissio des durch 2 geteilten [Vermögens]. Und gleichsam soll es von einem dreifachen [Vermögen], einem vierfachen [Vermögen] und einem anderthalbfachen [Vermögen] und so bis ins Unendliche gesagt werden.“⁹¹

33. conclusio:

„Wenn ein doppeltes [Vermögen] und ein durch 2 geteiltes [Vermögen] gleichförmig und gleich schnell bis zu keiner Stufe vermindert werden, und ein beliebiges [Vermögen] von ihnen stetig immer langsamer [vermindert wird], [dann] wird das durch 2 geteilte [Vermögen] in kleinerer Zeit als das doppelte [Vermögen] vermindert.“⁹²

34. conclusio:

„Wenn ein doppeltes [Vermögen] und ein durch 2 geteiltes [Vermögen] gleich schnell und stetig immer schneller vermindert werden, [dann] ist die ganze Zeit der remissio des doppelten [Vermögens] kleiner als das Doppelte zu der Zeit der ganzen remissio des durch 2 geteilten [Vermögens].“⁹³

35. conclusio:

„Irgendein [Vermögen] wird um mehr als das Doppelte schneller vermindert als ein anderes [Vermögen]. Und dennoch, solange beide [Vermögen] gleich schnell bleiben, werden sie stetig vermindert.“⁹⁴

36. conclusio:

Diese conclusio schränkt die vorhergehende 35. conclusio ein. Es heißt: „B ist ein durch 2 geteiltes [Vermögen], und A dessen doppeltes [Vermögen] und es wird um mehr als das Doppelte schneller verloren gehen oder vermindert werden als B. Und beide [Vermögen] von ihnen werden immer gleichförmig vermindert. Also wird A schneller vermindert werden als B.“⁹⁵

37. conclusio:

„Wenn irgendein unveränderliches Vermögen durch ein Medium bewegt wird, das gleichförmig ungleichförmig und unverändert ist, wobei vom geringerem Extremum begonnen werden muss, [dann] erwirbt sich ein solches Vermögen stetig immer langsamer den Widerstand.“⁹⁶

38. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen, das nicht verändert ist, stetig durch ein gleichförmig ungleichförmiges Medium bewegt wird, wobei man vom erhöhteren Extremum ausgehen muss, [dann] hebt es sich stetig immer schneller von dem Widerstand ab.“⁹⁷

39. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen, das sich nicht verändert, durch ein gleichförmig ungleichförmiges Medium bewegt wird, wobei vom verminderteren Extremum begonnen werden muss, [dann] vermindert ein solches Vermögen stetig immer langsamer seine Bewegung.“⁹⁸

40. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, durch ein gleichförmig ungleichförmiges Medium bewegt wird, wobei vom erhöhteren Extremum begonnen wird, [dann] erhöht ein solches Vermögen stetig immer schneller seine Bewegung.“⁹⁹

41. conclusio:

„Es steht fest, dass zwei gleiche Vermögen durch ein gleichförmig ungleichförmiges Medium bewegt werden, wobei vom verminderteren Extremum desselben Medium angefangen werden muss, und sie selbst und das Medium einfacherweise unverändert sind. Und dennoch wird das eine [Vermögen] schneller bewegt als das andere [Vermögen].“¹⁰⁰

Diese conclusio wird von Alvarus Thomas ungewöhnlicherweise mit Hilfe einer Zeichnung bewiesen:

„Ich erfasse ein gleichförmig ungleichförmiges, quadratisches Medium von keiner Stufe bis zur achten Stufe oder von einer fest stehenden Stufe (es läuft auf dasselbe hinaus). Und ich will, dass A und B zwei gleiche Vermögen sind. Und das eine [Vermögen] beginnt von einem verminderteren Extremum entlang der Diagonalen bewegt zu werden. Und das andere [Vermögen beginnt] entlang der geraden Linie von demselben Extremum [bewegt zu werden]. Nachdem das dargelegt wurde, argumentiere ich [so]: A und B werden bewegt werden. A wird nicht langsamer als B bewegt werden und nicht genau gleich schnell, sondern schneller. Der Obersatz ist mit der Schlussfolgerung offensichtlich. Und der Untersatz wird bewiesen: Denn wenn sie gleich bewegt werden würden, würde daraus folgen, dass gleiche Vermögen mit ungleichen Widerständen gleich bewegt werden würden. Und folgerichtig würden von ungleichen Verhältnissen gleiche Bewegungen herstammen. Das ist gegen die erste suppositio dieses Kapitels und direkt gegen die opinio. Die sequela wird dennoch bewiesen. Denn nachdem man irgendeinen Punkt der Diagonalen erfasst hat, der vom Winkel des Quadrats den gleichen Abstand hat – das bedeutet von der Linie des Quadrats, die den Winkel schafft, hat zum Beispiel ein fest stehender Punkt einen kleineren Widerstand als der Punkt, der auf der geraden Linie steht, die von ihm den gleichen Abstand hat.“¹⁰¹

Und weiter: „Also folgt, dass A immer einen kleineren Widerstand haben wird. Und folgerichtig [hat es] ein größeres Verhältnis zu einem solchen Punkt als B, das in dem Punkt mit ihm korrespondiert. Und dennoch werden A und B durch dich gleich bewegt. Daher das Vorgeschlagene. Dass in einem solchen Punkt der Diagonalen immer ein kleinerer Widerstand ist als in dem Punkt, der mit ihm auf der Linie geradlinig korrespondiert und senkrecht fortschreitet, das wird bewiesen. Denn ein solcher Punkt steht immer weiter von der höchsten Stufe jenes Körpers entfernt als der Punkt, der geradlinig auf der Linie mit ihm korrespondiert und senkrecht fortschreitet. Daher ist bei ihm immer ein kleinerer Widerstand, und folgerichtig ist das Verhältnis größer.“¹⁰²

„Dieser Nachweis ist für den Einblickenden offensichtlich in dem Bild, dass ein Quadrat gemäß einem gleichförmig ungleichförmigen Widerstand ist, der AB und CD sei. Und das vermindertste Extremum sei AC und die diagonale Linie, entlang der A bewegt wird, sei AD. Und die Linie, durch die B bewegt wird, sei CD.“¹⁰³

Kapitel 3.1.6

Das folgende Kapitel behandelt die conclusiones und suppositiones des vorhergehenden Kapitels und stellt fünf Einwände auf. Auffällig ist, dass in diesen beiden Kapiteln mehrere quaestiones kapitelübergreifend bearbeitet werden.

1. obiectatio

Gegen die fünfte conclusio des Kapitels 3.1.5 werde laut Alvarus Thomas folgender Vordersatz verwendet: „Durch die intensio und den Zuwachs irgendeines Widerstands in Bezug auf zwei ungleiche Vermögen vermindert das kleinere Vermögen seine Bewegung schneller als das größere [Vermögen].“¹⁰⁴ Daher sei die sechste conclusio des vorherigen Kapitels falsch.¹⁰⁵ Den Einwand und den dazugehörigen Beweis hat Alvarus Thomas von Richard Swineshead übernommen. Er selbst hält die Argumentation des Beweises für falsch.

replica von Alvarus Thomas:

„Ich antworte, indem ich den Vordersatz verneine. Und der Vordersatz wird in Bezug auf den Beweis in dem angegebenen Fall verneint, und zwar wird in Bezug zu dem Beweis verneint, dass das kleinere [Vermögen] B schneller seine Bewegung vermindert mit C als mit D. Und zum Beweis wird der Vordersatz verneint und zum Beweis des Vordersatzes wird die Schlussfolgerung verneint, in der die ratio des Arguments ist, dass das Verhältnis von B zu C um das Doppelte kleiner sei als das Verhältnis von B zu D, und dass das Verhältnis B zu C um mehr als das Doppelte schneller als das Verhältnis von B zu D verloren geht. Also geht das Verhältnis von B zu C schneller als das Verhältnis von B zu D verloren, so wie die sechsunddreißigste conclusio lehrt, dass [Schlussfolgerung] verneint werden müsse. Beim Beweis der verneinten Schlussfolgerung führt der Kalkulator dennoch zwei Bedingungen an, von denen keine eine gültige Schlussfolgerung ist. Er selbst antwortet nichts zu den [Bedingungen]. Für deren Bekämpfung stelle ich einige Korollare auf.“¹⁰⁶

1. Korollar: „Der erste Korollar im Fall des Arguments ist: Der Widerstand D wie Eins und der Widerstand C wie 2 wachsen nicht gleichförmig an, und dennoch wächst jeder dieser beiden [einzeln für sich] gleichförmig an.“¹⁰⁷

2. Korollar: „Der zweite Korollar stellt fest, dass ein durch 2 geteiltes [Vermögen] in genau einer durch 2 geteilten Zeit genau zu der Zeit des Verlustes eines doppelten [Vermögens] verloren geht. Und wenn das durch 2 geteilte [Vermögen] verloren geht, wird auch das doppelte [Vermögen] verloren gehen, aber nicht gänzlich. Nichtsdestoweniger wird das durch 2 geteilte [Vermögen] nicht gleich schnell mit dem doppelten [Vermögen] verloren gehen.“¹⁰⁸

3. Korollar: „Daraus folgt das dritte Korollar, dass diese Schlussfolgerung nichts gilt: Wenn das durch 2 geteilte [Vermögen] A in einer durch 2 geteilten Zeit in Bezug zum doppelten [Vermögen] B verlieren würde, [dann] gehen A und B gleich schnell verloren. Denn in dem dargestellten Fall ist der Vordersatz wahr und der Nachsatz falsch. Und ich glaube nicht, dass der Kalkulator dies zugestehen wollte. Dennoch ist diese Schlussfolgerung gültig: Wenn ein durch 2 geteiltes [Vermögen] in einer durch 2 geteilten Zeit genau verloren geht und [zwar] gleichförmig mit seinem doppelten [Vermögen], wird [das Doppelte] gleich schnell verloren gehen.“¹⁰⁹

4. Korollar: „Diese Schlussfolgerung gilt nichts: Ein durch 2 geteiltes [Vermögen] wird mehr als das Doppelte schneller verloren gehen als das doppelte [Vermögen]. Daher geht das durch 2 geteilte [Vermögen] schneller verloren als das doppelte [Vermögen].“¹¹⁰

5. Korollar: „Es steht fest, dass zwei Verhältnisse gleich schnell durch den Zuwachs seiner Widerstände verloren gehen. Und dennoch wachsen die Widerstände nicht gleich schnell an. Das ist sogar notwendig, sobald die Widerstände ungleich sind und so weiter.“¹¹¹

1. nota:

„Beachte dennoch, dass jene Verhältnisse – nämlich das doppelte [Verhältnis] und das vierfache [Verhältnis] – nicht in der gesamten Zeit gleich schnell verloren gehen. Und ich spreche über das über das Verhältnis des Vermögens B wie 4 zu dem Widerstand C wie Zwei und das Verhältnis des Vermögens B wie 4 zu dem Widerstand D wie Eins. Aber solange sie gleichsam vermindert werden, nehmen sie gleich schnell ab oder werden [gleich schnell] vermindert. Aber weil es sich aus dem Satz des Philosophen im ersten [Buch] über den Himmel ziemt, dass die Wahrheiten glaubhafte Mitwisser sind und keine Feinde, daher beachte an zweiter Stelle, dass bei der Schlussfolgerung des Kalkulators das ,gleich schnell‘ zweifach aufgefasst werden kann, nämlich resultativ, so dass es dem mit irgendeiner gleichen Geschwindigkeit gleicht, wie der Sinn dieses Verhältnisses sei: Ein durch 2 geteiltes [Vermögen] wird gleich schnell mit dem doppelten [Vermögen] vermindert. Das heißt, ein durch 2 geteiltes [Vermögen] wird mit irgendeiner gleichen Geschwindigkeit gleich mit dem doppelten [Vermögen] vermindert. Und auf diese Art und Weise ist die Schlussfolgerung des Kalkulators mit dem gültig, die er aus dem vorhergehenden Teil annimmt. Andererseits kann das ,gleich schnell‘ exponibel aufgefasst werden, wie es der Sinn dieses Verhältnisses sei: Ein durch 2 geteiltes [Vermögen] wird gleich schnell mit dem doppelten [Vermögen] vermindert. Das bedeutet, dass das durch 2 geteilte [Vermögen] so schnell wie das Doppelte vermindert wird und umkehrt. Und in diesem Sinn gilt die Schlussfolgerung nicht, das ein durch 2 geteiltes [Vermögen], nämlich ein Fuß, genau in einer durch 2 geteilten Zeit verloren geht in Bezug auf das doppelte [Vermögen], nämlich die zwei Fuß, also werden das durch 2 geteilte [Vermögen] und das doppelte [Vermögen] gleich schnell verloren gehen.“¹¹²

2. nota:

„Ich habe darauf vertraut, dass diese [Dinge] aus den Schriften auf im weitesten Sinne dialektische oder nicht unbedachte Weise diesem Argument hinzugefügt werden muss, weil ja dialektische und sophistische Argumentationen meistens den durch die Mathematik und das Nachweiswissen ermüdeten Geist erfreuen. Denn durch den Philosophen wird dies im achtzehnten Teilchen der problemata im zweiten Problem bezeugt. Wettkämpferische, von Kunst überhäufte und sophistische Argumentationen sind meistens zur Übung geeignet. Und darüber hinaus helfen und erfreuen sie anderen Disputationen bei weitem mehr. Dem füge hinzu, dass dieser Term ,schneller‘ zweifach erfasst werden kann. Auf die erste Art wie er die Nähe zur Zeit benennt, und auf die zweite Art wie er die Kürze der Zeit benennt. Und das auf die späterere Art und Weise dient dem Vorschlag besser.“¹¹³

2. obiectatio in Form einer sequela

Angezweifelt wird auch das vorherige Kapitel im Allgemeinen und die erste suppositio im Speziellen, dass nämlich ,gleiche Geschwindigkeiten von gleichen Verhältnissen stammen, und ungleiche [Geschwindigkeiten] von ungleichen [Verhältnissen], rationale [Geschwindigkeiten] von rationalen [Verhältnissen] und inkommensurable [Geschwindigkeiten] von inkommensurablen [Verhältnissen].‘¹¹⁴ Dazu heißt es: „Denn wenn jene suppositio wahr wäre, würde daraus folgen, dass irgendein Vermögen irgendeinen Widerstand durchschreiten könne und dennoch ihn auch nicht durchschreiten könne.“¹¹⁵ Diese These wird folgendermaßen exemplifiziert und bewiesen:

probatio: „Ich lege das Beispiel dar, dass es einen Widerstand gibt, der gleichförmig ungleichförmig von einer Stufe wie 2 bis zur vierten [Stufe] ist. Und es gebe ein Vermögen wie 4, das unverändert anfängt, einen solchen Widerstand zu durchschreiten, oder anfängt, in einem solchen Widerstand vom verminderteren Extremum aus bewegt zu werden. Nachdem das dargestellt wurde, argumentiere ich folgendermaßen: Jenes Vermögen wird niemals bis zum Ende jenes Widerstands gelangen. Daher wird es ihn nicht durchschreiten.“¹¹⁶

replica:

„Aber es wird argumentiert, dass es ihn durchschreiten wird. Denn es wird einen beliebigen proportionalen Teil von ihm in einem doppelten Verhältnis von den kleineren Termen aus gegen das erhöhtere Extremum durchschreiten. Daher wird es den ganzen Widerstand durchschreiten.“¹¹⁷

replica von Alvarus Thomas:

„Ich antworte zu dem Argument kurz, indem ich die sequela verneine. Ich sage zu dem Beweis, dass jene Schlussfolgerung nichts gilt: Das Bewegliche wird einen beliebigen verhältnismäßigen Teil gemäß dieser Teilung durchschreiten, also wird es den ganzen Raum oder den Widerstand durchschreiten. Ja, vielmehr [gilt] – wie das Argument beweist: Wenn ein Bewegliches und jener Widerstand zugleich über eine unendliche Zeit hinweg bleiben würden, würde das Bewegliche über unendliche Zeit hinweg durch den Widerstand bewegt werden. Und es käme niemals an einen Endpunkt.“¹¹⁸

replica:

„Aber dagegen: Denn es ist möglich, dass ein Vermögen wie 4 einen ungleichförmigen Widerstand in einer begrenzten Zeit durchschreitet, dessen erster verhältnismäßiger Teil gleichförmig ungleichförmig von der Zwei bis zur Drei ist. Und der zweite [Teil] ist auch gleichförmig ungleichförmig von der Drei bis zu Drei mit einem Halben und so weiter bis zur ausschließlich vierten [Stufe]. Daher ist es möglich, dass ein Verhältnis wie 4 einen gleichförmig ungleichförmigen Widerstand von Zwei bis Vier durchschreitet. Und folgerichtig wird das als ungültig verneint.“¹¹⁹

replica von Alvarus Thomas:

„Ich antworte auf die replica, indem ich den Vordersatz zugestehe. Solange jene verhältnismäßigen Teile jenes Widerstands sich weder in einem doppelten Verhältnis noch in irgendeinem kleineren [Verhältnis] befinden, verneine ich die Schlussfolgerung. Die ratio ist, dass ein solches Verhältnis, zu dem dies zugestanden wird, nicht gleichförmig ungleichförmig ist. Und ein solches Verhältnis erfordert auch nicht eine so große Zeit zum Durchschreiten des zweiten proportionalen Teils wie zum Durchschreiten des ersten [Teils], wie schon bewiesen worden ist.“¹²⁰

1. Korollar: „Aus der Ableitung und der Lösung dieses Arguments folgt erstens: Wenn ein Vermögen wie 4 stetig durch ein gleichförmig ungleichförmiges Medium von keiner Stufe des Widerstands aus bis zur vierten [Stufe] bewegt würde, würde das Vermögen ununterbrochen andauern, und das Medium, das solcherart aufgestellt worden ist, würde ununterbrochen bewegt werden. Und es würde es niemals durchschreiten.“¹²¹

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass ein gleichförmig ungleichförmiger Widerstand nicht mit der mittleren Stufe des Widerstands in Verbindung steht, so dass es so viel widersteht wie die mittlere Stufe.“¹²²

obiectatio zum 2. Korollar und deren replica: „Aber es könnte einer sagen, dass er mit der mittleren Stufe in Verbindung steht, solange die höchste Stufe eines solchen Widerstands nicht gleich dem Vermögen, das sich darin bewegt, oder kleiner ist. Daher beweise ich den vorher genannten Korollar anders [und zwar] nach der ratio des Gaetan von Theben, wenn ich mich [richtig] erinnere: Wenn er mit der mittleren Stufe in Verbindung steht, würde folgen, dass ein Vermögen wie 9 in gleicher Zeit genau einen gleichförmig ungleichförmigen Widerstand von keiner Stufe aus bis zur achten [Stufe] durchschreiten würde, in der es genau seine zweite Hälfte durchschreiten würde. Daher würde es so schnell den ganzen [Widerstand] durchschreiten wie genau seine Hälfte. Aber der Nachsatz ist offensichtlich falsch. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.¹²³ Die sequela wird bewiesen: Ein solches Vermögen wie 9 würde zu dem ganzen Widerstand ein Neunviertelverhältnis haben, weil der ganze Widerstand durch dich wie 4 ist, was auch die mittlere Stufe ist. Auf diese Weise ist von 9 zu 4 ein Neunviertelverhältnis. Und er hätte zur zweiten Hälfte ein anderthalbfaches Verhältnis, weil seine mittlere Stufe wie 6 ist. Auf diese Weise ist von 9 zu 6 ein anderthalbfaches Verhältnis. Aber ein anderthalbfaches Verhältnis ist durch 2 geteilt zu einem Neunviertelverhältnis, wie es offensichtlich ist aus dem sechsten Kapitel des zweiten Teils. Und der Raum, der in jenem Verhältnis durchquert werden muss, nämlich die zweite Hälfte, ist durch 2 geteilt in Bezug zum gesamten Widerstand. Also folgt daraus, dass es jene zweite Hälfte in der gleichen Zeit durchschreiten würde und [damit] den ganzen Widerstand. Was zu beweisen war.“¹²⁴

3. Korollar: „Es folgt drittens: Obwohl ein beliebiges Vermögen wie 4 nicht ausreicht, einen gleichförmig ungleichförmigen Widerstand von der zweiten Stufe bis zur vierten [Stufe] zu durchschreiten, deren erster verhältnismäßige Teil freilich nach einem doppelten Verhältnis von der zweiten [Stufe] beginnt [und] bis zur dritten [Stufe reicht], und der zweite [Teil] von der dritten [Stufe] beginnt [und] bis zur dritten mit einem halben [Stufe reicht] und so weiter, reicht nichtsdestoweniger dennoch ein solches Vermögen wie 4 aus, einen solchen Widerstand extensiv zu durchschreiten, dessen erster verhältnismäßige Teil nach einem vierfachen Verhältnis gänzlich ähnlich dem Widerstand mit den ersten verhältnismäßigen Teil nach einem doppelten Verhältnis des anderen gleichförmig ungleichförmigen Widerstands ist, und der zweite [Teil] mit dem zweiten, [Teil] und der dritte [Teil] mit dem dritten [Teil] und so weiter.“¹²⁵

4. Korollar: „Es folgt viertens: Obwohl ein beliebiges Vermögen wie 4 nicht ausreicht, um in irgendeiner begrenzten Zeit einen Widerstand zu durchschreiten, der ein Fuß, gleichförmig ungleichförmig und bei der vierten [Stufe] begrenzt ist, dessen erster verhältnismäßiger Teil nach einem doppelten Verhältnis von der zweiten [Stufe] beginnt und bei der dritten [Stufe] endet und so weiter – wie es im vorigen Teil des vorher gehenden Korollars dargestellt ist – sobald nichtsdestoweniger ein solcher Widerstand von einem Fuß vier Fuß durch die rarefactio oder die augmentatio (das ist nicht die Sorge) werden würde, so [gilt] dennoch, dass jene Teile des Widerstands, die sich stetig in einem doppelten Verhältnis verhalten, sich stetig in einem vierfachen Verhältnis gemäß der extensio verhalten, obwohl sie dennoch immer in demselben Zustand gemäß der intensio bleiben. Ein Vermögen wie 4 reicht daher dann aus, jenen Widerstand in der begrenzten Zeit zu durchschreiten.“¹²⁶

5. Korollar: „Aus diesem Korollar folgt leicht das fünfte [Korollar]: Obwohl ein beliebiger solcher Widerstand sich so extensiv bis zum Vierfachen vermehrt, werden nichtsdestoweniger trotzdem seine unendlichen verhältnismäßigen Teile vermindert, und sie werden extensiv kleiner.“¹²⁷

6. Korollar: „Daraus folgt sechstens: Obwohl ein beliebiger solcher Widerstand, der in der Quantität bis zum Vierfachen oder Achtfachen vergrößert werden würde, wie es einem gefalle, [und zwar] solange die Teile des Widerstands, die sich vorher gemäß der extensio in einem doppelten Verhältnis verhalten hatten, sich gemäß der extensio in einem vierfachen Verhältnis verhalten, [obwohl also ein solcher Widerstand] in begrenzter Zeit von einem Vermögen wie 4 durchquert zu werden könnte, wie gesagt worden ist, wenn nichtsdestoweniger ein solcher Widerstand gemäß der extensio bis zu einem durch 2 geteilten [Widerstand] oder durch 3 geteilten [Widerstand] und so weiter vermindert würden, so dass er ein halber Fuß, oder ein Drittel [eines Fußes], oder ein Viertel [eines Fußes] oder ein Fünftel[fuß werden] würde und so bis ins Unendliche, solange die Teile des Widerstands in demselben Verhältnis bleiben, in dem sie sich vorher befanden, nämlich einem doppelten [Verhältnis], [dann] kann ein Vermögen wie 4 – ich verstehe es immer als unverändertes [Vermögen] – in keiner begrenzten Zeit einen solchen Widerstand durchschreiten.“¹²⁸

7. Korollar: „Es folgt siebentens: Obwohl ein beliebiges Vermögen wie 4 nicht ausreicht, um in einer begrenzten Zeit einen Widerstand zu durchschreiten, der in verhältnismäßige Teile nach einem doppelten Verhältnis geteilt wurde, zu dessen ersten [Teil] hat er ein doppeltes Verhältnis und zum zweiten [Teil] ein vierdrittelfaches [Verhältnis] und zum dritten [Teil] ein achtsiebentelfaches [Verhältnis] und zum vierten [Teil] ein sechzehnfünfzehntelfaches [Verhältnis] und so bis ins Unendliche, wie am Beispiel des Arguments dargestellt wurde, reicht nichtsdestoweniger ein solches Vermögen dennoch aus, um in begrenzter Zeit einen Widerstand zu durchschreiten, der ein Fuß ist und gleichsam in verhältnismäßige Teile nach einem doppelten Verhältnis geteilt wurde. Zu dessen ersten Teil hat es ein doppeltes Verhältnis und zum zweiten [Teil] ein anderthalbfaches [Verhältnis] und zum dritten [Teil] ein vierdrittelfaches [Verhältnis] und zum vierten [Teil] ein fünfviertelfaches [Verhältnis] und so bis in Unendliche beim Ansteigen durch die species eines superpartikularen Verhältnisses, wobei keines ausgelassen wird.“¹²⁹

8. Korollar: „Diese Schlussfolgerung gilt nicht: Ein Bewegliches reicht aus, einen beliebigen verhältnismäßigen Teil von einem Fuß mit diesem Widerstand zu durchschreiten, und [zwar] einen beliebigen folgenden [Teil] in einer kleineren Zeit als den unmittelbar vorhergehenden [Teil]. Daher reicht es aus, einen Fuß mit diesem Widerstand zu durchschreiten. Und ich sage das im Vordersatz über die verhältnismäßigen Teile nach einem doppelten Verhältnis gemäß dieser Teilung.“¹³⁰

3. obiectatio gegen alle conclusiones des vorherigen Kapitels

Angezweifelt wird, dass ein Widerstand überhaupt sukzessiv gleichförmig vermindert werden könne.¹³¹ Der Ansatzpunkt ist, dass die Geschwindigkeit des Vermögens mit dem sich vermindernden Widerstand zunehmen müsse. Daher könne der Widerstand nicht gleichförmig abnehmen. Dagegen wendet Alvarus Thomas ein, dass es doch geschehen könne, wenn sich das Vermögen in der gleichen Zeit proportional zum Widerstand verändere. Daraus zieht Alvarus Thomas am Ende der 3. obiectatio zwei conclusiones.

replica: „Aber [es kann] auch dagegen [gesprochen werden], weil es ersichtlich ist, dass es gegen die zwanzigste conclusio ist. Daher. Ebenso kann ein Widerstand gleichförmig von einem Vermögen vermindert werden. Daher ist es keine Lösung.“¹³²

replica von Alvarus Thomas: „Ich antworte daher zu dem Argument, indem ich den Vordersatz verneine. Und zum Beweis lege ich zwei conclusiones dar.“¹³³

1. conclusio:

„Kein Widerstand kann durch die Aktion eines Vermögens gleichförmig verloren gehen, das sich nicht verändert, und das auch nicht von einem außen stehenden [Widerstand] behindert wird.“¹³⁴

2. conclusio:

„Irgendein Widerstand kann von irgendeinem Vermögen gleichförmig vermindert werden, das sich stetig gleich proportional verändert, während sein Widerstand vermindert wird oder proportional so gleich vermindert wird, wie der Widerstand abnimmt.“¹³⁵

nota: „Und ich sage das Bekannte oder gleich proportional verhindert und so weiter. Denn wenn irgendein Widerstand wie 4, der von einem Vermögen wie 8 vermindert wird, das sich nicht verändert, aber der von irgendeinem [Widerstand] von außerhalb verhindert wird auf solche Weise, dass, wenn der Widerstand wie 3 wäre, zwei Stufen der Aktivität des Vermögens verhindert werden würden, und wenn der Widerstand wie Zwei wäre, zwei andere Stufen des Aktivität des Vermögens verhindert werden würden, [dann] wird diese actio von einem doppelten Verhältnis aus zu Stande kommen.“¹³⁶

Korollar: „Daraus folgt das Korollar, dass, wo auch immer irgendein Vermögen gegen seinen Widerstand handelt, indem es ihn ohne Gegenhandlung zerstört, es notwendig ist, dass der Widerstand ungleichförmig vermindert wird, während die übrigen anderen gleich bleiben. Und wo auch immer ein Vermögen seine Qualität in etwas Passives hineinführt, führt es sie ungleichförmig ein, während die übrigen anderen gleich bleiben.“¹³⁷

4. obiectatio in Form einer sequela

„Wenn jene [conclusiones] wahr wären, würde daraus die conclusio folgen, dass alle Vermögen, die unverändert [bleiben], gleich oder ungleich, und dasselbe nicht veränderte Medium durchschreiten, in dem die Bewegung erworben wird oder verloren geht, dieselbe latitudo der Bewegung erwerben oder verlieren würden. Aber der Nachsatz ist falsch. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“¹³⁸

replica von Alvarus Thomas:

„Ich antworte auf das Argument, indem ich ein Beispiel darlege und das, was angenommen oder vermutet wird, verneine, und zwar, dass ein Zeitpunkt gegeben ist, in dem A ein solches Verhältnis zu einem beliebigen Punkt der erhöhteren Hälfte hat, wie B es zu einem ähnlichen [Punkt] oder zu einem [Punkt], der [mit ihm] in Verbindung steht, in der verminderteren Hälfte hat. Denn es zwar möglich ist, dass er ein größeres [Verhältnis] hat, und dass er ein kleineres [Verhältnis] hat, aber nicht, dass er ein gleiches [Verhältnis wie A] hat.“¹³⁹

1. Korollar: „Daraus folgt erstens, dass diese Schlussfolgerung nichts gilt: A durchschreitet [den Widerstand] von einem kleineren [Widerstand] zu einem größeren [Widerstand], also durchschreitet A [den gesamten Widerstand] durch einen gleichen [Widerstand]. Denn in dem Vorschlag wird ein Zeitpunkt angegeben. Denn A durchschreitet] [ihn von einem kleineren Verhältnis in Bezug auf einen beliebigen Punkt zu einem größeren [Verhältnis] und nicht zu einem [Verhältnis], das zu dem beliebigen Punkt gleich [ist]. Eine Analogie kann leicht erfasst werden. Denn es sei gegeben, dass es hier drei Männer gebe, von denen keiner Sokrates ist, und der kleinste [Mann] von ihnen ein Fuß sei, der nächste [Mann] zwei Fuß und der größte [Mann] drei Fuß. Und Sokrates sei ein halber Fuß. Und Sokrates wachse nach und nach an, bis er vier Fuß ist. Dann ist ersichtlich, dass Sokrates von einer kleineren Quantität, als es die Quantität irgendeines der [Männer] sei, zur einer größeren Quantität schreiten wird, als es die Quantität irgendeines der [Männer] sei. Und dennoch wird er niemals durch die gleiche Quantität zu einer beliebigen Quantität jener [Männer] durchschreiten. Daher gilt diese Schlussfolgerung nichts: A wird von einer kleineren Quantität als der Quantität von jener zu einer größeren Quantität als der Quantität jener durchschreiten, also durch eine gleiche Quantität zu einer beliebigen Quantität von diesen. Und das Gesamte stammt von einem definierten Term her.“¹⁴⁰

2. Korollar: „Daraus folgt zweitens, dass diese Schlussfolgerung nichts gilt: Ein Winkel durchschreite von einem kleineren Winkel aus, als der Winkel eines Halbkreises ist, zu einem größeren Winkel, als es der Winkel des Halbkreises sei. Also durchschreitet er durch einen gleichen [Winkel]. Das Korollar ist in dieser Figur offensichtlich.“¹⁴¹

5. obiectatio

„Wenn jene Regeln wahr wären, würde daraus folgen, dass, wenn irgendein Widerstand gleichförmig proportional anwachsen würde in Bezug auf zwei gleiche Vermögen, die die Fähigkeit haben, mit einem solchen Widerstand bewegt zu werden, [dann] vermindern solche Vermögen gleichförmig ihre Bewegungen. Aber der Nachsatz ist falsch. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“¹⁴²

Korollar: „Daraus folgt, dass irgendwelche zwei gleichen Vermögen von derselben Stufe der Geschwindigkeit beginnen, ihre Bewegungen bis zu keiner Stufe zu vermindern, indem man sie immer gleich schnell vermindert. Und nichtsdestoweniger werden sie nicht gleich bewegt. Aber der Nachsatz ist ersichtlich verwickelt. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“¹⁴³

1. confirmatio: „Und das wird bestätigt, weil ja – wenn jener Nachsatz wahr wäre – in dem vorgeschlagenen Beispiel folgen würde, dass B vor dem Ende der Stunde [den Widerstand] D durchschreiten würde und dennoch D nicht in einer Stunde durchschreiten würde. Das ist ersichtlicherweise verwickelt. Daher.“¹⁴⁴

2. confirmatio: „Zweitens wird [das] bestätigt, weil – wenn jener Nachsatz wahr wäre – daraus folgen würde, dass durch die gleichförmig ungleichförmige Bewegung bis zu keiner Stufe ein um das Dreifache größerer Raum in der ersten Hälfte der Zeit durchquert wird als in der zweiten [Hälfte der Zeit]. Aber dieser Nachsatz ist falsch, wie weiter unten an der vorher aufgeführten Stelle gezeigt werden wird. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“¹⁴⁵

3. confirmatio: „Drittens wird bestätigt: Wenn jener Nachsatz wahr wäre, würde daraus in dem vorgeschlagenen Beispiel folgen: Wenn eine gleichförmig ungleichförmige Bewegung zu einer Geschwindigkeit sinken würde, die gleich der Geschwindigkeit der rarefactio ist – denn die rarefactio ist eine lokale Bewegung – [dann] könnte es keinen Punkt eines solchen Raums im Grunde durchschreiten. Denn nach jenem Zeitpunkt wird ein beliebiger Punkt, der dem Beweglichen vorausgeht, schneller als das Bewegliche bewegt werden, weil ja ein solcher Punkt gleichförmig bewegt werden wird, und B stetig seine Bewegung vermindern wird. Aber der [Nachsatz] ist falsch. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“¹⁴⁶

Korollar zur 3. confirmatio: „Ebenso würde daraus folgen, dass B, das gleich dem Vermögen A ist, nicht den gleichen Widerstand mit A durchschreiten könnte. Und das ist unmöglich. Daher.“¹⁴⁷

replica:

„Ich antworte kurz zu dem Argument bei den zwei confirmationes, indem ich nicht auf das Beispiel eingehe. Denn die Argumente beweisen, dass das Beispiel verwickelt ist. Denn sie beweisen, dass B niemals bis zur Grenze von D absinken wird. Und die erste confirmatio beweist, dass es zur seiner Grenze in der Hälfte der Zeit absinken wird. Und ist so verworren, dass es genau genommen gemäß dem Teil, der nicht durchquert wurde, mit den übrigen Teilchen des Beispiels ausgedünnt wird.“¹⁴⁸

Zur 3. confirmatio: „Für die Lösung der dritten confirmatio muss angenommen werden, dass die rarefactio eine lokale Bewegung ist. Zweitens muss angenommen werden, dass das Medium, durch das irgendetwas bewegt wird, wenn das Medium schwindet, zweifach [aufgefasst] wird. Denn einmal ist es dasselbe Medium, das durch seine Bewegung auch das Bewegliche, das darin ist, bewegt. Solcherart ist ein Schiff, das einen Seemann in Bezug auf seine Bewegung bewegt: Wenn der Seemann sich gegen jenen Teil bewegen würde, gegen den das Schiff bewegt wird, wird er mit zweifacher Bewegung bewegt, sowohl mit der Bewegung des Schiffs als auch mit der eigenen Bewegung. So ist es auch bei einem Menschen, der in einem Fluss schwimmt. Wenn er gegen die Strömung des Flusses schwimmt, wird er durch eine zweifache Bewegung bewegt, [und zwar] durch seine eigene Bewegung und durch die Bewegung des Flusses, der ihn zieht. Anders ist ein Medium, in dessen Bezug auf eine lokale Bewegung ein Bewegliches nicht bewegt wird, in dem es ist. Solcherart ist die Luft. Denn ein Bewegliches teilt eher die Luft, als dass es von der Luft gezogen wird. Nachdem dies dargelegt ist, antworte ich auf die confirmatio, indem ich das Angeführte auftrenne. Denn entweder ist jenes Medium D ein Medium nach der ersten Weise, nämlich ein ziehendes Medium, solcherart ist ein Schiff oder Wasser, das einen Schwimmenden zieht. Und so verneine ich die sequela.“¹⁴⁹

Und weiter: „Denn ich sage, dass ein solches Bewegliches, das durch ein solches Medium bewegt wird, wird von einer Gesamtgeschwindigkeit bewegt, durch die das Medium bewegt wird und dazu durch die eigene Geschwindigkeit. Und so stellt das Aggregatum aus jenen zwei Geschwindigkeiten eine höhere Geschwindigkeit dar als die Geschwindigkeit, durch die das Bewegliche durch die rarefactio bewegt wird. Und so können sie sich aufeinander beziehen, solange irgendein Punkt, der ihm vorhergeht, bewegt wird. Denn solange es mit erhöhterer Geschwindigkeit bewegt wird (nachdem die Geschwindigkeiten beider zusammengezogen wurden), wird es wie irgendein Punkt bewegt, der ihm vorhergeht. Aber wenn sie mit der eigenen Bewegung bis zu keiner Stufe sinke, wird es nur von dem Medium bewegt werden und es wird immer in demselben Punkt des Mediums bleiben. Wenn aber das Medium D ein Medium nach der zweiten Weise sei, das ein Bewegliches nicht zieht, dann gestehe ich das Angeführte zu. Und zum Beweis sage ich, dass ich es nicht für unziemlich erachte, wenn einer jener Widerstände bewegt wird und der andere ruht. Denn dort sind die übrigen [Gegebenheiten] nicht gleich.“¹⁵⁰

Kapitel 3.1.7

Dieses Kapitel des Liber de triplici motu beschäftigt sich mit gleichförmigen Bewegungen in gleichförmigen und ungleichförmigen media. Das Kapitel gliedert sich in eine suppositio mit zwei Korollaren, der sechs conclusiones folgen. Einige der conclusiones haben angefügte Korollare.

Die suppositio

„Wenn die kleinere latitudo einer Bewegung B und die größere [latitudo einer Bewegung] A gleichförmig in einer gleichen oder ungleichen Zeit vermindert werden, in dem sie genau die gleiche latitudo der Bewegung verlieren, [dann] ist das Verhältnis der Bewegung B in der ersten Hälfte der Zeit, in der B vermindert wird, zu sich selbst in der zweiten Hälfte derselben Zeit größer, als es das der Bewegung A in der ersten Hälfte der Zeit, in der A vermindert wird, zu sich selbst in der zweiten Hälfte derselben Zeit ist.“¹⁵¹

1. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen B in irgendeiner Zeit seine Bewegung gleichförmig vermindert, indem es ein Medium C durchschreitet, und wenn das größere Vermögen A in einer kleineren Zeit (wie es nötig ist) beim Durchschreiten desselben Mediums C seine Bewegung gleichförmig vermindert, [dann] ist das Verhältnis der Geschwindigkeit von B in der ersten Hälfte der Zeit, in der B gleichförmig seine Bewegung vermindert, zu der Geschwindigkeit der zweiten Hälfte derselben Zeit größer als das der Geschwindigkeit von A in der ersten Hälfte der Zeit, in der A seine Bewegung gleichförmig vermindert, zu der Geschwindigkeit der zweiten Hälfte derselben Zeit.“¹⁵²

2. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen B in der Zeit D beim Durchschreiten des Mediums C seine Bewegung gleichförmig vermindert, das größere Vermögen A in der Zeit E beim Bewegen mit genau der gleichen latitudo der Bewegung gleichförmig verliert wie B, und wenn dann das [Verhältnis] der Geschwindigkeit von B in der ersten Hälfte der Zeit D zu der Geschwindigkeit desselben B in der zweiten Hälfte derselben Zeit das Verhältnis F ist, [dann] wird das Verhältnis der Geschwindigkeit A in der ersten Hälfte der Zeit E zu der Geschwindigkeit von A in der zweiten Hälfte derselben Zeit kleiner sein als das Verhältnis F.“¹⁵³

Die conclusiones

1. conclusio:

„Irgendein Vermögen, das sich nicht verändert, vermindert immer beim Durchschreiten eines gleichförmigen Widerstands stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe und bis zu einer Stufe.“¹⁵⁴

Korollar: „Daraus folgt, dass irgendein Vermögen, das sich nicht ändert, immer beim Durchschreiten eines Medium, das zu einem beliebigen Zeitpunkt, in dem es bewegt wird, gleichförmig ist, gleichförmig seine Bewegung erhöhen kann.“¹⁵⁵

2. conclusio:

„Irgendein Vermögen, das sich nicht verändert, kann beim Durchschreiten eines ungleichförmigen Mediums gleichförmig seine Bewegung sowohl bis zu einer [bestimmten] Stufe als auch bis zu keiner Stufe vermindern.“¹⁵⁶

1. Korollar: „Daraus folgt, dass irgendein Vermögen, das sich nicht verändert, beim Durchschreiten eines unveränderten ungleichförmigen Medium in der Lage ist, gleichförmig seine Bewegung zu vermindern kann.“¹⁵⁷ Dies wird als 37. conclusio von Swineshead bezeichnet.

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass irgendein Vermögen, das sich nicht verändert, beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung erhöhen kann.“¹⁵⁸

3. conclusio:

„Kein Vermögen, nicht verändert wurde, kann beim Durchschreiten eines gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das nicht verändert wurde, gleichförmig seine Bewegung vermindern oder erhöhen.“¹⁵⁹ Dazu gibt Alvarus Thomas an, dass sich dies aus der 39. und 40. conclusio des Kapitels 3.1.5 ergebe.

1. Korollar: „Daraus folgt, dass irgendein Vermögen, das nicht verändert wurde beim Durchschreiten eines nicht veränderten, gleichförmig ungleichförmigen Mediums, solcherart dieses durchschreiten kann, dass es stetig gleichförmig bewegt wird.“¹⁶⁰

2. Korollar: „Jetzt folgt daraus, dass auf drei Arten und Weisen ein gleichförmig ungleichförmiger Raum von einem Vermögen, das nicht verändert wird, durchquert werden kann. Die erste Weise ist, indem es stetig seine Bewegung vermindert. Die zweite Weise ist, indem es stetig seine Bewegung erhöht. Die dritte Weise ist, indem es stetig gleichförmig bewegt wird.“¹⁶¹

4. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen, das nicht verändert wird beim Durchschreiten irgendeines Mediums, das nicht verändert wird, seine Bewegung gleichförmig bis zu einer [gewissen] Stufe oder bis zu keiner Stufe vermindert, [dann] vermindert kein größeres oder kleineres [Vermögen] beim Durchschreiten desselben Mediums gleichförmig seine Bewegung, wobei das Medium und [das Vermögen] unverändert bleiben.“¹⁶² Dies ist laut Alvarus Thomas die 38. conclusio von Swineshead.

1. Korollar: „Aus dieser conclusio folgt leicht, dass zwei ungleiche Vermögen, die nicht verändert sind und dasselbe Medium durchschreiten, nicht genau bis zu keiner Stufe ihre Bewegung vermindern können.“¹⁶³

2. Korollar: „Wenn irgendein Vermögen, das beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums nicht verändert wurde, seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert, vermindert jedes größere Vermögen, das nicht verändert ist und in demselben Medium seine Bewegung vermindert, diese [Bewegung] bis zu einer [gewissen] Stufe. Und jedes kleinere [Vermögen] vermindert bis zu keiner Stufe an irgendeinem Punkt des Mediums mittendrin.“¹⁶⁴

5. conclusio:

„Wenn irgendein Vermögen, das nicht verändert wurde, in irgendeinem ungleichförmigen Medium, das nicht verändert wurde, gleichförmig bis zu keiner Stufe seine Bewegung vermindert, [dann] vermindert jedes größere Vermögen, das sich nicht verändert beim Durchschreiten desselben Mediums, das unverändert ist, bis ins Unendliche schnell seine Bewegung, indem es gegen das erhöhtere Extremum desselben Mediums gelangt.“¹⁶⁵ Das entspricht laut Alvarus Thomas der 39. conclusio von Richard Swineshead.

Korollar: „Daraus folgt: Wenn irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums stetig seine Bewegung bis zu keiner Stufe gleichförmig oder ungleichförmig vermindert, vermindert jedes größere unveränderte Vermögen beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums, indem es stetig seine Bewegung vermindert und zu dem erhöhteren Extremum desselben Mediums gelangt, bis ins Unendliche schneller seine Bewegung als das angegebene kleinere Vermögen.“¹⁶⁶

6. conclusio:

„Wenn irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten irgendeines unveränderten ungleichförmigen Mediums gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe vom erhöhteren Extremum aus vermindert, [dann] vermindert jedes kleinere Vermögen bis ins Unendliche langsamer seine Bewegung beim Bewegen durch dasselbe Medium, wenn es zu dem innen liegenden Punkt desselben Mediums gelangt, zu dem es ein Verhältnis der Gleichheit hat.“¹⁶⁷ Diese conclusio wird von Alvarus Thomas als die 40. conclusio von Swineshead gekennzeichnet.

1. Korollar: „Daraus folgt erstens: Wo auch immer irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten irgendeines Mediums nach und nach seine Bewegung stetig gleichförmig oder ungleichförmig bis zu keiner Stufe vermindert, entweder indem es bis zum Extremum jenes Mediums gelangt oder zu einem innen liegenden Punkt, vermindert jedes kleinere unveränderte Vermögen, das seine Bewegung bis zu keiner Stufe an irgendeinem Punkt vermindert, seine Bewegung bis ins Unendliche langsamer, indem es zu demselben Punkt gelangt, als das angegebene größere Vermögen, sobald es zu demselben Punkt gelangt, in dem das kleinere [Vermögen] keine Stufe der Bewegung mehr hat.“¹⁶⁸

2. Korollar: „Es folgt zweitens: Wo auch immer ein beliebiges, nicht verändertes Vermögen Durchschreiten eines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert, indem es bis zum Extremum jenes Mediums, bis zu einer [gewissen] Stufe oder bis zu keiner Stufe gelangt, [dann] erhöht es selbst oder ein ihm gleiches [Vermögen] stetig gleichförmig seine Bewegung nach und nach beim stetigen Durchschreiten desselben Medium und beim stetigen Fortschreiten vom erhöhteren Extremum zum verminderteren Extremum über dieselbe Linie, durch die es vorher beim Vermindern seiner Bewegung bewegt wurde. Und jedes größere unveränderte [Vermögen] erhöht seine Bewegung stetig ungleichförmig beim Fortschreiten von demselben erhöhteren Punkt über dieselbe Linie, durch die das Vermögen fortschreitet, das unverändert seine Bewegung gleichförmig erhöht, und auf ähnliche Weise [auch] jedes kleinere [Vermögen], das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu dem erhöhteren Extremum desselben Mediums hat.“¹⁶⁹

3. Korollar: „Wo auch immer irgendein unverändertes Vermögen stetig gleichförmig nach und nach seine Bewegung von keiner Stufe beim Durchschreiten eines unveränderten Medium von einem erhöhterem Extremum zu einem verminderteren [Extremum] erhöht, [dann] erhöht jedes größere Vermögen bis ins Unendliche schnell seine Bewegung, wenn es stetig von demselben erhöhteren Extremum auf derselben Linie voranschreitet.“¹⁷⁰

4. Korollar: „Wo auch immer irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums stetig nach und nach seine Bewegung von keiner Stufe gleichförmig oder ungleichförmig erhöht, [dann] erhöht jedes kleinere Vermögen, das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu irgendeinem Teil desselben Mediums hat, durch das Zurückweichen zum verminderteren Extremum bis ins Unendliche langsamer seine Bewegung von dem Punkt aus, zu dem es ein Verhältnis der Gleichheit hat, als das angegebene größere Vermögen von demselben Punkt aus beim Zurückweichen zum verminderteren Extremum.“¹⁷¹

Kapitel 3.1.8

Nachgeforscht wird in diesem Kapitel des Liber de triplici motu über Bewegungen von Körpern, die dasselbe medium durchqueren und dabei ihre Bewegungen gleichförmig erhöhen oder vermindern. Das Kapitel besteht aus vier suppositiones und acht conclusiones.

Die suppositiones

1. suppositio:

„Wenn irgendein Vermögen stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert oder erhöht, und irgendein [anderes] Vermögen in einem fest stehenden Verhältnis stetig schneller bewegt wird, ist es notwendig, dass das [erste] Vermögen stetig gleichförmig seine Bewegung langsamer erhöht oder vermindert. Und wenn irgendein Vermögen, das stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert oder erhöht, durch irgend ein anderes Vermögen in einem gewissen Verhältnis stetig langsamer bewegt wird, [dann] ist es notwendig, dass das Vermögen, das schneller bewegt wird, ebendort stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert oder erhöht.“¹⁷²

2. suppositio:

„Wenn irgendein Vermögen, das nicht verändert wird beim Durchschreiten eines Mediums, das nicht verändert wird, stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert, verliert es eine größere latitudo der Bewegung beim Durchschreiten eines Teils, der mehr widersteht, als ein ihm gleicher [Teil], der weniger widersteht.“¹⁷³

3. suppositio:

„Wenn es zwei ungleiche Teile irgendeines unveränderten Mediums ausgezeichnet wurden, durch das irgendein Vermögen, das sich bewegt und unverändert ist, stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert, [das Vermögen] jeden jener beiden [Teile] in irgendeiner gleichen Zeit genau durchschreitet, und [wenn] beim Durchschreiten eines beliebigen Teils ein Überhangs, durch den der größere Teil den kleineren [Teil] übertrifft, das Vermögen stetig mit einen größeren Widerstand bewegt wird als beim Durchschreiten eines beliebigen gleichen Teils des kleineren [Teils, dann] ist das Verhältnis der Geschwindigkeit, die von einem solchen Vermögen beim Bewegen über dem größeren Teil verloren geht, zu der Geschwindigkeit, die beim Bewegen durch einen kleineren Teil verloren geht, größer, als es das Verhältnis solcher Teile ist.“¹⁷⁴

4. suppositio:

„Wenn zwei ungleiche Teile irgendeines unveränderten Mediums ausgezeichnet wurden, durch das sich irgendein unverändertes Vermögen bewegt und stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert, und es jeden jener beiden [Teile] genau in einer gleichen Zeil durchschreitet, und [wenn] beim Durchschreiten eines beliebigen Teils des Überhangs, durch den der größere Teil den kleineren [Teil] übertrifft, das Vermögen stetig mit einen kleineren Widerstand bewegt wird als beim Durchschreiten eines beliebigen gleichen Teils des kleineren [Teils des Mediums], [dann] ist [das Verhältnis] der von einem solchen Vermögen verlorenen Geschwindigkeit beim Bewegen im größeren Teil [des Mediums] zu der verlorenen Geschwindigkeit beim Bewegen über den kleinere Teil [des Mediums] weder [das Verhältnis] solcher Teile noch ein größeres [Verhältnis.]“¹⁷⁵

Die conclusiones

1. conclusio:

„Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums vermindert, kann irgendein größeres [Vermögen] durch seine stetige intensio beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums seine Bewegung gleichförmig bis zu einer Stufe vermindern.“¹⁷⁶

Korollar: „Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums vermindert, kann jedes größere Vermögen durch seine stetige Zunahme beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums seine Bewegung gleichförmig bis zu einer [gewissen] Stufe vermindern.“¹⁷⁷

2. conclusio:

„Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums, seine Bewegung stetig gleichförmig bis zu keiner Stufe vermindert, vermindert irgendein größeres Vermögen durch seine stetige remissio beim Durchschreiten desselben Mediums seine Bewegung stetig gleichförmig bis zu keiner Stufe.“¹⁷⁸ Dies wird als die 42. conclusio von Richard Swineshead gekennzeichnet.

Korollar: „Daraus folgt: Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert, vermindert jedes größere Vermögen durch seine stetige remissio beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung.“¹⁷⁹

3. conclusio:

„Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, stetig gleichförmig seine Bewegung beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums vermindert, kann jedes größere [Vermögen] beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung vermindern, und zwar manchmal durch seine stetige remissio und manchmal durch seine stetige intensio.“¹⁸⁰

4. conclusio:

„Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums vermindert, vermindert irgendein kleineres [Vermögen] durch seine stetige intensio stetig gleichförmig seine Bewegung, und [zwar] bis zu keiner Stufe beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums.“¹⁸¹ Alvarus Thomas gibt hier erneut die 40. conclusio von Richard Swineshead an.

Korollar: „Daraus folgt: Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, gleichförming beim Durchschreiten irgendeines Mediums seine Bewegung vermindert, vermindert jedes kleinere [Vermögen], das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu dem Anfangspunkt desselben Mediums beim verminderteren Extremum hat, stetig gleichförming beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums seine Bewegung durch seine stetige intensio.“¹⁸²

5. conclusio:

„Sobald irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert, vermindert irgendein kleineres [Vermögen] durch die stetige remissio beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe in irgendeinem innen liegenden Punkt des angegebenen Mediums.“¹⁸³ Dies ist die 44. conclusio von Richard Swineshead.

Korollar: „Daraus folgt: Sobald irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert, vermindert jedes kleinere Vermögen, das zu dem Anfangspunkt desselben Mediums im verminderteren Extremum ein Verhältnis größerer Ungleichheit hat, beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung durch eine stetige remissio seines Vermögens bis zu keiner Stufe bei irgendeinem innen liegenden Punkt.“¹⁸⁴

6. conclusio:

„Sobald irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert, kann jedes kleinere Vermögen, das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu dem Anfangspunkt des Mediums C im verminderteren Extremum hat, beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung vermindern, manchmal durch das Erhöhen des Vermögens und manchmal aber durch das stetige Vermindern.“¹⁸⁵

7. conclusio:

„Sobald irgendein Vermögen stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums vermindert, kann ein ihm gleiches Vermögen stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe beim Durchschreiten desselben Mediums durch seine stetige remissio vermindern.“¹⁸⁶

Korollar: „Daraus folgt, dass, sobald irgendein Vermögen, das unverändert ist, stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert und so weiter, ein ihm gleiches Vermögen beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung durch seine stetige intensio vermindern kann.“¹⁸⁷ Der folgende Beweis wird von Alvarus Thomas am Ende angezweifelt.

8. conclusio:

„Sobald irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung vermindert, kann irgendein größeres [Vermögen] stetig gleichförmig und gleich schnell gegen denselben [Widerstand] seine Bewegung durch seine stetige intensio vermindern.“¹⁸⁸

1. Korollar: „Daraus folgt: Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums vermindert, kann jedes größere Vermögen durch die stetige intensio beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums seine Bewegung stetig gleichförmig vermindern, und [zwar] durch das stetig schnellere Vermindern als das angegebene unveränderte Vermögen.“¹⁸⁹

2. Korollar: „Es folgt zweitens: Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, und so weiter [vermindert wird], vermindert jedes größere [Vermögen] durch seine stetige remissio beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung, und [zwar] stetig schneller als das angegebene kleinere Vermögen.“¹⁹⁰

3. Korollar: „Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert wird, stetig gleichförmig beim Durchschreiten eines nicht veränderten Mediums seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert, kann jedes kleinere [Vermögen], das zu dem Anfangspunkt desselben Mediums im verminderteren Extremum ein Verhältnis größerer Ungleichheit hat, stetig gleichförmig durch seine stetige remissio seine Bewegung vermindern, und [zwar] durch stetig so schnelles Vermindern [seiner Bewegung] wie das größere unveränderte Vermögen.“¹⁹¹

4. Korollar: „Sobald irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums und so weiter [vermindert wird, kann jedes kleinere Vermögen,] (gemäß dem Verlauf des vorhergehenden [Korollars]) [das zu dem Anfangspunkt desselben Mediums bei dem verminderteren Extremum ein Verhältnis größerer Ungleichheit hat, stetig gleichförmig seine Bewegung vermindern], und [zwar] durch das stetig schnellere Vermindern seiner Bewegung als das größere unverändertenVermögen.“¹⁹²

5. Korollar: „Sobald irgendein unverändertes Vermögen (gemäß dem Inhalt der sechsten conclusio) [beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert, kann jedes kleinere Vermögen, das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu dem Anfangspunkt des Mediums C bei dem verminderteren Extremum hat, beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung vermindern]; und zwar indem sich das kleinere Vermögen stetig langsamer vermindert als das größere unveränderte Vermögens.“¹⁹³

Kapitel 3.1.9

Das Kapitel 3.1.9 enthält sechs Einwände gegen die conclusiones der Kapitel 3.1.7 und 3.1.8. Deutlich wird in den Einwänden die Struktur von Argumenten und Gegenargumenten, wie sie für quaestiones üblich sind.

1. obiectatio gegen die zweite conclusio des Kapitels 3.1.7

ratio:

„Wenn jene [2. conclusio] verifiziert werden könnte, läge es gerade am aufgestellten Beispiel im siebenten Kapitel, um das zu zeigen. Aber bei jenem Beispiel wird das zweite Bewegliche, das stetig durch ein ungleichförmiges Medium bewegt wird, stetig gegen einen kleineren Widerstand bewegt als das erste Bewegliche, das durch ein gleichförmiges Medium bewegt wird. Daher wird das zweite Bewegliche, das in jenem zweiten ungleichförmigen Medium bewegt wird, stetig schneller bewegt, als das erste Bewegliche in dem Beispiel jener conclusio. Und folgerichtig vermindert bei einem solchen Beispiel das zweite Bewegliche nicht gleichförmig seine Bewegung.“¹⁹⁴

1. replica:

Dem Einwand wird widersprochen: „Denn [der Einwand] nimmt an, dass die Beweglichen, auf denen die mentio in dem Beispiel der conclusio ruht, irgendwie viele sind oder sie bis zur dreifachen Dimension teilbar sind. Und das ist – wie du sagst – falsch, weil man über ein unteilbares oder zumindest lineares mobile spricht.“¹⁹⁵ Dem folgt eine Aufzählung der Argumente:

„Denn zuerst gilt, dass das mobile nicht die Eigenschaft hat, unteilbar zu sein gemäß dem Philosophen im sechsten [Buch] der Physik und im ersten [Buch] über die Entstehung.“¹⁹⁶

„Dann zweitens, dass das zweite Medium stetig weniger dem mobile widersteht, als das erste [Medium] dem ersten Beweglichen widersteht. Und es gelte, dass jene mobilia unteilbar sind. Daher löste das Argument nicht, dass unteilbare Bewegliche aufgestellt werden. Und folgerichtig gibt es keine Lösung.“¹⁹⁷

„Zu dem anderen [Argument] wirst du sagen, indem du nämlich den Vordersatz verneinst, dass das zweite Medium seinem Beweglichen weniger widersteht. Und zu dem Punkt des Beweises wirst du sagen, dass der Widersacher [etwas] Falsches annimmt. Denn er nimmt an, dass alle zu durchschreitenden Teile durch einen akzidentellen Widerstand widerstehen. Das gestehst du nicht zu. Denn bei einer lokalen Bewegung oder einer Teilung widerstehen überhaupt nicht alle Teile dessen, was geteilt wird, wie der Kalkulator es im Kapitelchen über die Reaktion beim Lösen des vierten Gedankenspiels sagt. Und daher widersteht – wie du sagst – allein der zu durchschreitende Punkt dem Beweglichen oder die zu teilende Linie, die in beiden media gleich zum Widerstand ist.“¹⁹⁸

responsio zur replica:

„Dann gilt erstens, dass kein Medium irgendeinem Unteilbaren gemäß einer lokalen Veränderung widersteht. Denn kein Medium widersteht einer lokalen Veränderung, außer es widersteht seiner Teilung. Nur teilt ein unteilbares [Bewegliches] nicht das Medium, um es zu durchschreiten, weil es ebenso mit einem beliebigen Punkt des Mediums sein kann.“¹⁹⁹

„Dann [gilt] zweitens, dass dann folgen würde, dass kein erhöhtes mobile, das überall teilbar ist, stetig gleichförmig seine Bewegung beim Durchschreiten eines ungleichförmigen Mediums vermindern könnte. Aber das ist falsch. Daher [ist es auch] das, woraus es folgt.“²⁰⁰

Erneute replica zur responsio:

„Man wird zufällig zu dem Punkt des Arguments sagen, dass das Medium nicht widersteht außer durch seine Teilung. Und daher widersteht ein solches Medium gemäß den schon geteilten Teilen, zwischen denen ein mobile ist, nicht dem mobile, sondern genau gemäß den Teilen, die noch zu teilen sind, und [zwar] nicht bis dahin gemäß einem beliebigen [Teil], der zu teilen ist, sondern genau gemäß der Linie oder der Oberfläche, die zu teilen ist, die der extremitas des mobile am nächsten ist. Daher will diese Antwort [so] vorgestellt werden, dass, wenn ein Schwert irgendetwas teilt, widerstehen die schon geteilten Teile, zwischen denen das Schwert ist, nicht dem Schwert, so dass es sie nicht teilt oder beim Teilen bewegt wird. Und auch nicht der gesamte Teil, der [noch] zum Teilen übrig bleibt, widersteht dem Schwert gemäß sich und einem beliebigen [Teil] von sich, sondern genau gemäß der Oberfläche oder der Linie, die stetig der Schneide des Schwerts am nächsten ist.“²⁰¹

Erneute responsio zur vorhergehenden replica:

„Denn zuerst [sagt man], dass diese Lösung auf keine Weise einem Nominalisten ersichtlich ist, der solche Linien und Oberflächen verneint.“²⁰²

„Und zweitens [sagt man] dann: Wenn irgendetwas durch eine lokale Bewegung in zwei Hälften geteilt wird, ist das beim lokalen Bewegen beider jener Hälften notwendig. Und dann widersteht jede der beiden Hälften dem mobile, damit es nicht von seinem Ort weg bewegt wird.“²⁰³

Drittes Argument in Form einer sequela: „Dann [sagt man] drittens, dass dann folgen würde, dass es gleich leicht wäre, ein Gros Balken durch ein Medium wie [auch] einen kleinen Teil davon zu teilen. Dennoch ist es ersichtlicherweise falsch und gegen die Erfahrung.“²⁰⁴

„Dann [sagt man] viertens, dass eine natürliche Bewegung, die durch ein gleichförmiges Medium ausgeführt wird, am Ende schneller ist als am Anfang, wie es der Philosoph im achten [Buch] der Physik mit dem Text des sechsundsiebzigsten Kommentars [angibt], dem ein solcher Grund von den natürlichen [Bewegungen] zugeschrieben wird, nämlich dass jenes Medium weniger am Ende als am Anfang widersteht. Denn dann bleibt ein kleinerer Teil von ihm zum Teilen übrig und folgerichtig widersteht das große Medium mehr als das kleine [Medium].“²⁰⁵

responsio von Alvarus Thomas:

Alvarus Thomas erkennt zwar die Einwände gegen die zweite conclusio des Kapitels 3.1.7 an, hält an dieser conclusio aber weiterhin fest: „Deswegen ist [die Lösung], auch wenn jene conclusio und seine Weise des Beweisens nicht mit den natürlichen [Bewegungen] übereinstimmt, nichtsdestoweniger dennoch möglich. Dennoch wage ich nicht zu versichern, dass kein Vermögen auf natürliche Weise stetig gleichförmig beim Durchschreiten eines unveränderten, stetig ungleichförmigen Mediums seine Bewegung vermindern kann, damit ich nicht der Anzahl der Ungelehrten zugeschrieben werde, der den auf Weniges Zurückblickenden leichtfertig verkünde: Zeugnis des Philosophen im ersten [Buch] über die generatio mit dem Text des siebenten Kommentars.“²⁰⁶

2. obiectatio gegen die erste conclusio des Kapitels 3.1.8

ratio:

„Sobald irgendein Vermögen, das nicht verändert ist, beim Durchschreiten desselben unveränderten Mediums stetig gleichförmig bis zu keiner Stufe seine Bewegung vermindert, vermindert jedes größere [Vermögen], wenn es zu dem erhöhterem Extremum gelangt, bis ins Unendliche schnell seine Bewegung beim Durchschreiten desselben Mediums. Daher vermindert kein größeres [Vermögen] in einem solchen Medium gleichförmig seine Bewegung. “²⁰⁷ Daraus leite sich ab: „Nichts, das gleichförmig seine Bewegung vermindert, vermindert seine Bewegung bis ins Unendliche schnell. Dann würde es sie nicht gleichförmig vermindern.“²⁰⁸

replica:

Diese Schlussfolgerung ist zu verneinen, weil das Vermögen nicht verändert werden dürfe.²⁰⁹

responsio zur vorhergehenden replica:

„Sobald ein größeres Vermögen verbunden mit dem Inhalt der ersten conclusio verändert wird, vermindert es bis dahin bis ins Unendliche schnell seine Bewegung, indem es zu dem erhöhterem Extremum gelangt. Daher ist das keine Lösung.“²¹⁰

responsio von Alvarus Thomas:

Alvarus Thomas verneint weiterhin die Zweifel am Einwand mit folgender Begründung: „Denn obwohl es stetig ein größeres Verhältnis durch den Erwerb des Widerstands verliert, erwirbt es schließlich immer irgendein Vermögen durch die intensio des Vermögens.“²¹¹

replica in Form einer sequela:

„Aber dagegen [kann man sagen], dass dann folgen würde, dass, wenn das Vermögen stetig vermindert werden würde, es seine Bewegung beim Durchschreiten des Mediums nicht gleichförmig vermindern könnte. Aber der Nachsatz ist gegen das Korollar der zweiten conclusio des achten Kapitels dieses [Traktats]. Daher gilt die Lösung nicht.“²¹²

responsio von Alvarus Thomas zur vorhergehenden sequela:

Er lehnt die sequela ab und gibt ein Beispiel: „Denn ich sage, dass jenes größere Vermögen wie 16 verändert wird, bevor es zum Ende kommt, und von einem bis ins Unendliche kleinen Verhältnis bewegt wird. So vermindert es selbst zusammen mit dem anderen, das sich vermindert, seine Bewegung bis zu keiner Stufe. Es ist [daher] notwendig, dass es auf ähnliche Weise seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert und so von einem bis ins Unendliche kleineren Verhältnis bewegt wird, wie öfter oben argumentiert wurde.“²¹³

1. Korollar: „Daraus folgt: Wenn irgendein verändertes Vermögen stetig gleichförmig bewegt werden würde und [so] seine Bewegung mit dem anderen nicht veränderten [Vermögen] bis zu keiner Stufe vermindert, es stetig von einem um das Hundertfache oder Tausendfache größeren Verhältnis oder einem, das so groß ist wie man will, bewegt werden würde, [dann] wird es von einem bis ins Unendliche kleinen Verhältnis bewegt werden, bevor es zu irgendeinem Ende kommt, während ein beliebig kleines Vermögen seine Bewegung nicht bis zu keiner Stufe beim Durchschreiten desselben Mediums vermindert.“²¹⁴

3. Einwand, der sich ebenfalls gegen die erste conclusio des Kapitels 3.1.8 richtet

obiectatio in Form einer sequela:

„Wenn sie wahr wäre, würde folgen, dass das Vermögen A, das größer ist und verändert wird, bis ins Unendliche erhöht wird. Aber der Nachsatz ist falsch.“²¹⁵

responsio von Alvarus Thomas:

Alvarus Thomas verneint die sequela. „Denn es steht fest, dass irgendetwas bis ins Unendliche schnell in einer Stunde erhöht werden [kann] und dennoch allein begrenzt erhöht werden [kann]. So steht es ausreichend fest. Wenn nach der Aufteilung einer Stunde nach verhältnismäßigen Teilen gemäß einem vierfachen Verhältnis im ersten von jenen [Teilen] eine Stufe an Wärme von irgendeinem Körper erworben wird, und im zweiten [Teil] die Hälfte [einer Stufe] und im dritten [Teil] ein Viertel [einer Stufe] und folgerichtig so weiter durch die verhältnismäßigen Teile nach einem doppelten Verhältnis, dann ist deutlich, dass die gesamte Wärme am Ende genau zwei Stufen sein wird, wie es offensichtlich ist aus dem zweiten Korollar der dritten conclusio des fünften Kapitels des ersten Teils.“²¹⁶

1. Korollar: „Daraus folgt erstens, dass es [fest] steht, dass irgendetwas bis ins Unendliche schnell vermehrt wird, indem es genau die Qualität von einem Fuß in einer Stunde erwirbt.“²¹⁷

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass irgendetwas bis ins Unendliche langsam erhöht wird und dennoch begrenzt erhöht wird.“²¹⁸

3. Korollar: „Es folgt drittens, dass ,unbegrenzt erhöht werden‘ bedeutet, eine unendliche Qualität zu erwerben oder ein unendliche intensio. Aber ,bis ins Unendliche schnell erhöht werden‘ bedeutet, in irgendeiner Zeit irgendeine Qualität mit einer irgendwie großen Geschwindigkeit erwerben und eine andere [Qualität] in einer um das Doppelte höheren Geschwindigkeit – sei sie so groß oder kleiner, hat keine Bedeutung – und eine weitere [Qualität] in einer um das dreifache höheren [Geschwindigkeit] und folgerichtig so weiter.“²¹⁹

4. Korollar: „Viertens folgt: Obwohl ein beliebiges Vermögen, das nicht verändert wird und seine Bewegung über ein gleichförmig ungleichförmiges Medium hinweg erhöht, stetig schneller seine Bewegung beim Durchschreiten des Teils erhöht, der weniger widersteht, als [des Teils], der mehr widersteht, erhöht nichtsdestoweniger dennoch das Vermögen, das nicht verändert wird und ungleichförmig seine Bewegung über das ungleichförmige Medium erhöht, über das hinweg das kleinere Vermögen gleichförmig seine Bewegung erhöht, also das Vermögen, das größer ist und nicht verändert wird, schneller seine Bewegung beim Durchschreiten des Teils, der mehr widersteht ,als [des Teils], der weniger widersteht.“²²⁰

4. Einwand gegen die zweite conclusio des Kapitels 3.1.8

obiectatio in Form einer sequela:

„Wenn sie wahr wäre, würde folgen: Sobald irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe am Endpunkt desselben Medium im erhöhteren Extremum vermindert, [dann] gilt, dass jedes größere Vermögen genau beim Durchschreiten desselben Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe in demselben Endpunkt durch die stetige remissio seines Vermögens vermindern kann. Aber das ist falsch.“²²¹

replica:

Die sequela wird angezweifelt: „Denn wenn irgendein Vermögen am Anfangspunkt des Mediums C aufgestellt werden würde, dessen Verhältnis bei demselben Punkt tausendfach zu dem Verhältnis des Vermögens B beim Anfangspunkt des zweiten verhältnismäßigen Teils des Mediums C wäre, das nach einem anderthalbfachen Verhältnis in verhältnismäßige Teile geteilt wurde und so weiter, und jenes Vermögen so bewegt werden würde, dass es unmittelbar beim Zurückweichen von dem Anfangspunkt genau um das Anderthalbfache schneller bewegt werden als das Vermögen B, das von dem Anfangspunkt des zweiten verhältnismäßigen Teils gegen das erhöhtere Extremum zurückweicht, und es stetig so bewegt werden würde, dann würden – wie es fest steht – das Vermögen A wie auch das Vermögen B zuerst gleich zu dem erhöhteren Extremum des Mediums C gelangen, in dem jedes der beiden seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert, indem sie stetig gleichförmig ihre Bewegung vermindern, und [zwar] durch die stetige remissio jenes Vermögens.“²²²

replica zur replica:

„Aber dagegen [kann gesagt werden]: Sobald irgendein unverändertes Vermögen beim Durchschreiten irgendeines unveränderten Mediums stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe am Endpunkt desselben Mediums im erhöhteren Extremum vermindert, [dann] vermindert jedes größere Vermögen seine Bewegung beim Durchschreiten genau desselben Mediums stetig gleichförmig bis zu keiner Stufe an demselben Endpunkt durch die sukzessive remissio seines Vermögens. Daher ist das keine Lösung.“²²³

responsio von Alvarus Thomas:

Er gesteht die sequela im Allgemeinen zu, hat aber Probleme in den Einzelheiten der Beweisführung.²²⁴

5. Einwand, der sich ebenfalls gegen die zweite conclusio des Kapitels 3.1.8 richtet

ratio:

„Denn sobald irgendein Vermögen, das nicht beim Durchschreiten eines unveränderten Mediums verändert wird, stetig gleichförmig seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert, vermindert jedes größere [Vermögen], das nicht verändert wird, bis ins Unendliche schnell seine Bewegung in demselben Medium, wenn es zu dem erhöhteren Extremum gelangt. Aber wenn ein solches größeres Vermögen, wenn es zu dem erhöhteren Extremum gelangt, stetig vermindert werden würde, würde es von seiner Bewegung mehr vermindern, als wenn es [fest] bleiben würde. Daher vermindert jedes größere Vermögen, das durch ein solches Medium stetig vermindert wird, seine Bewegung bis ins Unendliche schnell und folgerichtig nicht gleichförmig. Das ist gegen die conclusio.“²²⁵

responsio von Alvarus Thomas:

„Und die ratio ist: Obwohl es beim Durchschreiten eines beliebigen Teils, wenn es zum erhöhteren Extremum gelangt, eine größere latitudo der Bewegung verliert, wenn es vermindert wird, als wenn es unverändert bleibt, verliert es sie nichtsdestoweniger langsamer. Dass die Schlussfolgerung gelten könnte, macht es so noch dazu notwendig anzunehmen, dass, wenn es beim Durchschreiten irgendeines Teils vermindert wird, es [dann] seine Geschwindigkeit schneller verliert, als wenn es [unverändert] bleibt oder gleich schnell ist. Dann würde die Schlussfolgerung durch den Ort vom Obersatz gelten. Aber dann müsste das Angenommene verneint werden.“²²⁶ Dies ist laut Alvarus Thomas ein Argument von Swineshead.

6. Einwand gegen die vierte conclusio des Kapitels 3.1.8

ratio:

„In dem Beispiel der conclusio vermindert das kleinere Vermögen A, das verändert und stetig erhöht wird, bis ins Unendliche langsam seine Bewegung, wenn es zum erhöhteren Extremum gelangt, und daher nicht gleichförmig. Und folgerichtig ist die conclusio falsch.“²²⁷

responsio von Alvarus Thomas:

Alvarus Thomas zweifelt an, dass der Beweis der conclusio richtig verstanden wurde und stellt letztendlich fest, „dass die Geschwindigkeit und die Langsamkeit der remissio der latitudo einer Bewegung angewendet werden muss gemäß der Zeit, in der sie geschieht, und nicht gemäß dem Raum, in dem es geschieht, wie es offensichtlich ist in der definitio des Schnellen und des Langsamen im sechsten [Buch] der Physik.“²²⁸

1. Korollar: „Daraus folgt erstens, dass [Folgendes fest] steht: Zwei gleiche Vermögen beginnen von demselben Punkt irgendeines Mediums zu demselben Zeitpunkt gegen denselben Punkt bewegt zu werden. Von ihnen wird das eine [Vermögen] erhöht werden, und das andere [Vermögen] wird nicht verändert. So verhalten sie sich dreifach.“²²⁹ Es folgt die Aufzählung, wie „dreifach“ verstanden wird:

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass es [fest] steht, dass zwei gleiche Vermögen von demselben Punkt anfangen gegen denselben Punkt des Mediums bewegt zu werden, über den hinaus jedes der beiden [Vermögen] stetig seine Bewegung vermindert. Und das eine [Vermögen] wird erhöht werden, und das andere [Vermögen] bleibt unverändert. Dennoch vermindert das [Vermögen], das erhöht wird, langsamer seine Bewegung.“²³³

3. Korollar: „Es folgt drittens, dass es [fest] steht, dass zwei gleiche Verhältnisse zu demselben Zeitpunkt von demselben Punkt aus in Richtung desselben Punktes irgendeines Mediums, über das hinweg jedes der beiden [Vermögen] stetig seine Bewegung vermindert, bewegt zu werden beginnt. Und eines von ihnen bleibt unverändert, und das andere [Vermögen] wird stetig vermindert. Und dennoch vermindert das [Vermögen], das stetig vermindert wird, stetig schneller seine Bewegung.“²³⁴

Kapitel 3.1.10

Das zehnte Kapitel des ersten Traktats behandelt die Frage der ungleichförmigen Bewegung in einem gleichförmig ungleichförmigen medium. Es gliedert sich in eine suppositio mit zwei Korollaren und 5 conclusiones, die teilweise mehrere Korollare haben.

Die suppositio

„Bei jeder gleichförmig ungleichförmigen latitudo, von der jede zwei gleiche Teile hat, übertrifft das erhöhtere Extremum das vermindertere Extremum durch eine gleiche latitudo.“²³⁵

1. Korollar: „Daraus folgt, dass jedes Vermögen, das eine unveränderte gleichförmig ungleichförmige latitudo [eines Widerstands] durchschreitet, beim Durchschreiten gleicher Teile und mit Beginn von dem verminderteren Extremum genau eine gleiche latitudo des Widerstands erwirbt.“²³⁶

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass jedes Vermögen, das eine gleichförmig ungleichförmige unveränderte latitudo eines Widerstands durchschreitet, mit Beginn von erhöhteren Extremum und beim Durchschreiten gleicher Teile, genau die gleiche latitudo des Widerstands verliert.“²³⁷

Die conclusiones

1. conclusio:

„Jedes Vermögen, das sich stetig gleichförmig bewegt, erhöht beim Durchschreiten eines gleichförmig ungleichförmigen unveränderten Mediums mit dem Beginn von verminderteren Extremum stetig gleichförmig sein Vermögen. Die übrigen Hilfen und Hindernisse werden abgeleitet.“²³⁸

Korollar: „Daraus folgt, dass jedes Vermögen, das sich stetig gleichförmig bewegt, beim Durchschreiten eines unveränderten gleichförmig ungleichförmigen Mediums mit Beginn von erhöhteren Extremum stetig gleichförmig sein Vermögen vermindert. Die anderen übrigen [Gegebenheiten] werden abgeleitet.“²³⁹

2. conclusio:

„Jedes Vermögen, das von keiner Stufe des Vermögens stetig gleichförmig anwächst, wird stetig gleichförmig beim Durchschreiten eines unveränderten, gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das bei keiner Stufe begrenzt ist, mit Beginn von dem verminderteren Extremum bewegt.“²⁴⁰ Diese conclusio wird als erste conclusio des Kalkulators bezeichnet. Am Ende dieser conclusio findet sich ein Einwand von Alvarus Thomas.

3. conclusio:

„Wenn es ein Vermögen gebe, das stetig gleichförmig bewegt wird, beim Durchschreiten eines unveränderten, gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das bei keiner Stufe begrenzt ist, mit Beginn vom verminderteren Extremum durch stetig gleichförmiges Anwachsen, bis es zu dem erhöhteren Extremum gelangt, und danach rückwärts bewegt werden würde in Richtung des verminderteren Extremum durch stetig gleichförmiges und gleich schnelles Abnehmen, so wie es vorher anwuchs, [dann] wird es stetig gleichförmig bewegt.“²⁴¹

1. Korollar: „Wenn ein solches Vermögen, das sich so stetig gleichförmig bewegt, jenen gleichförmig ungleichförmigen Widerstand mit Beginn vom verminderteren Extremum durch das stetig gleichförmige Erhöhen seines Vermögens durchschreitet, und wenn es an der Begrenzung wäre, es beginnen würde, rückwärts bewegt zu werden von dem erhöhteren Extremum gegen das vermindertere [Extremum], indem es stetig gleichförmig sein Vermögen vermindert, und zwar stetig langsamer, als es vorher erhöhte, [dann] wird das Vermögen denselben Widerstand schneller durchschreiten als vorher.“²⁴²

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass das Vermögen B, das langsamer vermindert wird als das andere [Vermögen], wie es in dem Beispiel des vorhergehenden Korollars dargestellt wird, [dann] kommt [das Vermögen], das es rückwärts durchschreitet, schneller zu der Begrenzung jenes Mediums, als dass es bis zu keiner Stufe vermindert wird.²⁴³

3. Korollar: „Es folgt drittens, dass in dem Beispiel des ersten Korollars das Vermögen B, das stetig langsamer vermindert wird, stetig seine Bewegung erhöht.“²⁴⁴

4. Korollar: „Es folgt viertens: Wenn das Vermögen B langsamer bewegt wird und gegen keine Stufe eines solchen Mediums oder Widerstands gelangt, wird es bis ins Unendliche schnell bewegt werden, und [dann] erhöht es bis ins Unendliche schnell seine Bewegung.“²⁴⁵

5. Korollar: „Es folgt fünftens: Wenn irgendein Vermögen, das beim Durchschreiten eines gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das bei keiner Stufe begrenzt wird, gleichförmig durch den stetig gleichförmigen Zuwachs seines Vermögens mit Beginn von verminderteren Extremum bewegt wird, und es beginne, von dem erhöhteren Extremum zum verminderteren [Extremum] rückwärts bewegt zu werden, indem es stetig gleichförmig sein Vermögen dennoch schneller vermindert, als es es vorher erhöhte, [dann] wird ein solches Vermögen stetig langsamer bewegt werden, als es vorher beim Durchschreiten des Widerstands bewegt wurde. Und indem es so schneller bewegt wird, als es vorher sein Vermögen verminderte, reicht es nicht aus, um zur Begrenzung des Widerstands zu gelangen.“²⁴⁶

4. conclusio:

„Wenn von dem verminderteren Extremum eines gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das bei keiner Stufe begrenzt wird, irgendein Vermögen beginnt, von keiner Stufe aus bewegt zu werden, indem es sein Vermögen erhöht, und zwar stetig immer schneller, [dann] erhöht es stetig seine Bewegung. Und wenn es stetig immer langsamer erhöht wird, vermindert es stetig seine Bewegung.“²⁴⁷

5. conclusio:

„Wenn von irgendeinem Punkt eines gleichförmig ungleichförmigen Mediums irgendein Vermögen beginnt, durch den stetig gleichförmigen Zuwachs seines Vermögens stetig gleichförmig bewegt zu werden, und ein ihm gleiches Vermögen, das ganz und gar sehr ähnlich anwächst, von dem verminderteren Punkt in demselben Medium bewegt zu werden beginnt, [dann] vermindert ein solches Vermögen stetig seine Bewegung. Und wenn dasselbe Vermögen von dem erhöhteren Punkt jenes Mediums bewegt zu werden beginnen würde, [dann] würde es stetig seine Bewegung erhöhen.²⁴⁸

1. Korollar: „Daraus folgt erstens: Wenn das Vermögen A stetig gleichförmig durch seinen stetigen und gleichförmigen Zuwachs beim Durchschreiten eines unendlichen gleichförmig ungleichförmigen Mediums oder wenigsten eines beliebigen Teils von ihm, der begrenzt ist und gleichförmig ungleichförmig ist, bewegt wird, ein ihm gleiches, gleichförmig ungleichförmiges Vermögen B auf einen verminderteren Punkt desselben Mediums gestellt werden würde, als es der Punkt ist, an dem dann das Vermögen A ist, [dann] gelte für das Vermögen B, dass es stetig über eine unbegrenzte Zeit hinweg schneller bewegt wird und dass es niemals das Vermögen A niemals berührt, während die übrigen Hilfen und Hindernisse abgeleitet werden.“²⁴⁹ Dieses Korollar wird als die fünfte conclusio von Swineshead gekennzeichnet.

2. Korollar: „Zweitens folgt: Wenn irgendein Vermögen von irgendeinem innen liegenden Punkt eines gleichförmig ungleichförmigen Mediums stetig gleichförmig durch den stetigen und gleichförmigen Zuwachs seines Vermögens bewegt zu werden beginnt, [dann] vermindert jedes größere Vermögen, das gleichförmig und ganz und gar gleich schnell anwächst und mit ihm von demselben Punkt gegen das erhöhtere Extremum bewegt zu werden beginnt, stetig seine Bewegung.“²⁵⁰

3. Korollar: „Wenn irgendein Vermögen von irgendeinem innen liegenden Punkt eines gleichförmig ungleichförmigen Mediums anfängt, stetig gleichförmig durch den stetig gleichförmigen Zuwachs seines Vermögens bewegt zu werden, [dann] erhöht jedes kleinere Vermögen, das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu demselben innen liegenden Punkt hat und das ganz und gar gleichförmig und gleich schnell mit ihm von demselben Punkt anwächst und gegen die erhöhteren Punkte bewegt zu werden beginnt, stetig seine Bewegung.“²⁵¹

4. Korollar: „Es folgt viertens: Wenn irgendein Vermögen wenigstens von irgendeinem Punkt eines unbegrenzten, gleichförmig ungleichförmigen Mediums, von dem ein beliebiger Teil gemäß einer fest stehenden Teilung gleichförmig ungleichförmig ist, stetig gleichförmig durch den stetig gleichförmigen Zuwachs seines Vermögens bewegt zu werden beginnt, [dann] könnte jedes größere Vermögen, das ganz und gar gleichförmig und gleich schnell mit A anwächst, bei irgendeinem Punkt bewegt zu werden beginnen, von dem es beim Bewegen gegen die erhöhteren Punkte desselben Mediums stetig gleichförmig und ganz und gar gleich schnell mit ihm bewegt werden würde.“²⁵²

5. Korollar: „Wenn irgendein Vermögen von irgendeinem innen liegenden Punkt eines gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das bis zu keiner Stufe begrenzt ist, stetig gleichförmig durch den stetig gleichförmigen Zuwachs seines Vermögens von keiner Stufe aus bewegt zu werden beginnt, könnte jedes kleinere Vermögen, das gleichförmig und ganz und gar gleich schnell mit ihm anwächst, an irgendeinem Punkt desselben Mediums bewegt zu werden anfangen, von dem es beim Bewegen gegen die erhöhteren Punkte desselben Mediums stetig gleichförmig und ganz und gar gleich schnell mit ihm bewegt werden würde.“²⁵³ Dieses Korollar wird als die 14. conclusio des Kalkulators bezeichnet.

Kapitel 3.1.11

Kapitel 3.1.11 enthält Vergleiche zwischen verschiedenen Bewegungen von potentiae, die gleichförmig anwachsen, in einem gleichförmig ungleichförmigen medium. Es gliedert sich in eine suppositio und fünf conclusiones mit den jeweiligen anhängenden Korollaren. Bei der ersten conclusio wurden zudem zwei responsiones von Alvarus Thomas angefügt.

Die suppositio

„Ein beliebiges Vermögen, das mit seiner stetigen Bewegung ein unverändertes, gleichförmig ungleichförmiges Medium absolviert, das bei keiner Stufe begrenzt ist, indem es vom verminderten Extremum anfängt, wird mit dem größeren Widerstand stetig in dem Verhältnis bewegt, in dem das Vermögen mehr von der verminderten Begrenzung desselben Mediums entfernt ist.“²⁵⁴

Korollar: „Daher kommt es weiterhin, dass jedes Vermögen [von zwei Vermögen], das ein gleichförmig ungleichförmige Medium stetig schneller absolviert, das unverändert ist und bis zu keiner Stufe begrenzt ist, in dem Verhältnis stetig mit einem größeren Widerstand bewegt wird als das andere [Vermögen], um das es stetig schneller als das andere [Vermögen] bewegt wird.“²⁵⁵

Die conclusiones

1. conclusio:

„Wenn sich zwei Vermögen beim Durchschreiten irgendeines gleichförmig ungleichförmigen, bei keiner Stufe begrenzten Mediums stetig gleichförmig durch deren gleichförmigen und stetigen Zuwachs von keiner Stufe des Vermögens aus bewegen, und das eine [Vermögen] um ein fest stehendes Verhältnis stetig schneller anwächst, [dann] wird das Vermögen, das stetig schneller anwächst, stetig schneller bewegt, und zwar dennoch stetig schneller um ein kleineres Verhältnis, als es das Verhältnis ist, um das es stetig schneller anwächst.“²⁵⁶

1. Korollar: „Wenn zwei Vermögen sich beim Durchschreiten irgendeines gleichförmig ungleichförmigen, bei keiner Stufe begrenzten Mediums stetig gleichförmig durch ihren stetigen und gleichförmigen Zuwachs von keiner Stufe des Vermögens aus bewegen, und eines [der Vermögen] stetig um das Dreifache schneller wächst als das andere, das gleichförmig beim Durchschreiten desselben Mediums von einem doppelten Verhältnis bewegt wird, [dann] wird das Vermögen, das um das Dreifache stetig schneller anwächst, stetig schneller bewegt.“²⁵⁷

2. Korollar: „Es folgt drittens: Wenn zwei Vermögen beim Durchschreiten irgendeines gleichförmig ungleichförmigen, bei keiner Stufe begrenzten Mediums stetig gleichförmig durch ihre gleichförmigen und stetigen Zuwachs von keiner Stufe des Vermögens aus sich bewegen, und das eine [Vermögen] stetig um das Doppelte schneller [als das andere Vermögen] anwächst, [wenn] das Vermögen, das langsamer anwächst, stetig von einem anderthalbfachen Verhältnis bewegt wird, [dann] wird das Vermögen, das stetig schneller anwächst, stetig schneller bewegt, [und zwar] um ein kleineres Verhältnis als ein doppeltes [Verhältnis] und um ein größeres [Verhältnis] als ein anderthalbfaches [Verhältnis].“²⁵⁸

1. responsio: „Dann antworte ich und sage erstens, [dass es] in keinem superpartikularem [Verhältnis schneller bewegt wird] (wie es offensichtlich ist), weil kein superpartikulares [Verhältnis] größer als ein anderthalbfaches Verhältnis ist, und auch nicht in irgendeinem vielfach superpartikularen [Verhältnis] und auch nicht in einem vielfach suprapartienten [Verhältnis], weil kein solches [Verhältnis] kleiner als ein doppeltes [Verhältnis] ist (wie es für den fest steht, der das sechste Kapitel des zweiten Teils versteht). Daher bleibt es übrig, dass es um irgendein superpartikulares [Verhältnis] schneller bewegt wird oder um irgendein irrationales Verhältnis.“²⁵⁹

2. responsio: „Und wenn du fragst, um welches superpartikulare oder irrationale Verhältnis [es sich handelt], antworte ich und sage zweitens zusammen mit dem Kalkulator auf Grund des Textes in der sechsten conclusio des zweiten Kapitels über das Medium, das nicht widersteht, dass er es mit größeren Eifer zu erforschen behandele, als es an Nutzen verspricht. Und wie es dem seligen Hieronymus gefällt, sich Tag und Nacht im Kreise zu drehen und im unerfassbaren Chaos zu versinken, um das zu erforschen, bedeutet es [zugleich], in der Dunkelheit des Geistes umherzuwandern.“²⁶⁰

2. conclusio:

„Wenn sich zwei Vermögen beim Durchschreiten irgendeines gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das bei keiner Stufe begrenzt ist, stetig gleichförmig durch ihren gleichförmigen und stetigen Zuwachs von keiner Stufe des Vermögens aus bewegen, und das eine [Vermögen] stetig schneller als das andere [Vermögen] um ein größeres Verhältnis anwächst, [und zwar] um das Verhältnis, von dem das andere [Vermögen] stetig bewegt wird, bewegt wird, [dann] wird das Vermögen, das stetig schneller anwächst, stetig schneller in dem Verhältnis bewegt, von dem das andere [Vermögen] bewegt wird.“²⁶¹

1. Korollar: „Wenn das Vermögen A stetig von einem dreifachen Verhältnis und so weiter bewegt werde, und B von keiner Stufe des Vermögens beim Durchschreiten desselben Mediums stetig um ein siebenundzwanzigfaches Verhältnis schneller [bewegt werde], wie es von 27 zu 1 ist, dann wird das größere Vermögen B stetig um das Dreifache schneller als das kleinere Vermögen A bewegt.“²⁶²

2. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A von einem vierfachen Verhältnis [wie] in dem Beispiel der conclusio bewegt werden würde, und das größere Vermögen B stetig um ein zweihundertsechsundfünfzigfaches Verhältnis schneller anwachsen würde, wie es von 256 zu 1 besteht, dann wird das Vermögen B genau um das Vierfache schneller bewegt werden.“²⁶³

3. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A [wie] in dem Beispiel der conclusio stetig von dem irrationalen Verhältnis bewegt wird, das anderthalbfach in Bezug auf ein doppeltes [Verhältnis] ist und das H genannt wird, und [wenn] das größere Vermögen B stetig schneller als das kleinere Vermögen A um das irrationale Verhältnis K anwächst, das sich zu dem Verhältnis H in dem Verhältnis H befindet, das [wiederum] anderthalbfach in Bezug auf ein doppeltes [Verhältnis] ist, dann wird sich das größere Vermögen B schneller als das kleinere Vermögen A bewegen, [und zwar] um das Verhältnis H, das anderthalbfach in Bezug auf ein doppeltes [Verhältnis] ist.“²⁶⁴

3. conclusio:

„Wenn sich zwei Vermögen beim Durchschreiten irgendeines gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das bis zu keiner Stufe begrenzt ist, stetig gleichförmig durch deren gleichförmigen und stetigen Zuwachs von keiner Stufe des Vermögens aus bewegen, und das ein [Vermögen] in einem größeren Verhältnis stetig schneller anwächst, als es das Verhältnis ist, von dem das andere [Vermögen] stetig bewegt wird, [dann] wird das Vermögen, das stetig schneller anwächst, stetig um ein größeres Verhältnis schneller bewegt, als es das Verhältnis ist, von dem das kleinere [Vermögen] bewegt wird.“²⁶⁵

1. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A [wie] in dem Beispiel der conclusio stetig von einem vierdrittelfachen Verhältnis bewegt werden würde, und [wenn] das größere Vermögen B um das Doppelte schneller als das kleinere Vermögen A anwachsen würde, dann wird das größere Vermögen B schneller als das kleinere Vermögen A um ein größeres Verhältnis als ein vierdrittelfaches [Verhältnis] bewegt und dennoch um einem kleineres [Verhältnis] schneller als um ein doppeltes [Verhältnis].“²⁶⁶

2. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A in dem Beispiel der conclusio von irgendeinem superpartikularen Verhältnis bewegt werden würde, und das größere Vermögen B stetig [schneller] als das kleinere Vermögen A um ein dreifaches Verhältnis anwächst oder schneller um irgendein anderes [Verhältnis], das größer als ein dreifaches [Verhältnis] ist, dann wird das größere Vermögen B stetig schneller bewegt werden als das kleinere Vermögen A um ein größeres Verhältnis, als es irgendein superpartikulares Verhältnis ist, und um ein kleineres [Verhältnis], als es ein dreifaches [Verhältnis] ist.“²⁶⁷

4. conclusio:

„Wenn zwei Vermögen irgendein gleichförmig ungleichförmiges Medium, das bei keiner Stufe begrenzt ist, durchschreiten und sich stetig gleichförmig durch deren stetigen und gleichförmigen Zuwachs von keiner Stufe des Vermögens aus bewegen, [und wenn] das eine [Vermögen] um ein größeres Verhältnis stetig schneller anwächst, als es das Verhältnis ist, von dem das andere [Vermögen] stetig bewegt wird, aber dennoch um ein kleineres größeren Verhältnis, als es das ist, von dem das andere Vermögen bewegt wird, das stetig schneller anwächst, [dann] wird das andere [Vermögen] stetig schneller bewegt, [und zwar] dennoch um ein kleineres Verhältnis, als es das Verhältnis ist, von dem das andere [Vermögen] stetig bewegt wird.“²⁶⁸

1. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A von irgendeinem kleineren [Verhältnis] als einem rationalen vielfachen Verhältnis [wie] in dem Beispiel der conclusio bewegt wird, nämlich von irgendeinem superpartikularen oder suprapartienten Verhältnis, und [wenn] das größere Vermögen B schneller als das kleinere Vermögen A um irgendein vielfaches Verhältnis anwächst, dann wird das größere Vermögen B nicht schneller als das kleinere Vermögen A um das Verhältnis, von dem das kleinere Vermögen A bewegt wird, sondern um einem größeres oder kleineres [Verhältnis] gemäß dem Inhalt der dritten oder vierten conclusio.“²⁶⁹

2. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A von irgendeinem vielfachen Verhältnis bewegt wird, und das größere Vermögen B schneller als das Vermögen A um irgendein vielfach superpartikulares oder vielfach suprapartientes Verhältnis anwächst, dann wird das Vermögen B nicht schneller als das kleinere [Vermögen] A um das vielfache Verhältnis bewegt, von dem das kleinere Vermögen A bewegt wird.“²⁷⁰

3. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A von irgendeinem Verhältnis bewegt werden würde, das kein rationales vielfaches [Verhältnis], und das größere Vermögen B schneller als das kleinere [Vermögen] um irgendein vielfaches Verhältnis anwachsen würde, dann wird das größere Verhältnis B nicht schneller als das kleinere Verhältnis A um das Verhältnis bewegt, von dem das kleinere Vermögen A bewegt wird.“²⁷¹

4. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A von irgendeinem superpartikularen Verhältnis bewegt werden würde, und das größere Vermögen B schneller als das kleinere Vermögen A um irgendein superpartikulares Verhältnis anwächst, dann wird das größere Vermögen B nicht schneller als das kleinere Vermögen A um das superpartikulare Verhältnis bewegt, von dem das kleinere Vermögen A bewegt wird.“²⁷²

5. Korollar: „Es folgt fünftens, dass ein größeres Vermögen niemals schneller als ein kleineres [Vermögen] um ein vielfachen Verhältnis bewegt werden kann, von dem das kleinere [Vermögen] bewegt wird, außer das größere [Vermögen] wächst stetig schneller als das kleinere [Vermögen] um ein anderes vielfaches Verhältnis.“²⁷³

6. Korollar: „Wenn in dem Beispiel der vierten conclusio das kleinere Vermögen A stetig von irgendeinem vielfachen Verhältnis bewegt werden würde, und das größere Vermögen B schneller als das kleinere Vermögen A um irgendein vielfach superpartikulares oder vielfach suprapartientes Verhältnis bewegt wird, das zusammengesetzt ist aus dem vielfachen Verhältnis, von dem das kleinere [Vermögen] bewegt wird, und von einem superpartikularen oder suprapartienten (wie es notwendig ist), dann wird das größere Vermögen B schneller als das kleinere Vermögen A um ein kleineres Verhältnis bewegt, als es das Verhältnis ist, von dem das kleinere Vermögen A bewegt wird, und sogar um ein kleineres Verhältnis, als es das ist, in dem es schneller als das kleinere Vermögen A anwächst.“²⁷⁴ Es folgt ein Hinweis, dass hier weitere Korollare hinzugefügt werden können.

5. conclusio:

„Wenn zwei Vermögen beim Durchschreiten eines gleichförmig ungleichförmigen Mediums, das bis zu keiner Stufe begrenzt ist, sich stetig gleichförmig bewegen, und das eine stetig schneller um das Verhältnis anwächst, das das Verhältnis, von dem das andere [Vermögen] bewegt wird, um ein doppeltes Verhältnis übertrifft, wird das Vermögen, das stetig schneller anwächst, stetig um ein doppelten Verhältnis schneller als das kleinere Vermögen bewegt.“²⁷⁵

1. Korollar: „Wenn in dem Beispiel der conclusio das Vermögen A stetig von einem anderthalbfachen Verhältnis bewegt wird, und das größere Vermögen B um das Dreifache schneller als das kleinere Vermögen A anwächst, wird das Vermögen B stetig um das Doppelte schneller als das kleinere Vermögen A bewegt.“²⁷⁶

2. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A von einem doppelten Verhältnis bewegt wird, und das größere Vermögen B stetig um das Vierfache schneller anwächst, wird das Vermögen B stetig um das Doppelte schneller bewegt als das kleinere Vermögen A.“²⁷⁷

3. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A von einem vierfachen Verhältnis bewegt wird, und das größere Vermögen B um das Achtfache schneller anwächst, wird das größere Vermögen B stetig um das Doppelte schneller bewegt.“²⁷⁸

4. Korollar: „Wenn das kleinere Vermögen A stetig von einem vierdrittelfachen [Verhältnis] bewegt wird, und das größere Vermögen B stetig in einem achtsechstelfachen Verhältnis schneller anwächst, wird das größere Vermögen B stetig um das Doppelte schneller bewegt werden.“²⁷⁹

Kapitel 3.1.12

Das zwölfte Kapitel enthält zwei längere, untergliederte Einwände gegen die conclusiones der vorherigen Kapitel.

1. Einwand gegen die 2. conclusio des Kapitels 3.1.10:

1. ratio in Form einer sequela:

„Wenn jene conclusio wahr wäre, würde daraus folgen: Wenn es zwei gleiche Vermögen gibt, die stetig gleich bleiben und dasselbe Medium oder ein gleiches [Medium] durchschreiten, würde das eine von beiden [Vermögen] schneller bewegt werden als das andere [Vermögen].“²⁸⁰ Der Einwand zweifelt dies an mit dem Argument: „Bei gleichen Widerständen und gleichen Vermögen ist es zwingend, dass die Bewegungen gleich sind, wie es ausreichend fest steht. Denn dann werden die Verhältnisse gleich sein, aus denen die gleichen Bewegungen hervorgehen.“²⁸¹

1. responsio:

Die sequela wird angezweifelt. Argumentiert wird: „Denn zumindest für die Gleichheit der gleichförmig ungleichförmigen Widerstände (das ist bekannt) reicht die Gleichheit der intensio nicht aus, sondern auch die Gleichheit der extensiones wird gebraucht.“²⁸²

1. replica:

„Aber dagegen [kann gesagt werden]: Wenn die Lösung wahr wäre, nämlich, um wie viel [größer] derselbe gleichförmig ungleichförmige Widerstand in dem kleineren Medium ist, dass er so viel  mehr, aber nicht genau widerstehe, [dann] folgen würde, dass es durch die Berechnung der Dichte zu Stande kommen würde. Aber das ist falsch. Daher ist das keine Lösung.“²⁸³

2. responsio:

„Dennoch glaube ich, dass beim natürlichen Aussprechen bei dem dichteren Subjekt eine dichtere Akzidenz ist, wenn die übrigen gleich sind. Und wenn dir diese Lösung nicht gefallen sollte, so sage, dass ein größerer Widerstand in dem kleineren Medium als in dem größeren [Medium] auf Grund der minoritas des Mediums entsteht. Das bedeutet, dass dort stetig eine Bewegung mit kleinerer Geschwindigkeit geschieht. Das geht aus dem Teil der kleineren extensio des ähnlichen Widerstands zu dem [Widerstand] hervor, der in dem größeren Medium ist.“²⁸⁴

ratio gegen die 2. replica und die 2. responsio:

„Aber gegen die beiden Lösungen wird so argumentiert: Wenn das wahr wäre, dass in dem dargelegten Beispiel dasselbe Vermögen oder ein ihm gleiches [Vermögen] durch einen Widerstand mit einer ähnlichen intensio im größeren Medium stetig schneller bewegt wird als im kleineren [Medium], dann würde folgen, dass es möglich wäre, dass dasselbe Vermögen das doppelte Medium gleich schnell durchschreiten würde wie ein durch 2 geteiltes Medium, durch das es langsamer bewegt wird, solange diese Media ganz und gar auf dieselbe Weise durch denselben gleichförmig ungleichförmigen Widerstand qualifiziert sind.“²⁸⁵

3. responsio gegen die 3. ratio:

„Ich antworte, indem ich die sequela verneine. Und zu dem Beweis sage ich, dass, obwohl es immer in dem kleineren qualifizierten Medium, während die übrigen gleich bleiben, ein ähnlicher gleichförmig ungleichförmiger Widerstand ist, dasselbe oder ein ähnliches Vermögen langsamer bewegt werden würde, aber nicht langsamer in dem Verhältnis, durch das [das Medium] kleiner ist, vielmehr um ein kleineres [Verhältnis] langsamer. Daher wird dasselbe Vermögen immer schneller das kleinere Medium durchschreiten als das größere [Medium], solange solche Media qualifiziert sind durch dieselbe oder eine ähnliche, gleichförmig ungleichförmige Qualität. Das ist so offensichtlich: Denn das Vermögen A kann nicht gleich schnell das größere Medium wie [das Vermögen] B das kleinere Medium durchschreiten – das ist eben bewiesen worden – und [auch] nicht schneller, weil dann A von einem kleineren Verhältnis bewegt würde als B, und folgerichtig langsamer. Das ist gegen die Anfangslösung.“²⁸⁶

4. ratio gegen die 3. responsio:

„Aber dagegen [kann gesprochen werden], weil dann diese conclusio folgen würde, dass unendliche Vermögen angegeben werden könnten, die A gleiche Vermögen sind und zugleich mit dem Vermögen A beginnen würden, durch dieselben qualifizierten Media bewegt zu werden oder eine ähnliche gleichförmig ungleichförmige Qualität haben. Und eins von ihnen würde stetig bis ins Unendliche langsamer bewegt werden als A. Und dennoch wird ein beliebiges der anderen Vermögen sein Medium schneller durchschreiten als A. Aber der Nachsatz erscheint unmöglich. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“²⁸⁷

4. responsio:

Der vierten obiectatio wird zugestimmt. Dem werden vier Korollare angeschlossen:

1. Korollar: „Wo auch immer es unendliche Vermögen gibt, wie es in dem Fall der letzten replica dargelegt wird, ist es notwendig, dass das Vermögen, das in dem größten jener Media bewegt wird, an dem Punkt vorbei geht, zu dem der höchste Punkt jenes Mediums ein Verhältnis hat, das ähnlich zu dem Verhältnis ist, von dem das Vermögen früher bewegt wird, als dass irgendeines der anderen gleichen Vermögen zu dem Extremum seines Mediums gelangt.“²⁸⁸

2. Korollar: „Wenn es zwei ungleiche Media gebe, durch die dieselbe latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands von keiner Stufe bis zur achten ausgedehnt wird, und die zwei Vermögen durch jene Media von keiner Stufe des Widerstands aus bewegt zu werden beginnen würden, und jene Vermögen stetig anwachsen, indem sie gleichförmig von keiner Stufe des Vermögens beginnen, und dennoch das [Vermögen], das in dem kleineren Medium bewegt wird, um das Verhältnis schneller als das andere [Vermögen] anwächst, das in dem größeren Medium bewegt wird, [und zwar um das] Verhältnis, um das das größere Medium das kleinere [Medium] übertrifft, dann werden jene Vermögen ganz und gar stetig gleichförmig und gleich schnell bewegt.“²⁸⁹

3. Korollar: „Wenn es zwei ungleich Media gebe, die mit demselben oder einem ähnlichen gleichförmig ungleichförmigen Widerstand qualifiziert sind, der bis zu keiner Stufe begrenzt ist, und zwei nicht veränderte Vermögen beginnen würden, zu demselben Zeitpunkt durch die Media bewegt werden, und das Verhältnis des Vermögens, das sich in dem kleineren Medium bewegt, zu dem anderen Vermögen so ist, wie das Verhältnis des größeren Mediums zu dem kleineren Medium ist, dann werden solche Vermögen stetig gleich schnell bewegt.“²⁹⁰

4. Korollar: „Es folgt viertens, dass ein gleichförmig ungleichförmiges Medium angebbar ist, das im Widerstand bei keiner Stufe begrenzt ist. Und ein Vermögen, das von keiner Stufe des Vermögens stetig gleichförmig anwächst, kann nicht das [Medium] durch stetig gleichförmiges Bewegen von seiner Bewegung absolvieren, indem es vom verminderteren Extremum beginnt.“²⁹¹

documentum: „Und daraus erhältst du das bemerkenswerte Dokument, dass die vorher genannten conclusiones der zwei vorhergehenden Kapitel [so] verstanden werden, weil die Vermögen in einem gleichförmig ungleichförmigen Medium stetig bewegt werden, das vollendet quadratisch ist oder vierseitig mit einer stetig gleichförmigen latitudo oder profunditas. Du erforschst aber, ob beide solcher Media werden benötigt, um die vorher genannten conclusiones zu verifizieren, damit die Vermögen mit keinen anderen Media gemäß dem Lauf der vorher genannten conclusiones bewegt werden können als mit jenen.“²⁹²

2. Einwand gegen das 3. Korollar des Kapitels 3.1.10:

ratio:

„Das Vermögen B in dem Beispiel jenes Korollars wird irgendwann gleichförmig bewegt unter der Bedingung, dass die Bewegung ständig aufrecht erhalten wird. Daher erhöht es nicht stetig seine Bewegung. Und folgerichtig ist der Korollar falsch.“²⁹³

responsio:

Die obiectatio wird angezweifelt: „Denn es ist möglich, dass eine Stufe der Bewegung immer über eine unbegrenzte Zeit erworben werden kann. Das bedeutet, dass das eine Bewegliche stetig über eine unbegrenzte Zeit hinweg seine Bewegung erhöht. Und es erwirbt niemals eine Stufe der Bewegung, durch die es von einer schnelleren Bewegung ausgedehnt wird, sondern in einem gültigen Sinn [durch] eine beliebige Bewegungen innerhalb, [und zwar] wie wenn es in der ersten Stunde jener unbegrenzten Zeit den ersten verhältnismäßigen Teil einer Stufe erwirbt, und in der zweiten [Stunde] den zweiten [Teil] und in der dritten [Stunde] den dritten [Teil] und folgerichtig so weiter.“²⁹⁴

1. Korollar: „Das Vermögen A könnte bis ins Unendliche langsam seine Bewegung erhöhen. Und es gelte, das seine Bewegung ständig andauert.“²⁹⁵

2. Korollar: „Zweitens folgt, dass das Vermögen A, das stetig gleichförmig bewegt wird, kein größeres vorausgehendes Vermögen erreichen kann, das gleich schnell und stetig gleichförmig erhöht wird so wie das Vermögen A, von dem es nämlich eine Erwähnung im zweiten Korollar der fünften vorher aufgeführten conclusio gibt.“²⁹⁶

3. Korollar: „Es folgt drittens, dass jenes größere, vorhergehende Vermögen stetig langsamer seine Bewegung vermindert. Und wenn es ständig durch ein solches Medium bewegt werden würde, würde es bis ins Unendliche langsam seine Bewegung vermindern.“²⁹⁷

4. Korollar: „Es folgt viertens, dass diese Schlussfolgerung nichts gilt: A ist bis ins Unendliche angemessen von irgendeinem dieser Vermögen entfernt. Und A wird durch ein beliebiges dieser Vermögen stetig schneller gegen denselben Unterschied bewegt. Also folgt, dass A einmal irgendeines jener Vermögen berührt. Und es gelte, dass seine Bewegung ständig andauere.“²⁹⁸

5. Korollar: „Um zu argumentieren, dass das Vermögen A, das sich stetig schneller bewegt, das vorangehende Vermögen B berührt, das sich dennoch langsamer bewegt, ist es notwendig, dass so argumentiert wird: Das Vermögen A wird in einem fest stehenden Verhältnis genau oder ungenau stetig schneller bewegt als das vorhergehende Vermögen B. Daher berührt das Vermögen A schließlich das Vermögen B (es gelte, dass die Bewegung ständig andauere).“²⁹⁹ Es folgt der Hinweis, dass hier weitere Korollare zugefügt werden könnten.

Kapitel 3.1.13

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Geschwindigkeit einer Bewegung in Hinblick auf deren Ursache in einem medium, das keinen Widerstand erzeugt, und in media, deren Widerstand progressiv zu- oder abnimmt. Es beinhaltet fünf suppositiones und fünf conclusiones mit Korollaren.

Die fünf suppositiones:

1. suppositio:

„Der Widerstand in dem Vorschlag wird für eine gewisse Qualität erfasst, die von ihrem Subjekt unterschieden wurde, indem dazu aufgezeichnet wird, dass er entstanden ist, die Geschwindigkeit einer Bewegung zu behindern, damit das Bewegliche nicht so schnell den Raum, in dem es ist, durchschreitet wie es ihn durchschreiten würde, wenn es es nicht wäre. Und [so] ich spreche über den Widerstand einer lokalen Bewegung.“³⁰⁰

2. suppositio:

„Unter dem Medium, das nicht widersteht, muss bei dem Vorschlag der Raum verstanden werden, der geteilt wird von einer solchen Qualität. Das bedeutet, dass es den Widerstand entbehrt, ganz wie die Leere, die die alten Philosophierenden darlegten.“³⁰¹

3. suppositio:

„Die Qualität, die teilweise zu irgendeinem Subjekt erworben wird, kann dreifach erworben werden; auf eine Weise teils nur gemäß einer intensio; auf eine zweite Weise teils gemäß der intensio und der extensio zugleich; und auf die dritte Weise teils entweder gemäß der extensio allein oder gemäß dem Subjekt allein. (Das ist dasselbe in dem Vorschlag.)“³⁰²

4. suppositio:

„Die latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands kann auf dreifache Weise vorgerückt werden oder ausgedehnt werden, während sie gleichförmig ungleichförmig bleibt unter derselben intensio in einem Medium, das nicht widersteht. Auf eine Weise ruht es das erhöhtere Extremum oder ist bei keiner Stufe, während die übrigen Punkte sich bewegen. Auf die zweite Weise ruht das erhöhtere Extremum, während die übrigen Punkte sich bewegen. Auf die dritte Weise ruht keines der beiden Extreme im gesamten [Medium]. Aber die latitudo des Widerstands bewegt sich von einer Seite zu der Seite oder ein Teil des Extremum bewegt sich. Und das andere [Extremum] ruht. Und so kann sich eine solche progressio des Widerstands auf tausend andere Weisen vorgestellt werden.“³⁰³ Die ersten beiden Möglichkeiten sind in diesem Kapitel laut Alvarus Thomas nicht relevant.

5. suppositio:

„Wenn eine latitudo des Widerstands gleichförmig ungleichförmig bleibt und sich so bewegt, wie gesagt worden ist, ist es notwendig, das die Punkte, die dem ruhenden Extremum näher sind, langsamer bewegt werden.“³⁰⁴ Dazu fügt er hinzu, dass die Punkte immer auf der kürzesten Linie zwischen den Extrema liegen.

Die fünf conclusiones:

1. conclusio:

„Ein Medium sei gegeben, das nicht widersteht, und von seinem Extremum beginne eine latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands teilweise vorzurücken, während das andere der Extrema, entweder das erhöhtere [Extremum] oder das verminderte [Extremum] ruht, wie in der dritten suppositio erklärt worden ist. Diese latitudo bleibt stetig gleichförmig ungleichförmig ausgedehnt. Jede Stufe von ihr bewegt sich stetig gleichförmig. Wenn irgendein Bewegliches irgendwann einmal mit einem solchen Widerstand gleichförmig bewegt wird, ist es in der Zeit stetig bei demselben Punkt jenes Widerstands, solange das Bewegliche nicht verändert wird und auch nicht der Widerstand gemäß der intensio oder remissio.“³⁰⁵

1. Korollar: „Sobald bei einem solchen Widerstand, der so voranrückt, wie gesagt worden ist, irgendein Bewegliches, das nicht verändert wird, irgendwann einmal gleichförmig bewegt wird, [dann] wird es danach stetig gleichförmig bewegt.“³⁰⁶

2. Korollar: „Sobald in dem Medium, das nicht widersteht, eine progressio oder eine extensio der latitudo des gleichförmig ungleichförmigen Widerstands ist, während das andere der Extrema ruht und ein beliebigen Punkt sich stetig ungleichförmig bewegt, wird ein fortschreitendes Vermögen mit einem solchen Widerstand niemals stetig gleichförmig bewegt.“³⁰⁷

2. conclusio:

„Sobald in einem Medium, das nicht widersteht, eine progressio einer gleichförmig ungleichförmigen latitudo geschieht, die an beiden Seiten bei einer Stufe begrenzt ist, das erhöhtere Extremum ruht, das vermindertere [Extremum] sich schneller bewegt, als das Vermögen zum Bewegen mit ihm braucht, und ein beliebiger innen liegender Punkt sich gleichförmig bewegt, kann das Vermögen, das zugleich von demselben Punkt mit einem solchen Widerstand bewegt zu werden beginnt, nicht auf verschiedene Weise bewegt werden. Das bedeutet, sich irgendwann zu erhöhen und irgendwann zu vermindern, oder sich zu erhöhen und sich irgendwann gleichförmig zu bewegen, oder sich irgendwann zu vermindern und sich irgendwann gleichförmig zu bewegen.“³⁰⁸

1. Korollar: „Sobald die latitudo eines Widerstands und so weiter fortschreitet, wie in der conclusio dargelegt wird, und ein Vermögen oder ein Bewegliches von demselben Punkt zu demselben Zeitpunkt mit einem solchen Widerstand bewegt zu werden beginnt, [dann] ist es notwendig, dass ein solches Bewegliches stetig gleichförmig bewegt wird oder dass es stetig seine Bewegung erhöht oder stetig vermindert.“³⁰⁹

2. Korollar: „Sobald in dem Medium, das nicht widersteht, eine progressio einer ungleichförmigen latitudo geschieht, von der kein Teil gleichförmig ist, und von der alle Teile, die unmittelbar gemäß der extensio sind, unmittelbar gemäß der intensio sind, und [die Teile] auf beiden Seiten bei einer Stufe begrenzt sind, das erhöhtere Extremum ruht, und das vermindertere [Extremum] sich stetig schneller bewegt, als das gegebene Vermögen mit ihm bewegt zu werden ausreicht, und jeder Punkt von ihm, der innen liegt, sich stetig gleichförmig bewegt, [dann] kann ein solches Vermögen, das zugleich von einem Punkt bewegt zu werden beginnt, von dem eine solche latitudo fortzuschreiten beginnt, nicht auf verschiedene Weisen bewegt werden, nämlich sich irgendwann zu erhöhen und sich irgendwann zu vermindern, oder sich irgendwann zu erhöhen und sich irgendwann gleichförmig zu bewegen und so weiter.“³¹⁰

3. conclusio:

„Sobald in einem Medium, das nicht widersteht, eine progressio oder eine extensio der latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands geschieht, der bei beiden Extrema bei einer Stufe begrenzt wird, ein beliebiger innen liegender Punkt sich stetig gleichförmig bewegt, das erhöhtere Extremum ruht, und das vermindertere [Extremum] sich schneller bewegt, als ein Bewegliches, das in einem solchen Widerstand bewegt wird, mit ihm bewegt zu werden ausreicht, [dann] wird ein solches Bewegliches, das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu dem erhöhteren Extremum hat und von demselben Punkt mit einem solchen Widerstand bewegt zu werden beginnt, stetig gleichförmig bewegt.“³¹¹

Korollar: „Sobald in einem Medium, das nicht widersteht, eine progressio oder eine extensio der latitudo eines ungleichförmigen Widerstands geschieht, von dem kein Teil gleichförmig ist, und von dem alle Teile, die unmittelbar gemäß der extensio sind, unmittelbar gemäß der intensio bei einer Stufe begrenzt sind, ein beliebiger innen liegender Punkt sich stetig gleichförmig bewegt, das erhöhtere Extremum ruht und das vermindertere [Extremum] sich stetig schneller bewegt als das Bewegliche, das in einem solchen Widerstand bewegt wird, mit ihm bewegt zu werden ausreicht, [dann] wird ein solches Bewegliches, das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu dem erhöhteren Extremum hat und zugleich von demselben Punkt vorzurücken oder bewegt zu werden beginnt mit einem solchen Widerstand, stetig gleichförmig bewegt.“³¹²

4. conclusio:

„Sobald in einem Medium, das nicht widersteht, eine progressio oder eine extensio der latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen [Widerstands] geschieht, der bei einer Stufe begrenzt ist, ein beliebiger innen liegender Punkt stetig seine Bewegung erhöht, das erhöhtere Extremum ruht und das vermindertere [Extremum] sich stetig schneller bewegt, als ein Bewegliches, das in einem solchen Widerstand bewegt wird, mit ihm bewegt zu werden ausreicht, [dann] vermindert ein solches Bewegliches, das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu dem erhöhteren Extremum hat und sogleich von demselben Punkt mit einem solchen Widerstand fortzurücken oder bewegt zu werden beginnt, stetig seine Bewegung.“³¹³

1. Korollar: „Wenn der Widerstand ununterbrochen so fortschreitet, wie in der conclusio gesagt wird, und das Vermögen ununterbrochen andauere und nicht mit Gewalt von dem Widerstand abgelegt werden würde, würde das Vermögen ununterbrochen dort seine Bewegung vermindern, und nach der Aufstellung eines fest stehenden Verhältnisses würde dieses stetig von einem größeren [Verhältnis] als jenem bewegt werden.“³¹⁴

2. Korollar: „Und übergehe nicht, dass dasselbe über den ungleichförmigen Widerstand gesagt werden kann, von dem kein Teil gleichförmig ist und von dem alle Teile, die unmittelbar gemäß der extensio sind, unmittelbar gemäß der intensio und auf beiden Seiten bei einer Stufe begrenzt sind. Das wurde über den gleichförmig ungleichförmigen Widerstand, der von beiden Extrema bei einer Stufe begrenzt ist, in dieser conclusio und seinem Korollar gesagt.“³¹⁵

5. conclusio:

„Sobald in einem Medium, das nicht widersteht, eine progressio ist oder eine extensio eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands geschieht, der bei beiden Extrema bei einer Stufe begrenzt wird, ein beliebiger innen liegender Punkt davon stetig seine Bewegung vermindert, das erhöhtere Extremum ruht, und das vermindertere [Extremum] aber anfängt schneller bewegt zu werden, als das Bewegliche, das in einem solchen Widerstand bewegt wird, mit ihm bewegt zu werden ausreicht, [dann] erhöht ein solches Bewegliches, das ein Verhältnis größerer Ungleichheit zu dem erhöhteren Extremum hat und zugleich mit einem solchen Widerstand von demselben Punkt fortzurücken oder bewegt zu werden anfängt, seine Bewegung.“³¹⁶

1. Korollar: „Sobald in einem Medium, das nicht widersteht, eine progressio oder eine extensio der latitudo eines gleichförmigen ungleichförmigen Widerstands ist, der bei beiden Extrema bei einer Stufe begrenzt ist, ein beliebiger innen liegender Punkt davon stetig seine Bewegung vermindert, das erhöhtere Extremum ruht und das verminderte [Extremum] beginnt, schneller bewegt zu werden, als das Bewegliche, das in einem solchen Widerstand bewegt wird, mit ihm sich zu bewegen ausreicht, und das vermindertere Extremum seine Bewegung bis zu keiner Stufe vermindert entweder bis zu der Bewegung, die von dem Verhältnis herstammt, von dem ein solches Bewegliches, das seine Bewegung inklusive erhöht oder bis zu einem kleineren [Punkt], bewegt zu werden anfängt, [dann] wird schließlich das Bewegliche, das von demselben Punkt mit einem solchen Widerstand vorzurücken beginnt, zu dem vermindertsten Extremum derselben latitudo gelangen, solange das Bewegliche stetig bewegt werden würde, bis es den Widerstand trifft.“³¹⁷

2. Korollar: „Dasselbe kann über den ungleichförmigen Widerstand gesagt werden, von dem kein Teil gleichförmig ist, und von dem alle Teile, die unmittelbar gemäß der extensio sind, unmittelbar gemäß der intensio sind, und die auf beiden Seiten bei einer Stufe begrenzt sind. Das wurde über den gleichförmig ungleichförmigen Widerstand und so weiter [bereits] in dieser conclusio und seinem Korollar gesagt.“³¹⁸

3. Korollar: „Aus allen diesen conclusiones folgt drittens: Obwohl das so ist wie in den conclusiones dargelegt, wenn das Vermögen und eine solche latitudo des Widerstands zugleich von demselben Punkt zu demselben Zeitpunkt über dieselbe Linie gegen denselben Punkt vorrücken oder bewegt zu werden beginnen, [gilt] es dennoch nicht, wenn das Vermögen bewegt zu werden beginnen würde, wenn die latitudo schon bewegt wird.“³¹⁹

Kapitel 3.1.14

Im vorletzten Kapitel dieses Traktats werden conclusiones zur Geschwindigkeit einer Bewegung in einem medium aufgestellt, in dem der Widerstand zu- beziehungsweise abnimmt. Das Kapitel besteht aus vier suppositiones und sechs conclusiones.

Die suppositiones

1. suppositio:

„Die latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands, der bei keiner Stufe begrenzt ist, bewegt sich stetig [in einem] oder rückt über ein Medium vor, das nicht widersteht. Er selbst bleibt stetig gleichförmig ungleichförmig und ruht stetig bei keiner Stufe von ihm. Ein beliebiger innen liegender Punkt von ihm wird stetig schneller als ein beliebiger anderer verminderterer [Punkt] bewegt, [und zwar] in dem Verhältnis, in dem er erhöhter als [der andere] selbst ist.“³²⁰

2. suppositio:

„Die latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands, der auf beiden Seiten bei einer Stufe begrenzt ist, bewegt sich stetig [in einem] oder rückt über ein Medium vor, das nicht widersteht. Er bleibt stetig gleichförmig ungleichförmig. Und das vermindertere Extremum von ihm ruht. [Dann] wird ein beliebiger innen liegender Punkt stetig schneller als ein beliebiger anderer innen liegender verminderterer [Punkt] in einem größeren Verhältnis bewegt, als es das Verhältnis ist, in dem er erhöhter als der [andere] selbst ist.“³²¹

3. suppositio:

„Wann auch immer irgendwelche Vermögen, die stetig ungleich bewegt werden, zu demselben Zeitpunkt bewegt zu werden beginnen, so dass sie gleich schnell und zu demselben Zeitpunkt zwei solche Bewegliche berühren, die den Vermögen vorausgehen, diese Bewegliche auch stetig bewegt werden, wobei sich ihre Vermögen vermindern, und am Anfang der Bewegung das Vermögen, das schneller bewegt wird, von dem Beweglichen entfernt ist, dem es folgt, [und zwar] mehr als das übrigbleibende [Vermögen], das langsamer bewegt wird, von seinem [Beweglichen] um das Verhältnis, um das es stetig schneller bewegt wird, [dann] ist es notwendig, wenn beide Vermögen gleich schnell ihr Bewegliches berühren sollen, dass um das Verhältnis, um das das schnellere Vermögen schneller als das langsamere Vermögen bewegt wird, [dass] in diesem Verhältnis das Bewegliche, das von dem langsameren Vermögen berührt werden muss, langsamer als das Bewegliche bewegt wird, das von dem schnelleren Vermögen berührt werden muss.“³²²

Korollar: „Wenn das Bewegliche, das von dem Vermögen berührt werden muss und langsamer bewegt wird, in einem größeren Verhältnis langsamer als das andere [Vermögen] bewegt wird, als es das Verhältnis der Abstände ist, dann wird es schneller von seinem Vermögen berührt werden. Und wenn es schneller [ist], wird es langsamer berührt.“³²³

4. suppositio:

„Die latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands bewegt sich auf die genannte Weise durch das Medium, das nicht widersteht. Das Vermögen, das mit einem solchen Widerstand bewegt wird, wird niemals an dem Teil oder dem Punkt des Widerstands vorbeigehen, der schneller bewegt wird, als das Vermögen mit ihm bewegt zu werden ausreicht. [Dann] wird der Punkt, der langsamer bewegt wird, als das Vermögen mit ihm bewegt zu werden ausreicht, niemals dem Vermögen vorausgehen, und auch nicht der Punkt, der so schnell bewegt wird, wie das Vermögen mit ihm bewegt zu werden ausreicht, wird an dem Vermögen vorbeigehen, oder es wird von ihm passiert.“³²⁴

Die conclusiones

1. conclusio:

„Wenn in einem Medium, das nicht widersteht, eine latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands voranrückt, der von keiner Stufe bis zu einer fest stehenden Stufe [begrenzt ist], sie bei keiner Stufe ruht, und ein beliebiger Punkt von ihm stetig gleichförmig bewegt wird, [dann] wird das Vermögen, das zugleich mit einem solchen Widerstand bewegt zu werden anfängt, stetig gleichförmig bewegt, solange das erhöhtere Extremum eines solchen Widerstands stetig schneller bewegt wird, als ein solches Vermögen mit ihm sich zu bewegen ausreicht, oder gleich [bewegt wird].“³²⁵

2. conclusio:

„Eine latitudo schreitet gleichförmig ungleichförmig so voran (wie gesagt worden ist) über ein Medium, das nicht widersteht. Ein beliebiger innen liegender Punkt erhöht stetig seine Bewegung. Das vermindertere Extremum ruht oder ist bei keiner Stufe. Das erhöhtere Extremum bewegt sich stetig schneller, als das Vermögen, das mit einem solchen Widerstand bewegt wird, mit ihm bewegt zu werden ausreicht. Ein solches Vermögen, das von demselben Punkt und zu demselben Zeitpunkt mit einem solchen Widerstand bewegt zu werden beginnt, erhöht stetig seine Bewegung, solange es mit einem solchen Widerstand auf der Stelle bewegt wird.“³²⁶

3. conclusio:

„Eine latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands und so weiter schreitet voran, wie gesagt worden ist und sie ruht bei keiner Stufe oder das verminderteren Extremum ruht. Ein beliebiger innen liegender Punkt vermindert stetig seine Bewegung. Das erhöhtere Extremum beginnt schneller bewegt zu werden, als das Vermögen, das mit einem solchen Widerstand bewegt wird, bei ihm bewegt zu werden ausreicht. [Dann gilt:] Ein solches Vermögen beginnt stetig mit einem solchen Widerstand zu demselben Zeitpunkt von demselben Punkt aus bewegt zu werden und vermindert seine Bewegung, solange es mit einem solchen Widerstand auf der Stelle bewegt wird.“³²⁷

4. conclusio:

„Sobald irgendwann in einem Medium, das nicht widersteht, eine progressio der latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands teilweise gemäß dem Subjekt auf die dargestellte Weise geschieht, ein beliebiger innen liegender Punkt von ihm stetig gleichförmig seine Bewegung aus erhöht, sie bei keiner Stufe oder bei dem verminderteren Extremum ruht, beginnt zugleich ein Vermögen zu demselben Zeitpunkt und von demselben Punkt mit einem solchen Widerstand aus bewegt zu werden, und es erhöht stetig seine Bewegung. Und wenn statt irgendeines Zeitpunkts, an dem es seine Bewegung bis zu irgendeinem Punkt erhöht – das bedeutet es an irgendeinem Punkt ist – es auf den Punkt gestellt werden würde, der von jenem Widerstand weniger widersteht, [dann] würde es seine Bewegung langsamer erhöhen.“³²⁸

5. conclusio:

„Ein Vermögen sei gegeben, das seine Bewegung auf die genannte Weise in Bezug zu irgendeiner Stufe des Widerstands in der latitudo erhöht, die – wie wir sagten – bewegt worden ist. Jedes größere Vermögen, das bei demselben Punkt seine Bewegung erhöhen würde, würde langsamer bewegt werden. Und jedes kleinere [Vermögen würde] schneller [bewegt werden]. Das ist die siebente [conclusio] des Kalkulators, die ich so zuerst gemäß dem ersten Teil beweise: Wenn irgendein Vermögen gegeben ist, das bei irgendeiner Stufe seine Bewegung durch den Erwerb eines kleineren Widerstands erhöht, erwirbt jedes größere [Vermögen], das bei demselben Punkt langsamer seine Bewegung erhöht, stetig einen kleineren Widerstand. Daher würde jedes größere [Vermögen] dort langsamer seine Bewegung erhöhen.“³²⁹ Dies ist laut Alvarus Thomas die siebente conclusio von Richard Swineshead.

1. Korollar: „Wenn die latitudo so bewegt wird, wie gesagt worden ist, und irgendeine Stufe von ihm gegeben sei, wird ein Vermögen gegeben, das ausreicht, dort so langsam seine Bewegung zu erhöhen, dass sich kein anderes [Vermögen] so langsam in dem fest stehenden Beispiel erhöhen kann, wenn die latitudo so bewegt wurde.“³³⁰

2. Korollar: „Nachdem eine latitudo so bewegt wurde, wie in der vierten conclusio gesagt worden ist, und ein beliebiger Punkt einer solchen latitudo, die so bewegt wurde, gekennzeichnet ist, wird ein Vermögen gegeben werden, das in ihm irgendwie aufgestellt wurde und schnell seine Bewegung erhöht. Und kein [Vermögen], das ihm gleich ist, reicht aus, so schnell seine Bewegung zu erhöhen, wenn es auf den Punkt zu demselben Zeitpunkt aufgestellt ist.“³³¹

3. Korollar: „Wenn eine latitudo so bewegt wurde, wie in der conclusio gesagt worden ist, ein beliebiger Punkt des Widerstands gegeben ist, sind unendliche Vermögen angebbar, die zu demselben Zeitpunkt auf den Punkt gestellt sind und stetig ihre Bewegung erhöhen würden. Und unter ihnen ist ein [Vermögen] angebbar, das so langsam beginnt, seine Bewegung zu erhöhen, dass kein [anderes Vermögen] langsamer [ist]. Und es wird ein [Vermögen] gegeben, das so schnell [ist], dass kein [anderes Vermögen] schneller in der Lage ist, sich zu demselben Zeitpunkt beim Voranschreiten von demselben Punkt zu erhöhen.“³³²

4. Korollar: „Wenn eine latitudo so bewegt worden ist, wie in der fünften conclusio gesagt worden ist, und ein beliebiger Punkt von ihr zu einem beliebigen Zeitpunkt der Zeit gegeben ist, [dann] wird die kleinste Geschwindigkeit gegeben sein, die für ein fest stehendes Vermögen, das von einem solchen Punkt zu derselben Zeit bewegt zu werden beginnt, ausreicht, seine Bewegung zu erhöhen.“³³³

6. conclusio:

„Wenn zwei ungleiche Media gegeben sind, die nicht widerstehen, durch die zwei gleiche Widerstände oder [zwei] ungleichförmig gleichförmige erhöhte Widerstände ausgedehnt werden, [beide latitudines der Widerstände] bei keiner Stufe oder bei dem verminderteren Extremum ruhen, und ein beliebiger Punkt der latitudo, die über das größeres Medium ausgedehnt wird, um ein fest stehendes Verhältnis stetig schneller bewegt werden würde als ein mit ihm in Verbindung stehender Punkt in dem kleineren Medium, [dann] wird das Vermögen, das in das größere Medium gestellt wurde, bei einem Punkt stetig schneller bewegt werden als ein ihm gleiches [Vermögen], das zu dem Punkt gestellt wird und mit ihm in dem kleineren Medium in Verbindung steht, und [zwar], solange solche Vermögen ihre Bewegungen erhöhen.“³³⁴

1. Korollar: „Wenn zwei gleiche latitudines eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands ungleich über ungleiche Teile der Media, die nicht widerstehen, ausgedehnt sind, und ein beliebiger Punkt des Widerstands, der in irgendeinem Verhältnis weniger ausgedehnt ist, beginnen würde, seine Bewegung gleichförmig und stetig schneller zu erhöhen als ein Punkt, der mit ihm in Verbindung in der latitudo steht, die mehr ausgedehnt ist, [dann] wird ein Vermögen, das auf irgendeinen Punkt in den Widerstand gestellt wird, der weniger ausgedehnt ist, mit dem es beginnt, seine Bewegung zu erhöhen, stetig schneller bewegt werden als ein gleiches Vermögen, das auf einen ähnlichen Punkt in der latitudo, die mehr ausgedehnt ist, gestellt wurde, solange es dort seine Bewegung erhöht.“³³⁵

2. Korollar: „Wenn zwei oder beliebig viele latitudines eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands ungleich ausgedehnt sind und einen gleichen Widerstand haben, ein beliebiger Punkt eines [bestimmten Widerstands] gleich schnell wie ein mit ihm in Verbindung stehender Punkt in dem anderen [Widerstand] bewegt werden würde, und zwar stetig gleichförmig, [dann] wird das Vermögen, das in einem kleineren Medium bewegt wird – das heißt, es ist in dem weniger ausgedehnten Widerstand – stetig langsamer bewegt als ein ihm gleiches Vermögen, das bei der latitudo bewegt wird, die mehr ausgedehnt ist, und zwar solange jene Vermögen von ähnlichen Punkten aus [bewegt zu werden] anfangen.“³³⁶

3. Korollar: „In dem Beispiel der conclusio wie auch [in denen] der Korollare erhöht ein Vermögen, das in dem größeren [Medium] bewegt wird, stetig schneller in einer beliebigen Zeit, die genau begrenzt ist, zum Anfangszeitpunkt der Bewegung seine Bewegung als ein [Vermögen] in einem kleineren [Medium].“³³⁷ Dieser Korollar richte sich laut Alvarus Thomas frei nach der zehnten conclusio von Richard Swineshead.

Kapitel 3.1.15

Das letzte Kapitel des ersten Traktats enthält vier Einwände gegen einige der suppositiones und conclusiones der letzten beiden Kapitel.

1. Einwand gegen die dritte suppositio aus Kapitel 3.1.13

1. ratio:

„Es ist nicht möglich, dass die latitudo des Widerstands allein teilweise gemäß dem Subjekt erworben werden kann, wie die suppositio aussagt. Daher ist sie falsch.“³³⁸ Als Begründung wird eine sequela angeführt: „Denn wenn es möglich wäre, würde daraus folgen, dass gleiche Geschwindigkeiten von ungleichen Verhältnissen stammen. Aber das ist falsch und gegen die Grundlage dieses ganzen Werks.“³³⁹ Und es wird folgendermaßen argumentiert: „Ein Vermögen, das mit einer gleichförmigen latitudo bewegt wird, wird ganz und gar gleich und stetig gleich schnell mit einem Vermögen bewegt, das mit einer ungleichförmig ungleichförmigen latitudo bewegt wird. Und solche Vermögen können nicht stetig von demselben Verhältnis bewegt werden, weil kein Punkt bei der ungleichförmig ungleichförmigen latitudo dem Widerstand genau in irgendeinem Punkt des gleichförmigen Widerstands gleich ist (Wenn ein beliebiger [Punkt] in dem gleichförmigen Widerstand wie 4 ist und in dem ungleichförmig ungleichförmigen [Widerstand] ein beliebiger [Punkt] wie 2 oder genau wie 6 ist). Daher stammen von ungleichen Verhältnissen gleiche Geschwindigkeiten her. Was zu beweisen war.“³⁴⁰

responsio von Alvarus Thomas:

Alvarus Thomas verneint die ratio, deren Beweis er nur teilweise zustimmt. Daher stellt er eine Regel auf:

regula: „Wo auch immer irgendein Vermögen mit irgendeinem ungleichförmigen Widerstand bewegt wird, und es in dem Teil des Widerstands ist, der langsamer bewegt wird, als es für das Vermögen genau mit ihm bewegt zu werden ausreicht, und der Teil, der unmittelbar folgt, schneller bewegt wird, als es für das Vermögen ausreicht, mit ihm bewegt zu werden, oder auch gleich schnell, dann widersteht ein solcher Widerstand dem Vermögen genau so, wie ein Widerstand widerstehen würde, zu dem das Vermögen genau ein solches Verhältnis hat, wie in dem solcherart der Widerstand bewegt wird, dem das Vermögen stetig am nächsten ist. Und daher würde dann ein solcher Widerstand dem anderen [Teil des Widerstands] gleichkommen, zu dem das Vermögen ein solches Verhältnis hat.“³⁴¹

responsio zur Regel:

Ein möglicher Einwand wird aufgezählt und ausgeräumt.³⁴²

replica in From einer sequela:

„Wenn diese Lösung gültig wäre, würde folgen, dass dasselbe Vermögen, das nicht verändert wird, genau gleich schnell mit dem größeren Widerstand wie mit dem kleineren [Widerstand] bewegt wird. Aber das scheint unmöglich. Daher [ist es auch] das, woraus er folgt.“³⁴³

responsio zur replica:

Alvarus Thomas stimmt der replica zu, „solange ein solches Vermögen nicht von einem Verhältnis bewegt wird, das es formal zu einem solchen Widerstand hat, sondern von einem Verhältnis, das sich zu ihm gleichwertig verhält.“³⁴⁴

1. Korollar: „Auch wenn die zweite Hälfte bis ins Unendliche erhöht werden würde, und die erste [Hälfte] bis ins Unendliche vermindert werden würde, wird dennoch das Vermögen immer gleichförmig bewegt.“³⁴⁵

2. Korollar: „Wo auch immer irgendein ungleichförmig ungleichförmiger Widerstand, von dem es zwei Hälften gibt, und jede der beiden [Hälften] gleichförmig bleibt, von nichts aus in einem Medium, das nicht widersteht, voranzuschreiten beginnt, ein beliebiger innen liegender Punkt davon sich stetig gleichförmig bewegt, [dann] wird jedes Vermögen, das zugleich mit ihm bewegt zu werden beginnt, stetig gleichförmig bewegt.“³⁴⁶

3. Korollar: „Wo auch immer es irgendeine latitudo eines ungleichförmig ungleichförmigen Widerstands [gibt], von dem viele Teile gleichförmig sind und keiner gemäß sich ungleichförmig ist, und ein beliebiger [Teil] davon von nichts [ausgehend] teilweise über ein Medium, das nicht widersteht, voranzuschreiten beginnt, während ein beliebiger innen liegender Punkt stetig gleichförmig bewegt wird, [dann] wird jedes Vermögen, das mit einem solchen Widerstand von demselben Punkt bewegt zu werden beginnt, stetig gleichförmig bewegt werden.“³⁴⁷

4. Korollar: „Sobald ein Vermögen bewegt wird, wie es in dem Beispiel des vorhergehenden Korollars dargestellt wird, ist es stetig bei demselben Punkt.“³⁴⁸

5. Korollar: „Wenn in einem Medium, das nicht widersteht, von nichts aus eine latitudo des Widerstands voranschreitet, die sich so verhält, dass durch das doppelte Verhältnis eines beliebigen verhältnismäßigen Teils von ihr bei Begrenzung der kleineren [Extrema] gegen einen ruhenden Punkt die erste Hälfte dem Vermögen widersteht so wie 8, dass ein beliebiger Punkt von ihr langsamer bewegt wird, als das Vermögen genau ausreicht, mit ihm bewegt zu werden, und die zweite Hälfte demselben Vermögen so widersteht, dass ein beliebiger Punkt von ihm schneller bewegt wird, als das Vermögen ausreicht, mit ihm bewegt zu werden, [dann] wird ein solches Vermögen, das zu demselben Zeitpunkt mit dem Widerstand von demselben Punkt aus voranrückt, stetig mit einem solchen Widerstand gleichförmig bewegt.“³⁴⁹

6. Korollar: Alvarus Thomas stellt folgende regula auf: „Wo auch immer ein natürliches Vermögen aus sich heraus ganz und gar unveränderlich in Bezug auf vieles andere ist und nicht alles zugleich sein kann, bestimmt die erste Ursache aller natürlichen Sachen, von der der Himmel und die gesamte Natur abhängen, (wie der Philosoph im zwölften [Buch] der Metaphysik aussagt,) das Vermögen in Bezug auf ein anderes [Vermögen] von ihnen nach seinem Willen, und zwar nach der Ordnung der Natur und sie bewirkt [alles] durch ihren allgemeinen Lauf als Werkmeister aller Sachen.“³⁵⁰ Dieser Lösungansatz des Problems wird von Alvarus Thomas als der in Paris vorangige Lösungansatz bezeichnet.³⁵¹

Einwand, der sich erneut gegen die dritte suppositio des Kapitels 3.1.13 richtet

ratio in Form einer sequela:

„Wenn eine latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands teilweise gemäß dem Subjekt so nur voranrückt, wie es in der ersten suppositio gesagt wird, würde folgen, dass [der Widerstand] immer gleichförmig ungleichförmig bleibt und stetig bis zu nichts verdichtet werden könnte, während sein Subjekt ruht. Aber der Nachsatz ist falsch.“³⁵²

responsio von Alvarus Thomas:

Er verneint, dass der Nachsatz falsch sei. „Und es ist bedeutsamerweise nicht unpassend, wenn eine jener latitudines der Widerstände so verdichtet wird, wie es in dem Beispiel des Arguments dargelegt wird, und die andere ruht.“³⁵³ Daraus werden folgende Korollare abgeleitet:

1. Korollar: „Es steht [fest], dass dasselbe Vermögen stetig schneller beim Durchschreiten irgendeines Widerstands, der weniger ausgedehnt ist, als beim Durchschreiten desselben [Widerstands], wenn er mehr ausgedehnt ist, bewegt wird.“³⁵⁴

2. Korollar: „Wenn zwei gleichförmig ungleichförmige latitudines gegeben sind, die intensiv gleich und extensiv ungleich sind, und wenn zwei gleiche Vermögen erfasst werden, von denen das eine [Vermögen] über den [Teil] hinweg bewegt zu werden beginnt, der weniger ausgedehnt ist, und das andere [Vermögen] über den [Teil], der mehr vom verminderteren Extremum her ausgedehnt ist, die latitudines stetig ruhen, und die Vermögen nicht verändert werden, [dann] wird das Vermögen, das mit dem Widerstand bewegt wird, der weniger ausgedehnt ist, stetig langsamer bewegt als das andere [Vermögen], das mit dem Widerstand bewegt werden wird, der mehr ausgedehnt ist.“³⁵⁵

3. Korollar: „Wo auch immer bei gleichförmig ungleichförmigen latitudines, die derart intensiv gleich und extensiv ungleich sind, wie in dem Beispiel des vorhergehenden Korollars dargelegt wird, irgendwelche Vermögen bewegt zu werden beginnen, indem sie von den verminderteren Extrema voranrücken, wird das Vermögen, das in dem Widerstand bewegt wird, der weniger ausgedehnt ist, immer schneller zum Ende seines Widerstands gelangen.“³⁵⁶

4. Korollar: „Wenn zwei latitudines eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands vorgegeben wurden, die intensiv gleich sind und extensiv ungleich sind, und zwei gleiche Vermögen erfasst wurden, von denen das eine [Vermögen] über den weniger ausgedehnten [Widerstand] hinweg bewegt zu werden beginnt, und das andere [Vermögen] über den mehr ausgedehnten [Widerstand] von dem erhöhteren Extremum aus, und die latitudines stetig ruhen, und die Vermögen nicht verändert werden, [dann] wird das Vermögen, das mit dem weniger ausgedehnten Widerstand bewegt wird, stetig schneller bewegt als das andere [Vermögen], das mit dem weiter ausgedehnten Widerstand bewegt wird.“³⁵⁷

5. Korollar: „Wenn eine gleichförmig ungleichförmige latitudo eines Widerstands [gegeben ist], der sich so verdichtet, wie es in dem Beispiel des Arguments dargelegt wird, ein beliebiger innen liegender Punkt von ihm sich stetig gleichförmig bewegt, [die latitudo] bei der vermindertere Stufe ruht, und die erhöhtere [Stufe] sich langsamer bewegt, als das Vermögen, das mit ihm bewegt zu werden beginnt, mit demselben [Punkt] bewegt wird, während das Vermögen und jeder Punkt sich gegen das vermindertere Extremum, das ruht, bewegen, [dann] erhöht ein jedes solches Vermögen, das so bewegt wird, stetig seine Bewegung.“³⁵⁸

6. Korollar: „Wenn ein beliebiger innen liegender Punkt eines solchen Widerstands stetig gegen das vermindertere Extremum, das ruht, bewegt werden würde, indem es stetig seine Bewegung vermindert, [dann] würde auch das Vermögen seine Bewegung erhöhen, solange das Vermögen schneller bewegt zu werden beginnt als der Punkt, der am schnellsten bewegt wird.“³⁵⁹

7. Korollar: „Wenn eine latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands, die sich so – wie vorgeschlagen wurde – verdichtet, ein beliebiger innen liegender Punkt nach und nach seine Bewegung stetig erhöht, und ein Vermögen von dem Punkt aus, der am schnellsten bewegt wird, schneller bewegt zu werden beginnt, als ein solcher Punkt bewegt zu werden beginnt, sie sich gegen das erhöhtere Extremum bewegen, [dann] ist es nicht notwendig, dass ein solches Vermögen stetig seine Bewegung erhöht. Und es ist nicht notwendig, dass es seine Bewegung stetig vermindert. Und es ist nicht notwendig, dass es sie irgendwann erhöht und irgendwann vermindert. Aber es kann sie irgendwann erhöhen und irgendwann vermindern. Dennoch ist es notwendig, dass es sie zu erhöhen beginnt.“³⁶⁰

8. Korollar: „Wenn die latitudo eines gleichförmig ungleichförmigen Widerstands, die sich so [wie beschrieben] verdichtet, sein Subjekt ruht, und ein beliebiger Punkt von ihm sich stetig gleichförmig bewegt und das vermindertere [Extremum] weggenommen wurde, erhöht ein Vermögen, das von dem erhöhteren Extremum gegen das vermindertere [Extremum] bewegt zu werden beginnt, immer schneller seine Bewegung, solange es schneller bewegt zu werden beginnt, als die Stufe bewegt wird, von der es bewegt zu werden beginnt.“³⁶¹

9. Korollar: „Wo auch immer ein Vermögen bei einer latitudo, die sich so [wie beschrieben] verdichtet, stetig seine Bewegung erhöht, entweder ein beliebiger Punkt, der bewegt wird, sich gleichförmig bewegt oder stetig vermindert oder erhöht, [dann] erhöht ein solches Vermögen immer schneller seine Bewegung.“³⁶²

10. Korollar: „Wo auch immer das erhöhtere Extremum ruht, sich ein beliebiger anderer Punkt stetig gleichförmig bewegt und sich verdichtet, vermindert ein Vermögen, das beginnt, schneller als das vermindertere Extremum bewegt zu werden, von dem es beginnt, bewegt zu werden, beim Bewegen gegen ein erhöhteres Extremum seine Bewegung, solange kein Punkt so schnell bewegt wird, wie das Vermögen ausreicht, mit ihm vielmehr langsamer bewegt zu werden.“³⁶³

Einwand gegen die erste conclusio des Kapitels 3.1.14

obiectatio:

„Irgendwann in dem Beispiel der conclusio wird das Vermögen nicht gleichförmig bewegt. Daher ist die conclusio falsch.“³⁶⁴ Es folgt der Beweis und eine confirmatio des Beweises.

responsio von Alvarus Thomas:

Er verneint einen Teil des Beweises und behauptet: „Wenn vielmehr eine beliebige Zeit danach darin gegeben ist, wird die latitudo, in der A bewegt wird, über irgendeinen Teil des Mediums ausgedehnt werden, und in derselben Zeit wird über einen größeren Teil des Mediums dieselbe latitudo in einem beliebigen [Medium] der anderen Media ausgedehnt werden, wie es in dem Beispiel offensichtlich ist. Wie jene latitudo eine irgendwiegroße extensio erwirbt in dem Medium B, in dem A bewegt wird, so erwirbt dieselbe latitudo in genau derselben Zeit eine ebenso große [extensio] in einem beliebigen [Teil] der anderen Media zu der extensio, die es schon in einem beliebigen [Medium] von ihnen hat. Und so wird jene latitudo in einem beliebigen [Teil] der anderen Media weiter ausgedehnt werden als in dem Medium B, in dem A bewegt wird.“³⁶⁵

replica:

„Wenn eine latitudo in einem beliebigen [Punkt] jener Media von B stehe, dann wird irgendeins jener Beweglichen bis ins Unendliche langsam in irgendeinem [Punkt] jener Media in irgendeiner Zeit nach dem Anfangszeitpunkt der Bewegung bewegt, und dann würde A bis dahin bei einem beliebigen [Punkt] von ihnen langsamer bewegt werden.“³⁶⁶

responsio von Alvarus Thomas:

Er verneint große Teile der replica und sagt: „Vielmehr gebe ich das Gegenteil an, dass nämlich irgendein [Bewegliches] von ihnen beginnt, um irgendein Verhältnis schneller bewegt zu werden, wenn sich die latitudo bewegt, als wenn sie ruht. Und wenn erstrebt wird, dass es vorgegeben wird, dass irgendein [Bewegliches] von ihnen so um irgendein Verhältnis schneller bewegt wird, wenn die latitudo sich bewegt, als wenn sie ruht, [dann] sage ich, dass [die Bezeichnung] ,irgendeins von ihnen‘ nur Verwirrung stiftet. Und daher muss sie nicht ausgezeichnet werden, obwohl das Verhältnis ausgezeichnet wird, weil [der Begriff] ,Verhältnis‘ als bestimmt angenommen wird.“³⁶⁷

1. Korollar: „Daraus folgt, dass irgendeine [Bewegliches] von ihnen um irgendein Verhältnis schneller bewegt zu werden beginnt, wenn die latitudo bewegt wird, als wenn sie ruht, und dennoch irgendeine [Bewegliches] von ihnen um kein Verhältnis schneller bewegt zu werden beginnt, wenn die latitudo bewegt wird, als wenn sie ruht.“³⁶⁸

2. Korollar: „Bis ins Unendliche langsam beginnt irgendeine [Bewegliches] von ihnen bewegt zu werden, während die latitudines ruhen, und dennoch beginnt kein [Bewegliches] von ihnen um irgendein Verhältnis langsamer als ein anderes [Bewegliches] bewegt zu werden.“³⁶⁹

Einwand gegen die vierte conclusio des Kapitels 3.1.14

obiectatio in Form einer sequela:

„Wenn die conclusio wahr wäre, würde aus dem Beispiel heraus folgen, dass das Vermögen A bei jeder möglichen innen liegenden Stufe, die vorgegeben ist, irgendeines Widerstand, durch den es bewegt wird, beginnt, seine Bewegung zu erhöhen und [schneller] bewegt zu werden, während ein beliebiger jener Punkte beginnt, seine Bewegung von keiner Stufe aus zu erhöhen und zugleich auch das Vermögen. Aber der Nachsatz ist falsch.“³⁷⁰ Dem folgt eine confirmatio.

responsio von Alvarus Thomas:

Er verneint den Nachsatz. Daraus leitet er folgende Korollare ab:

1. Korollar: „Bei einer beliebigen Stufe oder einem innen liegenden Punkt jenes Widerstands beginnt das Vermögen A, schneller bewegt zu werden. Und dennoch beginnt es nicht schneller als eine beliebige Stufe oder ein innen liegenden Punkt des Widerstands bewegt zu werden.“³⁷¹

2. Korollar: „Es folgt zweitens, dass in dem Beispiel des Arguments bei jeder möglichen, innen liegenden Stufe oder Punkt des Widerstands [das Vermögen] A beginnt, schneller bewegt zu werden, und dennoch werden vor irgendeinem zukünftigen Zeitpunkt, [aber] nach dem Zeitpunkt, der da ist, unendliche innen liegenden Stufen oder Punkte schneller bewegt werden.“372 Dies ist die 12. conclusio des Kalkulators im Kapitel über das Medium, das nicht widersteht.³⁷²

3. Korollar: „Wenn – nachdem die latitudo des Widerstands stetig gleichförmig mit dem Vermögen bewegt wird, das mit ihm beginnt, bewegt zu werden – ein beliebiger innen liegender Punkt von ihm beginnen würde, gleichförmig schneller bewegt zu werden als vorher, [dann] wird die Bewegung des Vermögens beginnen, rückläufig zu sein in Bezug auf den Widerstand. Denn er wird beginnen, seine Bewegung zu erhöhen. Und wenn später ein beliebiger Punkt zu der vorherigen Geschwindigkeit gleichförmig wiederhergestellt werden würde, wird das Vermögen wiederum beginnen, denselben Widerstand zu durchschreiten, wobei es seine Bewegung vermindert. Und das kann unendlich oft geschehen, wenn die Bewegung der latitudo unendlich oft verändert wird.“³⁷³

Fußnoten